立体几何复习(三)-空间角的求法
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▲当点的射影位置不易确定时，可用等体积法 直接求垂线长.
正三A 棱 B柱 C A1B1C1,的底面a,边 侧长 棱 长为 2a,求直 A1 线 C 与平 A1面 A B1B所成.的
C1
A1
D
B1
C
A
B
四 面 S体 AB中 C,SA ,SB ,SC 两 两,垂 S直 BA40 5, SBC60 0.求(1)BC 与 平 S面 A所 B 成;的 角 (2)SC 与 平 A面 B所 C 成 的 角;的 正 弦 值
(3)利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点 在底面上的射影的位置： a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那 么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心
b.如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面 所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是 底面三角形的内心(或旁心)；
c.如果侧棱两两垂直或二组对棱互相垂直（必 可推出第三组也垂直），那么顶点落在底面上 的射影是底面三角形的垂心.
D
解由:正连方结体A的C,性交质BD可于知O,,连BD结⊥OOAA1 ,BD⊥AAA1
O
C1 B1
C B
OA和AA1是平面AOA1内两条相交直线 ∴BD⊥平面AOA1 ∴BD⊥OA1 ∴∠AOA1是二面角A-BD-A1的平面角.
设正方1 ,体 作(找的 )---证棱 (指出长 )---算-为 --结论
在 R A t1A中 O ,A1 A 1 ,A O 2 2,ta A n 1 O A A A 1 A O2
（2）求直线CE与平面BCD所成的角的正弦值.
2
A
3
思维点拨：准
确作出线线、
E
线面角是关键，
熟记正四面体 中的一些量对
B
G
D
H
解题有帮助.
F
C
作(找)---证---指出---算---结论
关键
在三角形中计算
(三)二面角：范围是[0，π].
①棱上一点定义法：常取等腰三角形底边(棱)中点.
②面上一点垂线法：自二面角的一个面上一点向另一 面引垂线，再由垂足向棱作垂线
15
10
（ 2 ） PA 、 PB 、 PC 是 从 P 点 出
发的三条射线，每两条射线
的夹角均为 60 0 ，那么直线
PC与平面PAB所成角的余弦值 P
是（ C）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 6
2
2
3
3
C
A O
B 0
例2：在正四面体ABCD中，E、F分别为AD、BC
的中点.
3
（1）求CD与AF所成的角的余弦值； 6
在 AO 中 ,C O AO C1,AC 2
AO9 C0 0
(
算
)
A
二面 A角 BD C的大9小 0 0. 为
（结论）B
O
D
作(找)---证(指出)---算---结论
C
练:正方体ABCD—A1B1C1D1中,
D1
求:
A1
(1) 二面角A-BD-A1的正切值;
(2) 二面角A1-AD-B的大小.
S
a a 3a
A
2a
2aD
C
2a
B
例 1 ： （ 1 ） 直 三 棱 柱 ABC—
A1B1C1,∠BCA= 90 0， 点 D1 、 F1
分 别 是 A1B1 、 A1C1 的 中 点 ， BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角
的余弦值是（ A ）
A. 30 B.1
C. 30 D. 15
10
2
C1
A1
B1
D
C
A
B
空间角(线线角,线面角,二面角)
作(找)---证(指出)---算---结论
在正方体AC1中，求(1)直线A1B和B1C所成的角;
(2)直线D1B和B1C所成的角 D1
C1
A1
B1
O
E
D
C
F
A
B
空间角(线线角,线面角,二面角)
作(找)---证(指出)---算---结论
在正方体AC1中，求(1)直线A1B和B1C所成的角;
确定射影的方法(找斜足和垂足):
(1)如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离 相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平 分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相 等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的 平分线上.
(2)两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个 平面上的射影一定落在这两个平面的交线上.
M是 EN 直 P,A B 线 所 C 成 (或 的 其 )角 补
在 ME中 N ,EM EN 1,
MN 3, si nMEN 3
MEN600 2 2
2
A
M
C N
MEN 1200
E
直线 PA,BC所成的6角00 为 B
作(找)---证---指出---算---结论
关键
在三角形中计算
(二)直线与平面所成的角：范围是[0，π/2].
③空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面， 截二面角得两条射线，这两条射线所成的角.
▲当二面角的平面角不易作出时，可用面积法 直接求平面角的余弦值.
斜面面积和射影面积的关系公式： SSc os
( S为原斜面面积,S 为射影面积, 为斜面与射影所
成二面角的平面角)这个公式对于斜面为三角形,任意多 边形都成立.
立体几何复习
作(找)---证---指出---算---结论
在三角形 中计算
作(找)---证---指出---算---结论
关键
在三角形中计算
（一）异面直线所成的角：范围是（0，π/2].
平移直线成相交直线:
(1)利用中位线,平行四边形;
(2)利用线段成比例;
(3)补形法.
作(找)---证---指出---算---结论
关键
在三角形中计算
例1.正四面体S-ABC中,如
s
果E、F分别是SC、AB的
中点,那么异面直线EF和 E
SA所成的角=_______.
C
B
G
F
A
空间角(线线角,线面角,二面角)
作(找)---证(指出)---算---结论
在正方体AC1中，求(1)直线A1B和B1C所成的角;
(2)直线D1B和B1C所成的角 D1
A
B
O
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D
α
C
例1.如图，四面体ABCD的棱BD长为2，其余
各棱的长均是 2 , 求二面角A-BD-C的大小。
解 :取 B的 D 中 O ,连 点 A结 ,B O.（O 作）
A A A B O O A 是 B,C ,D B D C 二 C O A C B 面 B D D D 角 C 的 (平 证 （).指面 出）角
(2)直线D1B和B1C所成的角 D1
C1
A1
E
B1
D
C
A
B
空间四边形P-ABC中，M，N分别是PB，
AC的中点，PA=BC=2，MN= 3 ，求PA与
BC所成的角？
解 :取 A中 BE ,点 连E 结 ,M E,N M,N分别 P是 B ,A的 C 中 . 点
P
EM //P,A E/N /BC
正三A 棱 B柱 C A1B1C1,的底面a,边 侧长 棱 长为 2a,求直 A1 线 C 与平 A1面 A B1B所成.的
C1
A1
D
B1
C
A
B
四 面 S体 AB中 C,SA ,SB ,SC 两 两,垂 S直 BA40 5, SBC60 0.求(1)BC 与 平 S面 A所 B 成;的 角 (2)SC 与 平 A面 B所 C 成 的 角;的 正 弦 值
(3)利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点 在底面上的射影的位置： a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那 么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心
b.如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面 所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是 底面三角形的内心(或旁心)；
c.如果侧棱两两垂直或二组对棱互相垂直（必 可推出第三组也垂直），那么顶点落在底面上 的射影是底面三角形的垂心.
D
解由:正连方结体A的C,性交质BD可于知O,,连BD结⊥OOAA1 ,BD⊥AAA1
O
C1 B1
C B
OA和AA1是平面AOA1内两条相交直线 ∴BD⊥平面AOA1 ∴BD⊥OA1 ∴∠AOA1是二面角A-BD-A1的平面角.
设正方1 ,体 作(找的 )---证棱 (指出长 )---算-为 --结论
在 R A t1A中 O ,A1 A 1 ,A O 2 2,ta A n 1 O A A A 1 A O2
（2）求直线CE与平面BCD所成的角的正弦值.
2
A
3
思维点拨：准
确作出线线、
E
线面角是关键，
熟记正四面体 中的一些量对
B
G
D
H
解题有帮助.
F
C
作(找)---证---指出---算---结论
关键
在三角形中计算
(三)二面角：范围是[0，π].
①棱上一点定义法：常取等腰三角形底边(棱)中点.
②面上一点垂线法：自二面角的一个面上一点向另一 面引垂线，再由垂足向棱作垂线
15
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（ 2 ） PA 、 PB 、 PC 是 从 P 点 出
发的三条射线，每两条射线
的夹角均为 60 0 ，那么直线
PC与平面PAB所成角的余弦值 P
是（ C）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 6
2
2
3
3
C
A O
B 0
例2：在正四面体ABCD中，E、F分别为AD、BC
的中点.
3
（1）求CD与AF所成的角的余弦值； 6
在 AO 中 ,C O AO C1,AC 2
AO9 C0 0
(
算
)
A
二面 A角 BD C的大9小 0 0. 为
（结论）B
O
D
作(找)---证(指出)---算---结论
C
练:正方体ABCD—A1B1C1D1中,
D1
求:
A1
(1) 二面角A-BD-A1的正切值;
(2) 二面角A1-AD-B的大小.
S
a a 3a
A
2a
2aD
C
2a
B
例 1 ： （ 1 ） 直 三 棱 柱 ABC—
A1B1C1,∠BCA= 90 0， 点 D1 、 F1
分 别 是 A1B1 、 A1C1 的 中 点 ， BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角
的余弦值是（ A ）
A. 30 B.1
C. 30 D. 15
10
2
C1
A1
B1
D
C
A
B
空间角(线线角,线面角,二面角)
作(找)---证(指出)---算---结论
在正方体AC1中，求(1)直线A1B和B1C所成的角;
(2)直线D1B和B1C所成的角 D1
C1
A1
B1
O
E
D
C
F
A
B
空间角(线线角,线面角,二面角)
作(找)---证(指出)---算---结论
在正方体AC1中，求(1)直线A1B和B1C所成的角;
确定射影的方法(找斜足和垂足):
(1)如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离 相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平 分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相 等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的 平分线上.
(2)两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个 平面上的射影一定落在这两个平面的交线上.
M是 EN 直 P,A B 线 所 C 成 (或 的 其 )角 补
在 ME中 N ,EM EN 1,
MN 3, si nMEN 3
MEN600 2 2
2
A
M
C N
MEN 1200
E
直线 PA,BC所成的6角00 为 B
作(找)---证---指出---算---结论
关键
在三角形中计算
(二)直线与平面所成的角：范围是[0，π/2].
③空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面， 截二面角得两条射线，这两条射线所成的角.
▲当二面角的平面角不易作出时，可用面积法 直接求平面角的余弦值.
斜面面积和射影面积的关系公式： SSc os
( S为原斜面面积,S 为射影面积, 为斜面与射影所
成二面角的平面角)这个公式对于斜面为三角形,任意多 边形都成立.
立体几何复习
作(找)---证---指出---算---结论
在三角形 中计算
作(找)---证---指出---算---结论
关键
在三角形中计算
（一）异面直线所成的角：范围是（0，π/2].
平移直线成相交直线:
(1)利用中位线,平行四边形;
(2)利用线段成比例;
(3)补形法.
作(找)---证---指出---算---结论
关键
在三角形中计算
例1.正四面体S-ABC中,如
s
果E、F分别是SC、AB的
中点,那么异面直线EF和 E
SA所成的角=_______.
C
B
G
F
A
空间角(线线角,线面角,二面角)
作(找)---证(指出)---算---结论
在正方体AC1中，求(1)直线A1B和B1C所成的角;
(2)直线D1B和B1C所成的角 D1
A
B
O
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D
α
C
例1.如图，四面体ABCD的棱BD长为2，其余
各棱的长均是 2 , 求二面角A-BD-C的大小。
解 :取 B的 D 中 O ,连 点 A结 ,B O.（O 作）
A A A B O O A 是 B,C ,D B D C 二 C O A C B 面 B D D D 角 C 的 (平 证 （).指面 出）角
(2)直线D1B和B1C所成的角 D1
C1
A1
E
B1
D
C
A
B
空间四边形P-ABC中，M，N分别是PB，
AC的中点，PA=BC=2，MN= 3 ，求PA与
BC所成的角？
解 :取 A中 BE ,点 连E 结 ,M E,N M,N分别 P是 B ,A的 C 中 . 点
P
EM //P,A E/N /BC