立体几何中角度与距离求法

立体几何中角度距离的求法

一 空间向量及其运算 1 .空间向量的坐标表示及应用

(1)数量积的坐标运算 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a·b ＝___________. (2)共线与垂直的坐标表示

设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ⇔______________ a ⊥b ⇔__________⇔________________________(a ，b 均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a·a ＝__________________， cos 〈a ，b 〉＝a·b

|a||b|＝__________.

设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)， 则d AB ＝|AB →

|＝___________. 2.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念

①两向量的夹角，已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →

＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作____________，其范围是____________，若〈a ，b 〉＝π2，则

称a 与b __________，记作a ⊥b .

②两向量的数量积，已知空间两个非零向量a ，b ，则____________叫做向量a ，b 的数量积，记作__________，即__________________.

(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa )·b ＝____________； ②交换律：a·b ＝__________； ③分配律：a·(b ＋c )＝__________.

2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理

(1)共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是________________________.

推论，如图所示，点P 在l 上的充要条件是：OP →＝OA →

＋t a ① 其中a 叫直线l 的方向向量，t ∈R ，在l 上取AB →

＝a ， 则①可化为OP →＝________或OP →＝(1－t )OA →＋tOB →

.

(2)共面向量定理的向量表达式：p ＝____________，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点O ，有OP →＝____________或OP →＝xOM →

＋yOA →＋zOB →

，其中x ＋y ＋z ＝______.

(3)空间向量基本定理，如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝____________，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底.

二 用向量的方法求角度 (一)知识清单

1.直线的方向向量与平面的法向量的确定

(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量.

(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向

量，则求法向量的方程组为⎩

⎪⎨⎪⎧

n·a ＝0

n·b ＝0.

2.空间向量与空间角的关系

(1)设异面直线l 1，l 2的方向向量分别为m 1，m 2，则l 1与l 2所成的角θ满足cos θ＝____________. (2)设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ，n ，则直线l 与平面α所成角θ满足sin θ＝__________. (3)求二面角的大小

1°如图①，AB 、CD 是二面角α—l —β的两个面 内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小 θ＝____________.

2°如图②③，n 1，n 2分别是二面角α—l —β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝________________________________________. (二) 题型

题型一 求异面直线所成的角

例1如图所示，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝4，AD ＝3 AA 1＝2.E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB ＝BF ＝1. 求直线EC 1与FD 1所成的角的余弦值.

解方法一以A 为原点，AB →、AD →、AA 1→

分别为x 轴、y 轴、z 轴的 正向建立空间直角坐标系，则有D 1(0,3,2)，E (3,0,0)，F (4,1,0)， C 1(4,3,2)，于是EC 1→＝(1,3,2)，FD 1→

＝(－4,2,2)，设EC 1与FD 1所

成的角为β，则：cos β＝|EC 1→·FD 1→

||EC 1→|·|FD 1→|＝1×(－4)＋3×2＋2×212＋32＋22×(－4)2＋22＋22＝21

14， ∴直线EC 1与FD 1所成的角的余弦值为

21

14

. 方法二延长BA 至点E 1，使AE 1＝1，连接E 1F 、DE 1、D 1E 1、DF ， 有D 1C 1∥E 1E ，D 1C 1＝E 1E ，则四边形D 1E 1EC 1是平行四边形. 则E 1D 1∥EC 1.于是∠E 1D 1F (或补角)为直线EC 1与FD 1所成 的角.在Rt △BE 1F 中， E 1F ＝E 1B 2＋BF 2＝52＋12＝26.

在Rt △D 1DE 1中，D 1E 1＝DE 21＋DD 21＝AE 21＋AD 2＋DD 21＝12＋32＋22

＝14. 在Rt △D 1DF 中，FD 1＝FD 2＋DD 21＝CF 2＋CD 2＋DD 21＝22＋42＋22＝24. 在△E 1FD 1中，由余弦定理得：cos ∠E 1D 1F ＝D 1E 21＋FD 21－E 1F

2

2×D 1E 1×FD 1

＝2114.

∴直线EC 1与FD 1所成的角的余弦值为

21

14

. 练习1 如图，在四棱锥O —ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形， ∠ABC ＝π

4.OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点.

(1)证明：直线MN ∥平面OCD ； (2)求异面直线AB 与MD 所成角的大小.

(1)证明作AP ⊥CD 于点P .如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x ， y ，z 轴建立直角坐标系.A (0,0,0)，B (1,0,0)，P ⎝

⎛⎭⎫0，

22，0，D ⎝⎛⎭

⎫－22，22，0， O (0,0,2)，M (0,0,1)，N ⎝

⎛⎭⎫1－

24，24，0. MN →＝⎝⎛⎭⎫1－24，24，－1，OP →＝⎝⎛⎭

⎫0，22，－2，

OD →

＝⎝⎛⎭⎫－22，22，－2.设平面OCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，

则n ·OP →＝0，n ·OD →

＝0.即⎩⎨

⎧

2

2y －2z ＝0，－22x ＋22y －2z ＝0.

取z ＝2，解得n ＝(0,4，2).∵MN →

·n ＝⎝⎛⎭⎫1－24，24，－1·(0,4，2)＝0，∴MN ∥平面OCD .

(2)解设AB 与MD 所成角为θ， ∵AB →＝(1,0,0)，MD →

＝⎝⎛⎭⎫－22，22，－1，

∴cos θ＝|AB →·MD →

||AB →|·|MD →|＝12

，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴θ＝π3.∴直线AB 与MD 所成的角为π3. 题型二 求直线与平面所成的角

例2如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形， ∠ACB ＝90°，侧棱AA 1＝2，D 、E 分别是CC 1、A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G . 求A 1B 与平面ABD 所成角的正弦值.

解建立空间直角坐标系，坐标原点为C ，设CA ＝2a ，则A (2a,0,0)，B (0,2a,0) D (0,0,1)，A 1(2a,0,2)，E (a ，a,1)，G ⎝⎛⎭⎫2a 3，2a 3，13，EG →＝⎝⎛⎭⎫－a 3，－a 3，－23， BD →＝(0，－2a,1)，·BD →＝23a 2－23

＝0，∴a ＝1，EG →

＝⎝⎛⎭⎫－13，－13，－23，