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平面向量练习题及答案
平面向量练习题及答案一、选择题1. 设向量a和向量b是两个不共线的向量，若向量c=2向量a-3向量b，向量d=向量a+4向量b，那么向量c和向量d的夹角的余弦值是（）A. 1/2B. -1/2C. 0D. 12. 若向量a和向量b的模长分别为3和4，且它们的夹角为60°，则向量a和向量b的点积是（）A. 6B. 12C. 15D. 183. 已知向量a=（1，2），向量b=（3，4），则向量a和向量b的向量积的大小是（）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题4. 若向量a=（x，y），向量b=（2，-1），且向量a与向量b共线，则x=______，y=______。
5. 向量a=（3，4），向量b=（-1，2），则向量a和向量b的夹角的正弦值是______。
三、计算题6. 已知向量a=（2，3），向量b=（4，-1），求向量a和向量b的点积。
7. 已知向量a=（-1，3），向量b=（2，-4），求向量a和向量b的向量积。
8. 已知向量a=（1，0），向量b=（2，3），求向量a在向量b上的投影。
四、解答题9. 设向量a=（1，-1），向量b=（2，3），求证向量a和向量b不共线。
10. 已知向量a=（x，y），向量b=（1，1），若向量a和向量b的点积为6，求x和y的值。
答案：1. B2. C3. B4. 2，-15. 根号下（（3+4）的平方-（3*(-1)+4*2）的平方）除以（5*根号下2）6. 向量a和向量b的点积为：2*4+3*(-1)=57. 向量a和向量b的向量积为：(3*(-4)-4*2)i-(2*3-1*4)j=-20i+2j8. 向量a在向量b上的投影为：(向量a·向量b)/向量b的模长^2 * 向量b = (1*2+0*3)/(2^2+3^2) * 向量b = (2/13) * (2，3)9. 证：假设向量a和向量b共线，则存在实数k使得向量a=k向量b。
高中平面向量经典练习题1（含答案）
高中平面向量经典练习题【编著】黄勇权一、填空题1、已知向量a=a=（（-2-2，，1），向量），向量|b|= 2|a||b|= 2|a|，若，若b ·（·（a-b a-b a-b））= -30，则向量，则向量b 的坐标坐标= =。
2、已知a=a=（（2，1），），3a-2b=3a-2b=3a-2b=（（4,-14,-1），则），则a ·b=。
3、向量a=（m ，-2-2）），向量b=（-6-6，，3），若a ∥b ，则（3a+4b 3a+4b））·（6a-5b 6a-5b））= 。
4、已知向量a 、b 满足满足|a|=2|a|=2|a|=2，，b=b=（（-1-1，， 2），且（），且（），且（4a-b 4a-b 4a-b）·）·（a+b a+b））=22=22，则，则a 、b 的夹角的夹角。
5、在矩形ABCD 中，)3,1(-=AB ,)2,(-=k AC ，则实数=k 。
6、已知向量(1,),(,9)a t b t ==r r ，若→a ∥→b ，则t ＝ _______。
7、已知、已知|||=1|=1，，||=， =0，点，点C 在∠在∠AOB AOB 内，且∠内，且∠AOC=30AOC=30AOC=30°，设°，设=m +n （m 、n ∈R ），则等于等于。
8、若、若||+|=|﹣|=2||，则向量+与的夹角为的夹角为 。
9、已知向量=（2，1），=10=10，，|+|=，则，则|||=|=（（ ）1010、已知平面向量、已知平面向量，，x ∈R ，若，则，则|||=______|=______。
二、选择题1、已知向量a=a=（（2，1），向量b=b=（（1，-1-1），那么），那么2a+b=。
A 、 （5,5,，，1） B 、（、（44，1） C 、（、（55，2） D 、（、（44，2）2、已知向量a=a=（（2，4），向量b=b=（（-3-3，，0），则b a 21+= 。
平面向量专题练习(带答案详解)
平面向量专题练习(带答案详解) 平面向量专题练（附答案详解）一、单选题1.已知向量 $a=(-1,2)$，$b=(1,1)$，则 $a\cdot b$ 等于（）A。
3 B。
2 C。
1 D。
02.已知向量 $a=(1,-2)$，$b=(2,x)$，若 $a//b$，则 $x$ 的值是（）A。
-4 B。
-1 C。
1 D。
43.已知向量 $a=(1,1,0)$，$b=(-1,0,2)$，且 $ka+b$ 与 $2a-b$ 互相垂直，则 $k$ 的值是（）A。
1 B。
5/3 C。
3/5 D。
7/54.等腰直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB=\frac{\pi}{2}$，$AC=BC=2$，点 $P$ 是斜边 $AB$ 上一点，且 $BP=2PA$，那么 $CP\cdot CA+CP\cdot CB$ 等于（）A。
-4 B。
-2 C。
2 D。
45.设 $a,b$ 是非零向量，则 $a=2b$ 是成立的（）A。
充分必要条件 B。
必要不充分条件 C。
充分不必要条件 D。
既不充分也不必要条件6.在 $\triangle ABC$ 中 $A=\frac{\pi}{3}$，$b+c=4$，$E,F$ 为边 $BC$ 的三等分点，则 $AE\cdot AF$ 的最小值为（）A。
$\frac{8}{3}$ B。
$\frac{26}{9}$ C。
$\frac{2}{3}$ D。
$3$7.若 $a=2$，$b=2$，且 $a-b\perp a$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。
$\frac{\pi}{6}$ B。
$\frac{\pi}{4}$ C。
$\frac{\pi}{3}$ D。
$\frac{\pi}{2}$8.已知非零向量 $a,b$ 满足 $|a|=6|b|$，$a,b$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$，且 $a\perp (a-kb)$，则实数 $k$ 的值为（）A。
18 B。
(word完整版)高一数学数学必修4平面向量复习题
1•设a 、b 、c 是单位向量，且 a -b = o ,贝U a c ? b c 的最小值为（D )2A.1B.2C. 2A. 2B. 2 2C. 1D.12r r rr r r r r r uu r r r 2解析Q a,b,c 是单位向量a c ?bc ago (a b)gs crr r _ r r r1 |ab|gc| 1 <2cos ab,c 1.2.2.已知向量a 2,1 ,ab 10,|ab| 5J2，则 |b|(C )A. .5B. .10C.5D. 25r r 宀 r 宀 r r r 宀“ r2 2 2 2解析 Q50 |a b| |a | 2a gD |b| 5 20 | b ||b| 5 故选 C.3.平面向量a 与b 的夹角为600, a (2,0) , b 1则a 2b ( B )A.、3B. 2 3C. 4D.2解析 由已知 |a|= 2,|a + 2b|2= a 2 + 4a b + 4b 2= 4+ 4X2X1 Xcos60° + 4= 12A a 2b2^3LUIUuiuuuu uiPC) = 2AP PM=2 AP PM cosO 2 -5.已知a 3,2 , b1,0，向量a b 与a2b 垂直，则实数的值为()1 A.—1 B.-1 C.—D.17766uuruur uuu UUJ uujruuu6.设 D 、E 、 F 分别是△ ABC 的三边 BC 、CA 、AB 上的点，且DC2BD,CE2EA, AF 2FB,UJLT 则ADUUU uuu uuu BE CF 与 BC(A)A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直(A )4444A.B.c.D.9339uu 由APUuu UJ uuuu 解析 2PM 知，p 为 ABC 的重心,根据向量的加法 ,PB P C2PM则 uur 4.在 ABC 中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足学PALunn uur uuu uuu2PM ，则 PA (PB PC)等于uuruuu uiuuu uuu AP (PB1•设a 、b 、c 是单位向量，且 a -b = o ,贝U a c ? b c 的最小值为（ D )27.已知a , b 是平面内两个互相垂直的单位向量，右向量 c 满足（ac) (b c)0,则 c 的最大值是(C )3 4uuu uuu uuur8.已知O 是厶ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC 0，那么（ A ）则—的取值范围是mA .、3B . 2.3C .6 D . 2、616.在平行四边形 ABCD 中， uuu AE 1 uuu unr-AB, AF1 UULT一AD , CE 与BF 相交于G 点.的最小值为（B ) A. uuir unr AO ODunr uuir B. AO 2ODuuir uuirC. AO 3ODuur unr D. 2AO OD 9•设a5 ^2（4,3） , a 在b 上的投影为 ，b 在x 轴上的投影为2,且 | b |< 14，则 b 为(B ) (2,4)2,C .D . (2,) 10.设a, b 是非零向量，若函数f(x)(xa b) (a xb ）的图象是一条直线, 则必有（ A ）11.设两个向量a （ 2,a//2cos C . |a|)和b|b|D . |a| |b|mm,—2 sin ，其中，m, 为实数.若a 2b ,A . [-6, 1]B. [4,]C. (-6, 1] D . [-1 , 6]12.已知向量a(1, n),（1, n ），若2a b 与b 垂直，则|a（C13•如图，已知正六边形 RP 2P 3P 4P 5P 6 ,F 列向量的数量积中最大的是（A. RP2 ,R F 3B. P 1P 2, P 1P4C. P 1P 2 , P 1 P 5D.P 1P 2 ,P 1P614.已知向量a 尢,|e |= 1，对任意t € R , 恒有|a - t e | 冷一e |,贝y ( B )A. a 丄 eB. e 丄(a - e )C.a 丄(a - e )D.(a + e )丄(a - e )15.已知向量 unr unr n uurOA , OB 的夹角为一，|OA| 4 ,3luu r|OB| 1，若点 M 在直线 OB 上，贝U |&A OM |uuu r uur r uuur AB a, AD b,则AG342 r 1 r 2 rA. a bB. a7 7 7 17.设向量a与b的夹角为A」10 B. 3b 73.10 10C.(2,1),C.1 r r 4 rb D. a7 72b (4,5)，则cosD.18.已知向量a , b的夹角为3，且|a||b| 1 ,19.20.21.22.23.24.中,25.7等于D 则向量a与向量a 2b的夹角等于（5A .6已知向量A. [0, .2]已知单位向量A . 2.3在厶ABC 已知向量已知向量中,arOib-r-|b|其中b均为非零向量, 则| p |的取值范围是(B )B.[0,1]C.(0,2]D.[0,2]a,b的夹角为一，那么a2bAR 2RB,CP 2PR,若AP mAB nAC,贝U mC.a和b的夹角为120 ,B. 7|a| 2，且(2aOAA. [0,4]b) a，则|b |(0,2),OB (2,0),BCB .[冷C 2 cos ,2 sinC. [4,3T]）,贝UOA与OC夹角的取值范围是（上海）直角坐标系xOy中，i, j分别是与x, y轴正方向同向的单位向量. 在直角三角形ABC若AB 2i A. 1 j, AC 3i k j，则k的可能值个数是（B. 2若四边形ABCD满足AB CDc.「uuu0 , (AB3uiur uuirAD) ACD. 4则该四边形一定是BA.直角梯形B.菱形C.矩形D.正方形ir r ir 26.已知向量m,n的夹角为一，且|m |6uuir D为BC边的中点，贝U | AD |（乜,订| 2 ,在△ABC中,uuuABir r uuur ir r2m 2n，AC 2m 6n，112427. A . 2 uuu|OA|已知A.3 B . uuu,|OB| .3 ,OA?O B =0 , AOCD . 8uuur 30o ,设OC uuu uuu mOA nOB (m, nR),则D. 28.如图， 其中45°直角三角板的斜边与 所对的直角边重合.若 x , y 等于B x 3, y 1B. 345°直角三角板和 30°直角三角板拼在一起， 直角三角板的 30°角 uuur y DA , uu u DB 30° uuu r DC 则A. C. x 2, y . 3 二、填空题 1. 若向量 a , b 满足 2. 3. 4. 5. 6. 7.8. 答案 .7 设向量 答案 1 3,y 3 3,y 1 3 1,b 2且a 与b 的夹角为—, 3 a (1,2), (2,3)，若向量 a b 与向量c (4, 7)共线，则已知向量a 与b 的夹角为120°，且a b 4，那么 b (2a b)的值为答案 0 已知平面向量a (2,4) , b ( 1,2).答案 8,2b 的夹角为120 ,答案设向量 答案若向量 答案若向量 答案uuuAB60若 c a (a 则5a bb)b , 则|C|uu ur 2, ACuuu uur3, AB AC | J 19,则r r aba 与b 的夹角为60 , 1，则 a? a bCABa,b 满足2,(a b) a ，则向量a 与b 的夹角等于uuu UULT LUU LUT UJU9. O 为平面上定点，A, B, C 是平面上不共线的三若 (OB OC ) •OB OC 2OA)=0,贝U ABC 的形状是 __________________________ .等腰三角形答案 -2510.不共线的向量m^ , m 2的模都为2,若a3m i2m 2 , b 2mi 3m 2 ,则两向量a b 与a b 的夹角为 _________________ 90 ° 11 •定义一种运算 S a b ，在框图所表达的算法中揭示了这种运算“”的含义•那么，按照运算 “”的含义，计算 tan 15o tan300 tan300 tan 15o _________ 1 ___r r12、 已知向量 a (cos15o ,sin150), b ( sin 150, cos1S),贝y a b 的值为 ________ . 答案113、 已知 Rt △ ABC 的斜边BC=5 ,则 AB BC BC CA CA AB 的值等于y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中,uur r AB ir uuur r rj , AC 2i mj ,则实数 m=答案 —2或0三、解答题rr r r r r1、已知ia 4,|b| 3,(2a — 3b) (2a b) 61 ,r rr r(1 )求 a b 的值；求a 与b 的夹(3)求b 的值;r r r r 心解：(1)由(2a —3b) (2a b) 61 得4a r r 「2「2又由 k 4,|b| 3得 a 16, 9代入上式得64 4a b 2761 a br rr3b14.在直角坐标系xOy 中,i[j 分别是与x 轴,艸(13|fr!=4・得卜2・｛妨=』_虛讪一&r5 52’uuuruur uur(2, 4)，在向量OC 上是否存在点P ，使得PA PB ，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由。
平面向量同步练习题(练习题)讲义
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9．若菱形 ABCD 的边长为 2 ，则 AB − CB + CD = ________ 10．若 a = (2,3) ， b = (−4,7) ，则 a 在 b 上的投影为________ 11．已知向量 a = (cos θ ,sin θ ) ，向量 b = ( 3, −1) ，则 2a − b 的最大值是________ 12．若 A(1, 2), B (2,3), C (−2,5) ，试判断则△ABC 的形状________ 13．若 a = (2, −2) ，则与 a 垂直的单位向量的坐标为________ 14．若向量 | a |= 1,| b |= 2,| a − b |= 2, 则 | a + b |= ________ 15．平面向量 a, b 中，已知 a = (4, −3) ， b = 1 ，且 a ⋅ b = 5 ，则向量 b = ________
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9．平面向量 a = ( 3, −1), b = ( ,
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1 3 ) ，若存在不同时为 0 的实数 k 和 t ，满足条件： 2 2
r r r r r r r r x = a + (t 2 − 3)b ， y = −ka + tb ，且 x ⊥ y ，试求函数关系式 k = f (t ) 。
《平面向量》练习题及答案
《平面向量》练习题及答案《平面向量》练习题及答案向量是近代数学中重要和基本的概念，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，它有着极其丰富的实际背景，又有着广泛的实际应用，具有很高的教育价值。
接下来小编为你带来《平面向量》练习题及答案,希望对你有帮助。
一、教材分析全章地位：平面向量基本定理是共线向量基本定理的一个推广，将来还可以推广到空间向量，得到空间向量基本定理。
这三个定理可以看成是在一定范围内向量分解的唯一性定理。
应用空间：平面向量基本定理蕴涵了一种十分重要的数学思想——转化思想，因此，有着十分广阔的应用空间。
二、教学目标【知识与能力】(1)了解平面向量基本定理及其意义，会用基底表示一向量，掌握两向量夹角的定义及两向量垂直的概念，会初步求解简单两向量的夹角;(2)培养学生作图、判断、求解的基本能力。
【过程与方法】(1)经历平面向量基本定理的探究过程，让学生体会由特殊到一般的思维方法;(2)让学生体会用基底表示平面内一向量的方法、求两简单向量的夹角的方法。
【情感态度与价值观】培养学生动手操作、观察判断的能力，体会数形结合思想。
三、教学重点平面向量基本定理及其意义，两向量夹角的简单计算。
四、教学难点平面向量基本定理的.探究，向量夹角的判断。
五、学情分析前几节课已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等;另外学生对向量的物理背景有了初步的了解。
六、学法指导教师平等地参与学生的自主探究活动，通过启发、引导、激励来体现教师的主导作用，根据学生的认知情况和情感发展来调整整个学习活动的梯度和层次，引导学生全员、全过程参与，保证学生的认知水平和情感体验分层次向前推进。
七、教学基本流程定理探究↓形成定理↓定理思考与应用↓定义形成与应用八、教学情境设计。
平面向量同步练习
平面向量同步练习预览说明:预览图片所展示的格式为文档的源格式展示,下载源文件没有水印,内容可编辑和复制平面向量的概念及线性运算A组专项基础训练一、选择题（每小题5分，共20分）1. 给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③?a = 0（入为实数），则入必为零；④入□为实数，若?a= b 则a与b共线.其中错误命题的个数为A. 1B. 2C. 3D. 42. 设P是厶ABC所在平面内的一点，BCrB A= 2西贝UA.PA^ PB= 0B. P CT P A= 0C. P B+ PC= 0D. PA^ PB+ PC= 03. 已知向量a, b不共线，c= ka+ b （k€ R）, d= a—b.如果c// d,那么A. k = 1且c与d同向B. k= 1且c与d反向C. k =— 1且c与d同向D. k=— 1且c与d反向4. （2011四川）如图，正六边形ABCDEI中, B A^C D^ EF等于（）A. 0B. "BEC. ADD. CF二、填空题（每小题5分，共15分）5.____________________________________________________________________ ____________________________ 设a、b是两个不共线向量，X B= 2a+ pb, BC= a+ b, CD= a—2b,若A、B D三点共线，则实数p的值为_________________6. 在?ABCDK X B= a, At= b, AN= 3心M为BC的中点，贝U S= ___（用a, b 表示）.7. 给出下列命题：①向量AB勺长度与向量BA的长度相等；②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④向量AB与向量CD是共线向量，则点A、B、C D必在同一条直线上.其中不正确的个数为_________ .三、解答题（共22分）18 （10分）若a, b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a, t b, 3（a+ b）三向量的终点在同一条直线上？9. （12分）在厶ABC中, E、F分别为AC AB的中点，BE与CF 相交于G点，设AB= a,AC= b,试用a, b表示AG。
平面向量经典练习题(含答案)
高中平面向量经典练习题【编著】黄勇权一、填空题1、向量a=（2，4），b=（-1，-3），则向量3a-2b的坐标是。
2、已知向量a与b的夹角为60°，a=（3，4），|b | =1，则|a+5b | = 。
3、已知点A（1，2），B（2，1），若→AP=（3，4），则→BP= 。
4、已知A（-1，2），B（1，3），C（2，0），D（x，1），若AB与CD共线，则|BD|的值等于________。
5、向量a、b满足|a|=1，|b|= 2 ，(a+b)⊥(2a-b)，则向量a与b的夹角为________。
6、设向量a，b满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6 ，则a·b＝。
7、已知a、b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是。
8、在△ABC中，D为AB边上一点，→AD =12→DB，→CD =23→CA + m→CB，则m= 。
9、已知非零向量a，b满足|b|=4|a|，a⊥（2a+b），则a与b的夹角是。
10、在三角形ABC中，已知A（-3，1），B（4，-2），点P（1，-1）在中线AD上，且→AP= 2→PD，则点C的坐标是（）。
二、选择题1、设向量→OA=（6，2），→OB=（-2，4），向量→OC垂直于向量→OB，向量→BC平行于→OA，若→OD +→OA=→OC，则→OD坐标=（）。
A、（11，6）B、（22，12）C、（28，14）D、（14，7）2、把A（3,4）按向量a（1,-2）平移到A',则点A'的坐标（）A、（4 , 2）B、（3，1）C、（2，1）D、（1，0）3、已知向量a，b，若a为单位向量, 且 | a| = | 2b| ,则（2a+ b）⊥（a-2b），则向量a与b的夹角是（）。
A、90°B、60°C、30°D、0°4、已知向量ab的夹角60°，| a|= 2，b=（-1，0），则| 2a-3b|=（）A、 15B、 14C、 13D、 115、在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|2·→0C ＋→CD|＝4，则,|→BC+→CD|＝______.A、12B、8C、4D、26题、7题、8、若向量a＝(3,4)，向量b＝(2,1)，则a在b方向上的投影为________．A、2B、4C、8D、169题、10、已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则→AE·→BD＝.A、-1B、1C、-2D、2三、解答题1、在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，求→AB·→AC的值。
平面向量的练习题及答案
平面向量的练习题及答案平面向量的练习题及答案典例精析题型一向量的有关概念下列命题：①向量AB的长度与BA的长度相等；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；④向量AB与向量CD是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上.其中真命题的序号是.①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；AB与CD是共线向量，则A、B、C、D可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①.正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可.下列各式：①|a|＝a?a；② ?c＝a? ；③OA－OB＝BA；④在任意四边形ABCD中，M为AD的中点，N为BC的中点，则AB＋＝2；⑤a＝，b＝，且a与b不共线，则⊥.其中正确的个数为A.1B.C.D.4选D.| a|＝a?a正确；?c≠a? ； OA－OB＝BA正确；如下图所示，MN=++且MN=++，两式相加可得2MN＝AB＋DC，即命题④正确；因为a，b不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b 为菱形的两条对角线，即得⊥.所以命题①③④⑤正确.题型二与向量线性运算有关的问题如图，ABCD是平行四边形，AC、BD交于点O，点M在线段DO上，且=，点N在线段OC上,且=,设=a, =b,试用a、b 表示，，1313.在?ABCD中，AC，BD交于点O， 111所以＝＝a－b)，22＝2＝2＝2.11又＝，＝，31所以＝AD＋＝b＋1115＝b＝a，266111＝＋＝＋4412＝＝a＋b). 323所以＝－1511＝－＋)＝a.6626向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形.O是平面α上一点，A、B、C是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P满足OP＝1OA＋λ，若λ＝2时，则PA?的值为 .由已知得－＝λ，11即AP＝λ，当λ＝时，得AP＝，2所以2AP＝AB＋AC，即AP －AB＝AC－AP，所以BP＝PC，所以PB＋PC＝PB ＋BP＝0，所以? ＝?0＝0，故填0.题型三向量共线问题设两个非零向量a与b不共线.若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3，求证：A，B，D三点共线；试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线. 1证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3，所以BD＝BC ＋CD＝2a＋8b＋3＝5＝5AB，所以AB， BD共线.又因为它们有公共点B，所以A，B，D三点共线.因为ka＋b和a＋kb共线，所以存在实数λ，使ka＋b＝λ，所以a＝b.因为a与b是不共线的两个非零向量，所以k－λ＝λk－1＝0，所以k2－1＝0，所以k＝±1.向量共线的充要条件中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.已知O是正三角形BAC内部一点，+2+3=0，则△OAC的面积与△OAB的面积之比是如图，在三角形ABC中， OA＋2OB＋3OC＝0，整理可得OA＋OC＋2＝0.1令三角形ABC中AC边的中点为E，BC边的中点为F，则点O 在点F与点E连线的处，即OE＝2OF.1hh1设三角形ABC中AB边上的高为h，则S△OAC＝S△OAE＋S△OEC?OE? 的情形，而向量平行则包括共线的情形.2.判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出来.3.当向量a与b共线同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当向量a与b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||；当向量a与b不共线时，|a＋b|＜|a|＋|b|.典例精析题型一平面向量基本定理的应用如图?ABCD中,M,N分别是DC，BC中点.已知AM=a,=b,试用a，b表示，AD与AC易知AM＝AD＋DM 1＝＋，1AN＝AB＋BN＝AB2AD， 1a,??2即? ??1?b.?2?22所以＝b－a)，＝2a－b).32所以＝＋＝a＋b).运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运用值得仔细领悟.已知D为△ABC的边BC上的中点，△ABC所在平面内有一点P，满足＋＋＝0等于 1B.C.1 D.1A.由于D为BC边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知PB＋PC＝2PD，因此结合PA＋BP＋CP＝0即得PA＝2PD，因此易得P，A，D三点共线且D是PA＝1，即选C.题型二向量的坐标运算已知a＝，b＝，u＝a＋2b，v＝2a－b.若u＝3v，求x；若u∥v，求x.因为a＝，b＝，所以u＝＋2＝＋＝，v＝2－＝.u＝3v?＝3＝，所以2x＋1＝6－3x，解得x＝1.u∥v ?＝λ2x?1??,－3＝0?x＝1.对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视.nπnπ已知向量an＝sinn∈N*)，|b|＝1.则函数y＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a3＋b|2＋ (77)＋|a141＋b|2的最大值为.π设b＝，所以y＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a3＋b|2＋…＋|a141＋b|2＝2＋b2＋2＋…＋2＋b2＋2＝282＋2cos，所以y的最大7777 值为284.题型三平行向量的坐标运算已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝，n＝，p＝.若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；π若m⊥p，边长c＝2，角CABC的面积.证明：因为m∥n，所以asin A＝bsin B.由正弦定理，得a2＝b2，即a＝b.所以△ABC为等腰三角形.因为m⊥p，所以m·p＝0，即a＋b＝0，所以a＋b＝ab.由余弦定理，得4＝a2＋b2－ab＝2－3ab，所以2－3ab－4＝0.所以ab＝4或ab＝－1.113所以S△ABC＝absin C3.22设m＝，n＝，则①m∥n?x1y2＝x2y1；②m⊥n?x1x2＋y1y2＝0.已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m ＝，n＝.若m⊥n，且a＋b＝10，则△ABC周长的最小值为A.10－3C.10－23B.10＋5D.10＋231由m⊥n得2cos2C－3cos C－2＝0，解得cos C＝－cos C＝2，所以c2＝a2＋b2－2abcos例题讲解1、下列命题中,正确的是A.若a?b,则a与b的方向相同或相反B.若a?b,b?c,则a?cC.若两个单位向量互相平行,则这两个单位向量相等D.若a=b,b=c,则a=c.122、已知平面内不共线的四点0,A,B,C满足OB?OA?OC,则33|AB|:|BC|?A.3:1B.1:C.2:1D.1:23、已知向量a= ,b= ,若2a–b与b共线,则实数n的值是 A.6B. C.3?23D3?234、向量AB?按向量a?平移后得向量A?B?,则A?B?的坐标为A. B.C. D.、如图,在△ABC中,D是BC的中点,E是DC的中点,F是EC的中点,若AB?a,AC?b,则AF? A.14a?34b B.14a?34b C.18a?78bD.18a?78b6、若函数f?cos2x?1的图象按向量a平移后,得到的图象关于原点对称,则向量a可以是A. B. C.424二、填空题:共3小题7、设a,b是两个不共线的非零向量,若向量ka?2b与8a?kb的方向相反,则k?8、若a?b?c,化简3?2?2?、已知正△ABC的边长为 1 ,则BC?2CA?3AB等于检测题1、已知非零向量a,b满足a=?b,b=?a,则?= A.?1B.?1C.0D.02、设a,b是非零向量,则下列不等式中不恒成立的是A.a?b??B.abC.a?b?a?bD.a?a?b、已知a=,b=,?,则实数k的值是A.53B.2511C.?12D.?174、已知平面向量a?,b?,则向量a?b. A.平行于第一、三象限的角平分线B.平行于y轴 C.平行于第二、四象限的角平分线D.平行于x轴5、将二次函数y?x2的图象按向量a平移后,得到的图象与一次函数y?2x?5的图象只有一个公共点,则向量a?A. B. C. D.6. 如图,在正六边形ABCDEF中,已知AC?c,AD?d,则AE? .巩固练习1. 若e1,e2是夹角为的单位向量，且a?2e1?e2,b??3e1?2e2，则a?b?377A.1B. ?4C. ?D.222. 设a?,b?,c?则?c? A. B.0C.?3D.?11 答案 C3. 在?ABC中,已知向量AB?,BC?,则?ABC的面积等于 A．22B．24C．32D．2答案A4. 在?ABC中,a?5,b?8,C?60?,则BC?CA的值为A．10 B．20C．－10D．205. 已知下列命题中：若k?R，且kb?0，则k?0或b?0，若a?b?0，则a?0或b?0若不平行的两个非零向量a,b，满足|a|?|b|，则??0 ??若a与b平行，则a?b?|a|?|b|p2?q2?2其中真命题的个数是A．0B．1C．2D．36. 已知点O为△ABC外接圆的圆心，且OA?OB?CO?0,则△ABC的内角A等于 A.30?B.60? C.90?D.120?. 在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE线与CD交于点F．若AC?a，BD?b，则AF?的延长bD．a?3123bA．14a?12b B．23a?13b C．12a?14答案 B8. 已知a?1,b?6,a??2，则向量a与向量b的夹角是 A．6B．4C．3D．2答案 C9. 在平行四边形ABCD中，若BC?BA?BC?AB，则必有A.ABCD是菱形B.ABCD是矩形C.ABCD是正方形D.以上皆错10.已知向量a?,向量b?则|2a?b|的最大值，最小值分别是A．42,0B．4,42C．16,0D．4,0 二.填空题11. 已知Rt△ABC的斜边BC=5，则AB?BC?BC?CA?CA?AB 的值等于 . 答案－2512. 设p = ，q = ，若p与q的夹角??[0,2)，则x的取值范围是13. 若平面向量a，b满足??1，a?b平行于x轴，b?，则a?答案-=解析 a?b?或，则a 或a.14. 在?ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则OA?的最小值是________。
高一数学平面向量试题答案及解析
高一数学平面向量试题答案及解析1.正六边形中，（）A．B．C．D．【答案】D【解析】故选D2.已知向量a b则向量a在向量b方向上的投影为 ( )A．B．C．0D．1【答案】B【解析】略3.已知中，点是的中点，过点的直线分别交直线于两点，若，，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，因为，三点共线，所以，．【考点】1．平面向量基本定理；2．三点共线；3．基本不等式求最值．4.（本小题满分10分）已知向量，，且，（1）求a·b及|a＋b|；（2）若f（x）＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值．【答案】（1），；（2）【解析】（1）首先根据向量积的坐标表示，然后再根据两角和的余弦公式进行化简，求向量的模，根据公式，展开公式，然后按照向量数量积的坐标表示和二倍角公式进行化简；（2），第一步先按二倍角公式展开，转化为关于的二次函数求最值，第二步，进行换元，配方，所以讨论，，三种情况，得到最小值，确定参数的取值．试题解析：（1），（2分）|，因为所以．（2）令因为，．∴原函数可化为①当，，即（不合题意，舍去）．②当时，，即或（不合题意，舍去）．③当时，矛盾．综上所述．【考点】1．向量数量积的坐标表示；2．三角函数的化简；3．二次函数求最值．5.已知平面向量，且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故选B．【考点】（1）平面向量共线（平行）的坐标表示；（2）平面向量的坐标运算．6.已知屏幕上三点满足，则的形状是（）A．等腰三角形B．对边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】A【解析】设的中点为，则，为等腰三角形．故选A．【考点】（1）三角形的形状判断；（2）平面向量数量积的运算．7.在中，设，若点满足，则A．B．C．D．【答案】A【解析】由得，，答案选A．【考点】向量的线性运算8.已知，，若与垂直，则等于（）A．1B．C．2D．4【答案】C【解析】，因为与垂直，则，【考点】（1）平面向量的数量积（2）向量的模9.如图，已知点，是单位圆上一动点，且点是线段的中点．（1）若点在轴的正半轴上，求；（2）若，求点到直线的距离．【答案】（1）；（2）；【解析】（1）根据中点坐标公式求出B点坐标，再利用向量数量积坐标式表示出即可；（2）结合已知图形，求出B点坐标，再求出C点坐标，然后写出OC所在直线方程，最后根据点到直线距离公式即可求出点A到OC的距离．试题解析：（1）点在轴正半轴上，，又点是线段的中点，，，；（2），，由点是线段的中点，，直线的方程为，即，点到直线的距离．【考点】1．中点坐标公式；2．向量数量积的坐标式；3．点到直线距离；10.（本小题10分）已知向量．（Ⅰ）若向量与平行，求的值；（Ⅱ）若向量与的夹角为锐角，求的取值范围【答案】（1）（2）且【解析】（1）本题考察的是两向量的平行，可以先根据条件写出两个向量与的坐标，利用平行向量的条件，即可求出的值．（2）因为向量与的夹角为锐角，则向量的数量积大于0且不共线，根据条件代入公式即可求出的取值范围．试题解析：（Ⅰ）依题意得-------2分∵向量与平行∴，解得（Ⅱ）由（2）得∵向量与的夹角为锐角∴,且∴且【考点】平面向量的综合题11.若，则向量的夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，设与的夹角为，，则，故选C．【考点】数量积表示两个向量的夹角12.已知向量，，若，则代数式的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为向量，，，所以，解得，而=，故选择C【考点】1．共线向量的坐标表示；2．同角函数基本关系式13.如图，在正方形中，，点为的中点，点在边上．若，则．【答案】【解析】以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立直角坐标系，则，可得，即，所以【考点】向量坐线性运算14.已知向量，，若⊥，则实数的值为（）A．B．C．－D．2【答案】A【解析】两向量垂直，所以数量积为0，代入公式，解得，故选A．【考点】向量数量积的坐标表示15.（本小题满分12分）设向量a＝（4cosα，sinα），b＝（sinβ，4cosβ），c＝（cosβ，－4sinβ），（1）若a与b－2c垂直，求tan（α＋β）的值；（2）求|b＋c|的最大值．【答案】（1）2 （2）【解析】（1）由两向量垂直得到数量积为零，代入向量的坐标可得到关于的关系式，将其整理可得到的值；（2）将转化为用角的三角函数表示，求向量的模的最大值转化为求函数最大值问题，求解时要注意正余弦值的范围试题解析：（1）b－2c＝（sinβ－2cosβ，4cosβ＋8sinβ），又a与b－2c垂直，∴4cosα（sinβ－2cosβ）＋sinα（4cosβ＋8sinβ）＝0，即4cosαsinβ－8cosαcosβ＋4sinαcosβ＋8sinαsinβ＝0，∴4sin（α＋β）－8cos（α＋β）＝0，得tan（α＋β）＝2．（2）由b＋c＝（sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ），∴|b＋c|＝当sin2β＝－1时，|b＋c|＝＝4．max【考点】1．向量的坐标运算；2．向量的模；3．三角函数化简16.设为所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，．故A正确．【考点】平面向量的加减法．17.已知向量，且∥，则的最小值等于A．B．C．D．【答案】B【解析】由知，即，则．【考点】平面向量的坐标运算及用基本不等式求最值．18.已知的夹角为，则【答案】【解析】．【考点】1．向量的模；2．向量的内积．19.平面向量与的夹角为60°，＝（2,0），＝1，则|＋2|等于（）A．B．C．4D．12【答案】B【解析】【考点】向量的模与向量运算20.（本小题满分12分）已知平面向量，．（1）若，求的值；（2）若，求|-|．【答案】（1）（2）【解析】（1）由得到坐标关系式，代入相应坐标即可得到的值；（2）由直线平行得到坐标满足的的关系式，求得x值后，将向量用坐标表示，利用坐标求向量的模试题解析：（1）即（2）即当时，当时，【考点】1．向量平行垂直的判定；2．向量的模21.(本题满分15分)已知，，是同一平面上不共线的三点，且．（1）求证：；（2）若，求，两点之间的距离．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】（1）将条件当中的式子变形，利用向量数量积的定义证明是等腰三角形即可；（2）根据（1）中所证再结合等腰三角形的性质，可将转化为与有关的方程，从而求解．试题解析：（1）由得，设为的中点，则，从而有，即，由于为的中点，且，因此由“三线合一”性质可知；（2）由（1）可知，，故，即，两点之间的距离为．【考点】1．等腰三角形的性质；2．平面向量数量积．【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处．解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化，再利用①求解(较难)；③建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果．22.已知为非零向量，且，，则下列说法正确的个数为（）（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则．A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】（1）因为，，，均为非零向量，且，所以，必不共线，则，表示以是，为邻边的平行四边形的两条对角线，且该平行四边形为菱形，所以，，故（1）正确；（2），所以，故（2）正确；（3）若，则必不共线，所以以为邻边的平行四边形是矩形，所以，故（3）正确；（4）若非零向量满足，即，则以为邻边的平行四边形是矩形，所以，故（4）正确.【考点】向量加法、减法的几何意义，数量积的运算性质和向量垂直的条件.23.（2015秋•大兴安岭校级期末）已知向量=（1，2），=（2，2）．（1）求（2﹣）•（2+）；（2）设=（﹣3，λ），若与夹角为钝角，求λ的值．【答案】（1）12；（2）λ＞﹣，且λ≠6．【解析】（1）向量的坐标运算和向量的数量积的坐标运算计算即可，（2）若与夹角为钝角，则则•＜0，问题得以解决．解：（1）∵=（1，2），=（2，2），∴2﹣=（2﹣2，4﹣2）=（0，2），2+=（2+2，4+2）=（4，6），∴（2﹣）•（2+）=0×4+2×6=12；（2）若与夹角为钝角，则•＜0，•=（﹣3，λ）•（1，﹣2）=﹣3﹣2λ＜0，即λ＞﹣，且与不能方向，即﹣3×（﹣2）﹣λ≠0，解得λ≠6，故λ的范围为λ＞﹣，且λ≠6．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．24.如图所示，是的边上的中点，则向量= （填写正确的序号）．①，②，③，④【答案】①【解析】．故选A．【考点】向量的线性运算．【名师】在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．25.若向量a＝（1，2），b＝（1，－1），则2a＋b与a－b的夹角等于（）A．－B．C．D．【答案】C【解析】，所以设与的夹角为．，，．故C正确．【考点】1向量的数量积；2向量的模长．【易错点睛】本题主要考查向量的数量积和模长问题，难度一般．先由向量的数量积公式求得夹角的余弦值，由余弦值可求得角的大小．但应注意两向量的夹角范围为，若忽略角的范围容易出错．26. O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若（﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC是（）A．以AB为底边的等腰三角形B．以AB为斜边的直角三角形C．以AC为底边的等腰三角形D．以AC为斜边的直角三角形【答案】C【解析】将条件式展开化简，两边同时加上，根据向量的线性运算的几何意义即可得出答案．解：∵（﹣）•（+﹣2）=0，∴+﹣2=+﹣2．即﹣2=﹣2．两边同时加，得（）2=（）2，即AB2=BC2．∴AB=BC．∴△ABC是以AC为底边的等腰三角形．故选：C．【考点】平面向量数量积的运算．27.已知，，，且与垂直，则实数λ的值为（）A．B．C．D．1【答案】C【解析】由，所以，然后根据与垂直，展开后由其数量积等于0可求解λ的值．解：因为，所以，又，，且与垂直，所以==12λ﹣18=0，所以．故选C．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．28.（2015秋•嘉兴期末）已知向量是同一平面内的三个向量，其中．（1）若，且向量与向量反向，求的坐标；（2）若，且，求与的夹角θ．【答案】（1）．（2）．【解析】（1）令，根据模长关系列方程解出λ；（2）将展开求出，代入夹角公式计算．解：（1）设∵∴，∴．（2）∵||=，，∴2=5，2=．∵，∴22+3﹣22=+3=，∴．∴，∴．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．29.已知向量．（1）若点A，B，C能构成三角形，求x，y应满足的条件；（2）若△ABC为等腰直角三角形，且∠B为直角，求x，y的值．【答案】（1）3y﹣x≠1（2）或【解析】（1）点A，B，C能构成三角形，即三点不共线，再由向量不共线的条件得到关于x，y的不等式，即所求的x，y应满足的条件；（2）△ABC为等腰直角三角形，且∠B为直角，可得AB⊥BC且，|AB|=|BC|，转化为坐标表示，得到方程求出x，y的值解：（1）若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，∵∴=（3，1），=（2﹣x，1﹣y），又与不共线∴3（1﹣y）≠2﹣x，∴x，y满足的条件为3y﹣x≠1（2）∵=（3，1），=（﹣x﹣1，﹣y），若∠B为直角，则AB⊥BC，∴3（﹣x﹣1）﹣y=0，又|AB|=|BC|，∴（x+1）2+y2=10，再由3（﹣x﹣1）﹣y=0，解得或．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示．30.已知||=||=1，与夹角是90°，=2+3，=k﹣4，与垂直，k的值为（）A．﹣6B．6C．3D．﹣3【答案】B【解析】根据与垂直的条件，得到数量积等于0，求变量K的值，展开运算时，用到|a|=|b|=1，a与b夹角是90°代入求解．解：∵×=（2+3）×（k﹣4）=2k+（3k﹣8）×﹣12=0，又∵×=0．∴2k﹣12=0，k=6．故选B【考点】平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系．31.已知.（1）若，求的坐标；（2）设，若，求点的坐标.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由可求得的坐标，再利用向量的运算用表示出，从而求得的坐标；（2）可假设，能求的的坐标，由可得关系式，，将此关系式转化成关于的方程，求出，从而得到点的坐标.试题解析：（1）（2）设则，，解得因此，点的坐标为【考点】向量的运算.32.在中，，，，下列推导不正确的是（）A．若，则为钝角三角形B．，则ΔABC为直角三角形C．，则为等腰三角形D．，则为正三角形【答案】D【解析】A中，由可知，，得为钝角三角形；B中，由可知，，得为直角三角形；C中，由知得，，，，则为等腰三角形；D中，，总是成立，不能得到为正三角形.故选D.【考点】平面向量的数量积.33.已知点P在正△ABC所确定的平面上，且满足，则△ABP的面积与△BCP的面积之比为（）A．1：1B．1：2C．1：3D．1：4【答案】B【解析】由，可得=2，即点P为线段AC的靠近点A的三等分点，即可得出．解：∵，∴==，∴=2，即点P为线段AC的靠近点A的三等分点，∴△ABP的面积与△BCP的面积之比==，故选：B．【考点】向量的加法及其几何意义．34.如图，已知：，为的中点，为以为直径的圆上一动点，则的最大值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】以直线为轴，圆心为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则，所以，，设，则，，其中（，），所以的最大值为．故选A．【考点】平面向量的线性运算，平面向量的数量积．【名师】本题考查平面向量的数量积，解题的关键是建立适当的直角坐标系，把向量用坐标表示出来．本题中建立如解析中所示的坐标系后，可以把表示出来了，引入圆的参数方程表示法，可以把向量用参数表示，这样就可两向量的数量积表示为的函数：，由三角函数的性质可求得最大值．35.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于 ( ) A．B．C．－D．－【答案】A【解析】,而,代入原式得到,整理为,即为,所以，故选A.【考点】向量36.设是平行四边形的对角线的交点，为平面上任意一点，则= A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得，，，，，而，，所以.故选D.【考点】平面向量的加法；相反向量.37.已知的三个顶点及所在平面内一点，若，若实数满足，则（）A．B．3C．-1D．2【答案】B【解析】根据向量减法的运算法则可得所以,又因为，所以，故选B.【考点】平面向量的线性运算.38.在四边形中，设且，，则四边形的形状是（）A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形【答案】B【解析】，，故四边形为平行四边形，又因为，，,故平行四边形为矩形.【考点】向量加法、减法的几何意义.39.已知向量，，，若∥，则= ．【答案】 5；【解析】由题:，, ,∥，则：【考点】向量的坐标运算及平行的性质.40.已知非零向量、，且，，，则一定共线的三点是（）A．、B．、C．、、D．、【答案】A【解析】根据三点共线的性质，、；、、皆不可能共线，只有、，、有可能共线，假设、共线，，令,可求得，、共线成立，假设、共线，,令,无解，假设不成立，故本题的正确选项为A.【考点】三点共线的证明.【方法点睛】证明三点共线的方法有多种，有向量法，因为共线的三点中任意连接两点所成向量必共线，而由共线向量的性质可知，当两向量共线时（两向量均不为零向量），其对应坐标成比例或者满足，以此来判断三点是否共线；也可建立坐标系，由其中两点确定一条直线，再将第三点代入直线方程，看其是否在直线上；三点钟任意连接两点，可形成三个向量，通过三个向量的模长的关系也可判断三点是否共线.41.已知，点是线段上的点，，则点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】假设，则有，所以有，可求得，故本题的正确选项为D.【考点】三点共线的性质.42.设和是两个单位向量，夹角是，试求向量和的夹角.【答案】.【解析】本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，由和是两个单位向量，夹角是，我们易得，，进而我们可以求出，，，然后代入，即可求出答案.试题解析：，，，.,，故.【考点】数量积表示两向量的夹角.43.已知点，，，，则向量在方向上的投影为【答案】【解析】，，则向量在方向上的投影为．【考点】向量数量积的几何意义．44.下列四个式子中可以化简为的是（）①②③④A．①④B．①②C．②③D．③④【答案】A【解析】由向量加法三角形法则可知①正确，由向量减法的三角形法则可知④正确，故选A.【考点】向量加法、减法的三角形法则.45.已知向量满足：（1）求向量与的夹角（2）求【答案】（1）（2）【解析】（1）设向量的夹角为θ，求出，展开，代入后求得θ值；（2）利用，展开后求得答案试题解析：（1）设向量与的夹角为，，，得，（2）【考点】平面向量数量积的运算46.在菱形中，若，则等于（）A．2B．－2C．D．与菱形的边长有关【答案】B【解析】由题在菱形中，若，由，【考点】向量的运算及几何意义．47.已知是两个单位向量．（1）若，试求的值；（2）若的夹角为，试求向量与的夹角【答案】（1）（2）【解析】（1）由题为单位向量，且，可利用向量乘法运算的性质；，化为向量的乘法运算，求出，进而可求得（2）由的夹角为，可利用向量乘法的性质，分别先求出的值，再利用可得.试题解析：（1），是两个单位向量，，又，，即．（2），，，夹角 .【考点】向量的乘法运算及性质.48.设向量，若，则．【答案】【解析】由题//，可得：【考点】向量平行的性质．49.已知向量=（3，x），=（﹣2，2）（1）若向量⊥，求实数x的值；（2）若向量﹣与3+2共线，求实数x的值．【答案】（1）x=3（2）x=﹣3【解析】解：（1）∵⊥，∴•=﹣6+2x=0，解得x=3．（2）﹣=（﹣5，2﹣x），3+2=（7，3x+2）．∵﹣与3+2共线，∴7（2﹣x）+5（3x+2）=0，解得x=﹣3．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、向量共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．50.若，且，则向量与的夹角为A．30°B．60°C．120°D．150°【答案】C【解析】由,则；，得：与的夹角为120°。
(完整版)高中数学平面向量习题及答案
第二章 平面向量一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．AD 与AE 相等D ．AD 与BD 相等2．下列命题正确的是( )． A ．向量AB 与BA 是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若AB ＝DC ，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足OC ＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP ＝( )． A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0，1) B ．λ(AB ＋BC )，λ∈(0，22) C ．λ(AB －AD )，λ∈(0，1)D ．λ(AB －BC )，λ∈(0，22) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝( )． A ．EF ＋EDB ．EF －DEC ．EF ＋ADD ．EF ＋AF7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )．(第1题)A．2 B．4 C．6 D．128．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB ＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的()．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，DC＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()．A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形10．如图，梯形ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥AB∥CD则相等向量是()．A．AD与BC B．OA与OBC．AC与BD D．EO与OF(第10题)二、填空题11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x ＝．13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋m b)⊥(a－b)，则实数m等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O 是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a＋c ＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)．(第19题) 20．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值．参考答案一、选择题 1．B解析：如图，AB 与AC ，AD 与AE 不平行，AD 与BD 共线反向．2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若AB ＝DC ，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对．3．D解析：提示：设OC ＝(x ，y )，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)，α OA ＝(3α，α)，β OB ＝(－β，3β)，又αOA ＋β OB ＝(3α－β，α＋3β)，∴ (x ，y )＝(3α－β，α＋3β)，∴⎩⎨⎧βαβα33＋＝－＝y x ，又α＋β＝1，由此得到答案为D ．4．B解析：∵(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，∴(a －2b )·a ＝a 2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝b 2－2a ·b ＝0，∴ a 2＝b 2，即|a |＝|b |．∴|a |2＝2|a ||b |cos θ＝2|a |2cos θ．解得cos θ＝21． ∴ a 与b 的夹角是3π． 5．A解析：由平行四边形法则，AB ＋AD ＝AC ，又AB ＋BC ＝AC ，由 λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵AF ＝DE ， ∴ DF ＝DE ＋EF ＝EF ＋AF ．(第6题)(第1题)7．C解析：由(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，得a 2－a ·b －6b 2＝－72． 而|b |＝4，a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2|a |， ∴ |a |2－2|a |－96＝－72，解得|a |＝6． 8．D解析：由 OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，得OA ·OB ＝OC ·OA , 即OA ·(OC －OB )＝0，故BC ·OA ＝0，BC ⊥OA ，同理可证AC ⊥OB ， ∴ O 是△ABC 的三条高的交点． 9．C解析：∵AD ＝AB ＋BC ＋D C ＝－8a －2b ＝2BC ，∴AD ∥BC 且|AD |≠|BC |． ∴ 四边形ABCD 为梯形． 10．D解析：AD 与BC ，AC 与BD ，OA 与OB 方向都不相同，不是相等向量． 二、填空题 11．－32． 解析：A ，B ，C 三点共线等价于AB ，BC 共线，AB ＝OB －OA ＝(4，5)－(k ，12)＝(4－k ，－7)，BC ＝OC －OB ＝(－k ，10)－(4，5)＝(－k －4，5)，又 A ，B ，C 三点共线，∴ 5(4－k )＝－7(－k －4)，∴ k ＝－32． 12．－1．解析：∵ M (－1，3)，N (1，3)， ∴ MN ＝(2，0)，又a ＝MN ，∴ ⎩⎨⎧0＝4－3－2＝3＋2x x x 解得⎩⎨⎧4＝1＝－1＝－x x x 或∴ x ＝－1． 13．－25．解析：思路1：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴ △ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0， ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(BC ＋AB ) ＝－(CA )2 ＝－2CA ＝－25．思路2：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴∠ABC ＝90°， ∴ cos ∠CAB ＝CA AB＝53，cos ∠BCA ＝CABC＝54．根据数积定义，结合图(右图)知AB ·BC ＝0， BC ·CA ＝BC ·CA cos ∠ACE ＝4×5×(－54)＝－16， CA ·AB ＝CA ·AB cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9． ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0―16―9＝－25． 14．323． 解析：a ＋m b ＝(3＋2m ，4－m )，a －b ＝(1，5)． ∵ (a ＋m b )⊥(a －b )，∴ (a ＋m b )·(a －b )＝(3＋2m )×1＋(4－m )×5＝0 m ＝323． 15．答案：重心．解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF 交AC 于D(第13题)点E ，则OF ＝OA ＋OC ，又 OA ＋OC ＝－OB ，∴ OF ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心． 16．答案：平行四边形．解析：∵ a ＋c ＝b ＋d ，∴ a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ． ∴ 四边形ABCD 为平行四边形． 三、解答题 17．λ＜－1．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则AP ＝(x ，y )－(2，3)＝(x －2，y －3)． AB ＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］＝(3，１)＋λ(5，7) ＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵ AP ＝AB ＋λAC ，∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∴ ⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x 即⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x要使点P 在第三象限内，只需⎩⎨⎧<+<+074055λλ 解得 λ＜－1．18．DF ＝(47，2)． 解析：∵ A (7，8)，B (3，5)，C (4，3)， AB ＝(－4，－3)，AC ＝(－3，－5)．又 D 是BC 的中点， ∴ AD ＝21(AB ＋AC )＝21(－4－3，－3－5) ＝21(－7，－8)＝(－27，－4)． 又 M ，N 分别是AB ，AC 的中点， ∴ F 是AD 的中点， ∴ DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27，－4)＝(47，2)． (第18题)19．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ． ∴ AF ·ED ＝(a ＋21b )·(b －21a )＝21b 2－21a 2＋43a ·b ． 又AB ⊥AD ，且AB ＝AD ，∴ a 2＝b 2，a ·b ＝0． ∴ AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴ |2a －b |2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ． 又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos3π－cos θsin 3π)＝8sin (θ－3π)，最大值为8， ∴ |2a －b |2的最大值为16，∴|2a －b |的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －b |表示2a ，b 终点间的距离．|2a |＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ |的最大值为直径的长为4．(第19题)。
(完整版)平面向量测试题(含答案)一
必修 4 第二章平面向量教学质量检测一.选择题（ 5 分× 12=60 分） :1．以下说法错误的是（）A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等C.平行向量方向相同D.平行向量一定是共线向量2．下列四式不能化简为AD 的是（）A ．（AB＋CD）＋BC；B ．（AD＋MB）＋（BC＋CM）；C．MB＋AD－BM； D ．OC－OA＋CD；3．已知a =（ 3， 4），b =（ 5， 12），a与b则夹角的余弦为（）A．63B．65C．13D．13 6554．已知 a、 b 均为单位向量 ,它们的夹角为60°,那么 |a+ 3b| =（）A ．7B．10C．13D． 45．已知 ABCDEF 是正六边形，且AB ＝ a ， AE ＝ b ，则BC＝（）（ A ）12( a b) （B）12(b a ) （C） a ＋12b（D）12(a b)6．设a，b为不共线向量，AB＝a+2b,BC＝－4a－b,CD＝－5 a－ 3 b , 则下列关系式中正确的是（）（A）AD＝BC（B）AD＝2BC（C）AD＝－BC（D）AD＝－2BC7．设e1与e2是不共线的非零向量，且k e1＋e2与e1＋ k e2共线，则 k 的值是（）（ A） 1（B）－1（C）1（D）任意不为零的实数8．在四边形ABCD中，AB＝DC，且AC·BD＝ 0，则四边形ABCD是（）（ A）矩形（B）菱形（C）直角梯形（D）等腰梯形9．已知 M （－ 2， 7）、 N（ 10，－ 2），点 P 是线段 MN 上的点，且PN ＝－2PM，则P点的坐标为（）（ A ）（－14，16）（B）（22，－11）（C）（6，1）（D）（2，4）10．已知a＝（ 1，2），b＝（－ 2，3），且 k a + b与a－ k b垂直，则k＝（）（A）12（B） 21（C） 2 3（D） 32r r(2 x 3, x) 互相平行，其中r r）11、若平面向量a(1, x) 和 b x R .则a b （A.2或0；B.25；C.2或2 5；D. 2或10.12、下面给出的关系式中正确的个数是（）① 0 a0 ② a b b a ③a2 a 2④(a b )c a (b c)⑤a b a b(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3二. 填空题 (5 分× 5=25 分 ):13．若AB(3,4), Ａ点的坐标为（－２，－１），则Ｂ点的坐标为．14．已知a(3, 4), b (2,3) ，则 2 | a | 3a b．15、已知向量 a 3, b (1,2) ，且a b ，则a的坐标是_________________。
高一平面向量练习题
高一平面向量测试题一、选择题：1.下列向量组中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ） A ．)0,0(=a)2,1(-=bB ．)2,1(-=a)4,2(-=bC ．)5,3(=a )10,6(=bD ．)3,2(-=a)9,6(=b2.已知向量)3,2(=→a ，)2,1(-=→b ，若→→+b n a m 与 →→-b a 2共线，则nm等于( ) A ．21-； B ．21； C ．2-；D ．2；3.已知两个非零向量22),2,3(),6,3(,b a b a b a b a --=--=+则与=（ ）A ．－3B ．－24C ．21D ．12。
4. 在四边形ABCD 中，2+=，--=4，35--=，则四边形ABCD的形状是（ ）A ．长方形 B ．平行四边形 Ｃ．菱形 Ｄ．梯形 5.已知向量a =(x ,y), b =( -1,2 )，且a +b =（1，3），则a 等于（ ） A ． 2 B . 3 C. 5 D. 106.已知向量a = (-3 ,2 ) , b =(x, -4) , 若a//b ，则x=（ ）A 4B 5C 6D 77.下列式子中（其中的a 、b 、c 为平面向量），正确的是（ ）A.=-B.a （b ·c ）= （a ·b ）cC.()()(,)a a λμλμλμ=∈R D ．00=⋅ 8. 已知向量b a b a b a b a 与则满足,37|2|,3||,2||,=+==的夹角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°9.已知向量等于则垂直与若a b a n b n a,),,1(),,1(-==（ ）A ．1B ．2C ．2D ．4 10.(2,1),(3,4)a b →→==，则向量a b →→在向量方向上的投影为 （ ）A． B ． 2C ．D ．1011.,,3AB a AC b BD DC ===，用,a b 表示AD ，则AD = ( ) A ．34a b + B ．1344a b + C ．1144a b + D ．3144a b +12.若平面向量b 与向量a =(1,-2)的夹角是180, 且b 3=, 则b 等于( ).A. (3,6)-B. (3,6)-C. (6,3)-D. (6,3)-AB CD12.已知→a =2，→b =3，→→-b a =7,则向量→a 与向量→b 的夹角是（ ）A ．6πB ．4πC ．3π D ．2π 13.已知非零单位向量a 、b 满足a b a b +=-,则a 与b a -的夹角是( )A ．3π4B ．π3C ．π4D ．π614.已知)1,6(),2,3(-==，而)()(λλ-⊥+，则λ等于（ ）A ．1或2B ．2或－12C ． 2D ．以上都不对15.21,e e 是平面内不共线两向量，已知2121213,2,e e e e e k e -=+=-=，若D B A ,,三点共线，则k 的值是（ ） A ．2 B ．3- C ．2- D ．316.已知向量(2,2),(5,)a b k =-=，若a b +不超过5，则k 的取值范围是（ ） A ．[-4，6] B. [-6，4] C. [-6，2] D. [-2，6]17.设、是非零向量，)()()(,b x a b a x x f R x -⋅+=∈若函数的图象是一条直线，则 必有（ ） A ．⊥ B ．//C ．||||=D ．||||≠18.在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若λλ则则,31,2CB CA CD DB AD +===（ ）A ．32B ．31 C ．－31 D ．－32二、填空题：1.已知i 与j 为互相垂直的单位向量，2a i j =-，b i j λ=+且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是2.设向量a 与b 的模分别为6和5，夹角为120°，则||a b +等于 3 已知向量1(3,2),(5,1),2OM ON MN =-=--则等于4 已知平面内三点(2,2),(1,3),(7,)A B C x BA AC ⊥满足，则x 的值为5 设12e e 、是两个单位向量，它们的夹角是60，则1212(2)(32)e e e e -⋅-+=6.已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线， 则k ＝ ．7.若向量)4,3(-=a ，则与a平行的单位向量为________________ ， 与a垂直的单位向量为______________________。
（完整版）《平面向量》测试题及答案
（完整版）《平面向量》测试题及答案《平面向量》测试题一、选择题1.若三点P （1，1），A （2，-4），B （x,-9）共线，则（）A.x=-1B.x=3C.x=29D.x=512.与向量a=(-5,4)平行的向量是（）A.（-5k,4k ）B.(-k 5,-k 4)C.(-10,2)D.(5k,4k) 3.若点P 分所成的比为43，则A 分所成的比是（）A.73B. 37C.- 37D.-73 4.已知向量a 、b ，a ·b=-40，|a|=10,|b|=8，则向量a 与b 的夹角为（） A.60° B.-60° C.120° D.-120° 5.若|a-b|=32041-,|a|=4,|b|=5，则向量a ·b=（） A.103B.-103C.102D.106．(浙江)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A.? ????79，73B.? ????－73，－79C.? ????73，79D.? ????－79，－737.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量（a+x ）·b 与b 垂直，则x 的值为（） A.323B.233C.2D.-52 8.设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（） A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,-21) 9.设四边形ABCD 中，有DC =21，且||=|BC |，则这个四边形是（） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形10.将y=x+2的图像C 按a=(6,-2)平移后得C ′的解析式为（）A.y=x+10B.y=x-6C.y=x+6D.y=x-1011.将函数y=x 2+4x+5的图像按向量a 经过一次平移后，得到y=x 2的图像，则a 等于（） A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1)12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D 的坐标是（） A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 二、填空题13.设向量a=(2,-1)，向量b 与a 共线且b 与a 同向，b 的模为25，则b= 。
平面向量同步练习
2.1平面向量的实际背景及基本概念 1 .在下列判断中，正确的是 ( )①长度为0的向量都是零向量； ②零向量的方向都是相同的； ③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向； ⑤任意向量与零向量都共线.A .①②③ B.②③④ C .①②⑤ D.①③⑤2. 下列关于向量的结论：(1)若|a | =|b |，贝U a = b 或a =- b ； (2)向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；⑶起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；(4)若向量a 与b 同向，且| a |>| b |，则a >b. 其中正确的序号为() A. (1)(2)B.⑵(3) C . (4)D. (3) 3. 下列说法正确的是( ) ① 向量ABw &是平行向量，则 A B C D 四点一定不在同一直线上② 向量a 与b 平行，且| a | = | b |丰0,贝U a + b = 0或a - b = 016.已知E,F 分别是平行四边形 ABCD 勺边BC,CD 中点,AF 与DE 相交于点G,若AB = a , AD 二b ,则GC 用a, b 表示为 ________ .③向量AB 勺长度与向量BA 勺长度相等 A. ①③ 1. 向量 2. ④单位向量都相等B.②④ C .①④ D.②③—2_― T2向量的线性运算及其几何意义(AB MB) (BO BC) OM 化简后等于PM -PN MN 所得结果是3. 4. 化简 四边形ABCD 是平行四边形，则BC -CD BA 等于11 — r r -4-化简的丄［丄(2a 8b) -(4^ 2b)］结果是 _____________ 3 2 已知向量 a , b ，且 3(x+a )+2(x — 2a )—4(x —a+b )= 0，则 x = ___________ .若向量x 、y 满足2x +3y = a ,3x —2y = b , a 、b 为已知向量，贝U x = ________ ； y = —F T T T在矩形 ABCD 中，若 | AB |=3 J BC |=4，则 | AB AD |=已知正方形 ABCD 边长为J , AB 二a , BC 二b , AC =C ，则a b C 的模等于 已知|OA|=|a |=3 , |OB|=|b|=3，/ AOB=60，则 |a b|二 一10. 已知E 、F 分别为四边形 ABCD 勺边CD BC 边上的中点，设AD =a , BA = b ，则EF = _11. 在厶ABC 中，D E 、F 分别BC CA AB 的中点，点皿是厶ABC 的重心，则MA • MB - MC 等于12. 已知AD ，BE 分别是JABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD 二a , BE 二b ,则AC 是( ) 小、4 22 4 (A) a b (B) a b3 3 3 3 13. A. PA PB =0 B. PB PC =0 5. 6. 7. 8. 9. 42 (C) — a b (D)3 3 BC BA =2BP ,| 则( C. PC PA = 0 D. b 3 PA PB PC = 01 t T14. 在△ ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若 AD =2DB,CD =^CA — CB ,则’二• 斗 T 畔 畔F ・ ・15. 6、e 2是两个不共线的向量,且AB =2e •ke 2,CB=e 1 3e , ,C^2e^e 2 .若A B 、D 三点共线,则k 的值为 ______ .3 设t P 是^ A%C 所在平面内的一点屮2.3 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角A 蠹A . 52.已知平面向量A . - 1 a = (1 , B. B. 65 C ・¥ D. 13 —3) , b = (4 , — 2),入 a + b 与 a 垂直，则入=(1 C . -2 D. 2 3.已知 | a |=| A . 1 B T b | , .-1 a'_ b ，且(a + b ') — (k a - b )，则 k 的值是( ) C6), P ( 3, 4),且 AP =■ PB , x 和’的值分别为() C . -7 , - D . 5,- 5 5 5.已知向量a = ( 3, 1), b 是不平行于x 轴的单位向量，且 a • b = 3，贝U b 等于( ) 1, 4.已知平面内三点 A . -7 , 2A (-1 , 0), B( x , 」1 2 , 2 6. 设点M 是线段BC 的中点，点 A . 8 7. 已知a,b A. B. C. D. (1,0)JT &已知向量 A 30° B. 4 是非零向量且满足( A 在直线 BC 外, B C = 16, |A B + A C = |AB- A C ，则 | X M =( c. 2 a - 2b ) 丄a , 2 二 D. 1 (b -2a ) 丄b ,则a 与b 的夹角是( ) 5 二 6a =(1,2),b =(—2, M),|c|=、5,若(a b) 5 ,则a 与C 的夹角为 ( ) 2 D 150 °15 —,| a | = 3 , | b | = 5 ,贝U a 与b 的夹角是( B 60° 120 ° 9.已知△ ABC 中, XB= a , AC= b , a • b <0, &ABC =.30° B . 150 C . 210° D. 30° 或 150° 10. P 是厶ABC 所在平面上一点, PA PB 二 PB PC 二 PC PA ，贝U P 是厶 ABC 的(外心B 内心 重心 D 垂心 11. 已知向量 a=( cos msin v)，向量 b=( 、、3, -1)，则 |2a - b| 的最大值是12. (1) a = ( - 3,2) , b = (2,1) , c = (3 , - 1) , t € R13. (1) 已知向量 求|a + tb |的最小值及相应的t 值；(2)若a -tb 与c 共线，求实数t . 已知 XB= (6,1) , E3C = (x , y ) , &== ( - 2,- 3)，若 E3C// 5A ACL E3D 求x 、y 的值；(2)求四边形ABC 啲面积。
高一数学必修4《平面向量》测试卷(含答案)
《平面向量》测试卷考试时间：120分钟满分：150分一.选择题.(本大题共1２小题,每小题5分,共6０分) 1.对于任意向量a b 和，下列命题中正确的是（)A.若,a b 满足a b >,且a b 与同向,则a b >B.a b a b +≤+ C ．a b a b ⋅≥ D.a b a b -≤-2.已知平面向量(1,1),(1,1)a b ==-，则向量1322a b -等于（)A ．(2,1)--ﻩ B.(2,1)- Ｃ.(1,0)- D.(1,2)- 3．下列各组向量中，可以作为基底的是（） A ．12(0,0),(1,2)e e ==-B ．12(1,2),(5,7)e e =-=C ．12(3,5),(6,10)e e ==D .1213(2,3),(,)24e e =-=-4.已知5,28,3()AB a b BC a b CD a b =+=-+=-,则（ ) A.A B D 、、三点共线B.A B C 、、三点共线 C.B C D 、、三点共线Ｄ.A C D 、、三点共线５.已知正方形ABCD 的边长为1,,,,AB a BC b AC c ===则a b c ++等于（) A.0Ｂ.32Ｄ.226.已知,,,,OA a OB b OC c OD d ====且四边形ABCD 为平行四边形，则() A.0a b c d +++=Ｂ.0a b c d -+-= C.0a b c d +--=D ．0a b c d --+=7.若(2,3),(4,7)a b ==-,则b a 在方向上的投影为()36513565８.在三角形ABC 中,,AB c AC b ==，若点D 满足2BD DC =，则AD =（ )Ａ.2133b c + Ｂ．5233b c - C.2133b c - D.1233b c + ９.如图，正六边形ABCDEF 中,BA CD EF ++=（) A.0B.BE Ｃ.AD D ．CF10.已知点O N P 、、在三角形ABC 所在平面内，且OA OB OC ==,0NA NB NC ++=,PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅,则点O N P 、、依次是三角形ABC 的（ )A.重心、外心、垂心B.重心、外心、内心C.外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心 11.如图，三角形OAB 中,3,2ON NA OM MB ==,AM 和BN 交于点G ,OG mOA nOB =+,则（）AA.11,23m n ==B.11,32m n ==C.11,63m n ==D.11,26m n ==１２.定义平面向量之间的一种运算“⊗”如下:对任意的(,),(,)a m n b p q ==，令a b mq np ⊗=-．下列说法错误的是（ ）Ａ.若a b 与共线，则0a b ⊗= B.a b b a ⊗=⊗C.,R λ∈∀都有()()a b a b λλ⊗=⊗D.2222()()a b a b a b ⊗+⋅= 二.填空题．（本大题共４小题，每小题5分,共20分）１3.已知向量(2,1),(1,),(1,2)a b m c =-=-=-,若a b +平行于c ，则m =.14.已知三角形ABC 的三个顶点坐标分别为(1,1)A ，(4,1)B ，(4,5)C ,则tan A 的值为. １5.我们知道，(1,0),(0,1)a b ==是一组单位正交基底.请再任意写出一组单位正交基底.１6.已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE CB ⋅的值为，DE DC ⋅的最大值为．三.解答题．（本大题共6小题，其中17题１0分，其余5个小题每题１2分,共70分)17.平面向量的数量积a b ⋅是一个非常重要的概念，利用它可以容易地证明平面几何的许多命题，例如勾股定理、菱形的对角线相互垂直、长方形对角线相等、正方形的对角线垂直平分等、三角形的三条中线交于一点、三角形的三条垂线交于一点、三角形的三条角平分线交于一点等．请选择其中一个命题,给出具体证明.18．已知平面直角坐标系中，点O 为原点,(3,4),(5,12)A B ---. (1)求AB 的坐标及AB ;（2）若,OC OA OB OD OA OB =+=-,求OC 及OD 的坐标; (3）求OA OB ⋅．１9.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,2),(2,3),(2,1)A B C ----. (1)求以线段,AB AC (２）设实数t 满足()0AB tOC OC -⋅=,求实数t 的值 20.如图，在矩形ABCD 中，2AB BC ==, 点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上, 若2AB AF ⋅=AE BF ⋅的值．21．已知,m n 为单位向量，夹角为3π． (1）求cos 35,2m n m n 〈+-〉；（2)若22,3m n km n π〈-+〉=,求实数k 的值．2２.已知(2,1),(3,2),(1,4)A B D -.(１）求证：AB AD ⊥；(２）若四边形ABCD 是矩形，试确定C 点的坐标;(3)若点M 为直线OD 上的一个动点，当MA MB ⋅取最小值时，求OM 的坐标.《平面向量》答案解析一.选择题．(本大题共12小题,每小题5分,共６０分)BDBAD BAADC AB二.填空题.(本大题共4小题,每小题5分,共20分）13．1- 14．43１5.(cos ,sin ),(sin ,cos )a b θθθθ==-(答案不唯一) １６.1,1三.解答题.（本大题共6小题,其中17题１0分，其余5个小题每题12分,共70分)22222222=,2=+==(+)2ABC C AB AC CBAB AC CBAB AB AC CB AC CB AC CB AC CBAC π=+∴=++⋅⊥∴17.解:勾股定理：三角形中，不妨设则有 证明： 又2220CB AB AC CB⋅=∴=+18.(1)(8,8),82(2)(3,4)(5,12)(2,16)(3,4)(5,12)(8,8)(3)(3,4)(5,12)33AB AB OC OD OAOB =-==--+-=-=----=-⋅=--⋅-=解:19.(1)(3,5),(1,1),(2,6),(4,4)210,42(2)(2,1)AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC OC AB tOC ==-+=-=∴+=-=∴=--∴-=解：由题意知则 所求的两条对角线长分别为 (3,5)(2,)(23,5)()(23,5)(2,1)511()05110115t t t t AB tOC OC t t t AB tOC OC t t ---=++∴-⋅=++⋅--=---⋅=∴--=∴=-220.,(1)()()222(1)2DF xAB CF x ABAB AF AB AD DF AB AD xAB xAB xxBF BC CF BC ABAE==-⋅=⋅+=⋅+==∴=∴=+=+-∴解:方法一：设则222()(1)212()(1)2211)2211)2422BF AB BE BC ABAB BC BCABAB BC⎡⎤⋅=+⋅+-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⋅+-⎢⎥⎣⎦=-+=-⨯+⨯=方法二：以(0,0),(2,0),(2,1),(,2)(2,0),(,2),(2,1),(2)2(,2)1(2A AB x AD yA B E F xAB AF x AE BF xAB AFxxAE BF∴====-⋅=∴⋅=∴=∴⋅=为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则(12)⋅-=121.(1)29(35)(2),357,232(35)(2)33cos35,2143523(2)(2)(),223,a bm n m n m n m nm n m nm n m nm n m nm n km n km n km⋅=∴+⋅-=+=-=+⋅-∴〈+-〉==+--⋅+=-=解:由题意知232cos31,1()2n k kkk kπ+=+∴=∴=-=或舍(1)(1,1),(3,3),0(2)(,),(3,3)(3,2)0,5(0,5)(3)(,),(,),(AB AD AB AD AB ADC x y AD BC x y x y C M a b OM a b OD ==-∴⋅=∴⊥=-=--∴==∴==-22.解:由题意得 设则由得 设则21,4),,144(2,1)(3,2)(2,14)(3,24)1778714,3417O M D a bb aMA MB a b a b a a a a a a a MA MB b ∴=-∴=-∴⋅=--⋅--=-+⋅-+=++∴=-⋅=三点共线 当,时可取得最小值，此时 714(,)3417OM ∴=-。
高中数学平面向量习题五篇
高中数学平面向量习题五篇篇一：高中数学平面向量练习题一．填空题。
1． +++等于________．2．若向量＝（3，2），＝（0，－1），则向量2－的坐标是________． 3．平面上有三个点A （1，3），B （2，2），C （7，x ），若∠ABC ＝90°，则x 的值为________．4.向量a 、b 满足|a|=1,|b|=2,(a+b)⊥(2a-b),则向量a 与b 的夹角为________．5．已知向量＝（1，2），＝（3，1），那么向量2－21的坐标是_________． 6．已知A （－1，2），B （2，4），C （4，－3），D （x ，1），若与共线，则||的值等于________．7．将点A （2，4）按向量＝（－5，－2）平移后，所得到的对应点A ′的坐标是______．8. 已知a=(1,－2),b=(1,x),若a ⊥b,则x 等于______9. 已知向量a,b 的夹角为120，且|a|=2,|b|=5,则（2a-b ）·a=______ 10. 设a=(2,－3),b=(x,2x),且3a ·b=4,则x 等于_____11. 已知y x 且),3,2(),,(),1,6(--===∥，则x+2y 的值为_____ 12. 已知向量a+3b,a-4b 分别与7a-5b,7a-2b 垂直，且|a|≠0,|b|≠0，则a 与b 的夹角为____13． 在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则()OA OB OC +的最小值是 .14．将圆222=+y x 按向量v=（2，1）平移后，与直线0=++λy x 相切，则λ的值为 .二．解答题。
1．设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）．（1）试求向量2＋的模； （2）试求向量与的夹角； （3）试求与垂直的单位向量的坐标．2.已知向量a=(θθcos ,sin )（R ∈θ）,b=(3,3)（1）当θ为何值时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底 （2）求|a －b|的取值范围3．已知向量a、b是两个非零向量，当a+tb(t∈R)的模取最小值时，（1）求t的值（2）已知a、b共线同向时，求证b与a+tb垂直4. 设向量)2,11,3(-=，向量垂直于向量，向量平行于，=(),试求OD=时+的坐标.OAOCOD,5.将函数y=－x 2进行平移，使得到的图形与函数y=x 2－x －2的图象的两个交点关于原点对称.(如图)求平移向量a 及平移后的函数解析式.6.已知平面向量).23,21(),1,3(=-=若存在不同时为零的实数k 和t,使.,,)3(2t k t ⊥+-=-+=且 （1）试求函数关系式k=f （t ） （2）求使f （t ）>0的t 的取值范围.参考答案1.2.（－3，－4）3.74.90°（21，321）．6.73．7.（－3，2）． 8.－2 9.1210.3111.0 12. 90° 13.2-14.51--或（1）∵ AB ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），＝（2－1，5－0）＝（1，5）． ∴ 2＋＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）． ∴ |2AB ＋|＝227)1(+-＝50．（2）∵ ||＝221)1(+-＝2．||＝2251+＝26，·AC ＝（－1）×1＋1×5＝4．∴ cos＝||||AC AB ⋅＝2624⋅＝13132．（3）设所求向量为m ＝（x ，y ），则x 2＋y 2＝1． ①又 ＝（2－0，5－1）＝（2，4），由⊥，得2 x ＋4 y ＝0． ②由①、②，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==．55552y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==．－55552y x ∴ （552，－55）或（－552，55）即为所求．13．【解】（1）要使向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底，则向量a 、b 共线∴33tan 0cos 3sin 3=⇒=-θθθ故)(6Z k k ∈+=ππθ，即当)(6Z k k ∈+=ππθ时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底（2）)cos 3sin 3(213)3(cos )3(sin ||22θθθθ+-=-+-=-b a 而32cos 3sin 332≤+≤-θθ ∴ 132||132+≤-≤-b a14．【解】（1）由2222||2||)(a bt a t b tb a +⋅+=+当的夹角）与是b a b a b b a t αα(cos ||||||222-=⋅-=时a+tb(t ∈R)的模取最小值（2）当a 、b 共线同向时，则0=α，此时||||b a t -=∴0||||||||||||)(2=-=-⋅=+⋅=+⋅b a a b b a a b tb a b tb a b ∴b ⊥(a+tb)18．解：设020),,(=-=⋅∴⊥=x y OB OC OB OC y x OC ①又0)1()2(3)2,1(,//=+---+=x y y x 即：73=-x y ②联立①、②得⎩⎨⎧==7,14y x ………10分 )6,11(),7,14(=-==∴OA OC OD OC 于是.19．解法一：设平移公式为⎩⎨⎧-'=-'=k y y hx x 代入2x y -=，得到k h hx x y h x k y +-+-=-'-=-'2222.)(即，把它与22--=x x y 联立，得⎪⎩⎪⎨⎧--=+-+-=22222x x y k h hx x y设图形的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2）， 由已知它们关于原点对称，即有：⎩⎨⎧-=-=2121y y x x 由方程组消去y 得：02)21(222=++-+-k h x h x .由.2102212121-==++=+h x x h x x 得且又将（11,y x ），),(22y x 分别代入①②两式并相加，得：.22221222121-+--++-=+k h x hx x x y y241)())((0211212-+-+-+-=∴k x x x x x x . 解得)49,21(.49-==a k . 平移公式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-'=+'=4921y y x x 代入2x y -=得：22+--=x x y . 解法二：由题意和平移后的图形与22--=x x y 交点关于原点对称，可知该图形上所有点都可以找到关于原点的对称点在另一图形上，因此只要找到特征点即可.22--=x x y 的顶点为)49,21(-，它关于原点的对称点为（49,21-），即是新图形的顶点.由于新图形由2x y -=平移得到，所以平移向量为49049,21021=-=-=--=k h 以下同解法一.20．解：（1）.0)(])3[(.0,2=+-⋅-+=⋅∴⊥t k t 即 ).3(41,0)3(4,1,4,02222-==-+-∴===⋅t t k t t k 即（2）由f(t)>0,得.303,0)3()3(,0)3(412><<-->+>-t t t t t t t 或则即篇二：高中数学平面向量习题及答案第二章 平面向量 一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．与共线 B ．与共线 C ．与相等 D ．与相等2．下列命题正确的是( )． A ．向量与是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若＝，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C 满足，其中R 1，则点C 的轨迹方程为( )．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝04．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b)⊥a ，(b －2a)⊥b ，则a 与b 的夹角是( )．A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C)，则＝( )．(第1题)A ．λ(＋)，λ∈(0，1)B ．λ(＋)，λ∈(0，22) C ．λ(－)，λ∈(0，1)D ．λ(－BC )，λ∈(0，22)6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则＝( )． A ．＋ B ．－ C ．＋D ．＋7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b|＝4，(a ＋2b)·(a －3b)＝－72，则向量a 的模为( )． A ．2B ．4C ．6D ．128．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，则点O 是△ABC 的( )． A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点9．在四边形ABCD 中，＝a ＋2b ，＝－4a －b ，C ＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 为( )． A ．平行四边形B ．矩形C ．梯形D ．菱形10．如图，梯形ABCD 中，|AD |＝|BC |，EF ∥AB ∥CD 则相等向量是( )． A ．AD 与BC B ．OA 与OB C ．AC 与BD D ．EO 与OF二、填空题11．已知向量OA ＝(k ，12)，OB ＝(4，5)，OC ＝(－k ，10)，且A ，B ，C 三点(第10题)共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x＝．13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，||＝4，||＝5，则AB·BC ＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋mb)⊥(a－b)，则实数m等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a ＋c＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λ(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE(利用向量证明)．20．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b|的最大值．(第19题)参考答案 一、选择题 1．B解析：如图，与，与不平行，与共线反向． 2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若＝，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对． 3．D解析：提示：设OC ＝(x ，y)，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)OA ＝(3)OB ＝(3)OAOB ＝(33)，∴ (x ，y)＝(33)，∴⎩⎨⎧βαβα33＋＝－＝y x1，由此得到答案为D ． 4．B解析：∵(a －2b)⊥a ，(b －2a)⊥b ，∴(a －2b)·a ＝a2－2a ·b ＝0，(b －2a)·b ＝b2－2a ·b ＝0，∴ a2＝b2，即|a|＝|b|．∴|a|2＝2|a||b|cos θ＝2|a|2cos θ．解得cos θ＝21．∴ a 与b 的夹角是3π．(第1题)5．A解析：由平行四边形法则，＋＝，又＋＝，由λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵＝，∴＝＋＝＋．(第6题)7．C解析：由(a＋2b)·(a－3b)＝－72，得a2－a·b－6b2＝－72．而|b|＝4，a·b＝|a||b|cos 60°＝2|a|，∴ |a|2－2|a|－96＝－72，解得|a|＝6．8．D解析：由OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，得OA·OB＝OC·OA,即OA·(OC－OB)＝0，故BC·OA＝0，BC⊥OA，同理可证AC⊥OB，∴ O是△ABC的三条高的交点．9．C解析：∵AD＝＋＋C＝－8a－2b＝2BC，∴∥BC且||≠|BC|．∴四边形ABCD为梯形．10．D解析：AD与BC，AC与BD，OA与OB方向都不相同，不是相等向量．二、填空题11．－32．解析：A ，B ，C 三点共线等价于，BC 共线，AB ＝OB －OA ＝(4，5)－(k ，12)＝(4－k ，－7)，BC ＝OC －OB ＝(－k ，10)－(4，5)＝(－k －4，5)，又 A ，B ，C 三点共线，∴ 5(4－k)＝－7(－k －4)，∴ k ＝－32．12．－1．解析：∵ M(－1，3)，N(1，3)， ∴ MN ＝(2，0)，又a ＝MN ，∴ ⎩⎨⎧0＝4－3－2＝3＋2x x x 解得⎩⎨⎧4＝1＝－1＝－x x x 或 ∴ x ＝－1． 13．－25．解析：思路1：∵ 3＝4，5，∴ △ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即⊥，∴·＝0， ∴ ·BC ＋BC ·CA ＋CA · ＝·＋· ＝CA ·(BC ＋) ＝－(CA )2＝－25．思路2：∵3＝4＝5，∴∠ABC ＝90°，∴ cos ∠CAB53，cos ∠BCA＝54．根据数积定义，结合图(右图)知·＝0，BC ·CAcos ∠ACE ＝4×5×(－54)＝－16， CA ·cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9．∴ ·＋·＋·＝0―16―9＝－25．14．323．解析：a ＋mb ＝(3＋2m ，4－m)，a －b ＝(1，5)． ∵ (a ＋mb)⊥(a －b)，∴ (a ＋mb)·(a －b)＝(3＋2m)×1＋(4－m)×5＝0 m ＝323．15．答案：重心．解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF 交AC 于点E ，则OF ＝OA ＋OC ，又 OA ＋OC ＝－OB ， ∴ ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心． 16．答案：平行四边形．(第15题)D(第13题)解析：∵ a ＋c ＝b ＋d ，∴ a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ． ∴ 四边形ABCD 为平行四边形． 三、解答题 17．λ＜－1．解析：设点P 的坐标为(x ，y)，则＝(x ，y)－(2，3)＝(x －2，y －3)．＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)＝(3，１)＋λ(5，7) ＝(3＋5λ，１＋7λ)． ∵ AP ＝＋λAC ，∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)．∴ ⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x 即⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x要使点P 在第三象限内，只需⎩⎨⎧<+<+074055λλ 解得 λ＜－1．18．＝(47，2)．解析：∵ A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，＝(－4，－3)，＝(－3，－5)．又 D 是BC 的中点，∴ ＝21(＋AC )＝21(－4－3，－3－5) ＝21(－7，－8)＝(－27，－4)．又 M ，N 分别是AB ，AC 的中点，(第18题)∴ F 是AD 的中点，∴ DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27，－4)＝(47，2)． 19．证明：设＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ． ∴ AF ·ED ＝(a ＋21b)·(b －21a)＝21b2－21a2＋43a ·b ．又AB ⊥，且，∴ a2＝b2，a ·b ＝0．∴ AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴ |2a －b|2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ．又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos 3π－cos θsin 3π)＝8sin(θ－3π)，最大值为8，∴ |2a －b|2的最大值为16，∴|2a －b|的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －b|表示2a ，b 终点间的距离．|2a|＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ|的最大值为直径的长为4．(第19题)篇三：平面向量练习题精心汇编选择题:1．已知平行四边形ABCD ，O 是平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，=，=，=，则向量等于 （ ）A ．++B ．+-C ．-+D ．--2．已知向量a 与b 的夹角为120o，3,13,a ab =+=则b等于( )（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）13．设a ，b 是两个非零向量．下列正确的是( ) A ．若|a ＋b|＝|a|－|b|，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b|＝|a|－|b|C ．若|a ＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b ＝λ aD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b|＝|a|－|b|高☆考♂资♀源€网 4．已知→a ＝(sin θ，1＋cos θ)，→b ＝(1，1－cos θ)，其中θ∈(π，3π2)，则一定有 （ ）A ．→a ∥→bB ．→a ⊥→bC ．→a 与→b 夹角为45°D ．|→a |＝|→b | 5．已知向量a →＝(6，－4)，b →＝(0，2),c →＝a →＋λb →，若C 点在函数y ＝sin π12x 的图象上,实数λ＝（ ） A ．52 B ．32C ．－52D ．－326. 已知∈Z k ，(,1),(2,4)==AB k AC ，若≤10AB ABC 是直角三角形的概率为（ ）A ．17B ．27C ．37D ．477.将π2cos 36x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象按向量π24⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，a 平移，则平移后所得图象的解析式为( )Ａ．π2cos 234x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ Ｂ．π2cos 234x y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ Ｃ．π2cos 2312x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭Ｄ．π2cos 2312x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭8.在ABC ∆中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足−→−=−→−PM AP 2,则()PA PB PC ⋅+等于( )（A ）49 （B ）43 （C ）43- (D) 49-9.已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ） Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =10.△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB = a , CA = b ,a= 1 ,b= 2, 则CD =（ ）（A ）13a + 23b （B ）23a +13b （C ）35a +45b （D ）45a +35b11．已知||2||0a b =≠,且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅=有实根,则a 与b 的夹角的取值范围是 ( )A.[0,6π]B.[,]3ππC.2[,]33ππD.[,]6ππ12. 设非零向量a =)2,(x x ,)2,3(x b -=,且b a ,的夹角为钝角，则x 的取值范围是（ ）（A ）)(0,∞- （B ）) ⎝⎛0,34 （C ）)(0,∞- ) ⎝⎛0,34（D ）⎝⎛⎪⎭⎫-∞-31, ) ⎝⎛-0,31 )⎝⎛∞+,3413.已知点O 、N 、P 在三角形ABC 所在平面内，且==,0=++NC NB NA ,则PB PA ∙=∙=∙则点O 、N 、P 依次是三角形ABC 的( )（A ）重心、外心、垂心 （B ）重心、外心、内心 （C ）外心、重心、垂心 （D ）外心、重心、内心14.设(,1)A a ，(2,)B b ，(4,5)C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为( )（A ）453a b -= （B ）543a b -= （C ）4514a b += （D ）5414a b += 15.（上海理14）在直角坐标系xOy 中，,i j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，2AB i j =+，3AC i k j =+，则k 的可能值有( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个填空题：16．四边形ABCD 中，()()()1,2,4,1,5,3AB BC CD ==--=--则四边形ABCD 的形状是17.已知,a b 是两个非零向量，且a b a b ==-，则与a a b +的夹角为____ 18.已知OFQ ∆的面积为S ，且1=⋅−→−−→−FQ OF ，若2321<<S ，则−→−−→−FQ OF ,夹角θ的取值范围是_________19.若O 是ABC 所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA-=+-，则ABC的形状为_ ___20若D 为ABC ∆的边BC 的中点，ABC ∆所在平面内有一点P ，满足0P A B P C P ++=，设||||AP PD λ=，则λ的值为__21下列命题中：① →→→→→→→⋅-⋅=-⋅c a b a c b a )(；② →→→→→→⋅⋅=⋅⋅c b a c b a )()(；③2()a b →→-2||a →=22||||||a b b →→→-⋅+；④ 若0=⋅→→b a ，则0=→a 或0=→b ；⑤若,a bc b ⋅=⋅则a c =；⑥22a a=；⑦2a bba a⋅=；⑧222()a b a b ⋅=⋅；⑨222()2a b a a b b -=-⋅+。
高中平面向量测试题及答案
高中平面向量测试题及答案(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--平面向量一、选择题1．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值为( )A ．－2B ．0C ．1D ．22．已知点A (－1,0)，B (1,3)，向量a ＝(2k －1,2)，若AB →⊥a ，则实数k 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．23．如果向量a ＝(k,1)与b ＝(6，k ＋1)共线且方向相反，那么k 的值为( )A ．－3B ．2C ．－174．在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB →、BC →分别为a 、b ，则AH →＝( ) a －45b a ＋45b C ．－25a ＋45b D ．－25a －45b 5．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，n )，若|a ＋b |＝a ·b ，则n ＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．36．已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)( )A ．最大值为8B ．是定值6C ．最小值为2D ．与P 的位置有关7．设a ，b 都是非零向量，那么命题“a 与b 共线”是命题“|a ＋b |＝|a |＋|b |”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件 8.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°9．设O 为坐标原点，点A (1,1)，若点B (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －2y ＋1≥0，1≤x ≤2，1≤y ≤2，则OA →·OB →取得最大值时，点B 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．无数10．a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )A ．λ1＝λ2＝－1B ．λ1＝λ2＝1C ．λ1·λ2＋1＝0D ．λ1λ2－1＝011．如图，在矩形OACB 中，E 和F 分别是边AC 和BC 的点，满足AC ＝3AE ，BC ＝3BF ，若OC →＝λOE →＋μOF →其中λ，μ∈R ，则λ＋μ是( )D ．112．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝－12，则△ABC 的形状为( )A ．等腰非等边三角形B ．等边三角形C ．三边均不相等的三角形D ．直角三角形第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题13．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.14．已知a ＝(2＋λ，1)，b ＝(3，λ)，若〈a ，b 〉为钝角，则λ的取值范围是________． 15．已知二次函数y ＝f (x )的图像为开口向下的抛物线，且对任意x ∈R 都有f (1＋x )＝f (1－x )．若向量a ＝(m ，－1)，b ＝(m ，－2)，则满足不等式f (a ·b )>f (－1)的m 的取值范围为________．16.已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin θ，14，b ＝(cos θ，1)，c ＝(2，m )满足a ⊥b 且(a ＋b )∥c ，则实数m ＝________. 三、解答题17．已知向量a ＝(－cos x ，sin x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ，x ∈[0，π]．(1)求函数f (x )的最大值；(2)当函数f (x )取得最大值时，求向量a 与b 夹角的大小．18．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证MF 1→·MF 2→＝0.19．△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(2sin B,2－cos2B )，n ＝(2sin 2(π4＋B2)，－1)，m ⊥n .(1)求角B 的大小；(2)若a ＝3，b ＝1，求c 的值．20．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈[π2，π]．(1)求a ·b 及|a ＋b |； (2)求函数f (x )＝a ·b ＋|a ＋b |的最大值，并求使函数取得最大值时x 的值．21．已知OA →＝(2a sin 2x ，a )，OB →＝(－1,23sin x cos x ＋1)，O 为坐标原点，a ≠0，设f (x )＝OA →·OB →＋b ，b >a . (1)若a >0，写出函数y ＝f (x )的单调递增区间；(2)若函数y ＝f (x )的定义域为[π2，π]，值域为[2,5]，求实数a 与b 的值．22．已知点M (4,0)，N (1,0)，若动点P 满足MN →·MP →＝6|PN →|.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点N 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，若－187≤NA →·NB →≤－125，求直线l 的斜率的取值范围．平面向量答案1.[解 a ＋b ＝(3，x ＋1)，4b －2a ＝(6,4x －2)，∵a ＋b 与4b －2a 平行，∴36＝x ＋14x －2，∴x ＝2，故选D.2.[解AB →＝(2,3)，∵AB →⊥a ，∴2(2k －1)＋3×2＝0，∴k ＝－1，∴选B.3.[解由条件知，存在实数λ<0，使a ＝λb ，∴(k,1)＝(6λ，(k ＋1)λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝6λ(k ＋1)λ＝1，∴k ＝－3，故选A.4.[解析] AF →＝b ＋12a ，DE →＝a －12b ，设DH →＝λDE →，则DH →＝λa －12λb ，∴AH →＝AD →＋DH →＝λa＋⎝⎛⎭⎫1－12λb ，∵AH →与AF →共线且a 、b 不共线，∴λ12＝1－12λ1，∴λ＝25，∴AH →＝25a ＋45b . 5.[解析] ∵a ＋b ＝(3,1＋n )，∴|a ＋b |＝9＋(n ＋1)2＝n 2＋2n ＋10，又a ·b ＝2＋n ，∵|a ＋b |＝a ·b ，∴n 2＋2n ＋10＝n ＋2，解之得n ＝3，故选D.6.[解析]设BC 边中点为D ，则AP →·(AB →＋AC →)＝AP →·(2AD →) ＝2|AP →|·|AD →|·cos ∠P AD ＝2|AD →|2＝6.7.[解析] |a ＋b |＝|a |＋|b |⇔a 与b 方向相同，或a 、b 至少有一个为0；而a 与b 共线包括a 与b 方向相反的情形，∵a 、b 都是非零向量，故选B.8.[解析] 由条件知|a |＝5，|b |＝25，a ＋b ＝(－1，－2)，∴|a ＋b |＝5，∵(a ＋b )·c ＝52，∴5×5·cos θ＝52，其中θ为a ＋b 与c 的夹角，∴θ＝60°.∵a ＋b ＝－a ，∴a ＋b 与a 方向相反，∴a 与c 的夹角为120°.9.[解析] x 2＋y 2－2x －2y ＋1≥0，即(x －1)2＋(y －1)2≥1，画出不等式组表示的平面区域如图，OA →·OB →＝x ＋y ，设x ＋y ＝t ，则当直线y ＝－x 平移到经过点C 时，t 取最大值，故这样的点B 有1个，即C 点．10.[解析] ∵A 、B 、C 共线，∴AC →，AB →共线，根据向量共线的条件知存在实数λ使得AC →＝λAB →，即a ＋λ2b ＝λ(λ1a ＋b )，由于a ，b 不共线，根据平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧1＝λλ1λ2＝λ，消去λ得λ1λ2＝1.11.[解析] OF →＝OB →＋BF →＝OB →＋13OA →，OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋13OB →，相加得OE →＋OF →＝43(OA →＋OB →)＝43OC →，∴OC →＝34OE →＋34OF →，∴λ＋μ＝34＋34＝32.12.[解析] 根据⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0知，角A 的内角平分线与BC 边垂直，说明三角形是等腰三角形，根据数量积的定义及AB →|AB →|·AC →|AC →|＝－12可知A ＝120°.故三角形是等腰非等边的三角形．13.[解析] a ·b ＝|a |·|b |cos60°＝2×1×12＝1，|a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝4＋4＋4×1＝12，∴|a ＋2b |＝2 3.14.[解析] ∵〈a ，b 〉为钝角，∴a ·b ＝3(2＋λ)＋λ＝4λ＋6<0，∴λ<－32，当a 与b 方向相反时，λ＝－3，∴λ<－32且λ≠－3.15.[解析] 由条件知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (－1)＝f (3)，∵m ≥0，∴a ·b ＝m ＋2≥2，由f (a ·b )>f (－1)得f (m ＋2)>f (3)，∵f (x )在[1，＋∞)上为减函数，∴m ＋2<3，∴m <1，∵m ≥0，∴0≤m <1.16.[解析] ∵a ⊥b ，∴sin θcos θ＋14＝0，∴sin2θ＝－12，又∵a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫sin θ＋cos θ，54，(a ＋b )∥c ，∴m (sin θ＋cos θ)－52＝0，∴m ＝52(sin θ＋cos θ)，∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin2θ＝12，∴sin θ＋cos θ＝±22，∴m ＝±522.17.[解析] (1)f (x )＝a ·b ＝－cos 2x ＋3sin x cos x ＝32sin2x －12cos2x －12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－12. ∵x ∈[0，π]，∴当x ＝π3时，f (x )max ＝1－12＝12.(2)由(1)知x ＝π3，a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32，设向量a 与b 夹角为α，则cos α＝a ·b |a |·|b |＝121×1＝12，∴α＝π3.因此，两向量a 与b 的夹角为π3.18.[解析] (1)解：∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ，∵过(4，－10)点，∴16－10＝λ，即λ＝6，∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：F 1(－23，0)，F 2(23，0)，MF 1→＝(－3－23，－m )，MF 2→＝(－3＋23，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝－3＋m 2，又∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0，∴MF 1→·MF 2→＝0，即MF 1→⊥MF 2→.19.[解析] (1)∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0，∴4sin B ·sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋B 2＋cos2B －2＝0，∴2sin B [1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋B ]＋cos2B －2＝0，∴2sin B ＋2sin 2B ＋1－2sin 2B －2＝0， ∴sin B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π6或56π.(2)∵a ＝3，b ＝1，∴a >b ，∴此时B ＝π6，方法一：由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴c 2－3c ＋2＝0，∴c ＝2或c ＝1. 方法二：由正弦定理得b sin B ＝a sin A ，∴112＝3sin A ，∴sin A ＝32，∵0<A <π，∴A ＝π3或23π，若A ＝π3，因为B ＝π6，所以角C ＝π2，∴边c ＝2；若A ＝23π，则角C ＝π－23π－π6＝π6，∴边c ＝b ，∴c ＝1.综上c ＝2或c ＝1. 20.[解析](1)a ·b ＝cos3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x2＝cos2x ，|a ＋b |＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝⎛⎭⎫sin 3x 2－sin x 22＝2＋2⎝⎛⎭⎫cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x2＝2＋2cos2x ＝2|cos x |，∵x ∈[π2，π]，∴cos x <0，∴|a ＋b |＝－2cos x .(2)f (x )＝a ·b ＋|a ＋b |＝cos2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1＝2⎝⎛⎭⎫cos x －122－32 ∵x ∈[π2，π]，∴－1≤cos x ≤0，∴当cos x ＝－1，即x ＝π时f max (x )＝3.21.[解析] (1)f (x )＝－2a sin 2x ＋23a sin x cos x ＋a ＋b ＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋b ， ∵a >0，∴由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2得，k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .∴函数y ＝f (x )的单调递增区间是[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )(2)x ∈[π2，π]时，2x ＋π6∈[7π6，13π6]，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－1，12]当a >0时，f (x )∈[－2a ＋b ，a ＋b ] ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＋b ＝2a ＋b ＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝4，当a <0时，f (x )∈[a ＋b ，－2a ＋b ] ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2－2a ＋b ＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝3综上知，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝4 22.[解析] 设动点P (x ，y )，则MP →＝(x －4，y )，MN →＝(－3,0)，PN →＝(1－x ，－y )．由已知得－3(x －4)＝6(1－x )2＋(－y )2，化简得3x 2＋4y 2＝12，得x 24＋y 23＝1. 所以点P 的轨迹C 是椭圆，C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意知，直线l 的斜率必存在，不妨设过N 的直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 设A ，B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1消去y 得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0. 因为N 在椭圆内，所以Δ>0.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.因为NA →·NB →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝(1＋k 2)(x 1－1)(x 2－1)＝(1＋k 2)[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝(1＋k 2)4k 2－12－8k 2＋3＋4k 23＋4k 2＝－9(1＋k 2)3＋4k 2，所以－187≤－9(1＋k 2)3＋4k2≤－125.解得1≤k 2≤3.所以－3≤k ≤－1或1≤k ≤ 3.。
(完整版)平面向量专项训练(含答案)
平面向量专题训练知识点回顾1．向量的三种线性运算及运算的三种形式。
向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。
每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。
主要内容列表如下：运 算图形语言符号语言坐标语言加法与减法→--OA +→--OB =→--OC→--OB -→--OA =→--AB记→--OA =(x 1,y 1)，→--OB =(x 1,y 2) 则→--OA +→--OB =(x 1+x 2,y 1+y 2)AB OB --→=u u u r -→--OA =（x 2-x 1,y 2-y 1）→--OA +→--AB =→--OB实数与向量 的乘积→--AB =λ→aλ∈R记→a =(x,y) 则λ→a =(λx,λy)两个向量 的数量积→a ·→b =|→a ||→b | cos<→a ,→b >记→a =(x 1,y 1), →b =(x 2,y 2) 则→a ·→b =x 1x 2+y 1y 2（3）两个向量平行 ：设a =（x 1,y 1），b =(x 2,y 2)，则a ∥b ⇔a b λ=r r⇔x 1y 2-x 2y 1=0（4）两个向量垂直：设→a =(x 1,y 1), →b =(x 2,y 2)，则→a ⊥→b⇔a 0b •=r r ⇔x 1x 2+y 1y 2=0 课堂精练一、选择题1. 已知平面向量a =,1x （） ，b =2,x x （－）， 则向量+a b ( )A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y 轴D.平行于第二、四象限的角平分线2. 已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c =（ ） A ．77(,)93 B ．77(,)39-- C ．77(,)39 D ．77(,)93--ECBA 3.已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-，如果//c d 那么 ( ) A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向 4已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)，5.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r，则（ ）A.0PA PB +=u u u r u u u r rB.0PC PA +=u u u r u u u r rC.0PB PC +=u u u r u u u r rD.0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r6.已知向量a = (2,1)，a ·b = 10，︱a + b ︱=b ︱=（ ） 7.设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则()()a c bc -•-的最小值为( )A.2-2C.1-D.18已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a（ ）A ．1BC ．2D ．49平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a =，1b= 则2ab +=( )B.10.若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=( )A.3a+bB. 3a-bC.-a+3bD. a+3b11.如图1， D ，E ，F 分别是∆ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则 ( )A ．0AD BE CF ++=u u u r u u u r u u u r rB ．0BD CF DF -+=u u u r u u u r u u u r rC ．0AD CE CF +-=u u u r u u u r u u u r rD ．0BD BE FC --=u u u r u u u r u u u r r12.已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r，那么（ ）Ａ．AO OD =u u u r u u u rＢ．2AO OD =u u u r u u u rＣ．3AO OD =u u u r u u u rＤ．2AO OD =u u u r u u u r13.设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a ,( )A ．150° B.120° C.60° D.30°14.已知()()3,2,1,0a b =-=-，向量a b λ+与2a b -垂直，则实数λ的值为( )A.17-B.17C.16-D.1615.已知1,6,()2==-=g a b a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π16.已知向量(1,1),(2,),x ==a b 若a +b 与-4b 2a 平行，则实数x 的值是 （ ） A ．-2B ．0C ．1D ．217.在ABC △中，AB =u u u r c ，AC =u u u r b ．若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r ，则AD =u u u r （ ）A ．2133+b cB ．5233-c bC ．2133-b c D ．1233+b c 18.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =u u u r ，(1,3)AC =u u u r ,则BD =u u u r （ ）A ． （－2，－4）B ．（－3，－5）C ．（3，5）D ．（2，4）19.设)2,1(-=,)4,3(-=,)2,3(=则=⋅+)2( （ ）A.(15,12)-B.0C.3-D.11- 二、填空题1.若向量a r ，b r 满足12a b ==r r ，且a r 与b r 的夹角为3π，则a b +=r r ．2.设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ3.已知向量a 与b 的夹角为120o，且4==a b ，那么(2)+gb a b 的值为4.已知平面向量(2,4)a =r ，(1,2)b =-r ．若()c a a b b =-⋅r r r r r ，则||c =r____________．5.a r ，b r 的夹角为120︒，1a =r，3b =r 则5a b -=r r ．6.已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是7.若向量a 、b 满足b a b a 与,1==的夹角为120°，则b a b a ··+＝8.已知向量(3,1)a =r ，(1,3)b =r ， (,2)c k =r ，若()a c b -⊥r r r则k = ．9.已知向量(3,1)a =r ，(1,3)b =r ，(,7)c k =r ，若()a c -r r∥b r ，则k = ．10.在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC,AD ∥BC,已知点A(－2，0)，B （6，8），C(8,6),则D 点的坐标为__________.平面向量专题训练答案：一选择题1 C2 D3 D 4Ｄ 5 B 6 C 7 D 8 Ｃ 9 B 10 B11 A 12 Ａ 13 B 14 A 15 C 16 D 17 A 18 B 19 C 二 填空题2 23 0 _4 285 76 -37 -18 09 5 10_（0，－2）。
(完整word版)高中数学平面向量习题及答案
第二章 平面向量一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．AD 与AE 相等D ．AD 与BD 相等2．下列命题正确的是( )． A ．向量AB 与BA 是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若AB ＝DC ，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足OC ＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP ＝( )． A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0，1) B ．λ(AB ＋BC )，λ∈(0，22) C ．λ(AB －AD )，λ∈(0，1)D ．λ(AB －BC )，λ∈(0，22) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝( )． A ．EF ＋EDB ．EF －DEC ．EF ＋ADD ．EF ＋AF7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )．(第1题)A．2 B．4 C．6 D．128．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB ＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的()．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，DC＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()．A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形10．如图，梯形ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥AB∥CD则相等向量是()．A．AD与BC B．OA与OBC．AC与BD D．EO与OF(第10题)二、填空题11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x ＝．13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋m b)⊥(a－b)，则实数m等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O 是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a＋c ＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)．(第19题) 20．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值．参考答案一、选择题 1．B解析：如图，AB 与AC ，AD 与AE 不平行，AD 与BD 共线反向．2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若AB ＝DC ，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对．3．D解析：提示：设OC ＝(x ，y )，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)，α OA ＝(3α，α)，β OB ＝(－β，3β)，又αOA ＋β OB ＝(3α－β，α＋3β)，∴ (x ，y )＝(3α－β，α＋3β)，∴⎩⎨⎧βαβα33＋＝－＝y x ，又α＋β＝1，由此得到答案为D ．4．B解析：∵(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，∴(a －2b )·a ＝a 2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝b 2－2a ·b ＝0，∴ a 2＝b 2，即|a |＝|b |．∴|a |2＝2|a ||b |cos θ＝2|a |2cos θ．解得cos θ＝21． ∴ a 与b 的夹角是3π． 5．A解析：由平行四边形法则，AB ＋AD ＝AC ，又AB ＋BC ＝AC ，由 λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵AF ＝DE ， ∴ DF ＝DE ＋EF ＝EF ＋AF ．(第6题)(第1题)7．C解析：由(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，得a 2－a ·b －6b 2＝－72． 而|b |＝4，a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2|a |， ∴ |a |2－2|a |－96＝－72，解得|a |＝6． 8．D解析：由 OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，得OA ·OB ＝OC ·OA , 即OA ·(OC －OB )＝0，故BC ·OA ＝0，BC ⊥OA ，同理可证AC ⊥OB ， ∴ O 是△ABC 的三条高的交点． 9．C解析：∵AD ＝＋＋C ＝－8a －2b ＝2BC ，∴AD ∥BC 且|AD |≠|BC |． ∴ 四边形ABCD 为梯形． 10．D解析：AD 与BC ，AC 与BD ，OA 与OB 方向都不相同，不是相等向量． 二、填空题 11．－32． 解析：A ，B ，C 三点共线等价于，共线，Θ＝OB －OA ＝(4，5)－(k ，12)＝(4－k ，－7)，BC ＝OC －OB ＝(－k ，10)－(4，5)＝(－k －4，5)，又 A ，B ，C 三点共线，∴ 5(4－k )＝－7(－k －4)，∴ k ＝－32． 12．－1．解析：∵ M (－1，3)，N (1，3)， ∴ MN ＝(2，0)，又a ＝MN ，∴ ⎩⎨⎧0＝4－3－2＝3＋2x x x 解得⎩⎨⎧4＝1＝－1＝－x x x 或∴ x ＝－1． 13．－25．解析：思路1：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴ △ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0， ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(BC ＋AB ) ＝－(CA )2 ＝－2CA ＝－25．思路2：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴∠ABC ＝90°， ∴ cos ∠CAB ＝CA AB＝53，cos ∠BCA ＝CABC＝54．根据数积定义，结合图(右图)知AB ·BC ＝0， BC ·CA ＝BC ·CA cos ∠ACE ＝4×5×(－54)＝－16， CA ·AB ＝CA ·AB cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9． ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0―16―9＝－25． 14．323． 解析：a ＋m b ＝(3＋2m ，4－m )，a －b ＝(1，5)． ∵ (a ＋m b )⊥(a －b )，∴ (a ＋m b )·(a －b )＝(3＋2m )×1＋(4－m )×5＝0 m ＝323． 15．答案：重心．解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF 交AC 于D(第13题)点E ，则OF ＝OA ＋OC ，又 OA ＋OC ＝－OB ，∴ OF ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心． 16．答案：平行四边形．解析：∵ a ＋c ＝b ＋d ，∴ a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ． ∴ 四边形ABCD 为平行四边形． 三、解答题 17．λ＜－1．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则AP ＝(x ，y )－(2，3)＝(x －2，y －3)． AB ＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］＝(3，１)＋λ(5，7) ＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵ AP ＝AB ＋λAC ，∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∴ ⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x 即⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x要使点P 在第三象限内，只需⎩⎨⎧<+<+074055λλ 解得 λ＜－1．18．DF ＝(47，2)． 解析：∵ A (7，8)，B (3，5)，C (4，3)， AB ＝(－4，－3)，AC ＝(－3，－5)．又 D 是BC 的中点， ∴ AD ＝21(AB ＋AC )＝21(－4－3，－3－5) ＝21(－7，－8)＝(－27，－4)． 又 M ，N 分别是AB ，AC 的中点， ∴ F 是AD 的中点， ∴ DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27，－4)＝(47，2)． (第18题)19．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ． ∴ AF ·ED ＝(a ＋21b )·(b －21a )＝21b 2－21a 2＋43a ·b ． 又AB ⊥AD ，且AB ＝AD ，∴ a 2＝b 2，a ·b ＝0． ∴ AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴ |2a －b |2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ． 又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos3π－cos θsin 3π)＝8sin (θ－3π)，最大值为8， ∴ |2a －b |2的最大值为16，∴|2a －b |的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －b |表示2a ，b 终点间的距离．|2a |＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ |的最大值为直径的长为4．(第19题)。
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第二章平面向量一、选择题1．如图所示，ABCD 中， AB－ BC＋CD等于( ) ．A． BC B． DAC． CB D． BD2．在矩形 ABCD 中，| AB|＝ 3 ，| BC | ＝1，则向量 ( AB＋ AD ＋ AC)的长等于( ) ．A ． 2 B． 2 3(第 2题) C．3 D．43．如图， D， E， F 是△ ABC 的边 AB， BC， CA 的中点，则 AF － DB 等于 ( ) ．A． FDB． FCC． FE D． BE4．下列说法中正确的是() ．A ．向量 a 与非零向量 b 共线，向量 b 与向量 c 共线，则向量 a 与 c 共线B．任意两个模长相等的平行向量一定相等C．向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 所在直线的夹角为锐角D．共线的两个非零向量不平行5．下面有四个命题，其中真命题的个数为() ．①向量的模是一个正实数．②两个向量平行是两个向量相等的必要条件．③若两个单位向量互相平行，则这两个向量相等．④模相等的平行向量一定相等．A ． 0 B． 1 C． 2 D． 3 6．下列说法中，错误的是( ) ．A ．零向量是没有方向的C．零向量与任一向量平行7．在△ ABC 中， AD ，BE，CF 分别是B．零向量的长度为0D．零向量的方向是任意的BC，CA ，AB 边上的中线， G 是它们的交点，则下列等式中不正确的是( ) ．A． BG＝2 BE 3B．DG＝1AG2C． CG ＝－ 2FGD．1DA＋2FC＝1BC 3 3 28．下列向量组中能构成基底的是( ) ．A ． e1＝ ( 0， 0) ， e2＝( 1， 2) B． e1＝(- 1， 2) ，e2＝( 5， 7)C．e1＝ ( 3， 5) ，e2＝ ( 6， 10) D．e1＝ ( 2， - 3) ， e2＝ ( 1， - 3 ) 2 49．已知 a＝ (- 1， 3) ， b＝( x，－ 1) ，且 a∥ b，则 x 等于 ( ) ．A ． 3 B．－ 2 C．1D．－1 3 310．设 a， b， c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则①( a·b) · c－ ( c· a) · b＝0；② | a| － | b| ＜ | a－ b| ；③ ( b· c) · a－ ( c· a) ·b 不与 c 垂直；④ ( 3a＋ 2b) ·( 3a－ 2b) ＝ 9| a| 2－ 4| b| 2中，是真命题的是 () ．A ．①②B．②③C．③④D．②④二、填空题：11．若非零向量，满足|＋|＝|－|，则与所成角的大小为．12．在ABCD 中， AB ＝ a， AD ＝ b， AN ＝ 3 NC ， M 为 BC的中点，则MN ＝ _______． ( 用 a， b 表示 )13．已知 a＋b＝ 2i － 8j，a－ b＝－ 8i ＋ 16j ，那么 a·b＝．(第 12题) 14．设 m，n 是两个单位向量，向量a＝ m－ 2n ，且 a＝ ( 2， 1) ，则 m，n 的夹角为．15．已知 AB ＝ ( 6， 1) ． BC ＝ ( x，y) ． CD ＝ (- 2， - 3) ．则向量AD 的坐标为 ______．三、解答题：16．如图，四边形ABCD 是一个梯形， AB∥ CD ，且 AB＝ 2CD，M， N 分别是 DC 和AB 的中点，已知AB ＝ a， AD ＝ b，试用 a， b 表示 BC 和 MN ．(第 16 题) 17．已知 A( 1， 2) ， B( 2， 3) ，C( －2， 5) ，求证△ ABC 是直角三角形．18．己知 a＝ ( 1， 2) ， b＝( － 3， 2) ，当 k 为何值时，( 1) ka＋ b 与 a－ 3b 垂直？( 2) ka＋ b 与 a－ 3b 平行？平行时它们是同向还是反向？19．已知 | m| ＝ 4， | n| ＝ 3，m 与 n 的夹角为60°， a＝ 4m－ n ， b＝ m＋ 2n ，c＝2m－ 3n ．求：( 1) a2＋ b2＋c2．( 2) a·b＋ 2b· c－ 3c· a．第二章平面向量参考答案一、选择题1．答案： C解析：从图上可看出AD＝BC，则 AB－BC＝AB－AD＝DB，而 DB＋CD＝CD－BD＝CB．2． D解析：如图∵AB＋AD＋AC＝AB＋BC＋AC＝AC＋AC＝2AC．3． D解析：向量可以自由平移是本题的解题关键，平移的目的是便于按向量减法法则进行运算，由图可知．∴AF－DB＝AF－AD＝DF＝BE．4． A(第1题)(第2题) (第 3题)解析：向量共线即方向相同或相反，故非零向量间的共线关系是可以传递的．模长相等的平行向量可能方向相反，故 B 不正确．向量不共线，仅指其所在直线不平行或不重合，夹角可能是直角，故 C 不对．而选项 D 中向量共线属于向量平行．5． B解析：正确解答本题的关键是把握住向量的两个要素，并从这两个要素入手区分其他有关概念．①向量的模应是非负实数．②是对的③两个单位向量互相平行，方向可能相同也可能相反，因此，这两个向量不一定相等．④模相等且方向相同的向量才相等．6． A解析：零向量是规定了模长为0 的向量，其方向是任意的，它和任一向量共线，因此，0 绝不是没有方向.7． B解析：如图，G 是重心， DG ＝1GA ，所以 B 错．21DA＋2FC ＝DG ＋GC＝DC ＝1BC，所以不能选 D．3 3 28． B(第7题)解析：利用 e1 21221∥ ex y － x y ＝ 0，可得只有 B 中 e1， e2不平行，故应选 B ．9． C解析：由 a∥ b，得 3x＝ 1，∴ x＝1．310． D解析：①平面向量的数量积不满足结合律．故①假；②由向量的减法运算可知 | a| ，| b| ，| a－ b| 恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边” ，故②真；③因为［ ( b·c) ·a－ ( c·a) ·b］·c＝ ( b·c) ·a·c－ ( c·a) ·b·c＝ 0，所以垂直．故③假；④( 3a＋ 2b) · ( 3a－ 2b) ＝9· a· a－ 4b· b＝9| a| 2－ 4| b| 2成立．故④真．二、填空题11．答案： 90°．解析：由 |＋| ＝ |－|，可画出几何图形，如图，| － | 表示的是线段AB 的长度，| ＋ | 表示线段 OC 的长度，由｜AB｜＝｜ OC｜，( 第 11题) ∴平行四边形 OACB 为矩形，故向量与所成的角为 90°．1112．答案：a＋b．44解：如图，由AN ＝ 3 NC ，得 4 AN ＝ 3 AC ＝ 3( a＋ b) ， AM＝a＋1b，2所以 MN ＝3( a＋b) － ( a＋1b) ＝－1a＋1b．424 4(第 12 题)13．答案：－ 63．a＝－ 3i ＋4 j＝( －3，4)解析：解方程组得b＝5i－12 j＝( 5，－12)∴a· b=( － 3) ×5＋ 4× ( －12) ＝－ 63．14．答案：90°．解析：由a＝ ( 2， 1) ，得 | a| ＝ 5 ，∴ a2＝ 5，于是( m－ 2n) 2＝ 5 m2＋ 4n 2－ 4m· n＝5．∴ m· n＝ 0．∴ m， n 的夹角为90°．15．答案：( x＋ 4， y－ 2) ．解析：AD AB BC CD ＝ ( 6， 1) ＋ ( x， y) ＋ ( － 2，－ 3) ＝( x＋ 4， y－ 2) ．三、解答题16．答案：BC ＝ b－1 a， MN = 1 a－ b2 4解：如图，连结CN，则AN DC ．∴四边形ANCD 是平行四边形．(第 16题)CN ＝－ AD =－ b，又∵ CN ＋ NB ＋ BC ＝ 0，∴BC ＝－ CN － NB ＝b－1a． 2∴MN ＝ CN － CM ＝ CN ＋1AN ＝－ b＋1a＝1a－b．24 417．解析：∵AB ＝( 2－1， 3－2) ＝ ( 1，1) ， AC ＝( －2－1， 5－2) ＝ ( －3，3) ．∴AB · AC ＝1×(－ 3) ＋1× 3＝0．∴AB⊥AC．∴△ ABC 是直角三角形．18．答案： ( 1) 当 k＝ 19 时， ka＋ b 与 a－ 3b 垂直；( 2) 当 k＝－1时， ka＋ b 与 a－ 3b 平行，反向．3解析： ( 1) ka＋ b＝ k( 1， 2) ＋( － 3， 2) ＝ ( k－ 3，2k＋2) ，a－ 3b＝ ( 1， 2) － 3( － 3， 2) ＝ ( 10，－ 4) ．当 ( ka ＋ b) · ( a －3b) ＝ 0 时，这两个向量垂直．由 ( k －3， 2k ＋ 2) · ( 10，－ 4) ＝ 0，得 10( k － 3) ＋ ( 2k ＋ 2)( － 4) ＝ 0．解得 k ＝19，即当 k ＝ 19 时， ka ＋ b 与 a － 3b 垂直．( 2) 当 ka ＋ b 与 a － 3b 平行时，存在实数，使 ka ＋ b ＝ ( a －3b) ，由 ( k －3， 2k ＋ 2) ＝ ( 10，－ 4) ，得 k －3＝10 2k＋2＝－ 4＝－1k解得3＝－13即当 k ＝－ 1时， ka ＋ b 与 a － 3b 平行，此时 ka ＋b ＝－ 1 ， 3 3 a ＋ b∵ ＝－ 1＜ 0，∴－ 1a ＋b 与 a － 3b 反向．3 319．答案： ( 1) 366， ( 2) － 157．解析：∵｜ m ｜＝ 4，｜ n ｜＝ 3， m 与 n 的夹角为 60°，∴ m · n ＝ | m|| n| cos 60°＝ 4× 3× 1＝6． 2( 1) a 2＋ b 2＋ c 2＝ ( 4m － n) 2 ＋( m ＋ 2n) 2＋ ( 2m － 3n) 2＝ 16｜m ｜2－8m · n ＋｜ n ｜2＋｜ m ｜2＋4m ·n ＋4｜n ｜2＋4｜ m ｜2－12m ·n ＋ 9｜n ｜2＝ 21｜m ｜2－ 16m · n ＋ 14｜ n ｜ 2＝ 21×16－ 16×6＋ 14× 9＝ 366．( 2) a ·b ＋ 2b · c － 3c · a＝ ( 4m － n) · ( m ＋ 2n) ＋2( m ＋ 2n) · ( 2m － 3n) －3( 2m － 3n) · ( 4m － n)＝－ 16｜ m ｜ 2＋ 51m · n －23｜ n ｜ 2＝－ 16× 16＋ 51× 6－ 23× 9＝－ 157．另解： a · b ＋ 2b · c － 3c · a ＝ b · ( a ＋2c) － 3c · a ＝ ＝－ 157．。