立体几何角度求解全攻略

立体几何中的角度问题攻略

新东方孟祥飞异面直线角：采用平移法，或者向量

线面角：（1）当射影线好找时采用定义法，（2）当射影线不好找时建议采用向量法，但是等体积法也是不错的选择

二面角：（1）当二面角的二面为双等腰图形或者全等对称或者二面交线垂线相对好平移的情况，采用定义法即可（2）当二面交线垂线不好平移（主要原因为计算量太大）建议直接采用向量法，但是三垂线法也是不错的选择，可以减少平移运算。（3）三垂线法也会出现射影线不好找的情况，此时可以采用等体积转化。

S 中，E，F为中点，求异面直线BE，SF所称角度

例题：1.正四面体ABC

S

E

A C

F

B

异面直线角的求法只需记住平移和向量即可，但是有些小题考查可能不好建系，所以需要大家对平移好好掌握，而平移其实就是构建辅助线，辅助线的构造基本和证明线面平行时的构造相同，即平行四边形构造和中位线构造，相对而言中位线可能够难想一点，中位线构造常常出现在三棱锥中。

S

E

P

A C

PF和SF所成平面角即

所求

F

B

S

E

这样的构建也是不错的选择

EQ 和EB 所成角为所求

A C

Q

F B

求三边套余弦定理即可，令正四面体边长为2，则EB=3，EQ=

23，QB=2

7 所以323

2

3

247

34

3cos =⨯⨯-

+=QEB 此题还可以采用五坐标向量法来求解，

2.三棱锥A BCD -，且,,,)(,>=<+===AC EF f DF

CF

BE AE λλλαβαλλ

>=

Q

B D

F

C

此题的方法也为平移转化，由于是三棱锥，所以采用中位线（等比例线）方式平移，如图，不难发现，其实题目设计成求和角单调性，由于内角和为定值π，其实就是求角EQF 的单调性，而角EQF 为棱AC 和BD 之间角，是为定值的

3.正方体1111D C B A ABCD -，E 是1BC 中点，求DE 与ABCD 所成角。

D 1 C 1 A 1 B 1 E

D C Q A B

线面角在求解时，我们觉得可能难度略大于异面直线，但是同学们注意其实把方法掌握，一样是很简单的，因为立体几何的特点是规律性非常强！我们看此题，线面角的定义是射影和斜线的成角，所以我们要先找DE 直线的射影，不难发现DE 的射影即为DQ ，所以所求线面角的平面角即为∠EDQ ，只需求解直角三角形EDQ 即可求出线面角的三角函数值。但是同学们请思考，你知道这个题为什么简单吗？请看下面

4.正方体1111D C B A ABCD -，求1BB 与平面C AB 1所成角。

D 1 C 1 A 1 B 1 Q D C A B

还是正方体，这个题就不好做，因为我们在想采用定义法的话，你会发现这次射影不好找了，是谁的问题呢？是平面的问题，刚才所求平面是底面，由于有侧棱垂直底面，所以引垂线找射影都是很自然的，但是当平面为斜切面时候，我们觉得就不是那么自然了，由点B 想向平面C AB 1引垂线找射影其实并不简单，当然聪明的同学会知道点B 的垂足点其实在三角形C AB 1的几何中心Q 上，没错，如图，但是此时的三角形1B QB 还是需要运算求解，不是很轻松，再想如果图形复杂，斜面不是等边图形求解将会更复杂，甚至垂足点都不好早，所以这个方法就不是最优解了，当然这时我们首先可以选择建议（详解略），我想为大家推荐另外一种解法，是这样的，BQ 线段其实既是垂线段，又是三棱锥C AB B 1-的

高，如果我们能求出这个高，然后比上B 1B ，即可求出射影和斜线的正弦，即线面角的正弦，而求高是不一定非要引垂线的，我们都知道可以等体积求高嘛，所以这个方法有时候叫做等体积法，如下：

13

1

3111BB S BQ S V ABC C AB C AB B ⨯=⨯=-，

将两个面积算出，以及侧棱带入， 即可算出BQ 大小，在算

1

BB BQ

即为线面角正弦。 5.正方体1111D C B A ABCD -，E ，F 分别是所在棱中点， （1）求证F C E A ,,,1四点共面 （2）求11B A 与ECF A 1所成角

F D 1 C 1

A 1

B 1 线面角 射影 d

D C

A E B

此题同学们即发现如果由B1点向平面FCE A 1引垂线找射影的话就会较为麻烦？不会麻烦，这个垂线是非常难引的，所以可以采用的是等体积法，但是要注意等体积法只适用于三棱锥可以换底！所以如果我们要求点1B 到平面FCE A 1的距离，必须要将平面FCE A 1分成三角形平面FE A 1，构建三棱锥FE A B 11-， 设点1B 到平面FCE A 1距离为d ，得三棱锥体积

侧棱长⨯=⨯=-1111131

31FB A FE A FE A B S d S V ，

即可求出d ，然后线面角正弦=1

1B A d

6.正方体1111D C B A ABCD -，点E ，F 为中点，求1BC 和平面BDEF 所成角度 E D 1 C 1 A 1 F B 1

D C A B

对于这道题而言，大家会发现再采用等体积换底求高再比出线面角正弦的方法，此题也不是很适用了，因为在我们设法求点1C 到平面BDF （将平面BDEF 拆分成三角形才可换底求高），但是三棱锥BDF C -1令任何一面为底面都不易求出体积，大家可以尝试一下。不过，我们其实还是可以求出点1C 到所求线面角中的

平面BDEF 的距离，直接取四棱锥体积h S V BDEF BDEF C ⨯=-3

1

1，而体积BDEF C V -1是

可以采用割补法求出的，即ADB EFA FD D C DBC C BDEF C V V V V V -------=11111正方体，但是明显发现这种方法过于繁琐，是不可取的，所以此时建议使用坐标法，具体如下： z E D 1 C 1 A 1 F B 1

D C y

x A B

设棱长为2，则点D （0,0,0），点B （2,2,0），点E （1,0,2），点F （2,1,2）， 点1C （0,2,2），得出)0,2,2(),2,0,1(),2,0,2(1==-=DB DE BC ， 设法向量),,(000z y x n =，

则，)1,2,2(2,0

2202{00000--=⇒==+=+n x y x z x 取