从李白沽酒问题谈起

8. 从李白沽酒问题谈起
“李白提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗；三遇店和花，喝光壶中酒. 试问壶中原有多少酒？”这是有名的“李白沽酒”问题.
一、李白沽酒问题的解法
解法1：倒推法.
解：三遇花时，喝光壶中酒，但“见花喝一斗”，故在三遇花前有酒一斗；由“遇店加 一倍”知，在三遇店之前有酒11122
⨯=斗. 那么在二遇花前有酒13122+=斗；二遇店之前有酒313224
⨯=斗. 在一遇花前有酒37144+=斗；一遇店之前有酒717428
⨯=斗. 故壶中原有78
斗酒. 解法2：方程法.
解：设壶中原有x 斗酒，那么：一遇店后有2x 斗酒，一遇花后有2x -1斗酒；二遇店后有2（2x -1）斗酒，二遇花后有2（2x -1）-1斗酒；三遇店后有2[2（2x -1）-1]斗酒，三遇花后有2[2（2x -1）-1]-1斗酒.
因“三遇店和花，喝光壶中酒”，故：2[2（2x -1）-1]-1 = 0，解得
232217,28
x x ++==. 即知壶中原有78
斗酒. 二、白沽酒问题的变更及其解法
把李白沽酒问题中的“三遇店和花，喝光壶中酒”变更为“十遇店和花，喝光壶中酒”， 那么此时的问题又如何解呢？
显然利用“倒推法”太费时，不合算；利用方程法所列的方程也不简单. 这里给出另外一种比较简单的解法.
解：设每次在遇店之前有x 斗酒，在遇花之后有y 斗酒，那么y 是x 的函数，由题意有：()21y f x x ==-.
若最初壶中原有x 斗酒，那么十遇店和花之后就有[10]10()()fff ff x f
x ⋅⋅⋅=个斗酒.
[10]()f x 就表示()f x 的10次迭代函数. 怎样快速求出[10]()f x 呢？
我们将()21f x x =-改写为()2(1)1f x x =-+，那么[()]2[()1]1f f x f x =-+ = 22(1)1x -+；3{[()]}2(1)1f f f x x =-+；… ；[10]10()2(1)1f x x =-+.
但因“十遇店和花，喝光壶中酒”，所以[10]()0f x =，即有：10110231,21024
x x =-=. 这一解法真是妙趣横生，耐人寻味. 不管你把“三遇店和花”变更为“十遇店和花”，还是变更为“万遇店和花”，问题都不难解决.
但是兴奋之余不禁要问，为什么把()21f x x =-改写为()2(1)1f x x =-+后，计算就如此简单而有规律呢？道理何在呢？
三、刨根究底
人们把方程“()f x x =”的根叫做()f x 的“不动点”. 显然对于()(1)f x ax b a =+≠，
它的不动点是01b x a =-. 而()f x ax b =+改写为000()()()1b f x a x x x x a
=-+=-，便于迭代，它的n 次迭代（可以用数学归纳法证明）就是： []00()()()11n n n b b f x a x x x a x a a =-+=-
+--（思考：当1a =，即()f x x b =+时， []()?n f x =）.
这就是把()21f x x =-改写为()2(1)1f x x =-+后，计算如此简单的原因所在. 以下我们再看几例.
例1 求一次函数()f x ，使得{[()]}f f f x =8x + 7. （安徽省1979年数学竞赛试题） 解：设()f x ax b =+使得[3]()87f x x =+. （1a ≠，为什么？）因()()1b f x a x a =-- 1b a +-，则[3]3()()11b b f x a x a a
=-+--与[3]()87f x x =+比较对应项系数有： 3a = 8，311a b b a a
-+-- = 7 2,1a b ⇒==. 故()21f x x =+.
例2 已知(),1x f x cx =+求证：[]()1n x f x ncx
=+ . 用数学归纳法可证明，略.
例3 已知
()f x =求证：[]()n f x =.
用数学归纳法可证明，略.
例4 已知1113,1,2
k k a a a +==
+ 求数列{}k a 的通项公式. 解：1k a +相当于李白沽酒变更问题解法中的y ，k a 相当于x. 由01122
x x x +=⇒=. 故11111(2)2()(2)2()2222k k k k a a a +=-+=-+=+. 从而推知11()22k k a -=+. 本文发表于华南师范大学主办的《中学数学研究》1987年第7期p32~33. 发表时署名 为：陕西省安康县师范学校 王凯（笔名）.。