初一数学专题精讲
初一数学知识点精讲精练——绝对值不等式
（3）解不等式|x﹣3|＞5．
（4）直接写出不等式|x﹣1|+|x+2|＜5 的解集：
．
【练习解析】
1. 解：由绝对值的性质得：
7 x 5
7
x
5
，
解得：2≤x≤12． 故绝对值不等式|7﹣x|≤5 的解集为：2≤x≤12．
2. 解：由于零点是 1 和 2，故将数轴分成三段来讨论． ⑴ 当 x≤1 时，原不等式可化为－(x－1)－(x－2)＞x＋3，即 x＜0．故不等式的解集是 x＜0． ⑵ 当 1＜x≤2 时，原不等式可化为(x－1)－(x－2)＞x＋3，即 x＜－2．故不等式的解集是无解． ⑶ 当 x＞2 时，原不等式可化为(x－1)＋(x－2)＞x＋3，即 x＞6．故不等式的解集是 x＞6． 综上可知，原不等式的解集是 x＜0 或 x＞6． 3. 解：（1）|x+5|+|2x﹣3|=
③|x﹣3|+|x+2|=8， 当 x＜﹣2 时， 3﹣x﹣x﹣2=8， 解得，x=﹣3.5； 当 x=﹣2 时， |﹣2﹣2|+|﹣2+2|=4≠8， ∴x=﹣2 不能使得|x﹣3|+|x+2|=8 成立； 当﹣2＜x≤3 时， 3﹣x+x+2=5≠8， 在﹣2＜x≤3 时，不能使得|x﹣3|+|x+2|=8 成立； 当 x＞3 时， x﹣3+x+2=8， 解得，x=4.5，； 故|x﹣3|+|x+2|=8 的解是 x=﹣3.5 或 x=4.5．
方法一是利用绝对值的几何意义： | x | 表示 x 到原点的距离；
| x | a(a 0) 的解为 x a
七年级数学专题二：绝对值 相反数 倒数华东师大版知识精讲
初一数学专题二：绝对值相反数倒数华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：专题二：绝对值相反数倒数二、知识要点1. 知识点概要⑴了解有理数的绝对值、相反数、倒数的意义；⑵会求一个有理数的相反数、绝对值、倒数；⑶能借助数轴理解一个数的绝对值、相反数、倒数及完成相关计算．2. 重点难点⑴有理数（特别是负数）绝对值、相反数的意义；⑵数形结合的思想方法．三、考点分析（一）借助于数轴学习有理数的概念数轴不但是研究数形结合的典型的思想方法，而且是学习有理数的重要工具．借助于数轴可以加深对有理数的有关概念的理解和运用．1. 借助于数轴理解正负数数轴的建立，可以将所有的有理数在数轴上表示出来．即零可以用原点表示，正数可以用原点右边的点表示，负数可以用原点左边的点表示出来．如，－0.1，－1，－2，－100等等只能在数轴的左边表示出来，0在数轴的原点表示出来，0. 1，1，2，100等等只能在数轴的右边表示出来．2. 借助于数轴理解绝对值⑴数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．绝对值的几何意义可以由数轴直接知道：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．a的绝对值记作|a|．⑵由数轴我们同样可以知道绝对值的代数意义：一个正数的绝对值就是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零．用数学式子表示为() ()()0, 00,0.a aaa a⎧⎪=⎨⎪-⎩＞＜⑶绝对值的主要性质：①若a为有理数，则|a|≥ 0；②绝对值为某一正数的有理数有两个，它们互为相反数；互为相反数的两个数的绝对值相等；③若|a|=a¸则a≥ 0；④若|a|+|b|=0¸则a=b=0；⑤绝对值没有最大的数，但有绝对值最小的数：0．3. 借助于数轴理解相反数⑴我们知道，只有符号不同的两个数，我们称它们互为相反数．如212与－212互为相反数，即212是－212的相反数，－212是212的相反数．零的相反数是零．由此可知，互为相反数的两个数表示在数轴上分别在原点的两旁，并且这两个数到原点的距离相等．⑵事实上，我们可以借助于数轴来这样理解相反数的概念，在数轴上，位于原点两旁，且到原点的距离相等的两个点表示的两个数即为互为相反数．如3与－2就不是互为相反数．要注意概念中的“只有”这个字眼，就是说在两个数中，只是符号不同，一个是正号，另一个是负号，其余什么都相同．另外，由数轴上原点两旁，且到原点的距离相等的两个数总是成对出现的，单独一个数或三个数等都不能说成是互为相反数．符号不同的两个数也不能说成是互为相反数，⑶相反数的表示方法：一般地，数a 的相反数是－a ，这里a 表示任意的一个数，可以是正数、0、负数，a 还可以代表任意一个代数式．一般地，在一个数前面添加一个“－”号，就成为原数的相反数．⑷相反数的重要性质：①如果a 、b 互为相反数，则a +b ＝0，反之，若a +b ＝0，则a 、b 互为相反数；②如果a 、b 互为相反数，则a 、b 在数轴上对应的点到原点的距离相等，即互为相反数的两个数的绝对值相等． 4. 借助于数轴比较有理数的大小 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．由此，利用数轴比较有理数的大小，采用数形结合的方法，简单、直观，同学们也一定易于掌握．（二）倒数⑴倒数的意义：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数．即当ab=1时，则a 、b 互为倒数；反之，当a 、b 互为倒数时，则ab=1．⑵倒数与相反数的区别：①互为倒数的两个数的积为1，而互为相反数的两个数的和为0；②0的相反数是0，而0没有倒数；③互为倒数的两个数同号，而互为相反数的两个数（0除外）异号．⑶倒数的求解方法：①求一个整数的倒数时，直接写成这个数分之一即可．如－ 3的倒数是 －31；②求一个分数的倒数时，就是把这个分数的分子和分母交换一下即可．如 －53的倒数是 －35；③若求小数的倒数时，先将小数化成分数再求．如求－0.5的倒数，由－0.5 = －21，－21的倒数是－2，则－0.5的倒数是－2。
(完整版)初一数学培优专题讲义
初一数学基础知识讲义第一讲和绝对值有关的问题一、知识结构框图：数二、绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。
也可以写成：()()() ||0a aa aa a⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。
三、典型例题例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（A ）A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。
脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。
这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。
例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ C ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示：所以分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。
这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。
虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。
例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。
初一数学绝对值典型例题精讲
初一数学精讲——绝对值第三讲绝对值绝对值是有理数中非常重要的组成部分，它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石，希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。
绝对值的定义及性质绝对值简单的绝对值方程化简绝对值式，分类讨论（零点分段法）绝对值几何意义的使用绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。
绝对值的性质：（1）绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质； a （a＞0）（2） |a|= 0 （a=0）（代数意义）-a (a＜0)（3）若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0；（4）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a，且|a|≥-a；（5）若|a|=|b|，则a=b或a=-b；（几何意义）（6） |ab|=|a|·|b|；|a|a||=（b≠0）； b|b|（7） |a|=|a|=a；（8）|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b| 222第 1 页共 10 页初一数学精讲——绝对值[例1]（1）绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？（2）若ab<|ab|，则下列结论正确的是（）A.a＜0，b＜0B.a＞0，b＜0C.a＜0，b＞0D.ab＜0（3）下列各组判断中，正确的是（）A．若|a|=b，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a＞bC. 若|a|＞b，则一定有|a|＞|b|D.若|a|=b，则一定有a=(-b) 22（4）设a，b是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？分析：（1）结合数轴画图分析。
绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±3，±4，有4个（2）答案C不完善，选择D.在此注意复习巩固知识点3。
（3）选择D。
（4）根据绝对值的非负性可以知道|a+b|≥0，则|a+b|≥9，有最小值9[巩固] 绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？<分析>：绝对值小于3.1的整数有0，±1，±2，±3，和为0。
初一数学绝对值精讲
第三讲 绝对值【思想方法.知识要点回顾与拓展】1.绝对值的定义正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．,(0)0,(0),(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩或,(0),(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩或,(0),(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 2.绝对值的几何意义a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．数a 的绝对值记作a ．3.去绝对值符号的方法：零点分段法（1）化简含绝对值的式子，关键是去绝对值符号．先根据所给的条件，确定绝对值符号内的数a 的正负（即0a >，0a <还是0a =）．如果已知条件没有给出其正负，应该进行分类讨论． （2）分类讨论时先假设每个绝对值符号内的数（或式子）等于0，得到相应的未知数的值；再把这些值表示在数轴上，对应的点（零点）将数轴分成了若干段；最后依次在每一段上化简原式．这种方法被称为零点分段法．【例题之 能力提升】例1. a ，b 是有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？（1）||||||;a b a b +=+ （2）||||||;ab a b = （3）||||;a b b a -=-（4）若||a b =则a b = （5）若||||a b <，则a b < （6）若a b >，则||||a b >变式练习：x 是什么样的有理数时，下列等式成立？（1）|(2)(4)||2||4|x x x x -+-=-+- （2）|(76)(35)|(76)(35)x x x x +-=+-例2. 若m 是方程|2000|2000||x x -=+的解，则|2001|m -等于（ ）A. m −2001B. −m −2001C. m +2001D. –m +200例3. 已知关于x 的方程||(1)a x a x =+-的解是1，则有理数a 的取值范围是______________.例 4. 三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac =+++++则321ax bx cx +++的值是多少？例5.如果在数轴上表示a ，b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ ）A.2aB.2a -C.0D.2b变式练习：已知有理数a ，b 的和a+b 及差a −b 在数轴上如图所示：化简：227a b a b +---。
初一数学《有理数的混合运算》知识点精讲
知识点总结知识点1 常规计算有理数混合运算的运算顺序：1、先乘方，再乘除，最后加减；2、同级运算，从左到右进行；3、如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行.【方法总结】根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算即可．本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的顺序和法则是解题的关键．注意：绝对值符号有括号的作用.知识点2 运算律、规律计算有理数的混合运算中，常用的运算律有：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律、加法对乘法的分配律. 【方法总结】本题主要考察了有理数混合运算的运算顺序和分配律的使用，（1）和（3）是乘法分配律的正用，（2）是乘法分配律的逆用，熟练掌握运算律的使用是解本题的关键．知识点3 求代数式的值重要结论：互为相反数的两数和为0，相反数等于自身的数是0；互为倒数的两数积为1，倒数等于自身的数有-1,1，倒数等于自身的自然数是1；最大的负整数是-1，最小的正整数是1，绝对值最小的有理数是0；有理数的混合运算:1.有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减;同级运算，应按从左到右的顺序进行计算;如果有括号，要先做括号内的运算。
2.进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化。
有理数混合运算的四种运算技巧：(1)转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算.(2)凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解.(3)分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算.(4)巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便.知识要点1.计算的基本法则：包括:有理数的加法、减法、乘法、除法、乘方①加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. 异号两数相加，取绝对值大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 一个数同0相加，仍得这个数。
初一数学《比较线段的长短》知识点精讲
初一数学《比较线段的长短》知识点精讲知识点总结1、线段的性质：两点之间，线段最短。
2、两点之间的距离：两点之间线段的长度叫做两点之间的距离。
3、比较线段长短的方法：（1）目测法；（2）度量法；（3）叠合法4、线段的中点：在线段上，到线段两个端点距离相等的点叫做线段的中点。
5、尺规作图：用没有刻度的直尺和圆规作图6、用尺规作线段：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一条线段等于已知线段的二倍；（3）作一条线段等于已知线段的和或差。
其方法是相同的，都是先画一条射线，然后用圆规在射线上截取即可，注意保留作图痕迹，画完图形后写出总结“某某线段即为所求作的线段”。
尺规作图的定义：仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫做尺规作图．要点诠释：（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．（2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度．（3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度．2.线段的中点：如下图，若点B在线段AC上，且把线段AC分成相等的两条线段AB与BC，这时点B叫做线段AC的中点．3. 用尺规作线段或比较线段（1）作一条线段等于已知线段：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a．要点诠释：几何中连结两点，即画出以这两点为端点的线段.（2）线段的比较：叠合比较法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．如下图：要点诠释：线段的比较方法除了叠合比较法外，还可以用度量比较法．如图所示，在一条笔直公路a的两侧，分别有A、B两个村庄，现要在公路a上建一个汽车站C，使汽车站到A、B两村的距离之和最小，问汽车站C的位置应如何确定?【答案与解析】解：如图，连接AB与直线a交于点C，这个点C的位置就是符合条件的汽车站的位置．【总结升华】“两点之间线段最短”在实际生活中有广泛的应用，此类问题要与线段的性质联系起来，这里线段最短是指线段的长度最短，连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，线段是图形，线段长度是数值．举一反三：【变式】(1)如图1所示，把原来弯曲的河道改直，A、B两地间的河道长度有什么变化?(2)如图2，公园里设计了曲折迂回的桥，这样做对游人观赏湖面风光有什么影响?与修一座直的桥相比，这样做是否增加了游人在桥上行走的路程?说出上述问题中的道理．【答案】解：(1)河道的长度变小了．(2)由于“两点之间，线段最短”，这样做增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏湖面风光，起到“休闲”的作用．思维导图教学设计一、教材分析：1、教材的地位和作用本节课是教材第五章《平面图形及其位置关系》的第二节，是平面图形的重要的基础知识。
(word完整版)初一数学上册完全辅导——第一章有理数精讲
初一数学上册重点知识学习参考第一章 有理数一、知识结构有理数： 按定义分 按符号分正整数 正整数 正有理数0 整数 有 正分数（含正有限小数负整数 理 0 和循环小数）有限小数 正分数 数 负整数分数 负有理数无限循环小数 负分数 负分数（含负有限小数和循环小数）注意：常见的不是有理数的数有π和有规律的但不循环的小数。
如：0.0100100010001000010000010000001……二、掌握要点1、了解有理数的概念（什么是有理数、有理数包含的范围有哪些、有理数之间的大小比较）。
（1）大于0的数叫做正数，如3、1.8、5%等。
（2）在正数前面加上负号“—”的数叫负数，即小于0的数，如-3、-2.5、-5%等。
（3）数0既不是正数，也不是负数。
0除了表示一个也没有以外，是正数和负数的分界，是基准。
（4）在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有相反的意义。
强调：用正数、负数表示实际问题中具有相反意义的量，而相反意义的量包含两个要素：一是他们的意义相反，如向东与向西、收入与支出；二是他们都是数量，而且是同类的量。
（5）正整数、0、负整数统称整数。
整数可以看作分母为1的分数。
（6）正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
（7）把一些数放在一起，就组成了一个数的集合，简称“数集”。
所有有理数组成的数集叫“有理数集”，所有整数组成的数集叫“整数集”，所有负数组成的数集叫“负数集”……数集一般用圆圈或大括号表示，因为集合中的数是无限的。
（8）有理数可以按不同的标准进行分类，标准不同，分类结果也不同。
问：有理数可分为正数和负数两大类，对吗？为什么？有理数可分为整数和分数两大类，对吗？为什么？2、有理数与数轴上的点一一对应（数轴的三要素、怎样看数轴、掌握应用数轴来进行去绝对值符号的简单运算）。
（1）通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫数轴。
数轴三要素：原点、正方向、单位长度原点——在直线上任取一点表示数0，这个点叫原点。
初一数学动点问题精讲
1 期末冲刺第十八课——动点问一、动点问题相关知识点：1. 1. 点的移动：点的移动：沿着正方向移动点表示的数字增加，逆着正方向移动点表示的数字减小（左减右加）2. 2. 两点之间的距离：两点之间的距离：数轴上两个点之间的距离可以用大数字减小数字计算得到（大减小）3.3.中点公式：中点公式：若x 为a 和b 的中点，则2a bx +=二、相关例题和练习例题1：数轴上有一个点A ，从原点出发向右运动，运动的速度是每秒钟2个单位长度；有一个点B ，从表示12的点出发向左运动，运动的速度是每秒钟3个单位长度；还有一个点C ，从10-出发向右运动，运动的速度是每秒钟2个单位长度。
（1）出发之前，若折叠数轴后点）出发之前，若折叠数轴后点-1-1和点3重合，则点A 和点和点_____________________重合。
重合。
（2）出发之后，写出t 秒之后三个点所在位置。
（3）何时A 和B 相距5个单位长度？（4）何时其中两点重合？（5）何时其中一点为另外两点的中点？练习1：已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面（1）若表示1的点与表示1-的点重合，则表示2-的点与表示数_____的点重合；（2）若表示1-的点与表示3的点重合，回答以下问题：1）、表示5的点与表示数_____的点重合；2）、若数轴上A 、B 两点之间的距离为10（A 在B 的左侧），且A 、B 两点折叠后重合，求A 、B 两点表示的数是多少？3）、在2)的情况下，若A 点以每秒钟1个单位的速度向左运动，B 点以每秒钟4个单位的速度向左运动，问多少秒后A 、B 两点相距5个单位长度？4）、在3）的情况下，何时点A、点B和原点O的其中一点，为另外两点的中点？2。
初一数学苏教版精讲学习资料
初一数学苏教版精讲学习资料数学作为一门基础学科，对于初中学生来说是一门必修课程。
在初一年级，学生们开始接触数学的基础知识，并逐渐培养数学思维能力和解决问题的能力。
本文将以初一数学苏教版教材为基础，精讲初一数学的重点内容，帮助同学们更好地理解和掌握数学知识。
一、数的认识1. 自然数的认识自然数是人们数一数事物的结果，包括0和其他的正整数。
我们可以通过数物体、数果实等活动来认识自然数。
2. 整数的认识整数是自然数及其相反数的集合，包括正整数、零和负整数。
通过图形和温度等实际问题，可以认识整数。
3. 分数的认识分数是有理数的一种，包括整数部分和分数部分。
分数的认识可以通过物体的碎片、几分之几等情境来理解。
4. 小数的认识小数是有理数的一种，是分数的十分之一、百分之一等形式表示。
小数可以通过尺子的刻度、计量器的读数等来认识。
二、正数与负数1. 正数的认识正数是大于0的数，表示有数量、有方向的量。
通过数物体的增加、表示资产的收入等，可以认识正数。
2. 负数的认识负数是小于0的数，表示有数量、有方向的量。
通过数物体的减少、表示资产的亏损等，可以认识负数。
3. 正数和负数的比较正数和负数可以通过数轴的表示来进行比较，数轴上左边是负数，右边是正数。
绝对值大的数比较大。
三、数的运算1. 加法与减法加法和减法是最基础的运算，加法表示数量的增加，减法表示数量的减少。
运算的结果可以通过实际物品的增加或减少来验证。
2. 乘法与除法乘法和除法是数的运算中的重要概念，乘法表示数量的倍增，除法表示数量的分配。
乘法和除法的应用可以通过实际问题进行解决。
四、数的性质1. 相反数的性质相反数是指两个数绝对值相等，但符号相反。
两个相反数相加的结果为0。
2. 数的倒数数的倒数是指一个数与其倒数的乘积为1。
0的倒数不存在，其他非零数的倒数等于这个数的倒数。
五、面积和体积1. 长方形的面积长方形的面积等于底边长乘以高。
可以通过图形或者实际问题来计算长方形的面积。
初一数学有理数的乘方知识精讲 人教义务代数
初一数学有理数的乘方知识精讲 人教义务代数【学习目标】1．在现实背景中，理解有理数乘方的意义． 2．能进行有理数的乘方运算．3．通过实例感受当底数大于1时，乘方运算的结果增长得很快．【基础知识精讲】 1．乘方的有关概念．(1)求n 个相同因数a 的积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂．a 叫底数，n 叫指数，a n 读作：a 的n 次幂(a 的n 次方)．图2—17(2)乘方的意义：a n 表示n 个a 相乘．如：(－3)3＝(－3)×(－3)×(－3)，表示3个(－3)相乘． (3)写法的注意：当底数是负数或分数时，底数一定要打括号，不然意义就全变了． 如：(31)2＝31×31，表示两个31相乘． (－2)2＝(－2)×(－2)，表示两个(－2)相乘．而312＝311 ，表示2个1相乘的积除以3． －22＝－(2×2)，表示2个2的乘积的相反数． 2．a n 与－a n 的区别．(1)a n 表示n 个a 相乘，底数是a ，指数是n ，读作：a 的n 次方．(2)－a n 表示n 个a 乘积的相反数，底数是a ，指数是n ，读作：a 的n 次方的相反数． 如：(－3)3底数是－3，指数是3，读作(－3)的3次方，表示3个(－3)相乘．(－3)3＝(－3)×(－3)×(－3)＝－27．－33底数是－3，指数是3，读作3的3次方的相反数．－33＝－(3×3×3)＝－27．注：(－3)3与－33的结果虽然都是－27，但表示的含义并不同． 3．乘方运算的符号规律． (1)正数的任何次幂都是正数． (2)负数的奇次幂是负数． (3)负数的偶次幂是正数． (4)0的奇数次幂，偶次幂都是0． 所以，任何数的偶次幂都是正数或0． 4．乘方如何运算？乘方运算就是根据乘方的意义把它转化为乘法进行计算． 如：33＝3×3×3＝27．5．关于平方、立方的有关知识．在a n 中，若n ＝2，则为a 2读作a 的2次幂，也作a 的平方；当n ＝3时，a 3可读作a 的3次方，也可读作a 的立方．平方、立方是乘方中最常见的．平方是它本身的数：0，1． 立方是它本身的数：0，1，－1． 6．(－1)的乘方．若用n 表示正整数，则2n 表示偶数，而用(2n ＋1)表示奇数． (－1)2n ＝偶数个)1()1()1()1()1(-⨯-⨯⨯-⨯-⨯-＝＋(1×1×1×……×1×1) ＝1．(－1)2n ＋1＝奇数个)1()1()1()1()1(-⨯-⨯⨯-⨯-⨯-＝－(1×1×1×……×1×1) ＝－17．纸的对折中蕴含的关系．将一X 纸对折，对折次数与纸的层数、折痕数、单层纸占整X 纸的面积比例之间有一定的关系，现列表如下：对折次数：12345……n 层数：2481632……2n 平行对折的折痕数：1371531……2n －1 单层面积 占的比例：214181161321……n 21【学习方法指导】［例1］说出下列各数的底数，指数，表示的含义，并求出结果． 52，(－3)4，－52，－432，251 点拨：对于每一个数，应注意是哪一部分进行乘方，那才是真正的底数．若底数为负数或分数，应打上括号，若没有打括号，表示只有其中的一部分进行乘方．解：52底数5，指数2，52＝5×5＝25．52表示2个5相乘．(－3)4底数－3，指数4，表示4个(－3)相乘，(－3)4＝(－3)×(－3)×(－3)×(－3)＝81． －52底数5，指数2，表示2个5相乘的积的相反数．－52＝－(5×5)＝－25．－432中进行2次方的是3．－432＝－49．251中进行乘方的是5，与分子1没有关系，所以251＝551 ＝251． ［例2］不超过(－23)3的最大整数是多少？点拨：先求出(－23)3的值，再找出比(－23)3的结果小的最大整数．解：(－23)3＝(－23)×(－23)×(－23)＝－827＝－383．比－383小的最大整数是－4．答：是－4．［例3］x 2＝64，x 是几？x 3＝64，x 是几？点拨：由于任何数的偶次幂都是正数或0，平方也是偶次幂，所以平方是64的数有可能是正数，也有可能是负数，这两个数互为相反数．先求出正数，再求出其相反数．立方是正数(64)的数只能是正数，因为负数的奇次幂为负数，所以立方是64的数只能有一个．解：±8的平方是64，4的立方是64．注：若某数的平方是一个正数，那么这个数可能会有两个答案，要注意不要漏掉答案．［例4］a，b互为相反数，c、d互为倒数，求(a＋b)2002＋(cd)2002的值．点拨：a，b互为相反数，所以a＋b＝0；而c、d互为倒数，则cd＝1．那么将这两个结论代入所求式子中，即02002＋12002．而02002表示2002个0相乘，结果为0；12002表示2002个1相乘，结果为1，它们相加即为最后结果——1．解：∵a，b互为相反数，∴a＋b＝0．∵c、d互为倒数，∴cd＝1．所以(a＋b)2002＋(cd)2002＝02002＋12002＝0＋1＝1．此题的关键是能把a与b，c与d的关系转化为等式形式，再进行幂的运算．［例5］下列各式成立的有_______．①a2＝(－a)2②a3＝(－a)3③|a2|＝|a|2④a3＝|a3|⑤－a2＝|－a2|点拨：此题主要涉及到二次方(平方)和三次方(立方)．应知道：任意有理数的平方都是正数和0．互为相反数的平方相同，正数的立方是正数，负数的立方是负数．所以，此例题的5个小题主要看符号是否相同．解：①a与－a是互为相反数．互为相反数的平方相同，所以a2＝(－a)2成立．②a与－a是互为相反数，可能都为0，此时a3＝－a3＝0，等式成立；而当a与－a一正一负时，它们的立方也是一正一负，等式不一定成立．③a2就是正数或0，而这些数的绝对值是它们本身，即|a2|＝a2．a与|a|不管是相等还是互为相反数，它们的平方都相等，即|a2|＝|a|2成立．④a3可能为正，也可能为负．而|a3|一定不可能负，所以a3＝|a3|不一定成立．⑤－a2表示a的平方的相反数，可能为负数或0；而|－a2|一定不能为负，所以－a2＝|－a2|不一定成立．所以一定成立的有①③．［例6］有一X厚度是0．1毫米的纸，将它对折1次后，厚度为2×0．1毫米．(1)对折2次后，厚度多少毫米？ (2)对折20次后，厚度为多少毫米？点拨：要求每次对折后纸的厚度，应先求出每次折叠后纸的层数，再用每X 纸的厚度×纸的层数即可．纸的对折次数与纸的层数关系如下：解：(1)0.1×22＝0．4(毫米) (2)(220×0.1)毫米说明：此题的关键是将纸的层数化为幂的形式，找出这些事与对折次数的对应关系． ［例7］1米长的小棒，第1次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此截下去，第7次后剩下的小棒有多长？点拨：此题的关键是找出每次截完后，剩下的小棒占整根棒的比例与所截次数之间的关系．现将它们的关系列表如下：解：(21)7×1＝1281(米)答：第7次后剩下的木棒1281米．小结：由例6可看到当底数大于1时，乘方增长得很快；而由例7可看到当底数小于1时，乘方结果减少得也很快．【拓展训练】已知|x |＋y 2＝0，则x ＝_______，y ＝_______．点拨：任何一个有理数的绝对值，平方都是大于、等于0的，也就是最小是0，不可能为负．当绝对值与平方相加和为0时，只有一种情况：0＋0＝0．所以|x|＝0，y2＝0．解：|x|＝0，x＝0，y2＝0，y＝0，所以x＝y＝0．。
初一数学《科学计数法》知识点精讲
初一数学《科学计数法》知识点精讲科学计数法是一种用科学记数法表示大数或小数的方法，能够简化数字的表达方式，便于进行数值计算和阅读。
它在科学研究、工程技术和商业计算等领域有广泛的应用。
本文将对初一数学科学计数法的相关知识点进行精讲。
一、科学计数法的基本概念科学计数法是一种通过乘方运算将数字表示为一个大数与10的幂的乘积的方法。
在科学计数法中，数字被写成一个小于10且大于等于1的数乘以10的幂。
例如，100用科学计数法表示为1 × 10²。
其中，1是尾数，表示有效数字；10²是指数，表示幂次。
在科学计数法中，要求尾数只保留一位非零数字。
二、科学计数法的转换方法科学计数法可以将一个较大或较小的数转换成一个以十为基数的数乘以10的幂。
1.将较大数转换为科学计数法步骤如下：（1）将数的小数点向左移动，直到只剩下一个非零数字为止。
（2）记下小数点左边移动的位数，作为指数。
（3）将非零数字作为尾数。
例如，将32000转换为科学计数法，首先将小数点向左移动4位，变为3.2，然后记录移动的位数4，最后将尾数3.2与指数写在一起，得到3.2 × 10⁴。
2.将较小数转换为科学计数法步骤如下：（1）将数的小数点向右移动，直到只剩下一个非零数字为止。
（2）记下小数点右边移动的位数，并在指数上加上一个负号。
（3）将非零数字作为尾数。
例如，将0.00025转换为科学计数法，首先将小数点右移4位，变为2.5，然后记录移动的位数4，并在指数上加上负号，得到2.5 ×10⁻⁴。
三、科学计数法的运算规则在科学计数法中，同底数的数相乘或相除，可将指数相加或相减。
具体规则如下：1.同底数相乘当两个数的底数相同（即都是10的幂），尾数相乘，指数保持不变。
例如，(3 × 10⁵) × (2 × 10²) = 6 × 10⁷2.同底数相除当两个数的底数相同，尾数相除，指数保持不变。
初中数学七年级专题讲座
初中数学七年级专题讲座标题：探索数学的奥秘——初中数学七年级专题讲座导语：数学，作为一门充满逻辑和规律的学科，在我们的生活和学习中扮演着举足轻重的角色。
为了让同学们更好地了解和掌握初中数学知识，我们特别邀请了资深数学教师，为同学们带来一场关于初中数学的专题讲座。
让我们一起探索数学的奥秘，感受数学的魅力！一、数学的概念与意义数学是一门研究数量、结构、变化和空间等概念的学科。
它不仅是一种工具，更是一种语言，可以帮助我们更好地理解和解释世界。
数学在现代社会中的应用非常广泛，无论是科学、技术、经济还是日常生活，都离不开数学的支持。
二、初中数学的主要内容初中数学主要包括以下几个方面：1. 数的概念与运算：包括有理数、实数和复数等，以及它们的运算规律。
2. 几何图形：包括平面几何和立体几何，研究图形的性质、分类和变换等。
3. 方程与不等式：包括一元一次方程、一元二次方程、不等式组等，以及它们的解法。
4. 函数与图表：包括线性函数、二次函数等，以及图表的绘制和分析。
5. 概率与统计：包括概率的基本概念、统计图表的绘制和数据分析等。
三、数学的学习方法1. 理解概念：首先要清晰地理解各个数学概念，知道它们的定义和性质。
2. 掌握算法：了解各种数学运算的规律和方法，提高运算速度和准确性。
3. 培养思维：通过解决数学问题，培养逻辑思维、发散思维和创新思维。
4. 应用实践：将所学的数学知识应用到实际生活中，解决实际问题。
5. 持续积累：数学是一门积累性的学科，要不断地复习和巩固，积累数学思想方法。
四、数学在生活中的应用数学在日常生活中无处不在，我们可以通过以下几个例子来看数学的应用：1. 购物折扣：购物时，我们可以通过计算折扣和分率来了解实际支付的金额。
2. 路线规划：出行时，我们可以通过计算距离和时间来规划最优路线。
3. 金融理财：理财时，我们可以通过计算利息和收益来了解投资的效果。
4. 数据分析：在处理大量数据时，我们可以通过统计方法和图表来分析数据，得出结论。
初一人教版必备数学精讲讲义
初一人教版必备数学精讲讲义一、整数与分数1. 整数的概念及表示整数是由自然数、零和负数组成的数集，表示为Z。
2. 整数的运算2.1 加法整数加法的运算规则：同号相加，异号相减，结果的符号由绝对值较大的数决定。
2.2 减法整数减法的运算规则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
2.3 乘法整数乘法的运算规则：同号相乘得正，异号相乘得负。
2.4 除法整数除法的运算规则：同号相除得正，异号相除得负。
3. 分数的概念及表示分数是表示整体中的一部分的数，由分子和分母组成，表示为a/b （b≠0）。
4. 分数的运算4.1 加法和减法分数的加法和减法运算规则：将分数转化为相同分母后，对分子进行加或减。
4.2 乘法分数的乘法运算规则：将两个分数的分子和分母分别相乘。
4.3 除法分数的除法运算规则：将除法转化为乘法，将除数的倒数作为乘法的因数。
二、代数式与方程1. 代数式的概念及表示代数式是由数字、字母和运算符号组成的表达式，可以表示数或量。
2. 代数式的运算2.1 合并同类项合并同类项是将具有相同字母变量的项进行加减运算。
2.2 提取公因式提取公因式是将代数式中的公共因子提取出来。
2.3 展开式和因式展开式是将乘积式或幂式展开为加减式；因式是将加减式写成乘积式或幂式的形式。
3. 方程的概念及解法方程是含有未知数的等式，通过求解未知数的值来满足等式成立。
4. 一元一次方程一元一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a、b为已知常数，x为未知数。
5. 一元一次方程的解法5.1 用逆运算法解方程根据一元一次方程的定义，通过逆运算法求解方程。
5.2 用等式变形法解方程利用等式的性质进行变形，将方程转化为更简单的形式以求解。
三、图形的认识与几何运算1. 点、线、面的概念及表示点是几何图形的基本要素，用大写字母表示；线是由无数个点组成的集合，用小写字母表示；面是由无数个连在一起的线组成的集合。
2. 直线、射线和线段直线是一定方向上无限延伸的线段；射线是起点固定，沿着一定方向无限延伸的线段；线段是由两个点确定的有限部分。
初一数学《代数式》知识点精讲
初一数学《代数式》知识点精讲知识点总结一、代数式的定义：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
单独的一个数或字母也是代数式。
注意：（1）单个数字与字母也是代数式；（2）代数式与公式、等式的区别是代数式中不含等号，而公式和等式中都含有等号；（3）代数式可按运算关系和运算结果两种情况理解。
三、整式：单项式与多项式统称为整式。
1.单项式：数与字母的积所表示的代数式叫做单项式，单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。
特别地，单独一个数或者一个字母也是单项式。
2.多项式：几个单项式的和叫做多项式，在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；在多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数。
四、升（降）幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大（或从大到小）的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升（降）幂排列。
五、代数式书写要求：1.代数式中出现的乘号通常用“·”表示或者省略不写；数与字母相乘时，数应写在字母前面；数与数相乘时，仍用“×”号；2.数字与字母相乘、单项式与多项式相乘时，一般按照先写数字，再写单项式，最后写多项式的书写顺序．如式子（a+b）·2·a应写成2a(a+b)；3.带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后再与字母相乘；4.在代数式中出现除法运算时，按分数的写法来写；5.在一些实际问题中，有时表示数量的代数式有单位名称，如果代数式是积或商的形式，则单位直接写在式子后面；如果代数式是和或差的形式，则必须先把代数式用括号括起来，再将单位名称写在式子的后面，如2a 米，(2a-b)kg。
六、系数与次数单项式的系数和次数，多项式的项数和次数。
1．单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。
注意：（1）单项式的系数包括它前面的符号；（2）若单项式的系数是"1”或-1“时，"1"通常省略不写，但“－”号不能省略。
初一《绝对值》精讲与练习
初一数学《绝对值》精讲与练习知识要点：1、绝对值的几何意义：在数轴上表示数a 的点与原点的距离叫作数a 的绝对值。
记为a ，b a -表示数a ，数b 两点间的距离。
2、绝对值的代数意义：()()()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=时当时当时当0000a a a a a a3、绝对值的性质：①0≥a a a ≥ a a -≥ ②222a a a == ③b a ab ⋅= ④()0≠=b ba b a⑤b a b a +≤+ b a b a -≥- ⑥0=+b a0==b a例1、如果2=a ，3=b ，那么b a 2的等于_________________。
练习：①若x 的相反数是3，5=y ，则y x +的值为______________。
②若7=a ，3=b ， 且a 、b 异号，求b a b a --+的值。
③如果3=a ，5=b ，则b a b a --+的绝对值等于______________。
例2、若b c b a -<<<<0，则b c b a ++-=___________A ．b a +B ．c a --C ．c a +D ．c a -练习：4、实数a 、b 在数轴上的位置如图所求，则化简a b a -+的结果是（ ）A ．b a +2B ．a 2C ．aD ．b5、已知a 在数轴上的位置如图所示，化简11-+a a 的值是______。
6、使代数式xxx 43-的值为正整数的x 的值是__________。
A ．正数 B ．负数 C ．零 D ．不存在 例3、若()0322=++-b a ，则()2007b a +的值是（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．2007练习：7、若()0212=++-m n ，则n m 2+的值为（ ） A ．-4 B ．-1 C ．0 D ．48、若()01242322=-+-b b a ，则代数式⎪⎭⎫ ⎝⎛++--427141312b a a b 的值为_________.例4、11-++x x 的最小值是（ ）A ．2B ．0C ．1D ．-1练习：9、彼此不等的有理数a 、b 、c 在数轴上的对应点分别为A 、B 、C ，如果c a c b b a -=-+-，那么A 、B 、C 的位置关系是_________________。
七年级数学专题三：代数式华东师大版 知识精讲
初一数学专题三：代数式华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：专题三：代数式二. 知识要点：1. 知识点概要⑴能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示。
⑵理解代数式的含义，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，体会数学与现实世界的联系。
⑶会求代数式的值，能解释值的实际意义，能根据代数式的值推断代数式反映的规律。
⑷了解代数式的分类，理解同类项的概念，掌握合并同类项的法则。
2. 重点难点⑴重点：理解与代数式有关概念的含义，会求代数式的值，并用代数式表示简单问题的数量关系。
⑵难点：合并同类项，探索规律列代数式。
三. 考点分析：（一）字母能表示什么1. 用字母表示数的意义⑴用字母表示数可以简明地表达数学运算规律；⑵用字母表示数可以简明地表达数学公式；⑶用字母表示数可以简明地表达问题中的数量关系。
用字母表示数有时可以给我们研究问题带来很大方便，用字母表示数是代数的一个重要特点，把实际问题用数学式子表示，是用数学工具解决实际问题的关键，是数学学科的一项重要任务。
2. 用字母表示数有以下几个特点⑴任意性：字母可任意表示数或式； ⑵限制性：字母取值应使具体代数式有意义，如ab 中，a ≠0。
⑶确定性：字母取值一旦确定，代数式的值也随之确定。
⑷抽象性：字母取代数更准确地反映事物的规律，更具一般性，如用2n （n 为整数）表示偶数等。
3. 用字母表示数时对字母的要求⑴用字母表示实际问题中某一数量时，字母的取值必须使这个问题有意义，并且符合实际。
⑵在同一问题中同一字母只能表示同一数量，不同的数量要用不同的字母表示。
（二）代数式学习代数式要注意以下几点：1. 代数式是用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子，不含有等号或不等号，单独的一个数或字母，也是代数式；2. 书写代数式要规X ，尤其是有乘法或除法运算时，要按规定规X 书写；3. 表示代数式的意义时，实际问题中的字母和数要有意义，符合实际，其中的运算要正确表述其运算结果及运算顺序；4. 列代数式的技巧：列代数式的关键是正确理解数量关系，弄清运算顺序和括号的作用，要分清运算顺序，一般遵循先高级后低级，必要时加括号.除了和差、积、商、大、小、多、少外，还要掌握下述数量关系：⑴行程问题：路程＝速度×时间；⑵工程问题：工作量＝工作效率×工作时间；⑶浓度问题：溶质质量＝（溶液质量/溶液浓度）×100%⑷数字问题：百位数字×100＋十位数字×10＋个位数字＝三位数.（三）同类项1. 同类项的概念：“所含字母相同，相同的字母的指数也分别相同的两个项叫做同类项”。
七年级数学上册专题复习讲义第十二讲角的初步认识新人
第十二讲角的初步认识（一）一、知识精讲1.角的定义角的定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。
角的定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。
2.角的大小比较（1）叠合法；（2）度量法3.余角和补角如果两个角的和是90° ,那么称这两个角互为余角。
如果两个角的和是180° ,那么称这两个角互为补角。
4.角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.二、典例解析【例1】（2017汉阳区期末）如图，在锐角/ XB内部，画1条射线，可得射线，可得6个锐角，画3条射线，可得10个锐角，……，按此规律，画可得锐角个.【练1】如图，在/ 图内部引出两条射线C D则图中小于平角的角共有A.3 B.4 C.5 D.6【练2】在/O内部从O点引出n条射线，图中小于平角的角共有多少4/3个锐角画2条9条不同射线，B B B【练3】从O点引出n条射线，图中小于平角的角共有多少个?【例2】（2017武昌区期末）一个角的余角比它的补角的1大150求这4个角的度数.【练4】18° ,则/ A.54°【练5】(A.3 若/ AOB和/ BOC互为邻补角，且/ AOB比/ BOC大AOB如图,）对的度数是（B.81 °C.99°D162°。
是直线居上一点，OC, OD, OE是三条射线，则图中互补的角共有B.3C.4D.5【例3】（2017东湖开发区）如图，直线AB、CD相交于点平分/ BOC, Z 1 : 72=7 ： 1,求/ BOD 和/ AON 的度数.0, OM 平分/ BOD, OND【例4】(2017江岸区期末)如图，在同一平面内，皿⑥于O射线OM平分/ AB从点O引射线OC射线N平分/ BC(1)若/ BC= 30° ,请你补全图形，再计算/ MN的度数(2)若O与(B不垂直，/ AOB= a , Z BOC= 3 ( 0< 3 < a < 90° )变，请你画出大致图形，并直接写出MN的度数(3)结合上面的计算，观察并继续思考：在同一平面内，/ AO-a,分/ AOB, ON平分/ BOC,你发现/ MON与/ AOC有怎样的数量出来.【例5】(2017东湖开发区期末)8时30分，钟的时针与分针成(角. A.75° B.90° 0.105° D.120 °【练6】2点30分时，时钟与分钟所成的角为度.【例6】（2017江汉区期末）如图，直线SN与直线WE相交于点O,射线O N 表示正北方向，射线O E表示正东方向.已知射线O B的方向是南偏东m ,射线OC的方向是北偏东n° ,且m°的角与n °的角互余.其它条件不/ BOC= 3 , OM 平关系？请你直接写（1 ）①若 m = 60 ,则射线 O C 的方向是 .②请直接写出图中所有与BOE 互余的角及与 BOE 互补的角；（2）若射线O 是/BOJ 的角平分线，求/ AOC 的度数（用含有 m 的式子表示）三、课堂检测1. （2017黄陂区期末）如图，已知 OD 平分/ AOB, OE 平分/ BOD,若 AOC 3BOC 虹 COE 的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 3' ------ 2” ----- :2 3 5 22. （2017 洪山区期末）如图， O 为直线 AB 上一点，/ DOC= 90° , OE 平分/ AOC OF 平分/ BOC.北N 阳东南（1）图中与/ COF 互余的角有 ,与/ COF 互补的角有 （2）如若5 EOD AOE , / EOD 的度数为^23. （2017江岸区期末）如图，直线 SN 与直线 WE 相交于点0,射线 ON 表示正②图中与/ BOE 互余的角有 与/ BOE 互补的角有（2）若射线 O A 是/ BON 的角平分线，则/ BOS 与/ AOC 是否存在确定的 数量关系？如果存在，请写出你的结论以及计算过程；如果不存在，请说明理由.四、课后练习1. （2017江汉区期末）9时30分钟的时针与分针所成的角度是（2. （2017青山区期末）如图，在观测站 。
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上海市重点中学初一数学专题精讲
基础训练
1：已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，能组成三角形的是( )
A.1，2，3
B.2，5，8
C.3，4，5
D.4，5，10
2：一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是( )
A.14 D.15 C. 16 D.17
3：平面上有n个点(n≥3)，且任意三点不在同一条直线上，过任意三点作三角形，一共能作出多少个不同的三角形?
(1)分析：当平面上仅有3个点时，可作__________个三角形；
当有4个点时，可作__________个三角形；
当有5个点时，可作__________个三角形；
(2)归纳：考察点的个数n和可作出的三角形的个数S n，发现：
点的个数 3 4 5 …n
可连成三角
…
形的个数
4：如图7-3，三角形的个数是__________.
图7-3 图7-4
5：如图7-4，以A为顶点的三角形有_________个，它们分别是_________；如图7-5，以AD为边的三角形有_________个，它们分别是_________.
图7-5
6：若三角形的三条边长分别为整数，周长为11，且有一边长为4，则这个三角形可能的最大边长是
_________.
7.△ABC的三条边长是a、b、c，则，|a-b-c|-|b-c-a|=_________.
8.已知三角形两条边的长分别为1和2，如果第三条边的长为整数，那么第三条边的长为____.
9.如图7-6，在图a中，互不重叠的三角形共有4个，在图b中，互不重叠的三角形共有7个，在图c中，互不重叠的三角形共有10个，……，则在第n个图形中，互不重叠的三角形共有_________个(用含n的代数式表示).
图7-6
10：若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则_图7-8中以BC为公共边的“共边三角形”有( )
A.2对
B.3对
C.4对
D.6对
图7-8
11：如图7-9，草原上有4口油井，位于四边形ABCD的4个顶点，现在要建立一个维修站H，问H建在何处，才能使它到4口油井的距离之和最小?
图7-9
典型例题
1：如图7-11所示，在△ABC中，∠1=∠2，点G为AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，
且CF⊥AD于点H，下列判断中正确的是( )
图7-11
(1)AD是△ABE的角平分线；(2)BE是△ABD边AD上的中线；(3)CH是△ACD边AD上的高. A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
2.如图7-20，在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且CD、BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是( )
A.150°
B.130°
C.120°
D.100°
图7-20 图7-21
3：图7-21是某广告公司为某种商品设计的商标图案，若图中每个小长方形的面积都是1，则阴影部分的面积是( )
A.6
B.6.5
C.7
D.7.5
4.探索在如图7-23至图7-25中，△ABC的面积为a.
(1)如图7-23，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA.若△ACD的面积为S1，则S1=__________(用含a的代数式表示)；
图7-23 图7-24
(2)如图7-24，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE.若△DEC的面积为S2，则S2=________(用含a的代数式表示)，并写出理由；
(3)在图7-25的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到△DEF(如图7-25).若阴影部分的面积为S3,则S3=__________(用含a的代数式表示).
图7-25
发现
像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF(如图7-25)，此时，我们称△ABC向外扩展了一次.可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的__________倍.
应用
去年在面积为10 m2的△ABC空地上栽种了某种花卉.今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH(如图7-26).求这两次扩展的区域(即阴影部分)面积共为多少平方米?
图7-26。