祖冲之

祖冲之

家世与生平

祖冲之（429—500），是南北朝时期杰出的数学家、天文学家和机械发明家。字文远，范阳郡遒县（今河北涞源）人，刘宋元嘉六年（429）生于建康（今江苏南京）。曾祖父祖台之，东晋时曾任侍中、光禄大夫等要职。祖父祖昌任刘宋大匠卿，是主管土木工程的官员。父亲祖朔之为奉朝请，学识渊博，很受时人敬重。祖氏家庭的历代成员有较高的科学素养，大都对数学和天文历法有所研究。祖冲之自幼受到科学气氛的薰陶和良好的家庭教育，青年时代曾到华林学省专门从事学术研究。后来步入仕途，先后在刘宋朝和南齐朝担任南徐州（今江苏镇江）从事史、公府参军、娄县（今江苏昆山）令、谒者仆射、长水校尉等官职。任职期间，曾写过《安边论》等讨论屯田、垦殖等方面应采取的政策的政论性文章。晚年，齐明帝曾令他巡行四方，兴造大业，以利百姓，但因发生战争而作罢。这时他已是风烛残年，老死将至，不久后即于南齐永元二年（500）逝世，享年七十二岁。

祖冲之从很小的时候起便对数学和天文学产生了浓厚的兴趣。他“专功数术，搜炼古今”，广泛收集从上古时代起直到6 世纪他生活的时代止的各种文献资料，进行了认真的考察。他还“亲量圭尺，躬察仪漏，目尽毫厘，心穷筹策”，在公余之暇坚持进行天文观测和数学计算，积累了大量的新资料。经过深入研究，他终于在数学、天文学和机械制造、交通工具等领域，获得许多极有价值的新成果，攀登上了他生活时代的科学技术高峰。

关于圆周率的计算

祖冲之在数学方面的突出贡献是关于圆周率的计算，确定了相当精确的圆周率值。中国古代最初采用的圆周率是“周三径一”，也就是说，π＝3。这个数值与当时文化发达的其他国家所用的圆周率相同。但这个数值非常粗疏，用它计算会造成很大的误差。随着生产和科学的发展，π＝3 就越来越不能满足精确计算的要求。因此，中外数学家都开始探索圆周率的算法和推求比较精确的圆周率值。在中国，据公元1 世纪初制造的新莽嘉量斛（亦称律嘉量斛，王莽铜斛，是一种圆柱形标准量器，现存）推算，它所取的圆周率是。世纪初，东汉天文学家张衡在《灵宪》中取用π＝ 3.1547 2730232≈，又在球体积计算中取用π＝≈。三国时东吴天文学3.1466 3.1622 10家王蕃在浑仪论说中取用π＝≈。以上这些圆周率近似值，比起142453.1556古率“周三径一”，精确度有所提高，其中π＝还是世界上最早的记录。但这些数值大多是经验结果，并没有可靠10的理论依据。在这方面最先取得突破性进展的是魏晋之际的数学家刘徽。他在《九章算术注》中创立了“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法。他所得到的圆周率值π＝＝与π＝15750392712503.14＝3.1416，都很精确，在当时世界上是很先进的，至今仍在经常使用。继刘徽之后，祖冲之则将圆周率推算到更加精确的程度。据《隋书·律历志》记载，祖冲之确定了π的不足近似值3.1415926 和过剩近似值3.1415927，π的真值在这两个近似值之间，即3.1415926＜π＜3.1415927 精确到小数7 位。这是当时世界上最先进的数学成果，直到约一千年后，才为15 世纪中亚数学家阿尔·卡西（Al—kash1 16 F.V i ta 1540 1603) )）和世纪法国数学家韦达（è，—）所超过。关于他得到这两个数值的方法，史无明载，一般认为是基于刘徽割圆术。通过现代计算验证，如果按照割圆术计算，要得到小数7 位准确的圆周率值，必须求出圆内接正12288 边形的边长和24576 边形的面积，这样，就要对9 位数进行上百次加减乘除和开方运算，还要选择适当的有效数字，保证准确的误差范围。对于用算筹计算的古代数学家来说，这绝不是一件轻而易举的事情，只有掌握纯熟的理论和技巧，并具备踏踏实实和一丝不苟的研究精神，才能取得这样的杰出成就。祖冲之的这项记录在中国也保持了一千多年。中国古代数学家和天文学家还往往用分数表示常量的近似值。为此，祖冲之确定了π的两个分数形式

的近似值：约率π＝227≈，密率π＝≈。这两个数值都是π的渐近分数。其 3.14 3.1415929355113中约率，刘宋天文学家何承天及古希腊阿基米德等都已用到过。密率227355113是π的分母小于的最佳近似分数，则为祖冲之首创。关于密率10000355113是如何得到的，今人有“调日法”术，连分数法，解同余式或不定方程，割圆术等种种推测，迄今尚无定论。在欧洲，π＝是世纪由35511316德国数学家奥托（V.Otto ，1550（？）—1605）和荷兰工程师安托尼兹（A.Anthonisz，1527—1607）分别得到，后通称“安托尼兹率”，但这已是祖冲之以后一千多年的事情了。自从我国古代灿烂的科学文化逐渐得到世界公认以来，一些学者就建议把π＝称为“祖率”，以纪念祖冲之355113的杰出贡献。

关于球的体积公式及其证明

祖冲之的另一项重要数学成就是关于球的体积公式及其证明。各种几何体的体积计算是古代几何学中的基本内容。《九章算术》商功章已经正确地解决了棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台等各种几何体的体积计算问题。但球体积的计算比较复杂，《九章算术》中的球体积公式相当于＝V d9163（d 为球的直径），是一个误差很大的近似公式。东汉科学家张衡曾经研究了这个问题，他试图通过先求出球与外切正方体的体积之比然后再来计算球体积，但没有得到正确的结果。魏晋时的刘徽则将球体积问题的研究推进了一大步。他指出，《九章算术》少广章所说球与其外切圆柱的体积之比为π∶4，这一结论是错误的，并且说明球与外切于球的“牟合方盖”的体积之比才是π∶4（两个底半径相同的圆柱垂直相交，其公共部分称为“牟合方盖”，好像两把扣在一起且上下对称的正方形的伞）。因此，只要求出牟合方盖体积，就可推算出球体积。然而，刘徽始终未能求出牟合方盖体积，所以也未能解决球体积问题。他在《九章算术》少广章开立圆术的注释中说，“欲陋形措意，惧失正理，敢不阙疑，以俟能言者”，实事求是的提出问题，留待后人去解决，表现了一位杰出科学家的虚心和慎重的科学态度。以后又经过近200 年，祖冲之及其子祖暅才对于这一问题取得了突破。祖冲之父子通过对牟合方盖水平截面面积的分析，判定它的体积等于正方体与两个正方锥的体积之差，从而推算出牟合方盖的体积等于2 3d 3（为球的直径长度），并进一步得到正确的球体积公式＝π， d V d 3 16完全解决了球体积的计算问题。由于当时用圆周率，所以他们的球体227积公式为＝。祖氏父子在推导球体积公式过程中，还明确地提出了V11213 d一个重要原理：“幂势不同，则积不容异”①，即二立体如果在等高处截面的面积相等，则它们的体积也必定相等。这个原理现常被称为“祖氏公理”。在西方，这个原理也是一千年后才由17 世纪意大利数学家卡瓦列里（F.B.Cavalieri，1598—1647）提出来的，并被称为“卡瓦列里公理”。这个原理很重要，它是后来创立微积分学的不可缺少的一步。

《隋书·律历志》在叙述祖冲之圆周率之后说他，“又设开差幂，开差立，兼以正负参之，指要精密，算氏之最者也”①。据考证，这可能是指开带从平方和开带从立方法，即解一般形式的二次方程和三次方程，其中各项系数可正可负，在当时中国乃至世界上，要解决这类问题都是比较困难的。但因祖冲之的解法早已失传，现已无法了解其具体内容。祖冲之及其子祖暅的数学成就总结在《缀术》一书中。唐显庆元年（656）国子监添设算学馆，规定《缀术》为必读的“十部算经”之一，学习期限为四年，是数学书中学习时间最长的一种。《缀术》还曾传入朝鲜和日本，被选作数学教育的教材。可惜的是祖冲之的这部数学专著早已失传，其具体内容已无法详知了。

对天文历法的研究

祖冲之对天文历法的研究早在青少年时代就已经开始了。经过多年的实际观测和反复推算，他发现当时行用的何承天《元嘉历》已经与实际天象不合。例如按《元嘉历》算出的冬至时太阳所在位置与实测结果已差3 度，冬至和夏至时刻已差1 天，五星出没时间差40 天，等等。这种