立体几何中角度与距离求法

立体几何中角度距离的求法一 空间向量及其运算 1 .空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a·b ＝___________. (2)共线与垂直的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ⇔______________ a ⊥b ⇔__________⇔________________________(a ，b 均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a·a ＝__________________， cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b|＝__________.设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)， 则d AB ＝|AB →|＝___________. 2.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念①两向量的夹角，已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作____________，其范围是____________，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b __________，记作a ⊥b .②两向量的数量积，已知空间两个非零向量a ，b ，则____________叫做向量a ，b 的数量积，记作__________，即__________________.(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa )·b ＝____________； ②交换律：a·b ＝__________； ③分配律：a·(b ＋c )＝__________.2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是________________________.推论，如图所示，点P 在l 上的充要条件是：OP →＝OA →＋t a ① 其中a 叫直线l 的方向向量，t ∈R ，在l 上取AB →＝a ， 则①可化为OP →＝________或OP →＝(1－t )OA →＋tOB →.(2)共面向量定理的向量表达式：p ＝____________，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点O ，有OP →＝____________或OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →，其中x ＋y ＋z ＝______.(3)空间向量基本定理，如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝____________，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底.二 用向量的方法求角度 (一)知识清单1.直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量.(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n·a ＝0n·b ＝0.2.空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l 1，l 2的方向向量分别为m 1，m 2，则l 1与l 2所成的角θ满足cos θ＝____________. (2)设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ，n ，则直线l 与平面α所成角θ满足sin θ＝__________. (3)求二面角的大小1°如图①，AB 、CD 是二面角α—l —β的两个面 内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小 θ＝____________.2°如图②③，n 1，n 2分别是二面角α—l —β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝________________________________________. (二) 题型题型一 求异面直线所成的角例1如图所示，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝4，AD ＝3 AA 1＝2.E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB ＝BF ＝1. 求直线EC 1与FD 1所成的角的余弦值.解方法一以A 为原点，AB →、AD →、AA 1→分别为x 轴、y 轴、z 轴的 正向建立空间直角坐标系，则有D 1(0,3,2)，E (3,0,0)，F (4,1,0)， C 1(4,3,2)，于是EC 1→＝(1,3,2)，FD 1→＝(－4,2,2)，设EC 1与FD 1所成的角为β，则：cos β＝|EC 1→·FD 1→||EC 1→|·|FD 1→|＝1×(－4)＋3×2＋2×212＋32＋22×(－4)2＋22＋22＝2114， ∴直线EC 1与FD 1所成的角的余弦值为2114. 方法二延长BA 至点E 1，使AE 1＝1，连接E 1F 、DE 1、D 1E 1、DF ， 有D 1C 1∥E 1E ，D 1C 1＝E 1E ，则四边形D 1E 1EC 1是平行四边形. 则E 1D 1∥EC 1.于是∠E 1D 1F (或补角)为直线EC 1与FD 1所成 的角.在Rt △BE 1F 中， E 1F ＝E 1B 2＋BF 2＝52＋12＝26.在Rt △D 1DE 1中，D 1E 1＝DE 21＋DD 21＝AE 21＋AD 2＋DD 21＝12＋32＋22＝14. 在Rt △D 1DF 中，FD 1＝FD 2＋DD 21＝CF 2＋CD 2＋DD 21＝22＋42＋22＝24. 在△E 1FD 1中，由余弦定理得：cos ∠E 1D 1F ＝D 1E 21＋FD 21－E 1F22×D 1E 1×FD 1＝2114.∴直线EC 1与FD 1所成的角的余弦值为2114. 练习1 如图，在四棱锥O —ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形， ∠ABC ＝π4.OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点.(1)证明：直线MN ∥平面OCD ； (2)求异面直线AB 与MD 所成角的大小.(1)证明作AP ⊥CD 于点P .如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x ， y ，z 轴建立直角坐标系.A (0,0,0)，B (1,0,0)，P ⎝⎛⎭⎫0，22，0，D ⎝⎛⎭⎫－22，22，0， O (0,0,2)，M (0,0,1)，N ⎝⎛⎭⎫1－24，24，0. MN →＝⎝⎛⎭⎫1－24，24，－1，OP →＝⎝⎛⎭⎫0，22，－2，OD →＝⎝⎛⎭⎫－22，22，－2.设平面OCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·OP →＝0，n ·OD →＝0.即⎩⎨⎧22y －2z ＝0，－22x ＋22y －2z ＝0.取z ＝2，解得n ＝(0,4，2).∵MN →·n ＝⎝⎛⎭⎫1－24，24，－1·(0,4，2)＝0，∴MN ∥平面OCD .(2)解设AB 与MD 所成角为θ， ∵AB →＝(1,0,0)，MD →＝⎝⎛⎭⎫－22，22，－1，∴cos θ＝|AB →·MD →||AB →|·|MD →|＝12，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴θ＝π3.∴直线AB 与MD 所成的角为π3. 题型二 求直线与平面所成的角例2如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形， ∠ACB ＝90°，侧棱AA 1＝2，D 、E 分别是CC 1、A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G . 求A 1B 与平面ABD 所成角的正弦值.解建立空间直角坐标系，坐标原点为C ，设CA ＝2a ，则A (2a,0,0)，B (0,2a,0) D (0,0,1)，A 1(2a,0,2)，E (a ，a,1)，G ⎝⎛⎭⎫2a 3，2a 3，13，EG →＝⎝⎛⎭⎫－a 3，－a 3，－23， BD →＝(0，－2a,1)，·BD →＝23a 2－23＝0，∴a ＝1，EG →＝⎝⎛⎭⎫－13，－13，－23，A 1B →＝(－2,2，－2).∵EG →为平面ABD 的一个法向量，且cos 〈A 1B →，EG →〉＝A 1B →·EG →|A 1B →||EG →|＝23，∴A 1B 与平面ABD 所成角的正弦值是23.练习2如图所示，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝7， 点D 是BC 的中点，点E 在AC 上，且DE ⊥A 1E . (1)证明：平面A 1DE ⊥平面ACC 1A 1； (2)求直线AD 和平面A 1DE 所成角的正弦值.(1)证明由正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的性质知，AA 1⊥平面ABC .又DE ⊂平面ABC ，所以DE ⊥AA 1.又DE ⊥A 1E ，AA 1∩A 1E ＝A 1， 所以DE ⊥平面ACC 1A 1 .又DE ⊂平面A 1DE ， 故平面A 1DE ⊥平面ACC 1A 1.(2)解 如图所示，设O 是AC 的中点，以O 为原点建立空间直角坐标 系，则相关各点的坐标分别是A (2,0,0)，A 1(2,0，7)， D (－1，3，0)，E (－1,0,0).易知A 1D →＝(－3，3，－7)，DE →＝(0，－3，0)，AD →＝(－3，3，0).设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1DE 的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →＝－3y ＝0，n ·A 1D →＝－3x ＋3y －7z ＝0.解得x ＝－73z ，y ＝0. 故可取n ＝(7，0，－3).于是cos 〈n ，AD →〉＝n ·AD →|n |·|AD →|＝－374×23＝－218.故直线AD 和平面A 1DE 所成角的正弦值为218. 题型三 求二面角例3如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)求二面角Q —BP —C 的余弦值.(1)证明如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，以AD 、DP 、DC 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Dxyz . 依题意有Q (1,1,0)，C (0,0,1)，P (0,2,0)，则DQ →＝(1,1,0)，DC →＝(0,0,1)， PQ →＝(1，－1,0). 所以PQ →·DQ →＝0，PQ →·DC →＝0，即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC .又DQ ∩DC ＝D ，所以PQ ⊥平面DCQ . 又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ . (2)解依题意有B (1,0,1)，CB →＝(1,0,0)，BP →＝(－1,2，－1).设n ＝(x ，y ，z )是平面PBC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB →＝0，n ·BP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－x ＋2y －z ＝0. 因此可取n ＝(0，－1，－2).同理，设m 是平面PBQ 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BP →＝0，m ·PQ →＝0，可取m ＝(1,1,1).所以cos 〈m ，n 〉＝－155.故二面角Q —BP —C 的余弦值为－155. 练习3如图，在底面为直角梯形的四棱锥P —ABCD 中，AD ∥BC ， ∠ABC ＝90°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝3，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6. (1)求证：BD ⊥平面P AC ； (2)求二面角P —BD —A 的大小.(1)证明 如图，建立坐标系，则A (0,0,0)，B (23，0,0)，C (23，6,0)， D (0,2,0)，P (0,0,3)，∴AP →＝(0,0,3)，AC →＝(23，6,0)，BD →＝(－23，2,0). ∴BD →·AP →＝0，BD →·AC →＝0. ∴BD ⊥AP ，BD ⊥AC . 又∵P A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥面P AC .(2)解设平面ABD 的法向量为m ＝(0,0,1)，设平面PBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则n ·BD →＝0，n ·BP →＝0.∵BP →＝(－23，0,3)，∴⎩⎨⎧－23x ＋2y ＝0，－23x ＋3z ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，z ＝233x .令x ＝3，则n ＝(3，3,2)， ∴cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n |＝12. ∴二面角P —BD —A 的大小为60°. 二距离的求法 1.点面距的求法①垂面法：借助面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键 ②等体积法，转化为求三棱锥的高 ③等价转移法；④法向量法.如图，设AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量， 则B 到平面α的距离n BA d n⋅=2题型题型一 用向量法求空间距离例1在三棱锥S —ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA ＝SC ＝23，M 、N 分别为AB 、SB 的中点，如图所示. 求点B 到平面CMN 的距离.说明:点到平面的距离，利用向量法求解比较简单，它的理论基础仍出于几何法.如本题，事实上，作BH ⊥平面CMN 于H .由BH →＝BM →＋MH →及BH →·n ＝n ·BM →， ∴|BH →·n |＝|n ·BM →|＝|BH →|·|n |， ∴|BH →|＝|n ·BM →||n |，即d ＝|n ·BM →||n |.解 取AC 的中点O ，连接OS 、OB .∵SA ＝SC ，AB ＝BC ，∴AC ⊥SO ，AC ⊥BO . ∵平面SAC ⊥平面ABC ，平面SAC ∩平面ABC ＝AC ，∴SO ⊥平面ABC ， 又∵BO ⊂平面ABC ，∴SO ⊥BO .如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz ，则B (0,23，0)，C (－2,0,0)，S (0,0,22)， M (1，3，0)，N (0，3，2). ∴CM →＝(3，3，0)，MN →＝(－1,0，2)， MB →＝(－1，3，0). 设n ＝(x ，y ，z )为平面CMN 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧CM →·n ＝3x ＋3y ＝0MN →·n ＝－x ＋2z ＝0，取z ＝1，则x ＝2，y ＝－6，∴n ＝(2，－6，1).∴点B 到平面CMN 的距离 d ＝|n ·MB →||n |＝423.练习1 如图，△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形，平面 MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，AB ＝23 .求点A 到平面MBC 的距离.解 取CD 中点O ，连接OB ，OM ，则OB ⊥CD ，OM ⊥CD . 又平面MCD ⊥平面BCD ， 则MO ⊥平面BCD .取O 为原点，直线OC 、BO 、OM 为x 轴、y 轴、z 轴， 建立空间直角坐标系如图.OB ＝OM ＝3，则各点坐标分别为C (1,0,0)， M (0,0，3)，B (0，－3，0)，A (0，－3，23).设n ＝(x ，y ，z )是平面MBC 的法向量，则BC →＝(1，3，0)，BM →＝(0，3，3)， 由n ⊥BC →得x ＋3y ＝0；由n ⊥BM →得3y ＋3z ＝0.取n ＝(3，－1,1)，BA →＝(0,0,23)， 则点A 到平面MBC 的距离 d ＝|BA →·n ||n |＝235＝2155.题型二 用等体积法求距离例2 已知直二面角E AB D --中，四边形 ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB,F 为CE 上的点，且ACE BF 平面⊥(1) 求证BCE AE 平面⊥, (2) 求二面角E AC B --的大小， (3) 求点D 到平面ACE 的距离练习2、如图，已知正三棱柱ABC —111C B A 的底面边长是2，D 是侧棱1CC 的中点，直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45． （Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长； （Ⅱ）求二面角C BD A --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面ABD 的距离．解：（Ⅰ）设正三棱柱ABC —111C B A 的侧棱长为x ．取BC 中点E ，连AE ．ABC ∆ 是正三角形，AE BC ∴⊥．又底面ABC ⊥侧面11BB C C ，且交线为BC ．AE ∴⊥侧面11BB C C ．连ED ，则直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45ADE ∠=． 在AED Rt ∆中，tan 45AEED==，解得x =此正三棱柱的侧棱长为 注：也可用向量法求侧棱长．（Ⅱ）解法1：过E 作EF BD ⊥于F ，连AF ，⊥AE 侧面,11C C BB ∴AF BD ⊥．AFE ∴∠为二面角C BD A --的平面角 在BEF Rt ∆中，sin EF BE EBF =∠，又 1,sin 3CD BE EBF BD =∠===， ∴EF =． 又AE =∴在AEF Rt ∆中，tan 3AEAFE EF∠==，故二面角C BD A --的大小为arctan3． ABCD1A 1B 1C EF G HI解法2：（向量法，）（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）可知，⊥BD 平面AEF ,∴平面AEF ⊥平面ABD ，且交线为AF ，∴过E 作EG AF ⊥于G ，则EG ⊥平面ABD在AEF Rt ∆中，22333033(3)()3AE EFEG AF⨯===+E 为BC 中点，∴点C 到平面ABD 的距离为230210EG =． 解法2：取AB 中点H ，连CH 和DH ，由,CA CB =DA DB =，易得平面ABD ⊥平面CHD ，且交线为DH ．过点C 作CI DH ⊥于I ，则CI 的长为点C 到平面ABD 的距离．解法3：等体积变换:由C ABD A BCD V V --=可求． 解法4：（向量法，见后）题（Ⅱ）、（Ⅲ）的向量解法： （Ⅱ）解法2：如图，建立空间直角坐标系xyz o -． 则3),(0,1,0),(0,1,0),(2,1,0)A B C D -． 设1(,,)n x y z =为平面ABD 的法向量．由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0,021AD n AB n 得3230y z x y z ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩． 取1(6,3,1).n =--又平面BCD 的一个法向量2(0,0,1).n =∴10101)3()6(1)1,0,0()1,3,6(,cos 222212121=+-+-⨯⋅--=⋅>=<n n n n n n ．结合图形可知，二面角C BD A --的大小为10arccos10． （Ⅲ）解法4：由（Ⅱ）解法2，1(6,3,1),n =--(0,3).CA =-∴点C 到平面ABD 的距离11n n CA d ⋅=2221)3()6()1,3,6()3,1,0(+-+---⋅-=＝10302． 练习题1.如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体ABCD 1A 1B 1xyzoABCO —A ′B ′C ′D ′，A ′C 的中点E 与AB 的中点F 的 距离为_____22a ___. 2 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝5，AB ＝12，那么直线B 1C 1和平面A 1BCD 1的 距离是___6013_____.3.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别为BB 1、CD 的中点，则点F 到平面A 1D 1E 的距离为__3510______.4.在四面体P ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，设P A ＝PB ＝PC ＝a ，则点P 到平面ABC 的距离为___33a _____. 5.设A (2,3,1)，B (4,1,2)，C (6,3,7)，D (－5，－4,8)，则D 到平面ABC 的距离为___491717_____.6在空间直角坐标系O —xyz 中，平面OAB 的一个法向量为n ＝(2，－2,1)，已知点P (－1,3,2)，则点P 到平面OAB 的距离d 等于( B ) A. 4 B. 2 C .3 D .17已知在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，沿对角线AC 折叠，使面ABC 与面ADC 垂直，求B 、D 间的距离．解方法一如图，过D 、B 分别作DE ⊥AC 于点E ，BF ⊥AC 于点F ，则由已知条件得AC ＝5，∴DE ＝AD ·DC AC ＝125，BF ＝AB ·BC AC ＝125. ∴AE ＝AD 2AC ＝95＝CF . ∴EF ＝AC －2AE ＝75.∵DB →＝DE →＋EF →＋FB →， ∴|DB →|2＝|DE →＋EF →＋FB →|2 ＝DE →2＋EF →2＋FB →2＋2DE →·EF →＋2DE →·FB →＋2EF →·FB →. ∵面ADC ⊥面ABC ，而DE ⊥AC ，∴DE ⊥面ABC ，∴DE ⊥BF .(8分) ∴|DB →|2＝DE →2＋EF →2＋FB →2＝14425＋4925＋14425＝33725.∴|DB →|＝3375，故B 、D 间的距离为3375方法二过E 作FB 的平行线交AB 于P 点，以E 为坐标原点，以EP 、EC 、ED 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图．则由方法一知DE ＝FB ＝125，EF ＝75.(4分)∴D ⎝⎛⎭⎫0，0，125，B ⎝⎛⎭⎫125，75，0. ∴|DB →|＝⎝⎛⎭⎫1252＋⎝⎛⎭⎫752＋⎝⎛⎭⎫－1252＝3375.。