二次函数根的分布和最值

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二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳

1、一元二次方程

02=++c bx ax 根的分布情况设方程()2

00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，

方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）

表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）

分

布情况

两个负根即两根都小于0

()120,0x x << 两个正根即两根都大于0

()120,0x x >>

一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<

大致图象（

>a ）

得出的结论

()00200b a f ∆>⎧⎪⎪

-<⎨⎪>⎪⎩ ()0

0200

b a f ∆>⎧⎪⎪

->⎨⎪>⎪⎩ ()00

大

致图象（

得出的结论

()00200b a f ∆>⎧⎪⎪

()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0

0200

b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a

分

布情况

两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即

()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0

20

b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f a

（图象有两种情况，只画了一种）一根在()n m ,内，另一根在()

()()0002f m f n b m n

000f m f n f p f q ⎧>⎪

<⎪⎨<⎪⎪>⎩

或()()()()0

0f m f n f p f q <⎧⎪⎨

<⎪⎩ 大致图象（

得出的结论

()()0002f m f n b m n

m f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩

或()()()()

0f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩

0q f p f n f m f 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）

需满足的条件是

（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩；（2）0a <时，()()0

f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩

对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：

1︒ 若()0f m =或()0f n =，

则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。如方程()2

220

mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2

m <<即为所求； 2︒ 方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数

的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程

24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。分析：①由()()300f f -<即

()()141530m m ++<得出15314m -<<-

；②由0∆=即()2

164260m m -+=得出1m =-或32

m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故3

21210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。

解：由 ()()2100m f +< 即 ()()2110m m +-<，从而得1

12

m -<<即为所求的范围。

例2、已知方程()2

210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。