(信息学奥赛辅导)排列与组合基础知识
排列、组合知识的基本问题和常见技巧
以确定走法数, ∴从M到N不同的走法种数为:
。
【变式2】从1,2,3,……17,18,这18个数中,任意取出3个, 满足3个数的和恰好被3整除,这样的取法共有多少种? 【答案】将从1到18的18个自然数按可被3整除、被3除余1、被3除 余2分为三组,每组都有6个数满足题意的取法有两类:
。
3..全排列:n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个不同元 素的全排列. 4. 阶乘:正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用n!表示.规定: 0!=1
知识点二:组合 1.定义:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素合成一组,叫做 从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合.
2.从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数称为 从n个不同元素中取出m个元素的组合数,记为
一类是从所划分的三组数中任取一组中的3个数,其和可被3整 除,这样的取法有
种; 另一类是从所划分的三组数中每组只取1个数,其和也可被3整除,这
样的取法有
种。 故满足题意的方法总数为
(种)。
2.排列组合问题的基本技巧:
(1)特殊元素,优先处理;特殊位置,优先考虑
(2)直接法和间接法
(3)捆绑法和插空法
3.挡板法
例4.10个名额分配到八个班,每班至少一个名额,问有多少种不同 的分配方法?
解析:方法一(直接法)每个班获得一个名额后,将剩下的两个 名额重新分配有两类(1)分给一个班(2)分给两个班。
方法二(挡板法)把10个名额看成十个元素,在这十个元素之间形 成的九个空中,选出七个位置放置档板,则每一种放置方式就相当于一 种分配方式。因而共
排列、组合知识复习
知识点一:排列 1.定义:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺 序排成一列,叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列.注意: (1)排列的定义中包含两个基本内容:一是“取出元素”;二是“按照 一定顺序排成一列.”这里“一定顺序”指每次取出的元素与它所排“位 置”有关.所以,取出的元素与“顺序”有无关系就成为我们判断问题是否 是排列问题的标准. (2)只有当元素完全相同,并且元素排列的顺序也完全相同时,才 是同一个排列. 2.从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数称为 从n个不同元素中取出m个元素的排列数,记为
排列与组合的基本概念知识点总结
排列与组合的基本概念知识点总结在数学中,排列与组合是一种常见且重要的概念,用于解决计数问题。
它们在组合数学、概率论、统计学等领域有着广泛的应用。
本文将对排列与组合的基本概念进行总结。
一、排列排列是指从给定的对象中选取一部分对象,按照一定的顺序进行排列的过程。
常用的符号表示为P。
排列根据是否考虑顺序的不同又可分为两类:有重复排列和无重复排列。
1. 无重复排列无重复排列是指从不同的对象中选取一部分对象,按照一定的顺序进行排列的过程。
对于n个不同的对象,如果要选取r个对象进行排列,则无重复排列数记为P(n, r)。
其计算公式为:P(n, r) = n! / (n - r)!其中,n!表示n的阶乘,即n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 3 × 2 × 1。
2. 有重复排列有重复排列是指从给定的对象中选取一部分对象,重复选取某些对象,并按照一定的顺序进行排列的过程。
对于n个对象中,其中p1个对象相同,p2个对象相同,……,pk个对象相同,选取r个对象进行排列的过程,有重复排列数记为P(n; p1, p2, ..., pk),其计算公式为:P(n; p1, p2, ..., pk) = n! / (p1! × p2! × ... × pk!)二、组合组合是指从给定的对象中选取一部分对象,不考虑顺序进行组合的过程。
常用的符号表示为C。
组合根据是否考虑选取对象的不同又可分为两类:有重复组合和无重复组合。
1. 无重复组合无重复组合是指从n个不同的对象中选取r个对象进行组合的过程。
无重复组合数记为C(n, r)。
其计算公式为:C(n, r) = n! / (r! × (n - r)!)2. 有重复组合有重复组合是指从给定的对象中选取一部分对象,重复选取某些对象,不考虑顺序进行组合的过程。
其中p1个对象相同,p2个对象相同,……,pk个对象相同,选取r个对象进行组合的过程,有重复组合数记为C(n + r -1; p1, p2, ..., pk),其计算公式为:C(n + r -1; p1, p2, ..., pk) = (n + r -1)! / (r! × p1! × p2! × ... × pk!)三、排列与组合的应用排列与组合在实际生活中有着广泛的应用。
排列与组合知识讲解
排列与组合知识讲解排列与组合是概率论中的一个重要概念,用于描述集合中元素的不同排列方式和组合方式。
在数学中,排列和组合是两种基本的计数方法,它们在解决概率和组合问题时起着至关重要的作用。
首先,让我们来了解一下排列和组合的概念。
排列是指从给定的元素集合中取出一部分元素,按照一定的顺序排列的方式。
而组合是指从给定的元素集合中取出一部分元素,不考虑元素的排列顺序。
简而言之,排列考虑元素的顺序,组合不考虑元素的顺序。
接下来,让我们分别来看一下排列和组合的计算公式。
排列的计算公式为P(n, k) = n! / (n-k)!,其中n表示元素的总数,k表示取出的元素的个数。
组合的计算公式为C(n, k) = n! / (k!(n-k)!),其中n和k的含义同排列的计算公式。
举个例子来说明排列和组合的计算方法。
假设有5个不同的球,要从中选出3个球排成一列,这就是一个排列问题。
根据排列的计算公式,我们可以得到排列的结果为P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 60。
也就是说,有60种不同的排列方式。
如果是组合问题,要从5个不同的球中选出3个球,不考虑排列顺序,这就是一个组合问题。
根据组合的计算公式,我们可以得到组合的结果为C(5, 3) = 5! / (3!(5-3)!) = 10。
也就是说,有10种不同的组合方式。
排列和组合的应用非常广泛,特别是在概率论和组合数学中。
在解决排列和组合问题时,需要根据具体情况选择合适的计算方法,正确应用排列和组合的计算公式。
排列和组合的概念和计算方法,不仅在数学中有重要的意义,也在实际生活中有着广泛的应用,是我们理解和解决各种概率和组合问题的基础。
(信息学奥赛辅导)排列和组合基础知识
排列与组合基础知识有关排列与组合的基本理论和公式:加法原理:做一件事,完成它可以有n 类办法,在第一类办法中有m 1种不同的方法,在第二类中办法中有m 2种不同的方法,……,在第n 类办法中有m n 种不同方法。
那么完成这件事共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法,这一原理叫做加法原理。
乘法原理:做一件事,完成它需要分成n 个步骤,做第一步有m 1种不同的方法,做第二步有m 2种不同的方法,……,做第n 步有m n 种不同的方法,那么完成这件事共有N =m 1×m 2×…×m n种不同的方法,这一原理叫做乘法原理。
公式:阶乘公式!(1)(2)321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅,规定0!=1;全排列公式!n n P n = 选排列公式!(1)(2)(1)()!m n n P n n n n m n m =---+=-、m m m n n m P C P = 圆排列:n 个不同元素不分首位围成一个圆圈达到圆排列,则排列数为:!(1)!n n n =- 组合数公式(1)(2)(1)!!!()!m mn n m m P n n n n m n C P m m n m ---+===-、规定01n C = m n m n n C C -=、11m m m n n n C C C -+=+、0122n n n n n n C C C C ++++=)提示:(1)全排列问题和选排列问题,都可根据乘法原理推导出来。
(2)书写方式:r n P 记为P (n,r );rn C 记为C (n,r )。
加法原理例题:图1中从A 点走到B 点共有多少种方法?(答案:4+2+3=9)乘法原理例题:图2中从A 点走到B 点共有多少种方法?(答案:4×6=24)加法原理与乘法原理综合:图3、图4中从A 走到B 共有多少种方法?(答案:28、42) A B 图1 A B图2A B 图3 A B图4注意:在信息学奥赛中,有许多只需计数而不需具体方案的问题,都可以通过思维转换或方法转换,最后变为两类问题:一类是转变为排列组合问题,另一类是转变为递推公式问题。
排列与组合知识点资料
排列与组合知识点资料一、排列的重点名词术语1、什么是排列?排列就是从指定数量的元素中取出确定个数的元素进行有序的排列。
2、什么是全排列?它的定义是,把n个不同的元素按照一定的顺序排成一列,叫做n个不同元素的全排列。
它的计算公式是:pⅴn]=n(n-1)(n-2)…3.2.1注意:右边是前个n个自然数的连乘积,用符号n!表示,读作n 的阶乘。
公式(P)可以写成Pⅴn]=n!例如计算:Pv5解:Pv5]=1ⅹ2x3x4ⅹ5=120由此我们总结出阶乘的定义:自然数从1到n的连乘积叫做n的阶乘,用符号n!表示。
3、什么叫做选排列?它的定义是:从m个不同的元素中,每次取出n(n<m)个不同的元素,按着一定的顺序排成一列叫做从m个不同的元素中每次取n个不同元素的选排列。
注意:所有不同的选排列的种数用符号Avm.n表示例如Av3.6]=6,注意它的操作法则mn都是正整数,且m>n它的计算公式:Aⅴm.n]=m(m-1)(m-2)…(m-n+1)应用阶乘符号:公式A可以写成:Aⅴm.n]=m!/(m-n)!计算Av7.4]=7x6ⅹ5ⅹ4=840二、组合的重点名词述语1、什么是组合?组合是从给定的数量中取出确定个数的元素进行组合,但是不用考虑它的排序。
它的计算公式Avm.n]=(Cvm.n)(pvn)计算组合种数的公式:Cvm.n]=m!/n!(m-n)!计算组合数:Cv15.2]=15x14/1x2)=1052、重点提示操作法则(1)、按公式当n=m时Cvm.m]=m!/m!0!因为Cvm.m]=1,为了使公式当n=m时也成立,所以我们规定:0!=1。
(2)、当n=0时,按公式Cm.0]=m!/0!m!]=1因此规定:Cvm.0]=1三、几个重点名词述语1、排列组合是研究什么问题的?排列组合的中心问题,是研究给定要求的排列与组合,可能出现的总数。
另外排列组合与古典概率有密切的关系。
2、排列组合的定理加法原理,乘法原理,这两个原理,如果是贯穿始终的法则与序无关是组合。
排列与组合的初步认识
排列与组合的初步认识排列与组合是数学中的重要概念,它们在很多领域都有广泛的应用。
本文将介绍排列与组合的基本概念、性质以及它们的实际应用。
一、排列的概念排列是指将一组元素按照一定的顺序排列的方式。
假设有n个元素,从中选取r个元素进行排列,所得到的排列数表示为P(n,r)。
排列的计算公式为:P(n,r) = n! / (n-r)! ,其中n!表示n的阶乘。
二、组合的概念组合是指从一组元素中选取若干个元素,不考虑其顺序的方式。
假设有n个元素,从中选取r个元素进行组合,所得到的组合数表示为C(n,r)。
组合的计算公式为:C(n,r) = n! / (r!(n-r)!) 。
三、排列与组合的性质1. 如果n和r满足n≥r≥0,则有P(n,r) ≥ C(n,r)。
2. 当r=0时,排列数和组合数都为1。
3. 当r=n时,排列数和组合数相等,即P(n,n) = C(n,n) = 1。
4. 当r=1时,排列数和组合数相等,即P(n,1) = C(n,1) = n。
四、排列与组合的应用排列与组合在实际问题中有很多应用,例如:1. 抽奖活动中的中奖概率计算,可以利用组合的概念来求解。
2. 在密码学中,排列与组合用于计算密码的破解概率。
3. 在计算机科学中,排列与组合的知识被广泛应用于算法设计和优化。
4. 在经济学中,排列与组合用于市场营销的目标客户定位和推荐算法的设计。
总结:排列与组合是数学中的基础概念,通过对元素的排列或组合,可以解决很多实际问题。
排列与组合的计算公式和性质是理解和应用相关问题的基础。
在不同领域中,排列与组合的应用几乎无所不在,展现了其重要性和广泛性。
本文对排列与组合的初步认识进行了介绍,希望读者能更好地理解和应用这些概念,进一步挖掘它们在不同领域中的应用价值。
通过深入学习排列与组合的知识,我们可以更好地解决实际问题,提高数学思维和解决实际问题的能力。
(信息学奥赛辅导)排列与组合基础知识
排列与组合基础知识有关排列与组合的基本理论和公式:加法原理:做一件事,完成它可以有n 类办法,在第一类办法中有m 1种不同的方法,在第二类中办法中有m 2种不同的方法,……,在第n 类办法中有m n 种不同方法。
那么完成这件事共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法,这一原理叫做加法原理。
乘法原理:做一件事,完成它需要分成n 个步骤,做第一步有m 1种不同的方法,做第二步有m 2种不同的方法,……,做第n 步有m n 种不同的方法,那么完成这件事共有N =m 1×m 2×…×m n种不同的方法,这一原理叫做乘法原理。
公式:阶乘公式!(1)(2)321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅,规定0!=1;全排列公式!n n P n = 选排列公式!(1)(2)(1)()!m n n P n n n n m n m =---+=-、m m m n n m P C P = 圆排列:n 个不同元素不分首位围成一个圆圈达到圆排列,则排列数为:!(1)!n n n =- 组合数公式(1)(2)(1)!!!()!m mn n m m P n n n n m n C P m m n m ---+===-、规定01n C = m n m n n C C -=、11m m m n n n C C C -+=+、0122n n n n n n C C C C ++++=)提示:(1)全排列问题和选排列问题,都可根据乘法原理推导出来。
(2)书写方式:r n P 记为P (n,r );r n C 记为C (n,r )。
加法原理例题:图1中从A 点走到B 点共有多少种方法?(答案:4+2+3=9)乘法原理例题:图2中从A 点走到B 点共有多少种方法?(答案:4×6=24)加法原理与乘法原理综合:图3、图4中从A 走到B 共有多少种方法?(答案:28、42) A B 图1 A B图2A B 图3 A B图4注意:在信息学奥赛中,有许多只需计数而不需具体方案的问题,都可以通过思维转换或方法转换,最后变为两类问题:一类是转变为排列组合问题,另一类是转变为递推公式问题。
数学中的排列与组合知识点总结
数学中的排列与组合知识点总结在数学中,排列和组合是两个重要的概念。
它们在各个领域都有广泛的应用,特别是在概率论、统计学和组合数学中。
本文将对排列和组合的概念、性质和应用进行总结。
一、排列的概念与性质排列是从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序进行排列。
设有n个元素,则从中选取m个元素进行排列的方式记为P(n, m)。
排列的计算公式为:P(n, m) = n!/(n-m)!其中,n!表示n的阶乘,即n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1。
排列的性质如下:1. 排列数P(n, m)满足如下关系:P(n, m) = P(n-1, m) + P(n-1, m-1)2. 对于任意正整数n,有P(n, n) = n!,即n个元素的全排列数为n 的阶乘。
3. 当m>n时,P(n, m) = 0,即不能取出超过给定元素总数的元素进行排列。
4. 当m=0时,P(n, m) = 1,即不取任何元素进行排列时,排列数为1。
二、组合的概念与性质组合是从一组元素中选取若干个元素组成一个集合,而不考虑元素的顺序。
设有n个元素,则从中选取m个元素进行组合的方式记为C(n, m)。
组合的计算公式为:C(n, m) = n!/(m!(n-m)! )组合的性质如下:1. 组合数C(n, m)满足如下关系:C(n, m) = C(n-1, m) + C(n-1, m-1)2. 对于任意正整数n,有C(n, 0) = C(n, n) = 1,即不取任何元素或者取出全部元素的组合数为1。
3. 当m>n时,C(n, m) = 0,即不能取出超过给定元素总数的元素进行组合。
4. 组合数C(n, m)与排列数P(n, m)之间存在以下关系:C(n, m) = P(n, m)/m!三、排列与组合的应用1. 概率计算:排列和组合在概率计算中有广泛的应用。
排列与组合
解 (1)方法一 (元素分析法) 先排甲有 6 种,其余有 A88种, 故共有 6·A88=241 920(种)排法. 方法二 (位置分析法) 中间和两端有 A38种排法,包括甲在内的其余 6 人有 A66种排法, 故共有 A83·A66=336×720=241 920(种)排法. 方法三 (等机会法) 9 个人的全排列数有 A99种,甲排在每一个位置的机会都是 均等的,依题意,甲不在中间及两端的排法总数是 A99×69= 241 920(种).
[6 分]
(4)有序均匀分组问题.在(3)的基础上再分配给 3 个人,
共有分配方式C26AC2433C22·A33=C26C42C22=90(种).
[8 分]
(5)无序部分均匀分组问题.共有C46AC2122C11=15(种). [10 分]
(6)有序部分均匀分组问题. 在(5)的基础上再分配给 3 个人,共有分配方式C46CA1222C11·A33=
排列与组合旳综合应用
例 3 4 个不同的球,4 个不同的盒子,把球全部放入盒内. (1)恰有 1 个盒不放球,共有几种放法? (2)恰有 1 个盒内有 2 个球,共有几种放法? (3)恰有 2 个盒不放球,共有几种放法?
把不放球的盒子先拿走,再放球到余下的盒子中并且不空. 解 (1)为保证“恰有 1 个盒不放球”,先从 4 个盒子中任意取 出去一个,问题转化为“4 个球,3 个盒子,每个盒子都要放 入球,共有几种放法?”即把 4 个球分成 2,1,1 的三组,然后 再从 3 个盒子中选 1 个放 2 个球,其余 2 个球放在另外 2 个盒 子内,由分步计数原理,共有 C41C24C31×A22=144(种).
排列问题
例 1 有 4 名男生、5 名女生,全体排成一行,问下列情形各 有多少种不同的排法? (1)甲不在中间也不在两端; (2)甲、乙两人必须排在两端; (3)男女相间.
排列组合基础知识点
排列组合基础知识点排列组合是组合数学的重要组成部分,它研究的是如何根据特定的规则从一个集合中选择或排列对象。
它不仅在数学中有广泛的应用,在计算机科学、统计学、金融学等领域也扮演着重要角色。
本篇文章将详细介绍排列组合的基础知识,包括其定义、性质,以及相关的公式和应用示例。
一、排列的概念排列是指从n个不同元素中,按照一定的顺序取出r个元素,所形成的不同序列。
排列强调顺序,因此a和b的排列与b和a是不同的。
排列的公式为:[ A(n, r) = ]其中,n!(n的阶乘)表示从1到n所有整数的乘积。
1. 阶乘的定义阶乘是一个自然数n的连续乘积,记作n!,其定义为:n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 2 × 1,当n ≥ 1;0! = 1。
2. 排列示例设有5种不同颜色的球(红、蓝、绿、黄、白),要从中选取3种颜色并进行排列。
根据排列公式,计算方法如下:[ A(5, 3) = = = = 60 ]此时,我们可以得出60种不同的颜色排列方式,例如(红、蓝、绿)、(蓝、绿、黄)等。
二、组合的概念组合是从n个不同元素中,选择r个元素而不考虑顺序的方法。
组合只关注所选元素,不关心它们的排列顺序。
例如,从a、b、c三种元素中选出两种元素,组合为(ab, ac, bc)。
组合的公式为:[ C(n, r) = ]1. 组合示例继续使用上面的例子,即有5种颜色的球,从中选择3种颜色组合。
根据组合公式进行计算:[ C(5, 3) = = = = 10 ]此时,可以得出10种颜色组合方式,如(红、蓝、绿)、(红、蓝、黄)等。
三、排列与组合之间的联系与区别虽然排列和组合都是从一个集合中选择元素,但它们有本质上的区别。
顺序:排列关注顺序,选择a和b以及b和a,被视为两种不同情况。
组合不关注顺序,选择a和b以及b和a,被视为相同情况。
计算方法:排列使用的是A(n, r)公式。
最不枯燥的排列组合学习!(信息学奥赛基础)
最不枯燥的排列组合学习!(信息学奥赛基础)组合数学>最不枯燥的排列组合学习!尽管我在认真,刷题速度和学习进度还是要被大佬们甩好几条街……忙着刷题后期肯定没办法写总结,就只好一边学习一边填坑啦啦啦。
^上面的都是废话^—————————————————————————————一、什么是组合数学(完全没用,建议跳)对于很多计数类问题,由于方案数过于巨大,我们无法用搜索的方式来解决问题因此我们需要对计数类问题进行一些优化这些优化就是组合数学研究的内容:(没错就是研究计数类问题)————————————————————二、基本原理加法原理:如果完成一件事有两类方法,第一类方法有m1种方案,第二类方法有m2种方案,那么完成这件事有m1+m2种方案将方案分类,类类相加,并且要不重不漏乘法原理:如果完成一件事有两步,第一步有m1种方案,第二步方法有m2种方案,那么完成这件事有m1*m2种方案将方案分步,步步相乘。
(这两种原理都好说,稍加理解立即明白,以下的知识几乎都要基于这两种原理咕~)三、排列与组合:(弱小的主角)排列:从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列从n个数中取出m个数进行排列的方案数用符号A(nm)表示公式:A(nm)=n*(n-1)*(n-2)*...*(n-m+1)=n!/(n-m)!(自己理解:第一个数字有n种选择,第二个数字有(n-1)中选择,以此类推,然后相乘)组合:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数从n个数中取出m个数的方案数用符号C(nm)表示公式:C(nm)=A(nm)/A(mm)=n!/(m!(n-m)!)(自己理解:每一种组合有A(m,m)种排列,所以每一种组合被这A(m,m)中排列算重了A(m,m)次,除掉就好啦)四、定理一箩筐(这东西才是组合数学(死亡)的真谛啊)欧几里得算法:这东西好说。
组合和排列知识点总结
组合和排列知识点总结1. 组合和排列的定义组合和排列是两种基本的组合数学概念,它们都与集合相关。
在数学中,集合是由一些互不相同的对象组成的整体,而排列和组合则是从一个给定的集合中选取一定数量的对象并按照一定的规则进行排列或组合。
排列是指从一个集合中取出一定数量的对象,并按照一定的顺序进行排列,即排列是有序的。
假设集合中有n个对象,要从中取出m个对象按照一定的顺序进行排列,符合条件的排列个数称为排列数。
通常用P(n, m)表示排列数。
组合是指从一个集合中取出一定数量的对象,但不考虑其排列顺序,即组合是无序的。
假设集合中有n个对象,要从中取出m个对象,符合条件的组合个数称为组合数。
通常用C(n, m)表示组合数。
2. 排列的性质排列具有一些基本的性质,这些性质在排列的计算中具有重要的意义。
(1)排列的计算公式在排列中,通过一个简单的计算公式可以求出排列数。
假设集合中有n个对象,要从中取出m个对象按照一定的顺序进行排列,则排列数可以用以下公式计算:P(n, m) = n! / (n-m)!其中,n!表示n的阶乘,即n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 2 × 1。
(2)排列的性质排列具有如下的性质:- P(n, m) = n × (n-1) × … × (n-m+1)- P(n, n) = n!3. 组合的性质组合也具有一些基本的性质,这些性质在组合的计算中同样具有重要的意义。
(1)组合的计算公式在组合中,同样可以通过一个简单的计算公式求出组合数。
假设集合中有n个对象,要从中取出m个对象,组合数可以用以下公式计算:C(n, m) = n! / [m! × (n-m)!](2)组合的性质组合具有如下的性质:- C(n, m) = C(n, n-m)- C(n, 0) = 1- C(n, n) = 1- C(n, 1) = n- C(n, m) = C(n-1, m-1) + C(n-1, m)4. 组合和排列的应用组合和排列在实际中有着广泛的应用,它们在数学、计算机科学、统计学等领域都有着重要的作用。
排列与组合知识讲解
排列与组合是数学中的基本概念,尤其在概率论、统计学和离散数学等领域中有着重要的应用。
以下是关于排列与组合知识的详细讲解:一、基本概念排列:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
排列的个数用符号Pₙₙ或P(n,m)表示。
例如,从3个不同的数字(1、2、3)中任取2个数字进行排列,可能的排列有:12、13、21、23、31、32,共6种。
因此,P₃₂= 6。
组合:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
组合的个数用符号Cₙₙ或C(n,m)表示。
例如,从3个不同的数字(1、2、3)中任取2个数字进行组合,可能的组合有:12、13、21、23、31、32,但由于组合不考虑顺序,所以这6种排列被视为同一种组合。
因此,C₃₂= 1。
二、计算公式排列的计算公式:Pₙₙ= n! / (n-m)!,其中“!”表示阶乘,即n! = n ×(n-1) ×(n-2) × ... ×3 ×2 ×1。
例如,P₄₂= 4! / (4-2)! = (4×3×2×1) / (2×1) = 12。
组合的计算公式:Cₙₙ= n! / [m!(n-m)!]。
这个公式也可以理解为从n个不同元素中取出m个元素的排列数除以m个元素的排列数。
例如,C₄₂= 4! / [2!(4-2)!] = (4×3×2×1) / (2×1) / (2×1) = 6。
三、排列与组合的关系排列和组合之间存在密切的关系。
对于从n个不同元素中取出m个元素的情况,排列数Pₙₙ和组合数Cₙₙ之间的关系为:Pₙₙ= m ×Cₙₙ。
这意味着从n个不同元素中取出m个元素的排列数等于从n个不同元素中取出m个元素的组合数乘以m。
组合与排列 知识介绍
组合与排列有什么分别?我们在使用 "组合" 这个词时,通常都不会讲究物件的次序。
换句话说:"我的水果沙拉是苹果、葡萄和香蕉的组合" 我们并不理会水果的次序,我们可以说:"香蕉、葡萄和苹果" 或 "葡萄、苹果和香蕉"。
都是同样的水果沙拉。
"保险箱的密码是 472"。
这个数字组合的次序就重要了。
"724" 打不开保险箱。
"247" 也不行。
一定要是 4-7-2。
因此,在数学中我们用精确的语言:如果次序不重要,就叫组合。
如果次序重要就叫排列。
比较精确的名字应该是 "排列锁"!换句话说:排列是有序的组合。
记住:要 "排" 列就需要次序,不然堆成一 "组" 就可以了……排列有两种基本排列:可重复:像暗码锁的暗码。
暗码可以是 "333"。
不可重复:例如赛跑的首三名。
一个人不能同时是第一名和第二名。
一、重复排列这是最容易计算的。
当一个东西有 n个不同类型时 …… 我们每次就有 n 个选择!例如:选 3个,排列是:n × n × n(n 自乘 3次)一般来说:从有 n个不同类型的东西里选 r个的排列是:n × n × ...(r次)(换句话说,选第一个时有 n个可能,然后选第二个时也有 n个可能,依此类推,每次乘以 n。
)用 r 的指数来写比较简单:n × n × …… (r次) = n r例子:暗码锁的暗码有三个数字,每个数字可以是(0、1、2、3、4、5、6、7、8、9)里的其中一个:10 × 10 × … (3次) = 103 = 1,000个排列公式就是:n r其中 n 是被选择的东西的个数,而我们要选 r次(可以重复,次序重要)二、不重复排列在这个情况下,每选一个后我们就要把选择的可能减少一个。
排列与组合知识点
排列与组合一、两个基本计数原理:(排列与组合的基础)1、分类加法计数原理:做一件事,完成它可以有n 类办法,在第一类办法中有1m 种不同的方法,在第二类办法中有2m 种不同的方法,……,在第n 类办法中有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有n m m m N +⋅⋅⋅++=21种不同方法.2、分步乘法计数原理:做一件事,完成它需要分成n 个步骤,做第一步有1m 种不同的方法,做第二步有2m 种不同的方法,……,做第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有n m m m N ⨯⋅⋅⋅⨯⨯=21种不同的方法.二、排列与组合(1)排列定义:一般地,从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素,按照一定顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列;排列数用符号mn A 表示对排列定义的理解:1、定义中包括两个基本内容:①取出元素②按照一定顺序。
因此,排列要完成的“一件事情”是“取出m 个元素,再按顺序排列”2、相同的排列:元素完全相同,并且元素的排列顺序完全相同。
若只有元素相同或部分相同,而排列顺序不相同,都是不同的排列。
比如abc 与acb 是两个不同的排列 描述排列的基本方法:树状图 排列数公式:),)(1()2)(1(*∈+-⋅⋅⋅--=N m n m n n n n A m n 我们把正整数由1到n 的连乘积,叫做n 的阶乘,用!n 表示,即12)2()1(!⨯⨯⋅⋅⋅⨯-⨯-⨯=n n n n ,并规定1!0=。
全排列数公式可写成!n A n n =.由此,排列数公式可以写成阶乘式:)!(!)1()2)(1(m n n m n n n n A m n -=+-⋅⋅⋅--=(主要用于化简、证明等) 排列应用题的主要解题方法有:直接法、间接法(排除法)、优先法、捆绑法、插空法、定序问题除法处理1、直接法:把符合条件的排列数直接列式计算2、间接法(排除法):先不考虑题目中的限制条件,求出所有的排列数,然后从中减去不符合条件的排列数,从而得到所求的排列数。
排列与组合问题的常用方法
排列与组合问题的常用方法排列与组合是组合数学中的两个重要概念。
它们在概率论、统计学、计算机科学、组合优化等领域中有广泛的应用。
本文将介绍排列与组合的基本概念、常用方法和应用。
一、排列排列是指从一组元素中按照一定的顺序选择若干元素的方式。
假设有n个元素,要求从中选择m个元素,且要按照一定的顺序排列。
则这样的选择方式叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用P(n, m)表示。
1.全排列全排列是指对n个元素进行排列,将它们按照不同的顺序排列的方法总数。
全排列的个数为n!(n的阶乘)。
2.有重复元素的排列当n个元素中有重复元素时,全排列的个数存在重复。
此时,需要除以重复元素的个数来去除重复的排列。
3.部分元素排列有时候,从n个元素中选择r个元素进行排列,即P(n, r),其中r小于n。
这时,排列的个数为n*(n-1)*...*(n-r+1),即n的降序排列的前r项的乘积。
二、组合组合是指从一组元素中选择若干元素的方式,不考虑其顺序。
假设有n个元素,要求从中选择m个元素,但不考虑它们的顺序。
则这样的选择方式叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用C(n, m)表示。
1.递推公式组合数满足以下递推公式:C(n,m) = C(n-1, m-1) + C(n-1, m),其中C(n, 0) = C(n, n) = 1。
2.全组合全组合是指从n个元素中选择0个、1个、2个......直到n个元素进行组合的方法总数。
全组合的个数为2^n。
3.有重复元素的组合当n个元素中有k个重复元素时,组合的个数存在重复现象。
此时,可以引入多重组合数的概念,表示从n个元素中选择m个元素的组合个数,但是允许每个元素选择的次数有上限。
多重组合数的计算可以通过动态规划等方法进行。
三、常用方法1.迭代法排列与组合问题可以通过迭代的方法求解。
可以使用递归或循环的方式进行迭代,根据问题的要求和具体情况选择合适的方法。
2.数学公式有时候,排列与组合问题可以通过数学公式进行求解。
排列与组合基础知识
排列与组合基础知识有关排列与组合的基本理论和公式:加法原理:做一件事,完成它可以有n 类办法,在第一类办法中有m 1种不同的方法,在第二类中办法中有m 2种不同的方法,……,在第n 类办法中有m n 种不同方法。
那么完成这件事共有N =m 1+m 2+…+m n 种不同的方法,这一原理叫做加法原理。
乘法原理:做一件事,完成它需要分成n 个步骤,做第一步有m 1种不同的方法,做第二步有m 2种不同的方法,……,做第n 步有m n 种不同的方法,那么完成这件事共有N =m 1×m 2×…×m n 种不同的方法,这一原理叫做乘法原理。
公式:阶乘公式!(1)(2)321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅,规定0!=1;全排列公式!n n P n = 选排列公式!(1)(2)(1)()!m n n P n n n n m n m =---+=-、m m m n n m P C P = 圆排列:n 个不同元素不分首位围成一个圆圈达到圆排列,则排列数为:!(1)!n n n =- 组合数公式(1)(2)(1)!!!()!m mn n m m P n n n n m n C P m m n m ---+===-、规定01n C = m n m n n C C -=、11m m m n n n C C C -+=+、0122n n n n n n C C C C ++++=)提示:(1)全排列问题和选排列问题,都可根据乘法原理推导出来。
(2)书写方式:r n P 记为P (n,r );rn C 记为C (n,r )。
加法原理例题:图1中从A 点走到B 点共有多少种方法?(答案:4+2+3=9)乘法原理例题:图2中从A 点走到B 点共有多少种方法?(答案:4×6=24)加法原理与乘法原理综合:图3、图4中从A 走到B 共有多少种方法?(答案:28、42)A B 图1 A B图2A B 图3A B 图4注意:在信息学奥赛中,有许多只需计数而不需具体方案的问题,都可以通过思维转换或方法转换,最后变为两类问题:一类是转变为排列组合问题,另一类是转变为递推公式问题。
NOIP数学--排列组合
因此:不可能出现i<j<k,aJ<ak<ai的情况
栈模型算法
算法先产生1-n共n个数的全排列,对于每种排列, 若符合前面所讲的出栈规则,那么这个排列便是一个 可能的出栈序列。计数器加1,当n个全排列列举结束 时,得到问题的解。
递归算法
令f(m,n)表示m个人手持50的钞票。N个人手持 100的钞票时总共的方案数。
i个位置的数。 函数done(i)执行时,首先判断j是否在该排列以前
的几个位置上出现过,若出现则说明j不可能出现在当 前位置上,此时j值增1重复以上判断,j=n时回溯;若 j没有在该排列以前的位置上出现,则该位置上的值就 是j,后判断递归的层数i与r的值是否相等。若i=r,输 出一个新的排列并回溯。若i<r,则继续进行递归。
解题思路: 左→右 4步 下→上 3步 无论怎么选择均为右4+上3。 0—向右走1—向上走 所以可以走法可以看作由01组 成的字符串 即所求方案数为4个0和3个1组成的 7位字符串的个数。 C(7,4)=?
排列组合生成算法
R-排列生成算法: 采用回溯法生成从n中选r个元素的所有排列情况: n个元素用1,2,…,n来表示 函数done递归的层数i表示当前正在生成排列中第
f(1,2)0 f(2,1)2 f(1,2) 0 f(2,1)2
我们发现f(3,2)等节点有重复计算,课件递归算法产生大量的数据冗余, 这些冗余数据是限制递归算法的主要因素,从而导致了模型3虽进行了数学抽象, 但是算法实现起来的效率并不高。如何解决呢?计算中保留数值---采用递推法保 证同一个数据只计算一次。
错位排列生成算法
信息奥赛排列组合初步
信息奥赛排列组合初步炫小码少儿编程一、加法原理和乘法原理加法原理:是分类计数原理,常用于排列组合中,具体是指:做一件事情,完成它有n类方式,第一类方式有M1种方法,第二类方式有M2种方法,……,第n类方式有Mn种方法,那么完成这件事情共有M1+M2+……+Mn种方法。
比如说:从武汉到上海有乘火车、飞机、轮船3种交通方式可供选择,而火车、飞机、轮船分别有k1,k2,k3个班次,那么从武汉到上海共有k1+k2+k3种方式可以到达。
乘法原理:做一件事,完成它需要分成个步骤,做第一步有种不同方法,做第二步有种不同方法,……,做第步有种不同方法,那么完成这件事种不同的方法。
从A 到B 多少走法?图1体现的就是加法原理,图2体现的就是乘法原理。
二、阶乘一个正整数的阶乘(factorial)是所有小于及等于该数的正整数的积,并且0的阶乘为1。
自然数n 的阶乘写作n!,如4=4321⨯⨯⨯!三、排列定义定义的前提条件是m 与n 均为自然数且m≦n。
从n 个不同元素中,任取m 个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
从n 个不同元素中,取出m 个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数,记做mn A 。
一步步理解:例题1.一共有红黄蓝白4种颜色,如果按不同颜色进行排列,有多少种排列方法?解:先排第一个位置,有4种排法,第二个位置有3种(为什么呢?因为第一个已经固定住了种类),第三个位置有2种,第四个位置有1种。
所以,一共有4*3*2*1=24种排法。
上面的例题1就是44A ,就是从四个颜色中取四个颜色进行排列,所以:44=4321=4A ⨯⨯⨯!,即4的阶乘。
例题2.一共有红黄蓝白青紫6种颜色,如果取其中4个颜色,按不同颜色进行排列,有多少种排列方法?解:与例题1类似,先排第一个位置,有6种排法,第二个位置有5种,第三个位置有4种,第四个位置有3种。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
排列与组合基础知识有关排列与组合的基本理论和公式:加法原理:做一件事,完成它可以有n 类办法,在第一类办法中有m 1种不同的方法,在第二类中办法中有m 2种不同的方法,……,在第n 类办法中有m n 种不同方法。
那么完成这件事共有N =m 1+m 2+…+m n 种不同的方法,这一原理叫做加法原理。
乘法原理:做一件事,完成它需要分成n 个步骤,做第一步有m 1种不同的方法,做第二步有m 2种不同的方法,……,做第n 步有m n 种不同的方法,那么完成这件事共有N =m 1×m 2×…×m n 种不同的方法,这一原理叫做乘法原理。
公式:阶乘公式!(1)(2)321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅ ,规定0!=1;全排列公式!n n P n = 选排列公式!(1)(2)(1)()!m n n P n n n n m n m =---+=- 、m m m n n m P C P = 圆排列:n 个不同元素不分首位围成一个圆圈达到圆排列,则排列数为:!(1)!n n n =- 组合数公式(1)(2)(1)!!!()!m mn n m m P n n n n m n C P m m n m ---+===- 、规定01n C = m n m n n C C -=、11m m m n n nC C C -+=+、0122n n n n n n C C C C ++++= ) 提示:(1)全排列问题和选排列问题,都可根据乘法原理推导出来。
(2)书写方式:r n P 记为P (n,r );rn C 记为C (n,r )。
加法原理例题:图1中从A 点走到B 点共有多少种方法?(答案:4+2+3=9)乘法原理例题:图2中从A 点走到B 点共有多少种方法?(答案:4×6=24)加法原理与乘法原理综合:图3、图4中从A 走到B 共有多少种方法?(答案:28、42) A B 图1 A B图2AB图3 AB图4而排列组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置的数目问题,他们之间主要的区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序,不需要考虑顺序的是组合问题,需要考虑顺序的是排序问题。
注意:在信息学奥赛中,有许多只需计数而不需具体方案的问题,都可以通过思维转换或方法转换,最后变为两类问题:一类是转变为排列组合问题,另一类是转变为递推公式问题。
因此对于加法原理、乘法原理、排列、组合等知识,需要非常熟练,以达到简化问题的目的。
加法原理、乘法原理、排列、组合例题:1.(1)用数字0、1、2、3能组成多少个三位数?(2)要求数字不能重复,又能组成多少个三位数?2.国际会议洽谈贸易,有5家英国公司,6家日本公司,8家中国公司,彼此都希望与异国的每个公司单独洽谈一次,问需要安排多少个会谈场次?3.有编号为1、2、3、4、5的五本书需要摆放在书架上,问有多少种不同的摆放方案数。
4.有编号为1、2、3、4、5的五本书需要任选3本书摆放在书架上,问有多少种不同方案。
5.有编号为1、2、3、4、5的五本书需要任选3本书,问有多少种方法。
6.五种不同颜色的珠子串成一圈项链,问有多少种不同的方法。
7.把两个红色球、两个蓝色球、三个黄色球摆放在球架上,问有多少种方案。
8.有男女各5人,其中3对是夫妻,他们坐成一排,若每对夫妻必须相邻而坐,问有多少种方法?(提示:因为3对夫妻必须相邻而坐,因此可以将每对夫妻看为一个整体进行排列,这样排列总数为(7!)种方法,又因为每对夫妻可以可以左右调换位置,因此总的方案为(7!×2×2×2))9.(1)把3个相同的球放到4个不同颜色的盒子中去,问有多少种方法?(2)把4个相同的球放到3个不同颜色的盒子中去,问有多少种方法?(3)推广开来,把R个相同的球放到N个不同颜色的盒子中去,问有多少种方法?排列组合练习习题:1.有5本日文书、7本英文书、10本中文书。
问(1)从中任取2本书有多少种方案?(2)从中取2本相同文字的书有多少种方案?(3)从中取2本不同文字的书有多少种方案?2.把八个“车”放在8×8的国际象棋棋盘上,如果它们两两均不能互吃(即在任何一行、任何一列都只有一个“车”),那么称八个“车”处于一个安全状态。
问共有多少种不同的安全状态?3.从1~300之间任取3个不同的数,使得这3个数的和正好被3除尽,问有多少种方案?4.5对夫妇围绕圆桌坐下吃饭,共有多少种方案?如果要求夫妇必须坐在一起,又有多少种方案?5.N个男同学和N个女同学围绕圆桌坐下,要求男女必须交替就座,问共有多少种就座方法?6.8人站成一排排队,如果其中的甲和乙两人要求一定站在一起,问有多少种排队方法?如果甲和乙两人要求一定不站在一起,又有多少种方法?7.有N个男同学和M个女同学站成一排,其中这M个女同学要求站在一起,问共有多少种排队方法?8.一个长度为N+M个字符的01字符串,问其中有N个1的字符串有多少个?9. 一个N*M (N 表示行,M 表示列)的网格,从左上角(1,1)点开始走到右下角(N ,M )点,每次只能向右或者向下走,问有多少种不同的路径。
10. 在上题中,若规定N<M ,行走方向仍然只能是向右或者向下行走,并且要求所经过的每一个点的坐标(a,b)恒满足a<b 的关系(a 为行坐标,b 为列坐标),问有多少条路径?11. 在上上题中,如果其中有X 个点设置有障碍而无法通过,问有多少条路径?其中X 的值以及这X个点的坐标由键盘输入。
12. 一个由N 个0和N 个1组成的01字符串,要求从左往右,1的个数始终不少于0的个数的字符串共有多少个?如N =1时,只有字符串10;如N =2时,有1100、1010两个字符串;如N =3时,有111000、110100、110010、101100、101010五个字符串。
(提示:该字符串的长度为2N ,其中规定有N 个1,即相当于从2N 个字符中取出N 个字符,方案数为C (2N ,N )。
该题还规定从左往右,1的个数始终不少于0的个数,那么在C (2N ,N )个方案中,必定有一些排列方案不符合要求,那么是哪些不符合要求呢?我们看N =2的例子,此时所有的排列方案有0011、0101、0110、1001、1010、1100六种,其中只有1010和1100两种方案符合要求,为什么呢?实际上,在N =2时,即有N 个1,这样,我们将任意一个0填充到这N 个1中的方案数有N +1种,如下图有①、②、③三个格子可以填充0,但是要保证所有的0总在1之后,因此也就只有③的位置符合要求(如1100和1010我们都认为是所有的0在1的右边,而1001则有一个0不在1的右边),即只有C (2N ,N )的1/(N +1)种方案符合要求。
所以答案为:C (2N ,N )/(N +1))。
该数列称为Catalan 数列,其数列为1、2、5、14、42(举一反三:一个由N 个0和N 个1组成的01字符串,要求从左往右,1的个数始终不多于0的个数的字符串共有多少个?同理:相当于1的位置只能排在所有0的位置之后,因此个数同样为:C (2N ,N )/(N +1)。
)13. 用N 个A 和N 个B 排列成一个字符串,要求从左往右的任意一位,A 的个数不能少于B 的个数,问有多少种排列方案。
14. 有2N 个顾客排队购买一种产品,该产品的售价为5元,其中N 个顾客手持5元的货币,其余N个顾客手持10元货币。
由于售货员手中没有零钱找零,因此售货员必须将这2N 个顾客按照一定的次序排好队,问有多少种排队方式可以依次顺利发售货品,而不出现无法找零的情况。
15. 学校某年级参加数学、物理、化学的培训,人数分别是150、120、100人。
同时培训数学、物理两门课的学生有21人;同时培训数学、化学的有16人;同时培训物理、化学的有8人;三科都培训的有5人。
问该年级共有多少人?排列组合考试题:16. 在15个同学中准备选出4名同学参加国际信息学奥林匹克竞赛,其中学生甲和学生乙两人中,至少有一人必须被选中,问共有多少种选法?17. 用A 、B 、C 、D 、E 、F 六个字母进行排列,其字符排列中不出现“ACE ”或“DF ”字串的排列方案有多少种?18. 栈的计数。
编号分别为1~N (1<=N<=18)的N 辆列车顺序进入一个栈式结构的站台(先进后出),试问这N 辆列车开出车站的所有可能次序有多少种序列。
(此题为NOIP2003年第九届普及组复赛试题第三题)19. 有一排格子排成一排,已知共有8个格子。
现有两个不同颜色的球要放在其中,要求两个球不能相邻,问共有多少种摆放方案。
20. 有一排格子排成一排,已知共有8个格子。
现有三个不同颜色的球要放在其中,要求任意两个球不A B C能相邻,问共有多少种摆放方案。
21.有一排格子排成一排,已知共有8个格子。
现有2个红色球和3个蓝色球要放在其中,要求如下:(1)每个格子最多摆放一个球;(2)同一种颜色的球必须相邻摆放;(3)不同颜色的球之间至少22.中,要求如下:(1)每个格子最多摆放一个球;(2)同一种颜色的球必须相邻摆放;(3)不同颜色的球之间至少空出一个格子。
问共有多少种摆放方案。
如下是其中一种摆放方案。
23.有一排格子排成一排,已知共有8个格子。
现有两个相同的球要放在其中,要求两个球不能相邻,问共有多少种摆放方案。
24.有一排格子排成一排,已知共有8个格子。
现有三个相同的球要放在其中,要求任意两个球不能相邻,问共有多少种摆放方案。