振动与波部分习题

振动与波习题
6-1 一物体沿x 轴作简谐振动，振幅为12.0cm ，周期为2.0s ，在t=0时物体位于6.0cm 处且向正x 方向运动。

求(1)初相位；(2)t=0.5s 时，物体的位置、速度和加速度；(3)在x =-0.6cm 处且向负x 方向运动时，物体的速度和加速度。

6-2 一简谐振动为x=cos(πt+α)，试作出初相位α分别为0、π/3、π/2、-π/3时的x-t 图。

6-3 三个频率和振幅都相同的简谐振动s 1(t)、s 2(t)、s 3(t)，设s 1(t)的图形如本题图所示，已知s 2(t)与s 1(t)的相位差α2-α1=2π/3，s 3(t)与s 1(t)的相位差α3-α1=-2π/3，试在图中作出s 2(t)和s 3(t)的图形。

6-4 一个质量为0.25g 的质点作简谐振动，其表达式为s =sin(5t-π/2)，式中s 的单位为cm ，t 的单位为s ．求
(1)振幅和周期；(2)质点在t=0时所受的作用力；(3)振动的能量。

6-5 如本题图，把液体灌人U 形管内，液柱的振荡是简谐运动吗？周期多少？
6-6 如本题图，劲度系数为k 1和k 2的两个弹簧与质量为m 的物体组成一个振动系统。

求系统振动的固有角频率。

6-7 一竖直弹簧下挂一物体，最初用手将物体在弹簧原长处托住，然后撒手，此系统便上下振动起来，已知物体最低位置在初始位置下方10.0cm 用处。

求(1)振动频率；(2)物体在初始位置下方8.0cm 处的速率大小；(3)若将一个300g 的砝码系在该物体上，系统振动频率就变为原来频率的一半，则原物体的质量为多少? (4)原物体与砝码系在一起时，其新的平衡位置在何处?
6-8 如本题图，一单摆的摆长l=100cm ，摆球质量m=10.0g ，开始时处在平衡位置。

(1)若给小球一个向右的水平冲量F Δt =10.0g ⋅cm/s ，以刚打击后为t=0时刻，求振动的初相位及振幅；(2)若F Δt 是向左的，则初相位为多少?
6-9 在劲度系数为k 的弹簧下悬挂一盘，一质量为m 的重物自高度h 处落到盘中作完全非弹性碰撞。

已知盘子原来静止，质量为M ．求盘子振动的振幅和初相位(以碰后为t=0时刻)。

6-10 若单摆的振幅为θ0，试证明悬线所受的最大拉力等于mg(1+θ02)。

6-11 如本题图，把一个周期为T 的单摆挂在小车里，车从斜面上无摩擦地滑下，单摆的周期如何改变?
6-12 如本题图，将一个匀质圆环用三根等长的细绳对称地吊在一个水平等边三角形的顶点上，绳皆铅直。

将环稍微扭动，此扭摆的运动是简谐的吗？其周期为多少？
6-13 如本题图，质量为M 的平板两端用劲度系数均为◇的相同的弹簧连到侧壁上，下垫有一对质量各为m 的相同圆柱。

将此系统加以左右扰动后，圆柱上下都只滚不滑。

这系统作简谐振动吗? 周期是多少?
6-14 本题图中两个相同圆柱体的轴在同一水平面上，且相距2l ，，两圆柱体以相同的恒定角速率按图中的转向很快地转动。

在圆柱体上放一匀质木板，木板与圆柱体之间的滑动摩擦系数为μ，设μ为常数。

把处在平衡位置的木板略加触动，(1)试证明木板的运动是简谐振动，并确定其固有角频率；(2)若两圆柱体的转动方向都反向，木板是否仍作简谐振动？
6-15 竖直悬挂的弹簧振子，若弹簧本身质量不可忽略，试推导其周期公式：k
m M T 3/2+=π，式中m 为弹簧的质量，k 为其劲度系数，M 为系于其上物体的质量(假定弹簧的伸长量由上到下与长度成
正比地增加)。

6-16 三个质量为m 的质点和三个劲度系数为k 的弹簧串联在一起，紧套在光滑的水平圆周上(见本题图)。

求此系统简正模(即简正频率和运动方式)。

6-17 阻尼振动起始振幅为3.0cm ，经过10s 后振幅变为1.0cm ．经过多长时间振幅将变为0.30cm ？
6-18 一音叉的频率为440Hz ，从测试仪器测出声强在4.0s 内减少到1/5，求音叉的Q 值(Q
=1/2Λ，Λ——阻尼度)
6-19 一个弹簧振子的质量为5.0kg ，振动频率为0.50Hz ，已知振幅的对数减缩为0.02，求弹簧的劲度系数k 和阻尼因数β．
6-20 弹簧振子的固有频率为2.0Hz ，现施以振幅为100dyn 谐变力，使发生共振。

已知共振时的振幅为5.0cm ，求阻力系数γ和阻力的幅度。

6-21 设有两个同方向同频率的简谐振动x 1=A cos(ωt +π/4)，
x 2=3A cos(ωt +3π/4)。

求合成振动的振幅和初相位。

6-22 说明下面两种情形下的垂直振动合成各代表什么运动，并画出轨迹图来。

两者有什么区别
(1) ⎩⎨⎧==t B y t A x ωωcos sin （2）⎩
⎨⎧==t A y t A x ωωsin cos
6-23 两支C 调音叉，其一是标准的256Hz ，另一是待校正的。

同时轻敲这两支音叉，在20s 内听到10拍。

问待校音叉的频率是多少。

6-24 本题图为相互垂直振动合成的李萨如图形。

已知横方向振动的角频率为ω，求纵方向振动的角频率。

6-25 已知平面简谐波在t=0时刻的波形如本题图所示，波朝正x 方向传播。

(1)试分别画出t=T /4、T /2、3T /4三时刻的u-x 曲线；
(2)分别画出x =0、x 1、x 2、x 3四处的u-t 曲线。

6-26 本题图为t=0时刻平面简谐波的波形，波朝负x 方向传播，波速为v=330m/s 。

试写出波函数u (x,t )的表达式。

6-27 设有一维简谐波⎟⎠
⎞⎜⎝⎛−×=30010.02cos 0.2),(x t t x u π，式中x 、u 的单位为cm ，t 的单位为s ．求振幅、波长、频率、波速，以及x=10cm 处振动的初相位。

6-28 写出振幅为A 、频率为v 、波速为c 、朝正x 方向传播的一维简谐波的表达式。

6-29 频率在20至20×103Hz 的弹性波能触发人耳的听觉。

设空气里的声速为330m/s ，求这两个频率声波的波长。

6-30 人眼所能见到的光(可见光)的波长范围是400nm(紫光)到760nm(红光)，求可见光的频率范围(光速c=3×108m/s)。

6-31 一无限长弹簧振子链，所有弹簧的劲度系数皆为k ，自然长度为a /2，振子质量m 和m ′相间。

试证明：此链有两支频谱，即对应每个波数k 有两个角频率ω1(k )和ω2(k )，在m>>m’的情况下有：
) ( '2)() ( 2sin 2)(21光频支声频支m k k ka m k k ==
ωω，对于低频的声频支，A A ~'~=，即m 、m ′的振动同相位，对于高频的光频支，m A m A /~''~−=，即m 、m ′的振动反相位，且与m ′相比，m 几乎不动。

6-32 本题图中O 处为波源，向左右两边发射振幅为A 、角频率ω的简谐波，波速为c ．BB’为反射面，它到O 的距离为5λ/4。

试在有无半波相位突变的两种情况下，讨论O 点两边合成波的性质。

6-33 本题图中所示为某一瞬时入射波的波形，在固定端全反射。

试画出此时刻反射波的波形。

6-34 入射简谐波的表达式为⎦⎤⎢⎣⎡
+⎟⎠⎞⎜⎝
⎛+=42cos ),(πλπx T t A t x u ，在x=0处的自由端反射，设振幅无损失，求反射波的表达式。

6-35 设入射波为⎟⎠⎞⎜⎝
⎛+=λπx T t A t x u 2cos ),(，在x=0处发生反射，反射点为一自由端。

求(1)反射波的表达式；(2)合成的驻波的表达式，并说明哪里是波腹，哪里是波节。

6-36 在同一直线上相向传播的两列同频同幅的波，甲波在A 点是波峰时乙波在B 点是波谷，A 、B 两点相距20.0m ．已知两波的频率为100Hz ，波速为200m/s ，求AB 联线上静止不动点的位置。

6-37 利用表面张力波的色散关系(6.95)式求其群速，并证明相速等于群速时相速最小。

6-38 (1)沿一平面简谐波传播的方向看去，相距2cm 的A 、B 两点中B 点相位落后π/6．已知振源的频率为10Hz ，求波长与波速。

(2)若波源以40cmm/s 的速度向着A 运动，B 点的相位将比A 点落后多少?
6-39 两个观察者A 和B 携带频率均为1000Hz 的声源。

如果A 静止，B 以10m/s 的速率向A 运动，A 和B 听到的拍频是多少？设声速为340m/s ．
6-40 一音叉以2.5m/s 的速率接近墙壁，观察者在音叉后面听到拍音的频率为3Hz ，求音叉振动的频率。

已知声速340m/s ．
6-41 装于海底的超声波探测器发出一束频率为3000Hz 的超声波，被迎面驶来的潜水艇反射回来。

反射波与原来的波合成后，得到频率为以240的拍。

求潜水艇的速率。

设超声波在海水中的传播速度为1500m/s.
6-42 求速度为声速的1.5倍的飞行物艏波的马赫角。