高中数学立体几何——二面角求法

二面角求法

1 .定义法

即在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角.

·

例1 . 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求 二面角A-BD-C 1

解析：易知∠COC 1是二面角C-BD-C 1的平面角，且tan ∠COC 1

例2.在锥体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的菱形，且∠DAB=60︒，PA PD ==分别是BC,PC 的中点.

求：二面角P-AD-B 的余弦值.

&

解：由（1）知PGB ∠为二面角P AD B --的平面角，

在Rt PGA ∆中，2217

()24

PG =-=；在Rt BGA ∆中，

2

2

213

1()24

BG =-=；

在PGB ∆中，222cos 2PG BG PB PGB PG BG +-∠==⋅.

2 三垂线法

此法最基本的一个模型为：如图3，设锐二面角βα--l ，过面α 内一点P 作PA ⊥α于A ，作AB ⊥l 于B ，连接PB ，由三垂线定理得PB ⊥l ，则∠PBA 为二面角βα--l 的平面角，故称此法为三垂线法.

《

例3.如图4，平面α⊥平面β，α∩β=l ，A ∈α，B ∈β，点A 在直线l 上的射影为A 1，点B 在l 的射影为B 1，已知AB=2，AA 1=1，BB 1=2， 求：二面角A 1－AB －B 1的正弦值.

分析与略解：

作A 1E ⊥AB 1于AB 1于E ，则可证A 1E ⊥平面AB 1B.

@

—

A

图3

α

β

P

￥

B

l

B 1 A *

A 1

l

%

E

F

@P

C

Ｓ

| F

G

P A

Ｓ

B

Ｓ

;

C D

Ｓ

F E

,

过E 作EF ⊥AB 交AB 于F ，连接A 1F ，则得A 1F ⊥AB ， ∴∠A 1FE 就是所求二面角的平面角.依次可求得 AB 1=B 1B=2，A 1B=3，A 1E=

22，A 1F=2

3， 则在Rt △A 1EF 中，sin ∠A 1FE=A 1E A 1F =6

3 .

·

例4.如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD,点E 在线段PC 上,PC ⊥平面BDE.

若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A 的正切值.

】

解:由(1)得BD ⊥平面PAC, ∴BD ⊥AC.

又四边形ABCD 为矩形,∴四边形ABCD 是正方形.

设AC 交BD 于O 点,∵PC ⊥平面BDE,∴∠BEO 即为二面角B-PC-A 的平面角. ∵PA=1,AD=2,∴AC=2,BO=OC=,∴PC=

=3,

—

又OE===在直角三角形BEO 中,tan ∠BEO===3,∴二面角B-PC-A 的正切值为3.

例5. 如图, 四棱锥P-ABCD 中, 底面ABCD 为矩形, PA ⊥底面ABCD, PA=AB=, 点E 是棱

PB 的中点.

(1) 若AD=, 求二面角A-EC-D的平面角的余弦值.

—

(1) 过点D作DF⊥CE, 交CE于F, 过点F作FG⊥CE, 交AC于G, 则∠DFG为所求的二面角的平面角.

由(Ⅰ) 知BC⊥平面PAB, 又AD∥BC, 得AD⊥平面PAB, 故AD⊥AE, 从而DE==. 在Rt△CBE中, CE==. 由CD=, 所以△CDE为等边三角形, 故F为CE的中点, 且DF=CD·sin=.

因为AE⊥平面PBC, 故AE⊥CE, 又FG⊥CE, 知FG=AE, 从而FG=, 且G点为AC的中点. 连结DG, 则在Rt△ADG中, DG=AC

==.

，

所以cos∠DFG==.

、

3、向量法

向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。①分别求出α和β的法向量n m ,，则二面角βα--l 的大小为>

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例1. 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,点E在线段PC上,PC ⊥平面BDE.

若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A的正切值.

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由(1)可知BD⊥面PAC,

∴BD⊥AC,

∴矩形ABCD为正方形,

：

建立如图所示的坐标系A-xyz,则A(0,0,0),P(0,0,1),C(2,2,0),B(2,0,0).

∴=(0,0,1),=(2,2,0).

设平面PAC的法向量为n1=(x,y,z),

则令x=1,

∴y=-1,z=0. 即n1=(1,-1,0).

"

同理求得面PBC的一个法向量n2=(1,0,2).

∴cos=.

设二面角B-PC-A的大小为α,则cos α=,∴sin α=,∴tan α=3.

例2. (2014广东,18,13分)如图,四边形ABCD为正方形,PD

⊥平面ABCD,∠DPC=30,AF⊥PC于点F,FE∥CD,交PD于点

E.

(1)求二面角D-AF-E的余弦值.

解法一:设AB=1,则Rt△PDC中,CD=1,∵∠DPC=30°,

∴PC=2,PD=,由(1)知CF⊥DF,∴DF=,

∴CF=,又FE∥CD,

∴==,∴DE=,同理EF=CD=,

解法二：如图所示,以D为原点,建立空间直角坐标系,则A(0,0,1),