高二数学 排列组合2
排列组合+二项式定理(含答案)
高二数学：排列组合二项式定理一、选择题（本大题共16小题，共80.0分）1.如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案( )A. 180种B. 240种C. 360种D. 420种【答案】D【解析】解：若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有A55种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，则2、4两个花池栽同一种颜色的花；或者3、5两个花池栽同一种颜色的花，方法有2A54种，若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有A53种，故最多有A55+2A54+A53=420种栽种方案，故选D．若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有A55种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，方法有2A54种，若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有A53种，相加即得所求．本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．2.甲、乙、丙等6人排成一排，且甲、乙均在丙的同侧，则不同的排法共有( )种(用数字作答)．A. 720B. 480C. 144D. 360【答案】B【解析】解：甲、乙、丙等六位同学进行全排可得A66=720种，∵甲乙丙的顺序为甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6种，∴甲、乙均在丙的同侧，有4种，∴甲、乙均在丙的同侧占总数的46=23∴不同的排法种数共有23×720=480种．故选：B．甲、乙、丙等六位同学进行全排，再利用甲、乙均在丙的同侧占总数的46=23，即可得出结论．本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，比较基础．3.从1，3，5中选2个不同数字，从2，4，6，8中选3个不同数字排成一个五位数，则这些五位数中偶数的个数为( )A. 5040B. 1440C. 864D. 720【答案】C【解析】解；先任选一个偶数排在末尾，共有4种选法，其它2个奇数的选法共有3种，剩余2个偶数的选法共有3种，这4个数全排列，共有4×3×2×1=24种方法，共有则这些五位数中偶数的个数为4×3×3×24= 864，故选：C．先按要求排末尾，再排其它，根据分步计数原理可得．本题考查加法原理和乘法原理综合运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．4.从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为( )A. 48B. 72C. 90D. 96【答案】D【解析】解：根据题意，从5名学生中选出4名分别参加竞赛，分2种情况讨论：①、选出的4人没有甲，即选出其他4人即可，有A44=24种情况，②、选出的4人有甲，由于甲不能参加生物竞赛，则甲有3种选法，在剩余4人中任选3人，参加剩下的三科竞赛，有A43=24种选法，则此时共有3×24=72种选法，则有24+72=96种不同的参赛方案；故选：D．根据题意，分2种情况讨论选出参加竞赛的4人，①、选出的4人没有甲，②、选出的4人有甲，分别求出每一种情况下分选法数目，由分类计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的实际应用，注意优先考虑特殊元素．5.小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排.若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为( )A. 60B. 72C. 84D. 96【答案】C【解析】解：根据题意，分3种情况讨论：①、若小明的父母的只有1人与小明相邻且父母不相邻时，先在其父母中选一人与小明相邻，有C21=2种情况，将小明与选出的家长看成一个整体，考虑其顺序有A22=2种情况，当父母不相邻时，需要将爷爷奶奶进行全排列，将整体与另一个家长安排在空位中，有A22×A32=12种安排方法，此时有2×2×12=48种不同坐法；②、若小明的父母的只有1人与小明相邻且父母相邻时，将父母及小明看成一个整体，小明在一端，有2种情况，考虑父母之间的顺序，有2种情况，则这个整体内部有2×2=4种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A33=6种情况，此时有2×2×6=24种不同坐法；③、小明的父母都与小明相邻，即小明在中间，父母在两边，将3人看成一个整体，考虑父母的顺序，有A22=2种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A33=6种情况，此时，共有2×6=12种不同坐法；则一共有48+24+12=84种不同坐法；故选：C．根据题意，分3种情况讨论：①、小明的父母的只有1人与小明相邻且父母不相邻，②、小明的父母的只有1人与小明相邻且父母相邻，③、小明的父母都与小明相邻，分别求出每一种情况下的排法数目，由分类计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，关键是根据题意，进行不重不漏的分类讨论．6.A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A，B可以不相邻)，那么不同的排法共有( )A. 24种B. 60种C. 90种D. 120种【答案】B【解析】解：根据题意，使用倍分法，五人并排站成一排，有A55种情况，而其中B站在A的左边与B站在A的右边是等可能的，则其情况数目是相等的，×A55=60，则B站在A的右边的情况数目为12故选B．根据题意，首先计算五人并排站成一排的情况数目，进而分析可得，B 站在A 的左边与B 站在A 的右边是等可能的，使用倍分法，计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，注意使用倍分法时，注意必须保证其各种情况是等可能的．7. C 74+C 75+C 86等于( ) A. C 95B. C 96C. C 87D. C 97【答案】B【解析】解：根据组合数公式C n+1m =C n m−1+C n m得，C 74+C 75+C 86=(C 74+C 75)+C 86 =C 85+C 86 =C 96． 故选：B ．利用组合数公式C n+1m =C n m−1+C n m，进行化简即可．本题考查了组合数公式C n+1m =C n m−1+C n m的逆用问题，是基础题目．8. 9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品来检查，至少有两件一等品的抽取方法是( )A. C 42⋅C 52B. C 42+C 43+C 44C. C 42+C 52D. C 42⋅C 52+C 43⋅C 51+C 44⋅C 50【答案】D【解析】解：一共有4件一等品，至少两件一等品分为2件，3件，4件，第一类，一等品2件，从4件任取2件，再从3件二等品或2件三等品共5件产品中任取2件，有C 42⋅C 52， 第二类，一等品3件，从4件任取3，再从3件二等品或2件三等品共5件产品中任取1，有C 43⋅C 51，第二类，一等品4件，从4件中全取，有C 44⋅C 50， 根据分类计数原理得，至少有两件一等品的抽取方法是C 42⋅C 52+C 43⋅C 51+C 44⋅C 50． 故选：D ．利用分类计数原理，一共有4件一等品，至少两件一等品分为2件，3件，4件，然后再按其它要求抽取． 本题主要考查了分类计数原理，如何分类是关键，属于基础题．9. 4名同学争夺三项冠军，冠军获得者的可能种数是( )A. 43B. A 43C. C 43D. 4 【答案】A【解析】解：每一项冠军的情况都有4种，故四名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是43， 故选：A ．每个冠军的情况都有4种，共计3个冠军，故分3步完成，根据分步计数原理，运算求得结果． 本题主要考查分步计数原理的应用，属于基础题．10. 某班班会准备从含甲、乙的7人中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有( ) A. 720种 B. 520种 C. 600种 D. 360种 【答案】C【解析】解：分两类：第一类，甲、乙两人只有一人参加，则不同的发言顺序有C 21C 53A 44种；第二类：甲、乙同时参加，则不同的发言顺序有C 22C 52A 22A 32种.共有：C 21C 53A 44+C 22C 52A 22A 32=600(种)． 故选：C ．分两类：第一类，甲、乙两人只有一人参加，第二类：甲、乙同时参加，利用加法原理即可得出结论． 本题考查排列、组合的实际应用，正确分类是关键．11. 现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有 ( ) A. 144种 B. 72种 C. 64种 D. 84种 【答案】D【解析】解：由题意知本题是一个分步计数问题， 需要先给最上面金着色，有4种结果， 再给榜着色，有3种结果，给题着色，与榜同色，给名着色，有3种结果；与榜不同色，有2种结果，给名着色，有2种结果 根据分步计数原理知共有4×3×(3+2×2)=84种结果， 故选D ．需要先给最上面金着色，有4种结果，再给榜着色，有3种结果，给题着色，与榜同色，给名着色，有3种结果；与榜不同色，有2种结果，给名着色，有2种结果，根据分步计数原理得到结果．本题考查计数原理的应用，解题的关键是理解“公共边的两块区域不能使用同一种颜色，”根据情况对C 处涂色进行分类，这是正确计数，不重不漏的保证．12. 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )A. 192种B. 216种C. 240种D. 288种 【答案】B【解析】解：最左端排甲，共有A 55=120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有C 41A 44=96种， 根据加法原理可得，共有120+96=216种． 故选：B ．分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论． 本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题．13. 有黑、白、红三种颜色的小球各5个，都分别标有数字1，2，3，4，5，现取出5个，要求这5个球数字不相同但三种颜色齐备，则不同的取法种数有( ) A. 120种 B. 150种 C. 240种 D. 260种 【答案】B【解析】解：根据题意，取出的5个球有三种颜色且数字不同， 分2步进行分析：①，先把取出的5个球分成3组，可以是3，1，1，也可以是1，2，2； 若分成3，1，1的三组，有C 53C 21C 11A 22=10种分组方法； 若分成1，2，2的三组，有C 51C 42C 22A 22=15种分组方法；则共有10+15=25种分组方法，②，让三组选择三种不同颜色，共有A 33=6种不同方法 则共有25×6=150种不同的取法； 故选：B ．因为要求取出的5个球分别标有数字1，2，3，4，5且三种颜色齐备，所以肯定是数字1，2，3，4，5各取一个，分2步分析：先把5个球分成三组，再每组选择一种颜色，由分步计数原理计算可得答案． 本题考查分步计数原理的应用，注意题目中“5个球数字不相同但三种颜色齐备”的要求．14. 从4双不同鞋中任取4只，结果都不成双的取法有____种.( )A. 24B. 16C. 44D. 384 【答案】B【解析】解：取出的四只鞋不成双，可分四步完成，依次从四双鞋子中取一只，取四次，故总的取法有2×2×2×2=16种， 故选B ．取出的四只鞋不成双，可分四步完成，依次从四双鞋子中取一只，取四次，利用乘法原理可得结论．本题考查排列、组合及简单计数问题，考查乘法原理的运用，比较基础．15.某公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有( )种．A. 510B. 105C. 50D. A105【答案】A【解析】解：根据题意，公共汽车沿途5个车站，则每个乘客有5种下车的方式，则10位乘客共有510种下车的可能方式；故选：A．根据题意，分析可得每个乘客有5种下车的方式，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的实际应用，16.从0，1，2，3，4中选取三个不同的数字组成一个三位数，其中奇数有( )A. 18个B. 27个C. 36个D. 60个【答案】A【解析】解：先从1，3中选一个为个位数字，再剩下的3个(不包含0)取1个为百位，再从剩下3个(包含0)取一个为十位，故有2×3×3=18个，故答案为：18．先从1，3中选一个为个位数字，再剩下的3个(不包含0)取1个为百位，再从剩下3个(包含0)取一个为十位，根据分步计数原理可得．本题考查了分步计数原理，关键是分步，属于基础题．二、填空题（本大题共9小题，共45.0分）17.(1+2x)5的展开式中含x2项的系数是______ .(用数字作答)【答案】40【解析】解：由二项式定理的通项公式T r+1=C n r a n−r b r可设含x2项的项是T r+1=C5r15−r(2x)r=2r C5r x r，可知r=2，所以系数为22C52=40所以答案应填40本题是求系数问题，故可以利用通项公式T r+1=C n r a n−r b r来解决，在通项中令x的指数幂为2可求出含x2是第几项，由此算出系数为40本题主要考查二项式定理中通项公式的应用，属于基础题型，难度系数0.9.一般地通项公式主要应用有求常数项，有理项，求系数，二项式系数等．18.(x−1x )(2x+1x)5的展开式中，常数项为______．【答案】−40【解析】解：(x−1x )(2x+1x)5展开式中常数项是(2x+1x )5展开式中的1x项与x的乘积，加上含x项与−1x的乘积；由(2x+1x)5展开式的通项公式为T r+1=C5r⋅(2x)5−r⋅(1x)r=25−r⋅C5r⋅x5−2r，令5−2r=−1，解得r=3，∴T4=22⋅C53⋅1x =40x；令5−2r=1，解得r=2，∴T3=23⋅C52⋅x=80x；所求展开式的常数项为40 x ⋅x+80x⋅(−1x)=40−80=−40．故答案为：−40．根据(x−1x )(2x+1x)5展开式中常数项是(2x+1x)5展开式中的1x项与x的乘积，加上x项与−1x的乘积；利用(2x+1x)5展开式的通项公式求出对应的项即可．本题考查了二项式定理的应用问题，是基础题．19.小明、小刚、小红等5个人排成一排照相合影，若小明与小刚相邻，且小明与小红不相邻，则不同的排法有______ 种.【答案】36【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：①、小刚与小红不相邻，将除小明、小刚、小红之外的2人全排列，有A22种安排方法，排好后有3个空位，将小明与小刚看成一个整体，考虑其顺序，有A22种情况，在3个空位中，任选2个，安排这个整体与小红，有A32种安排方法，有A22×A32×A22=24种安排方法；②、小刚与小红相邻，则三人中小刚在中间，小明、小红在两边，有A22种安排方法，将三人看成一个整体，将整个整体与其余2人进行全排列，有A33种安排方法，此时有A33×A22=12种排法，则共有24+12=36种安排方法；故答案为：36．根据题意，分2种情况讨论：①、小刚与小红不相邻，②、小刚与小红相邻，由排列、组合公式分别求出每一种情况的排法数目，由分类加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的运用，注意特殊元素优先考虑，不同的问题利用不同的方法解决如相邻问题用捆绑，不相邻问题用插空等方法．20.(1−3x)7的展开式中x2的系数为______ ．【答案】7【解析】解：由于(1−3x)7的展开式的通项公式为T r+1=C7r⋅(−1)r⋅x r3，令r3=2，求得r=6，可得展开式中x2的系数为C76=7，故答案为：7．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得展开式中x2的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题21.已知C203x=C20x+4，则x=______ ．【答案】2或4【解析】解：∵C203x=C20x+4，则3x=x+4，或3x+x+4=20，解得x=2或4．故答案为：2或4．由C203x=C20x+4，可得3x=x+4，或3x+x+4=20，解出即可得出．本题考查了组合数的计算公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．22.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出三台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有______ 种.【答案】70【解析】解：甲型电视机2台和乙型电视机1台，取法有C42C51=30种；甲型电视机1台和乙型电视机2台，取法有C41C52=40种；共有30+40=70种．故答案为：70任意取出三台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，有两种方法，一是甲型电视机2台和乙型电视机1台；二是甲型电视机1台和乙型电视机2台，分别求出取电视机的方法，即可求出所有的方法数．本题考查组合及组合数公式，考查分类讨论思想，是基础题．23.一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是______ ．【答案】49【解析】解：一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2．将这个小正方体抛掷2次，向上的数之积可能为ξ=0，1，2，4，P(ξ=0)=C31C31+C31C31+C31C31C61C61=34，P(ξ=1)=C21C21C61C61=19，P(ξ=2)=C21C11+C11C21C61C61=19，P(ξ=4)=C11C11C61C61=136，∴Eξ=19+29+436=49．故答案为：49．一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2.将这个骰子掷两次得到结果有三种情况，使得它们两两相乘，得到变量可能的取值，结合事件做出概率和期望．数字问题是概率中经常出现的题目，一般可以列举出要求的事件，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的可以借助于排列数和组合数来表示．24.把5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分发种数为______.(用数字作答)【答案】240【解析】解：由题意知先把5本书中的两本捆起来看做一个元素共有C52，这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列共有A44，∴分法种数为C52⋅A44=240．故答案为：240．由题意知先把5本书中的两本捆起来看做一个元素，这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列，根据分步计数原理两个过程的结果数相乘得到结果．排列组合问题在几何中的应用，在计算时要求做到，兼顾所有的条件，先排约束条件多的元素，做的不重不漏，注意实际问题本身的限制条件．25.从4名男同学和6名女同学中选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的不同选法种数是______(用数字作答)【答案】96【解析】解：根据题意，在4名男同学和6名女同学共10名学生中任取3人，有C103=120种，其中只有男生的选法有C43=4种，只有女生的选法有C63=20种则选出的3人中男女同学都有的不同选法有120−4−20=96种；故答案为：96．根据题意，用间接法分析：首先计算在10名学生中任取3人的选法数目，再分析其中只有男生和只有女生的选法数目，分析即可得答案．本题考查排列、组合的应用，注意利用间接法分析，可以避免分类讨论．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）26.已知(2x√x)n展开式前两项的二项式系数的和为10．(1)求n的值．(2)求出这个展开式中的常数项．【答案】解：(1)∵(2x√x)n展开式前两项的二项式系数的和为10∴C n0+C n1=10，解得n=9；(2)∵(2x√x )n展开式的通项T r+1=C n r(2x)n−r(√x)r=2n−r C n r x n−3r2----8分∴令n−3r2=0且n=9得r=6，∴(2x+√x)n展开式中的常数项为第7项，即T7=29−6⋅C96=672．【解析】(1)根据二项式展开式得到前两项的系数，根据系数和解的n的值，(2)利用展开式的通项，求常数项，只要使x的次数为0即可．本题主要考查了二项式定理，利用好通项，属于基础题．27.已知n为正整数，在二项式(12+2x)n的展开式中，若前三项的二项式系数的和等于79．(1)求n的值；(2)判断展开式中第几项的系数最大？【答案】解：(1)根据题意，C n0+C n1+C n2=79，即1+n+n(n−1)2=79，整理得n2+n−156=0，解得n=12或n=−13(不合题意，舍去)所以n=12；…(5分)(2)设二项式(12+2x)12=(12)12⋅(1+4x)12的展开式中第k+1项的系数最大，则有{C12k⋅4k≥C12k−1⋅4k−1 C12k⋅4k≥C12k+1⋅4k+1，解得9.4≤k≤10.4，所以k=10，所以展开式中第11项的系数最大.…(10分)【解析】(1)根据题意列出方程C n0+C n1+C n2=79，解方程即可；(2)设该二项式的展开式中第k+1项的系数最大，由此列出不等式组，解不等式组即可求出k的值．本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了转化思想与不等式组的解法问题，是综合性题目．28.已知二项式(1+√2x)n=a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n(x∈R，n∈N)(1)若展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的3倍，求n的值；(2)若n为正偶数时，求证：a0+a2+a4+a6+⋯+a n为奇数．(3)证明：C n1+2C n2⋅2+3C n3⋅22+⋯+nC n n⋅2n−1=n⋅3n−1(n∈N+)【答案】解：(1)由题意可得C n 4=3⋅C n 2(√2)2，∴n =11．(2)证明：当n 为正偶数时，则a 0+a 2+a 4+a 6+⋯+a n =1+2C n 2+22⋅C n 4+⋯+2n2⋅C n n ， 除第一项为奇数外，其余的各项都是偶数，故1+2C n 2+22⋅C n 4+⋯+2n2⋅C nn 为奇数， 即a 0+a 2+a 4+a 6+⋯+a n 为奇数．(3)∵kC n k =n ⋅C n−1k−1， ∴C n 1+2C n 2⋅2+3C n 3⋅22+⋯+nC n n ⋅2n−1=n(C n−10+C n−11×2+C n−12×22+⋯+C n−1n−1×2n−1) =n ⋅(1+2)n−1=n ⋅3n−1．【解析】(1)直接利用条件可得C n 4=3⋅C n 2(√2)2，由此求得n 的值．(2)当n 为正偶数时，则a 0+a 2+a 4+a 6+⋯+a n =1+2C n 2+22⋅C n 4+⋯+2n2⋅C nn ，除第一项为奇数外，其余的各项都是偶数，从而证得结论．(3)由kC n k =n ⋅C n−1k−1，可得C n 1+2C n 2⋅2+3C n 3⋅22+⋯+nC n n ⋅2n−1=n(C n−10+C n−11×2+C n−12×22+⋯+C n−1n−1×2n−1)，再利用二项式定理证得所给的等式成立．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．29. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会，问：(Ⅰ)如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？(Ⅱ)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？ (Ⅲ)如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？【答案】解：(Ⅰ)根据题意，从5名男生中选出2人，有C 52=10种选法，从4名女生中选出2人，有C 42=6种选法，则4人中男生和女生各选2人的选法有10×6=60种；(Ⅱ)先在9人中任选4人，有C 94=126种选法，其中甲乙都没有入选，即从其他7人中任选4人的选法有C 74=35种， 则甲与女生中的乙至少要有1人在内的选法有126−35=91种；(Ⅲ)先在9人中任选4人，有C 94=126种选法，其中只有男生的选法有C 51=5种，只有女生的选法有C 41=1种， 则4人中必须既有男生又有女生的选法有126−5−1=120种．【解析】(Ⅰ)根据题意，分别计算“从5名男生中选出2人”和“从4名女生中选出2人”的选法数目，由分步计数原理计算可得答案；(Ⅱ)用间接法分析：先计算在9人中任选4人的选法数目，再排除其中“甲乙都没有入选”的选法数目，即可得答案；(Ⅲ)用间接法分析：先计算在9人中任选4人的选法数目，再排除其中“只有男生”和“只有女生”的选法数目，即可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，(Ⅱ)(Ⅲ)中可以选用间接法分析．30. 某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的排节目单的方法种数：(1)一个唱歌节目开头，另一个压台； (2)两个唱歌节目不相邻；(3)两个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．【答案】解：(1)先排歌曲节目有A 22种排法，再排其他节目有A 66种排法，所以共有A 22A 66=1440种排法．(2)先排3个舞蹈节目，3个曲艺节目，有A 66种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排歌曲节目，有A 72种插入方法，所以共有A 66A 72=30240种排法．(3)两个唱歌节目相邻，用捆绑法，3个舞蹈节目不相邻，利用插空法，共有A 44A 53A 22=2880种． 【解析】(1)先排歌曲节目，再排其他节目，利用乘法原理，即可得出结论； (2)先排3个舞蹈，3个曲艺节目，再利用插空法排唱歌，即可得到结论；(3)两个唱歌节目相邻，用捆绑法，3个舞蹈节目不相邻，利用插空法，即可得到结论．本题考查排列组合知识，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．。
高中排列组合知识点 高二数学选修2-3排列组合易错知识点总结
《高中排列组合知识点高二数学选修2-3排列组合易错知识点总结》摘要：()()()(+)!()!(规定0!)，()()!!(()!!);()();，()(+);!()!(!是阶乘);(两分别上标和下标)!;0!;(下标上标)排列组合是高二数学选修3教学重要容了助高二学生掌握排列组合容下面编给带高二数学选修3排列组合易错知识希望对你有助高二数学排列组合错知识排列组合问题依据是分类相加分步相乘有序排列无序组合排列组合问题规律是相邻问题捆绑法;不邻问题插空法;多排问题单排法;定位问题优先法;定序问题倍缩法;多元问题分类法;有序分配问题法;选取问题先排排法;至多至少问题接法二项式系数与展开式某项系数易混r+项二项式系数二项式系数项与展开式系数项易混二项式系数项项或两项;展开式系数项法要用不等式组确定r3你掌握了三种常见概率公式吗?(①等可能事件概率公式;②斥事件有发生概率公式;③相独立事件发生概率公式)分布列答题你能把步骤写全吗?5如何对总体分布进行估计?(用样估计总体是研究统计问题基思想方法般地样容量越这种估计就越精确要能画出频率分布表和频率分布直方图;理频率分布直方图矩形面积几何义)6你还记得般正态总体如何化标准正态总体吗?(对任正态总体说取值x概率其表示标准正态总体取值概率)高二数学选修3知识排列及计算公式从不元素任取()元素按照定顺序排成列叫做从不元素取出元素排列;从不元素取出()元素所有排列数叫做从不元素取出元素排列数用()表示()()()(+)!()!(规定0!)组合及计算公式从不元素任取()元素并成组叫做从不元素取出元素组合;从不元素取出()元素所有组合数叫做从不元素取出元素组合数用()表示()()!!(()!!);()();3其他排列与组合公式从元素取出r元素循环排列数(r)r!r(r)!元素被分成k类每类数分别是k这元素全排列数!(!!k!)k类元素每类数无限从取出元素组合数(+k)排列((下标上标))()(+);!()!(!是阶乘);(两分别上标和下标)!;0!;(下标上标)组合((下标上标));!!()!;(两分别上标和下标);(下标上标);公式是指排列从元素取R进行排列公式是指组合从元素取R不进行排列元素总数R参与选择元素数!阶乘如9!987653从倒数r表达式应该()()(r+);因从到(r+)数(r+)r高二数学学习方法()记数学笔记特别是对概念理不侧面和数学规律教师课堂拓展课外知识记录下你觉得有价值思想方法或例题以及你还存问题以便今将其补上()建立数学纠错把平容易出现错误知识或推理记下以防再犯争取做到错、析错、改错、防错达到能从反面入手深入理正确东西;能由朔因把错误原因弄水落石出、以便对症下药;答问题完整、推理严密(3)熟记些数学规律和数学结论使己平运算技能达到了动化或半动化熟练程()常对知识结构进行梳理形成板块结构实行整体集装如表格化使知识结构目了然;常对习题进行类化由例到类由类到多类由多类到统;使几类问题归纳知识方法(5)数学课外籍与报刊参加数学学科课外活动与讲座多做数学课外题加学力拓展己知识面(6)及复习强化对基概念知识体系理与记忆进行适当反复巩固消灭前学忘(7)学会从多角、多层次地进行总结归类如①从数学思想分类②从题方法归类③从知识应用上分类等使所学知识系统化、条理化、专题化、络化(8)常做题进行定反思思考下题所用基础知识数学思想方法是什么什么要这样想是否还有别想法和法题分析方法与法其它问题是否也用到(9)无论是作业还是测验都应把准确性放位通法放位而不是味地追速或技巧这是学数学重要问题猜你感兴趣高二数学排列与组合知识总结高二数学选修知识总结3高二上学期数学复习知识归纳高二数学排列组合题技巧5高二上数学知识总结607高二数学排列组合公式知识总结。
高二数学选修2-3排列组合测试题2
高二数学选修2-3排列组合测试题2一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为()A．18 B．24 C．30 D．362．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边，（A，B可以不相邻）那么不同的排法有（）A．24种B．60种C．90种D．120种3．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有（）A．2人或3人B．3人或4人C．3人D．4人4．从0，1，2，…，9这10个数字中，任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点的坐标，能够确定不在x轴上的点的个数是（）A．100 B．90 C．81 D．725．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有() A．30种B．35种C．42种D．48种6．(2010·全国Ⅱ理，6)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( ) A．12种B．18种C．36种D．54种7．某科技小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选的不同选法有16种，则小组中的女生数为() A．2 B．3 C．4 D．58．从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为() A．300 B．216 C．180 D．1629．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有() A．252种B．112种C．20种D．56种10．从集合{1,2,3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中任何两个数的和不等于11，则这样的的子集共有() A．10个B．16个C．20个D．32个11．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( ) A．30种B．35种C．42种D．48种12．已知直线ax＋by－1＝0(a，b不全为0)与圆x2＋y2＝50有交点，且交点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有()二、填空题13．设集合A中有3个元素，集合B中有2个元素，可建立A→B的映射的个数为____8____．14．设椭圆x2m＋y2n＝1的焦点在y轴上，m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆个数为________20________．15．已知m∈{3,4,5}，n∈{0,2,7,8}，r∈{1,8,9}，则方程(x－m)2＋(y－n)2＝r2可以表示不同圆____36____个．16．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有____11____种．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17、六个人按照下列要求站成一排：（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙相邻，且丙、丁不相邻（5）甲、乙站两端；（6）甲、乙、丙按从左到右，从高到矮的顺序．（7）甲、乙之间恰好间隔两人；（8）甲不站左端、乙不站右端；18、有9本不同的书，按下列方式分配，有多少种不同的分配方式？（1）一人得4本，一人得3本，一人得2本；（2）甲得4本，乙得3本，丙得2本；（3）平均分成三份，每份3本；（4）甲、乙、丙分别得3本；19、用0,1,2,3,4,5这六个数字：（1）可以组成多少个数字不重复的三位数；（2）可以组成多少个数字不重复的四位偶数；（3）可以组成多少个数字不重复的五位奇数；（4）可以组成多少个数字不重复的能被5整除的数；（4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数；20、口袋中有10个编号不同的球，其中6个白球，4个红球，规定取到一个白球得1分，取到一个红球得2分，现从袋中任取4个球，欲使总分不少于5分，这样的取法有多少种？21、从7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？（1）甲、乙两人必须当选；（2）甲、乙两人必不当选；（3）甲、乙两人不全当选；（4）至少有2名女生当选；（5）选取3名男生和2名女生分别担任班长、体委等5种不同的工作，但体委必须由男生担任，班长必须由女生担任。
专题04 排列组合与二项式定理(解析版)--高二数学专题解析
专题04排列组合与二项式定理--高二数学专题解析知识点一：排列1：排列≤)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不（1）定义：一般地,从n个不同元素中取出m(m n同元素中取出m个元素的一个排列.（2）相同排列：两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.2：排列数与排列数公式1：组合（1）定义：一般地：从n个不同的元素中取出m(m n≤)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合.（2）相同组合：只要两个组合的元素相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合.（3）组合与排列的异同≤)个元素”.相同点:组合与排列都是“从n个不同的元素中取出m(m n不同点:组合要求元素“不管元素的顺序合成一组”,而排列要求元素“按照一定的顺序排成一列”因此区分某一问题是组合问题还是排列问题,关键是看选出的元素是否与顺序有关,即交换某两个元素的位置对结果有没有影响,若有影响,则是排列问题，若无影响，则是组合问题.2：组合数与组合数公式（1）组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m n≤)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元3：组合数的性质b一、单选题1．在()5232x x ++的展开式中x 的系数是（）A ．160B ．180C ．240D ．210【答案】C【分析】根据二项式的定义可知有4个因式中取2，1个因式中取3x 项，即可得解.【详解】在()5232x x ++的展开式中，要得到含x 的项，则有4个因式中取2，1个因式中取3x 项，故x 的系数为445C 32240⨯⨯=．故选：C7．高三（一）班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有________种不同的排法．【答案】3600【答案】20【分析】根据题意，先对【详解】对于6盏不同的花灯进行取下，可先对因为取花灯每次只能取一盏，且只能从下往上取，又因为每串花灯先后顺序已经固定，所以除去重复的排列顺序，所以共有663333A20 A A=故答案为：20.13．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(4)6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒．x16．（多选题）若()32+n x（=20．（多选题）有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（）A ．若丙在甲、乙的中间（可不相邻）排队，则不同的排法有20种B ．若五位同学排队甲不在最左端，乙不在最右端，则不同的排法共有78种C ．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且甲、丙不能相邻，则不同的排法有36种D ．若甲、乙、丙、丁、戊五位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每位同学只去一个社区，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有150种【答案】BCD【分析】对于A ：讨论甲、乙之间有几位同学，分析运算即可；对于B ：讨论甲、乙所在位置，分析运算即可；对于C ：先求甲、乙相邻的安排方法，再排除甲、乙相邻且甲、丙相邻的安排方法；对于D ：先将学生安排出去，再排除有小区没有人去的可能.【详解】对于选项A ：可知有三种可能：甲、乙之间只有一位同学，则不同的排法有2323A A 12=种；甲、乙之间有两位同学，则不同的排法有12222222C A A A 16=种；甲、乙之间有三位同学，则不同的排法有2323A A 12=种；不同的排法共有12161240++=种，故A 错误；对于选项B ：可知有四种可能：甲在最右端，乙在最左端，则不同的排法有33A 6=种；甲在最右端，乙不在最左端，则不同的排法有1333C A 18=种；甲不在最右端，乙在最左端，则不同的排法有1333C A 18=种；甲不在最右端，乙不在最左端，则不同的排法有2333A A 36=种；不同的排法共有618183678+++=种，故B 正确；对于选项C ：若甲、乙相邻，则不同的排法有2424A A 48=种；若甲、乙必须相邻且甲、丙相邻，则不同的排法有2323A A 12=种；不同的排法共有481236-=种，故C 正确；对于选项D ：若每位同学只去一个社区，则不同的排法有53243=种；若有小区没有人去，则有两种可能：所有人去了一个小区，则不同的排法有13C 3=种；所有人去了两个小区，则不同的排法有()25132C 2C 90-=种；不同的排法共有()243390150-+=种，故D 正确；故选：BCD.21．将5名学生分到A ，B ，C 三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A 宿舍的不同分法有__________．原理即可得出答案.【详解】首位是1，第二位是0，则后三位可以用剩下的数字全排列，共有33A 6=个，前两位是12，第三位是0，后两位可以用余下的两个数字进行全排列，共有22A 2=种结果.前三位是123，第四位是0，最后一位是4，只有1种结果，∴数字12340前面有6+2+1=9个数字，数字本身就是第十个数字.故答案为：10.27．重新排列1，2，3，4，5，6，7，8．(1)使得偶数在原来的位置上，而奇数不在原来的位置上，有多少种不同排法？(2)使得偶数在奇数的位置上，而奇数在偶数的位置上，有多少种不同的排法？(3)使得偶数在偶数位置上，但都不在原来的位置上；奇数在奇数位置上，但也都不在原来的位置上，有多少种不同的排法？(4)如果要有数在原来的位置上，有多少种不同的排法？(5)如果只有4个数在原来的位置上，有多少种不同的排法？(6)如果至少有4个数在原来的位置上，有多少种不同的排法？(7)偶数在偶数位置上；但恰有两个数不在原来位置上，奇数在奇数位置上，但恰有两个数不在原来位置上，有多少种不同排法？(8)偶数在偶数位置上，且至少有两个数不在原来位置上；奇数在奇数位置上，也至少有两个数不在原来位置上，有多少种不同排法？【答案】(1)9；(2)576；(3)81；(4)25487；(5)630；(6)771；(7)36；(8)225.【分析】（1）利用匹配问题错排公式求解；（2）利用乘法分步原理求解；（3）利用匹配问题求解；（4）用排除法．对8个数进行全排列，再减去没有数在原来的位置上的排法，即得解；（5）利用乘法分步原理求解；（6）用排除法．先对8个数进行全排列，再去掉恰有i 个数在原来位置上的排法()0123i =,,,，即得解；（7）利用匹配问题和分步乘法原理得解；。
排列组合二项式定理综合测试卷(B卷)
演练篇 核心考点AB 卷 """""t""高二数学 2021年5月 T 于王"排"#合二&式（）综合测试卷（B -）■河南省南乐县第一高级中学吉晓波D. 3医院了：果店一、选择题1 -已知 A ' = 100 A ',则'=（ ）。
A. 11 B. 12#. 13 D. 142. 满足条件C ）>#6的正整数"的个数是（ ）。
A. 10B. 9#. 43. 小张从家出发去看望生病的同学，他需要先去 水果店买水果，然后 去花店买花，最后到达医院。
相关.........................的网格纸上，网格线是道........图1路，则小张所走路程最短的走法种数为！）。
A. 72B. 56#. 48 D. 404. 在一-次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙3人中产生，那么不同的夺冠情况共有（）种。
A. A ）B. 43#. 34 D. #3/ 2 \ 65. （2' — 3；?"的展开式中'3的系数为（ ）。
#. 64D. —1286. 由0,1,2,5四个数组成没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数是（）$A. 24B. 12#. 10 D. 67. 从2名教师和5名学生中选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动，要求入选的3人中至少有1名教师，则不同的选取方案数是（ ）$A. 20B. 25#. 30 D. 558. 将4张座位编号分别为1,2,3,4的电影票全部分给3人，每人至少1张$如果分给同一人的2张电影票具有连续的编号，那 么不同的分法数是！）$A. 24B. 18#. 12 D. 69.从6种不同的颜色中选出一些颜色给如图2所示的4个格子涂色，每个格子涂图2一种颜色，且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法有（）$A.360 种B.510 种#.630 种 D.750 种10.如图 3, *MON的边O8上有4个点A i 、A 2、A 3、A 4,ON 上有 3 个点 21、22、2,，则以 O 、A 1>A 2>A 3>A 4>21、22、23中的3个点为顶点的三角形的个数为（）$A. 30B. 42#. 54 D. 5611. A 、2、C 、/4名学生报名参加学校的 甲、乙、丙、丁 4个社团，若学生A 不参加甲社团，2不参加乙社团，且4名学生每人报一个社团，每个社团也只能1人报名，则不同的 报名方法数为（ ）$A. 14B. 18#. 12 D. 412.为了提高命题质量，命题组指派5名 教师对数学卷的选择题、填空 题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派1名教师的不同分派方法种数为（ ）$A. 90B.36#. 150D. 10813. 2020年春节期间新型冠状病毒肺炎疫情在湖北爆发，为了打赢疫情防控阻击战&某医院呼吸科要从3名男医生，2名女医生中选派3人到湖北省的A , 2, C 三地参加疫情防控工作，若这3人中至少有1名女医生&则选派方案有（ ）$A. 9 种B. 12 种#. 54 种D.72 种14.（2------2）（1 + "y ）6 展开式中'23315中孝生皋捏化演练篇核心考点AB卷高二数学2021年5月项的系数为160,则a=!"$A.2B.4C-—22-—2215.计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列,要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列种数为！"$A.A4A5B.A3A4A5C.C1A4A5 2.A2A4A516.若（2+a'"$（a（0）的展开式中各项的二项式系数之和为512,且第6项的系数最大，则a的取值范围为（"$A.（—7,0）UC.+317.已知二项式（1+丄一2'），则展开式中常数项为！)$A.49B.—47C.—1 2.11）已知二项式（2'2+1）的展开式中二项式系数之和等于64,则展开式中常数项等于（）A.240B.120C.48 2.361*.某校实行选科走班制度（语文、数学、英语为必选科目，此外学生需在物理、化学、生物、历史、地理、政治六科中任选三科），根据学生选科情况，该校计划利用三天请专家对九个学科分别进行学法指导，每天依次安排三节课，每节课一个学科，语文、数学、英语只排在第二节，物理、政治排在同一天，化学、地理排在同一天，生物、历史排在同一天，则不同的排课方案数为（）$A.36B.48C.144 2.28820.包括甲、乙、丙3人的7名同学站成一排拍纪念照，其中丙站正中间，甲不站在乙的左边，且不与乙相邻，则不同的站法有（）$A.240种B.252种C.264种 2.288种21.已知（3—'）（2'—3）8"a$+a1（'—1）+a2（'—1）2+…+a g（'—1）9,则a6"（）$A.—1792B.1792C.—5376 2.537622.5名护士上班前将外衣放在护士站,下班后从护士站取外衣，由于灯光暗淡，只有2人拿到了自己的外衣，另外3人拿到别人外衣的情况有！）$A.60种B.40种C.20种 2.10种23.停车场划出一排9个停车位置，今有5辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有！）$A.A5种B.2A5A4种C.5A5种 2.6A5种24.从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（）$A.C；—12B.C；—8C.C4—6 2.C8—425.从装有$+1个不同小球的口袋中取出,个小球（0V，'$,,,$#N$）,共有C,+1种取法$在这C,+1种取法中，可以分为两类：第一类是某指定的小球未被取到，共有C$・C,种取法；第二类是某指定的小球被取到，共有C1・C,1种取法。
高中数学排列组合及二项式定理知识点
高中数学排列组合及二项式定理知识点高中数学之排列组合二项式定理一、分类计数原理和分步计数原理：分类计数原理：完成某事有多种不同的方法，这些方法间是彼此独立的，任选其中一种方法都能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的和。
分步计数原理：完成某事必须分成几个步骤，每个步骤都有不同的方法，而每个步骤中的任何一种方法与下一步骤中的每一个方法都可以连接，只有依次完成所有各步，才能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的积。
区别：如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事，则选用分类计数原理，即类与类之间是相互独立的，即“分类完成”；如果只有当n个步骤都做完，这件事才能完成，则选用分步计数原理，即步与步之间是相互依存的，连续的，即“分步完成”。
二、排列与组合：1）排列与组合的区别和联系：都是研究从一些不同的元素中取出n个元素的问题；区别：前者有顺序，后者无顺序。
2）排列数、组合数：排列数的公式：Ann(n-1)(n-2)。
(n-m+1)=n。
注意：①全排列：Ann。
②记住下列几个阶乘数，1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；排列数的性质：①AnnAn-1将从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，分两步完成：第一步从n个元素中选出1个排在指定的一个位置上；第二步从余下n-1个元素中选出m-1个排在余下的m-1个位置上）②AnmAn-1An-1将从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，分两类完成：第一类：m个元素中含有a，分两步完成：第一步将a排在某一位置上，有m不同的方法。
第二步从余下n-1个元素中选出m-1个排在余下的m-1个位置上）即有mAn-1种不同的方法。
第二类：m个元素中不含有a，从n-1个元素中取出m个元素排在m个位置上，有An-1种方法。
组合数的公式：Cmnmm!(n-m)!/m!组合数的性质：CnCn从n个不同的元素中取出m个元素后，剩下n-m个元素，也就是说。
高中数学排列组合 组合(2)ppt课件
将16个小球串成一串，截为4段有 C135 455
种截断法，对应放到4个盒子里.
因此，不同的分配方案共有455种 .
03.05.2020
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5.剪截法：
n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个 盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球 串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段.
1.2.2 组合(2)
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1
1. 分组（堆）问题 分组（堆）问题的六个模型：①无序不等分；
②无序等分；③无序局部等分；(④有序不等分； ⑤有序等分；⑥有序局部等分.)
处理问题的原则：
①若干个不同的元素“等分”为 ｍ个堆,要将选 取出每一个堆的组合数的乘积除以m!
②若干个不同的元素局部“等分”有 ｍ个均等堆, 要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! ③非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘
（C）
A.6
B.12
C.72
D.144
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小结
①分堆问题； ②解决排列、组合问题的一些常用方法： 错位法、剪截法（隔板法）、捆绑法、 剔除法、插孔法、消序法(留空法).
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今日作业
P27 习题1.2 10、 11
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14
例7. 从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直 线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标 原点的直线有_________条.
解：所有这样的直线共有 A73 210 条， 其中不过原点的直线有 A61A62 180条，
高中数学排列二的教案
高中数学排列二的教案
年级：高中
课时：1课时
一、教学目标
1. 了解排列与组合的基本概念与性质。
2. 掌握排列与组合的计算方法。
3. 能够运用排列与组合的知识解决实际问题。
二、教学重点与难点
重点：排列与组合的基本概念及计算方法。
难点：灵活运用排列与组合知识解决实际问题。
三、教学准备
1. 教材：高中数学教材《数学排列与组合》相关章节内容。
2. 教具：黑板、彩色粉笔、教学PPT、习题练习册等。
四、教学步骤
步骤一：导入（5分钟）
教师通过引入现实生活中的例子来引起学生的兴趣，如：排队买餐、选班干部等。
然后引入排列和组合的概念。
步骤二：概念讲解（15分钟）
1. 讲解排列与组合的定义及区别。
2. 介绍排列与组合的计算公式并通过示例进行说明。
3. 教师讲解排列组合知识要点，引导学生掌握。
步骤三：练习与讨论（20分钟）
1. 按照课本上的排列与组合的练习题进行训练。
2. 学生自主讨论解题思路，并解析答案。
3. 老师针对难点继续讲解。
步骤四：总结与作业布置（10分钟）
1. 整理本节课的重点知识点与难题。
2. 布置相关作业，要求学生查漏补缺，巩固提高。
五、课后反思
通过教学实施，评估学生对排列与组合的理解程度和能力，为下节课教学提供参考。
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•
从6名短跑运动员中选4人参加
4×100 m接力，如果其中甲不能跑第一棒，
乙不能跑第四棒，问共有多少种参赛方法?
• 解：问题分成三类：(1)甲、乙两人均不参
• 加(2)，甲有、乙A44两种人；有且仅有一人参加，
•有 •
种； C21 A31 A43
5
• (3)甲、乙两人均参加，其中甲跑
• 第四棒有 C42 A种33 ，甲跑第二棒或 • 第三棒有 C21C21 A种42 ，
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• 解：(1)有且只有三个人的编号与座位号
一 的致编的号坐与法座有位号一C5致3种的，坐有法且有只1有种五. 个人
• 因为五个人任意坐在五个位置上的坐法
有
•A55 -
A55
C53
种，所以符合要求的坐法共有
-1=109(种).
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• (2)从A、B中各取一个数作为点的坐标，
有 C51C51 A个22 .
每校至少1人，有多少种不同的分配方法?
• 解法1：先取人，后取学校.
• •
1，1，1，3：6人中先取3人有
与所剩以余共有3C人63分A44到4所种学分校法去；有A44
种C种不63 取同法分，法，
10
• 1，1，2，2：6人中取2人、2人、1人、
• 1人的取法有 • 学校去，有
ACA 2262A 4C4 2422种C种21不，同然的后分分法到，4所
20
12
参考题
题型 3 间接法解排列、组合综合应用题
• 1. (1)编号为1，2，3，4，5的五个人分别坐 在编号为1，2，3，4，5的五个座位上，求 至多有两个人的编号与座位号一致的坐法种 数.
• (2)设集合A={3，4，5，6，7}，B={4，5，6， 7，8}，从A、B中各取一个数作为点的坐标， 求一共可得到多少个不同的坐标?
• •
所 1，以1共，有2，2C：41C先63取C312C个21C位1种1 子；放2人(其余2个
• • •
位 人 共子，有放2人1人，)1有人，C1种人42 取种的法.取，法6有人中C分62C别42C取21C211种，
• 所以符C合42条C6件2C的42C分21C配11 方法有
•
=1560种.
C41C63C31C21 C42C62C42C21
18
• 2.解排列、组合应用题的基本方法是：①直 接法：直接列出符合条件的所有排列或组合， 再求出排列数或组合数；②间接法：不考虑 限制条件计算出排列数或组合数，再减去不 符合条件的排列数或组合数，余下的就是满 足条件的方法数；③分类法：选定一个适当 的标准，将事件分成n个类型，分别计算出各 类型的方法数，再由分类计数原理得出结论； ④分步法：选定一个适当的标准，将事件分 成n个步骤来完成，分别计算出各步骤的方法 数，再由分步计数原理得出结论.
• 中 由的分两类12个计C42，数 A有 原42 理，共有 种放法.
•
C43·A42 12C42 A42 =84(种).
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• 1.求解排列、组合应用题的一般步骤是：① 弄清事件的特性，把具体问题化归为排列问 题或组合问题，其中“有序”是排列问题， “无序”是组合问题；②通过分析，对事件 进行合理的分类、分步，或考虑问题的反面 情况；③分析上述解法中有没有重复和遗漏 现象，若有，则计算出重复数和遗漏数；④ 列出算式并计算作答.
2
• 解：(1)先排前4次测试，只能取正品，
• 有 A种64不同测试方法，再从4件次品中选2
• 件排在第5和第10的位置上测试，
• 有 C42 A22 A种42 测法，再排余下4件的测试
• 位置，有 A种44 测法.
• 所以共有不同的测试
• 方法 A64 A42 A=44103680种.
• (2)第5次测试恰找到最后一件次品，另3件
• 的球由个放分数入步分四计成个数三盒原组子理，中，有的共三有个C，C42种42有分·A4法3=A143；放44再法(种将. ).三组
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• (2)分两类：①将四个小球按3，1的个数分 成两组，再将这两组球放入四个盒子中的 两个，有C43·A42 种放法；②将四个小球平 均分成两组，再将这两组球放入四个盒子
• 由分类计数原理，共
• A44 C21 A31A43 (C42 A33 C21C21 A42 ) =252种.
6
题型2 排列、组合中的分组问题
• 3.6项不同的工程，分别给甲、乙、丙三 个公司.
• (1)如果甲承包一项、乙承包二项、丙承包 三项，有多少种承包方式?
• (2)如果一个公司承包一项，另一个公司承 包两项，剩下的一个公司承包三项，有多 少种承包方式?
《排列组合综合应用》 第二课时
临清市第二中学
1
题型1 直接法解排列、组合综合应用题
• 1. 已知10件不同产品中共有4件次品，现 对它们进行一一测试，直至找到所有次品 为止.
• (1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次 品，第10次才找到最后一件次品的不同 测试方法数是多少?
• (2)若恰在第5次测试后，就找出了所有次 品，则这样的不同测试方法数是多少?
•共
C62C42C21·AA22 A44 22
种分法.
• 所以符合条件的分配方法有
• •
解法C263 A：44 先 C取62C学42C校21，·AA2后2 A44 2取2 =人1.560种.
• 1，1，1，3：取一个位子放3个人，有 C41
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• 种取法，6人中分别取3人、1人、1人、1
• 人的取法有 C63C31C21C11种，
• 其中A、B中所取元素相同时，重复4个；
从A、B中所取元素是4、5、6、7中的
•
两个数时，重复
所以共有 C51C51
A42个.
A22 - 4
-
A42=34(个).
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• 2.四个不同的小球放入四个不同的盒子里， 求在下列条件下各有多少种不同的放法?
• (1)恰有一个盒子里放2个球； • (2)恰有两个盒子不放球. • 解：(1)分两步：首先将四个小球按2，1，1
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• 点评：对分组或分配问题，先分清是 “有序”还是“无序”，然后分清是 “均匀”还是“不均匀”分组.如本题 中第(1)问就是“有序不均匀”分组问 题，第(2)问是“无序不均匀”分组； 第(3)问是“无序均匀”分组.注意它们 的区别与联系，掌握正确的处理方法.
9
•
6名运动员分到4所学校去做教练，
• 在前4次中出现，从而前4次有1件正品出现.
• 所以共有不同测试方法 C61C43 A4=4 576种. 3
• 点评：解决排列组合综合问题，应遵循三大 原则，掌握基本类型，突出转化思想.三大原 则是：先特殊后一般、先取后排、先分类后 分步的原则.基本类型主要包括：排列中的 “在与不在”、组合中的“有与没有”，还 有“相邻与不相邻”“至少与至多”“分配 与分组”等.转化思想就是把一些排列组合问 题与基本类型相联系，从而把问题转化为基 本类型，然后加以解决.
• (3)如果每个公司均承包两项，有多少种承 包方式?
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• 解：(1)从6项工程中选一项给甲有 C种61 ，
• 从余下的5项中选两项给乙有 C种52，
• 最后的3项给丙有 C种33 ，由分步计数原理
• 共有 C61C52C33 =60种.
• • • • •
(种种(解23))，，法将 解而故26法：项将有1工：三C程6组2CCC3依分4!66212CCC条给225422·CC件A甲==323323分99A、00=33为种乙种36三.、.0组种丙共.三有公司C有61C52CA3333
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• 3.解排列、组合应用题时要注意以下几方面 的技巧和策略：①受限元素优先；②受限位 置优先；③相邻元素用“捆绑”并为一个元 素；④不相邻元素用“插空”；⑤对“含有” 或“不含有”某些元素的问题，可先将这些 元素取出，再由其他元素补足；⑥对“至少” 或“至多”含有n个元素的问题，可用分类或 间接方法求解；⑦对排列、组合的混合问题， 应先组后排，分步进行；⑧对较复杂的问题 可通过分级分类求解；⑨把元素分成若干组 常用“隔板插空”等等.