高中数学必修5数列的概念与简单表示法

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[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
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【解析】 (1)×.因为只要按一定顺序排成的一列数就是一个数列，所以
1,7,0,11，－3，…，－1 000 是一个数列．
(2)×.因为{an}代表一个数列，而 an 只是这个数列中的第 n 项，故{an}与 an 是不一样的．
(3)×.因为各项相等的数列为常数列，而 1,0,1,0,1,0，…为摆动数列，而非常
数列．
(4)×.两个数列只有项完全相同，且排列的顺序也完全相同才称为同一个数
列，数列 1,2,3,4 与 1,2,4,3 虽然所含项相同，但各项排列顺序不同，故不是同一
个数列． 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×
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教材整理 2 数列与函数的关系
阅读教材 P29 第 11 行～P30 倒数第 3 行，完成下列问题． 1．数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项与 序号n之间的关系可以用 一个式子来表示，那么这 个 公式 叫做这个数列的通项公式．
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2．数列与函数的关系
从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：
定义域 正整数集 N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})
解析式
数列的通项公式
值域 自变量从小到大依次取值 时对应的一列函数值构成
表示方法 (1)通项公式(解析法)；(2) 列表 法；(3) 图象 法
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判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1,7,0,11，－3，…，－1 000 不构成数列． (2){an}与 an 是一样的，都表示数列． (3)数列 1,0,1,0,1,0，…是常数列． (4)数列 1,2,3,4 和数列 1,2,4,3 是同一个数列．
() () () ()
⑤2,4,8,16,32，…；
⑥－1，－1，－1，－1.
其中，有穷数列是
，无穷数列是
，递增数列是
，
递减数列是
，常数列是
，摆动数列是
(填序号)．
【精彩点拨】 紧扣有穷数列，无穷数列，递增数列，递减数列，常数列 及摆动数列的定义求解．
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【自主解答】 ①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为 无穷、摆动数列；④是摆动数列，是无穷数列，也是周期为 4 的周期数列；⑤ 为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列．
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1．下列四个数中，哪个是数列{n(n＋1)}中的一项( )
A．380
B．392
C．321
D．232
【解析】 因为 19×20＝380，
所以 380 是数列{n(n＋1)}中的第 19 项．应选 A.
【答案】 A
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2．数列 0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的通项公式是 an＝( )
写出下列数列的一个通项公式： (1)12，2，92，8，225，…； (2)9,99,999,9 999，…； (3)22－1 1，32－3 2，42－5 3，52－7 4，…； (4)－1×1 2，2×1 3，－3×1 4，4×1 5，….
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【精彩点拨】 先观察各项的特点，注意前后项间的关系，分子与分母的 关系，项与序号的关系，每一项符号的变化规律，然后归纳出通项公式．
类别
含义
按项的 有穷数列
项数 有限 的数列
个数 无穷数列
项数 无限 的数列
从第 2 项起，每一项都 大于 它的前一 递增数列
项的数列
按项的
从第 2 项起，每一项都小于 它的前一
递减数列
变化趋
项的数列
势
常数列
各项 相等 的数列
从第 2 项起，有些项 大于它的前一项， 摆动数列
有些项小于它的前一项的数列
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【解】 (1)观察数列中的数，可以看到 0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1,15＝16－ 1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是 an＝n2－1(n∈N*)．
(2)数列各项的绝对值为 1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项 为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为 an＝(－1)n＋1(2n－1)(n∈N*)．
【答案】 ①⑥ ②③④⑤ ①⑤ ② ⑥ ③④
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1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点： ①确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具 有确定性； ②可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异 性)；
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[再练一题]
1．给出下列数列：
(1)2006 ～ 2013 年 某 市 普 通 高 中 生 人 数 ( 单 位 ： 万 人 ) 构 成 数 列
82,93,105,119,129,130,132,135.
(2)无穷多个 3构成数列 3， 3， 3， 3，….
(3)－2 的 1 次幂，2 次幂，3 次幂，4 次幂，…构成数列－2,4，－8,16，－
(4)这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数，且奇数 项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是 an＝(－1)nnn1＋1(n∈N*)．
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1．据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方 面的特征：
①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征； ③拆项后的特征； ④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．
，
11，….
【解析】 据规律填写可知通项为 an＝ 2n－1，∴a5＝3. 【答案】 3
4．数列{an}满足 an＝log2(n2＋3)－2，则 log23 是这个数列的第
项.
【导学号：05920017】
Байду номын сангаас
【解析】 令 an＝log2(n2＋3)－2＝log23，解得 n＝3. 【答案】 3
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【自主解答】 设 f(n)＝9n29－n29－n＋1 2 ＝33nn－ －1133nn－ ＋21＝33nn－ ＋21. (1)令 n＝10，得第 10 项 a10＝f(10)＝2381. (2)令33nn－ ＋21＝19081，得 9n＝300. 此方程无正整数解，所以19081不是该数列中的项．
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数列的概念及分类
[小组合作型]
已知下列数列： ①2 011,2 012,2 013,2 014,2 015,2 016； ②1，12，14，…，2n1－1，…； ③1，－23，35，…，－2n1－n－11·n，…；
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④1,0，－1，…，sinn2π，…；
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探究 2 已知数列{an}的通项公式为 an＝－n2＋2n＋1，该数列的图象有何特 点？
试利用图象说明该数列的单调性及所有的正数项．
【提示】 由数列与函数的关系可知，数列{an}的图象 是分布在二次函数 y＝－x2＋2x＋1 图象上的离散的点，如 图所示，从图象上可以看出该数列是一个递减数列，且前 两项为正数项，从第 3 项往后各项为负数项．
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已知数列9n29－n29－n＋ 1 2. (1)求这个数列的第 10 项； (2)19081是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内．
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【精彩点拨】 (1)将 n＝10 代入数列的通项公式即可．(2)由9n29－n29－n＋ 1 2＝19081 求得 n(n∈N*)是否有正整数解即可．(3)求函数 an＝9n29－n29－n＋ 1 2的值域即可．
③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列 顺序有关，而集合中的元素没有顺序(即无序性)；
④数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事 物．
2．判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点．对于递增、 递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析；而有穷还是无穷数列则看项 的个数有限还是无限．
A.19(10n－1)
B.131－110n
C.29(10n－1)
D．130(10n－1)
【解析】 1－1101＝0.9,1－1102＝0.99，…，故原数列的通项公式为 an＝13
1－110n.应选 B. 【答案】 B
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3．观察下列数列的特点，用适当的一个数填空：1, 3， 5， 7，
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2．观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与序号之 间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换 而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n＋1 来调整．
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[再练一题] 2．写出下列数列的一个通项公式： (1)0,3,8,15,24，…； (2)1，－3,5，－7,9，…； (3)112，223，334，445，…； (4)1,11,111,1 111，….
阶
阶
段
段
一
三
2．1 数列的概念与简单表示法
第 1 课时 数列的概念与简单表示法
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
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[基础·初探]
教材整理 1 数列的定义及分类
阅读教材 P28～P29 第 10 行，完成下列问题． 1．数列的概念及一般形式
每一个数 第一位
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2．数列的分类
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[探究共研型] 数列的通项公式的意义 探究 1 数列12，34，78，1156，3312，…的通项公式是什么？该数列的第 7 项是 什么？225556是否为该数列中的一项？为什么？ 【提示】 由数列各项的特点可归纳出其通项公式为 an＝2n2－n 1，当 n＝7 时，a7＝272－7 1＝112278，若225556为该数列中的一项，则2n2－n 1＝225556，解得 n＝8，所 以225556是该数列中的第 8 项．
【自主解答】 (1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一 成分数再观察：12，42，92，126，225，…，所以，它的一个通项公式为 an＝n22(n∈N*)．
(2)各项加 1 后，变为 10,100,1 000,10 000，…此数列的通项公式为 10n，可 得原数列的通项公式为 an＝10n－1(n∈N*)．
(3)此数列的整数部分 1,2,3,4，…恰好是序号 n，分数部分与序号 n 的关系为 n＋n 1，故所求的数列的一个通项公式为 an＝n＋n＋n 1＝nn2＋＋21n(n∈N*)．
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(4)原数列的各项可变为19×9，19×99，19×999，19×9 999，…，易知数列 9,99,999,9 999，…的一个通项公式为 an＝10n－1.所以原数列的一个通项公式为 an＝19(10n－1)(n∈N*)．
32，….
其中，有穷数列是
，无穷数列是
，递增数列是
，
常数列是
，摆动数列是
．
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【解析】 (1)为有穷数列；(2)(3)是无穷数列，同时(1)也是递增数列；(2) 为常数列；(3)为摆动数列．
【答案】 (1) (2)(3) (1) (2) (3)
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由数列的前几项求通项公式
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(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从 1 开始的奇数列，可用 2n－1 表 示；分子的前一部分是从 2 开始的自然数的平方，可用(n＋1)2 表示，分子的后 一部分是减去一个自然数，可用 n 表示，综上，原数列的通项公式为 an＝ n＋2n1－2－ 1 n(n∈N*)．