人教版七年级数学上册 4.3.2：角的比较与运算 学案(无答案)

初中七年级数学上册第四章：几何图形初步——4.3.2：角的比较与运算一：知识点讲解知识点一：角的大小比较度量法：✧内容：先用量角器量出角的度数，再比较其大小；✧方法：1)对“中”：角的顶点对准量角器的中心；2)重合：角的一边与量角器的零刻度线重合；3)读数：读出角的另一边所对的度数；4)比较度数：根据度数的大小确定两个角的大小。

叠合法：✧内容：把两个角的顶点和一边重合，两个角的另一边落在重合边的同侧，根据另一边的位置关系来比较；✧方法：1)将两个角的顶点及一边重合；2)使两个角的另一边落在重合一边的同侧；3)由两个角的另一边的位置确定两个角的大小。

两个角的比较还可用中间值法，通过两个角与中间值的比较，得出大小关系。

例1：如图所示，点D在∠AOB的内部，点E在∠AOB的外部，点F在射线OA上，试比较下列各角的大小。

1)∠AOB ∠BOD；2)∠AOE ∠AOB；3)∠BOD ∠FOB；4)∠AOB ∠FOB；5)∠DOE ∠BOD。

知识点二：角的和、差、倍、分角的和、差：如图✧ ∠AOC 是∠AOB 与∠BOC 的和，记作∠AOC ＝∠AOB ＋∠BOC ；✧ ∠AOB 是∠AOC 与∠BOC 的差，记作∠AOB ＝∠AOC －∠BOC 。

角的倍、分：如图✧ 如果2个∠1的和是∠2，那么∠2是∠1的2倍或∠1是∠2的21， 记作∠2＝2∠1或∠1＝21∠2； ✧ 如果3个∠1的和是∠3，那么∠3是∠1的3倍或∠1是∠3的31， 记作∠3＝3∠1或∠1＝31∠3。

例2：根据图回答下列问题： 1) ∠AOC 是哪两个角的和？∠DOB 是哪两个角的和？2) ∠AOB 是哪两个角的差？3) 如果∠AOB ＝∠COD ，那么∠AOC 与∠DOB 的大小关系如何？并说明你的理由。

知识点三：角的平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。

举例：如图，射线OC 把∠AOB 分成两个相等的角，射线OC叫做∠AOB 的平分线。

基本性质和判定方法：✧ 角的平分线的基本性质：如上图，若OC 是∠AOB 的平分线，则∠BOC ＝∠AOC ＝21∠AOB ； ✧ 角的平分线的基本判定方法：若∠AOC ＝∠BOC ＝21∠AOB ，则OC 是∠AOB 的平分线。

例3：如图，∠AOB ＝42°，∠BOC ＝86°，OD 为∠AOC 的平分线，求∠BOD 的度数。

二：知识点复习知识点一：角的大小比较1. 如图，射线OC 、OD 分别在∠AOB 的内部、外部，下列各式错误的是( )A. ∠AOB ＜∠AODB. ∠BOC ＜∠AOBC. ∠COD ＞∠AODD. ∠AOB ＞∠AOC2. 若∠A ＝20°18′，∠B ＝20°15′30″，∠C ＝20,25°，则( )A. ∠A ＞∠B ＞∠CB. ∠B ＞∠A ＞∠CC. ∠A ＞∠C ＞∠BD. ∠C ＞∠A ＞∠B3. 用“＞”或“＜”填空。

1) 如图①所示，∠AOC ∠BOC ；2) 如图②所示，∠ ∠MON 。

知识点二：角的和、差、倍、分4. 如图，∠AOC 和∠DOB 都是直角，如果∠AOB ＝150°，那么∠DOC ＝( )A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°5. 按图所示填空。

1) ∠AOB ＋∠BOC ＝ ；2) ∠AOC ＋∠COD ＝ ；3) ∠BOD －∠COD ＝ ；4) ∠AOD － ＝∠AOB 。

6. 已知∠AOB ＝80°，∠BOC ＝20°，求∠AOC 的度数。

知识点三：角的平分线7. 如图，OC 为∠AOB 内一条射线，下列条件中不能确定OC 平分∠AOB 的是( )A. ∠AOC ＝∠BOCB. ∠AOB ＝2∠AOCC. ∠AOC ＋∠COB ＝∠AOBD. ∠BOC ＝21∠AOB8. 如图所示，点O 在直线AB 上，射线OD 平分∠AOC ，若∠AOD ＝5°，则∠BOC 等于( )A. 85°B. 80°C. 70°D. 65° 9. 如图所示，已知OE 是∠AOC 的平分线，OD 是∠BOC 的平分线。

若∠AOC ＝120°，∠BOC ＝30°，求∠DOE 的度数。

三：题型分析题型一：角的运算例1：计算下列各题：①152°49′12″＋20.18°；②82°－36°42′15″；③35°36′47″×9；④41°37′÷3题型二：方程思想在求角中的应用例2：如图，已知∠COB＝2∠AOC，OD平分∠AOB且∠COD＝19°，求∠AOB的度数。

题型三：角的平分线与角的和差的综合运用例3：如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠DOB的平分线。

1)如果∠AOB＝130°，那么∠COE是多少度？2)在第一小题的条件下，如果∠COD＝20°，那么∠BOE是多少度？易错点：没有分类讨论，导致漏解例4：已知∠AOB＝90°，OC是从∠AOB的顶点O引出的一条射线，若∠AOB＝2∠BOC，求∠AOC的度数。

四：习题（一）：选择题1.比较∠CAB与∠DAB时，把它们的顶点A和边AB重合，把它们的另一边AC和AD放在AB 的同一侧，若∠CAB ＞∠DAB ，则( )A. AD 落在∠CAB 的内部B. AD 落在∠CAB 的外部C. AC 和AD 重合D. 不能确定AD 的位置2. 已知，点C 在∠AOB 内部，目前有四个等式：∠COA ＝∠BOC 、∠BOC ＝21∠AOB 、21∠AOB ＝2∠COA 、∠AOB ＝2∠AOC ，其中能表示OC 是∠AOB 的平分线的等式的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 43. 若一个60°的角绕顶点旋转15°，则重叠部分的角的大小是( )A. 15°B. 30°C. 45°D. 75°4. 如图，AM 为∠BAC 的平分线，下列等式错误的是( ) A. 21∠BAC ＝∠BAM B. ∠BAM ＝∠CAMC. ∠BAM ＝2∠CAMD. 2∠CAM ＝∠BAC5. 已知∠AOB ＝70°，以O 为端点作射线OC ，使∠AOC ＝42°，则∠BOC 的度数为( )A. 28°B. 112°C. 28°或112°D. 68°6. 将一副直角三角尺如图所示放置，若∠AOD ＝20°，则∠BOC 的大小为( )140° B. 160° C. 170° D. 150°7. 如图所示，OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE 的平分线。

如果，∠AOB ＝40°，∠COE ＝60°，则∠BOD 的度数为( )50° B. 60° C. 65° D. 70°（二）：填空题8. 一副三角板如图所示放置，则∠AOB ＝ 。

（三）：解答题9. 如图所示，已知，点A 、O 、B 在同一条直线上，OD 、OE 分别平分∠AOC 和∠BOC ，∠COD ＝65°，求∠AOE 的度数。

10. 如图，O 为直线AB 上一点，∠AOC ＝50°，OD 平分∠AOC ，∠DOE ＝90°。

1) 请你数一数，图中有多少个小于平角的角；2) 求出∠BOD 的度数；3) 请通过计算说明OE 是否平分∠BOC 。

11. 如图，∠AOB ＝30°，∠BOC ＝70°，OE 平分∠AOC ，求∠BOE 的度数。

12. 如图所示，已知∠AOB ＝90°，∠AOC ＝60°。

1) ∠BOC ＝ ；2) 若OD 平分∠BOC ，OE 平分∠AOC ，则∠DOE ＝ ；3) 试问在第二小题的条件下，如果将题目中∠AOC ＝60°改成∠AOC ＝2α（︒<45α），其他条件不变，你能求出∠DOE 的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由。

13. 回答以下问题：1) 已知∠BOC ＝120°，∠AOB ＝70°，求∠AOC 的度数；2) 已知∠AOB ＝80°，过O 作射线OC （不同于OA 、OB ），满足∠AOC ＝53∠BOC ，求∠AOC 的度数（题目中的角是小于平角的角）。

14. 如图所示，已知∠AOB ＝90°，∠BOC ＝30°，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC 。

1) ∠MON ＝ ；2) 如图所示，∠AOB ＝90°，将OC 绕O 点向下旋转，使∠BOC ＝2x °，仍然分别作∠AOC 、∠BOC 的平分线OM 、ON ，能否求出∠MON 的度数？若能，求出其值；若不能，试说明理由；3) 如图，若∠AOB ＝α，∠BOC ＝β，仍然分别作∠AOC 、∠BOC 的平分线OM 、ON ，能否求出∠MON 的度数？若能，求出∠MON 的度数；若不能，试说明理由。

15. 回答以下问题：1) 如图①所示，∠AOB ＝80°，OC 是∠AOB 的平分线，OD 、OE 分别平分∠BOC 、∠AOC，求∠DOE的度数；2)如图②所示，在第一小题中，把“OC是∠AOB的平分线”改为“OC是∠AOB内任意一射线”，其他任何条件都不变，请直接写出∠DOE的度数；3)如图③所示，在第一小题中，把“OC是∠AOB的平分线”改为“OC是∠AOB外任意一射线”，其他任何条件都不变，请问：能够求出∠DOE的度数，并说明理由；4)在第二、三小题中，若把“∠AOB＝80°”改为“∠AOB＝ ”，其他条件不变，则∠DOE的度数是多少？请直接写出你的结论。