第8章 §8.6.2-2 三个变量的卡诺图化简习题2与答案 -10-2上课讲义

第8章§8.6.2-2 三个变量的卡诺图化简习题2与答案
（一）考核内容
1、第8章掌握逻辑运算和逻辑门；掌握复合逻辑运算和复合逻辑门；掌握逻辑函数的
表示方法；掌握逻辑代数的基本定理和常用公式；掌握逻辑函数的化简方法。

8.6.2 -2逻辑函数的卡诺图化简法
一、三个逻辑变量的卡诺图化简
1、三个逻辑变量最小项的定义
一般地，
n个逻辑变量，可以构成2n个最小项．利用真值表可以验证，最小项具有下面的性质（以
如最小项ABC 对应的变量取值为000，它对应十进制数为0。

因此，最小项ABC 的编号为m 0，如最小项ABC 对应的取值为100，ABC 变量编号为m 4，其余最小项的编号以此类推。

三个自变量为例）：
(1) n个变量的全部最小项之和为1．即
(2) 任意两个最小项的积恒为0。

.
m0 +m1 +m2 +m3 +m4 +m5 +m6 +m7 = 1．
2、最小项的编号
三个逻辑变量A、B、C的逻辑函数的最小项有8个．将逻辑变量A、B、C都赋值1；逻辑如：m
4
m6 =ABC ⋅ABC = ( A ⋅A)(C ⋅C)(BB) =AC ⋅ 0 = 0
(3)只有一个因子不同的两个最小项，叫做逻辑相邻的最小项．可以消去一个因子，
变量A、B、C 都赋值0．将赋值后对应项的值，为二进制数换算成为十进制数，为该项的下标．列表如下：合并成一项．例如
3、最小项表达式
m6 +m7 =ABC +ABC =AB(C +C) =AB ⋅1 =AB ．
任意一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和形式，叫做最小项表达式（“
与−或”表达式）．例如f ( A，，B ．C) =ABC +ABC +ABC =m
2
+m4 +m7
例如：
F ( A, B,C) =ABC +ABC +ABC
是一个三变量的最小项表达式，它也可以简写为
F ( A, B,C) =m
4 +m
5
+m
6
=∑m(4,5,6)
为了获得函数的最小项表达式，首先要将逻辑函数展开成“逻辑和”与“逻辑积”的形
式（“与−或”表达式），然后将因子不足的项进行配项补足。

4、相邻最小项
若两个最小项只有一个变量为互反变量，其余变量均相同，则这样的两个最小项为
逻辑相邻，并把它们称为相邻最小项，简称相邻项。

例如三变量最小项ABC 和ABC ，其
中的C 和C 为互反变量，其余变量AB 都相同，故它们是相邻最小项。

显然两个相邻最
小项相加可以合并为一项，消去互反变量，如: ABC +ABC =AB(C +C) =AB
三个逻辑变量的卡诺图为：
【例题2.1】用卡诺图化简，三变量逻辑函数
2.1 2.2 如图所示，为三变量和卡诺图。

在卡诺图的行和列分别标出变量及其状态。

变量状态的
Y =C Y =A
次序是00，01，11，10，而不是二进制递增的次序00，01，10，11。

这样排列是为了使任意
两个相邻最小项之间只有一个变量改变，满足相邻性，小方格也可用二进制数对应于十
进制数编号。

二、三个逻辑变量的卡诺图
三变量的最小项表达式，它也可以简写为
F ( A, B,C) =m
0 +m
1
+m
2
+m
3
+m
4
+m
5
+m
6
+m
7
=∑m(0,1,2,3,4,5,6,7)
【例题2.2】用卡诺图化简，Y =ABC +BC +ABC
3、卡诺图法化简逻辑函数的一般步骤
3.1 将逻辑函数化为最小项表达式
当逻辑函数不是最小项表达式时，可以用配项法将逻辑函数化为最小项表达式。

这
样才可以填入卡诺图并用卡诺图法化简。

逻辑函数Y =ABC +BC +ABC 的卡诺图表示
分析首先将逻辑函数用最小项表达式表示，然后画出卡诺
图．解Y =ABC +BC +ABC
=ABC + ( A +A)BC +ABC
=ABC +ABC +ABC
在三个逻辑变量的卡诺图中，将m5、m6、m2对应的小方格中填入“1”，其余位置填
入“0”（如图），得到已知函数卡诺图．
3.2 由最小项表达式画出卡诺图
F ( A, B, C) =∑m(2,5,6)
3.3 画圈，合并相邻的最小项
相邻最小项用矩形圈圈起来，称为卡诺圈。

画卡诺圈所遵循的规则为：
（1）必须包含所有的最小项；
（2）按照从小到大顺序，先圈孤立的“1”，即先圈孤立的最小项，再圈只能两个组合的，再圈只能四个组合的，依此类推；
每个卡诺圈内包含最小项的数目应是2的幂，1项，2项、4项或8项等，2n个相邻的最小项之和可以合并成一个“与”项，并消去i个因子。

（3）圈的圈数要尽可能少(与项总数要少)；
（4）圈要尽可能大(与项含的因子最少)，不论是否与其他圈相重，也要尽可能地画大，相重是指同一块区域可以重复圈多次，但每个圈至少要包含一个尚未被圈过的1。

按照上面规则，圈出上面给出的卡诺图中可以合并的最小项。

3.4 由卡诺图写出最简与-或表达式
在圈出的合并项所处位置上，若某变量的取值有0也有1，则该变量被消去，否则该变量被保留，并按0为反变量，1为原变量的原则写成一个“与”项。

也就是根据卡诺图的性质合并相邻最小项，并消去变量。

有几个卡诺圈就有几个“与”项，而后把这些“与”项“ 或”起来，就得到给定逻辑函数的最简“与-或”表达式了。

Y =ABC +BC
§8.6.2-2 三个逻辑变量的卡诺图化简自测题
一、填空题
1、最小项ABC 对应的变量取值为000，它对应十进制数为0。

因此，最小项ABC 的编号
为m
，2、最小项ABC 对应的取值为100，ABC 变量编号为m
4。

3、三个逻辑变量A、B、C的逻辑函数的最小项有8个。

4、若两个最小项只有一个变量为互反变量，其余变量均相同，则这样的两个最小项为
逻辑相邻，并把它们称为相邻最小项，简称相邻项。

5、三变量最小项ABC 和ABC ，其中的C 和C 为互反变量，其余变量AB 都相同，故它们是相邻最小项。

6、三变量卡诺图，在卡诺图的行和列分别标出变量及其状态。

变量状态的次序是00，01 ，11，10，而不是二进制递增的次序00，01，10，11。

这样排列是为了使任意两个相邻最小项之间只有一个变量改变，满足相邻性，小方格也可用二进制数对应于十进制数编号。

1.1
1.2
7、 F ( A , B ,C ) = ∑m (0,1,2,3) = ABC + ABC + ABC + ABC 8、 F ( A , B , C ) = ∑ m (4,5,6) = ABC + ABC + ABC 9、 F ( A , B ,C ) = ∑m (3,4,7) = ABC + ABC + ABC
Y = A + B
Y = A + BC
10、三变量的最小项表达式， 它也可以简写为
F ( A , B ,C ) = m 0 + m 1 + m 2 + m 3 + m 4 + m 5 + m 6 + m 7 = ∑m (0,1,2,3,4,5,6,7)
1.3
1.4
三个逻辑变量的卡诺图为：
Y = A + C
Y = AC
1.5 1.6
二、综合题
1、用卡诺图化简下列逻辑函数为最简“与或”式
1.7
Y = BC + AB
Y = A + B + C
Y = AC + BC
2、用卡诺图化简下列逻辑函数为最简“与或”式
2.1用卡诺图化简逻辑函数
Y = ABC + AB + ABC
BC
BC
BC
BC
A B
00
01
11
10
A
0 m 0 m 1 m 3 m 2 A
1
m 4
m 5
m 7
m 6。