计算方法论文

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课程名称：《计算方法》

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论文题目：《我对拉格朗日公式的认识》成绩：

我对拉格朗日公式的认识

一、问题背景

（一）背景

在生产和科研中出现的函数是多种多样的，常常会遇到这样的情况：在某个实际问题中，虽然可以断定所考虑的函数在区间[a，b]上存在且连续，但却难以找出它的解析表达式，只能通过实验和观测得到在有限个点的函数值（即一张函数表）。显然，要利用这张函数表来分析函数的性态，甚至直接求出其他一些点的函数值可能是非常困难的。在有些情况

下，虽然可以写出函数的解析表达式，但由于结构相当复杂，使用起来很不方便。插值法是解决此类问题的一种比较古老的、然而却是目前常用的方法。

许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律，而不少函数都只能通过实验和观测来了解。如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。这样的多项式称为拉格朗日插值多项式。

（二）相关数学知识

插值法利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。

在多项式插值中，最常见、最基本的问题是：一次数不超过n次的代

数多项式P n（x）=a0+a1x+…+a n x （1）

使P n(x i)=y i （2）

其中，a0,a1,…a n为实数；x i，y i意义同前。

插值多项式的存在唯一性：若节点x0，x1，x2…x n互不相同，则（2）式满足插值条件式的n次多项式（1）存在且唯一。

可以写出n+1个n次多项式。容易看出，这组多项式仅与节点的取法有关，我们称之为n次插值基函数。

二、方法综述

某多项式函数，已知给定的k+1个取值点：（x0，y1）…（x k，y k），其中x i对应着自变量的位置，而y i对应着函数在这个位置的取值。

假设任意两个不同的x j都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为：

其中每个为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为：

(x)+(x)+…+(x)

拉格朗日基本多项式l j(x)的特点是在x j上取值为1，在其它的点x i,i≠j上取值为0。

当n=1时，即得线性插值公式L1(x)=y0+y1又叫线性插值；

当n=2时，又可得抛物线插值公式

L 2(x)=y 0 +y 1 +y 0

又叫三点插值或二次插值。

三、 程序设计

（一）

n,x,,(i=0,1,

（二）程序:

以下题为例：

从函数表

出发，用拉格朗日插值法计算f(0.15),f(0.31),f(0.47)

程序如下：

#include

void main( )

{ int j,k,n;

float p,x,y;

float a[6]={0.0,0.1,0.195,0.3,0.401,0.5};

float b[6]={0.39894,0.39693,0.39142,0.38138,

0.36812,0.35206}; //定义函数数组

printf("Please enter:x,n\n");

scanf("%f ,%d",&x,&n); //输入需要求得值

y=0;

for(k=0;k<=n;k++)

{ p=1;

for(j=0;j<=n;j++)

{ if(k!=j) //判断k与j是否相等

p=p*(x-a[j])/(a[k]-a[j]);

//应用Lagrange插值多项式

}

y=y+p*b[k];

}

printf("x=%.2f,y=%.5f\n",x,y); //输出x，y

}

（三）程序运行

运行结果如下：（截屏）

四、综合分析

拉格朗日插值法的公式结构整齐紧凑，在理论分析中十分方便。

然而在计算中，当插值点增加或减少一个时，所对应的基本多项式就需要全部重新计算，于是整个公式都会变化，非常繁琐，这时可以用重心拉格朗日插值法或牛顿插值法来代替；此外，当插值点比较多的时候，拉格朗日插值多项式的次数可能会很高，因此具有数值不稳定

的特点，也就是说尽管在已知的几个点取到给定的数值，但在附近却会和“实际上”的值之间有很大的偏差，解决的办法是分段用较低次数的插值多项式。