高二数学 排列组合2
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《排列组合综合应用》 第二课时
临清市第二中学
1
题型1 直接法解排列、组合综合应用题
• 1. 已知10件不同产品中共有4件次品，现 对它们进行一一测试，直至找到所有次品 为止.
• (1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次 品，第10次才找到最后一件次品的不同 测试方法数是多少?
• (2)若恰在第5次测试后，就找出了所有次 品，则这样的不同测试方法数是多少?
• •
所 1，以1共，有2，2C：41C先63取C312C个21C位1种1 子；放2人(其余2个
• • •
位 人 共子，有放2人1人，)1有人，C1种人42 取种的法.取，法6有人中C分62C别42C取21C211种，
• 所以符C合42条C6件2C的42C分21C配11 方法有
•
=1560种.
C41C63C31C21 C42C62C42C21
18
• 2.解排列、组合应用题的基本方法是：①直 接法：直接列出符合条件的所有排列或组合， 再求出排列数或组合数；②间接法：不考虑 限制条件计算出排列数或组合数，再减去不 符合条件的排列数或组合数，余下的就是满 足条件的方法数；③分类法：选定一个适当 的标准，将事件分成n个类型，分别计算出各 类型的方法数，再由分类计数原理得出结论； ④分步法：选定一个适当的标准，将事件分 成n个步骤来完成，分别计算出各步骤的方法 数，再由分步计数原理得出结论.
13
• 解：(1)有且只有三个人的编号与座位号
一 的致编的号坐与法座有位号一C5致3种的，坐有法且有只1有种五. 个人
• 因为五个人任意坐在五个位置上的坐法
有
•A55 -
A55
C53
种，所以符合要求的坐法共有
-1=109(种).
14
• (2)从A、B中各取一个数作为点的Baidu Nhomakorabea标，
有 C51C51 A个22 .
•共
C62C42C21·AA22 A44 22
种分法.
• 所以符合条件的分配方法有
• •
解法C263 A：44 先 C取62C学42C校21，·AA2后2 A44 2取2 =人1.560种.
• 1，1，1，3：取一个位子放3个人，有 C41
11
• 种取法，6人中分别取3人、1人、1人、1
• 人的取法有 C63C31C21C11种，
19
• 3.解排列、组合应用题时要注意以下几方面 的技巧和策略：①受限元素优先；②受限位 置优先；③相邻元素用“捆绑”并为一个元 素；④不相邻元素用“插空”；⑤对“含有” 或“不含有”某些元素的问题，可先将这些 元素取出，再由其他元素补足；⑥对“至少” 或“至多”含有n个元素的问题，可用分类或 间接方法求解；⑦对排列、组合的混合问题， 应先组后排，分步进行；⑧对较复杂的问题 可通过分级分类求解；⑨把元素分成若干组 常用“隔板插空”等等.
每校至少1人，有多少种不同的分配方法?
• 解法1：先取人，后取学校.
• •
1，1，1，3：6人中先取3人有
与所剩以余共有3C人63分A44到4所种学分校法去；有A44
种C种不63 取同法分，法，
10
• 1，1，2，2：6人中取2人、2人、1人、
• 1人的取法有 • 学校去，有
ACA 2262A 4C4 2422种C种21不，同然的后分分法到，4所
2
• 解：(1)先排前4次测试，只能取正品，
• 有 A种64不同测试方法，再从4件次品中选2
• 件排在第5和第10的位置上测试，
• 有 C42 A22 A种42 测法，再排余下4件的测试
• 位置，有 A种44 测法.
• 所以共有不同的测试
• 方法 A64 A42 A=44103680种.
• (2)第5次测试恰找到最后一件次品，另3件
• 由分类计数原理，共
• A44 C21 A31A43 (C42 A33 C21C21 A42 ) =252种.
6
题型2 排列、组合中的分组问题
• 3.6项不同的工程，分别给甲、乙、丙三 个公司.
• (1)如果甲承包一项、乙承包二项、丙承包 三项，有多少种承包方式?
• (2)如果一个公司承包一项，另一个公司承 包两项，剩下的一个公司承包三项，有多 少种承包方式?
20
• 在前4次中出现，从而前4次有1件正品出现.
• 所以共有不同测试方法 C61C43 A4=4 576种. 3
• 点评：解决排列组合综合问题，应遵循三大 原则，掌握基本类型，突出转化思想.三大原 则是：先特殊后一般、先取后排、先分类后 分步的原则.基本类型主要包括：排列中的 “在与不在”、组合中的“有与没有”，还 有“相邻与不相邻”“至少与至多”“分配 与分组”等.转化思想就是把一些排列组合问 题与基本类型相联系，从而把问题转化为基 本类型，然后加以解决.
12
参考题
题型 3 间接法解排列、组合综合应用题
• 1. (1)编号为1，2，3，4，5的五个人分别坐 在编号为1，2，3，4，5的五个座位上，求 至多有两个人的编号与座位号一致的坐法种 数.
• (2)设集合A={3，4，5，6，7}，B={4，5，6， 7，8}，从A、B中各取一个数作为点的坐标， 求一共可得到多少个不同的坐标?
8
• 点评：对分组或分配问题，先分清是 “有序”还是“无序”，然后分清是 “均匀”还是“不均匀”分组.如本题 中第(1)问就是“有序不均匀”分组问 题，第(2)问是“无序不均匀”分组； 第(3)问是“无序均匀”分组.注意它们 的区别与联系，掌握正确的处理方法.
9
•
6名运动员分到4所学校去做教练，
• 的球由个放分数入步分四计成个数三盒原组子理，中，有的共三有个C，C42种42有分·A4法3=A143；放44再法(种将. ).三组
16
• (2)分两类：①将四个小球按3，1的个数分 成两组，再将这两组球放入四个盒子中的 两个，有C43·A42 种放法；②将四个小球平 均分成两组，再将这两组球放入四个盒子
• 其中A、B中所取元素相同时，重复4个；
从A、B中所取元素是4、5、6、7中的
•
两个数时，重复
所以共有 C51C51
A42个.
A22 - 4
-
A42=34(个).
15
• 2.四个不同的小球放入四个不同的盒子里， 求在下列条件下各有多少种不同的放法?
• (1)恰有一个盒子里放2个球； • (2)恰有两个盒子不放球. • 解：(1)分两步：首先将四个小球按2，1，1
• (3)如果每个公司均承包两项，有多少种承 包方式?
7
• 解：(1)从6项工程中选一项给甲有 C种61 ，
• 从余下的5项中选两项给乙有 C种52，
• 最后的3项给丙有 C种33 ，由分步计数原理
• 共有 C61C52C33 =60种.
• • • • •
(种种(解23))，，法将 解而故26法：项将有1工：三C程6组2CCC3依分4!66212CCC条给225422·CC件A甲==323323分99A、00=33为种乙种36三.、.0组种丙共.三有公司C有61C52CA3333
4
•
从6名短跑运动员中选4人参加
4×100 m接力，如果其中甲不能跑第一棒，
乙不能跑第四棒，问共有多少种参赛方法?
• 解：问题分成三类：(1)甲、乙两人均不参
• 加(2)，甲有、乙A44两种人；有且仅有一人参加，
•有 •
种； C21 A31 A43
5
• (3)甲、乙两人均参加，其中甲跑
• 第四棒有 C42 A种33 ，甲跑第二棒或 • 第三棒有 C21C21 A种42 ，
• 中 由的分两类12个计C42，数 A有 原42 理，共有 种放法.
•
C43·A42 12C42 A42 =84(种).
17
• 1.求解排列、组合应用题的一般步骤是：① 弄清事件的特性，把具体问题化归为排列问 题或组合问题，其中“有序”是排列问题， “无序”是组合问题；②通过分析，对事件 进行合理的分类、分步，或考虑问题的反面 情况；③分析上述解法中有没有重复和遗漏 现象，若有，则计算出重复数和遗漏数；④ 列出算式并计算作答.
临清市第二中学
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题型1 直接法解排列、组合综合应用题
• 1. 已知10件不同产品中共有4件次品，现 对它们进行一一测试，直至找到所有次品 为止.
• (1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次 品，第10次才找到最后一件次品的不同 测试方法数是多少?
• (2)若恰在第5次测试后，就找出了所有次 品，则这样的不同测试方法数是多少?
• •
所 1，以1共，有2，2C：41C先63取C312C个21C位1种1 子；放2人(其余2个
• • •
位 人 共子，有放2人1人，)1有人，C1种人42 取种的法.取，法6有人中C分62C别42C取21C211种，
• 所以符C合42条C6件2C的42C分21C配11 方法有
•
=1560种.
C41C63C31C21 C42C62C42C21
18
• 2.解排列、组合应用题的基本方法是：①直 接法：直接列出符合条件的所有排列或组合， 再求出排列数或组合数；②间接法：不考虑 限制条件计算出排列数或组合数，再减去不 符合条件的排列数或组合数，余下的就是满 足条件的方法数；③分类法：选定一个适当 的标准，将事件分成n个类型，分别计算出各 类型的方法数，再由分类计数原理得出结论； ④分步法：选定一个适当的标准，将事件分 成n个步骤来完成，分别计算出各步骤的方法 数，再由分步计数原理得出结论.
13
• 解：(1)有且只有三个人的编号与座位号
一 的致编的号坐与法座有位号一C5致3种的，坐有法且有只1有种五. 个人
• 因为五个人任意坐在五个位置上的坐法
有
•A55 -
A55
C53
种，所以符合要求的坐法共有
-1=109(种).
14
• (2)从A、B中各取一个数作为点的Baidu Nhomakorabea标，
有 C51C51 A个22 .
•共
C62C42C21·AA22 A44 22
种分法.
• 所以符合条件的分配方法有
• •
解法C263 A：44 先 C取62C学42C校21，·AA2后2 A44 2取2 =人1.560种.
• 1，1，1，3：取一个位子放3个人，有 C41
11
• 种取法，6人中分别取3人、1人、1人、1
• 人的取法有 C63C31C21C11种，
19
• 3.解排列、组合应用题时要注意以下几方面 的技巧和策略：①受限元素优先；②受限位 置优先；③相邻元素用“捆绑”并为一个元 素；④不相邻元素用“插空”；⑤对“含有” 或“不含有”某些元素的问题，可先将这些 元素取出，再由其他元素补足；⑥对“至少” 或“至多”含有n个元素的问题，可用分类或 间接方法求解；⑦对排列、组合的混合问题， 应先组后排，分步进行；⑧对较复杂的问题 可通过分级分类求解；⑨把元素分成若干组 常用“隔板插空”等等.
每校至少1人，有多少种不同的分配方法?
• 解法1：先取人，后取学校.
• •
1，1，1，3：6人中先取3人有
与所剩以余共有3C人63分A44到4所种学分校法去；有A44
种C种不63 取同法分，法，
10
• 1，1，2，2：6人中取2人、2人、1人、
• 1人的取法有 • 学校去，有
ACA 2262A 4C4 2422种C种21不，同然的后分分法到，4所
2
• 解：(1)先排前4次测试，只能取正品，
• 有 A种64不同测试方法，再从4件次品中选2
• 件排在第5和第10的位置上测试，
• 有 C42 A22 A种42 测法，再排余下4件的测试
• 位置，有 A种44 测法.
• 所以共有不同的测试
• 方法 A64 A42 A=44103680种.
• (2)第5次测试恰找到最后一件次品，另3件
• 由分类计数原理，共
• A44 C21 A31A43 (C42 A33 C21C21 A42 ) =252种.
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题型2 排列、组合中的分组问题
• 3.6项不同的工程，分别给甲、乙、丙三 个公司.
• (1)如果甲承包一项、乙承包二项、丙承包 三项，有多少种承包方式?
• (2)如果一个公司承包一项，另一个公司承 包两项，剩下的一个公司承包三项，有多 少种承包方式?
20
• 在前4次中出现，从而前4次有1件正品出现.
• 所以共有不同测试方法 C61C43 A4=4 576种. 3
• 点评：解决排列组合综合问题，应遵循三大 原则，掌握基本类型，突出转化思想.三大原 则是：先特殊后一般、先取后排、先分类后 分步的原则.基本类型主要包括：排列中的 “在与不在”、组合中的“有与没有”，还 有“相邻与不相邻”“至少与至多”“分配 与分组”等.转化思想就是把一些排列组合问 题与基本类型相联系，从而把问题转化为基 本类型，然后加以解决.
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参考题
题型 3 间接法解排列、组合综合应用题
• 1. (1)编号为1，2，3，4，5的五个人分别坐 在编号为1，2，3，4，5的五个座位上，求 至多有两个人的编号与座位号一致的坐法种 数.
• (2)设集合A={3，4，5，6，7}，B={4，5，6， 7，8}，从A、B中各取一个数作为点的坐标， 求一共可得到多少个不同的坐标?
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• 点评：对分组或分配问题，先分清是 “有序”还是“无序”，然后分清是 “均匀”还是“不均匀”分组.如本题 中第(1)问就是“有序不均匀”分组问 题，第(2)问是“无序不均匀”分组； 第(3)问是“无序均匀”分组.注意它们 的区别与联系，掌握正确的处理方法.
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•
6名运动员分到4所学校去做教练，
• 的球由个放分数入步分四计成个数三盒原组子理，中，有的共三有个C，C42种42有分·A4法3=A143；放44再法(种将. ).三组
16
• (2)分两类：①将四个小球按3，1的个数分 成两组，再将这两组球放入四个盒子中的 两个，有C43·A42 种放法；②将四个小球平 均分成两组，再将这两组球放入四个盒子
• 其中A、B中所取元素相同时，重复4个；
从A、B中所取元素是4、5、6、7中的
•
两个数时，重复
所以共有 C51C51
A42个.
A22 - 4
-
A42=34(个).
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• 2.四个不同的小球放入四个不同的盒子里， 求在下列条件下各有多少种不同的放法?
• (1)恰有一个盒子里放2个球； • (2)恰有两个盒子不放球. • 解：(1)分两步：首先将四个小球按2，1，1
• (3)如果每个公司均承包两项，有多少种承 包方式?
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• 解：(1)从6项工程中选一项给甲有 C种61 ，
• 从余下的5项中选两项给乙有 C种52，
• 最后的3项给丙有 C种33 ，由分步计数原理
• 共有 C61C52C33 =60种.
• • • • •
(种种(解23))，，法将 解而故26法：项将有1工：三C程6组2CCC3依分4!66212CCC条给225422·CC件A甲==323323分99A、00=33为种乙种36三.、.0组种丙共.三有公司C有61C52CA3333
4
•
从6名短跑运动员中选4人参加
4×100 m接力，如果其中甲不能跑第一棒，
乙不能跑第四棒，问共有多少种参赛方法?
• 解：问题分成三类：(1)甲、乙两人均不参
• 加(2)，甲有、乙A44两种人；有且仅有一人参加，
•有 •
种； C21 A31 A43
5
• (3)甲、乙两人均参加，其中甲跑
• 第四棒有 C42 A种33 ，甲跑第二棒或 • 第三棒有 C21C21 A种42 ，
• 中 由的分两类12个计C42，数 A有 原42 理，共有 种放法.
•
C43·A42 12C42 A42 =84(种).
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• 1.求解排列、组合应用题的一般步骤是：① 弄清事件的特性，把具体问题化归为排列问 题或组合问题，其中“有序”是排列问题， “无序”是组合问题；②通过分析，对事件 进行合理的分类、分步，或考虑问题的反面 情况；③分析上述解法中有没有重复和遗漏 现象，若有，则计算出重复数和遗漏数；④ 列出算式并计算作答.