点、线、面的位置关系

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空间点、线、面的位置关系

【证明】 (1)如图所示，连接B1D1.
因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体AC1 中，B1D1∥BD，所以EF∥BD.所以EF，BD确定一个平面，即 D，B，F，E四点共面．
(2)在正方体AC1中，设A1，C，C1三点确定的平面为α，平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.
2．异面直线的判定方法 (1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到． (2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．
思考题2 (1)【多选题】如图所示，是正方体的平面展开图，
间直角坐标系，则A(a，0，0)，C1(0，a， 3 a)，C(0，a，0)，
D1(0，0， 3a)， A→C1＝(－a，a， 3a)，C→D1＝(0，－a， 3a)，设异面直线AC1与CD1所成角为θ，则cosθ＝|AA→→CC11|··C|C→→DD11|＝ 52a·a2 2a＝ 55.
∴异面直线AC1与CD1所成角的余弦值为
思考题1 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， E，F分别是AB和AA1的中点，求证：
(1)E，C，D1，F四点共面； (2)CE，D1F，DA三线共点．
【证明】 (1)如图所示，连接EF，CD1，A1B.
∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B. 又A1B∥D1C，∴EF∥CD1. ∴E，C，D1，F四点共面．
在这个正方体中，有以下四个命题，正确的结论是( CD ) A．BM与ED平行 B．CN与BE是异面直线 C．CN与BM成60°角 D．DM与BN垂直

教案(空间中点、线、面的位置关系)

空间中点、线、面的位置关系教案3.点与平面空间中的平面也可看成这个平面上的所有点组成的集合.位置关系符号表示图形表示点A在平面α内α∈A点A不是平面α内的点α∉A4.直线与平面（1）直线l在平面α内（或平面α过直线l）：直线l上的所有点都在平面α内，记作α⊂l.（2）直线l在平面α外：直线l上至少有一个点不在平面α内，记作α⊄l . ①直线l 与平面α相交：直线l 与平面α有且只有一个公共点A ，记作A l =α .①直线l 与平面α平行：直线l 与平面α没有公共点，记作α//l .5. 平面与平面位置关系符号表示图形表示平面βα与相交 l =βα平面βα与平行 βα//三、直线与平面垂直1. 直线与平面垂直的定义：如果直线l 与平面α相交于点A ，且对平面α内任意一条过点A的直线m，都有ml⊥，则称直线l与平面α垂直（或l是平面α的一条垂线，α是直线l的一个垂面），记作α⊥l.其中点A称为垂足.2.点与面的距离：给定空间中的一个平面α及一个点A，过点A作只可以作平面α的一条垂线，如果记垂足为B，则称B为A在平面α内的射影（也称投影），线段AB为平面α的垂线段，AB的长为点A到平面α的距离.3.直线与平面的距离：当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离；4.两个平行平面的距离：当平面与平面平行时，一个平面上的任意一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离.例 2 在正方体1111D C B A ABCD -中，（1）与直线1AA 异面的棱有条；（2）与直线B A 1相交的棱有条；（3）直线B A 1与直线C B 1的位置关系是；（4）直线B A 1与直线C D 1的位置关系是 .【答案】(1)排除相交和平行的情况，4条； (2)从一个顶点出发的棱有3条，所以共有6条；(3)异面，通过找到衬托平面来判断； (4)平行.例 3 已知1111D C B A ABCD -是长方体，且2,3,41===AA AD AB .（1）求点A 到平面11B BCC 的距离；（2）求直线AB 到平面1111D C B A 的距不在平面内，这与直线上无数个点都不在平面上不同.两条直线的平行依赖于在同一平面内没有公共点，所以仅由直线与平面平行不可得到.在正方体内，判断两条直线的位置关系，通过对图形的观察，熟练掌握位置关系描述和判断的方法.。

高中数学必修2点、直线、平面之间的位置关系(1)

1.空间中的平行关系1.集合的语言:点A 在直线l 上，记作: A ∈l ;点A 在平面α内，记作: A ∈α;直线在平面α内(即直线上每一个点都在平面α内)，记作l ⊂α ; 注意：点A 是元素，直线是集合，平面也是集合。

2.平面的三个公理:（1）公理一:如果一条直线上的两点在同一个平面内那么这条直线上所有的点都在这个平而内.符号语言表述:A ∈l ,B ∈l , A ∈α, B ∈α⇒l ⊂α ；（2）公理二:经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，即不共线的三点确定一个平面.符号语言表述: A,B,C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A ∈a, B ∈a, C ∈（3）公理三:如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线，符号语言表述: A ∈α∩β⇒α∩β= a, A ∈a.3. 平面基本性质的推论推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

【例1.【解析】（1）D;直线上有两点在一个平面内，则这条直线一定在平面内，公理1保证了A 正确;公理2保证了C 正确;如果两个平面有两个公共点，则它们的交线是过这两点的直线，公理3保证了B 正确;直线不在平面内，可以与平面有一个交点，故D 错误.（2）①错误，如果这三条直线交于一点，比如过正方体同一顶点的三条棱就无法确定一个平面;②正确，两条相交直线确定一个平面;③错误，必须是不共线的三点，如果是共线三点，则有无数个平面;④正确，两条相交的对角线确定一个平面，四个顶点都在这个平面内，故是平面图形;⑤错误，两个平面若相交，公共点必是一条直线;⑥错误;若四点共线，则可以有无穷多个平面过这四点，若是对不共线的四点，该命题正确.【备选】已知点A ，直线l ，平面α，① αα∉⇒⊄∈A l l A , ② αα∈⇒∈∈A l l ,A ③ αα∉⇒⊂∉A l l A , ④ αα⊄⇒∉∈l A l A , 以上说法表达正确的有______________【解析】④直线不在平面内，可以与平面有一个交点，故①错误；直线是点集，故只能用l ⊂α，②错误；直线是平面的真子集，故不在直线上的点可以在平面内，③错误；一条直线在一个平面内，则直线上任一点都在平面内，故④正确。

点、线、面投影关系

空间点对于由V、H和W面组成的投影体系有三种位置关系：（1）当点的x、y、z坐标均不为零时，点的三面投影均落在投影面内；（2）当点的x、y、z坐标有一个为零时，空间点在投影面上，其两个投影落在投影轴上，特别值得注意的是，当点在H面上时，其W面的投影落在Y 轴上，当按三视图的形成方法展开投影体系时，其W面投影随Y轴一起绕Z轴向后旋转落在YW 轴上。

（3）当点的x、y、z坐标均有两个为零时，空间点在投影轴上，其一个投影与原点重合。

点的三面投影规律⑴ 点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴。

⑵ 点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴。

⑶ 点的水平投影到OX轴的距离等于侧面投影到OZ轴的距离。

［投影面垂直线］空间直线对投影面有三种位置关系：平行、垂直和倾斜。

若空间直线垂直于一个投影面，则必平行于其他两个投影面，这样的直线称之为投影面垂直线，对于垂直于V、H、W面的直线分别称之为正垂线、铅垂线和侧垂线。

投影面垂直线在其垂直的投影面上的投影积聚为一个点，其他两个投影面上投影平行（或垂直）于投影轴，且反映实长。

若空间直线平行于一个投影面，倾斜于其他两个投影面，这样的直线称之为投影面平行线，按其平行于V、H、W面分别称之为正平线、水平线和侧平线。

投影面平行线在其平行的投影面上的投影反映实长，其他两个投影面上投影平行（或垂直）于投影轴，且投影线段的长小于空间线段的实长。

一般位置直线和三个投影面均处于倾斜位置，其三个投影和投影轴倾斜，且投影线段的长小于空间线段的实长。

从投影图上也不能直接反映出空间直线和投影平面的夹角。

［投影面平行面］空间平面对投影面有三种位置关系：平行、垂直和一般位置。

若空间平面平行于一个投影面，则必垂直于其他两个投影面，这样的平面称之为投影面平行，对平行于V、H、W面的平面分别称之为正平面、水平面和侧平面。

投影面平行面在其平行的投影面上的投影反映实形，其他两个投影面上投影积聚成一条直线，且垂直于该投影面内的投影轴［投影面垂直面］若空间平面垂直于一个投影面，而倾斜于其他两个投影面，这样的平面称之为投影面垂直面，按垂直于V、H、W面的平面分别称之为正垂面、铅垂面和侧垂面。

点直线平面之间的位置关系知识点总结

点、直线、平面之间的位置关系知识点总结立体几何知识点总结1.直线在平面内的判定1利用公理1：一直线上不重合的两点在平面内;则这条直线在平面内.2若两个平面互相垂直;则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内;即若α⊥β;A∈α;AB⊥β;则ABα.3过一点和一条已知直线垂直的所有直线;都在过此点而垂直于已知直线的平面内;即若A∈a;a⊥b;A∈α;b⊥α;则aα.4过平面外一点和该平面平行的直线;都在过此点而与该平面平行的平面内;即若Pα;P∈β;β∥α;P∈a;a∥α;则aβ.5如果一条直线与一个平面平行;那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内;即若a∥α;A∈α;A∈b;b∥a;则bα.2.存在性和唯一性定理1过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条；2过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条；3过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个；4与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条；5过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；6过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个；7过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个；8过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.3.射影及有关性质1点在平面上的射影自一点向平面引垂线;垂足叫做这点在这个平面上的射影;点的射影还是点.2直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线;过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直线.3图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.当图形所在平面与射影面垂直时;射影是一条线段；当图形所在平面不与射影面垂直时;射影仍是一个图形.4射影的有关性质从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：i射影相等的两条斜线段相等;射影较长的斜线段也较长；ii相等的斜线段的射影相等;较长的斜线段的射影也较长；iii垂线段比任何一条斜线段都短.4.空间中的各种角等角定理及其推论定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行;并且方向相同;则这两个角相等.推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行;则这两组直线所成的锐角或直角相等.异面直线所成的角1定义：a、b是两条异面直线;经过空间任意一点O;分别引直线a′∥a;b′∥b;则a′和b′所成的锐角或直角叫做异面直线a和b所成的角.2取值范围：0°＜θ≤90°.3求解方法①根据定义;通过平移;找到异面直线所成的角θ；②解含有θ的三角形;求出角θ的大小.5.直线和平面所成的角1定义和平面所成的角有三种：i垂线面所成的角的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角;叫做这条直线和这个平面所成的角.ii垂线与平面所成的角直线垂直于平面;则它们所成的角是直角.iii一条直线和平面平行;或在平面内;则它们所成的角是0°的角.2取值范围0°≤θ≤90°3求解方法①作出斜线在平面上的射影;找到斜线与平面所成的角θ.②解含θ的三角形;求出其大小.③最小角定理斜线和平面所成的角;是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角;亦可说;斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角.6.二面角及二面角的平面角1半平面直线把平面分成两个部分;每一部分都叫做半平面.2二面角条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱;这两个平面叫做二面角的面;即二面角由半平面一棱一半平面组成.若两个平面相交;则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来度量;通常认为二面角的平面角θ的取值范围是0°＜θ≤180°3二面角的平面角①以二面角棱上任意一点为端点;分别在两个面内作垂直于棱的射线;这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.如图;∠PCD是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无关.②二面角的平面角具有下列性质：i二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面;即AB⊥平面PCD.ii从二面角的平面角的一边上任意一点异于角的顶点作另一面的垂线;垂足必在平面角的另一边或其反向延长线上.iii二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直;即平面PCD⊥α;平面PCD⊥β.③找或作二面角的平面角的主要方法.i定义法ii垂面法iii三垂线法Ⅳ根据特殊图形的性质4求二面角大小的常见方法①先找或作出二面角的平面角θ;再通过解三角形求得θ的值.②利用面积射影定理S′=S·cosα其中S为二面角一个面内平面图形的面积;S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积;α为二面角的大小.③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.7.空间的各种距离点到平面的距离1定义面外一点引一个平面的垂线;这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.2求点面距离常用的方法：1直接利用定义求①找到或作出表示距离的线段；②抓住线段所求距离所在三角形解之.2利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上;则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离.3体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点;和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S；③由V=S·h;求出h即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.4转化法将点到平面的距离转化为平行直线与平面的距离来求.8.直线和平面的距离1定义一条直线和一个平面平行;这条直线上任意一点到平面的距离;叫做这条直线和平面的距离.2求线面距离常用的方法①直接利用定义求证或连或作某线段为距离;然后通过解三角形计算之.②将线面距离转化为点面距离;然后运用解三角形或体积法求解之.③作辅助垂直平面;把求线面距离转化为求点线距离.9.平行平面的距离1定义个平行平面同时垂直的直线;叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两个平行平面间的部分;叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离.2求平行平面距离常用的方法①直接利用定义求证或连或作某线段为距离;然后通过解三角形计算之.②把面面平行距离转化为线面平行距离;再转化为线线平行距离;最后转化为点线面距离;通过解三角形或体积法求解之.10.异面直线的距离1定义条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度;叫做两条异面直线的距离.任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.2求两条异面直线的距离常用的方法①定义法题目所给的条件;找出或作出两条异面直线的公垂线段;再根据有关定理、性质求出公垂线段的长.此法一般多用于两异面直线互相垂直的情形.②转化法为以下两种形式：线面距离面面距离③等体积法④最值法⑤射影法⑥公式法。

空间点线面的位置关系教案

空间点线面的位置关系教案一、教学目标：1. 让学生理解点、线、面的基本概念。

2. 让学生掌握点、线、面之间的位置关系。

3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

二、教学重点与难点：重点：点、线、面之间的位置关系。

难点：如何运用点、线、面的位置关系解决实际问题。

三、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究点、线、面的位置关系。

2. 利用多媒体课件，直观展示点、线、面的位置关系。

3. 开展小组讨论，培养学生团队合作精神。

四、教学准备：1. 多媒体课件。

2. 点、线、面模型。

3. 练习题。

五、教学过程：1. 导入：通过展示现实生活中的点、线、面实例，引导学生关注空间点线面的位置关系。

2. 点、线、面的概念讲解：讲解点、线、面的基本概念，让学生明确它们之间的关系。

3. 点、线、面的位置关系探究：引导学生通过观察、操作、思考，发现点、线、面之间的位置关系。

4. 案例分析：分析现实生活中点、线、面位置关系的应用，让学生体会知识的价值。

5. 小组讨论：分组讨论如何运用点、线、面的位置关系解决实际问题。

6. 练习巩固：让学生通过练习题，巩固所学知识。

7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识点。

8. 作业布置：布置相关作业，让学生进一步巩固所学知识。

9. 课后反思：教师对本节课的教学效果进行反思，为下一步教学做好准备。

六、教学评价：1. 评价目标：通过课堂表现、练习题和课后作业，评价学生对空间点线面位置关系的理解和应用能力。

2. 评价方法：课堂参与度：观察学生在课堂讨论和提问中的活跃程度和思考深度。

练习正确率：统计学生练习题的正确率，分析学生的掌握情况。

作业完成质量：评估学生作业的完成质量，包括解题思路的清晰性和答案的准确性。

3. 评价内容：学生能否准确描述点、线、面的概念及其特征。

学生是否能理解并应用点、线、面的位置关系解决简单问题。

学生是否能在实际情境中识别和运用点、线、面的位置关系。

七、教学拓展：1. 拓展活动：组织学生进行空间几何模型制作，如点、线、面的小模型，让学生通过动手操作进一步理解空间关系。

高中数学点、直线、平面之间的位置关系

点、直线、平面之间的位置关系知识回顾1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．2．空间两条直线的位置关系（1）空间两条直线的位置关系有且只有三种：相交、平行、异面．（2）异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．（3）异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′，b′，使a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．3. 线面、面面的位置关系1．一条直线a和一个平面α有且仅有a⊂α，a∩α＝A或a∥α三种位置关系．(用符号语言表示)2．两平面α与β有且仅有α∥β或α∩β＝l两种位置关系(用符号语言表示)．题型讲解题型一概念例1、下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50 M，宽是20 M；④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．其中正确命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4答案：A例2、若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系可记作()A．M∈b∈β B．M∈b⊂βC．M⊂b⊂β D．M⊂b∈β答案：B例3、如图所示正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为CC1和AA1的中点，画出平面BED1F和平面ABCD的交线．解析：如图所示，在平面ADD1A1内延长D1F与DA，交于一点P，则P∈平面BED1F，∵DA⊂平面ABCD，∴P∈平面ABCD，∴P是平面ABCD与平面BED1F的一个公共点，又B是两平面的一个公共点，∴PB为两平面的交线.例4、空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A．空间四边形 B．矩形C．菱形 D．正方形答案：B题型二异面直线例5、已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：(1)BC′与CD′所成的角为________；(2)AD与BC′所成的角为________．答案：(1)60°(2)45°解析连接BA′，则BA′∥CD′，连接A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．由△A′BC′为正三角形，知∠A′BC′＝60°，由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC．易知∠C′BC＝45°．例6、一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．以上结论中正确结论的序号为________．答案：①③解析把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．题型三线面关系例7、已知直线a∥平面α，直线b⊂α，则a与b的位置关系是()A．相交 B．平行C．异面 D．平行或异面答案：D例8、三个互不重合的平面把空间分成6部分时，它们的交线有()A ．1条B ．2条C ．3条D ．1条或2条答案：D例9、平面α∥β，且a ⊂α，下列四个结论： ①a 和β内的所有直线平行； ②a 和β内的无数条直线平行； ③a 和β内的任何直线都不平行； ④a 和β无公共点．其中正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：C跟踪训练1. 文字语言叙述“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号表述是( )A ．⎭⎪⎬⎪⎫A ⊂αA ⊂a ⇒A ⊂α B ．⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂αA ∈a ⇒A ∈α C ．⎭⎪⎬⎪⎫a ∈αA ⊂a ⇒A ∈α D ．⎭⎪⎬⎪⎫a ∈αA ∈a ⇒A ⊂α 答案：B2. 若直线a 、b 与直线l 相交且所成的角相等，则a 、b 的位置关系是( ) A ．异面 B ．平行C ．相交D ．三种关系都有可能答案：D3．如图所示，已知三棱锥A －BCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则下列结论正确的是( )A ．MN ≥12(AC ＋BD)B ．MN ≤12(AC ＋BD)C ．MN ＝12(AC ＋BD)D ．MN<12(AC ＋BD)答案：D4．正方体AC 1中，E 、F 分别是面A 1B 1C 1D 1和AA 1DD 1的中心，则EF 和CD 所成的角是( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．90° 答案：B5．已知a 是一条直线，过a 作平面β，使β∥平面α，这样的β( ) A ．只能作一个 B ．至少有一个 C ．不存在 D ．至多有一个答案：D6．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面BA 1C 1和平面ACD 1的交线与棱CC 1的位置关系是________，截面BA 1C 1和直线AC 的位置关系是________．答案：平行平行解析：如图所示，。

1.2《点线面之间的位置关系--平面的基本性质3》教案(苏教版必修2)

第7课时平面的基本性质（三）教学目标：使学生能够进行性质与推论的简单应用、正确运用平面的基本性质及三个推论进行共面、共线、共点问题的证明；要通过知识的应用，使学生掌握方法、规律，学会正确推理，以理服人。

教学重点、难点：共面、共线、共点问题的证明。

教学过程：一、复习回顾：三个公理及推论；各个公理及推论的作用。

二、新课讨论：例1：直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C，证明这三条直线共面.［师］空间的几个点和几条直线，如果都在同一个平面内，那么可以简单地说它们“共面”.分析：两两相交，是说每两条直线都相交.此题是让我们证明三条直线共面，我们学过的公理和推论中都没有关于三条直线的，怎么办呢？［生丙］先由两条直线确定一个平面，再证第三条直线也在这个平面内（学生已作了预习，回答出这样的思路应该是没有问题的）.［师］生丙同学的回答正确吗？若正确，怎样证明第三条直线也在这个平面内呢？［生丁］生丙的回答正确.先由两条直线确定一个平面是容易的，要证第三条直线也在这个平面内，只要证第三条直线上有两点在这个平面内就行了，如图，先由AB、AC 确定一个平面，由于B点、C点在确定的平面内，根据公理1可知，直线BC也在这个平面内.［师］生丁所述有道理吗？［生］有道理，完全正确.［师］下面我们根据生丙、生丁两位同学的思路，写出此题的证明过程.证明：∵AB、AC相交，∴AB、AC确定一个平面，设为α∵B∈AB,C∈AC∴B∈α，C∈α∴BC α因此AB、AC、BC都在平面α内.即AB、AC、BC共面.注意：确定的平面叫成什么是无所谓的.不一定非要叫α不可，叫成其他如β、γ都行.［师］谁还有其他不同于生丙同学的意见？［生戊］每两条相交直线都能确定一个平面，若能证明这些平面重合，则也能说明这三条直线共面.［师］同学们想一想，生戊同学的思路可行吗？（同学们积极思考，但无人回答，留出几分钟时间，让同学们继续思考是非常必要的）［生戊］AB、AC可确定一个平面，AB、BC也可确定一个平面，由于点A、B、C 既在第一个平面内，又在第二个平面内.根据公理3，经过A、B、C三点有且只有一个平面，所以这两个平面重合，即AB、AC、BC共面.［师］很好！下面我们根据生戊同学的思路，写出此题的另一种证明.证明：∵AB、AC相交∴AB、AC确定一个平面α∴点A、B、C∈α，且不共线∵AB、BC相交∴AB、BC确定一个平面β∴点A、B、C∈β，且不共线根据公理3，经过不共线的三点A、B、C有且只有一个平面，∴面α与面β重合∴AB、AC、BC共面.［师］从刚才我们的分析讨论中，可以知道，证明共面问题的方法至少有两种：①先由某些条件确定一个平面，然后证明其余已知的都在这个平面内.②所有已知条件确定若干个平面，然后证明这些平面重合.两种证明方法的关键都在“然后”，要注意练习掌握.这两种证明方法比较，第一种更为常用，因为证明若干个平面重合，实在不是一件容易的事情.希望大家都能像生戊同学那样.遇到问题善于思考，多动脑子去想，办法总会是有的.下面再来看一个例子.例2：如图，已知△ABC的各顶点在平面α外，直线AB、BC、AC分别交平面α于P、Q、R，求证：P、Q、R三点共线.分析：平面几何中证明三点共线是怎样证明的？［生］先由两点确定一条直线，然后证明第三点也在这条直线上.［师］这里的三点共线能用这种办法证明吗？比如说，连结点P、点Q，得直线PQ，大家能够证明点R也在直线PQ上吗？［生己］能！由已知条件可知，直线PQ实质上是面ABC与面α的交线，只要证明点R是面ABC与面α的交点，那么R必在直线PQ上.［生庚］既然这样，只要证明点P、Q、R都是面ABC与面α的交点，那么点P、Q、R就共线，它们都在面ABC与面α的交线上.［师］两位同学分析得都很好！在立体几何中，要证明三点共线，只要证明三点都是某两个平面的公共点即可.证明若干点共线的问题，思路同样也是这样的.下面大家一起来写出此题的证明：证明：∵AB∩α＝P ∴P∈AB，P∈平面α又AB 平面ABC ∴P∈平面ABC∴由公理2可知，点P在平面ABC与平面α的交线上∴P、Q、R三点共线例3：三个平面两两相交于三条直线，若这三条直线不平行，求证：这三条直线交于一点. 已知：平面α、β、γ两两相交于三条直线l1、l2、l3，且l1、l2、l3不平行.求证：l1、l2、l3相交于一点证明：如图，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3，∵l1⊂β，l2⊂β，且l1、l2不平行∴l1与l2必相交，设l1∩l2=P，①则P∈l1⊂α,P∈l2⊂γ∴P∈α∩γ= l3 ②∴l1、l2、l3相交于一点P.例4：已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面.已知：直线a∥b∥c，直线l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：l与a、b、c共面.证明：∵a∥b∴a、b确定一个平面，设为α又l∩a＝A，l∩b＝B ∴A∈α，B∈α又A∈l，B∈l ∴AB⊂α，即l⊂α同理b、c确定一个平面β，l⊂β.∴平面α与β都过两相交直线b与l.由推论2，两条相交直线确定一个平面.∴α与β重合.故l与a、b、c共面.例5：画出四面体ABCD中过E、F、G三点的截面。

点线面关系

线、面关系
直线在平面内：有无数个公共点.
平行：没有公共点.
相交：只有一个公共点.
斜交
垂直
面、面关系
平行：没有公共点.
相交：有且只有一条公共直线.
斜交
垂直
二、平面的基本性质
公理
文字语言
符号语言
图形语言
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
公理2
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
推论①经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.
推论②经过两条相，有且只有一个平面．
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
公理4
平行于同一条直线的两条直线平行.
等角
定理
空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
一、空间中点、线、面的位置关系
类别
文字语言
符号语言
图形语言
点、线关系
点在直线上
（或说直线经过点）.
点在直线外.
点、面关系
点在平面内
（或说平面经过点）.
点在平面外
线、线关系
平行：在同一个平面内，没有公共点.
共面直线
相交：在同一个平面内，只有一个公共点.
异面：不同在任何一个平面内，没有公共点。
（即：既不平行，也不相交）

点线面位置关系例题与练习(含答案)

点、线、面的位置关系● 知识梳理（一）.平面公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。

公理2：不共线．．．的三点确定一个平面. 推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 推论2：两条相交直线确定一个平面. 推论3：两条平行直线确定一个平面.公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线（二）空间图形的位置关系1.空间直线的位置关系：相交，平行，异面1.1平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

1.2等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

1.3异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；1.4异面直线所成的角：（1）范围：(]0,90θ∈︒︒；（2）作异面直线所成的角：平移法.2.直线与平面的位置关系：包含，相交，平行3.平面与平面的位置关系：平行，相交（三）平行关系（包括线面平行，面面平行） 1.线面平行：①定义：直线与平面无公共点.②判定定理：////a b a a b ααα⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭③性质定理：////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭ 2.线面斜交： ①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。

范围：[]0,90θ∈︒︒ 3.面面平行：①定义：//αβαβ=∅⇒；②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；符号表述：,,,//,////a b ab O a b ααααβ⊂=⇒判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：,//a a αβαβ⊥⊥⇒.③面面平行的性质：（1）////a a αββα⎫⇒⎬⊂⎭；（2）////a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）1.线面垂直①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。

空间点线面之间的位置关系

空间点线面之间的位置关系一、平面1.平面的概念：平面是一个不加定义，只需理解的原始概念．立体几何里所说的的平面是从现实生活中常见的平面抽象出来的．常见的桌面、平静的水面等都给我们以平面的局部形象．平面是理想的、绝对的平且无大小，无厚度，不可度量． 2.平面的表示方法：(1)一个平面：当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45，横边画成邻边的2倍长，如右图． (2)两个相交平面：画两个相交平面时，通常要化出它们的交线，当一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如下图）3. 运用集合观点准确使用图形语言、符号语言和文字语言空间图形的基本元素是点、直线、平面线、平面看成是点的集合，因此还可借用集合中的符号语言来表示点、线、面的基本位置关系如下表所示：αBAβαABαβαβBAAβαBA α∈ 点A 在平面α内A α∉ 点A 不在平面α内b a Aa b A =直线a 、b 交于A 点a α⊂直线a 在平面α内a α=∅ 直线a 与平面α无公共点a A α=直线a 与平面α交于点Al αβ= 平面α、β相交于直线l二、平面的基本性质1. 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭．如图示：或者：∵,A B αα∈∈，∴AB α⊂ 公理1的作用：①判定直线是否在平面内；②判定点是否在平面内； ③检验面是否是平面．2. 公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合或者：∵,,A B C 不共线，∴存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈. 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；BA αAαAαaαaαa Aα推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．(2)“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． 2. 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点,有且只有一条过该点的公共直线推理模式：A A l A ααββ∈⎫⇒∈=⎬∈⎭如图示：或者：∵,A A αβ∈∈，∴,l A l αβ=∈公理3的作用：(1)判断两个平面是否相交及交线位置； (2)判断点是否在线上 1、证明空间三点共线问题通常证明这些点都在两个平面的交线上，即先确定出某两点在两个平面的交线上，再证明第三点既在第一个平面内，又在第二个平面内。

点、线、面、体及其关系

03
面与体的关系
01
面是体的组成部分，无数个面按一定方向和排列便形成了体。
02
体的移动轨迹可以形成面，面在特定条件下可以形成体。
03
面和体之间的关系也是相对的，取决于观察角度和定义方式。
THANKS
感谢观看
02 面的移动轨迹可以形成点，点在特定条件下可以形成面。
03 点和面之间的关系也是相对的，取决于观察角度和定义方式。
线与面的关系
01
线是面的组成部分，无数条线按一定方向和排列便形成了面。
02
面的移动轨迹可以形成线，线在特定条件下可以形成面。
线和面之间的关系也是相对的，取决于观察角度和定义方式。
性质
总结词
体的性质包括空间占有性、封闭性和三维性。
详细描述
体作为三维空间中的封闭几何形状，具有空间占有性，即占据一定的空间位置和体积。体的边界由面组成，形成封闭的空间，具有封闭性。体具有长、宽、高的三维属性，是三维几何元素。
体的分类
总结词
体的分类主要依据其形状和构成方式。
详细描述
根据形状的不同，体可以分为多面体、旋转体和其他形体等类型。多面体是由平面围成的封闭几何体，如立方体、八面体等。旋转体是由旋转曲面围成的几何体，如球体、圆柱体等。此外，还有由曲面和平面组合而成的其他形体，如鞍形体积等。体的分类还可
以根据其构成方式进行划分，如组合体和切割体等。
05
CATALOGUE
点、线、面、体的关系
点与线的关系
01
点是线的组成部分，无数个点按一定方向和长度连接便形成了线。
02
线的移动轨迹可以形成点，点在特定条件下可以形成线。
03
点和线之间的关系是相对的，取决于观察角度和定义方式。

点状要素与线状、面状要素的关系处理

点状要素与线状、面状要素的关系处理在地理学和相关领域中，点状要素、线状要素以及面状要素是三种重要的地理空间表达方式，它们各自具有独特的特征和意义，同时也在实际应用中相互关联，构成了一个复杂的关系网络。

理解并处理好这三种要素之间的关系，对于地理学研究和应用具有重要价值。

一、点状要素点状要素指的是在地理空间中具有固定位置，且大小、形态不明显的地理实体。

例如，城市、村庄、建筑、井位等。

点状要素是最基本的地理空间表达方式，它提供了对地理实体的基础描述，是其他两种要素（线状要素、面状要素）的基础。

二、线状要素线状要素是指在地理空间中具有连续线性特征的地理实体，如河流、道路、管线等。

线状要素在空间上通常具有方向性和连续性，它在地理空间中提供了连接和引导的作用，是构成面状要素的重要元素。

三、面状要素面状要素是指在地理空间中具有明确边界的区域，如地形地貌、湖泊海洋、行政区划等。

面状要素在空间上具有扩展性和包容性，它是构成地理空间的基本单元，也是描述环境、资源、人口等分布的重要方式。

四、三种要素的关系处理1. 独立表达：在地理学研究中，每种要素都有其独特的价值和意义，需要独立表达。

点状要素提供了基础的空间信息，线状要素描述了空间的连接和流动，面状要素则描述了空间的分布和范围。

2. 相互关联：在实际应用中，这三种要素是相互关联的。

例如，一个区域的交通网络是由线状要素构成，而这个网络的布局和运行又会影响到区域的经济发展和人口流动，从而影响到该区域的形态（面状要素）。

同时，点的分布也会影响线的流动和面的形态。

3. 位置关系：点状要素的位置关系处理非常重要。

它是判断其他两种要素关系的基础，例如判断河流、道路等线性要素的方向和影响范围。

同时，点的位置也直接影响面的形态和分布。

4. 空间分析：在进行空间分析时，我们需要综合考虑这三种要素的关系。

例如，通过分析点的密度、线的流动方向和面的形态，我们可以对一个区域的环境、资源、人口等分布有更全面的了解。

高中数学 1.2点线面之间的位置关系课件新人教A版必修2

空间图形的基本元素是点、直线、平面，从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合.因此，它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可以借用集合中的符号语言来表示.
文字语言点P在直线AB上（或直线AB经过点P）
符号语言
图形语言
P AB
P A C A B M A1 A A C A C B
A
A1 平面AC
AB BC B
C
B
C B
AB 平面AC
AA1 平面AC
A
A A A1
A C A A1
C
练习．正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平面 A1C1 , A1B1 , B1C1，分别记作、、，试用适当的符号填空． (1) A1 _______ ∈ , B1 _______ ∈
（5）、经过空间任意三点有且只有一个平面；
（6）、如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面就重合为一个平面。
思考：
1、当线段AB在平面内时，直线AB是否在此平面内？说明理由。
公理2 经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面
•A
B• •C
现在，你能回答下列问题了吗？
用两个合页和一把锁就可以将一扇门固定，为什么？将一把直尺置于桌面上，通过是否漏光就能检查桌面是否平整，为什么？照相机支架为什么只需三条腿就够了？为什么许多自行车后轮旁只安装一只撑脚？
练习：画两个相交的平面，并标上字母。
1．根据下列符号表示的语句，说出有关点、线、面的关系，并画出图形． (1) A , B (2)l , m
(3) l
(4) P l , P , Q l , Q

点、线、面之间的位置关系——垂直关系 - 简单 - 讲义

点、线、面之间的位置关系——垂直关系知识讲解一、线面垂直1.定义：如果一条直线和一个平面相交于点O ，并且和这个平面内过交点的任何直线都垂直，则称这条直线与这个平面互相垂直．1）这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫垂足．2）垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．3）如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直．4）画直线与平面垂直时，通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如下图．直线l 与平面α互相垂直，记作l α⊥．2.线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．符号语言表述：,,,,l a l b a b a b A l αα⊥⊥⊂=⇒⊥ 图像语言表述：3.线面垂直的性质定理：符号语言表述：,//a b a b αα⊥⊥⇒ αl图像语言表述：4.线面垂直的性质（1）一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于该平面内的所有直线.（2）推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面；（3）推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行；（4）垂直于同一直线的两个平面平行.5.证明线面垂直的方法（1）线面垂直的定义（2）线面垂直的判定定理（,,,,a b a c b c b c M a ααα⊥⊥⊂⊂=⇒⊥）（3）平行线垂直平面的传递性（,a b b a αα⊥⇒⊥）（4）面面垂直的性质（,,,l a a l a αβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥）（5）面面平行的性质（,a a ααββ⊥⇒⊥）（6）面面垂直的性质（,,l l αβαγβγγ=⊥⊥⇒⊥）二、面面垂直1.定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，则称这两个平面互相垂直.2.平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.符号语言表述：,m m αβαβ⊥⊂⇒⊥图像语言表述：αβm a b α3.面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.符号语言表述：,,,l m m l m αβαββα⊥=∈⊥⇒⊥ 图像语言表述：4.面面垂直的性质（1）两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两相交平面的交线垂直于第三个平面.（2）两平面互相垂直，过公共交线上一点做一个平面的垂线，则这条直线在第二个平面内.5.证明面面垂直的方法（1）面面垂直的定义（2）面面垂直的判定定理（,a αβααβ⊥⊂⇒⊥）三、垂直模型总结1.勾股定理222a b c AC CB +=⇒⊥2.等腰三角形三线合一cba C B AD CB Aαβm l,AB AC D =为BC 重点AD BC ⇒⊥3.直径所对的圆周角为直角BD CD AD BA AC ==⇒⊥4.菱形对角线垂直平分在菱形ABCD 中BD AC ⇒⊥5.正方形、矩形临边垂直,AB BC BC CD ⊥⊥6.正方形中点连线垂直在正方形ABCD 中，,E F 为,CD BC 的中点⇒AE DF ⊥DCB A O DCB A DCBA F EDCB A7.直棱柱、正棱柱中侧棱垂直底面在直三棱柱中AD ⇒⊥面ABC ,,,AD AB AD BC AD AC ⊥⊥⊥EFD CBA典型例题一．选择题（共10小题）1．（2018•云南模拟）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是线段BC1上任意一点，则下列结论中正确的是（）A．AD1⊥DP B．AP⊥B1C C．AC1⊥DP D．A1P⊥B1C【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵B1C⊥BC1，B1C⊥AB，BC1∩AB=B，∴B1C⊥平面ABC1D1，∵点P是线段BC1上任意一点，∴AP⊥B1C．故选：B．2．（2018春•武邑县校级月考）如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是（）A．PB⊥AC B．PD⊥平面ABCDC．AC⊥PD D．平面PBD⊥平面ABCD【解答】解：在A中，取PB中点O，连结AO、CO，∵四棱锥P﹣ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，∴AO⊥PB，CO⊥PB，∵AO∩CO=O，∴PB⊥平面AOC，∵AC⊂平面AOC，∴PB⊥AC，故A成立；在B中，∵△PAB与△PBC是正三角形，∴PA=PC，AB=AC，设AC∩BD=M，连结PM，则PM⊥AC，∴PD与AC不垂直，∴PD与平面ABCD不垂直，故B不成立；在C中，∵PB⊥平面AOC，AC⊂平面AOC，∴AC⊥PB，∵AC⊥BD，PB∩BD=B，∴AC⊥平面PBD，∵PD⊂平面PBD，∴AC⊥PD，故C成立；在D中，∵AC⊥平面PBD，AC⊂平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABCD，故D成立．故选：B．3．（2016秋•湖北期末）如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A、B的一点，则下面结论中错误的是（）A．AE⊥CE B．BE⊥DE C．DE⊥CE D．面ADE⊥面BCE【解答】解：由AB是底面圆的直径，则∠AEB=，即AE⊥EB．∵四边形ABCD是圆柱的轴截面，∴AD⊥底面AEB，BC⊥底面AEB．可得：BE⊥DE，因此BE⊥平面ADE．同理可得：AE⊥CE，平面BCE⊥平面ADE．可得A，B，D正确．而DE⊥CE不正确．故选：C．4．（2016秋•杭州期末）如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起，使面ABD⊥面BCD，连结AC，则下列命题正确的是（）A．面ABD⊥面ABC B．面ADC⊥面BDC C．面ABC⊥面BDC D．面ADC⊥面ABC 【解答】解：由题意知，在四边形ABCD中，CD⊥BD．在三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，两平面的交线为BD，所以CD⊥平面ABD，因此有AB⊥CD．又因为AB⊥AD，AD∩DC=D，所以AB⊥平面ADC，于是得到平面ADC⊥平面ABC．故选：D．5．（2017春•昆都仑区校级期中）如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，PA ⊥平面ABC，此图中直角三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，∴AB⊥BC，PA⊥BC，∵AB∩PA=A，∴BC⊥平面PAB，∴图中直角三角形有△ABC（∠ABC是直角），△PAC（∠PAC是直角），△PAB（∠PAB是直角），△PBC（∠PBC是直角），∴图中直角三角形有4个．故选：D．6．（2017•青州市模拟）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，∠ACB=45°，∠ADB=30°，∠BCD=120°，CD=40，则AB=（）A．10 B．20 C．30 D．40【解答】解：设BC=x，∵在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，∠ACB=45°，∠ADB=30°，∴∠BAC=∠ACB=45°，∠BAD=60°，∠ABC=∠ABD=90°，∴AB=x，AD=2x，BD=，∵∠BCD=120°，CD=40，∴cos120°=，解得x=40或x=﹣20（舍）．∴AB=40．故选：D．7．（2017秋•赣州期中）设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥βB．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αC．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βD．若α⊥β，n⊥β，m⊥n，则m⊥α【解答】解：A若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β或α与β相交，故不正确；B若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α，由n⊥α，n⊥β可得α∥β，又因m⊥β，所以m⊥α．故正确；C若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β不正确，也可能平行；D若α⊥β，n⊥β，m⊥n，则m⊥α，不正确，可能有m⊂α；故选：B．8．（2015秋•临海市校级月考）在三棱锥A﹣BCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么必有（）A．平面ABD⊥平面ADC B．平面ABD⊥平面ABCC．平面ADC⊥平面BCD D．平面ABC⊥平面BCD【解答】证明：由AD⊥BC，BD⊥AD⇒AD⊥平面BCD，AD⊂平面ADC，∴平面ADC⊥平面BCD．故选：C．9．（2014秋•兴庆区校级期末）两个平面平行的条件是（）A．一个平面内一条直线平行于另一个平面B．一个平面内两条直线平行于另一个平面C．一个平面内的无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面【解答】解：①如图l∥β，l⊂α，但α，β却相交．①错②如图l∥β，l⊂α，m∥β，m⊂α但α，β却相交．②错③类似于②在α内有无数与l平行的直线，它们均与β平行，但α，β却相交，③错④可知，两个平面无公共点，它们平行．④对故选：D．10．（2015秋•东昌区校级期中）过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的（）A．垂心B．重心C．内心D．外心【解答】解：连接AO并延长交BC于一点E，连接PO，由于PA，PB，PC两两垂直可以得到PA⊥面PBC，而BC⊂面PBC，∴BC⊥PA，∵PO⊥平面ABC于O，BC⊂面ABC，∴PO⊥BC，∴BC⊥平面APE，∵AE⊂面APE，∴BC⊥AE；同理可以证明才CH⊥AB，又BH⊥AC．∴H是△ABC的垂心．故选：A．二．填空题（共4小题）11．过平面外两点，可作0或1个平面与已知平面平行．【解答】解：两点与平面的位置不同，得到的结论是不同的，当这两点在平面的同一侧，且距离平面相等，这样就有一个平面与已知平面平行，当这两点在平面的异侧，不管两个点与平面的距离是多少，都没有平面与已知平面平行，∴这样的平面可能有，可能没有，故答案为：0或1．12．（2015春•上海校级期末）点P为△ABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O，若PA、PB、PC两两垂直，则点O是△ABC的垂心．【解答】证明：连结AO并延长，交BC与D连结BO并延长，交AC与E；因PA⊥PB，PA⊥PC，故PA⊥面PBC，故PA⊥BC；因PO⊥面ABC，故PO⊥BC，故BC⊥面PAO，故AO⊥BC即AD⊥BC；同理：BE⊥AC；故O是△ABC的垂心．故答案为：垂．13．（2015春•上海校级期中）如图所示，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕．使△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面，则∠BAC=60°．【解答】解：设AB=AC=1，则BD=CD=，∵BD⊥平面ADC，CD⊂平面ADC，∴BD⊥CD，∵△BDC是等腰直角三角形，∴BC=CD=1，∴△ABC是正三角形，∴∠BAC=60°．故答案为：60°．14．直角△ABC的两条直角边BC=3，AC=4，PC⊥平面ABC，PC=，则点P到斜边AB的距离是3．【解答】解：∵△ABC的两条直角边BC=3，AC=4，∴AB==5，过C作CM⊥AB，交AB于M，连结PM，由三垂线定理得PM⊥AB，∴点P到斜边AB的距离为线段PM的长，由，得CM==，PM===3．∴点P到斜边AB的距离为3．故答案为：3．三．解答题（共2小题）15．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=1，AA1=2，∠B1A1C1=90°，D为BB1中点，求证：AD⊥平面A1DC1．【解答】证明：∵AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1又A1C1⊥A1B1，∴A1C1⊥平面A1B1BA∴AD⊥A1C1∵AD=，A1D=，AA1=2，由AD2+A1D2=，得A1D⊥AD∵A1C1∩A1D=A1∴AD⊥平面A1DC116．（2017秋•东湖区校级期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AA1的中点，求证：（Ⅰ）A1C∥平面BDE；（Ⅱ）平面A1AC⊥平面BDE．【解答】证明：（Ⅰ）连接AC交BD于O，连接EO，∵E为AA1的中点，O为AC的中点∴EO为△A1AC的中位线∴EO∥A1C又∵EO⊂平面BDE，A1C⊄平面BDE∴A1C∥平面BDE；…（6分）（Ⅱ）∵AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD∴AA1⊥BD又∵四边形ABCD是正方形∴AC⊥BD，∵AA1∩AC=A，AA1、AC⊂平面A1AC∴BD⊥平面A1AC又∵BD⊂平面BDE∴平面A1AC⊥平面BDE．…（12分）。