立体几何平行垂直问题专题复习

立体几何平行垂直问题

【基础知识点】

」、平行问题

1.直线与平面平行的判定与性质

2.面面平行的判定与性质

、垂直问题

、直线与平面垂直

1 .直线和平面垂直的定义：直线I与平面a内的___________________ 都垂直，就说直线I与平面a 互相垂直.

2.直线与平面垂直的判定定理及推论

平行问题的转化关系:

面，那么另一条直线也

垂直这个平面

文字语言图形语言付号语言

性质定理垂直于冋一个平面的两条直线平行

①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线

②垂直于同一个平面的两条直线平彳 _____

③垂直于同一条直线的两平面平彳 ______

二、平面与平面垂直

1.平面与平面垂直的判定定理

文字语言图形语言付号语言

判定定理

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平

面垂直

2

文字语言图形语言付号语言

性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的

直线垂直于另一个平

面

【典例探究】类型一、平行与垂直

例1、如图，已知三棱锥 A BPC中，AP PC, AC BC, M为AB中点，D为

PB中点，且△ PMB为正三角形。（I）求证:

DM // 平面APC ;

（U）求证：平面ABC 平面APC ;

（川）若BC 4，AB 20，求三棱锥 D 例2.

如图，已知三棱柱ABC ABC,中，

AC BC 2, AA 4 , AB 2.2 , M , N 分别是棱CC,, AB 中点•

(I)求证：CN 平面ABB,A ；

(U)求证：CN// 平面AMB,;

(川)求三棱锥B, AMN的体积.

【变式11 .如图，三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱AA i平面ABC，ABC为等腰直角三角形，BAC 90，且AB AA1 , D,E,F分别是

点。

(1)求证：DE//平面ABC ;

(2)求证：B1F 平面AEF ;

(3)设AB a，求三棱锥D AEF的体积。

二、线面平行与垂直的性质

例3、如图4,在四棱锥P ABCD中，平面PAD平面ABCD，

AB 〃DC，△ PAD是等边三角形，已知BD 2AD 4，

AB 2DC 2.5 .

(1)求证：BD 平面PAD ；(2)求三棱锥A PCD的体

积.

例4、如图，四棱锥P—ABCD中, PD 平面ABCD底面ABCD为正方形，BC=PD=2 E为PC的中点，CG ^CB. (I )求证：PC BC ; (II )求三棱锥

3

C- DEG W 体积；

(III ) AD边上是否存在一点M,使得PA//平面MEG若存在，求AM的长；否则，说明理由。

【变式2】直棱柱ABCDABCD底面ABCD是直角梯形，/ BAD^Z AD G90°，AB= 2AD= 2CD= 2.

(I)求证：AC 平面BBCQ; ( II) A1B上是否存一点P，使得DP与平面BCB B1

B1A, CC1, BC

与平面ACB都平行？证明你的结论

4

=«0

、三视图与折叠问题

例5、如图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图 若F 为PD 的中点，求证：AF 面PCD ； (1) 证明：BD //面 PEC ; (2) 求三棱锥E PBC 的体积。

例6.已知四边形ABCD 是等腰梯形，

1) o 现将 ADE 沿DE 折起，使得AE (I )求证：平面 ADE 平面ACD ；

(II )试在棱AB 上确定一点M ，使截面EMC 把几何体分成两部分的体积比D

V

ADCME

：V

MECB

2： 1

；

(III )在点M 满足(II )的情况下，判断直线 AD 是否平行于平面EMC ，并

说明理由

【变式3】一个四棱锥的直观图和三视 图如下图所示，E 为PD 中点.

(I )求证：PB//平面AEC (II )求四 棱锥C

PAB 的体积；

(川)若F 为侧棱PA 上一点，且

圧，贝V 为何值时，PA 平面BDF.

FA

【变式4】如图1所示，正 ABC 的边长为2a ，CD

是AB 边上的高，E ，F 分别是AC, BC 的中点。现

将ABC 沿CD 翻折，使翻折后平面 ACD 平面BCD

4

俯视图‘

AB 3, DC 1, BAD

A semi

4 侧视图

EB (如图2),连

AC, A

…A

,DE F

E

(如图2)

4

=«0

(1) 试判断翻折后直线 AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； (2) 求三棱锥C-DEF 的体积。 四、立体几何中的最值问题

例7.图4, A i A 是圆柱的母线，AB 是圆柱底面圆的直径，C 是底面圆周上异于 A ， B 的任意一点，A i A= AB=2.

⑴求证:BC 丄平面AAC;

(2)求三棱锥A i -ABC 的体积的最大值.

AC 于点D,现将 PDA 沿PD 翻折至 PDA ',使平面PDA '平面PBCD.

(1) 当棱锥A ' PBCD 的体积最大时，求 PA 的长； (2) 若点P 为AB 的中点，E 为AC 的中点，求证：A 'B DE.

【变式5】如图3,已知在 ABC 中，C 90 , PA 平面ABC AE PB 于E, AF PC 于F , AP AB 2, AEF ，当 变化时，求三棱锥 PA EF 体积的最大值。

高三文科数学专题复习：立体几何平行、垂直问题(答案)

【典例探究】

例1解：(I)： M 为AB 中点，D 为PB 中点， ••• MD // AP ，又二 MD 平面 APC ••• DM // 平面 APC

(n) ：△ PMB 为正三角形,且D 为PB 中点，••• MD PB 又由

(1)二知 MD AP,二 AP PB

又已知AP PC 二AP 平面PBC ,

例8.如图，在 ABC 中,

B 石，

AB BC

2,P 为AB 边上 动点；〜PD//BC 交

C 图4

B

M

D