保险精算学寿险精算现值
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k 0
Fra Baidu bibliotek
从概率的角度来看，我们可以得出这样的结论：
设 x 的整值余寿为K x , 简记为K , 则对 x 的赔付款的现值就 是一个随机变量 : Z v K 1 . 更一般, 如果赔付额也依赖于余寿K ,以bK 1表示, 则Z bK 1v K 1 . 赔付现值的随机变量Z的期望值就是保险的精算现值. K的概率分布函数为 : P K k k px qx k k qx . 故 Ax E Z v k 1 k qx .
1 x:n
Ax:n v k 1 k qx v n n px
1 k 0
n 1
M x M x n Dx n Dx Dx
两全寿险现值随机变量可以分解为定期寿险现值随机变 量和纯生存保险现值随机变量两部分。
设Z 为两全寿险现值随机变量， Z1为n年定期寿险现值随机变量, Z 2为n年纯生存保险现值随机变量, 则 Var Z Var Z1 Z 2 Var Z1 +Var Z 2 2Cov Z1 Z 2 又 Cov Z1 Z 2 E Z1Z 2 E Z1 E Z 2 Var Z Var Z1 Z 2 Var Z1 +Var Z 2 2E Z1 E Z 2 where Var Z 2 E Z 2 E Z 2
x 1岁死亡的人数每人1单位元赔
付在0岁的现值； M x C x t，从x岁起到生命最大值 1岁上每人
t 0
1单位元赔付在0岁的现值。 则 Mx Ax Dx
对于赔付现值随机变量Z , 计算方差： Var Z E Z 2 [ E Z ]2
2
Ax E Z 2 v
Z的方差为：
1 Var Z 2 A1 A x:n x:n
2
, where
2
A1 e x:n
k 0
n 1
2 k 1 k
qx
3、两全寿险
两全寿险是定期寿险和生存保险的合险。对(x)的1 单位元n年两全寿险，是对（x）的n年定期寿险和n年 纯生存保险的合险。 后者是以n年期满被保险人仍然存活为给付条件的 生存保险，其现值随机变量为：
附加保险费：补偿保险公司因出售和管理保单发生的费用需要 的缴费部分。 主要内容： 寿险精算现值
生存年金精算现值
均衡净保费
6.1 寿险精算现值
终身寿险 定期寿险 两全寿险
精算现值是保险赔付在投保时的期望现值。
6.1.1 死亡年年末赔付的寿险
1、终身寿险
用Ax表示终身寿险的精算现值.
k 1 x k 1 Ax v d x k / lx v d x k / lx v x k 0 k 0 其中实质上是一个有限的数 x 1。 或Ax v k 1 k qx .
k 0
在上式两边同乘lx , 得到 lx Ax v k 1 d x k .
k 0
给出直观解释.
引入转换函数： Dx v x lx , x岁存活人数每人1单位元在0岁的现值； N x Dx t , 从x岁起到生命最大值 1岁上存活
t 0
人每人每年1单位元赔付在0岁的现值。 C x v x 1d x，x
2 A1 l vd v d x 1 x x:n x
所以： A1 x:n
vd x v 2 d x 1 lx v 0 qx v 2 1 qx
n 1 t 1
n 1 t 1 n 1 x t 1 v t qx v d x t / lx v d x t / lx v x t 0 t 0 t 0 1 1 Cx t Cx n t (M x M xn ) Dx t 0 t 0 Dx
k 0
2 k 1
q e k x
k 0
2 k 1 k
qx
它相当于以计算趸缴净保费息力的两倍计算的趸缴净保费。 Var Z Ax Ax
2 2
Z的方差反映赔付现值随机变量的变动程度，用于衡量保险公司 承担的风险赔付程度。
2、定期寿险
假设在x岁时有lx 人参加定期寿险，保险人给付的所 有保险金的现值为： vd x v 2 d x 1 v n d x n 1 v n d x n 1 v n d x n 1 v n n 1 qx x岁的lx 人共趸缴净保费为A1 l ，由平衡原理，有： x:n x
第6章 净保费
保险公司销售保险产品获得保费收 入，用于补偿保单承诺的保险赔付 和费用支出，同时实现利润目标。
保费是投保人购买保险产品支付的价格，它是由保险公司 的精算师根据保险产品的成本、利润目标、市场竞争因素等制 定的。理论上，保险费又称为总保费或毛保费，可以分为净保 费和附加保险费两部分。 净保费：补偿保单所承诺的赔付和给付责任必需的缴费部分；
v n K n, n 1,... Z K 0,1,..., n 1 0 其精算现值以Ax:n 1表示，有 Ax:n 1 E Z v n n px .
把n年定期寿险与n年纯生存保险组合在一起，两全保险 现值随机变量为： v K 1 K 0,1,..., n 1 Z n K n, n 1,... v 其精算现值以Ax:n 表示，有 Ax:n A
从概率的角度来看，我们的结论：
设 x 的1单位元赔付n年定期寿险, 则对 x 的赔付款的现值随 机变量 : v K 1 Z 0 故 A
1 x:n
K 0,1,..., n 1 k n, n 1,...
n 1 k 0
.
E Z v k 1 k qx .
Fra Baidu bibliotek
从概率的角度来看，我们可以得出这样的结论：
设 x 的整值余寿为K x , 简记为K , 则对 x 的赔付款的现值就 是一个随机变量 : Z v K 1 . 更一般, 如果赔付额也依赖于余寿K ,以bK 1表示, 则Z bK 1v K 1 . 赔付现值的随机变量Z的期望值就是保险的精算现值. K的概率分布函数为 : P K k k px qx k k qx . 故 Ax E Z v k 1 k qx .
1 x:n
Ax:n v k 1 k qx v n n px
1 k 0
n 1
M x M x n Dx n Dx Dx
两全寿险现值随机变量可以分解为定期寿险现值随机变 量和纯生存保险现值随机变量两部分。
设Z 为两全寿险现值随机变量， Z1为n年定期寿险现值随机变量, Z 2为n年纯生存保险现值随机变量, 则 Var Z Var Z1 Z 2 Var Z1 +Var Z 2 2Cov Z1 Z 2 又 Cov Z1 Z 2 E Z1Z 2 E Z1 E Z 2 Var Z Var Z1 Z 2 Var Z1 +Var Z 2 2E Z1 E Z 2 where Var Z 2 E Z 2 E Z 2
x 1岁死亡的人数每人1单位元赔
付在0岁的现值； M x C x t，从x岁起到生命最大值 1岁上每人
t 0
1单位元赔付在0岁的现值。 则 Mx Ax Dx
对于赔付现值随机变量Z , 计算方差： Var Z E Z 2 [ E Z ]2
2
Ax E Z 2 v
Z的方差为：
1 Var Z 2 A1 A x:n x:n
2
, where
2
A1 e x:n
k 0
n 1
2 k 1 k
qx
3、两全寿险
两全寿险是定期寿险和生存保险的合险。对(x)的1 单位元n年两全寿险，是对（x）的n年定期寿险和n年 纯生存保险的合险。 后者是以n年期满被保险人仍然存活为给付条件的 生存保险，其现值随机变量为：
附加保险费：补偿保险公司因出售和管理保单发生的费用需要 的缴费部分。 主要内容： 寿险精算现值
生存年金精算现值
均衡净保费
6.1 寿险精算现值
终身寿险 定期寿险 两全寿险
精算现值是保险赔付在投保时的期望现值。
6.1.1 死亡年年末赔付的寿险
1、终身寿险
用Ax表示终身寿险的精算现值.
k 1 x k 1 Ax v d x k / lx v d x k / lx v x k 0 k 0 其中实质上是一个有限的数 x 1。 或Ax v k 1 k qx .
k 0
在上式两边同乘lx , 得到 lx Ax v k 1 d x k .
k 0
给出直观解释.
引入转换函数： Dx v x lx , x岁存活人数每人1单位元在0岁的现值； N x Dx t , 从x岁起到生命最大值 1岁上存活
t 0
人每人每年1单位元赔付在0岁的现值。 C x v x 1d x，x
2 A1 l vd v d x 1 x x:n x
所以： A1 x:n
vd x v 2 d x 1 lx v 0 qx v 2 1 qx
n 1 t 1
n 1 t 1 n 1 x t 1 v t qx v d x t / lx v d x t / lx v x t 0 t 0 t 0 1 1 Cx t Cx n t (M x M xn ) Dx t 0 t 0 Dx
k 0
2 k 1
q e k x
k 0
2 k 1 k
qx
它相当于以计算趸缴净保费息力的两倍计算的趸缴净保费。 Var Z Ax Ax
2 2
Z的方差反映赔付现值随机变量的变动程度，用于衡量保险公司 承担的风险赔付程度。
2、定期寿险
假设在x岁时有lx 人参加定期寿险，保险人给付的所 有保险金的现值为： vd x v 2 d x 1 v n d x n 1 v n d x n 1 v n d x n 1 v n n 1 qx x岁的lx 人共趸缴净保费为A1 l ，由平衡原理，有： x:n x
第6章 净保费
保险公司销售保险产品获得保费收 入，用于补偿保单承诺的保险赔付 和费用支出，同时实现利润目标。
保费是投保人购买保险产品支付的价格，它是由保险公司 的精算师根据保险产品的成本、利润目标、市场竞争因素等制 定的。理论上，保险费又称为总保费或毛保费，可以分为净保 费和附加保险费两部分。 净保费：补偿保单所承诺的赔付和给付责任必需的缴费部分；
v n K n, n 1,... Z K 0,1,..., n 1 0 其精算现值以Ax:n 1表示，有 Ax:n 1 E Z v n n px .
把n年定期寿险与n年纯生存保险组合在一起，两全保险 现值随机变量为： v K 1 K 0,1,..., n 1 Z n K n, n 1,... v 其精算现值以Ax:n 表示，有 Ax:n A
从概率的角度来看，我们的结论：
设 x 的1单位元赔付n年定期寿险, 则对 x 的赔付款的现值随 机变量 : v K 1 Z 0 故 A
1 x:n
K 0,1,..., n 1 k n, n 1,...
n 1 k 0
.
E Z v k 1 k qx .