高数习题集(附答案)

1 第一章 函数与极限

§1 函数

必作习题

P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17

必交习题

一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从

出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。

(1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式；

(2) 作出函数)(t v v =的图形。

二、 证明函数1

2+=

x x y 在),(+∞-∞内是有界的。

三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin

)(2= ；

(2)1

212)(+-=x x x f ；

(3))1ln()(2++=x x x f 。

四、 证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。

3 §2 初等函数

必作习题

P31－33 1，8，9，10，16，17

必交习题

一、 设)(x f 的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域：

(1))(x e f ；

(2))(ln x f ；

(3))(arcsin x f ；

(4))(cos x f 。

二、(1)设)1ln()(2x x x f +=，求)(x e

f -；

(2)设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ；

(3)设x

x f -=

11)(，求)]([x f f ，})(1{x f f 。)1,0(≠≠x x

三、设)(x f 是x 的二次函数，且1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f 。

四、设⎩⎨⎧>+≤-=0,

20,

2)(x x x x x f ，⎩⎨⎧>-≤=0,0,)(2x x x x x g ，求)]([x g f 。

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§3 数列的极限

必作习题

P42 3 (3) (4)，4，5，6

必交习题

一、 写出下列数列的前五项 (1)3sin 31n n x n =

；

(2)n n n n x n ++++++=

22212111 ；

(3)n

x n x n n n

)1(1211122-=+++=-， 。

二、已知n

x n

n )1(1-+=，用定义证明：0lim =∞→n n x

§4 函数的极限

必作习题

P50 1 (2) (4)，2(2)，3，4，7，9

必交习题 一、用极限的定义证明：41

22 lim 21=--→x x x 。

二、用极限的定义证明：656 lim =+∞→x

x x 。

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三、研究下列函数在0=x 处的左、右极限，并指出是否有极限： (1)x x x f ||)(=

；

(2)⎪⎩

⎪⎨⎧<+=>-=0,10,

00,1)(2x x x x x x f

四、用极限的定义证明：2)106( lim 22

=+-→x x x

§5 无穷大与无穷小 §6 极限运算法则

必作习题

P54-55 3，4，5； P63 1，2，3

必交习题

一、举例说明(当0→x 时)：(1)两个无穷小的商不一定是无穷小；(2)无界量不一定为无穷

大量。

二、求下列数列的极限： (1))121( lim 222n

n n n n -+++∞→ =

(2)n

n n n n 6565 lim 1

1++++∞→=

(3))3

)1(27191311( lim 11

--∞→-++-+-n n n =

9

三、求下列函数的极限： (1)1

1 lim 1--→x x x =

(2)h

x h x h 3

30)( lim -+→=

(3)))(( lim x a x x x -++∞

→=

(4))1311( lim 31x

x x ---→=

四、设21

2)1( lim 2334-=-++++∞→x x bx x a x ，求b a ,。

§7 极限存在准则 ，两个重要极限 §8 无穷小的比较

必作习题

P 71 1，2，4； P 74 1，2，3，4

必交习题

一、 求下列极限： (1) x

x x 3sin lim ∞→=

(2)a

x a x a x --→22sin sin lim =

(3)114sin lim 0-+→x x x =

(4)114 lim +∞→⎪⎭

⎫ ⎝⎛++x x x x =

(5)x

x x x 1011 lim ⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+→=

二、用极限存在准则求证下列极限：

(1)设1(0=>i a i ～),m },,m ax {1m a a M =；证明： M a a a n n

m n n n =+++∞→ 21lim

11

(2)设31>x ，),2,1(3)1(31 =++=+n x x x n

n n 。证明此数列收敛，并求出它的极限。

三、确定k 的值，使下列函数与k x ，当0→x 时是同阶无穷小： (1)

x x +-+111；

(2)53243x x -；

(3)x x sin 1tg 1--+。

四、已知11 lim 21=-++→x b a x x ，求b a 和. 。