与线段中点有关的几何综合题
2018年中考数学-----几何综合题汇总3
2018年中考数学-----几何综合题汇总31．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现：①当α=0°时，= ；②当α=180°时，= ．（2）拓展探究：试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决：当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．2．在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E．DF 与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF=AB；（3）如图3，将（2）中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC 的延长线相交于点F，作DN⊥AC于点N，若DN⊥AC于点N，若DN=FN，求证：BE+CF=（BE﹣CF）．3．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线AE上任意一点（不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D．（1）直接写出∠NDE的度数；（2）如图2、图3，当∠EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；（3）如图4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线CM与AB交于G，BD=，其他条件不变，求线段AM的长．4．已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点．（1）操作发现：直线l⊥m，l⊥n，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图①所示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系：．（2）猜想证明：在图①的情况下，把直线l向上平移到如图②的位置，试问（1）中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）延伸探究：在图②的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB=90°（如图③所示），若两平行线m、n之间的距离为2k．求证：PA•PB=k•AB．5．【问题提出】如图①，已知△ABC是等腰三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF连接EF；试证明：AB=DB+AF。
2023年数学中考试题精选：几何综合证明(一)
1.（2023.营口24题）在平行四边形ABCD中，∠ADB=90°,点E在CD 上，点G在AB上，点F在BD的延长线上，连接EF，DG, ∠FED=∠ADG，ADBD =DG EF=k.（1）如图1，当k=1时，请用等式表示线段AG与线段DF的数量关系________；（2）如图2，当k=√(3)时，写出线段AD，DE和DF之间的数量关系,并说明理由；（3）在（2）的条件下，当点G是AB的中点时，连接BE，求tan∠EBF的值2.（2023.本溪铁岭辽阳25题）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点O为AB的中点，点D在直线AB上（不与点A，B重合），连接CD，线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，过点B作直线l⊥BC，过点E作EF⊥l，垂足为点F，直线EF交直线OC于点G.（1）如图1，当点D与点O重合时，请直接写出线段AD与线段EF 的数量关系；（2）如图2，当点D在线段AB上时，求证：CG+BD=√2BC；（3）连接DE，△CDE的面积记为S1，△ABC的面积记为S2，当EF:BC=1:3时，请直接写出S1S2的值.3.(2023.大连25题)综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质。
已知AB=AC，∠A>90°，点E为AC上一动点，将△ABE以BE为对称轴翻折，同学们经过思考后进行如下探究：独立思考：小明：“当点D落在BC上时，∠EDC=2∠ACB.”小红：“若点E为AC中点，给出AC与DC的长，就可求出BE的长.”补足探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：问题1：在等腰△ABC中，AB=AC，∠A>90°，△BDE由△ABE翻折得到.（1）如图1，当点D落在BC上时，求证：∠EDC=2∠ACB；（2）如图2，若点E为AC中点，AC=4，CD=3，求BE的长.问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成∠A<90°的等腰三角形，可以问题进一步拓展.问题2：如图3，在等腰△ABC中，∠A<90°，AB=AC=BD=4，2∠D=∠ABD.若CD=1，则求BC的长.4.(2023.牡丹江26题)平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，连接DE，将ED绕点E逆时针旋转90°，得到EF，连接BF.（1）当点E在线段BC上，∠ABC=45°时，如图1，求证：AE+EC=BF；（2）当点E在线段BC延长线上，∠ABC=45°时，如图2，当点E在线段CB延长线上，∠ABC=135°时，如图3，请猜想并直接写出线段AE，EC,BF的数量关系；（3）在（1）、（2）的条件下，若BE=3，DE=5，则CE=______.5.（2023.贵州省25题）如图1，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA=CB,∠C=90°,过点B作射线BD⊥AB，垂足为B，点P在CB上.（1）【动手操作】如图2，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E,根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为______度；（2）【问题探究】根据（1）所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；（3）【拓展延伸】如图3，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD将于点E，探究线段BA，BP，BE之间的数量关系，并说明理由.6.(2023.沈阳24题)如图1.在平行四边形纸片中，AB=10，AD=6，∠DAB=60°，点E为BC边上的一点（点E不与点C重合），连接AE，将平行四边形ABCD纸片沿AE所在直线折叠，点C，D的对应点分别为C`，D`，射线C`E与射线AD将于点F.（1）求证：AF=EF；（2）如图2，当EF⊥AF时，DF的长为______;（3）如图3，当CE=2时，过点F作FM⊥AE，垂足为点M，延长FM 交C`D`于点N，连接AN，EN，求△ANE的面积。
高一数学立体几何综合试题
高一数学立体几何综合试题1.正方体的棱长为1，为的中点，为线段的动点，过的平面截该正方体所得的截面记为，则下列命题正确的是①当时，为四边形②当时，为等腰梯形③当时，与的交点满足④当时，为六边形⑤当时，的面积为【答案】①②③⑤【解析】如图，当时，，即Q为CC1中点，此时可得，故可得截面APQD1为等腰梯形，故②正确；由上图当点Q向C移动时，满足，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ，即可得截面为四边形APQM，故①正确；③时，如图，延长DD1至N，使，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，可证，由1，可得，故可、得，故正确；④由③可知当时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故错误；⑤当时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证，可知截面为APC1F为菱形，故其面积为，故正确．【考点】空间图形与平面图形的关系2.下列说法正确的是( )A．三点确定一个平面B．平面和有不同在一条直线上的三个交点C．梯形一定是平面图形D．四边形一定是平面图形【答案】C【解析】A中应为不共线的三点确定一个平面,B与公理2矛盾，D中有空间四边形，而C中梯形有一组对边平行，是平面图形，所以选C.【考点】平面的基本性质.3.等腰梯形，上底，腰，下底，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图的面积为_______．【答案】【解析】如上图，，，，因为，所以，所以，在直观图中，【考点】斜二测画法4.如图，在五面体中，四边形是正方形，平面∥（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）证明：平面；（3）求二面角的正切值。
【答案】（1）；（2）略；（3）。
【解析】（1）因为四边形ADEF是正方形，所以FA∥ED．故∠CED为异面直线CE与AF所成的角．因为FA⊥平面ABCD，所以FA⊥CD．故ED⊥CD．在Rt△CDE中，CD=1，ED=2， CE==3，故cos∠CED==．所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为。
中点问题练习题
中点问题练习题在这篇文章中，将深入讨论中点问题以及与之相关的练习题。
中点问题是数学中的一个重要概念，在几何和代数中均有广泛应用。
我们将从基本概念入手，逐步深入，帮助您更好地理解和应用中点问题。
一、基本概念中点是指位于一条线段中间的点，其距离两个端点的距离相等。
假设线段AB上有一个中点M，那么AM的长度等于MB的长度。
这是中点的基本定义。
对于任意线段，都存在唯一的中点。
二、中点的性质中点具有一些重要的性质，如下所示：1. 中点将线段分为两个等长的部分。
即AM = MB。
2. 连接中点和端点的线段两边是平行的，且长度相等。
即AM || BC，且AM = BC。
3. 连接线段两个端点的线段与中点的连线相交于中点。
即∠AMB = 90°。
三、练习题1. 已知线段AB的长度为10cm，C是线段AB上的一个点，AC的长度为4cm。
求C到线段AB的中点的距离。
解析：首先找到AB的中点，记为M。
由于M是AB的中点，所以AM = MB。
然后计算AC的长度，得到AC = 4cm。
利用中点的性质2，我们知道MC = BC。
从而MC的长度为10cm - 4cm = 6cm。
2. 线段CD平分线段EF，并且EF的长度为14cm。
已知CE = 6cm，求DF的长度。
解析：线段CD平分线段EF，意味着D是EF的中点。
首先找到EF的中点，记为D。
根据题目给出的信息可知，CE = 6cm，EF = 14cm。
利用中点的性质1，我们知道CD = DE。
从而CE + ED = 6cm + DE =EF = 14cm。
解方程可得DE = 8cm。
又知DF = EF - DE = 14cm - 8cm =6cm。
3. 线段GH上有一个中点M，GM的长度为8cm，且GM与线段GH交于点K。
求KH的长度。
解析：我们已知线段GM的长度为8cm，并且GM是线段GH的中点。
利用中点的性质3，我们知道∠GKM = 90°。
由此可知，三角形GKM是直角三角形。
中考数学-几何综合压轴问题(共40题)(学生版)
几何综合压轴问题(40题)1(2023·四川自贡·统考中考真题)如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M，N分别是斜边DE，AB的中点，DE=2,AB=4．(1)将△CDE绕顶点C旋转一周，请直接写出点M，N距离的最大值和最小值；(2)将△CDE绕顶点C逆时针旋转120°(如图2)，求MN的长．2(2023·山东烟台·统考中考真题)如图，点C为线段AB上一点，分别以AC,BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A=∠CBE．在线段EC上取一点F，使EF=AD，连接BF,DE．(1)如图1，求证：DE=BF；(2)如图2，若AD=2，BF的延长线恰好经过DE的中点G，求BE的长．3(2023·浙江绍兴·统考中考真题)在平行四边形ABCD中(顶点A,B,C,D按逆时针方向排列)，AB= 12,AD=10,∠B为锐角，且sin B=45．(1)如图1，求AB边上的高CH的长．(2)P是边AB上的一动点，点C,D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点C ,D ．①如图2，当点C 落在射线CA上时，求BP的长．②当△AC D 是直角三角形时，求BP的长．4(2023·甘肃武威·统考中考真题)【模型建立】(1)如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形，点C关于AD的对称点F在BD边上．①求证：AE=CD；②用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由．【模型应用】(2)如图2，△ABC是直角三角形，AB=AC，CD⊥BD，垂足为D，点C关于AD的对称点F在BD边上．用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由．【模型迁移】(3)在(2)的条件下，若AD=42，BD=3CD，求cos∠AFB的值．5(2023·江西·统考中考真题)课本再现思考我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．(1)定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形(如图1)，并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．己知：在▱ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O．求证：▱ABCD是菱形．(2)知识应用：如图2，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD=5，AC=8，BD=6．①求证：▱ABCD是菱形；②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若∠E=12∠ACD，求OFEF的值．6(2023·湖北随州·统考中考真题)1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点)当△ABC的三个内角均小于120°时，如图1，将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A P C，连接PP ，由PC=P C，∠PCP =60°，可知△PCP 为三角形，故PP =PC，又P A =PA，故PA+PB+PC =PA +PB+PP ≥A B，由可知，当B，P，P ，A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2，最小值为A B，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有∠APC=∠BPC=∠APB=；已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若∠BAC≥120°，则该三角形的“费马点”为点．(2)如图4，在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知点P为△ABC的“费马点”，求PA+PB+PC的值；(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知AC=4km，BC=23km，∠ACB=60°．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a 元/km，a元/km，2a元/km，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为元．(结果用含a的式子表示)7(2023·山东枣庄·统考中考真题)问题情境：如图1，在△ABC中，AB=AC=17，BC=30，AD是BC边上的中线．如图2，将△ABC的两个顶点B，C分别沿EF,GH折叠后均与点D重合，折痕分别交AB,AC,BC于点E，G，F，H．猜想证明：(1)如图2，试判断四边形AEDG的形状，并说明理由．问题解决；(2)如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿MN折叠，使得顶点B与点H重合，折痕分别交AB, BC于点M，N，BM的对应线段交DG于点K，求四边形MKGA的面积．8(2023·湖南·统考中考真题)(1)[问题探究]如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．在线段AO上任取一点P(端点除外)，连接PD、PB．①求证：PD=PB；②将线段DP绕点P逆时针旋转，使点D落在BA的延长线上的点Q处．当点P在线段AO上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？请说明理由；③探究AQ与OP的数量关系，并说明理由．(2)[迁移探究]如图2，将正方形ABCD换成菱形ABCD，且∠ABC=60°，其他条件不变．试探究AQ与CP的数量关系，并说明理由．9(2023·湖南岳阳·统考中考真题)如图1，在△ABC中，AB=AC，点M,N分别为边AB,BC的中点，连接MN．初步尝试：(1)MN与AC的数量关系是，MN与AC的位置关系是．特例研讨：(2)如图2，若∠BAC=90°,BC=42，先将△BMN绕点B顺时针旋转α(α为锐角)，得到△BEF，当点A,E,F在同一直线上时，AE与BC相交于点D，连接CF．(1)求∠BCF的度数；(2)求CD的长．深入探究：(3)若∠BAC<90°，将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，连接AE，CF．当旋转角α满足0°<α<360°，点C,E,F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究∠BAE与∠ABF的数量关系，并说明理由．10(2023·湖北黄冈·统考中考真题)【问题呈现】△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°,CB=mCA,CE=mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系．(1)如图1，当m=1时，直接写出AD，BE的位置关系：；(2)如图2，当m≠1时，(1)中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．【拓展应用】(3)当m=3,AB=47,DE=4时，将△CDE绕点C旋转，使A,D,E三点恰好在同一直线上，求BE的长．11(2023·河北·统考中考真题)如图1和图2，平面上，四边形ABCD中，AB=8,BC=211,CD=12, DA=6,∠A=90°，点M在AD边上，且DM=2．将线段MA绕点M顺时针旋转n°(0<n≤180)到MA ,∠A MA的平分线MP所在直线交折线AB-BC于点P，设点P在该折线上运动的路径长为x(x>0)，连接A P．(1)若点P在AB上，求证：A P=AP；(2)如图2．连接BD．①求∠CBD的度数，并直接写出当n=180时，x的值；②若点P到BD的距离为2，求tan∠A MP的值；(3)当0<x≤8时，请直接写出点A 到直线AB的距离．(用含x的式子表示)．12(2023·四川达州·统考中考真题)(1)如图①，在矩形ABCD的AB边上取一点E，将△ADE沿DE翻折，使点A落在BC上A 处，若AB=6,BC=10，求AEEB的值；(2)如图②，在矩形ABCD 的BC 边上取一点E ，将四边形ABED 沿DE 翻折，使点B 落在DC 的延长线上B 处，若BC ⋅CE =24,AB =6，求BE 的值；(3)如图③，在△ABC 中，∠BAC =45°,AD ⊥BC ，垂足为点D ,AD =10,AE =6，过点E 作EF ⊥AD 交AC 于点F ，连接DF ，且满足∠DFE =2∠DAC ，直接写出BD +53EF 的值．13(2023·湖南郴州·统考中考真题)已知△ABC 是等边三角形，点D 是射线AB 上的一个动点，延长BC 至点E ，使CE =AD ，连接DE 交射线AC 于点F ．(1)如图1，当点D 在线段AB 上时，猜测线段CF 与BD 的数量关系并说明理由；(2)如图2，当点D 在线段AB 的延长线上时，①线段CF 与BD 的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接AE ．设AB =4，若∠AEB =∠DEB ，求四边形BDFC 的面积．14(2023·湖北宜昌·统考中考真题)如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，AB 上的点，连接CE ，EF ，CF ．(1)若正方形ABCD 的边长为2，E 是AD 的中点．①如图1，当∠FEC =90°时，求证：△AEF ∽△DCE ；②如图2，当tan ∠FCE =23时，求AF 的长；(2)如图3，延长CF ，DA 交于点G ，当GE =DE ,sin ∠FCE =13时，求证：AE =AF ．15(2023·湖北武汉·统考中考真题)问题提出：如图(1)，E 是菱形ABCD 边BC 上一点，△AEF 是等腰三角形，AE =EF ，∠AEF =∠ABC =αa ≥90° ,AF 交CD 于点G ，探究∠GCF 与α的数量关系．问题探究：(1)先将问题特殊化，如图(2)，当α=90°时，直接写出∠GCF 的大小；(2)再探究一般情形，如图(1)，求∠GCF 与α的数量关系．问题拓展：(3)将图(1)特殊化，如图(3)，当α=120°时，若DG CG =12，求BECE的值．16(2023·山西·统考中考真题)问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC 和△DFE ，其中∠ACB =∠DEF =90°,∠A =∠D ．将△ABC 和△DFE 按图2所示方式摆放，其中点B 与点F 重合(标记为点B )．当∠ABE =∠A 时，延长DE 交AC 于点G ．试判断四边形BCGE 的形状，并说明理由．(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；(2)深入探究：老师将图2中的△DBE 绕点B 逆时针方向旋转，使点E 落在△ABC 内部，并让同学们提出新的问题．①“善思小组”提出问题：如图3，当∠ABE =∠BAC 时，过点A 作AM ⊥BE 交BE 的延长线于点M ,BM 与AC 交于点N ．试猜想线段AM 和BE 的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；②“智慧小组”提出问题：如图4，当∠CBE=∠BAC时，过点A作AH⊥DE于点H，若BC=9,AC=12，求AH的长．请你思考此问题，直接写出结果．17(2023·湖北十堰·统考中考真题)过正方形ABCD的顶点D作直线DP，点C关于直线DP的对称点为点E，连接AE，直线AE交直线DP于点F．(1)如图1，若∠CDP=25°，则∠DAF=°；(2)如图1，请探究线段CD，EF，AF之间的数量关系，并证明你的结论；(3)在DP绕点D转动的过程中，设AF=a，EF=b请直接用含a,b的式子表示DF的长．18(2023·辽宁大连·统考中考真题)综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．已知AB=AC,∠A>90°，点E为AC上一动点，将△ABE以BE为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究：独立思考：小明：“当点D落在BC上时，∠EDC=2∠ACB．”小红：“若点E为AC中点，给出AC与DC的长，就可求出BE的长．”实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：问题1：在等腰△ABC中，AB=AC,∠A>90°,△BDE由△ABE翻折得到．(1)如图1，当点D落在BC上时，求证：∠EDC=2∠ACB；(2)如图2，若点E为AC中点，AC=4,CD=3，求BE的长．问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成∠A<90°的等腰三角形，可以将问题进一步拓展．问题2：如图3，在等腰△ABC中，∠A<90°,AB=AC=BD=4,2∠D=∠ABD．若CD=1，则求BC的长．19(2023·山东·统考中考真题)(1)如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．【问题解决】(2)如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF，延长BC到点H，使CH=DE，连接DH．求证：∠ADF=∠H．【类比迁移】(3)如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF=11，DE=8，∠AED=60°，求CF 的长．20(2023·福建·统考中考真题)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,D是AB边上不与A,B重合的一个定点．AO⊥BC于点O，交CD于点E．DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的，FD,CA的延长线相交于点M．(1)求证：△ADE∽△FMC；(2)求∠ABF的度数；(3)若N是AF的中点，如图2．求证：ND=NO．21(2023·四川·统考中考真题)如图1，已知线段AB，AC，线段AC绕点A在直线AB上方旋转，连接BC，以BC为边在BC上方作Rt△BDC，且∠DBC=30°．(1)若∠BDC=90°，以AB为边在AB上方作Rt△BAE，且∠AEB=90°，∠EBA=30°，连接DE，用等式表示线段AC与DE的数量关系是；(2)如图2，在(1)的条件下，若DE⊥AB，AB=4，AC=2，求BC的长；(3)如图3，若∠BCD=90°，AB=4，AC=2，当AD的值最大时，求此时tan∠CBA的值．22(2023·广西·统考中考真题)【探究与证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．【动手操作】如图1，将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B 落在EF上，并使折痕经过点A，得到折痕AM，点B，E的对应点分别为B ，E ，展平纸片，连接AB ，BB ，BE ．请完成：(1)观察图1中∠1，∠2和∠3，试猜想这三个角的大小关系；(2)证明(1)中的猜想；【类比操作】如图2，N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，连接BN，在AB上取一点P，折叠纸片，使B ，P 两点重合，展平纸片，得到折痕EF ；折叠纸片，使点B ，P 分别落在EF ，BN 上，得到折痕l ，点B ，P 的对应点分别为B ，P ，展平纸片，连接，P B ．请完成：(3)证明BB 是∠NBC 的一条三等分线．23(2023·重庆·统考中考真题)在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，点D 为线段AB 上一动点，连接CD ．(1)如图1，若AC =9，BD =3，求线段AD 的长．(2)如图2，以CD 为边在CD 上方作等边△CDE ，点F 是DE 的中点，连接BF 并延长，交CD 的延长线于点G ．若∠G =∠BCE ，求证：GF =BF +BE ．(3)在CD 取得最小值的条件下，以CD 为边在CD 右侧作等边△CDE ．点M 为CD 所在直线上一点，将△BEM 沿BM 所在直线翻折至△ABC 所在平面内得到△BNM ．连接AN ，点P 为AN 的中点，连接CP ，当CP 取最大值时，连接BP ，将△BCP 沿BC 所在直线翻折至△ABC 所在平面内得到△BCQ ，请直接写出此时NQ CP的值．24(2023·湖南·统考中考真题)如图，在等边三角形ABC 中，D 为AB 上的一点，过点D 作BC 的平行线DE 交AC 于点E ，点P 是线段DE 上的动点(点P 不与D 、E 重合)．将△ABP 绕点A 逆时针方向旋转60°，得到△ACQ ，连接EQ 、PQ ,PQ 交AC 于F ．(1)证明：在点P 的运动过程中，总有∠PEQ =120°．(2)当AP DP为何值时，△AQF 是直角三角形？25(2023·黑龙江·统考中考真题)如图①，△ABC和△ADE是等边三角形，连接DC，点F，G，H分别是DE,DC和BC的中点，连接FG,FH．易证：FH=3FG．若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，如图②：若△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE=120°，如图③：其他条件不变，判断FH和FG之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．26(2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题)综合与实践数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．(1)发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：，∠BDC=°；(2)类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；(3)拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EAF=90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关系：；(4)实践应用：正方形ABCD中，AB=2，若平面内存在点P满足∠BPD=90°，PD=1，则S△ABP=．27(2023·广东深圳·统考中考真题)(1)如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE，①若BE=BC，过C作CF⊥BE交BE于点F，求证：△ABE≌△FCB；=20时，则BE⋅CF=．②若S矩形ABCD(2)如图，在菱形ABCD中，cos A=13，过C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，过E作EF⊥AD交AD =24时，求EF⋅BC的值．于点F，若S菱形ABCD(3)如图，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=6，AD=5，点E在CD上，且CE=2，点F为BC上一点，连接EF，过E作EG⊥EF交平行四边形ABCD的边于点G，若EF⋅EG=73时，请直接写出AG的长．28(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，点P,Q分别是边BC，线段OD上的点，连接AP,QP,AP与OB相交于点E．(1)如图1，连接QA．当QA=QP时，试判断点Q是否在线段PC的垂直平分线上，并说明理由；(2)如图2，若∠APB=90°，且∠BAP=∠ADB，①求证：AE=2EP；②当OQ=OE时，设EP=a，求PQ的长(用含a的代数式表示)．29(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有45°角的三角尺放在正方形ABCD中，使45°角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，45°角的两边CM ，CN 始终与正方形的边AD ，AB 所在直线分别相交于点M ，N ，连接MN ，可得△CMN ．【探究一】如图②，把△CDM 绕点C 逆时针旋转90°得到△CBH ，同时得到点H 在直线AB 上．求证：∠CNM =∠CNH ；【探究二】在图②中，连接BD ，分别交CM ，CN 于点E ，F ．求证：△CEF ∽△CNM ；【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线BD 与三角尺45°角两边CM ，CN 分别交于点E ，F ．连接AC 交BD 于点O ，求EFNM的值．30(2023·山东东营·统考中考真题)(1)用数学的眼光观察．如图，在四边形ABCD 中，AD =BC ，P 是对角线BD 的中点，M 是AB 的中点，N 是DC 的中点，求证：∠PMN =∠PNM ．(2)用数学的思维思考．如图，延长图中的线段AD 交MN 的延长线于点E ，延长线段BC 交MN 的延长线于点F ，求证：∠AEM =∠F ．(3)用数学的语言表达．如图，在△ABC 中，AC <AB ，点D 在AC 上，AD =BC ，M 是AB 的中点，N 是DC 的中点，连接MN 并延长，与BC 的延长线交于点G ，连接GD ，若∠ANM =60°，试判断△CGD 的形状，并进行证明．31(2023·甘肃兰州·统考中考真题)综合与实践【思考尝试】(1)数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG=CF．试猜想四边形ABCD的形状，并说明理由；【实践探究】(2)小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF交AH于点G，可以用等式表示线段FH，AH，CF的数量关系，请你思考并解答这个问题；【拓展迁移】(3)小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，AH⊥CE于点H，点M在CH上，且AH=HM，连接AM，BH，可以用等式表示线段CM，BH的数量关系，请你思考并解答这个问题．32(2023·贵州·统考中考真题)如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA=CB,∠C=90°，过点B作射线BD⊥AB，垂足为B，点P在CB上．(1)【动手操作】如图②，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为度；(2)【问题探究】根据(1)所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；(3)【拓展延伸】如图③，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，探究线段BA,BP, BE之间的数量关系，并说明理由．33(2023·辽宁·统考中考真题)在RtΔABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点O为AB的中点，点D在直线AB上(不与点A,B重合)，连接CD，线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，过点B作直线l⊥BC，过点E作EF⊥l，垂足为点F，直线EF交直线OC于点G．(1)如图，当点D与点O重合时，请直接写出线段AD与线段EF的数量关系；(2)如图，当点D在线段AB上时，求证：CG+BD=2BC；(3)连接DE，△CDE的面积记为S1，△ABC的面积记为S2，当EF:BC=1:3时，请直接写出S1S2的值．34(2023·四川成都·统考中考真题)探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=BC，D是AB边上一点，且ADBD=1n(n为正整数)，E是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F．【初步感知】(1)如图1，当n=1时，兴趣小组探究得出结论：AE+BF=22AB，请写出证明过程．【深入探究】(2)①如图2，当n=2，且点F在线段BC上时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论(直接写出结论，不必证明)【拓展运用】(3)如图3，连接EF，设EF的中点为M．若AB=22，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长(用含n的代数式表示)．35(2023·江苏徐州·统考中考真题)【阅读理解】如图1，在矩形ABCD中，若AB=a,BC=b，由勾股定理，得AC2=a2+b2，同理BD2=a2+b2，故AC2+BD2=2a2+b2．【探究发现】如图2，四边形ABCD为平行四边形，若AB=a,BC=b，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由．【拓展提升】如图3，已知BO为△ABC的一条中线，AB=a,BC=b,AC=c．求证：BO2=a2+b22-c24．【尝试应用】如图4，在矩形ABCD中，若AB=8,BC=12，点P在边AD上，则PB2+PC2的最小值为．36(2023·四川南充·统考中考真题)如图，正方形ABCD中，点M在边BC上，点E是AM的中点，连接ED，EC．(1)求证：ED=EC；(2)将BE绕点E逆时针旋转，使点B的对应点B 落在AC上，连接MB′．当点M在边BC上运动时(点M 不与B，C重合)，判断△CMB′的形状，并说明理由．(3)在(2)的条件下，已知AB=1，当∠DEB′=45°时，求BM的长．37(2023·安徽·统考中考真题)在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，将线段MA绕点M旋转至MD 位置，点D在直线AB外，连接AD,BD．(1)如图1，求∠ADB的大小；(2)已知点D和边AC上的点E满足ME⊥AD,DE∥AB．(ⅰ)如图2，连接CD，求证：BD=CD；(ⅱ)如图3，连接BE，若AC=8,BC=6，求tan∠ABE的值．38(2023·浙江宁波·统考中考真题)定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．(1)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，对角线BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD为邻等四边形．(2)如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D．(3)如图3，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB=∠ABC=90°，∠BCD为邻等角，连接AC，过B作BE∥AC交DA的延长线于点E．若AC=8,DE=10，求四边形EBCD的周长．39(2023·江苏扬州·统考中考真题)【问题情境】在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30°的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作△ADB和△A D C,∠ADB=∠A D C=90°,∠B=∠C=30°，设AB=2．【操作探究】如图1，先将△ADB和△A D C的边AD、A D 重合，再将△A D C绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为α0°≤α≤360°，旋转过程中△ADB保持不动，连接BC．(1)当α=60°时，BC=；当BC=22时，α=°；(2)当α=90°时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；(3)如图2，取BC的中点F，将△A D C绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为．40(2023·四川乐山·统考中考真题)在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动【问题情境】刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：如图，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达△AB C 的位置，那么可以得到：AB=AB ，AC =AC ，BC=B C ；∠BAC=∠B AC ，∠ABC=∠AB C ，∠ACB=∠AC B ()刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键；故数学就是一门哲学．【问题解决】(1)上述问题情境中“( )”处应填理由：；(2)如图，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A BC 的位置．①请在图中作出点O；②如果BB =6cm，则在旋转过程中，点B经过的路径长为；【问题拓展】小李突发奇想，将与(2)中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置，另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止，此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图所示，请你帮助小李解决这个问题．。
初中数学几何综合-含答案
一．选择题（共13小题）1．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M 不与B、C重合），过点C作CN垂直DM交AB于点N，连结OM、ON、MN．下列四个结论：其中正确结论是（）①S四边形ABCD＝4S四边形ONBM；②BM2+CM2＝2ON2；③△CON≌△DOM；④若AB＝2，则S△OMN的最小值是1．A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④2．如图，正方形ABCD中，∠EAF＝45°，BD分别交AE、AF于M、N，连MF、EF，下列结论：①MN2＝BN2+DM2；②DE+BF＝EF；③AM＝MF且AM⊥MF；④若E为CD 中点，则＝．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD相交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝3，P为对角线BD上一点，当对角线BD平分∠NPM时，PM﹣PN值为（）A．1B．C．2D．4．如图，在正方形ABCD内一点E连接BE、CE，过C作CF⊥CE与BE延长线交于点F，连接DF、DE．CE＝CF＝1，DE＝，下列结论中：①△CBE≌△CDF；②BF⊥DF；③点D到CF的距离为2；④S四边形DECF＝+1．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．45．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M．则下列结论：①∠AME＝90°，②∠BAF＝∠EDB，③AM＝MF，④ME+MF＝MB．其中正确结论的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个6．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，EH与CF交于点O．则HE的长为（）A．2B．C．2D．或27．如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，过点E作EF∥CD，交AD于F，交对角线BD于G，取DG的中点H，连结AH，EH，FH．下列结论：①FH∥AE；②AH＝EH且AH⊥EH；③∠BAH＝∠HEC；④△EHF≌△AHD；⑤若，则．其中哪些结论是正确（）A．①②④⑤B．②③④C．①②③D．②③④⑤8．如图，在正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F分别为BC、CD上的两点，BE ＝CF，AE、BF分别交BD、AC于M、N两点，连OE、OF．下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③CE+CF＝BD；④S四边形OECF＝S正方形ABCD，其中正确的是（）A．①②B．①④C．①②④D．①②③④9．如图，在正方形ABCD中，M是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，连接AM、EM、CM，延长EM交AB于点F，若AM＝EM，∠E＝30°，则下列结论：①FM＝ME；②BF＝DE；③CM⊥EF；④BF+MD＝BC，其中正确的结论序号是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④10．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AG平分∠BAC交BD于G，DE ⊥AG于点H．下列结论：①AD＝2AE：②FD＝AG；③CF＝CD：④四边形FGEA是菱形；⑤OF＝BE，正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个11．如图，以正方形ABCD的顶点A为圆心，以AD的长为半径画弧，交对角线AC于点E，再分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，两弧交于图中的点F处，连接AF并延长，与BC的延长线交于点P，则∠P＝（）A．90°B．45°C．30°D．22.5°12．如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，连接AE，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，连接EF，AG平分∠F AE，AG分别交BC，EF于点G，H，连接EG，DH．则下列结论中：①AF＝AE；②∠EGC＝2∠BAG；③DE+BG＝EG；④AD+DE＝DH；⑤若DE＝CE，则CE：CG：EG＝3：4：5，其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个13．如图，矩形ABCD中，O为AC的中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE、BO．若∠COB＝60°，FO＝FC＝2，则下列结论：①FB⊥OC；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④MB＝2．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共3小题）14．如图，点E为正方形ABCD外一点，且ED＝CD，连接AE，交BD于点F．若∠CDE ＝40°，则∠DFC的度数为．15．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE＝AD，DF＝BD，连接BF分别交CD，CE于H，G，下列结论：①EC＝2DG；②∠GDH＝∠GHD；③S△CDG＝S四边形DHGE；④图中只有8个等腰三角形．其中正确的有（填番号）．16．如图，在正方形ABCD中，P为AB的中点，BE⊥PD的延长线于点E，连接AE、BE、F A⊥AE交DP于点F，连接BF，FC．若AE＝2，则FC＝．三．解答题（共24小题）17．如图，在直线l上将正方形ABCD和正方形ECGF的边CD和边CE靠在一起，连接DG，过点A作AH∥DG，交BG于点H．连接HF，AF，其中FH交DG于点M．（1）求证：△AHF为等腰直角三角形．（2）若AB＝3，EC＝4，求DM的长．18．如图，已知正方形ABCD的面积是8，连接AC、BD交于点O，CM平分∠ACD交BD 于点M，MN⊥CM，交AB于点N，（1）求∠BMN的度数；（2）求BN的长．19．如图示，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB，BC的延长线上，且∠EOF＝90°，OE与BC交于点M，连接EF，G是EF的中点，连接OG．（1）求证：OE＝OF（2）若∠BOG＝65°，求∠BOE的度数；（3）是否存在点M是BC中点，且使（1）的结论成立，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．20．如图，正方形ABCD中，AB＝，在边CD的右侧作等腰三角形DCE，使DC＝DE，记∠CDE为α（0°＜α＜90°），连接AE，过点D作DG⊥AE，垂足为G，交EC的延长线于点F，连接AF．（1）求∠DEA的大小（用α的代数式表示）；（2）求证：△AEF为等腰直角三角形；（3）当CF＝时，求点E到CD的距离．21．如图1，在正方形ABCD中，点E在边CD上（不与点C，D重合），AE交对角线BD 于点G，GF⊥AE交BC于点F．（1）求证：AG＝FG．（2）若AB＝10，BF＝4，求BG的长．（3）如图2，连接AF，EF，若AF＝AE，求正方形ABCD与△CEF的面积之比．22．在正方形ABCD中，点E是DC上一点，连结AC，AE．（1）如图1，若AC＝8，AE＝10，求△ACE的面积．（2）如图2，EF⊥AC于点F，连结BF．求证：AE＝BF．23．如图1，正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与CD相交于点G．（1）求证：△BCG≌△DCE；（2）如图2，连接BD，若，求BG的长．24．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为OC上动点（不与O、C 重合），作AF⊥BE，垂足为G，分别交BC、OB于F、H，连接OG、CG．（1）求证：△AOH≌△BOE；（2）求∠AGO的度数；（3）若∠OGC＝90°，BG＝，求△OGC的面积．25．如图，O为正方形ABCD对角线的交点，E为AB边上一点，F为BC边上一点，△EBF 的周长等于BC的长．（1）若AB＝24，BE＝6，求EF的长；（2）求∠EOF的度数；（3）若OE＝OF，求的值．26．如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB＝45°（1）求证：∠BAG＝∠CBF；（2）求证：AG＝FG；（3）若GF＝2BG，CF＝，求AB的长．27．如图1，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且P A＝PE，PE交CD于点F，（1）证明：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．28．如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．（1）试说明EO＝FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．29．如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是DB延长线上一点，且△ACE是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AEB＝2∠EAB，求证：四边形ABCD是正方形．30．如图1，在正方形ABCD中，G为线段BD上一点，连接AG，过G作AG⊥GE交BC 于E，连接AE．（1）求证：BG＝DG+BE；（2）如图2，AB＝4，E为BC中点，P，Q分别为线段AB，AE上的动点，满足QE＝AP，则在P，Q运动过程中，当以PQ为对角线的正方形PRQS的一边恰好落在△ABE的某一边上时，直接写出正方形PRQS的面积．31．如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥AD，延长DA于点E，使得DA＝AE，连接BE．（1）求证：四边形AEBC是矩形；（2）过点E作AB的垂线分别交AB，AC于点F，G，连接CE交AB于点O，连接OG，若AB＝6，∠CAB＝30°，求△OGC的面积．32．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若DC＝2，AC＝4，求OE的长．33．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若BF＝8，DF＝4，求CD的长．34．已知：如图，点E为▱ABCD对角线AC上的一点，点F在线段BE的延长线上，且EF ＝BE，线段EF与边CD相交于点G．（1）求证：DF∥AC；（2）如果AB＝BE，DG＝CG，联结DE、CF，求证：四边形DECF是矩形．35．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥BC于E，延长CB到点F，使BF＝CE，连接AF，OF．（1）求证：四边形AFED是矩形．（2）若AD＝7，BE＝2，∠ABF＝45°，试求OF的长．36．如图，平行四边形ABCD中，AC⊥BC，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，点M为AB的中点，连接CM．（1）求证：四边形ADEC是矩形；（2）若CM＝5，且AC＝8，求四边形ADEC的周长．37．如图，已知△OAB中，OA＝OB，分别延长AO、BO到点C、D．使得OC＝AO，OD ＝BO，连接AD、DC、CB．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）以OA、OB为一组邻边作▱AOBE，连接CE，若CE⊥BD，求∠AOB的度数．38．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．39．如图，在平行四边形BPCD中，点O为BD中点，连接CO并延长交PB延长线于点A，连接AD、BC，若AC＝CP，（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F，若AB＝9，BC＝12，AE＝3，则AF的长为．40．如图，菱形ABCD中，AC与BD交于点O，DE∥AC，DE＝AC．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）连结AE，交OD于点F，连结CF，若CF＝CE＝1，求AC长．2021年01月06日杨莲莲的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M 不与B、C重合），过点C作CN垂直DM交AB于点N，连结OM、ON、MN．下列四个结论：其中正确结论是（）①S四边形ABCD＝4S四边形ONBM；②BM2+CM2＝2ON2；③△CON≌△DOM；④若AB＝2，则S△OMN的最小值是1．A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④【分析】根据正方形的性质，依次判定△CNB≌△DMC，△AON≌△BOM，根据全等三角形的性质以及勾股定理进行计算即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD，AC＝BD，∴AO＝BO，∠OAN＝∠OBM＝45°，∠AOB＝90°，∵CN⊥DM，∴∠MCN+∠CMD＝∠CMD+∠CDM＝90°，∴∠CDM＝∠BCN，∵CD＝BC，∠DCM＝∠CBN，∴△CDM≌△BCN（AAS），∴CM＝BN，∴AN＝BM，∴△AON≌△BOM（SAS），∴S△AON＝S△BOM，∴S四边形ONBM＝S△AOB＝S正方形ABCD，∴S四边形ABCD＝4S四边形ONBM；故①正确；∵△AON≌△BOM，∴ON＝OM，∠AON＝∠BOM，∴∠NOM＝∠AOB＝90°，∴△NOM是等腰直角三角形，∴MN2＝2ON2，∵BN2+BM2＝MN2，∴CM2+BM2＝2ON2，故②正确；∵∠MON＝∠COD＝90°，∴∠NOC＝∠MOD，∵OD＝OC，ON＝OM，∴△CON≌△DOM（SAS），故③正确；∵AB＝2，∴S正方形ABCD＝4，∵△AON≌△BOM，∴四边形BMON的面积＝△AOB的面积＝1，即四边形BMON的面积是定值1，∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，设BN＝x＝CM，则BM＝2﹣x，∴△MNB的面积＝x（2﹣x）＝﹣x2+x＝﹣（x﹣1）2+，∴当x＝1时，△MNB的面积有最大值，此时S△OMN的最小值是1﹣＝，故④不正确，故选：A．【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，二次函数的最值以及勾股定理的综合应用，解题时注意二次函数的最值的运用．2．如图，正方形ABCD中，∠EAF＝45°，BD分别交AE、AF于M、N，连MF、EF，下列结论：①MN2＝BN2+DM2；②DE+BF＝EF；③AM＝MF且AM⊥MF；④若E为CD 中点，则＝．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①过B作BD的垂线，截取BH＝MD，连接AH，HN，如图，易证△ADM≌△ABH，△AHN≌△AMN，得MN＝HN，最后根据勾股定理可作判断；②延长CB，截取BI＝DE，连接AI，如图，易证△ADE≌△ABI，△AIF≌△AEF，得IF＝EF，即DE+BF＝EF，成立．③作辅助线，则可证△AFJ为等腰直角三角形，CK＝BF＝KJ，证明∠JCK＝45°，推出四边形BCJK为平行四边形，所以GJ＝BC＝AD，可证△GJM≌△DAM，则M为AJ的中点，又∠AFJ＝90°，故AM＝MF且AM⊥MF，成立．④延长CB，截取BL＝DE，连接AL，可设DE＝a，BF＝x，则EF＝LF＝a+x，CF＝2a﹣x，CE＝a，由勾股定理可知：3x＝2a，则＝＝，成立．【解答】解：①过B作BD的垂线，截取BH＝MD，连接AH，HN，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠ADB＝∠ABD＝45°，∠BAD＝90°，∴∠ABH＝45°＝∠ADM，在△ADM和△ABM中，∵，∴△ADM≌△ABH（SAS），∴∠DAM＝∠BAH，AM＝AH，∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠DAM+∠BAN＝∠BAH+∠BAN＝45°，∴∠MAN＝∠HAN＝45°，在△AHN和△AMN中，∵，∴△AHN≌△AMN（SAS），∴MN＝HN，Rt△BHN中，HN2＝BH2+BN2，∴MN2＝BN2+DM2，成立．②延长CB，截取BI＝DE，连接AI，如图，在△ADE和△ABI中，∵∴△ADE≌△ABI（SAS），同理得△AIF≌△AEF（SAS），∴IF＝EF，即DE+BF＝EF，成立；③如图，过F作FJ⊥AF交AE的延长线于J，过J作JK⊥BC于K，连接CJ，过J作JG ∥BC交BD于G，∴∠AFJ＝∠AFB+∠JFK＝90°，∵∠AFB+∠BAF＝90°，∴∠BAF＝∠JFK，∵∠EAF＝45°，∠AFJ＝90°，∴△AFJ是等腰直角三角形，在△ABF和△FKJ中，∵，∴△ABF≌△FKJ（SAS），∴AB＝FK＝BC，BF＝KJ，∴CK＝BF＝KJ，∴∠JCK＝45°，∴∠DBC＝∠JCK，∴BG∥CJ，∵JG∥BC，∴四边形BCJK为平行四边形，∴GJ＝BC＝AD，∵AD∥BC∥GJ，∴∠DAM＝∠MJK，在△GJM和△DAM中，∵，∴△GJM≌△DAM（AAS），∴AM＝MJ，则M为AJ的中点，又∠AFJ＝90°，故AM＝MF且AM⊥MF，成立．④延长CB，截取BL＝DE，连接AL，可设DE＝a，BF＝x，则EF＝LF＝a+x，∵E为CD中点，∴CD＝BC＝2a，∴CF＝2a﹣x，CE＝a，在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2＝CE2+CF2∴（a+x）2＝a2+（2a﹣x）2解得：3x＝2a，则＝＝，成立．故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．3．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD相交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝3，P为对角线BD上一点，当对角线BD平分∠NPM时，PM﹣PN值为（）A．1B．C．2D．【分析】作以BD为对称轴作N的对称点N'，连接MN'，PN'，根据PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，当P，M，N'三点共线时，取“＝”，再证得△MCN'∽△BCA，从而推得△MCN'为等腰直角三角形，结合BM＝3．正方形的边长为4，求得CM，即为MN'，问题可解．【解答】解：如图所示，∵对角线BD平分∠NPM，∴作以BD为对称轴N的对称点N'，连接MN'，PN'，根据轴对称性质可知，PN＝PN'，∠NPO＝N′PO，NO＝N′O∵在正方形ABCD中，AB＝4∴AC＝AB＝4，∵O为AC中点∴OA＝OC＝2∵N为OA的中点∴ON＝∴ON'＝CN'＝∴AN'＝3∵BM＝3∴CM＝4﹣3＝1∴＝＝∵∠MCN'＝∠BCA∴△MCN'∽△BCA∴∠CMN'＝∠ABC＝90°∵∠MCN'＝45°∴△MCN'为等腰直角三角形∴MN'＝CM＝1∴PM﹣PN的值为1．故选：A．【点评】本题主要考查了正方形的性质，明确正方形的相关性质及相似三角形的判定、勾股定理等知识点，是解题的关键．4．如图，在正方形ABCD内一点E连接BE、CE，过C作CF⊥CE与BE延长线交于点F，连接DF、DE．CE＝CF＝1，DE＝，下列结论中：①△CBE≌△CDF；②BF⊥DF；③点D到CF的距离为2；④S四边形DECF＝+1．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识逐项判断即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°，∵CF⊥CE，∴∠ECF＝∠BCD＝90°，∴∠BCE＝∠DCF，在△BCE与△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS），故①正确；∵△BCE≌△DCF，∴∠CBE＝∠CDF，∴∠DFB＝∠BCD＝90°，∴BF⊥DF，故②正确，过点D作DM⊥CF，交CF的延长线于点M，∵∠ECF＝90°，FC＝EC＝1，∴∠CFE＝45°，∵∠DFM+∠CFB＝90°，∴∠DFM＝∠FDM＝45°，∴FM＝DM，∴由勾股定理可求得：EF＝，∵DE＝，∴由勾股定理可得：DF＝2，∵EF2+BE2＝2BE2＝BF2，∴DM＝FM＝，故③错误，∵△BCE≌△DCF，∴S△BCE＝S△DCF，∴S四边形DECF＝S△DCF+S△DCE＝S△ECF+S△DEF＝+，故④错误，故选：B．【点评】本题考查四边形的综合问题，涉及正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、三角形面积公式等知识内容，综合程度高，需要学生灵活运用知识解答．5．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M．则下列结论：①∠AME＝90°，②∠BAF＝∠EDB，③AM＝MF，④ME+MF＝MB．其中正确结论的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据正方形的性质可得AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，再根据中点定义求出AE＝BF，然后利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF＝∠ADE，然后求出∠ADE+∠DAF＝∠BAD＝90°，从而求出∠AMD ＝90°，再根据邻补角的定义可得∠AME＝90°，得出①正确；根据中线的定义判断出∠ADE≠∠EDB，然后求出∠BAF≠∠EDB，判断出②错误；设正方形ABCD的边长为2a，利用勾股定理列式求出AF，再根据似三角形对应边成比例求出AM，然后求出MF，消掉a即可得到AM＝MF，判断出③正确；过点M作MN⊥AB于N，由相似三角形的性质得出＝＝，解得MN＝a，AN＝a，得出NB＝AB﹣AN＝2a﹣a＝a，根据勾股定理得BM＝a，求出ME+MF＝+a＝a，MB＝a，得出ME+MF＝MB，故④正确．于是得到结论．【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，∵E、F分别为边AB，BC的中点，∴AE＝BF＝BC，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（SAS），∴∠BAF＝∠ADE，∵∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，∴∠ADE+∠DAF＝∠BAD＝90°，∴∠AMD＝180°﹣（∠ADE+∠DAF）＝180°﹣90°＝90°，∴∠AME＝180°﹣∠AMD＝180°﹣90°＝90°，故①正确；∵DE是△ABD的中线，∴∠ADE≠∠EDB，∴∠BAF≠∠EDB，故②错误；设正方形ABCD的边长为2a，则BF＝a，在Rt△ABF中，AF＝＝＝a，∵∠BAF＝∠MAE，∠ABC＝∠AME＝90°，∴△AME∽△ABF，∴＝，即＝，解得：AM＝a，∴MF＝AF﹣AM＝a﹣a＝a，∴AM＝MF，故③正确；如图，过点M作MN⊥AB于N，则MN∥BC，∴△AMN∽△AFB，∴＝＝，即＝＝，解得MN＝a，AN＝a，∴NB＝AB﹣AN＝2a﹣a＝a，根据勾股定理得：BM＝＝＝a，∵ME+MF＝+a＝a，MB＝a，∴ME+MF＝MB，故④正确．综上所述，正确的结论有①③④共3个．故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识；仔细分析图形并作出辅助线构造出直角三角形与相似三角形是解题的关键．6．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，EH与CF交于点O．则HE的长为（）A．2B．C．2D．或2【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，分别求得HO和OE的长后即可求得HE的长．【解答】解：∵AC、CF分别是正方形ABCD和正方形CGFE的对角线，∴∠ACD＝∠GCF＝45°，∴∠ACF＝90°，又∵H是AF的中点，∴CH＝HF，∵EC＝EF，∴点H和点E都在线段CF的中垂线上，∴HE是CF的中垂线，∴点H和点O是线段AF和CF的中点，∴OH＝AC，在Rt△ACD和Rt△CEF中，AD＝DC＝1，CE＝EF＝3，∴AC＝，∴CF＝3，又OE是等腰直角△CEF斜边上的高，∴OE＝，∴HE＝HO+OE＝2．故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质、直角三角形的性质及勾股定理的知识，综合性较强，难度较大．7．如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，过点E作EF∥CD，交AD于F，交对角线BD于G，取DG的中点H，连结AH，EH，FH．下列结论：①FH∥AE；②AH＝EH且AH⊥EH；③∠BAH＝∠HEC；④△EHF≌△AHD；⑤若，则．其中哪些结论是正确（）A．①②④⑤B．②③④C．①②③D．②③④⑤【分析】①根据正方形对角线互相垂直、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直即可得结论；②根据矩形的判定和性质、直角三角形的性质，证明三角形全等即可得结论；③根据全等三角形性质、矩形的性质进行角的计算即可得结论；④根据边边边证明三角形全等即可得结论；⑤根据割补法求四边形的面积，再求等腰直角三角形的面积，即可得结论．【解答】证明：①在正方形ABCD中，∠ADC＝∠C＝90°，∠ADB＝45°，∵EF∥CD∴∠EFD＝90°，得矩形EFDC．在Rt△FDG中，∠FDG＝45°，∴FD＝FG，∵H是DG中点，∴FH⊥BD∵正方形对角线互相垂直，过A点只能有一条垂直于BD的直线，∴AE不垂直于BD，∴FH与AE不平行．所以①不正确．②∵四边形ABEF是矩形，∴AF＝EB，∠BEF＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠EBG＝∠EGB＝45°，∴BE＝GE，∴AF＝EG．在Rt△FGD中，H是DG的中点，∴FH＝GH，FH⊥BD，∴∠AFH＝∠AFE+∠GFH＝90°+45°＝135°，∠EGH＝180°﹣∠EGB＝180°﹣45°＝135°，∴∠AFH＝∠EGH，∴△AFH≌△EGH，∴AH＝EH，∠AHF＝∠EHG，∴∠AHF+AHG＝∠EHG+∠AHG，即∠FHG＝∠AHE＝90°，∴AH⊥EH．所以②正确．③∵△AFH≌△EGH，∴∠F AH＝∠GEH，∵∠BAF＝CEG＝90°，∴∠BAH＝∠HEC．所以③正确．④∵EF＝AD，FH＝DH，EH＝AH，∴△EHF≌△AHD所以④正确．⑤如图，过点H作HM⊥AD于点M，设EC＝FD＝FG＝x，则BE＝AF＝EG＝2x，∴BC＝DC＝AB＝AD＝3x，HM＝x，AM＝x，∴AH2＝（x）2+（x）2＝x2，S四边形DHEC＝S梯形EGDC﹣S△EGH＝（2x+3x）•x﹣×＝2x2S△AHE＝AH•EH＝AH2＝x2∴＝＝．所以⑤不正确．故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、三角形和梯形的面积等内容，解题关键是综合利用以上知识解决问题．8．如图，在正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F分别为BC、CD上的两点，BE ＝CF，AE、BF分别交BD、AC于M、N两点，连OE、OF．下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③CE+CF＝BD；④S四边形OECF＝S正方形ABCD，其中正确的是（）A．①②B．①④C．①②④D．①②③④【分析】①易证得△ABE≌△BCF（ASA），则可证得结论①正确；②由△ABE≌△BCF，可得∠FBC＝∠BAE，证得AE⊥BF，选项②正确；③证明△BCD是等腰直角三角形，求得选项③错误；④证明△OBE≌△OCF，根据正方形被对角线将面积四等分，即可得出选项④正确．【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，在△ABE和△BCF中，∵，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，故①正确；②由①知：△ABE≌△BCF，∴∠FBC＝∠BAE，∴∠FBC+∠ABF＝∠BAE+∠ABF＝90°，∴AE⊥BF，故②正确；③∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝BC，∴CE+CF＝CE+BE＝＝BC，故③错误；④∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，在△OBE和△OCF中，∵，∴△OBE≌△OCF（SAS），∴S△OBE＝S△OCF，∴S四边形OECF＝S△COE+S△OCF＝S△COE+S△OBE＝S△OBC＝S正方形ABCD，故④正确；故选：C．【点评】此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．9．如图，在正方形ABCD中，M是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，连接AM、EM、CM，延长EM交AB于点F，若AM＝EM，∠E＝30°，则下列结论：①FM＝ME；②BF＝DE；③CM⊥EF；④BF+MD＝BC，其中正确的结论序号是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④【分析】①证明△AFM是等边三角形，可判断；②③证明△CBF≌△CDE（ASA），可作判断；④设MN＝x，分别表示BF、MD、BC的长，可作判断．【解答】解：①∵AM＝EM，∠AEM＝30°，∴∠MAE＝∠AEM＝30°，∴∠AMF＝∠MAE+∠AEM＝60°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠F AD＝90°，∴∠F AM＝90°﹣30°＝60°，∴△AFM是等边三角形，∴FM＝AM＝EM，故①正确；②连接CE、CF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝∠CDM，AD＝CD，在△ADM和△CDM中，∵，∴△ADM≌△CDM（SAS），∴AM＝CM，∴FM＝EM＝CM，∴∠MFC＝∠MCF，∠MEC＝∠ECM，∵∠ECF+∠CFE+∠FEC＝180°，∴∠ECF＝90°，∵∠BCD＝90°，∴∠DCE＝∠BCF，在△CBF和△CDE中，∵，∴△CBF≌△CDE（ASA），∴BF＝DE；故②正确；③∵△CBF≌△CDE，∴CF＝CE，∵FM＝EM，∴CM⊥EF，故③正确；④过M作MN⊥AD于N，设MN＝x，则AM＝AF＝2x，AN＝x，DN＝MN＝x，∴AD＝AB＝x+x，∴DE＝BF＝AB﹣AF＝x+x﹣2x＝x﹣x，∴BF+MD＝（x﹣x）+x＝x，∵BC＝AD＝x+x x，故④错误；所以本题正确的有①②③；故选：A．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定，熟记正方形的性质确定出△AFM是等边三角形是解题的关键．【点评】此题考查的是正方形的性质，等腰直角三角形的性质和判定以及菱10．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AG平分∠BAC交BD于G，DE⊥AG于点H．下列结论：①AD＝2AE：②FD＝AG；③CF＝CD：④四边形FGEA是菱形；⑤OF ＝BE，正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】①根据正方形的性质和角平分线的定义得：∠BAG＝∠CAG＝22.5°，由垂直的定义计算∠AED＝90°﹣22.5°＝67.5°，∠EAD＝∠EAD＝22.5°，得ED是AG的垂直平分线，则AE＝EG，△BEG是等腰直角三角形，则AD＝AB＞2AE，可作判断；②证明△DAF≌△ABG（ASA），可作判断；③分别计算∠CDF＝∠CFD＝67.5°，可作判断；④根据对角线互相平分且垂直的四边形是菱形可作判断；⑤设BG＝x，则AF＝AE＝x，表示OF和BE的长，可作判断．【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∠BAC＝45°，∵AG平分∠BAC，∴∠BAG＝∠CAG＝22.5°，∵AG⊥ED，∴∠AHE＝∠EHG＝90°，∴∠AED＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠ADE＝22.5°，∵∠ADB＝45°，∴∠EDG＝22.5°＝∠ADE，∵∠AHD＝∠GHD＝90°，∴∠DAG＝∠DGA，∴AD＝DG，AH＝GH，∴ED是AG的垂直平分线，∴AE＝EG，∴∠EAG＝∠AGE＝22.5°，∴∠BEG＝45°＝∠ABG，∴∠BGE＝90°，∴AE＝EG＜BE，∴AD＝AB＞2AE，故①不正确；②∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAF＝∠ABG＝45°，∵∠ADF＝∠BAG＝22.5°，∴△DAF≌△ABG（ASA），∴DF＝AG，故②正确；③∵∠CDF＝45°+22.5°＝67.5°，∠CFD＝∠AFE＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠CDF＝∠CFD，∴CF＝CD，故③正确；④∵∠EAH＝∠F AH，∠AHE＝∠AHF，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，∴EH＝FH，∵AH＝GH，AG⊥EF，∴四边形FGEA是菱形；故④正确；⑤设BG＝x，则AF＝AE＝x，由①知△BEG是等腰直角三角形，∴BE＝x，∴AB＝AE+BE＝x+x＝（+1）x，∴AO＝＝，∴OF＝AO﹣AF＝﹣x＝，∴＝＝，∴OF＝BE；故⑤正确；本题正确的结论有：②③④⑤；故选：C．形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握正方形的性质，注意数形结合思想的应用．11．如图，以正方形ABCD的顶点A为圆心，以AD的长为半径画弧，交对角线AC于点E，再分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，两弧交于图中的点F处，连接AF并延长，与BC的延长线交于点P，则∠P＝（）A．90°B．45°C．30°D．22.5°【分析】根据正方形的性质得到∠DAC＝∠ACD＝45°，由作图知，∠CAP＝∠DAC ＝22.5°，根据三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC＝∠ACD＝45°，由作图知，∠CAP＝∠DAC＝22.5°，∴∠P＝180°﹣∠ACP﹣∠CAP＝22.5°，故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质，角平分线定义，正确的理解题意是解题的关键．12．如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，连接AE，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，连接EF，AG平分∠F AE，AG分别交BC，EF于点G，H，连接EG，DH．则下列结论中：①AF＝AE；②∠EGC＝2∠BAG；③DE+BG＝EG；④AD+DE＝DH；⑤若DE＝CE，则CE：CG：EG＝3：4：5，其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】①正确．证明△ADE≌△ABF（ASA）可得结论．②正确．证明△AGF≌△AGE（SAS），推出∠AGF＝∠AGE＝90°﹣∠BAG，推出∠EGF ＝180°﹣2∠BAG可得结论．③正确．证明△GAF≌△GAE，推出GF＝GE可得结论．④正确．过点H作HM⊥AD于M，HN⊥CD于N，证明△HMA≌△HNE（AAS），推出AM＝EN，HM＝HN，再证明四边形HMDN是正方形可得结论．⑤正确．当DE＝EC时，设DE＝EC＝a，BG＝x，则EG＝a+x，GC＝2a﹣x，利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠ABF＝∠ADE＝∠BAD＝90°，∵AE⊥AF，∴∠EAF＝∠BAD＝90°，∴∠BAF＝∠DAE，∴△ADE≌△ABF（ASA），∴AE＝AF，故①正确，∵AG平分∠EAF，∴∠GAF＝∠GAE，∵AF＝AE，AG＝AG，∴△AGF≌△AGE（SAS），∴∠AGF＝∠AGE＝90°﹣∠BAG，∴∠EGF＝180°﹣2∠BAG，∵∠EGF＝180°﹣∠EGC，∴∠EGC＝2∠BAG，故②正确，∵△ADE≌△ABF，∴DE＝BF，∵△GAF≌△GAE，∴GF＝GE，∵FG＝BF+BG＝DE+BG，∴EG＝BG+DE，故③正确，过点H作HM⊥AD于M，HN⊥CD于N，∵AE＝AF，∠EAF＝90°，AH平分∠EAF，∴AH⊥EF，HF＝HE，∴HA＝HE＝HF，∵∠ADE+∠AHE＝180°，∴∠HAD+∠DEH＝180°，∵∠DEH+∠HEN＝180°，∴∠HAM＝∠HEN，∵∠AMH＝∠ENH＝90°，∴△HMA≌△HNE（AAS），∴AM＝EN，HM＝HN，∵∠HMD＝∠HND＝∠MDN＝90°，∴四边形HMDN是矩形，∵HM＝HN，∴四边形HMDN是正方形，∴DM＝DN＝HM＝HN，DH＝DM，∴DA+DE＝DM+AM+DN﹣EN＝2DM＝DH，故④正确，当DE＝EC时，设DE＝EC＝a，BG＝x，则EG＝a+x，GC＝2a﹣x，在Rt△ECG中，∵EG2＝EC2+CG2，∴（x+a）2＝a2+（2a﹣x）2，解得x＝a，∴CG＝a，EG＝a，∴CE：CG：EG＝a：a：＝3：4：5，故⑤正确，故选：D．【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．13．如图，矩形ABCD中，O为AC的中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE、BO．若∠COB＝60°，FO＝FC＝2，则下列结论：①FB⊥OC；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④MB＝2．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】连接BD，先证明△BOC是等边三角形，得FO＝FC，BO＝BC，故①正确；因为△EOB≌△FOB≌△FCB，故△EOB不会全等于△CBM，故②错误；再证明四边形EBFD是平行四边形，由OB⊥EF推出四边形EBFD是菱形故③正确，先判断出CM＝，再由∠CBM＝30°，判断出BC＝2，进而判断出④，由此不难得到答案．【解答】解：连接BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AC、BD互相平分，∵O为AC中点，∴BD也过O点，∴OB＝OC，∵∠COB＝60°，OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝BC＝OC，∠OBC＝60°，在△OBF与△CBF中，，∴△OBF≌△CBF（SSS），∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，∴FB⊥OC，OM＝CM；∴①正确，∵∠OBC＝60°，∴∠ABO＝30°，∵△OBF≌△CBF，∴∠OBM＝∠CBM＝30°，∴∠ABO＝∠OBF，∵AB∥CD，∴∠OCF＝∠OAE，∵OA＝OC，∠AOE＝∠FOC∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴OB⊥EF，∴四边形EBFD是菱形，∴③正确，∵△EOB≌△FOB≌△FCB，∴△EOB≌△CMB错误．∴②错误；∵FO＝FC＝2，FM⊥OC，∠FCM＝30°，∴CM＝，∵∠CBM＝30°，∴BC＝2，∴BM＝3，∴④错误．综上可知其中正确结论的个数是2个，故选：B．【点评】本题属于四边形的综合题，考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质．全等三角形的判定和性质、菱形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．二．填空题（共3小题）14．如图，点E为正方形ABCD外一点，且ED＝CD，连接AE，交BD于点F．若∠CDE ＝40°，则∠DFC的度数为110°．【分析】根据正方形性质和已知得：AD＝DE，利用等腰三角形性质计算∠DAE＝25°，由三角形的内角和定理得：∠AFD＝110°，证明△ADF≌△CDF（SAS），∠DFC＝∠AFD ＝110°．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝90°，∴∠ADB＝∠BDC＝45°，∵DC＝DE，∴AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA，∵∠ADE＝90°+40°＝130°，∴∠DAE＝＝25°，∴∠AFD＝180°﹣25°﹣45°＝110°，在△ADF和△CDF中，∵，∴△ADF≌△CDF（SAS），∴∠DFC＝∠AFD＝110°，故答案为：110°．【点评】本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，属于基础题，熟练掌握正方形的性质是关键．15．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE＝AD，DF＝BD，连接BF分别交CD，CE于H，G，下列结论：①EC＝2DG；②∠GDH＝∠GHD；③S△CDG＝S四边形DHGE；④图中只有8个等腰三角形．其中正确的有②③（填番号）．【分析】根据正方形的性质和已知推出四边形DECB是平行四边形，得到BD＝CE，BD ∥CE，无法证出G为CE的中点；得到BD∥CE，推出∠DCG＝∠BDC＝45°，求出∠BGC＝∠GBC，得到BC＝CG＝CD，求出∠CDG＝∠DHG即可；根据三角形的面积公式推出△CDG和四边形DHGE的面积相等；可得有9个等腰三角形．【解答】解：∵正方形ABCD，DE＝AD，∴AD∥BC，DE＝BC，∠EDC＝90°，∴四边形DECB是平行四边形，∴BD＝CE，BD∥CE，∵DE＝BC＝AD，∴∠DCE＝∠DEC＝45°，要使CE＝2DG，只要G为CE的中点即可，但DE＝DC，DF＝BD，∴EF≠BC，即△EFG和△BCG不全等，∴G不是CE中点，∴①错误；∵∠ADB＝45°，DF＝BD，∴∠F＝∠DBH＝∠ADB＝22.5°，∴∠DHG＝180°﹣90°﹣22.5°＝67.5°，∵BD∥CE，∴∠DCG＝∠BDC＝45°，∵∠DHG＝67.5°，∴∠HGC＝22.5°，∠DEC＝45°，∵∠BGC＝180°﹣22.5°﹣135°＝22.5°＝∠GBC，∴BC＝CG＝CD，∴∠CDG＝∠CGD＝（180°﹣45°）＝67.5°＝∠DHG，∴②正确；∵CG＝DE＝CD，∠DCE＝∠DEC＝45，∠HGC＝22.5°，∠GDE＝90﹣∠CDG＝90﹣67.5＝22.5°，∴△DEG≌△CHG，要使△CDG和四边形DHGE的面积相等，只要△DEG和△CHG的面积相等即可，根据已知条件△DEG≌△CHG，∴③S△CDG＝S四边形DHGE；正确，等腰三角形有△ABD，△CDB，△BDF，△CDE，△BCG，△DGH，△EGF，△CDG，△DGF；∴④错误；故答案为：②③．【点评】本题主要考查对三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，正方形的性质，平行四边形的性质和判定等知识．综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．16．如图，在正方形ABCD中，P为AB的中点，BE⊥PD的延长线于点E，连接AE、BE、F A⊥AE交DP于点F，连接BF，FC．若AE＝2，则FC＝2．【分析】根据正方形的性质可得AB＝AD，再求出∠BAE＝∠DAF，∠ABE＝∠ADF，然后利用“角边角”证明△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AF，从而判断出△AEF是等腰直角三角形，根据AE的长度求出EF，过点A作AH⊥EF于H，连接BH，根据等腰直角三角形的性质可得AH＝EH＝FH，利用“角边角”证明△APH 和△BPE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE＝AH，然后求出△BEH是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠EHB＝45°，然后求出∠AHB＝∠FHB，再利用“边角边”证明△ABH和△FBH全等，根据全等三角形对应边相等可得AB＝BF，再根据全等三角形对应边相等求出BE＝DF，全等三角形对应角相等求出∠BAH＝∠BFE，然后求出∠BFE＝∠ADF，根据等角的余角相等求出∠EBF＝∠FDC，再利用“边角边”证明△BEF和△DFC全等，根据全等三角形对应边相等可得FC＝EF．【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∵F A⊥AE，∴∠EAF＝90°，∴∠BAE＝∠DAF，∵∠ABE+∠BPE＝∠ADF+∠APD＝90°，∴∠ABE＝∠ADF，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴AE＝AF，BE＝DF，∵F A⊥AE，∴△AEF是等腰直角三角形，∴EF＝AE＝2，过点A作AH⊥EF于H，连接BH，。
巧用线段中点(或分点)的有关计算
(2)几秒后，恰好有OA:OB＝1:2? 设运动时间为t s. ①B与A相遇前：12－4t＝2(t＋3)，即t＝1； ②B与A相遇后：4t－12＝2(t＋3)，即t＝9. 答：1 s或9 s后，恰好有OA:OB＝1:2.
度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
如图所示．
MN＝
1 2
b
cm.理由如下：
因为点M，N分别是AC，BC的中点，
所以MC＝
1 2
AC，NC＝
1 2
BC，
所以MN＝MC－NC＝ 1 AC－ 1 BC
2
2
＝
1 2
(AC－BC)＝
1 2
b
cm.
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题型3 与线段中点有关的操作题
3． (1)如图，已知点C在线段AB上，线段AB＝12，点M，
因为M为AB的中点，
所以MB＝
1 2
AB＝
1 2
×20＝10(cm)．
因为N为BC的中点，
所以BN＝
1 2
BC＝
12×8＝4(cm)．
所以MN＝MB－BN＝10－4＝6(cm)．
②当点C在线段AB的延长线上时，如图②所示．
因为M为AB的中点，
所以MB＝
1 2
AB＝
1 2
×20＝10(cm)．
因为N为BC的中点，
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题型1 与线段分点有关的计算(设参法)
4．如图，B，C两点把线段AD分成2:4:3三部分，M是 AD的中点，CD＝6 cm，求线段MC的长．
解：设AB＝2k cm，
则BC＝4k cm，CD＝3k cm，AD＝2k＋4k＋3k＝9k(cm)．
中考数学专题训练 专题一 几何题型(中点M型)
专题一中点M型基本条件：①∠PMQ＝∠B＝∠C；②M是BC的中点基本结论：①△EMF∽△EBM∽△MCF.②EM平分∠BEF，FM平分∠EFC.③EM2＝EB·EF，FM2＝FC·EF.常见特例：特例一：条件：①等边△ABC；②∠MPN＝60°，③P是BC的中点。
特例二：条件：①等腰直角△ABC，AC＝BC，∠C＝90°；②∠EDF＝45°；③点D是AB的中点。
特例三：条件：①AB＝AC；②∠BAC＝120°，∠EDF＝30°，③D是BC的中点。
特例四：条件：①矩形ABCD；②∠GEF＝90°，③E是AB的中点。
特例五：条件：①直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°；②E是AD的中点；③∠BEC＝90°。
巩固练习：1.已知：梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，E为AB的中点，若AD＝2，BC＝4，∠CED＝90°，则CD长为。
2.如图，在正方形ABCD中，点E、F在边BC、CD上，若AE＝2，EF＝1，AF＝5，则正方形的边长为。
3.已知：等边△ABC中，AB＝8，点D为AB的中点，点M为BC上一动点，以DM为一边，在点B异侧作等边△DMN。
DN交AC于点F，当∠DAN＝90°时，则FN的长为。
4.如图，以矩形OABC的邻边OA、OC分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，F为线段OA上的一点，将△COF沿直线CF翻折，点O落在AB的中点E处，且OC＝6.（1）求直线EF的解析式；（2）将直线EF绕点F逆时针旋转90°，得到直线m，直线m交y轴于点D，求点D的坐标。
特例一特例二特例三特例四特例五巩固1巩固21.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D为BC边的中点，BE⊥AC于E，DF⊥AB于F.(1)当00＜α＜900，（如图1），求证：AE＋2BF＝AB；(2)当900＜α＜1800，（如图2），则AE、BF、AB之间的数量关系；(3)在（1）的条件下，过点D作DG∥AB，交AC于G，且DF＝GE＝3时（如图3），求BF的值。
初二数学几何综合训练题及答案
初二几何难题训练题1，如图矩形ABCD对角线AC、BD交于O，E F分别是OA、OB的中点（1）求证△ADE≌△BCF：（2）若AD=4cm，AB=8cm，求CF的长。
证明：（1）在矩形ABCD中，AC,BD为对角线，∴AO=OD=OB=OC∴∠DAO=∠ADO=∠CBO=∠BCO∵E,F为OA,OB中点∴AE=BF=1/2AO=1/2OB∵AD=BC, ∠DAO=∠CBO,AE=BF∴△ADE≌△BCF（2）过F作MN⊥DC于M,交AB于N∵AD=4cm，AB=8cm∴BD=4根号5∵BF:BD=NF:MN=1：4∴NF=1，MF=3∵EF为△AOB中位线∴EF=1/2AB=4cm∵四边形DCFE为等腰梯形∴MC=2cm∴FC=根号13cm。
2，如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF∥AB，交AD于点E，CF=4cm．（1）求证：四边形ABFE是等腰梯形；（2）求AE的长．（1）证明：过点D作DM⊥AB，∵DC∥AB，∠CBA=90°，∴四边形BCDM为矩形．∴DC=MB．∵AB=2DC，∴AM=MB=DC．∵DM⊥AB，∴AD=BD．∴∠DAB=∠DBA．∵EF∥AB，AE与BF交于点D，即AE与FB不平行，∴四边形ABFE是等腰梯形．（2）解：∵DC∥AB，∴△DCF∽△BAF．∴CD AB =CF AF =1 2 ．∵CF=4cm，∴AF=8cm．∵AC⊥BD，∠ABC=90°，在△ABF与△BCF中，∵∠ABC=∠BFC=90°，∴∠FAB+∠ABF=90°，∵∠FBC+∠ABF=90°，∴∠FAB=∠FBC，∴△ABF∽△BCF，即BF CF =AF BF ，∴BF2=CF•AF．∴BF=4 2 cm．∴AE=BF=4 2 cm．3，如图，用三个全等的菱形ABGH、BCFG、CDEF拼成平行四边形ADEH，连接AE与BG、CF分别交于P、Q，（1）若AB=6，求线段BP的长；（2）观察图形，是否有三角形与△ACQ全等？并证明你的结论解：（1）∵菱形ABGH、BCFG、CDEF是全等菱形∴BC=CD=DE=AB=6，BG∥DE∴AD=3AB=3×6=18，∠ABG=∠D，∠APB=∠AED∴△ABP∽△ADE∴BP DE =AB AD∴BP=AB AD •DE=6 18 ×6=2；（2）∵菱形ABGH、BCFG、CDEF是全等的菱形∴AB=BC=EF=FG∴AB+BC=EF+FG∴AC=EG∵AD∥HE∴∠1=∠2∵BG∥CF∴∠3=∠4∴△EGP≌△ACQ．4，已知点E,F在三角形ABC的边AB所在的直线上,且AE=BF，FH//EG//AC，FH、EC分别交边BC所在的直线于点H，G1 如果点E。
【中考必做题】初三——几何综合(后附参考答案与解析)
几何综合-中考必做题
1
2
D.个
，连接，分析下列四个结
．
3
，下列结论：①
平分的面积与
的面积比是
，其中
4
5
6
D.①②③
7 8 9
10 11 12
13
14 15
16 17
18
19
20
几何综合-中考必做题1
相似三角形有关的几何模型
反平行模型的应用
2
，
，．
相似三角形的判定
判定三角形是否相似
圆
圆与三角形
圆与三角函数
3
4
5
6
D.①②③
三角形面积及等积变换
全等三角形
全等三角形的性质
全等三角形的判定
直角三角形
勾股定理的应用
7
8
9
10
相似三角形的判定
圆
圆的基础知识
圆心角、弧、弦的关系
与圆有关的位置关系
切线的判定
11
圆周角定理
圆中的角度计算
与圆有关的位置关系
切线的判定
12
圆与三角形
几何变换
图形的旋转
旋转与几何最值13
14
勾股定理
相似三角形
相似三角形的性质
圆
与圆有关的位置关系
切线的判定
15
通过三角形已知要素求三角函数
通过三角形已知要素求边长
四边形
菱形
菱形的判定
从平行四边形证明菱形
16
17
18
二次函数与特殊四边形问题
三角形
相似三角形
相似三角形的应用
四边形
菱形
菱形的性质
19。
几何综合题型试题（含解答）
- 1 - 几何综合题几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型与几何论证型综合题，它主要考查考生综合运用几何知识的能力。
一、几何论证型综合题例1、（盐城）如图，已知：⊙O 1与⊙O 2是等圆，它们相交于A 、B 两点，⊙O 2在⊙O 1上，AC 是⊙O 2的直径，直线CB 交⊙O 1于D ，E 为AB 延长线上一点，连接DE 。
(1)请你连结AD ，证明：AD 是⊙O 1的直径；(2)若∠E=60°，求证：DE 是⊙O 1的切线。
分析：解几何综合题，一要注意图形的直观提示，二要注意分析挖掘题目的隐含条件，不断地由已知想可知，发展条件，为解题创条件打好基础。
证明：（1）连接AD ，∵AC 是⊙O 2的直径，AB ⊥DC ∴∠ABD=90°ABD=90°, , ∴AD 是⊙O 1的直径（2）证法一：∵AD 是⊙O 1的直径，∴O 1为AD 中点连接O 1O 2，∵点O 2在⊙O 1上，⊙O 1与⊙O 2的半径相等，∴O 1O 2=AO 1=AO 2∴△AO 1O 2是等边三角形，∴∠AO 1O 2=60°由三角形中位线定理得：O 1O 2∥DC ，∴∠ADB=∠AO 1O 2=60°∵AB ⊥DC ，∠E=60，∴∠BDE=30，∠ADE=∠ADB+∠BDE=60°BDE=60°+30°+30°+30°=90°=90°又AD 是直径，∴DE 是⊙O 1的切线证法二：连接O 1O 2，∵点O 2在⊙O 1上，O 1与O 2的半径相等，∴点O 1在⊙O 2∴O 1O 2=AO 1=AO 2，∴∠O 1AO 2=60°∵AB 是公共弦，∴AB ⊥O 1O 2，∴∠O 1AB=30°∵∠∵∠E=60E=60E=60°°∴∠∴∠ADE=180ADE=180ADE=180°°-（6060°°+30+30°）°）°）=90=90=90°°由（1）知：AD 是的⊙O 1直径，∴DE 是⊙O 1的切线. 说明：本题考查了三角形的中位线定理、圆有关概念以及圆的切线的判定定理等。
千题百炼- 立体几何综合大题必刷100题(原卷版)
专题20 立体几何综合大题必刷100题任务一:善良模式(基础)1-30题1．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段11A B 的中点，F 为线段AB 的中点.（1）求点B 到直线1AC 的距离；（2）求直线FC 到平面1AEC 的距离.2．如图，正方形11ABB A 的边长为2，11,AB A B 的中点分别为C ，1C ，正方形11ABB A 沿着1CC 折起形成三棱柱111ABC A B C -，三棱柱111ABC A B C -中，1,AC BC AD AA λ⊥=.（1）证明:当12λ=时，求证：1DC ⊥平面BCD ；（2）当14λ=时，求二面角1D BC C --的余弦值.3．如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5.（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的正切值.4．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90.BAC ∠=︒点D ，E ，N 分别为棱P A ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，4PA AC ==，2AB =.（1）求证：//MN 平面BDE ；（2）求二面角C EM N --的正弦值；（3）已知点H 在棱P A 上，且直线NH 与直线BE ，求线段AH 的长.5．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2.（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设4PO =，OA 、OB 是底面半径，且90AOB ∠=︒，M 为线段AB 的中点，如图.求异面直线PM 与OB 所成的角的余弦值.6．如图所示，已知四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，三角形PAB 为正三角形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，M 是棱AD 的中点．（1）求证：PC BM ⊥；（2）求二面角B PM C --的正弦值．7．已知点E ，F 分别是正方形ABCD 的边AD ，BC 的中点.现将四边形EFCD 沿EF 折起，使二面角C EF B --为直二面角，如图所示.（1）若点G ，H 分别是AC ，BF 的中点，求证：//GH 平面EFCD ；（2）求直线AC 与平面ABFE 所成角的正弦值.8．已知如图1所示，等腰ABC 中，4AB AC ==，BC =D 为BC 中点，现将ABD 沿折痕AD 翻折至如图2所示位置，使得3BDC π∠=，E 、F 分别为AB 、AC 的中点．（1）证明：//BC 平面DEF ；（2）求四面体BCDE 的体积．9．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =2，BC =BB 1=4，1AC AB ==BCC 1=60°.（1）求证：平面ABC 1⊥平面BCC 1B 1：（2）设二面角C -AC 1-B 的大小为θ，求sinθ的值.10．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，∠BAD =90°，已知PA PC ==，2,3AD AB BC ===.（1）证明：AC PD ⊥；（2）若二面角P AC B --的余弦值为13，求四棱锥P ABCD -的体积.11．如图，四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 和侧面BCC 1B 1都是矩形，E 是CD 的中点，D 1E ⊥CD ，AB ＝2BC ＝2．（1）求证：平面CC 1D 1D ⊥底面ABCD ；（2）若平面BCC 1B 1与平面BED 1所成的锐二面角的大小为3π，求线段ED 1的长度．12．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD △是斜边PA 的长为E ，F 分别是棱PA ，PC 的中点，M 是棱BC 上一点．（1）求证：平面DEM ⊥平面PAB ；（2）若直线MF 与平面ABCD E DM F --的余弦值．13．如图所示，四棱锥E ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面EAB ⊥底面ABCD ，EA EB =，F 在侧棱CE 上，且BF ⊥平面ACE ．（1）求证：AE ⊥平面BCE ；（2）求点D 到平面ACE 的距离．14．在三棱锥B －ACD 中，平面ABD ⊥平面ACD ，若棱长AC ＝CD ＝AD ＝AB ＝1，且∠BAD ＝30°，求点D 到平面ABC 的距离．15．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12BB =，E 为棱1AA 的中点.（1）证明：BE ⊥平面11EB C ；（2）求二面角1B EC C --的大小.16．如下图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面SAD ⊥平面ABCD ，2SA SD ==，3AB =．（1）求SA 与BC 所成角的余弦值；（2）求证：AB SD ⊥．17．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．（1）证明：平面PAM ⊥平面PBD ；（2）若1PD DC ==，求四棱锥P ABCD -的体积．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，120,1,4,ABC AB BC PA ∠=︒===M ，N 分别为,BC PC 的中点，,PD DC PM MD ⊥⊥.（1）证明：AB PM ⊥；（2）求直线AN 与平面PDM 所成角的正弦值.19．如图，.AB O PA O C O 是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点（I ）求证BC PAC ⊥平面；（II ）设//.Q PA G AOC QG PBC ∆为的中点，为的重心，求证：平面20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，点E 在线段AD 上，且CE AB ∥.（Ⅰ）求证：CE ⊥平面PAD ；（Ⅰ）若1==PA AB ，3AD =，CD =，45CDA ∠=︒，求四棱锥P ABCD -的体积.21．如图，直三棱柱ABC A B C '''-，90BAC ∠=，,AB AC AA λ'==点M ，N 分别为A B '和B C ''的中点． (∠)证明：MN ∠平面A ACC '';(∠)若二面角A MN C '--为直二面角，求λ的值．22．如图，在三棱锥S ABC -中, 侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形,90,BAC ∠=︒O 为BC 中点. （∠）证明：SO ⊥平面;ABC（∠）求二面角A SC B --的余弦值.23．如图，在四棱锥P—ABCD 中，底面是边长为ⅠBAD ＝120°，且PAⅠ平面ABCD ，PA ＝M ，N 分别为PB ，PD 的中点．(1)证明：MNⅠ平面ABCD ；(2) 过点A 作AQⅠPC ，垂足为点Q ，求二面角A—MN—Q 的平面角的余弦值．24．如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==4PA PB PC AC ====∠O 为AC 的中点． ∠1）证明：PO ⊥平面ABC ∠∠2）若点M在棱BC上，且2，求点C到平面POM的距离．MC MB25．如图，在三棱锥P∠ABC中，P A∠AB∠P A∠BC∠AB∠BC∠P A∠AB∠BC∠2∠D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.(1)求证：P A∠BD∠(2)求证：平面BDE∠平面P AC∠(3)当P A∠平面BDE时，求三棱锥E∠BCD的体积．26．如图，在四棱锥P-ABCD中，PAⅠCD，ADⅠBC，ⅠADC=ⅠPAB=90°，BC=CD=1AD．2（Ⅰ）在平面PAD 内找一点M ，使得直线CMⅠ平面PAB ，并说明理由；（Ⅰ）证明：平面PABⅠ平面PBD ．27．如图，在三棱台ABC–DEF 中，平面BCFEⅠ平面ABC ，ⅠACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.（Ⅰ）求证：BFⅠ平面ACFD ；（Ⅰ）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值.28．如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥.求证：（1）直线DE 平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DEⅠ平面A 1C 1F.29．如图，在三棱锥111ABC A B C -中，11BAC 90AB AC 2,4,A AA ∠====，在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点.∠1）证明：11D A BC A ⊥平面∠∠2）求直线1A B 和平面11B C B C 所成的角的正弦值.30．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，,,60,AB AD AC CD ABC PA AB BC ⊥⊥∠===，E 是PC 的中点．（∠）证明CD AE ⊥；（∠）证明PD ⊥平面ABE ；--的大小．（∠）求二面角A PD C任务二:中立模式(中档)30-70题31．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，△P AD为正三角形，平面P AD⊥平面ABCD，E，F 分别是AD，CD的中点.（1）证明：BD⊥PF；（2）若AD=DB=2，求点C到平面PBD的距离；32．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠P AD为正三角形，平面P AD⊥平面ABCD，E，F 分别是AD，CD的中点．（1）证明：BD⊥PF；（2）若∠BAD=60°，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值；33．如图，在四棱锥E -ABCD 中，AB ⊥CE ，AE ⊥CD ，BC AD ∥，AB =3，CD =4，AD =2BC =10.（1）证明：∠AED 是锐角；（2）若AE =10，求二面角A -BE -C 的余弦值.34．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，12A E EA =（1）若F 为1BB 的中点，试在11A B 上找一点P ，使//PF 平面1CD E ；（2）若四边形ABCD 是正方形，且1BB 与平面1CD E ，求二面角1E D C D --的余弦值.35．如图1，已知ADE 为等边三角形，四边形ABCD 为平行四边形，1,2,BC BD BA ===ADE 沿AD 向上折起，使点E 到达点P 位置，如图2所示；且平面PAD ⊥平面PBD ．（1）证明：PA BD ⊥；（2）在（1）的条件下求二面角A PB C --的余弦值．36．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，四边形ABCD 为梯形，//AB CD ，3AB =，1CD =，AD =60ABC ∠=，30BAD ∠=，点E 在AB 上，满足AD DE ⊥.（1）求证：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）若点F 为PA 的中点，求平面PCD 与平面DEF 所成角的余弦值.37．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，22PA AB ==，90ABC ACD ∠=∠=，60BAC CAD ∠=∠=，E 为PD 的中点，在平面PCD 内作EF PC ⊥于点F .（1）求证：平面AEF ⊥平面PAC ；（2）求二面角P AC E --的余弦值.38．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别在AB 、BC 上，且13AE AB =，13BF BC =．（1）求证：11A F C E ⊥；（2）求直线1A F 与平面1B EF 所成角的正弦值．39．如图，在多面体1111ABCD A B C D -中，1111,,,AA BB CC DD 均垂直于平面ABCD ，//AD BC ，11=2AB BC CD AA CC ====，1=1BB ，14AD DD ==.（1）证明：11A C ⊥平面11CDD C ；（2）求1BC 与平面11AA B B 所成角的余弦值.40．某商品的包装纸如图1，其中菱形ABCD 的边长为3，且60ABC ∠=︒，AE AF ==BE DF ==E ，F ，M ，N 汇聚为一点P ，恰好形成如图2的四棱锥形的包裹．（1）证明PA ⊥底面ABCD ；（2）设点T 为BC 上的点，且二面角B PA T --，试求PC 与平面P AT 所成角的正弦值．41．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，且P A =AB ，90PAB ∠=.（1）证明：PC BD ⊥；（2）若60ABC ∠=，求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值.42．1.如图，正方形ABCD 所在平面与等边ABE △所在平面成的锐二面角为60，设平面ABE 与平面CDE 相交于直线l ．（1）求证：//l CD ；（2）求直线DE 与平面BCE 所成角的正弦值．43．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，AB AD ⊥，平面APD ⊥平面ABCD ，点E 在AD 上，且AB BC AE ED ===，PA PD ==.（1）求证：CE PD ⊥.（2）设平面PAB ⋂平面PCD l =，求二面角E l A --的余弦值.44．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，120ADC =∠︒，4BC =，M ，N 分别为BC ，PC 的中点，1,,CD PD DC PM MD =⊥⊥．（1）证明：BC PM ⊥；（2）若PA =BN 与平面PDC 所成角的正弦值．45．如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，120AOP ∠=，圆O 的直径4AB =，圆柱的高13OO =.（1）求点A到平面1A PO的距离；--的余弦值大小.（2）求二面角1A PB O46．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=AA1=2，点P为棱B1C1的中点，点Q为线段A1B上的一动点.（1）求证:当点Q为线段A1B的中点时，PQ⊥平面A1BC；BA，试问:是否存在实数λ，使得平面A1PQ与平面B1PQ（2）设BQ=λ1在，求出这个实数λ；若不存在，请说明理由.47．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90ABC ∠=︒，2PA =，AC =（1）求证：平面PBC ⊥平面PAB ；（2）若二面角P BC A --的大小为45︒，过点A 作AN PC ⊥于N ，求直线AN 与平面PBC 所成角的大小．48．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2PA AB ==，60BAD ∠=︒.（1）求证：直线BD ⊥平面PAC ；（2）设点M 在线段PC 上，且二面角C MB A --的余弦值为57，求点M 到底面ABCD 的距离.49．如图，在三棱锥P ABC -中，底面ABC 是边长2的等边三角形，PA PC ==F 在线段BC 上，且3FC BF =，D 为AC 的中点，E 为的PD 中点.(Ⅰ)求证：EF //平面PAB ；(Ⅱ)若二面角P AC B --的平面角的大小为2π3，求直线DF 与平面PAC 所成角的正弦值.50．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，侧面是正方形，60DAB ∠=︒，经过对角线1AC 的平面和侧棱1BB 相交于点F ，且12B F BF =．（1）求证：平面1AC F ⊥平面11BCC B ；（2）求二面角1F AC C --的余弦值．51．直角梯形11AA B B 绕直角边1AA 旋转一周的旋转的上底面面积为9π，下底面面积为36π，侧面积为，且二面角111B AA C --为90，P ，Q 分别在线段1CC ，BC 上．（∠）若P ，Q 分别为1CC ，BC 中点，求1AB 与PQ 所成角的余弦值；（∠）若P 为1CC 上的动点、Q 为BC 的中点，求PQ 与平面11AAC C 所成最大角的正切值，并求此时二面角Q AP C --的余弦值．52．正多面体也称柏拉图立体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正四面体QPTR 和一个正八面体AEFBHC 的棱长都是a （如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体．（1）求新多面体的体积；（2）求二面角A BF C --的余弦值；（3）求新多面体为几面体？并证明．53．中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”，如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥P ABCD -，其中AC BD ⊥于O ，4OA OB OD ===，8OC =，PO ⊥平面ABCD ．（1）求证：PD AC ⊥；（2）试验表明，当12PO OA =时，风筝表现最好，求此时直线PD 与平面PBC 所成角的正弦值．54．在陕西汉中勉县的汉江河与定军山武侯坪一带，经常出土有铜、铁扎马钉等兵器文物.扎马钉（如题21图（1））是三国时蜀汉的著名政治家、军事家诸葛亮所发明的一种对付骑兵的武器，状若荆刺，故学名蒺藜，有铜、铁两种.扎马钉有四个锋利的尖爪，随手一掷，三尖撑地，一尖直立向上，推倒上尖，下尖又起，始终如此，使触者不能避其锋而被刺伤.即总有一个尖垂直向上，三尖对称支承于地.简化扎马钉的结构，如图（2），记组成该“钉”的四条等长的线段公共点为O ，钉尖为i A （1,2,3,4i =）．（Ⅰ）判断四面体1234A A A A -的形状特征； （Ⅱ）若某个出土的扎马钉因年代久远，有一尖爪受损，其长度仅剩其他尖爪长度的23（即4123OA OA '=），如图（3），将2A ，3A ，4A '置于地面，求1OA 与面234A A A '所成角θ的正弦值.55．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正四面体QPTR 和一个正八面体AEFBHC 的棱长都是a （如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体.（1）求新多面体的体积；（2）求正八面体AEFBH 中二面角A BF C --的余弦值；（3）判断新多面体为几面体？（只需给出答案，无需证明）56．如图，已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，AB CD =，E 为棱PB 上一点，AC 与BD 交于点O ，且AC BD ⊥，1AD =，3BC PC PB ===，PO =（1）证明：AC DE ⊥；（2）是否存在点E ，使二面角B DC E --E 点位置，若不存在，请说明理由．57．如图，在三棱柱111ABC A B C ﹣中点，E 在棱1BB 上，点F 在棱CC 1上，且点,E F 均不是棱的端点，1,AB AC BB ⊥＝平面,AEF 且四边形11AA B B 与四边形11AAC C 的面积相等.（1）求证：四边形BEFC 是矩形；（2）若2,AE EF BE ＝＝ABC 与平面AEF 所成角的正弦值.58．如图，在三棱台111ABC A B C -中，11190,4,2,BAC AB AC A A A B ∠=︒====侧棱1A A ⊥平面,ABC 点D 在棱1CC 上，且1CD CC λ=（1）证明：1BB ⊥平面1AB C ；（2）当二面角C BD A --的余弦值为，求λ的值.59．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，1,45AB BC ABC ∠===，点M 在棱1CC 上，点N 是BC 的中点，且满足1AM B N ⊥.（1）证明：AM ⊥平面11A B N ；（2）若M 是1CC 的中点，求二面角111A B N C --的正弦值.60．在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为4的菱形，PB BD PD ===PA =（1）证明：PC ⊥平面ABCD ；（2）如图，取BC 的中点为E ，在线段DE 上取一点F 使得23DF FE =，求二面角F PA C --的大小.61．如图，在底面是菱形的四棱柱1111ABCD A B C D -中，60ABC ∠=，1112,AA AC A B A D ====E 在1A D 上．（1）求证：1AA ⊥平面ABCD ；（2）当E 为线段1A D 的中点时，求点1A 到平面EAC 的距离．62．已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，对角线AC 、BD 交于点O ，4OP OA ==，3OB =，OP ⊥底面ABCD ，设点M 满足()01PM MC λλ=<<．（1）若三棱锥P MBD -体积是169，求λ的值；（2）若直线PA 与平面MBD λ的值．63．光学器件在制作的过程中往往需要进行切割，现生产一种光学器件，有一道工序为将原材料切割为两个部分，然后在截面上涂抹一种光触媒化学试剂，加入纳米纤维导管后粘合.在如图所示的原材料器件直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA'＝a，现经过AB作与底面ABC所成角为θ的截面，且截面与B'C'，A'C'分别交于不同的两点E，F．（1）试求截面面积S随θ变化的函数关系式S（θ）；（2）当E和F分别为B C''和A C''的中点时，需要在线段AF上寻找一个点Q，用纳米纤维导管连接EQ，使得EQ与AB'所在直线的夹角最小，试求出纤维导管EQ的长．64．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，P A⊥平面ABCD，且E，M分别为BC，PD的中点，点F为棱PC上一动点．（1）证明：平面AEF ⊥平面P AD ．（2）若AB ＝P A ，在线段PC 上是否存在一点F ，使得二面角F ﹣AE ﹣M 定F 的位置；若不存在，说明理由．65．如图，三棱柱111ABC A B C -中，111AA B C =，11120BB C ∠=︒，1190AB C ∠=︒．（1）求证：ABC 为等腰三角形；（2）若11111AB C B AC ∠=∠，11B AB B BA ∠=∠，点M 在线段11B C 上，设111102B M B C λλ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，若二面角11A CM C --λ的值．66．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，2AB AD ==，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，PA =（1）点E 在线段PC 上，37PE PC =，点F 在线段PD 上，35PF PD =，求证：PC ⊥平面AEF ； （2）设M 是直线AC 上一点，求CM 的长，使得MP 与平面PCD 所成角为45︒．67．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，1AB =，2PA =，E 为PB 的中点，点F 在棱PC 上，且PF PC λ=．（1）求直线CE 与直线PD 所成角的余弦值；（2）当直线BF 与平面CDE 所成的角最大时，求此时λ的值．68．如图，在四棱锥P ABCD ﹣中，四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90BAD ∠=︒，且1AB BC ==，2AD =，PA PD =，M 为AD 的中点，平面PAD ⊥平面ABCD ，直线PB 与平面ABCD 所成角的正切值为（1）求四棱锥PABCD ﹣的体积；（2）在棱CD 上(不含端点)是否存在一点Q ，使得二面角C AP Q --？若存在，请确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由.69．已知四棱锥P ABCD -P 中，底面ABCD 是平行四边形，PA AB =，PAD BAD ∠=∠，,E F 分别是,AB DC 的中点，2,3,AD PF PE ===（1）求证：AD ⊥平面PAB ；（2）若PB =B PC A --的余弦值.70．如图，矩形ABCD 中，AB ADλ=()1λ>，将其沿AC 翻折，使点D 到达点E 的位置，且二面角C AB E --为直二面角.（1）求证：平面ACE ⊥平面BCE ；（2）设F 是BE 的中点，二面角E AC F --的平面角的大小为θ，当[]2,3λ∈时，求cos θ的取值范围.任务三:邪恶模式(困难)70-100题71．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为,PA BD 中点，2PA PD AD ===．（1）求证：//EF 平面PBC ；（2）求二面角E DF A --的余弦值；（3）在棱PC 上是否存在一点G ，使GF ⊥平面EDF ？若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由．72．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.∠()0BA PA PD ⋅+=；∠PC ∠点P 在平面ABCD 的射影在直线AD 上.如图，平面五边形PABCD 中，PAD △是边长为2的等边三角形，//AD BC ，22AB BC ==，AB BC ⊥，将PAD △沿AD 翻折成四棱锥P ABCD -，E 是棱PD 上的动点（端点除外），F M 、分别是AB CE 、的中点，且___________.（1）求证：AB FM ⊥；（2）当EF 与平面PAD 所成角最大时，求平面ACE 与平面PAD 所成的锐二面角的余弦值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.73．蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示．蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥H ABC -，J CDE -，K EFA -，再分别以AC ，CE ，EA 为轴将ACH ∆，CEJ ∆，EAK ∆分别向上翻转180︒，使H ，J ，K 三点重合为点S 所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示．蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于2π减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）．（1）求蜂房曲顶空间的弯曲度；（2）若正六棱柱的侧面积一定，当蜂房表面积最小时，求其顶点S 的曲率的余弦值．74．2022年北京冬奥会标志性场馆——国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速度结合的创意，沿着外墙面由低到高盘旋而成的“冰丝带”，就像速度滑冰运动员高速滑动时留下的一圈圈风驰电掣的轨迹，冰上划痕成丝带，22条“冰丝带”又象征北京2022年冬奥会.其中“冰丝带”呈现出圆形平面、椭圆形平面、马鞍形双曲面三种造型，这种造型富有动感，体现了冰上运动的速度和激情这三种造型取自于球、椭球、椭圆柱等空间几何体，其设计参数包括曲率、挠率、面积体积等对几何图形的面积、体积计算方法的研究在中国数学史上有过辉煌的成就，如《九章算术》中记录了数学家刘徽提出利用牟合方盖的体积来推导球的体积公式，但由于不能计算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算公式直到200年以后数学家祖冲之、祖眶父子在《缀术》提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，才利用牟合方盖的体积推导出球的体积公式原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.（Ⅰ）利用祖暅原理推导半径为R 的球的体积公式时，可以构造如图②所示的几何体M ，几何体M 的底面半径和高都为R ，其底面和半球体的底面同在平面α内.设与平面α平行且距离为d 的平面β截两个几何体得到两个截面，请在图②中用阴影画出与图①中阴影截面面积相等的图形并给出证明；（Ⅱ）现将椭圆()222210x y a b a b+=>>所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得两个不同的椭球A ，B （如图），类比（Ⅰ）中的方法，探究椭球A 的体积公式，并写出椭球A ，B 的体积之比.75．如图，已知边长为2的正方形材料ABCD ，截去如图所示的阴影部分后，可焊接成一个正四棱锥的封闭容器.设FCB θ∠=.（1）用θ表示此容器的体积；（2）当此容器的体积最大时，求tan θ的值.76．如图，在四面体ABCD 中，AB AC ⊥，平面ACD 与平面BCD 垂直且CD =（1）若2AB AC ==，证明：45BCD ∠<︒；（2）若33AB AC ==，当ACD △与BCD 面积之和最大时，求二面角C AB D --的余弦值.77．某人设计了一个工作台，如图所示，工作台的下半部分是个正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，其底面边长为4，高为1（1）当圆弧E 2F 2（包括端点）上的点P 与B 1的最短距离为DB 1Ⅰ平面D 2EF ．（2）若D 1D 2＝3．当点P 在圆弧E 2E 2（包括端点）上移动时，求二面角P ﹣A 1C 1﹣B 1的正切值的取值范围．78．平面凸六边形11MBB NC C 的边长相等,其中11BB C C 为矩形,1190BMC B NC ∠=∠=︒．将BCM ,11B C N △分别沿BC ,11B C 折至ABC ,111A B C ,且均在同侧与平面11BB C C 垂直,连接1AA ,如图所示,E ,G 分别是BC ,1CC 的中点．（1）求证：多面体111ABC A B C -为直三棱柱；（2）求二面角1A EG A --平面角的余弦值．79．如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，,E F 分别是,PA PC 的中点.（1）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；（2）设（1）中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足12DQ CP =.记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E l C --的大小为β，求证：sin sin sin θαβ=.80．已知，图中直棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，其中124AA AC BD ===.又点,,,E F P Q 分别在棱1111,,,AA BB CC DD 上运动，且满足：BF DQ =，1CP BF DQ AE -=-=.（1）求证：,,,E F P Q 四点共面，并证明EF Ⅰ平面PQB .（2）是否存在点P 使得二面角B PQ E --？如果存在，求出CP 的长；如果不存在，请说明理由.81．如图1，ADC ∆与ABC ∆是处在同-个平面内的两个全等的直角三角形，30ACB ACD ︒∠=∠=90ABC ADC ︒∠=∠=，2AB =，连接是,BD E 边BC 上一点，过E 作// EF BD ，交CD 于点F ，沿EF 将CEF ∆向上翻折，得到如图2所示的六面体,P ABEFD -（1）求证：;BD AP ⊥（2）设),(BE EC R λλ=∈若平面PEF ⊥底面ABEFD ，若平面PAB 与平面PDF λ的值；（3）若平面PEF ⊥底面ABEFD ，求六面体P ABEFD -的体积的最大值.82．设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球O 的球面上，PAB ∆是面积为AC BC ⊥，AC BC =，且平面PAB ⊥平面ABC .（1）确定O 的位置（需要说明理由），并证明：平面POC ⊥平面ABC .（2）与侧面PAB 平行的平面α与棱AC ，BC ，PC 分别交于D ，E ，F ，求四面体ODEF 的体积的最大值.83．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，D 是AB 的中点，BC AC =，2AB DC ==，14AA =.（Ⅰ）求证：1//BC 平面1A CD ；（Ⅰ）求平面11BCC B 与平面1A CD 所成锐二面角的平面角的余弦值.84．如图，P 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AC 为底面直径，ABD △为底面圆O 的内接正三角E 在母线PC 上，且1,AE CE EC BD ==⊥．（1）求证：平面BED ⊥平面ABD ；（2）设线段PO 上动点为M ，求直线DM 与平面ABE 所成角的正弦值的最大值．85．如图，三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为4的正三角形，侧面11ACC A ⊥底面ABC ，且侧面11ACC A 为菱形，160A AC ∠=.（1）求二面角1A AB C 所成角θ的正弦值.（2）,M N 分别是棱11A C ，11B C 的中点，又2AP BP =.求经过,,M N P 三点的平面截三棱柱111ABC A B C -的截面的周长.86．如图，在三棱台111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的正三角形，侧面11ACC A 为等腰梯形，且1111AC AA ==，D 为11A C 的中点．（1）证明：AC BD ⊥；（2）记二面角1A AC B --的大小为θ，2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求直线1AA 与平面11BB C C 所成角的正弦值的取值范围．87．如图，在四棱锥P ABCD -中，M ，N 分别是AB ，AP 的中点，AB BC ⊥，MD PC ⊥，//MD BC ，1BC =，2AB =，3PB =，CD =PD =（Ⅰ）证明：//PC 平面MND ；（Ⅱ）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值．88．设P 为多面体M 的一个顶点，定义多面体M 在点P 处的离散曲率为12231111()2k k k Q PQ Q PQ Q PQ Q PQ π--∠+∠++∠+∠，其中Q i （i ＝1，2，…，k ，k ≥3）为多面体M 的所有与点P 相邻的顶点，且平面Q 1PQ 2，平面Q 2PQ 3，…，平面Q k ﹣1PQ k 和平面Q k PQ 1遍历多面体M 的所有以P 为公共点的面．（1）如图1，已知长方体A 1B 1C 1D 1﹣ABCD ，AB ＝BC ＝1，1AA =P 为底面A 1B 1C 1D 1内的一个动点，则求四棱锥P ﹣ABCD 在点P 处的离散曲率的最小值；（2）图2为对某个女孩面部识别过程中的三角剖分结果，所谓三角剖分，就是先在面部取若干采样点，然后用短小的直线段连接相邻三个采样点形成三角形网格．区域α和区域β中点的离散曲率的平均值更大的是哪个区域？（确定“区域α”还是“区域β”）89．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，3PA PB ==．（1）证明：PAD PBC ∠=∠；（2）当直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值最大时，求此时二面角P AB C 的大小．90．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是3π，所以正四面体在各顶点的曲率为233πππ-⨯=，故其总曲率为4π．（1）求四棱锥的总曲率；（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数2=，证明：这类多面体的总曲率是常数．91．已知四棱锥T ABCD -的底面是平行四边形，平面α与直线AD ，TA ，TC 分别交于点P ，Q ，R 且AP TQ CRx AD TA CT===，点M 在直线TB 上，N 为CD 的中点，且直线//MN 平面α.（1）设TA a =，TB b =，TC c =，试用基底{},,a b c 表示向量TD ；（2）证明，四面体T ABC -中至少存在一个顶点从其出发的三条棱能够组成一个三角形；（3）证明，对所有满足条件的平面α，点M 的线段上.92．如图，在四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，ⅠABC =3π，ⅠB 1BD =6π，11,B BA B BC ∠=∠11122,3AB A B B B ===。
北师大版八年级数学下册几何综合练习一
八下几何综合练习一1.将两个等腰直角三角形ABC和DPE如图1摆放，点P是边AC的中点，点B在DP上，已知∠ABC＝∠DPE＝90°，BA＝BC，PD＝PE，连接BE、CD．（1）线段BE、CD之间存在什么关系？请给出证明；（2）将△PDE绕点P逆时旋转45°，得到△PD1E1，如图2所示，连接BE1、CD1．此时线BE1、CD1之间存在什么关系？请给出证明；（3）如图1，若AB＝AE＝4，连接AD，将△DPE绕点P逆时针旋转180°，请直接写出旋转过程中AD2的最大值和最小值．2.把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6 cm，DC＝7 cm，把△DEC绕点C顺时针旋转15°得到△D1E1C（如图乙），这时AB与CD1相交于点O，与D1E1相交于点F．（1）求∠OFE1的度数．（2）求线段AD1的长．（3）若把△D1E1C绕点C顺时针旋转30°得到△D2E2C，这时点B在△D2E2C的内部，外部，还是边上？证明你的判断．3.（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．求：①旋转角是度；②线段OD的长为；③求∠BDC的度数．（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，∠A0B＝135︒，OA＝1，0B＝2，求OC的长．小明同学借用了图1的方法，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，请你继续用小明的思路解答，或是选择自己的方法求解．4.如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6cm，点D从O点出发，沿OM的方向以1cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连结DE．（1）求证：△CDE是等边三角形；（2）如图2，当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当点D在射线OM上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．5. 在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图①，若△ABC是等边三角形，且AB＝AC＝2，点D在线段BC上．①求证：∠BCE+∠BAC＝180°；②当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长．（2）若∠BAC≠60°，当点D在射线BC上移动，如图②，则∠BCE和∠BAC之间有怎样的数量关系？并说明理由．6.如图1，已知∠DAC＝90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E．（1）如图1，猜想∠QEP＝°；（2）如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；（3）如图3，若∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，且AC＝4，求BQ的长．7.数学学习小组“文化年”最近正在进行几何图形组合问题的研究，认真研读以下三个片段，并回答问题．【片断一】小文说：将一块足够大的等腰直角三角板置于一个正方形中，直角顶点与对角线交点重合，在转动三角板的过程中我发现某些线段之间存在确定的数量关系．如图（1），若三角板两条直角边的外沿分别交正方形的边AB，BC于点M，N，则①OM+ON＝MB+NB；②AM+CN＝OD．请你判断他的猜想是否正确？若正确请说明理由；若不正确请说明你认为正确的猜想并证明．【片断】小化说：将角板中个45°角的顶点和正方形的一个顶点重合放置，使得这个角的两条边与正方形的一组邻边有交点．如图（2），若以A为顶点的45°角的两边分别交正方形的边BC、CD于点M，N．交对角线BD于点E、F，我发现：BE2+DE2＝2AE2，只要准确旋转图（2）中的一个三角形就能证明这个结论．请你在图2中画出图形并写出小化所说的具体的旋转方式：．【片断三】小年说：将三角板的一个45°角放置在正方形的外部，同时角的两边恰好经过正方形两个相邻的顶点．如图（3），设顶点为E的45°角位于正方形的边AD上方，这个角的两边分别经过点B、C，连接EA，ED，那么线段EB，EC，ED也存在确定的数量关系：（EB+ED）2＝2EC2，请你证明这个结论．8.如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两动点，且∠DAE＝45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90后，得到△AFC，连接DF．（1）试说明：△AED≌△AFD；（2）当BE＝3，CE＝9时，求∠BCF的度数和DE的长；（3）如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，D是斜边BC所在直线上一点，BD＝3，BC＝8，求DE2的长．9.如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴与y轴上，已知正方形边长为3，点D为x轴上一点，其坐标为（1，0），连接CD，点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿折线C→B→A的方向向终点A运动，当点P与点A重合时停止运动，运动时间为t秒．（1）连接OP，当点P在线段BC上运动，且满足△CPO≌△ODC时，求直线OP的表达式；（2）连接PC、PD，求△CPD的面积S关于t的函数表达式；（3）点P在运动过程中，是否存在某个位置使得△CDP为等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．10.如图①，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且BC＝2，CE＝2，正方形ABCD固定，将正方形CEFG绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜360°）．（1）如图②，连接BG、DE，相交于点H，请判断BG和DE是否相等？并说明理由；（2）如图②，连接AC，在旋转过程中，当△ACG为直角三角形时，请直接写出旋转角α的度数；（3）如图③，点P为边EF的中点，连接PB、PD、BD，在正方形CEFG的旋转过程中，△BDP的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．11.如图①，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+6分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线l2：y＝x交于点A，以线段AC为边在直线l1的下方作正方形ACDE，此时点D恰好落在x轴上．（1）求出A，B，C三点的坐标．（2）求直线CD的函数表达式．12. 如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ（1）如图a，求证：△BCP≌△DCQ；（2）如图，延长BP交直线DQ于点E．①如图b，求证：BE⊥DQ；②如图c，若△BCP为等边角形，判断△DEP的形状，并说明理由，（3）填空：若正方形ABCD的边长为10，DE＝2，PB＝PC，则线段PB的长为．13. 如图1，在平面直角坐标系中．直线y＝﹣x+3与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E．（1）求证：△BOC≌△CED；（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B′C′D′，当直线B′C′经过点D时，求点D的坐标及△BCD平移的距离；（3）*若点P在y轴上，点Q在直线AB上．是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐；若不存在，请说明理由．14.（1）如图1，正方形ABCD中，∠PCG＝45°，且PD＝BG，求证：FP＝FC；（2）如图2，正方形ABCD中，∠PCG＝45°，延长PG交CB的延长线于点F，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）在（2）的条件下，作FE⊥PC，垂足为点E，交CG于点N，连结DN，求∠NDC的度数．15.如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x、y轴于点A、B，直线BC分别交x、y轴于点C、B，点A的坐标为（2，0），∠ABO＝30°，且AB⊥BC．（1）求直线BC和AB的解析式；（2）将点B沿某条直线折叠到点O，折痕分别交BC、BA于点E、D，在x轴上是否存在点F，使得点D、E、F为顶点的三角形是以DE为斜边的直角三角形？若存在，请求出F点坐标；若不存在，请说明理由；（3）在平面直角坐标系内是否存在两个点，使得这两个点与B、C两点构成的四边形是正方形？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．16.【观察发现】（1）如图1，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，且点E在边AB上，连接DE和BG，猜想线段DE与BG的数量关系和位置关系．（只要求写出结论，不必说出理由）【深入探究】（2）如图2，将图1中正方形AEFG绕点A逆时针旋转一定的角度，其他条件与观察发现中的条件相同，观察发现中的结论是否还成立？请根据图2加以说明．【拓展应用】（3）如图3，直线l上有两个动点A、B，直线l外有一点动点Q，连接QA，QB，以线段AB为边在l的另一侧作正方形ABCD，连接QD．随着动点A、B的移动，线段QD的长也会发生变化，若QA，QB长分别为，6保持不变，在变化过程中，线段QD的长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．17.问题的提出：如果点P是锐角△ABC内一动点，如何确定一个位置，使点P到△ABC的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小？（1）问题的转化：把△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AP′C′，连接PP′，这样就把确定PA+PB+PC 的最小值的问题转化成确定BP+PP′+P′C的最小值的问题了，请你利用图1证明：PA+PB+PC＝BP+PP′+P′C；（2）问题的解决：当点P到锐角△ABC的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小时，求∠APB和∠APC的度数；（3）问题的延伸：如图2是有一个锐角为30°的直角三角形，如果斜边为2，点P是这个三角形内一动点，请你利用以上方法，求点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值．18.如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．（1）求C点的坐标；（2）如图1，在平面内是否存在一点H，使得以A、C、B、H为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出H点坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图1点M（1，﹣1）是第四象限内的一点，在y轴上是否存在一点F，使得|FM﹣FC|的值最大？若存在，请求出F点坐标；若不存在，请说明理由19.如图①，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且BC＝2，CE＝2，正方形ABCD固定，将正方形CEFG绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜360°）．（1）如图②，连接BG、DE，相交于点H，请判断BG和DE是否相等？并说明理由；（2）如图②，连接AC，在旋转过程中，当△ACG为直角三角形时，请直接写出旋转角α的度数；（3）如图③，点P为边EF的中点，连接PB、PD、BD，在正方形CEFG的旋转过程中，△BDP的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．20.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）请问EG与CG存在怎样的数量关系，并证明你的结论；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（请直接写出结果，不必写出理由）。
《几何综合探究问题》(共48题)中考专项配套练习(重庆专用)
5年（2016-2020）中考1年模拟数学试题分项详解（重庆专用）专题13 几何综合探究问题（共48题）一．解析题（共10小题）1．（2020•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．（1）求证：CF=√22AD；（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当BD＝2CD时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG 与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使P A+PB+PC的值最小．当P A+PB+PC的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．2．（2020•重庆）△ABC为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE＝2√3．以AE 为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．（1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG，求线段NG的长；（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；（3）连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出△ADN的面五年中考真题积．3．（2019•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连接AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD 于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP．（1）若DP＝2AP＝4，CP=√17，CD＝5，求△ACD的面积．（2）若AE＝BN，AN＝CE，求证：AD=√2CM+2CE．4．（2019•重庆）在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E．（1）如图1，若∠D＝30°，AB=√6，求△ABE的面积；（2）如图2，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且AB＝AF．求证：ED﹣AG＝FC．5．（2018•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB＝AE，连接EO并延长交AD于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．（1）若AH＝3，HE＝1，求△ABE的面积；（2）若∠ACB＝45°，求证：DF=√2CG．6．（2018•重庆）如图，在▱ABCD中，∠ACB＝45°，点E在对角线AC上，BE＝BA，BF⊥AC于点F，BF的延长线交AD于点G．点H在BC的延长线上，且CH＝AG，连接EH．（1）若BC＝12√2，AB＝13，求AF的长；（2）求证：EB＝EH．7．（2017•重庆）在△ABM中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．（1）如图1，若AB＝3√2，BC＝5，求AC的长；（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．8．（2017•重庆）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是AC上一点，连接BE．（1）如图1，若AB＝4√2，BE＝5，求AE的长；（2）如图2，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD、CF，当AF＝DF时，求证：DC＝BC．9．（2016•重庆）在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，点D是BC上一点，连接AD，过点A作AG⊥AD，在AG上取点F，连接DF．延长DA至E，使AE＝AF，连接EG，DG，且GE＝DF．（1）若AB ＝2√2，求BC 的长；（2）如图1，当点G 在AC 上时，求证：BD =12CG ；（3）如图2，当点G 在AC 的垂直平分线上时，直接写出ABCG 的值．10．（2016•重庆）已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，CD =12BC ，DE ⊥CE ，DE ＝CE ，连接AE ，点M 是AE 的中点．（1）如图1，若点D 在BC 边上，连接CM ，当AB ＝4时，求CM 的长；（2）如图2，若点D 在△ABC 的内部，连接BD ，点N 是BD 中点，连接MN ，NE ，求证：MN ⊥AE ； （3）如图3，将图2中的△CDE 绕点C 逆时针旋转，使∠BCD ＝30°，连接BD ，点N 是BD 中点，连接MN ，探索MNAC 的值并直接写出结果．一．解答题（共38小题）1．（2020•渝中区校级二模）如图，CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，点D 为AB 的中点，连接CD ；点E 为CD 的中点，EF ＝EG ＝EC ，且∠FEG ＝90°；点O 为CB 的中点，直线GO 与直线CF 交于点N ．（1）如图1，若∠FCD ＝30°，OC =√2，求CF 的长；（2）连接BG 并延长至点M ，使BG ＝MG ，连接CM ．①如图2，若NG ⊥MB ，求证：AB =√10CM ；②如图3，当点G 、F 、B 共线时，BM 交AC 于点H ，AH =14AC ，请直接写出FCMH 的值．一年模拟新题2．（2020•渝中区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，E为线段CD上一点（不含端点），连接AE，设F为AE的中点，作CG⊥CF交直线AB于点G．（1）猜想：线段AG、BC、EC之间有何等量关系？并加以证明；（2）如果将题设中的条件“E为线段CD上一点（不含端点）”改变为“E为直线CD上任意一点”，试探究发现线段AG、BC、EC之间有怎样的等量关系，请直接写出你的结论，不用证明．3．（2020•沙坪坝区校级一模）在△ABC中，AE⊥CD且AE＝CD，∠CAE+2∠BAE＝90°．（1）如图1，若△ACE为等边三角形，CD＝2√3，求AB的长；（2）如图2，作EG⊥AB，求证：AD=√2BE；（3）如图3，作EG⊥AB，当点D与点G重合时，连接BF，请直接写出BF与EC之间的数量关系．4．（2020•南岸区模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，AD⊥BC于点D．点G是射线AD上一点．（1）若GE⊥GF，点E，F分别在AB，AC上，当点G与点D重合时，如图①所示，容易证明AE+AF=√2AD．当点G在线段AD外时，如图②所示，点E与点B重合，猜想并证明AE，AF与AG存在的数量关系．（2）当点G在线段AD上时，AG+BG+CG的值是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．5．（2020•南岸区校级模拟）△ABC与△ADE都是等边三角形，DE与AC交于点P，点P恰为DE的中点，延长AD交BC于点F，连结BD、CD，取CD的中点Q，连结PQ．求证：PQ=12BD．（1）如图1，理清思路，完成解答：本题证明的思路可以用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程；（2）如图2，特殊位置，求线段长：若点P为AC的中点，连接PF，已知PQ=√3，求PF的长．（3）知识迁移，探索新知：若点P是线段AC上任意一点，直接写出PF与CD的数量关系．6．（2020•九龙坡区校级模拟）【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F 在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．7．（2019•渝中区校级一模）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，点F为BE中点，连结DF，CF．（1）如图1，点D在AC上，请你判断此时线段DF，CF的关系，并证明你的判断；（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45时，若AD＝DE＝2，AB＝6，求此时线段CF的长．8．（2019•重庆模拟）一节数学课后，老师布置了一道课后练习：△ABC是等边三角形，点D是线段BC上的点，点E为△ABC的外角平分线上一点，且∠ADE＝60°，如图①，当点D是线段BC上（除B，C 外）任意一点时，求证：AD＝DE（1）理清思路，完成解答本题证明思路可以用下列框图表：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程；（2）特殊位置，计算求解当点D为BC的中点时，等边△ABC的边长为6，求出DE的长；（3）知识迁移，探索新知当点D在线段BC的延长线上，且满足CD＝BC时，若AB＝2，请直接写出△ADE的面积（不必写解答过程）9．（2020•南岸区校级模拟）如图1，直角三角形△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，∠A＝60°，O为BC中点，将△ABC 绕O 点旋转180°得到△DCB ．一动点P 从A 出发，以每秒1的速度沿A →B →D 的路线匀速运动，过点P 作直线PM ⊥AC 交折线段A ﹣C ﹣D 于M ．（1）如图2，当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A →B →D 的路线运动，且在AB 上以每秒1的速度匀速运动，在BD 上以每秒2的速度匀速运动，过Q 作直线QN ∥PM 交折线段A ﹣C ﹣D 于N ，设点Q 的运动时间为t 秒，（0＜t ＜10）直线PM 与QN 截四边形ABDC 所得图形的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最大值．（2）如图3，当点P 开始运动的同时，另一动点R 从B 处出发沿B →C →D 的路线运动，且在BC 上以每秒√32的速度匀速运动，在CD 上以每秒2的速度匀速运动，是否存在这样的P 、R ．使△BPR 为等腰三角形？若存在，直接写出点P 运动的时间m 的值，若不存在请说明理由．10．（2019秋•沙坪坝区校级期末）如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，连接AC ，动点P 从A 点出发沿射线AB 方向运动，同时动点Q 从B 点出发以与P 点相同的速度沿射线BC 方向运动，连接AQ ，CP ，直线AQ 与直线CP 交于点H ．（1）如图1，当P ，Q 两点分别在线段AB 和线段BC 上时，直接写出∠CHQ 的度数；（2）如图2，当P ，Q 两点分别运动到线段AB 和线段BC 的延长线上时，试问（1）问中的结论是否成立：若成立请说明理由，若不成立，请求出∠CHQ 的度数；（3）如图3，在（2）问的前提下，连接DH ，过点D 作DE ⊥PH 交PH 延长线于点E ．求证：AH ﹣CE =12DH ．11．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点E ，点F 分别在线段OB ，线段AB 上，且AF ＝OE ，连接AE 交OF 于G ，连接DG 交AO 于H ．（1）如图1，若点E为线段BO中点，AE=√5，求BF的长；（2）如图2，若AE平分∠BAC，求证：FG＝HG；（3）如图3，点E在线段BO（含端点）上运动，连接HE，当线段HE长度取得最大值时，直接写出cos ∠HDO的值．12．（2020•沙坪坝区自主招生）在▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，∠BAC＝90°，点E是对角线AC上的点，连结BE．（1）如图1．若AB＝AE，BF＝3，求BE的长；（2）如图2，若AB＝AE，点G是BE的中点，∠F AG＝∠BFG，求证：AB=√10FG；（3）如图3，以点E为直角顶点，在BE的右下方作等腰直角△BEM，若点E从点A出发，沿AC运动到点C停止，设在点E运动过程中，BM的中点N经过的路径长为m，AC的长为n，请直接写出nm的值．13．（2020•巴南区自主招生）已知，在矩形ABCD中，AB＝2，点E在边BC上，且AE⊥DE，AE＝DE，点F是BC的延长线上一点，AF与DE相交于点G，DH⊥AF，垂足为H，DH的延长线与BC相交于点K．（1）如图1，求AD的长；（2）如图2，连接KG，求证：AG＝DK+KG；（3）如图3，设△ADM与△ADH关于AD对称，点N、Q分别是MA、MD的中点，请直接写出BN+NQ 的最大值．14．（2020•南岸区自主招生）如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，连接AE，过点E作EM ⊥AE，交对角线AC于点M，过点M作MN⊥AB，垂足为N，连接NE．（1）求证：AE=√2NE+ME；（2）如图2，延长EM至点F，使EF＝EA，连接AF，过点F作FH⊥DC，垂足为H．猜想CH与FH存在的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，若点G是AF的中点，连接GH．当GH＝CH时，直接写出GH与AC之间存在的数量关系．15．（2020•北碚区自主招生）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为线段BO上一点，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转90°得到CF，连接EF交CD于点G．（1）若AB＝4，BE=√2，求△CEF的面积．（2）如图2，线段FE的延长线交AB于点H，过点F作FM⊥CD于点M，求证：BH+MG=√22BE；（3）如图3，点E为射线OD上一点，线段FE的延长线交直线CD于点G，交直线AB于点H，过点F 作FM垂直直线CD于点M，请直接写出线段BH、MG、BE的数量关系．16．（2019秋•九龙坡区校级期末）已知，在平行四边形ABCD中，∠D＝60°，点F，G在边BC上，且AF＝AG．（1）如图1，若AG平分∠F AC，∠AFC＝5∠BAF，且AF＝4，求线段AC的长；（2）如图2，点E在边AB上，且BE＝EF，证明：AE＝BG；（3）在（2）的条件下，连接CE（如图3），若∠AEC＝∠ACD，你能得到AD，FG，BE怎样的数量关系？试证明你的猜想．17．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，已知在矩形ABCD中，AD＝8，CD＝4，点E从点D出发，沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移动，到达A点停止运动；同时点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度移动，到达D点停止运动，设点E移动的时间为t（秒）．（1）当t＝1时，求四边形BCFE的面积；（2）设四边形BCFE的面积为S，求S与t之间的关系式，并写出t的取值范围；（3）若F点到达D点后立即返回，并在线段CD上往返运动，当E点到达A点时它们同时停止运动，求当t为何值时，以E，F，D三点为顶点的三角形是等腰三角形，并求出此的等腰三角形的面积S△EDF．18．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知，在▱ABCD中，AB⊥BD，AB＝BD，E为射线BC上一点，连接AE 交BD于点F．（1）如图1，若点E与点C重合，且AF＝2√5，求AD的长；（2）如图2，当点E在BC边上时，过点D作DG⊥AE于G，延长DG交BC于H，连接FH．求证：AF＝DH+FH；（3）如图3，当点E在射线BC上运动时，过点D作DG⊥AE于G，M为AG的中点，点N在BC边上且BN＝1，已知AB＝4√2，请直接写出MN的最小值．19．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC．（1）如图1，若点D、E分别在BC、AC边上，且CD＝CE，连接AD、BE，点O、M、N分别是AB、AD、BE的中点．求证：△OMN是等腰直⻆三角形；（2）将图1中△CDE绕着点C顺时针旋转90°如图2，O、M、N分别为AB、AD、BE中点，则（1）中的结论是否成⽴，并说明理由；（3）如图3，将图1中△CDE绕着点C顺时针旋转，记旋转⻆为α（0＜α＜360°），O、M、N分别为AB、AD、BE中点，当MN=√10，请求出四边形ABED的⽴积．20．（2019秋•九龙坡区期末）（1）如图1，四边形EFGH中，FE＝EH，∠EFG+∠EHG＝180°，点A，B分别在边FG，GH上，且∠AEB=12∠FEH，求证：AB＝AF+BH．（2）如图2，四边形EFGH中，FE＝EH，点M在边EH上，连接FM，EN平分∠FEH交FM于点N，∠ENM＝α，∠FGH＝180°﹣2α，连接GN，HN．①找出图中与NH相等的线段，并加以证明；②求∠NGH的度数（用含α的式子表示）．21．（2019秋•吉州区期末）【问题情境】如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．【探究展示】（1）直接写出AM、AD、MC三条线段的数量关系：；（2）AM＝DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．22．（2019春•江北区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，点A （﹣2，0），线段AB＝8，线段AD＝6，且∠BAD＝60°，AD与y的交点记为E，连接BE．（1）求▱ABCD的面积．（2）如图2，在线段BE上有两个动点G、K（G在K点上方），且KG=√3，点F为BC中点，点P为线段CD上一动点，当FG+GK+KP的值最小时，求出此时P点的坐标；此时在y轴上找一点H，x轴上线一点M，使得PH+HM−√22AM取得最小值，请求出PH+HM−√22AM的最小值．（3）如图3，将△AOE沿射线EB平移到△A′O'E'的位置，线段E′A′的中点N落在x轴上，此时再将△A′O'E'绕平面内某点W旋转90°，旋转后的三角形记为△A''O''E''，若△A''O''E'恰好只有两个顶点同时落在直线BC和直线BE上，且△A''E''B''的边均不在直线BC或直线BE上，请求出满足条件的W的坐标．23．（2019秋•北碚区校级月考）已知平行四边形ABCD中，N是边BC上一点，延长DN、AB交于点Q，过A作AM⊥DN于点M，连接AN，则AD⊥AN．（1）如图①，若tan∠ADM=34，MN＝3，求BC的长；（2）如图②，过点B作BH∥DQ交AN于点H，若AM＝CN，求证：DM＝BH+NH．24．（2019秋•沙坪坝区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，过A作AE⊥CD于点E，点G，F分别为AD，BC上一点，连接CG交AE于点H，连接AF，AF＝AH，∠GCF＝∠F AE＝45°．（1）若tan∠DAE=23，GH＝4，求AF的长；（2）求证：AG+√2GH＝GC．25．（2020春•北碚区校级期末）已知在△ABC和△ADE中，∠ACB+∠AED＝180°，CA＝CB，EA＝ED，AB＝3．（1）如图1，若∠ACB＝90°，B、A、D三点共线，连接CE：①若CE=5√22，求BD长度；②如图2，若点F是BD中点，连接CF，EF，求证：CE=√2EF；（2）如图3，若点D在线段BC上，且∠CAB＝2∠EAD，试直接写出△AED面积的最小值．26．（2020春•重庆期末）已知三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D（0，﹣4），M（4，﹣4）．（1）如图1，若点C与点O重合，A（﹣2，2）、B（4，4），求△ABC的面积；（2）如图2，AC经过坐标原点O，点C在第三象限且点C在直线DM与x轴之间，AB分别与x轴，直线DM交于点G，F，BC交DM于点E，若∠AOG＝55°，求∠CEF的度数；（3）如图3，AC经过坐标原点O，点C在第三象限且点C在直线DM与x轴之间，N为AC上一点，AB分别与x轴，直线DM交于点G，F，BC交DM于点E，∠NEC+∠CEF＝180°，求证：∠NEF＝2∠AOG．27．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为斜边作Rt△AEC，∠AEC＝90°，AB与CE相交于点D．（1）如图1，AB平分∠CAE，BD＝4，CD＝5，求AC；（2）如图2，若AC＝BC，点F在EA的延长线上，连接FB、FC，FB与CE相交于点G，且∠EAD＝∠ACF，求证：AF＝2GE；（3）如图3，在（2）的条件下，CE的中垂线与AB相交于点Q，连接EQ，若∠DEQ+2∠ACE＝90°，请直接写出线段FC、ED、EQ的关系．28．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是AC边上一点，以BD为边作等腰直角△BDE，其中BD＝BE，∠DBE＝90°，边AB与DE交于点F，点G是BC上一点．（1）如图1，若DG⊥DE，连接FG．①若∠ABD＝30°，DE=√6+√2，求BF的长度；②求证：DG＝EF﹣FG；（2）如图2，若DG⊥BD，EP⊥BE交BA的延长线于点P，连接PG，请猜想线段PG，DG，PE之间的数量关系，并证明．29．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，在等边△ABC中，延长AB至点D，延长AC交BD的中垂线于点E，连接BE，DE．（1）如图1，若DE＝3√10，BC＝2√3，求CE的长；（2）如图2，连接CD交BE于点M，在CE上取一点F，连接DF交BE于点N，且DF＝CD，求证：AB=12EF；（3）在（2）的条件下，若∠AED＝45°，直接写出线段BD，EF，ED的等量关系．30．（2020春•沙坪坝区校级月考）在△ABC中，AC＝BC，点G是直线BC上一点，CF⊥AG，垂足为点E，BF⊥CF于点F，点D为AB的中点，连接DF．（1）如图1，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，设CF交AB于点R，且E为CR的中点，若CG＝1，求线段BG的长；（2）如图2，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，求证：EF=√2DF；（3）如图3，如果∠ACB＝60°，且G在CB的延长线上，∠BAG＝15°，请探究线段EF、BD之间的数量关系，并直接写出你的结论．31．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图所示，△ABC为等边三角形，点D，点E分别在CA，CB的延长线上，连接BD，DE，DB＝DE．（1）如图1，若CA：AD＝3：7，BE＝4，求EC的长；（2）如图2，点F在AC上，连接BE，∠DBF＝60°，连接EF，①求证：BF+EF＝BD；②如图3，若∠BDE＝30°，直接写出EFBF的值．32．（2020春•沙坪坝区校级月考）在△ABC，△CDE中，∠BAC＝∠DEC＝90°，连接BD，F为BD中点，连接AF，EF．（1）如图1，若A，C，E三点在同一直线上，∠ABC＝∠EDC＝45°，已知AB＝3，DE＝5，求线段AF的长；（2）如图2，若∠ABC＝∠EDC＝45°，求证：△AEF为等腰直角三角形；（3）如图3，若∠ABC＝∠EDC＝30°，请判断△AEF的形状，并说明理由．33．（2019秋•渝中区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，以AC为边作等边△ACD，连接BD．（1）如图1，若∠ACB＝90°，AB＝4，求△BCD的面积；（2）如图2，若∠ACB＜90°，点E为BD中点，连接AE、CE，且AE⊥CE，延长BC至点F，连接AF，使得∠F＝30°，求证：AF＝CE+√3AE．34．（2020春•南岸区期末）把△ABC绕着点A逆时针旋转α，得到△ADE．（1）如图1，当点B恰好在ED的延长线上时，若α＝60°，求∠ABC的度数；（2）如图2，当点C恰好在ED的延长线上时，求证：CA平分∠BCE；（3）如图3，连接CD，如果DE＝DC，连接EC与AB的延长线交于点F，直接写出∠F的度数（用含α的式子表示）．35．（2020春•渝中区期末）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，以DE为边向外作正方形DEFG，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，连接AG．（1）如图1，若AD＝2√3、DE＝2，当∠ADG＝150°时，求AG的长；（2）如图2，正方形DEFG绕点D旋转的过程中，取AG的中点M，连接DM、CE，猜想：DM和CE 之间有何等量关系？并利用图2加以证明．36．（2020春•沙坪坝区校级月考）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点M是对角线BD上一动点，将线段CM绕点C顺时针旋转120°到CN，连接DN，连接NM并延长，分别交AB、CD于点P、Q．（1）如图1，若CM⊥BD且PQ＝4√3，求菱形ABCD的面积；（2）如图2，求证：PM＝QN．37．（2019秋•江津区期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC＝CD，∠BAC＝90°，点E为BC边上一点，将AE绕点A顺时针旋转90°后得到线段AF，连接FB，FB⊥BC．且FB的延长线与AE的延长线交于点G，点E是AG的中点．（1）若BG＝2，BE＝1，求FG的长；（2）求证：√2AB＝BG+2BE．38．（2020春•渝北区期中）如图1，光线照射在光滑表面上时会发生反射现象，入射光线与镜面的夹角等于出射光线与镜面的夹角，即∠1＝∠2．（1）如图1，AB、BC为两个平面镜，∠B＝90°，一束光线l经两次反射后，经点D，由从点E射出，求证：DM∥EN；（2）如图2，AB、BC为两个平面镜，∠B＝122°，一束光线l经两次反射后，经点D，且由从点E射出，且EN⊥AB，求∠ADM的度数；（3）如图3，已知FL∥GS，FG⊥GS，∠LPK＝∠SQK＝30°，∠PKQ绕点K顺时针旋转，旋转速度为5°/秒，记旋转角α（0＜α≤360°），同时，射线FG绕点F顺时针旋转，旋转速度为3°/秒，记旋转角β（0＜β≤360°），当FG所在直线平行于∠PKQ边所在直线时，直接写出对应时间t的所有值．。
几何图形综合题(10道)
题型四几何图形综合题类型一动态探究型1.如图, BD是正方形ABCD的对角线, BC=2,动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动,同时动点Q从点C出发,以相同的速度沿射线BC运动,当点P出发后,过点Q 作QE⊥BD,交直线BD于点E,连接AP、AE、PE、QE,设运动时间为t（秒）.（1）请直接写出动点P运动过程中,四边形APQD是什么四边形？（2）请判断AE, PE之间的数量关系和位置关系,并加以证明;（3）设△EPB的面积为y,求y与t之间的函数关系式;（4）请求出△EPQ的面积是△EDQ面积的2倍时t的值.第1题图解：（1）四边形APQD是平行四边形;【解法提示】∵四边形ABCD 是正方形,P 、Q 速度相同, ∴∠ABE =∠EBQ =45°,AD //BQ ,AD =BC =2,BP =CQ , ∴BC =AD =PQ ,∴四边形APQD 是平行四边形; （2）AE =PE , AE ⊥PE ; 证明如下： ∵QE ⊥BD ,∴∠PQE =90°-45°=45°, ∴∠ABE =∠EBQ =∠PQE =45°, ∴BE =QE ,在△AEB 和△PEQ 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=QE BE PQE ABE PQ AB , ∴△AEB ≌△PEQ （SAS ）, ∴AE =PE ,∠AEB =∠PEQ , ∴∠AEP =∠BEQ =90°,∴AE ⊥PE ;（3）如解图①,过点E 作EF ⊥BC 于点F ,第1题解图①∵BC =2,CQ =t , ∴BQ =t +2,∵EF ⊥BC ,且∠EBC =∠EQB =45°, ∴EF =BF =FQ ,∴EF =21BQ =22+t , 又∵BP =QC =t ,∴y =21EF ·BP =21×22+t ×t , 即y =41t 2+21t ;（4）①当点P 在BC 的延长线上时,如解图②,作PM ⊥QE 于点M ,第1题解图②∵PQ =2,∠BQE =45°, ∴PM =22PQ =2,BE =QE =22BQ =22(t +2), ∴DE =BE -BD =22(t +2)-22=22t -2, ∵△EPQ 的面积是△EDQ 面积的2倍,∴EQ DE PM EQ ⋅⨯=⋅21221, ∴21×22(t +2)×2=2×21(22t -2)×22(t +2), 解得：t =3或t =-2（舍去）, ∴t =3;②当P 在线段BC 上时,解法同①,此时DE =BD -BE =2-22t , ∵△EPQ 的面积是△EDQ 面积的2倍,∴EQ DE PM EQ ⋅⨯=⋅21221, ∴21×22(t +2)×2=2×21(2-22t )×22(t +2),解得：t =1或t =-2（舍去）, ∴t =1;综上所述,当t =1或t =3时,△EPQ 的面积是△EDQ 面积的2倍.2.如图,在矩形ABCD 中,AB ＝6 cm ,BC ＝8 cm ,对角线AC ,BD 交于点O .点P 从点A 出发,沿AD 方向匀速运动,速度为 1 cm/s ；同时,点Q 从点D 出发,沿DC 方向匀速运动,速度为1 cm/s ；当一个点停止运动时,另一个点也停止运动．连接PO 并延长交BC 于点E ,过点Q 作QF ∥AC 交BD 于点F .设运动时间为t (s)(0<t <6),解答下列问题： (1)当t 为何值时,AP ＝ PO ；(2)设五边形OECQF 的面积为S (cm 2),试确定S 与t 的函数关系式；(3)当t 为何值时,OD 平分∠COP ？第2题图解：(1)∵在矩形ABCD 中,AB ＝6 cm ,BC ＝8 cm ,∠ABC ＝90°, ∴AC ＝10 cm ,AO ＝12AC ＝5 cm , 如解图①,过点P 作PM ⊥AO 于点M ,第2题解图①当AP ＝PO ＝t 时,AM ＝12AO ＝52 cm , ∵∠PMA ＝∠ADC ＝90°,∠P AM ＝∠CAD , ∴△APM ∽△ACD ,∴AP AC ＝AM AD ,即t 10＝528, 解得t ＝258,即t ＝258 s 时,AP ＝PO ；(2)如解图②,过点O 作OH ⊥BC 交BC 于点H ,则OH ＝12CD ＝12AB ＝3 cm .由矩形的性质可知∠PDO ＝∠EBO ,DO ＝BO , 在△DOP 和△BOE 中, ⎩⎪⎨⎪⎧∠PDO ＝∠EBO OD ＝OB∠DOP ＝∠BOE , ∴△DOP ≌△BOE (ASA), ∴BE ＝PD ＝(8－t )cm ,则S △BOE ＝12BE ·OH ＝12×(8－t )×3＝12－32t . ∵FQ ∥AC ,第2题解图②∴△DFQ ∽△DOC ,相似比为DQ DC ＝t6,∴362t S S DOC DFQ △△, ∵S △DOC ＝14S 矩形ABCD ＝14×6×8＝12 cm 2, ∴S △DFQ ＝12×t 236＝t 23,∴S 五边形OECQF ＝S △DBC －S △BOE －S △DFQ ＝12×6×8－(12－32t )－t 23＝－13t 2＋32t ＋12,∴S 与t 的函数关系式为S ＝－13t 2＋32t ＋12；(3)如解图③,过点D 作DM ⊥PE 于点M ,作DN ⊥AC 于点N , 易证△ADN ∽△ACD ,∴DN CD ＝AD AC ,即DN 6＝810, ∴DN ＝245,第2题解图③∵∠POD ＝∠COD , ∴DM ＝DN ＝245,∴ON ＝OM ＝OD 2－DN 2＝75, ∵S △POD ＝12OP ·DM ＝12×12PD ·DC , ∴OP ·DM ＝12PD ·DC , ∴OP ＝5－58t ,∴PM ＝OP - OM ＝185－58t , ∵PD 2＝PM 2＋DM 2, 即(8－t )2＝(185－58t )2＋(245)2, 解得t 1＝16(不合题意,舍去),t 2＝11239, ∴当t ＝11239 s 时,OD 平分∠COP .3.如图,已知△ABC 中,AB ＝10 cm ,AC ＝8 cm ,BC ＝6 cm .如果点P 由B 出发沿BA 向点A 匀速运动,同时点Q 由A 出发沿AC 向点C 匀速运动,它们的速度均为2 cm/s .连接PQ ,设运动的时间为t (单位：s)(0≤t ≤4)．第3题图(1)当t 为何值时,PQ ∥BC ；(2)设△AQP 的面积为S (单位：cm 2),当t 为何值时,S 取得最大值,并求出最大值；(3)是否存在某时刻t ,使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分？若存在,求出此时t 的值；若不存在,请说明理由． 解：(1)由题意知BP ＝2t ,AP ＝10－2t ,AQ ＝2t , ∵PQ ∥BC , ∴△APQ ∽△ABC , ∴AP AB ＝AQ AC ,即10－2t 10＝2t 8,解得t ＝209, 即当t 为209 s 时,PQ ∥BC ；(2)∵AB ＝10 cm ,AC ＝8 cm ,BC ＝6 cm , ∴AB 2＝AC 2＋BC 2, ∴△ABC 为直角三角形, ∴∠C ＝90°,如解图,过点P 作PD ⊥AC 于点D ,第3题解图则PD ∥BC , ∴△APD ∽△ABC , ∴AP AB ＝PD BC , ∴10－2t 10＝PD 6, ∴PD ＝35(10－2t ),∴S ＝12AQ ·PD ＝12×2t ×35(10－2t )＝－65t 2＋6t ＝－65(t －52)2＋7.5, ∵－65<0,抛物线开口向下,有最大值,且0≤t ≤4, ∴当t ＝2.5 s 时,S 有最大值,最大值是7.5 cm 2； (3)不存在．理由如下：假设存在某时刻t ,使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分,则S △AQP ＝12S △ABC ,即－65t 2＋6t ＝12×12×8×6,整理得t 2－5t ＋10＝0, ∵b 2－4ac ＝(－5)2－4×10＝－15<0, ∴此方程无实数解,即不存在某时刻t ,使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分． 4.如图,在菱形ABCD 中,∠BAD =120°,边长AB =6,对角线AC 、BD 交于点 O ,线段AD 上有一动点P ,过点P 作PH ⊥BC 于点H ,交直线CD 于点Q ,连接OQ ,OP ,设线段PD =m ． (1)求线段PH 的长度；(2)设△DPQ 的面积为S ,求S 与m 之间的关系式；(3)当△DPQ 的面积与△CQH 的面积相等时,m 的值是多少？第4题图解:(1)∵四边形ABCD是菱形,∴BC∥AD,AB=AD=CD=6,∵∠BAD=120°,∴∠ADC=60°,∴△ACD是等边三角形,如解图,过点C作CG⊥AD于G,在Rt△CDG中,∠CDG=60°,CD=6,∴DG=3,CG=33,∵BC∥AD, PH⊥BC,CG⊥AD,∴四边形CHPG是矩形,∴PH=CG=33,第4题解图(2)在Rt△PDQ中,∠PDQ=60°, DP=m,∴PQ3m,∴S=S△PDQ=12DP·PQ=12m×3m3m2（0＜m≤6）,(3)∵点Q在线段CD上,AD∥BC,∴△CHQ∽△DPQ,当△DPQ的面积与△CQH的面积相等时,有△CHQ≌△DPQ,∴CQ=DQ=1CD=3,2在Rt△PQD中,∠PDQ=60°, DQ=3,,∴DP=32时,△DPQ的面积与△CQH的面积相等．即m=325.如图,在平面直角坐标系中,长方形OABC的两边分别在x轴和y轴上,OA＝12,OC＝8,现有两动点P、Q分别从O、C同时出发,P在线段OA上沿OA方向以每秒1.5个单位长度的速度匀速运动,运动到点A停止,Q在线段CO上沿CO方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动,运动到点O停止,设运动时间为t秒．（1）B点的坐标为,OQ＝,AP＝；（用含t 的代数式表示）（2）当t 为何值时,△BCQ 的面积不小于△BAP 的面积？ （3）当t 为何值时,△OPQ 的面积与△BAP 的面积的和为36？请求出t 的值；连接AC ,试探究此时线段PQ 与AC 之间的数量关系并说明理由．第5题图 备用图解：（1）（12,8）,8-t ,12-1.5t ； 【解法提示】∵四边形OABC 是矩形,且OA ＝12,OC ＝8,∴B （12,8）,由题意得：OP ＝1.5t ,CQ ＝t ,∴AP ＝12-1.5t ,OQ ＝8-t .（2）∵S △BCQ ≥S △BAP , ∴21CQ ·BC ≥21AP ·AB , 12t ≥8（12-1.5t ）, t ≥4,∵点P 在线段OA 上沿OA 方向以每秒1.5个单位长度的速度匀速运动,运动到点A 停止,点Q 在线段CO 上沿CO 方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动,运动到点O 停止, ∴12÷1.5＝8,8÷1＝8, ∴0≤t ≤8,∴当4≤t ≤8时,△BCQ 的面积不小于△BAP 的面积； （3）由题意得：S △OPQ +S △BAP ＝36, ∴21OP ·OQ +21AP ·AB ＝36,21×1.5t ×（8-t ）+()85.11221⋅-t ＝36, t ＝4或-4（舍）,∴当t ＝4时,△OPQ 的面积与△BAP 的面积的和为36； 此时AC ＝2PQ ,理由如下： 如解图,第5题解图当t＝4时,OP＝1.5t＝6,CQ＝4,∴P和Q分别是OA和OC的中点,∴AC＝2PQ．6.两个全等的三角形,△ABC,△DEF,按如图所示的位置摆放,点B与点D重合,边AB与边DE在同一条直线上(假设图形中所有的点,线都在同一平面内)．其中,∠C＝∠DEF＝90°,∠ABC＝∠F＝30°,AC＝DE＝6 cm.现固定△DEF,将△ABC沿射线DE方向平移,当点C落在边EF上时停止运动．设△ABC平移的距离为x(cm),两个三角形重叠部分的面积为y(cm2)．(1)当点C落在边EF上时,x＝________ cm；(2)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围；(3)设边BC的中点为点M,边DF的中点为点N.直接写出在△ABC平移过程中,点M与点N之间距离的最小值．第6题图解：（1）15；【解法提示】如解图①,作CG⊥AB于点G,CH⊥FE于点H,第6题解图①在Rt△ABC中,由AC＝6,∠ABC＝30°,得BC＝ACtan30°＝6 3cm.在Rt△BCG中,BG＝BC·cos30°＝9 cm.∵四边形CGEH是矩形,∴CH＝GE＝BG＋BE＝9＋6＝15 cm.（2）①当0≤x＜6时,如解图②,第6题解图②由∠GDB ＝60°,∠GBD ＝30°,DB ＝x ,得DG ＝12x ,BG ＝32x , 重叠部分的面积y ＝12DG ·BG ＝12×12x ×32x ＝38x 2； ②当6≤x ＜12时,如解图③,第6题解图③BD ＝x ,DG ＝12x ,BG ＝32x ,BE ＝x －6,EH ＝33(x －6), 重叠部分的面积y ＝S △BDG －S △BEH ＝12DG ·BG －12BE ·EH , 即y ＝12×12x ×32x －12(x －6)×33(x －6),化简得y ＝－324x 2＋23x －63；③当12≤x ≤15时,如解图④,第6题解图④AC ＝6,BC ＝63,BD ＝x ,BE ＝x －6,EG ＝33(x －6),重叠部分的面积y ＝S △ABC －S △BEG ＝12AC ·BC －12BE ·EG ,即y ＝12×6×63－12(x －6)×33(x －6),化简得y ＝－36x 2＋23x ＋123；综上所述,y ＝⎩⎪⎨⎪⎧38x 2（0≤x ＜6）－324x 2＋23x －63（6≤x ＜12）；－36x 2＋23x ＋123（12≤x ≤15）（3）如解图⑤所示,作NG ⊥DE 于点G ,第6题解图⑤点M 在NG 上时MN 最短,NG 是△DEF 的中位线,NG ＝12EF ＝33,∵MB ＝12CB ＝33,∠B ＝30°,∴MG ＝12MB ＝332,则MN min ＝NG －MG ＝33－332＝332.7.如图①,△ABC是等腰直角三角形,四边形ADEF是正方形,D、F分别在AB、AC边上,此时BD＝CF,BD⊥CF成立．(1)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时,如图②,BD＝CF成立吗？若成立,请证明；若不成立,请说明理由；(2)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时,如图③,延长BD 交CF于点G.①求证：BD⊥CF；②当AB＝4,AD＝2时,求线段BG的长．第7题图解：(1)BD＝CF成立；证明：∵△ABC是等腰直角三角形,四边形ADEF是正方形,∴AB ＝AC , AD ＝AF ,∵∠BAD ＝∠CAF ＝θ,∴在△BAD 和△CAF 中,⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAF ，AD ＝AF ，∴△BAD ≌△CAF (SAS),∴BD ＝CF ；(2)①证明：如解图,设BG 交AC 于点M ,由(1)可知△BAD ≌△CAF ,∴∠ABM ＝∠GCM ,∵∠BMA ＝∠CMG ,∴△BMA ∽△CMG ,∴∠BGC ＝∠BAC ＝90°,即BD ⊥CF ；②解：如解图,过点F 作FN ⊥AC 于点N ,第7题解图∵在正方形ADEF 中,AD ＝DE ＝2,∴AE ＝AD 2＋DE 2＝2,∴AN ＝FN ＝12AE ＝1,∵在等腰△ABC 中,AB ＝4,∴CN ＝AC －AN ＝3,BC ＝AB 2＋AC 2＝42,在Rt △FCN 中,tan ∠FCN ＝FN CN ＝13,∴tan ∠ABM ＝tan ∠FCN ＝13,∴AM ＝13AB ＝43,∴CM ＝AC －AM ＝4－43＝83,BM ＝AB 2＋AM 2＝4103, 易证△BMA ∽△CMG ,∴BM BA ＝CM CG ,∴CG ＝4105,∴在Rt △BGC 中,BG ＝BC 2－CG 2＝8105. 类型二 类比探究型8.已知△ABC 为等边三角形,点D 为直线BC 上的一动点（点D 不与B 、C 重合）,以AD 为边作菱形ADEF （A 、D 、E 、F 按逆时针排列）,使∠DAF =60°,连接CF .（1）如图①,当点D 在边BC 上时,求证：①BD =CF ; ②AC =CF +CD ;（2）如图②,当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时,结论AC =CF +CD 是否成立？若不成立,请写出AC 、CF 、CD之间存在的数量关系,并说明理由;（3）如图③,当点D 在边CB 的延长线上且其他条件不变时,补全图形,并直接写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系.第8题图（1）证明：∵四边形AFED 为菱形,∴AF =AD ,∵△ABC 是等边三角形,∴AB =AC =BC ,∠BAC =60°=∠DAF ,∴∠BAC -∠DAC =∠DAF -∠DAC ,即∠BAD =∠CAF ,在△BAD 和△CAF 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AF AD CAF BAD AC AB ,∴△BAD ≌△CAF （SAS ）,∴BD =CF ,∴CF +CD =BD +CD =BC =AC ;（2）解：不成立,AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系是AC =CF -CD .理由如下：由（1）知：AB =AC =BC ,∠BAC =∠DAF =60°,∴∠BAC +∠DAC =∠DAF +∠DAC ,即∠BAD =∠CAF ,在△BAD 和△CAF 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AF AD CAF BAD AC AB , ∴△BAD ≌△CAF （SAS ）,∴BD =CF ,∴CF -CD =BD -CD =BC =AC ,即AC =CF -CD ；（3）解：补全图形如解图,AC =CD -CF .第8题解图【解法提示】∵∠BAC =∠DAF =60°,∴∠DAB =∠CAF ,在△BAD 和△CAF 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AF AD CAF BAD AC AB , ∴△BAD ≌△CAF （SAS ）,∴BD =CF ,∴CD -CF =CD -BD =BC =AC ,即AC =CD -CF .9.如图,已知∠AOB=120°,在∠AOB的平分线OM上有一点C,将一个60°角的顶点与点C重合,它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．第9题图（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图①）,请猜想OE+OD与OC的数量关系,并说明理由；（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时,到达图②的位置,（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时,线段OD、OE与OC之间有怎样的数量关系？解：（1）∵OM是∠AOB的角平分线,1∠AOB=60°．∴∠AOC=∠BOC=2∵CD⊥OA,∴∠ODC =90°．∴∠OCD =30°．∴∠OCE =∠DCE -∠OCD =30°．在Rt △OCD 中,OD =21OC ,同理：OE =21OC ．∴OD +OE =OC ；（2）（1）中结论仍然成立,理由如下：如解图①,过点C 作CF ⊥OA 于F ,CG ⊥OB 于G ,第9题解图①∴∠OFC =∠OGC =90°．∵∠AOB =120°,∴∠FCG =60°．同（1）的方法得,OF =21OC ,OG =21OC ．∴OF +OG =OC ．∵CF⊥OA,CG⊥OB,且点C是∠AOB的平分线OM上一点,∴CF=CG．∵∠DCE=60°,∠FCG=60°,∴∠DCF=∠ECG．∴△CFD≌△CGE（ASA）,∴DF=EG．∴OF=OD-DF=OD-EG,OG=OE+EG．∴OF+OG=OD-EG+OE+EG=OD+OE．∴OD+OE=OC；（3）如解图②,过点C作CF⊥OA于F,CG⊥OB于G,第9题解图②∴∠OFC=∠OGC=90°,∵∠AOB=120°,∴∠FCG =60°．同（1）的方法得,OF =21OC ,OG =21OC ,∴OF +OG =OC ．∵CF ⊥OA ,CG ⊥OB ,且点C 是∠AOB 的平分线OM 上一点, ∴CF =CG ．∵∠DCE =60°,∠FCG =60°,∴∠DCF =∠ECG ．∴△CFD ≌△CGE （ASA ）．∴DF =EG ．∴OF =DF -OD =EG -OD ,OG =OE -EG ．∴OF +OG =EG -OD +OE -EG =OE -OD ．∴OE -OD =OC ．10.△ABC 为等边三角形,点M 是BC 中点,点P 在△ABC 所在平面内,连接P A ,PB ,PC ,PM ,直线PC 与直线AB 交于点D ．（1）若点P 在△ABC 内,∠BPC =120°．①如图①,当点P 在AM 上时,求证：∠APD =∠BPM ；②如图②,当点P 不在AM 上时,∠APD =∠BPM 是否仍然成立？若成立,请证明；若不成立,请说明理由．（2）当点P 在△ABC 外,且点P 与点A 在直线BC 异侧时,若∠BPC =60°,∠APD 与∠BPM 有怎样的数量关系？第10题图解:（1）①证明：∵△ABC 是等边三角形,∴AB =AC ,∵点M 是BC 中点,∴BM =CM ,∴AM ⊥BC ,在△PMC 和△PMB 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=PM PM PMB PMC BM CM ,∴△PMC ≌△PMB （SAS ）,1∠BPC=60°,∴∠MPC=∠MPB=2∵∠MPC=∠APD,∴∠APD=∠BPM；②∠APD=∠BPM仍然成立,如解图①,延长PM至K,使MK=PM,连接BK,延长PD至T,使PT=PB,连接TB、TA,第10题解图①由“倍长中线法”可证,△MCP≌△MBK（SAS）,∴CP=BK,∠BCP=∠CBK,∴CP∥BK,∴∠PBK=∠PBC+∠CBK=∠PBC+∠BCP=180°-∠BPC=60°,∵∠BPT=180°-∠BPC=60°,∵PT =PB ,∴△PTB 是等边三角形,∴PB =BT ,∵∠PBT =∠ABC ,∴∠ABT =∠CBP ,在△ABT 和△CBP 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BC AB CBP ABT BP BT , ∴△ABT ≌△CBP （SAS ）,∴AT =PC ,∠ATB =∠CPB =120°,∵PC =BK ,∴AT =BK ,∴∠ATP =∠ATB -∠PTB =120°-60°=60°=∠PBK , 在△ATP 和△KBP 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BP TP KBP ATP BK AT , ∴△ATP ≌△KBP （SAS ）,∴∠APD =∠BPM ；（2）（Ⅰ）点D 在BA 延长线上时,如解图②,延长PM 至K ,使MK =PM ,连接BK ,在PD 上截取TB =TA ,连接PT 、PB ,第10题解图②同（1）②中的方法得,△MCP ≌△MBK （SAS ）, ∴CP =BK ,CP ∥BK ,∴∠KBP =180°-∠BPC =120°．∵PT =PB ,∠BPC =60°,∴△PTB 是等边三角形,同（1）②的方法证得,△BAT≌△BCP（SAS）,∴AT=CP=BK,∠ATB=∠CPB=60°=∠BTP,∴∠ATP=∠KBP=120°,∴△ATP≌△KBP（SAS）,∴∠APT=∠KPB,∴∠APD=∠BPM;（Ⅱ）点D在AB延长线上时,如解图③,延长PM至K,使MK=MP,连接CK,第10题解图同（1）②的方法得,△MCK≌△MBP（SAS）,∴CK=BP,∠CKP=∠BPK,∴CK∥BP,∴∠KCP=180°-∠BPC=120°,∵∠BPC=60°, PT=PC,∴△PTC是等边三角形,同（1）②的方法得,△CAT≌△CBP（SAS）,∴AT=BP=CK,∠ATC=∠BPC=60°=∠CTP,∴∠ATP =∠KCP=120°,∴△KCP≌△ATP（SAS）,∴∠CPK=∠APT,∵∠APD=120°+∠APT,∠BPM =60°-∠CPK,∴∠APD+∠BPM=180°．综上所述,∠APD=∠BPM或∠APD+∠BPM=180°．。
初中数学几何中点问题题型总结
初中数学几何中点问题题型总结1、还原中心对称图形（倍长中线法）中心对称与中心对称图形知识：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。
这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
中心对称的两条基本性质：(1)关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分。
(2)关于中心对称的两个图形是全等图形。
中心对称图形把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
（一个图形）线段本身就是中心对称图形，中点就是它的对称中心，所以遇到中点问题，依托中点借助辅助线还原中点对称图形，可以把分散的条件集中起来（集散思想）。
例 如图，D 是△ABC 的边BC 上的点，且CD=AB ，∠ADB=∠BAD ，AE 是△ABD的中线。
求证：AC=2AE练习 1、已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°．若BD=BC ，F 是CD的中点，试问：∠BAF 与∠BCD 的大小关系如何？请写出你的结论并加以证明；A BCDF2、Rt △ABC 中，∠BAC=90°，M 为BC 的中点，过A 点作某直线l ，过B 作BD l ⊥于点D ，过C 作CE l ⊥于点E 。
（1）中的结论是否任然成立？2、两条平行线间线段的中点（“八字型”全等）如图，1l ∥2l ，C 是线段AB 的中点，那么过点C 直线都可以和AB 构造“8字型”全等例 已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，点E 是AB 的中点，连接DE 、CE 。
求证：ABCD 12DECSS =梯 分析：如果直接证明，是不容易，联想到AD ∥BC ，点E 是AD 的中点 ，我们延长DE ，与CB 的延长线交于点F ，这样，我们就构造出一对八 字型的三角形，并且这对三角形是全等的。
《几何综合探究题中考27题》(共55题)2022年中考专练附答案(北京专用)
5年（2016-2020）中考1年模拟数学试题分项详解（北京专用）专题15几何综合探究题中考27题（共45题）一．解答题（共5小题）1．（2020•北京）在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线AC上一动点，连接DE．过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设AE＝a，BF＝b，求EF的长（用含a，b的式子表示）；（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．【分析】（1）由三角形的中位线定理得DE∥BC，DE=12BC，进而证明四边形CEDF是矩形得DE＝CF，得出CF，再根据勾股定理得结果；（2）过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，证明△ADE≌△BDM得AE＝BM，DE ＝DM，由垂直平分线的判定定理得EF＝MF，进而根据勾股定理得结论．【解答】解：（1）∵D是AB的中点，E是线段AC的中点，∴DE∥BC，DE=12BC，∵∠ACB＝90°，∴∠DEC＝90°，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°，∴四边形CEDF是矩形，∴DE＝CF=12BC，五年中考真题∴CF ＝BF ＝b ， ∵CE ＝AE ＝a ，∴EF =√CF 2+CE 2=√a 2+b 2；（2）AE 2+BF 2＝EF 2．证明：过点B 作BM ∥AC ，与ED 的延长线交于点M ，连接MF ， 则∠AED ＝∠BMD ，∠CBM ＝∠ACB ＝90°， ∵D 点是AB 的中点， ∴AD ＝BD ，在△ADE 和△BDM 中， {∠AED =∠BMD ∠ADE =∠BDM AD =BD， ∴△ADE ≌△BDM （AAS ）， ∴AE ＝BM ，DE ＝DM ， ∵DF ⊥DE ， ∴EF ＝MF ， ∵BM 2+BF 2＝MF 2， ∴AE 2+BF 2＝EF 2．2．（2019•北京）已知∠AOB ＝30°，H 为射线OA 上一定点，OH =√3+1，P 为射线OB 上一点，M 为线段OH 上一动点，连接PM ，满足∠OMP 为钝角，以点P 为中心，将线段PM 顺时针旋转150°，得到线段PN ，连接ON ． （1）依题意补全图1；（2）求证：∠OMP＝∠OPN；（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON＝QP，并证明．【分析】（1）根据题意画出图形．（2）由旋转可得∠MPN＝150°，故∠OPN＝150°﹣∠OPM；由∠AOB＝30°和三角形内角和180°可得∠OMP＝180°﹣30°﹣∠OPM＝150°﹣∠OPM，得证．（3）根据题意画出图形，以ON＝QP为已知条件反推OP的长度．由（2）的结论∠OMP＝∠OPN联想到其补角相等，又因为旋转有PM＝PN，已具备一边一角相等，过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，即可构造出△PDM≌△NCP，进而得PD＝NC，DM＝CP．此时加上ON＝QP，则易证得△OCN≌△QDP，所以OC＝QD．利用∠AOB＝30°，设PD＝NC＝a，则OP＝2a，OD=√3a．再设DM＝CP＝x，所以QD＝OC＝OP+PC＝2a+x，MQ＝DM+QD＝2a+2x．由于点M、Q关于点H对称，即点H为MQ中点，故MH=12MQ＝a+x，DH＝MH﹣DM＝a，所以OH＝OD+DH=√3a+a=√3+1，求得a＝1，故OP＝2．证明过程则把推理过程反过来，以OP＝2为条件，利用构造全等证得ON＝QP．【解答】解：（1）如图1所示为所求．（2）设∠OPM＝α，∵线段PM绕点P顺时针旋转150°得到线段PN∴∠MPN＝150°，PM＝PN∴∠OPN＝∠MPN﹣∠OPM＝150°﹣α∵∠AOB ＝30°∴∠OMP ＝180°﹣∠AOB ﹣∠OPM ＝180°﹣30°﹣α＝150°﹣α ∴∠OMP ＝∠OPN（3）OP ＝2时，总有ON ＝QP ，证明如下：过点N 作NC ⊥OB 于点C ，过点P 作PD ⊥OA 于点D ，如图2 ∴∠NCP ＝∠PDM ＝∠PDQ ＝90° ∵∠AOB ＝30°，OP ＝2 ∴PD =12OP ＝1∴OD =√OP 2−PD 2=√3 ∵OH =√3+1 ∴DH ＝OH ﹣OD ＝1 ∵∠OMP ＝∠OPN∴180°﹣∠OMP ＝180°﹣∠OPN 即∠PMD ＝∠NPC 在△PDM 与△NCP 中 {∠PDM =∠NCP ∠PMD =∠NPC PM =NP∴△PDM ≌△NCP （AAS ） ∴PD ＝NC ，DM ＝CP设DM ＝CP ＝x ，则OC ＝OP +PC ＝2+x ，MH ＝MD +DH ＝x +1 ∵点M 关于点H 的对称点为Q ∴HQ ＝MH ＝x +1∴DQ ＝DH +HQ ＝1+x +1＝2+x ∴OC ＝DQ在△OCN 与△QDP 中 {OC =QD∠OCN =∠QDP =90°NC =PD∴△OCN ≌△QDP （SAS ）∴ON＝QP3．（2018•北京）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A 关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF＝GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．【分析】（1）如图1，连接DF，根据对称得：△ADE≌△FDE，再由HL证明Rt△DFG≌Rt△DCG，可得结论；（2）证法一：如图2，作辅助线，构建AM＝AE，先证明∠EDG＝45°，得DE＝EH，证明△DME≌△EBH，则EM＝BH，根据等腰直角△AEM得：EM=√2AE，得结论；证法二：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△DAE≌△ENH，得AE＝HN，AD＝EN，再说明△BNH是等腰直角三角形，可得结论．【解答】证明：（1）如图1，连接DF，∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°，∵点A关于直线DE的对称点为F，∴△ADE≌△FDE，∴DA＝DF＝DC，∠DFE＝∠A＝90°，∴∠DFG＝90°，在Rt△DFG和Rt△DCG中，∵{DF =DC DG =DG， ∴Rt △DFG ≌Rt △DCG （HL ）， ∴GF ＝GC ；（2）BH =√2AE ，理由是：证法一：如图2，在线段AD 上截取AM ，使AM ＝AE ， ∵AD ＝AB ， ∴DM ＝BE ，由（1）知：∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∵∠ADC ＝90°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝90°， ∴2∠2+2∠3＝90°， ∴∠2+∠3＝45°， 即∠EDG ＝45°， ∵EH ⊥DE ，∴∠DEH ＝90°，△DEH 是等腰直角三角形， ∴∠AED +∠BEH ＝∠AED +∠1＝90°，DE ＝EH ， ∴∠1＝∠BEH ， 在△DME 和△EBH 中， ∵{DM =BE∠1=∠BEH DE =EH， ∴△DME ≌△EBH （SAS ）， ∴EM ＝BH ，Rt △AEM 中，∠A ＝90°，AM ＝AE ， ∴EM =√2AE ， ∴BH =√2AE ；证法二：如图3，过点H 作HN ⊥AB 于N ， ∴∠ENH ＝90°，由方法一可知：DE ＝EH ，∠1＝∠NEH ， 在△DAE 和△ENH 中，∵{∠A=∠ENH ∠1=∠NEH DE=EH，∴△DAE≌△ENH（AAS），∴AE＝HN，AD＝EN，∵AD＝AB，∴AB＝EN＝AE+BE＝BE+BN，∴AE＝BN＝HN，∴△BNH是等腰直角三角形，∴BH=√2HN=√2AE．4．（2017•北京）在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．（1）若∠P AC＝α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）．（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠BAC ＝∠B ＝45°，∠P AB ＝45°﹣α，由直角三角形的性质即可得出结论；（2）连接AQ ，作ME ⊥QB ，由AAS 证明△APC ≌△QME ，得出PC ＝ME ，△MEB 是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得出结论． 【解答】解：（1）∠AMQ ＝45°+α；理由如下： ∵∠P AC ＝α，△ACB 是等腰直角三角形， ∴∠BAC ＝∠B ＝45°，∠P AB ＝45°﹣α， ∵QH ⊥AP ， ∴∠AHM ＝90°，∴∠AMQ ＝180°﹣∠AHM ﹣∠P AB ＝45°+α；（2）PQ =√2MB ；理由如下： 连接AQ ，作ME ⊥QB ，如图所示： ∵AC ⊥QP ，CQ ＝CP ， ∴∠QAC ＝∠P AC ＝α， ∴∠QAM ＝45°+α＝∠AMQ ， ∴AP ＝AQ ＝QM ， 在△APC 和△QME 中， {∠MQE =∠PAC ∠ACP =∠QEM AP =QM，∴△APC ≌△QME （AAS ）， ∴PC ＝ME ，∵△MEB 是等腰直角三角形，∴12PQ =√22MB ， ∴PQ =√2MB ．方法二：也可以延长AC 到D ，使得CD ＝CQ ． 则易证△ADP ≌△QBM ．∴BM ＝PD =√2CD =√2QC =√22PQ ， 即PQ =√2MB ．5．（2016•北京）在等边△ABC 中，（1）如图1，P ，Q 是BC 边上的两点，AP ＝AQ ，∠BAP ＝20°，求∠AQB 的度数；（2）点P ，Q 是BC 边上的两个动点（不与点B ，C 重合），点P 在点Q 的左侧，且AP ＝AQ ，点Q 关于直线AC 的对称点为M ，连接AM ，PM ． ①依题意将图2补全；②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P ，Q 运动的过程中，始终有P A ＝PM ，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法1：要证明P A ＝PM ，只需证△APM 是等边三角形；想法2：在BA 上取一点N ，使得BN ＝BP ，要证明P A ＝PM ，只需证△ANP ≌△PCM ；想法3：将线段BP 绕点B 顺时针旋转60°，得到线段BK ，要证P A ＝PM ，只需证P A ＝CK ，PM ＝CK … 请你参考上面的想法，帮助小茹证明P A ＝PM （一种方法即可）．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠APQ ＝∠AQP ，由邻补角的定义得到∠APB ＝∠AQC ，根据三角形外角的性质即可得到结论；（2）如图2根据等腰三角形的性质得到∠APQ＝∠AQP，由邻补角的定义得到∠APB＝∠AQC，由点Q 关于直线AC的对称点为M，得到AQ＝AM，∠OAC＝∠MAC，等量代换得到∠MAC＝∠BAP，推出△APM是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQP，∴∠APB＝∠AQC，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠BAP＝∠CAQ＝20°，∴∠AQB＝∠APQ＝∠BAP+∠B＝80°；（2）如图2，∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQP，∴∠APB＝∠AQC，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠BAP＝∠CAQ，（将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证P A＝PM，只需证P A＝CK，PM＝CK…请你参考上面的想法，帮助小茹证明P A＝PM）∵点Q关于直线AC的对称点为M，∴AQ＝AM，∠QAC＝∠MAC，∴∠MAC＝∠BAP，∴∠BAP+∠P AC＝∠MAC+∠CAP＝60°，∴∠P AM＝60°，∵AP＝AQ，∴AP＝AM，∴△APM是等边三角形，∴AP＝PM．证明△ABP≌△ACM≌△BCK一年模拟新题一．解答题（共40小题）1．（2020•丰台区三模）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，将线段AC绕点A逆时针旋转α°（0＜α＜180），得到线段AD，连接BD，交AC于点P．（1）当α＝90°时，①依题意补全图形；②求证：PD＝2PB；（2）写出一个α的值，使得PD=√3PB成立，并证明．【分析】（1）当α＝90°时，①依题意即可补全图形；②根据30度角所对直角边等于斜边一半即可证明PD＝2PB；（2）当α的值为60度时，根据等腰三角形的性质即可证明PD=√3PB成立．【解答】解：（1）当α＝90°时，①如图即为补全的图形；②证明：∵∠BAC ＝30°，AB ＝AC ， 根据题意可知：AC ＝AD ， ∴AD ＝AB ， ∴∠ABD ＝∠ADB ， ∵∠CAD ＝90°， ∴∠DAB ＝120°，∴∠ABD ＝∠D ＝∠BAC ＝30°， ∴AP ＝BP ，在Rt △APD 中，∠ADB ＝30°， ∴PD ＝2AP ， ∴PD ＝2PB ；（2）当α＝60（或120°）时，PD =√3PB 成立， 情况1，如图所示：当α＝60°时，过点D 作DF ⊥AC 于点F ，过点B 作BE ⊥AC 于点E ，∴DF ∥BE ， ∴△DFP ∽△BEP ， ∴DF BE=PD PB，在Rt △ABE 中，∠BAC ＝30°， ∴AC ＝AB ＝2BE ，在Rt △ADF 中，∠CAD ＝60°， ∴AD =2√33DF ， ∵AD ＝AC ＝AB ， ∴2BE =2√33DE ， ∴√3BE ＝DF ， ∴PD =√3PB ． 情况2，如图所示：当α＝120°时，过点D 作DF ⊥AC 于点F ，过点B 作BE ⊥AC 于点E ，∴DF ∥BE ， ∴△DFP ∽△BEP ， ∴DF BE=PD PB，在Rt △ABE 中，∠BAC ＝30°， ∴AC ＝AB ＝2BE ，在Rt △ADF 中，∠F AD ＝60°， ∴AD =2√33DF ， ∵AD ＝AC ＝AB ， ∴2BE =2√33DE ，∴√3BE＝DF，∴PD=√3PB．2．（2020•石景山区二模）在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上的一点（不与点B重合），边BC上点E在点D的右边且∠DAE=12∠BAC，点D关于直线AE的对称点为F，连接CF．（1）如图1，①依题意补全图1；②求证：CF＝BD．（2）如图2，∠BAC＝90°，用等式表示线段DE，CE，CF之间的数量关系，并证明．【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②连接AF，如图1，根据已知条件得到∠3＝∠1+∠2．根据轴对称的性质得到AF＝AD，∠F AE＝∠3＝∠1+∠2．根据全等三角形的性质得到结论；（2）连接F A，FE，如图2，根据等腰三角形的性质得到∠1＝∠2＝45°，求得∠FCE＝90°，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）①依题意补全图形，如图1；②证明：连接AF，如图1，∵∠3=12∠BAC，∴∠3＝∠1+∠2．∵点F与点D关于直线AE对称，∴AF＝AD，∠F AE＝∠3＝∠1+∠2．∴∠4＝∠F AE﹣∠2＝（∠1+∠2）﹣∠2＝∠1．又∵AC＝AB，∴△ACF≌△ABD（SAS），∴CF＝BD；（2）线段DE，CE，CF之间的数量关系是DE2＝CE2+CF2．证明：连接F A，FE，如图2，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠1＝∠2＝45°，由（1）②，可得FE＝DE，∠3＝∠2＝45°，∴∠FCE＝90°，在Rt△FCE中，由勾股定理，得FE2＝CE2+CF2，∴DE2＝CE2+CF2．3．（2020•朝阳区三模）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点P在线段BA的延长线上，作PD⊥AC，交AC的延长线于点D，点D关于直线AB的对称点为E，连接PE并延长PE到点F，使EF＝AC，连接CF．（1）依题意补全图1；（2）求证：AD＝CF；（3）若AC＝2，点Q在直线AB上，写出一个AQ的值，使得对于任意的点P总有QD＝QF，并证明．【分析】（1）依照题意，补全图形即可；（2）通过证明四边形DCFP是矩形，可得PD＝CF，由等腰直角三角形的性质可得AD＝PD＝CF；（3）通过证明△DAQ≌△FCQ，可得QD＝QF．【解答】解：（1）补全图形，如图所示：（2）∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠B＝∠CAB＝45°，∵PD⊥AC，∴∠PDA＝90°，∴∠DP A＝90°﹣∠P AD＝45°＝∠DAP，∴AD＝DP，∵点D关于直线AB的对称点为E，∴∠FP A＝∠DP A＝45°，∴∠DPF＝90°，又∵∠PDA＝90°＝∠ACF，∴四边形DCFP是矩形，∴PD＝CF，∴AD＝PD＝CF；（3）AQ=√2，理由如下：如图2，连接CQ，∵∠C＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝2√2，∠B＝∠CAB＝45°，∵AQ=√2，∴AQ＝BQ，又∵∠C＝90°，AC＝BC＝2，∴CQ＝AQ＝BQ，∠QCA＝∠CAQ＝45°，∴∠DAQ＝∠QCF＝135°，又∵AD＝CF，∴△DAQ≌△FCQ（SAS），∴FQ＝DQ．4．（2020•北京二模）已知菱形ABCD中，∠A＝60°，点E为边AD上一个动点（不与点A，D重合），点F在边DC上，且AE＝DF，将线段DF绕着点D逆时针旋转120°得线段DG，连接GF，BF，EF．（1）依题意补全图形；（2）求证：△BEF为等边三角形；（3）用等式表示线段BG，GF，CF的数量关系，并证明．【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）易证△ABD为等边三角形，∠BDF＝60°，由SAS证得△ABE≌△DBF，得出BE＝BF，∠ABE＝∠DBF，则∠EBF＝∠EBD+∠DBF＝∠EBD+∠ABE＝60°，即可得出结论；（3）取FG中点H，连接DH，由等腰三角形的性质得出∠DFG＝∠DGF＝30°，DH⊥GF，由三角函数得出GF=√3DG，易证△BCD为等边三角形，B、D、G三点在同一条直线上，求出BG﹣CF＝2DG，即可得出√3（BG﹣CF）＝2GF．【解答】（1）解：补全图形，如图1所示：（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∵∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，∠BDF＝60°，∴∠ABD＝∠BDC＝60°，AB＝BD，在△ABE和△DBF中，{AB=BD∠A=∠BDF=60°AE=DF，∴△ABE≌△DBF（SAS），∴BE＝BF，∠ABE＝∠DBF，∴∠EBF＝∠EBD+∠DBF＝∠EBD+∠ABE＝∠ABD＝60°，∴△BEF为等边三角形；（3）解：BG、GF、CF的数量关系为：√3（BG﹣CF）＝2GF，理由如下：取FG中点H，连接DH，如图2所示：∵AE＝DF＝DG，∠FDG＝120°，∴∠DFG＝∠DGF＝30°，DH⊥GF，∴GF＝2GH＝2DG•cos30°＝2DG×√32=√3DG，∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，∴△BCD为等边三角形，∴BD＝CD，∠BDC＝60°，∵∠FDG＝120°，∴∠BDC+∠FDG＝180°，即B、D、G三点在同一条直线上，∴BG＝BD+DG＝CD+DG＝CF+DF+DG＝CF+2DG，∴BG﹣CF＝2DG，∴√3（BG﹣CF）＝2√3DG＝2GF．5．（2020•朝阳区二模）已知∠AOB＝40°，M为射线OB上一定点，OM＝1，P为射线OA上一动点（不与点O重合），OP＜1，连接PM，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转40°，得到线段PN，连接MN．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠APN＝∠OMP；（3）H为射线OA上一点，连接NH．写出一个OH的值，使得对于任意的点P总有∠OHN为定值，并求出此定值．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）利用三角形的外角的性质解决问题即可．（3）结论：OH＝1时，∠OHN的值为定值．证明△OMP≌△GPN（SAS），推出OP＝NG，∠AOB＝∠NGP＝40°，由OM＝OH＝PG＝1，推出OP＝HG，推出GH＝GN，推出∠GNH＝∠GHN=12（180°﹣40°）＝70°可得结论．【解答】（1）解：图形如图所示：（2）证明：如图1中，∵∠MPN＝∠AOB＝40°，∠APM＝∠APN+∠MPN＝∠AOB+∠OMP，∴∠APN＝∠OMP．（3）解：结论：OH＝1时，∠OHN的值为定值．理由：在射线P A设取一点G，使得PG＝OM，连接NG．∵PN＝PM，∠GPN＝∠OMP，∴△OMP≌△GPN（SAS），∴OP＝NG，∠AOB＝∠NGP＝40°，∵OM＝OH＝PG＝1，∴OP＝HG，∴GH＝GN，∴∠GNH＝∠GHN=12（180°﹣40°）＝70°，∴∠OHN＝180°﹣70°＝110°．6．（2020•海淀区二模）如图1，等边三角形ABC中，D为BC边上一点，满足BD＜CD，连接AD，以点A 为中心，将射线AD顺时针旋转60°，与△ABC的外角平分线BM交于点E．（1）依题意补全图1；（2）求证：AD＝AE；（3）若点B关于直线AD的对称点为F，连接CF．①求证：AE∥CF；②若BE+CF＝AB成立，直接写出∠BAD的度数为20°．【分析】（1）由旋转即可补全图形；（2）先判断出∠BAE＝∠CAD，再判断出∠ABE＝60°＝∠C，进而判断出△ABE≌△ACD，即可得出结论；（3）①先判断出AFC＝∠ACF，设∠BAD＝α，进而表示出∠F AD＝α，∠CAF＝60°﹣2α，进而得出∠ACF＝60°+α再判断出∠CAE＝120°﹣α，即可得出结论；②先判断出∠CBG＝30°﹣α，进而判断出∠CDF＝60°﹣2α，再判断出DF＝CF，进而得出∠DCF＝∠CDF＝60°﹣2α，再判断出∠DCF＝α，即可得出结论．【解答】解：（1）补全图形如图1所示；（2）由旋转知，∠DAE＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠BAE＝∠CAD，∵BE是△ABC的外角的平分线，∴∠ABM=12（180°﹣60°）＝60°＝∠C，在△ABE和△ACD中，{∠BAE=∠CADAB=AC∠ABE=∠ACD=60°，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴AD＝AE；（3）①如图2，连接AF，∵点F是点B关于AD的对称点，∴∠BAD＝∠F AD，AF＝AB，∴AF＝AC，∴∠AFC＝∠ACF，设∠BAD＝α，则∠F AD＝α，∴∠CAF＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠F AD＝60°﹣2α，∴∠ACF=12（180°﹣∠CAF）＝60°+α，由（2）知，∠BAE＝∠CAD＝60°﹣α，∴∠CAE＝∠BAE+∠BAC＝60°﹣α+60°＝120°﹣α，∴∠ACF+∠CAE＝60°+α+120°﹣α＝180°，∴AE∥CF；②如图2，连接BF，设∠BAD＝α，∵点F是点B关于AD的对称点，∴AD⊥BF，垂足记作点G，则∠AGB＝90°，∴∠ABG＝90°﹣α，∵∠ABC＝60°，∴∠CBG＝30°﹣α，连接DF，则BD＝DF，∴∠CDF＝2∠CBG＝60°﹣2α，由（2）知，△ABE≌△ACD，∴BE＝CD，∵BE+CF＝AB，∴CD+CF＝BC＝BD+CD，∴BD＝CF，∴DF＝CF，∴∠DCF＝∠CDF＝60°﹣2α，由①知，∠ACF＝60°+α，∴∠DCF＝∠ACF﹣∠ACB＝α，∴60°﹣2α＝α，∴α＝20°，即∠BAD＝20°，故答案为：20．7．（2020•门头沟区二模）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC上的两个动点（不与点A，B，C重合），且AE＝CF，延长BC到G，使CG＝CF，连接EG，DF．（1）依题意将图形补全；（2）小华通过观察、实验、提出猜想：在点E，F运动过程中，始终有EG=√2DF．经过与同学们充分讨论，形成了几种证明的想法：想法一：连接DE，DG，证明△DEG是等腰直角三角形；想法二：过点D作DF的垂线，交BA的延长线于H，可得△DFH是等腰直角三角形，证明HF＝EG；…请参考以上想法，帮助小华证明EG=√2DF．（写出一种方法即可）【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）如图，连接DE，DG，根据正方形的性质得到AD＝CD，∠A＝∠DCF＝90°，根据全等三角形的性质得到DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，求得DF＝DG，由等腰三角形的性质得到∠CDF＝∠CDG，推出△EDG是等腰直角三角形，于是得到结论．【解答】解：（1）依题意补全图形如图所示；（2）如图，连接DE，DG，∵在正方形ABCD中，AD＝CD，∠A＝∠DCF＝90°，∵AE＝CF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，∵∠DCF＝90°，∴DC⊥FG，∵CF＝CG，∴DF＝DG，∴∠CDF＝∠CDG，∴DE＝DG，∠ADE＝∠CDG，∵∠ADC＝90°，∴∠EDG＝90°，∴△EDG是等腰直角三角形，∴EG=√2DG=√2DF．8．（2020•东城区二模）在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝α，点D 是△ABC 外一点，点D 与点C 在直线AB 的异侧，且点D ，A ，C 不共线，连接AD ，BD ，CD ．（1）如图1，当α＝60°．∠ADB ＝30°时，画出图形，直接写出AD ，BD ，CD 之间的数量关系； （2）当α＝90°，∠ADB ＝45°时，利用图2，继续探究AD ，BD ，CD 之间的数量关系并证明； （提示：尝试运用图形变换，将要研究的有关线段尽可能转移到一个三角形中）（3）当∠ADB =α2时，进一步探究AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并用含α的等式直接表示出它们之间的关系．【分析】（1）先判断出∠BDE ＝90°，再根据勾股定理得出BD 2+DE 2＝BE 2，即BD 2+AD 2＝BE 2，再判断出△ABE ≌△ACD （SAS ），得出BE ＝CD ，即可得出结论；（2）同（1）方法得出DE 2+BD 2＝BE 2，进而得出2AD 2+BD 2＝BE 2，同（1）的方法判断出BE ＝CD ，即可得出结论；（3）同（1）的方法得出DE 2+BD 2＝BE 2，再判断出DF ＝2AD •sin α2，即可得出结论．【解答】解：（1）AD 2+BD 2＝CD 2，理由：如图1，过AD 为边在AD 上侧作等边三角形ADE ，连接BE ， 则AD ＝DE ＝AE ，∠DAE ＝∠ADE ＝60°， ∵∠ADB ＝30°，∴∠BDE ＝∠DBA +∠ADE ＝90°，在Rt △BDE 中，根据勾股定理得，BD 2+DE 2＝BE 2， ∴BD 2+AD 2＝BE 2， ∵∠DAE ＝∠BAC ＝60°， ∴∠BAE ＝∠CAD ， ∵AB ＝AC ，∴△ABE ≌△ACD （SAS ），∴BE＝CD，∴AD2+BD2＝CD2；（2）如图2，过点A作AE⊥AD，且AE＝AD，连接BE，DE，∴∠ADE＝45°，∵∠BDA＝45°，∴∠BDE＝90°，根据勾股定理得，DE2+BD2＝BE2，∵DE2＝2AD2，∴2AD2+BD2＝BE2，∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∴2AD2+BD2＝CD2；（3）如图3，将线段AD绕点A顺时针旋转α得到AE，连接DE，BE，∴∠ADE=12（180°﹣∠DAE）＝90°−12α，∵∠ADB=12α，∴∠BDE＝90°，根据勾股定理得，DE2+BD2＝BE2，∵∠DAE＝∠BAC＝α，∴∠BAE＝∠CAD，∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∴DE 2+BD 2＝CD 2，过点A 作AF ⊥DE 于F ，则DE ＝2DF ， ∴∠DAF ＝90°﹣∠ADE =12α， 在Rt △ADF 中，sin ∠DAF =DF AD ， ∴DF ＝AD •sin ∠DAF ＝AD •sin α2，∴DE ＝2DF ＝2AD •sin α2，即：（2AD •sin α2）2+BD 2＝CD 2．9．（2020•平谷区二模）如图，在△ABM中，∠ABC＝90°，延长BM使BC＝BA，线段CM绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，连结DM，AD．（1）依据题意补全图形；（2）当∠BAM＝15°时，∠AMD的度数是60°；（3）小聪通过画图、测量发现，当∠AMB是一定度数时，AM＝MD．小聪把这个猜想和同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：通过观察图形可以发现，如果把梯形ABCD补全成为正方形ABCE，就易证△ABM≌△AED，因此易得当∠AMD是特殊值时，问题得证；想法2：要证AM＝MD，通过第（2）问，可知只需要证明△AMD是等边三角形，通过构造平行四边形CDAF，易证AD＝CF，通过△ABM≌△CBF，易证AM＝CF，从而解决问题；想法3：通过BC＝BA，∠ABC＝90°，连结AC，易证△ACM≌△ACD，易得△AMD是等腰三角形，因此当∠AMD是特殊值时，问题得证．请你参考上面的想法，帮助小聪证明当∠AMD是一定度数时，AM＝MD．（一种方法即可）【分析】（1）由题意画出，图形；（2）由旋转的性质可得出△DCM为等腰直角三角形，则∠DMC＝45°，∠AMB＝75°，可求出答案；（3）根据三种想法证明△AMD为等边三角形即可得出结论．【解答】解：（1）由题意画出图形如图1，（2）如图1，∵∠BAM＝15°，∠ABC＝90°，∴∠AMB＝90°﹣15°＝75°，∵线段CM绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，∴CM＝CD，∠MCD＝90°，∴∠CMD＝∠MDC＝45°，∴∠AMD＝180°﹣∠AMB﹣∠DMC＝180°﹣75°﹣45°＝60°．故答案为：60°．（3）当∠AMB＝75°时，AM＝DM．想法1证明：如图2，过点A作AE⊥CD交CD的延长线于点E，∵∠AEC＝∠C＝∠ABC＝90°，AB＝BC，∴四边形ABCE正方形，∴AB＝AE，BC＝CE，由（2）可知CM＝CD，∴BM＝DE，∴△ABM≌△AED（SAS），∴AM＝AD，由（2）可知∠AMD＝60°，∴△AMD为等边三角形，∴AM＝DM．想法2证明：如图3，过点C作CF∥AD交AB于点F，∵AF∥CD，∴四边形AFCD为平行四边形，∴AD＝CF，AF＝CD，∵AB＝AF+BF，BC＝BM+CM，AB＝BC，∴CD+BF＝BM+CM，∵CD＝CM，∴BF＝BM，又∵AB＝BC，∠FBC＝∠MBC＝90°，∴△ABM≌△CBF（SAS），∴AM＝CF，∴AM＝AD，又∵∠AMD＝60°，∴△AMD为等边三角形，∴AM＝DM．想法3证明：如图4，连接AC，∵BC＝AB，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝45°，∴∠ACD＝45°，又∵CM＝CD，AC＝AC，∴△ACM≌△ACD（SAS），∴AM＝AD，∵∠AMD＝60°，∴△AMD为等边三角形，∴AM＝DM．10．（2020•西城区二模）在正方形ABCD中，E是CD边上一点（CE＞DE），AE，BD交于点F．（1）如图1，过点F作GH⊥AE，分别交边AD，BC于点G，H．求证：∠EAB＝∠GHC；（2）AE的垂直平分线分别与AD，AE，BD交于点P，M，N，连接CN．①依题意补全图形；②用等式表示线段AE与CN之间的数量关系，并证明．【分析】（1）由平行线的性质可得出∠AGH＝∠GHC．证得∠EAB＝∠AGH．则结论得证；（2）①依题意补全图形即可；②连接AN，连接EN并延长，交AB边于点Q．证得NA＝NE．得出∠ANE＝∠ANQ＝90°．则可得出AE=√2CN．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，∴∠AGH＝∠GHC．∵GH⊥AE，∴∠EAB＝∠AGH．∴∠EAB＝∠GHC．（2）①补全图形，如图所示．②证明：连接AN，连接EN并延长，交AB边于点Q．∵四边形ABCD是正方形，∴点A，点C关于BD对称．∴NA＝NC，∠BAN＝∠BCN．∵PN垂直平分AE，∴NA＝NE．∴NC＝NE．∴∠NEC＝∠NCE．在正方形ABCD中，BA∥CE，∠BCD＝90°，∴∠AQE＝∠NEC．∴∠BAN+∠AQE＝∠BCN+∠NCE＝90°．∴∠ANE＝∠ANQ＝90°．在Rt△ANE中，∴AE=√2CN．11．（2020•丰台区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将CA绕点C顺时针旋转45°，得到CP，点A关于直线CP的对称点为D，连接AD交直线CP于点E，连接CD．（1）根据题意补全图形；（2）判断△ACD的形状，并证明；（3）连接BE，用等式表示线段AB，BC，BE之间的数量关系，并证明．温馨提示：在解决第（3）问的过程中，如果你遇到困难，可以参考下面几种解法的主要思路．解法1的主要思路：延长BC至点F，使CF＝AB，连接EF，可证△ABE≌△CFE，再证△BEF是等腰直角三角形．解法2的主要思路：过点A作AM⊥BE于点M，可证△ABM是等腰直角三角形，再证△ABC∽△AME．解法3的主要思路：过点A作AM⊥BE于点M，过点C作CN⊥BE于点N，设BN＝a，EN＝b，用含a或b的式子表示AB，BC．……．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）结论：△ACD是等腰直角三角形．根据等腰直角三角形的定义判断即可．（3）结论：BC+BA=√2BE．延长BC至点F，使CF＝AB，连接EF．证明△EAB≌△ECF（SAS），推出BE＝EF，∠AEB＝∠CEF可得结论．【解答】解：（1）图形如图所示：（2）结论：△ACD是等腰直角三角形．理由：∵A，D关于CP对称，∴AD⊥CP，∠ACP＝∠PCD＝45°，CA＝CD，∴∠ACD＝90°，∴△ACD是等腰直角三角形．（3）结论：BC+BA=√2BE．理由：延长BC至点F，使CF＝AB，连接EF．∵∠ABC＝∠AEC＝90°，∴∠BAE+∠BCE＝180°，∵∠BCE+∠ECF＝180°，∴∠BAE＝∠ECF，∵△ACD是等腰直角三角形，CE⊥AD，∴AE＝DE，∴CE＝AE＝ED，∵AB＝CF，∴△EAB≌△ECF（SAS），∴BE＝EF，∠AEB＝∠CEF，∴∠BEF＝∠AEC＝90°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴BF=√2BE，∵BF＝BC+CF＝BC+BA，∴BC+BA=√2BE．12．（2020•密云区二模）已知：MN是经过点A的一条直线，点C是直线MN左侧的一个动点，且满足60°＜∠CAN＜120°，连接AC，将线段AC绕点C顺时针旋转60°，得到线段CD，在直线MN上取一点B，使∠DBN＝60°．（1）若点C位置如图1所示．①依据题意补全图1；②求证：∠CDB＝∠MAC；（2）连接BC，写出一个BC的值，使得对于任意一点C，总有AB+BD＝3，并证明．【分析】（1）①根据题意作出图形即可求解；②根据等量关系可证∠CDB＝∠MAC；（2）如图2，连接BC，在直线MN上截取AH＝BD，连接CH，根据SAS可证△ACH≌△DCB，再根据全等三角形的性质和等边三角形的判定与性质即可求解．【解答】.解：（1）①如图1所示：②证明：∵∠C＝60°，∠DBN＝60°，∴∠C＝∠DBN，∵∠DBN+∠ABD＝180°，∴∠C+∠ABD＝180°，在四边形ACDB中，∠CDB+∠BAC＝180°，∵∠BAC+∠MAC＝180°，∴∠CDB＝∠MAC；（2）BC＝3时，对于任意一点C，总有AB+BD＝3．证明：如图2，连接BC，在直线MN上截取AH＝BD，连接CH，∵∠MAC＝∠CDB，AC＝CD，∴△ACH≌△DCB（SAS），∴∠ACH＝∠DCB，CH＝CB，∵∠DCB+∠ACB＝∠ACD＝60°，∴∠HCB＝∠ACH+∠ACB＝60°，∴△HCB是等边三角形，∴BC＝BH＝BA+BD＝3．13．（2020•顺义区二模）已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D为线段BC上一动点（点D不与点B、C重合），点B关于直线AD的对称点为E，作射线DE，过点C作BC的垂线，交射线DE于点F，连接AE．（1）依题意补全图形；（2）AE与DF的位置关系是AE⊥DF；（3）连接AF，小昊通过观察、实验，提出猜想：发现点D在运动变化的过程中，∠DAF的度数始终保持不变，小昊把这个猜想与同学们进行了交流，经过测量，小昊猜想∠DAF＝45°，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法：想法1：过点A作AG⊥CF于点G，构造正方形ABCG，然后可证△AFG≌△AFE…想法2：过点B作BG∥AF，交直线FC于点G，构造▱ABGF，然后可证△AFE≌△BGC…请你参考上面的想法，帮助小昊完成证明（一种方法即可）．【分析】（1）根据题意正确画图；（2）证明△ABD≌△AED（SSS），可得∠AED＝∠B＝90°，从而得结论；（3）想法1：如图2，过点A做AG⊥CF于点G，先证明四边形ABCG是正方形，得AG＝AB，∠BAG ＝90°，再证明Rt△AFG≌Rt△AFE（HL），得∠GAF＝∠EAF，根据∠BAG＝90°及角的和可得结论；想法2：如图3，过点B作BG∥AF，交直线FC于点G，证明四边形ABGF是平行四边形，得AF＝BG，∠BGC＝∠BAF，再证明Rt△AEF≌Rt△BCG（HL），同理根据∠BCG＝90°及等量代换，角的和可得结论．【解答】解：（1）补全图形如图1：（2）AE与DF的位置关系是：AE⊥DF，理由是：∵点B关于直线AD的对称点为E，∴AB＝AE，BD＝DE，∵AD＝AD，∴△ABD≌△AED（SSS），∴∠AED＝∠B＝90°，∴AE⊥DF；故答案为：AE⊥DF；（3）猜想∠DAF＝45°；想法1：证明如下：如图2，过点A做AG⊥CF于点G，依题意可知：∠B＝∠BCG＝∠CGA＝90°，∵AB＝BC，∴四边形ABCG是正方形，∴AG＝AB，∠BAG＝90°，∵点B关于直线AD的对称点为E，∴AB＝AE，∠B＝∠AED＝∠AEF＝90°，∠BAD＝∠EAD，∴AG＝AE，∵AF＝AF，∴Rt△AFG≌Rt△AFE（HL），∴∠GAF＝∠EAF，∵∠BAG＝90°，∴∠BAD+∠EAD+∠EAF+∠GAF＝90°，∴∠EAD+∠EAF＝45°．即∠DAF＝45°．想法2：证明如下：如图3，过点B作BG∥AF，交直线FC于点G，依题意可知：∠ABC ＝∠BCF ＝90°， ∴AB ∥FG ， ∵AF ∥BG ，∴四边形ABGF 是平行四边形， ∴AF ＝BG ，∠BGC ＝∠BAF ， ∵点B 关于直线AD 的对称点为E ，∴AB ＝AE ，∠ABC ＝∠AED ＝90°，∠BAD ＝∠EAD ， ∵AB ＝BC ， ∴AE ＝BC ，∴Rt △AEF ≌Rt △BCG （HL ）， ∴∠EAF ＝∠CBG ， ∵∠BCG ＝90°， ∴∠BGC +∠CBG ＝90°， ∴∠BAF +∠EAF ＝90°，∴∠BAD +∠EAD +∠EAF +∠EAF ＝90°， ∵∠BAD ＝∠EAD ， ∴∠EAD +∠EAF ＝45°， 即∠DAF ＝45°． 故答案为：45．14．（2020•武汉模拟）已知，在△ABC 和△EFC 中，∠ABC ＝∠EFC ＝90°，点E 在△ABC 内，且∠CAE +∠CBE ＝90°（1）如图1，当△ABC 和△EFC 均为等腰直角三角形时，连接BF ， ①求证：△CAE ∽△CBF ； ②若BE ＝2，AE ＝4，求EF 的长；（2）如图2，当△ABC 和△EFC 均为一般直角三角形时，若AB BC=EF FC=k ，BE ＝1，AE ＝3，CE ＝4，求k 的值．【分析】（1）①先判断出∠BCF ＝∠ACE ，再判断出CE AC=CF BC，即可得出结论；②先判断出∠CBF ＝∠CAE ，进而判断出∠EBF ＝90°，再求出BF ＝2√2，最后用勾股定理求解即可得出结论；（2）先判断出∠BCF ＝∠ACE ，再判断出CEAC=CF BC，进而判断出△BCF ∽△ACE ，进而表示出BF =√k +1，再表示出EF =√k +1，最后用勾股定理得，BE 2+BF 2＝EF 2，建立方程求解即可得出结论．【解答】解：（1）①∵△ABC 和△CEF 都是等腰直角三角形， ∴∠ECF ＝∠ACB ＝45°， ∴∠BCF ＝∠ACE ，∵△ABC 和△CEF 都是等腰直角三角形， ∴CE =√2CF ，AC =√2CB ， ∴CE CF =AC CB =√2，∴CE AC=CF BC，∴△BCF ∽△ACE ；②由①知，△BCF ∽△ACE ， ∴∠CBF ＝∠CAE ，AE BF=AC BC=√2，∴BF =√22AE =√22×4＝2√2， ∵∠CAE +∠CBE ＝90°， ∴∠CBF +∠CBE ＝90°， 即：∠EBF ＝90°，根据勾股定理得，EF =√BE 2+BF 2=√(2√2)2+22=2√3；（2）如图（2），连接BF ，在Rt △ABC 中，tan ∠ACB =ABBC =k ， 同理，tan ∠ECF ＝k ， ∴tan ∠ACB ＝tan ∠ECF ， ∴∠ACB ＝∠ECF ， ∴∠BCF ＝∠ACE ，在Rt △ABC 中，设BC ＝m ，则AB ＝km ， 根据勾股定理得，AC =√AB 2+BC 2=m √k 2+1；在Rt △CEF 中，设CF ＝n ，则EF ＝nk ，同理，CE ＝n √k 2+1 ∴CF BC =nm ，CEAC =n√k 2+1m√k 2+1=n m，∴CF BC=CE AC，∵∠BCF ＝∠ACE ， ∴△BCF ∽△ACE ， ∴∠CBF ＝∠CAE ， ∵∠CAE +∠CBE ＝90°， ∴∠CBF +∠CBE ＝90°， 即：∠EBF ＝90°， ∵△BCF ∽△ACE ， ∴AE BF=AC BC =√k 2+1，∴BF =1√k +1AE =3√k +1，∵CE ＝4， ∴n √k 2+1=4， ∴n =√k +1， ∴EF =4k√k +1，在Rt △EBF 中，根据勾股定理得，BE 2+BF 2＝EF 2，∴12+（3√k 2+1）2＝（4k√k 2+1）2，∴k =√63或k =−√63（舍），即：k 的值为√63．15．（2020•丰台区模拟）如图，在正方形ABCD 中，E 是边BC 上的一动点（不与点B 、C 重合），连接DE 、点C 关于直线DE 的对称点为C ′，连接AC ′并延长交直线DE 于点P ，F 是AC ′的中点，连接DF ． （1）求∠FDP 的度数；（2）连接BP ，请用等式表示AP 、BP 、DP 三条线段之间的数量关系，并证明； （3）连接AC ，若正方形的边长为√2，请直接写出△ACC ′的面积最大值．【分析】（1）证明∠CDE ＝∠C 'DE 和∠ADF ＝∠C 'DF ，可得∠FDP '=12∠ADC ＝45°；（2）作辅助线，构建全等三角形，证明△BAP ≌△DAP '（SAS ），得BP ＝DP '，从而得△P AP '是等腰直角三角形，可得结论；（3）先作高线C 'G ，确定△ACC ′的面积中底边AC 为定值2，根据高的大小确定面积的大小，当C '在BD 上时，C 'G 最大，其△ACC ′的面积最大，并求此时的面积． 【解答】解：（1）由对称得：CD ＝C 'D ，∠CDE ＝∠C 'DE ， 在正方形ABCD 中，AD ＝CD ，∠ADC ＝90°， ∴AD ＝C 'D ， ∵F 是AC '的中点，∴DF ⊥AC '，∠ADF ＝∠C 'DF ，∴∠FDP＝∠FDC'+∠EDC'=12∠ADC＝45°；（2）结论：BP+DP=√2AP，理由是：如图，作AP'⊥AP交PD的延长线于P'，∴∠P AP'＝90°，在正方形ABCD中，DA＝BA，∠BAD＝90°，∴∠DAP'＝∠BAP，由（1）可知：∠FDP＝45°∵∠DFP＝90°∴∠APD＝45°，∴∠P'＝45°，∴AP＝AP'，在△BAP和△DAP'中，∵{BA=DA∠BAP=∠DAP′AP=AP′，∴△BAP≌△DAP'（SAS），∴BP＝DP'，∴DP+BP＝PP'=√2AP；（3）如图，过C'作C'G⊥AC于G，则S△AC'C=12AC•C'G，Rt△ABC中，AB＝BC=√2，∴AC=√(√2)2+(√2)2=2，即AC为定值，当C'G最大值，△AC'C的面积最大，连接BD，交AC于O，当C'在BD上时，C'G最大，此时G与O重合，∵CD＝C'D=√2，OD=12AC＝1，∴C'G=√2−1，∴S△AC'C=12AC•C'G=12×2(√2−1)=√2−1．16．（2020•朝阳区模拟）在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝α，∠BCD＝β，点E，F是四边形ABCD内的两个点，满足∠EAF=12α，∠ECF=12β，连接BE，EF，FD．（1）如图1，当α＝β时，判断∠ABE和∠ADF之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）如图2，当α≠β时，用等式表示线段BE，EF，FD之间的数量关系（直接写出即可）．【分析】（1）结论：∠ABE+∠ADF＝90°．将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADM，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△CDT，连接FM，TF．证明M，D，T共线，再证明FM＝FT．DM＝DT即可解决问题．（2）结论：EF2＝BE2+DF2．将△ABE绕点A逆时针旋转α度得到△ADM，将△BCE绕点C顺时针旋转β度得到△CDT，连接FM，TF．证明∠FDM＝90°，利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：（1）结论：∠ABE+∠ADF＝90°．理由：∵AB＝AD，CB＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝∠BCD，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∴四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADM，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△CDT，连接FM，TF．∵∠EAF=12×90°＝45°，∴∠MAD+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠F AM＝∠F AE，∵AM＝AE，AF＝AF，∴△AFM≌△AFE（SAS），∴EF＝FM，同法可证：EF＝FT，∴FM＝FT，∵∠ADM+∠CDT＝∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠MDT＝90°+90°＝180°，∴M，D，T共线，∵DM＝BE，DT＝BE，∴DM＝DT，∴FD⊥MT，∴∠FDM＝90°，∴∠ADM+∠ADF＝90°，∵∠ADM＝∠ABE，∴∠ABE+∠ADF＝90°．（2）结论：EF2＝BE2+DF2．理由：∵AD＝AB，CD＝CB，∴将△ABE绕点A逆时针旋转α度得到△ADM，将△BCE绕点C顺时针旋转β度得到△CDT，连接FM，TF．∵∠EAF=12×∠DAB=12α，∴∠MAD+∠DAF＝∠BAE+∠DAF=12α，∴∠F AM＝∠F AE，∵AM＝AE，AF＝AF，∴△AFM≌△AFE（SAS），∴EF＝FM，同法可证：EF＝FT，∴FM＝FT，∵∠ADM+∠CDT＝∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠MDT＝90°+90°＝180°，∴M，D，T共线，∵DM＝BE，DT＝BE，∴DM＝DT，∴FD⊥MT，∴∠FDM＝90°，∴FM2＝DM2+DF2，∵FM＝EF，DM＝BE，∴EF2＝BE2+DF2．17．（2020•丰台区模拟）已知C为线段AB中点，∠ACM＝α．Q为线段BC上一动点（不与点B重合），点P在射线CM上，连接P A，PQ，记BQ＝kCP．（1）若α＝60°，k＝1，①如图1，当Q为BC中点时，求∠P AC的度数；②直接写出P A、PQ的数量关系；（2）如图2，当α＝45°时．探究是否存在常数k，使得②中的结论仍成立？若存在，写出k的值并证明；若不存在，请说明理由．【分析】（1）如图1，作辅助线，构建等边三角形，证明△ADC为等边三角形．根据等边三角形三线合一可得∠P AC＝∠P AD＝30°；②作辅助线，证明△PCD'≌△PCQ，可得P A＝PQ；（2）存在k=√2，如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△P AD≌△PQC（SAS）．可得结论．【解答】解：（1）①如图1，在CM上取点D，使得CD＝CA，连接AD，∵∠ACM＝60°，∴△ADC为等边三角形．∴∠DAC＝60°．。
线段双中点模型例题
线段双中点模型例题摘要：一、线段双中点模型简介1.线段双中点模型的定义2.模型在几何问题中的应用二、线段双中点模型的例题解析1.题目一：已知线段AB 和线段CD，求证MN 是线段AB 和线段CD 的中点2.题目二：已知线段AB 和线段CD 的中点分别为M 和N，求证MN 平行于且等于线段AB 和线段CD 的一半3.题目三：已知线段AB 和线段CD 的中点分别为M 和N，求证∠AMN = ∠DON三、线段双中点模型的拓展应用1.利用线段双中点模型解决复杂的几何问题2.与其他几何模型结合使用，提高问题解决效率正文：线段双中点模型是几何学中一个重要的模型，它在解决一些几何问题时具有很高的实用价值。
下面，我们通过一些例题来了解线段双中点模型的具体应用。
一、线段双中点模型简介线段双中点模型，顾名思义，是指一个线段上有两个中点。
在几何问题中，如果一个线段的两个端点与另一个线段的两个端点分别连线，使得这两条线段的中点重合，那么这两个线段就构成了一个线段双中点模型。
这个模型在解决一些几何问题时，能够帮助我们快速地找到线段之间的关系，从而简化问题的解决过程。
二、线段双中点模型的例题解析1.题目一：已知线段AB 和线段CD，求证MN 是线段AB 和线段CD 的中点解析：根据线段双中点模型的定义，如果MN 是线段AB 和线段CD 的中点，那么AM = MB = CN = DN。
通过证明可以得出结论：MN 确实是线段AB 和线段CD 的中点。
2.题目二：已知线段AB 和线段CD 的中点分别为M 和N，求证MN 平行于且等于线段AB 和线段CD 的一半解析：根据线段双中点模型的定义，M 是线段AB 的中点，N 是线段CD 的中点。
因此，AM = MB = CN = DN。
又因为MN 是平行四边形AMNB 和CDON 的中点，所以MN 平行于AB 和CD。
同时，MN = (AM + MB) / 2 = (CN + DN) / 2，即MN 等于线段AB 和线段CD 的一半。
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26
求证：CE=2MN 方法3：解析法
27
五、典型题练习
2012东城上学期期末
五、典型题练习
2011海淀1模
五、典型题练习
2011顺义1模
五、典型题练习
2011石景山2模
五、典型题练习
2011大兴2模
五、典型题练习
北京55中数学组
34
A
E
B
D
F
C
14
典型题举例
构造中位线
15
典型题举例
构造中位线
16
三、方法指导
与线段中点有关的内容: ① 中线平分面积 ② 倍长中线，构造8字全等形(中心对称) ③ 构造三角形、梯形中位线 ④ 构造等腰三角形底边上中线(轴对称)
A
E B
F
D
C
17
三、方法指导
与线段中点有关的内容:
① 中线平分面积
② 倍长中线，构造8字全等形(中心对称)
③ 构造三角形、梯形中位线
④ 构造等腰三角形底边上中线(轴对称)
⑤ 构造直角三角形斜边上中线 A
B
F
O G
E
D
C
18
典型题举例
构造直角三角形斜边上的中线
已知： ∠A+ ∠D=90 °，BC ∥AD，AD=10， BC=6，E、F为BC、AD中点 求：EF
M
N
义务教育课程标准实验教科书人教版九年级（下册）
与“线段中点”有关的几何综合题
1
一、考试说明要求
《考试说明》中涉及线段中点的有3个知识点， 都有B层要求，分别为：
掌握证明三角形的中位线定理 会用三角形中位线性质解决有关问题 会用线段中点的知识解决简单问题
2
二、考题重现
2011年中考
3
二、考题重现
2009年中考
4
二、考题重现
2008年中考
5
二、考题重现
2007年中考
DE
6
二、考题重现
2006年中考
7
三、方法指导
与线段中点有关的内容:
① 中线平分面积
A
B
A
F
D
G
D
E
C
F
AM
B
O
E
D
N
C
F
B C E
8
典型题举例
9
三、方法指导
与线段中点有关的内容: ① 中线平分面积 ② 倍长中线，构造8字全等形(中心对称)
已知:AB=8,AC=6 求:BC边上中线AD的
取值范围
B
A
D
C
10
典型题举例
中线倍长
判定BE+CF与EF的数量关系
A F
பைடு நூலகம்
E
B
D
C
G
11
中线倍长
求证：DE=DF
典型题举例
A
F
B
D
E
G
C
12
中线倍长
典型题举例
13
三、方法指导
与线段中点有关的内容: ① 中线平分面积 ② 倍长中线，构造8字全等形(中心对称) ③ 构造三角形、梯形中位线
21
典型题举例
在坐标系下的应用
已知正方形ABCD中，点E、F是BC、AB
的中点．
A
D
求证：AG=AD．
F
G
B
E
C
22
四、真题分析
求证：CE=2MN 方法1：构造中位线
F
23
求证：CE=2MN 方法1：构造中位线
F
24
求证：CE=2MN 方法2：构造直角三角形斜边上的中线
F
25
求证：CE=2MN 方法2：构造直角三角形斜边上的中线
19
三、方法指导
在坐标系下的应用
线段AB中点C的坐标公式：
A(xA, yA ) B(xB , yB ) C(xC , yC )
xc
xA
2
xB
yc
yA
2
yB
B C A
20
典型题举例
在坐标系下的应用
已知：矩形ABCD的顶点A（1，0）、C（0，2）， 将矩形沿OB折叠，使点A坐标落到点A’.求：A’的坐标