第12讲母函数及其应用_new
母函数
母函数(生成函数)(发生函数)(发生函数)英文:generating function我们已知道了解决组合的计数问题的几种方法,从基本的加法原理和乘法原理开始,导出了排列与组合的各种公式,证明了容斥原理,并且已用它来解决某些计数问题。
这里将论证一种方法是属于Eular 的生成函数法。
(对工程师来说,数列的母函数通称为z-变换)§1 母函数利用生成函数可以说是研究计数问题的一个最主要的一般方法:其基本思想很简单:为了获得一个数列{} 210,,0:a a a k a k=≥的知识,我们用一个母函数+++=∑=≥22100)(x a x a a xa x g kk k这里x k 是指数函数来整体地表示这个数列,称g (x )是数列{}0:kx a k 的普通母函数,这样原数列就转记为成函数。
假如能求得这个函数,则不仅原则上已确定了原数列,还可以通过对函数的运算和分析得到这个数列的许多性质。
这里如果把x k 提成)(x k μ亦称普通母函数指数函数通常选来使得没有两个不同的序列令产生同一个母函数,故序列的母函数仅只是序列的另一种表示。
如1,cos x ,cos2x ,…为指数函数,序列{}2,,1ωω的母函数为+++++=rx x x x F rcos 2cos cos1)(2ωωω另一方面,用,1,1+x ,1-x ,1+x 2,1-x 2,…,1+x r ,1-x r …作为指数函数,序列(3,2,6,0,0)的普通母函数是3+2(1+x )+6(1-x )=11-4x ,而序列(1,3,7,6,0)和(1,2,6,1,1)会产生同一母函数即,1+3(1+x )+7(1-x )=11-4x ,xx x x x 411)1()1()1(6)1(2122-=-+++-+++故函数 ,1,1,1,1,122x x x x -+-+不应做为指数函数,)(x r μ的最近常用的是r x ,以下我们仅讨论这种情况的指数函数。
(沪科版)中考数学总复习课件【第12讲】反比例函数及其应用
∴煅烧时的函数表达式为 y=128x +32(0≤x≤6).
第12讲┃反比例函数及其应用
4800 (2) 当 x=480 时,y= = 10,10-6=4(min),∴锻造的操 480 作时间有 4 min.
第12讲┃反比例函数及其应用
核心考点三
相关知识
常见类型
用反比例函数解决实际问题
主要知识列举 1.矩形中,当面积 S 一定时,长 a 与宽 b 的关
S 系:a= .2.三角形中,当面积 S 一定时,高 h b 几何问题 2S 与相应的底 a 的关系:h= a 当路程 s 一定时,时间 t 是速度 v 的反比例函 行程问题 s 数,即 t= v
第11讲┃一次函数及其应用
核心练习
k 5. [2014·邵阳] 已知反比例函数 y= 的图象经过点( -1, 2), x
-2 则 k= ________ .
图 12 -5
第12讲┃反比例函数及其应用
k 6.[ 2014·娄底] 如图 12-5 所示,M 为反比例函数 y= 的 x 图象上的一点,MA 垂直于 y 轴,垂足为 A,△MAO 的面积为 2,则
第12讲┃反比例函数及其应用
(2) 求 k 的值; (3) 当 x=16 时,大棚内的温度约为多少度?
图 12 -7
第12讲┃反比例函数及其应用
解: (1)恒温系统在这天保持大棚内温度为 18 ℃的时间为 10 小时. k k (2) ∵点 B(12, 18)在双曲线 y= 上,∴18= ,∴k=216. x 12 216 (3) 当 x=16 时, y= =13.5 , 16 ∴当 x =16 时,大棚内的温度约为 13.5 ℃.
母函数的概念和使用
母函数的概念和使用
母函数是组合数学中的一种重要工具,用于描述序列的生成函数。
它可以将序列转化为形式简单的多项式,从而方便地进行计算和推导。
形式上,对于序列$\{a_n\}$,它的母函数可以定义为:
$A(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+...$
母函数$A(x)$通常被视为$x$的函数,可以进行各种计算操作,比如加法、乘法、求导等。
母函数的使用有以下几个方面:
1. 求序列的常用操作:对于给定的序列,可以通过母函数求导、乘法、加法等操作得到新的序列。
例如,序列的微分对应于母函数的求导,序列的乘法对应于母函数的乘法,序列的加法对应于母函数的加法。
2. 求序列的递推关系:通过构造序列的母函数,可以得到序列的递推关系。
递推关系描述了序列相邻项之间的关系,是解决组合计数问题的关键。
通过求解递推关系,可以得到序列的通项公式,从而得到更深入的结论。
3. 求序列的生成函数:母函数可以将序列转化为一个形式简单的多项式。
通过对母函数进行逆变换,可以得到序列的生成函数,从而用多项式的形式来表示序列。
生成函数是分析序列性
质的一种强有力的工具,可以进行各种计算和推导。
母函数在组合计数、离散数学和概率等领域中具有广泛的应用,可以解决各种组合计数问题,如排列组合、图论、走迷宫等问题。
同时,母函数也是解决一些难题的关键,在一些具有复杂递推关系的序列中起到了重要作用。
【高考复习方案 】2014年高考数学(文,江苏教育版)一轮复习课件:第12讲 函数模型及其应用
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第12讲
函数模型及其应用
点 面 讲 考 向
[归纳总结] (1)指数函数模型常与增长率相结合进行 考查,在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等 增长问题可以利用指数函数模型来表示. (2)应用指数函数模型时,先设定模型,将已知的相关 数据代入验证,确定参数,从而确定函数模型. (3)对于函数 y=a(1+x)n 通常利用指数运算与对数函 数的性质进行求解.
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第12讲
双 向 固 基 础
函数模型及其应用
4. 1992 年底世界人口达 54.8 亿, 若人口的年平均增长率 为 x% , 2014 年底世界人口数为 y(亿), 那么 y 与 x 的函数关系 式是____________________.
[答案]
y=54.8(1+x%)22
[解析] 因为 2014-1992=22,所以 y=54.8(1+x%)22.
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第12讲
函数模型及其应用
点 面 讲 考 向
可见,细胞总数 y 与时间 x(小时)之间的函数关系为 y= 3x 100×(2) ,x∈N*. 3x 3x 10 由 100×(2) >10 ,得(2) >108. 3 8 两边取以 10 为底的对数,得 xlg >8,解得 x> . 2 lg 3-lg 2 8 8 因为 = ≈45.45, lg 3-lg 2 0.477-0.301 所以 x>45.45. 故经过 46 小时,细胞总数超过 1010 个.
ax=300, x=120, 解得 (a+1)(x-12)=300+78. a=2.5.
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第12讲
双 向 固 基 础
函数模型及其应用
3.某车站有快、慢两种车,始发站距终点站 7.2 km,慢 车到终点站需 16 min,快车比慢车晚发车 3 min,且行驶 10 min 后到达终点站,则在慢车出发________min 后两车相遇, 相遇时距终点站________ km. [答案] 8 3.6
【工程数学课件】4.3 母函数
或取两次,L ,或取r次,L ,是用如下形式表示:
1 x x2 L xr +L
2!
r!
例5 证明从n个不同的物体中允许重复地选取r个物体 的排列数为nr。
解:设ar为所求的排列数,则序列(a0 ,a1,a2,L ,ar ,L )的 指数母函数为:
fe(x) 1
x
x2 2!
L
xr r!
每个物体出现偶数次的方式数。 解:设a2r为所求的方式数,则序列(a0 ,a1,L ,ar ,L )的普 通母函数为:
f
(x)
(1
x2
x4
L
)n
1
1 x2
n
r 0
n
r r
1
x2r
故有:a2r
n
r r
1
六、指数母函数在排列中的应用
与组合不同的是,某个物体在排列中不取,或取一次,
n n
x
n
1
xn
二、指数母函数
定义 fe ( x
)给 定 a0 一 a个1 1无 x! 穷a序2 x2列2! (aL0,
a1 ,L an
,xann n!
,L ),称函数
L
ai i0
xi i!
为序列(a0 ,a1,L ,an ,L )的指数母函数。
例5 容易得到序列(p(n,0), p(n,1),L , p(n, n))的指数母
x4)(142x4)L4(14 3x)
n
(1
x)n
n r 0
n
r
xr
x
r
的系数
n r
为从n个不同的物体选取r个的方法数.
(1 x x2L ) 表示某一物体可以不选,或选一次, 或选二次,…
算法合集之《母函数的性质及应用》
x 取 f ( x ) e , x 0 0 ,得 e x 1 x
x 2 x3 x 4 G ( x) , 2! 3! 4!
也就是说序列 1,1,1,1, 的指数型母函数的闭形式为 e x 。 同样运用 Taylor 公式,我们可以得到: 序列 1,1,1,1,1,1, 的指数型母函数为 e x 。 序列 0,1,0,1,0,1, 的指数型母函数为
m1 学归纳法同样可以得到结果 g n Cm n1 。
1 1 1 ,之后运用数 m 1 x (1 x) m1 (1 x)
那么闭形式
1 m1 m1 m1 对应的序列为 1, Cm , Cm 1 , Cm 2 , 。 (1 x) m
1 1 , 我们可以把 x 看成一个整体后来展开, 参考 的 1 x 1 x
关键字
母函数 递推 排列组合
§1.母函数的性质
§1.1. 定义
母函数是用于对应一个无穷序列的幂级数,一般来说母函数有形式:
G ( x) g 0 g1 x g 2 x 2 g n x n
n0
我们称 G( x) 是序列 g 0 , g1 , g 2 , 的母函数,下文表示为:
(1 x) m
§1.4. 指数型母函数
有时候序列 g n 所具有的母函数的性质十分复杂, 而序列
gn 所具有的母函数的 n!
性质十分简单,那我们宁愿选择
gn 来研究,然后再乘以 n! 。 n!
我们称:
G ( x) g n
n0
xn 为序列 g 0 , g1 , g 2 , 的指数型母函数。 n!
G( x) g 0 , g1 , g 2 ,
组合数学(第二版)母函数及其应用
考虑座位号),其中,甲、乙两 班最少1张,甲班最多5张,乙班最
多6张;丙班最少2张,最多7张;丁班最少4张,最 多10张.可有多
少种不同的分配方案?
母函数及其应用
母函数及其应用
【例 2.1.5】 从n 双互相不同的鞋中取出r 只(r≤n),要求
其中没有任何两只是成对 的,共有多少种不同的取法?
母函数及其应用
(1+x)n .
【例 2.1.2】 无限数列{1,1,…,1,…}的普母函数是
母函数及其应用
说明
(1)an 的非零值可以为有限个或无限个;
(2)数列{an}与母函数一一对应,即给定数列便得知它的
母函数;反之,求得母函数则数列也随之而定;
(3)这里将母函数只看作一个形式函数,目的是利用其有
关运算性质完成计数问题, 故不考虑“收敛问题”,即始终认
红红、黄黄、蓝蓝、红黄、黄红、红蓝、蓝红、黄蓝、 蓝
黄.其它情形依此类推.
母函数及其应用
这里需要说明的是:
(1)在例2.1.3中,利用普母函数可以将组合的每一种情况
都枚举出来,但是对排列问 题,指母函数却做不到,只能对排列
进行分类枚举.正如例2.3.1这样,项ryb 的系数6说 明红、蓝、
黄球各取一个时,有6种排列方案,但每一种方案具体是什么,
(每个数字可重复出现), 要求其中3,7出现的次数为偶数,1,5,9
出现的次数不加限制.
母函数及其应用
【例 2.3.4】 把上例的条件改为要求1、3、7出现的次数
一样多,5和9出现的次数不 加限制.求这样的n 位数的个数.
解 设满足条件的数有bn 个,与例2.1.6的分配问题类似,即
将n 个不同的球放入标号 为1、3、5、7、9的5个盒子,其中
《函数》第12讲 函数模型及其应用
图3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图4
请你根据图象用简练的语言叙述出: 建议(1)是:不改变车票价格,减少支出费用 ; 建议(2)是:不改变支出费用,提高车票价格 .
[例题1]某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某 种机器12台和6台,现销售给A地10台,B地8台 .已知从甲地调运1台至A地、B地的费用分别为 400元和800元,从乙地调运1台至A地、B地的费 用分别为300元和500元. (1)设从乙地调运x台至A地,求总运费y关于x 的函数关系式 . (2)若总运费不超过9 000元,则共有 种调运方案. (3)求出总运费最低的调运方案及最低的运费.
最大,则甲厂应选取何种生产速度?
自建函数模型解应用题 【例2】某市大桥上的车流速度v(千米/时)是车 流密度x(辆/时)的函数,当车流密度达到200辆/ 千米时造成堵塞,此时车流速度为0;当车流速 度不超过20辆/千米时车流速度为60千米/时。 研究表明:当 20 x 200时,车流速度是车流密 度的一次函数。 (1)当20 x 200 时,求车流速度v(x)的函数
练
习
2.某厂有许多形状为直角梯形的边角料。如 图,为了降低成本,现要从这些边角料上截 取矩形铁片(如图中阴影部分)备用。当截 取的矩形面积最大时,矩形的两边长x,y应为 A.x=15, y=12 B.x=12, y=15 C.x=14, y=10 D.x=10, y=14
建立数学模型一定要过好三关: (1)事理关:通过阅读,明白问题讲的是什么, 熟悉实际背景,为解题打开突破口. (2)文理关:将实际问题的文字语言转化为数 学的符号语言,用数学式子表达文字关系. (3)数理关:在构建数学模型的过程中,对已 知数学知识进行检索,从而认定或构建相应 的数学模型)
(lecture_10)10母函数和其应用_new
几种砝码的组合可以称重的情况, 可以用以上几个函数的乘积表示:
(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4) =(1+x+x2+x3)(1+x3+x4+x7) =1+x+x2+2x3+2x4+2x5+2x6+2x7+x8+x9+x10
从上面的函数知道,可称出从1克到10克, 系数便是方案数。例如右端有2x5 项,即称出 5克的方案有2:5=3+2=4+1,同样, 6=1+2+3=4+2;10=1+2+3+4。故称出6克的方 案有2,称出10克的方案有1
15 2020/11/22
练习:
例3:若有1克砝码3枚、2克砝码4枚、4 克砝码2枚,问能称出哪几种重量?各 有几种方案?
例4: 整数n拆分成1,2,3,…,m的和, 求其母函数。如若其中m至少出现一次, 其母函数又如何?
请自己写出以上两个问题的母函数。
16 2020/11/22
如何编写程序 实现母函数的应用呢?
while (cin>>n && n!=0)
{ for (i=0;i<=n;i++)
{ c1[i]=1;
c2[i]=0;
}
for (i=2; i<=17; i++)
{ for (j=0;j<=n;j++)
for (k=0;k+j<=n; k+=elem[i-1] )
{ c2[j+k]+=c1[j];
母函数及其应用
六、母函数及其应用6.1定义:称() +++++=-12321n n x a x a x a a x f 为数列{}n a 的形式幂级数,或生成函数,简称母函数。
6.2几个常用初等函数的形式幂级数展开式(1)()111<=-∑+∞=x x x n n ;(2)()()()()1!1110<-+⋅⋅-⋅=+∑+∞=x x n n x n n αααα;(3)()R x n x e n nx∈=∑+∞=0!;(4)()()()R x n x x n nn∈-=∑+∞=02!21cos ; (5)()()()R x n x x n n n∈+-=∑+∞=+012!121sin ; (6)()()()111ln 01<-=+∑+∞=-x nx x n nn ; (7)()()1121arctan 012<+-=∑+∞=+x n x x n n n。
求一个初等函数的形式幂级数的根本方法是利用泰勒展开定理,或马克劳林定理。
在定义域范围内,对上述形式幂级数再进行算术运算和解析运算,可以得到其它初等函数的形式幂级数。
我们在下文的目的,就是利用这种运算方法来求数列的通项公式。
6.3数列{}n a 及其前n 项和数列{}n S 的母函数关系定理1:记数列{}n a 的母函数为()x A ,则其n 项和数列{}n S 的母函数()()xx A x B -=1。
证明:∵ ()()∑∑∑∑+∞=-+∞=-+∞=--+∞=-++=++==21111211111n n n n n n n n n n n n n x a xS x a xa S a xSx B()()()()x A x xB a x A x xB a +=-++=11∴ ()()xx A x B -=1。
定理2:()()*121N n n n k nk ∈+=∑=。
证明:记数列{}n 的前n 项和为n S ,则数列{}n S 的母函数为()()∑∑∑∑+∞=-+∞=-+∞=--+∞=-++=++==21112111111n n n n n n n n n n n nx xS x xn S S xS x B()()()()22111111x x xB x x xB -+=--++=∴ ()()()()∑∑∞+=-∞+=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=22'11'2312121112111n n x n n x x n n nx x x x B ()∑+∞=-+=11121n n nx n 。
组合数学讲义及答案 2章 母函数
x1 x 1 x 3
1 x
6x
4
1 x
ex
-ln(1- a x)
《组合数学》
第二章
母函数
ak ak
k 1 = 2k ! k 1 =
cos x
ak =
2k 1!
1k
1 sin x x
2k 1
1 arctan x x
n
n r r r 2 x r 0
n
n r 即不同的取法共有 a r r 2 种。 n 由于每类元素最多只能出现一次, 故 G(x)= 1 2 x 中不能
有 x 2 项,再由同双的两只鞋子有区别知,x 的系数应为 2。 解法二:用排列组合。先从 n 双鞋中选取 r 双,共有 r 种 r 选法,再从此 r 双中每双抽取一只,有 2 种取法,由乘法原理, 即得结果同上。 解法三: 仍用排列组合。 先取出 k 只左脚的鞋, 再在其余 n k
r 组合数为 x r 之系数 C n 。
r
(2.1.2)
为
推论2 S e1 , e2 ,, en ,则 r 无限可重组合的母函数
j 1 G(x)= x 1 x n j0
3/49
n
(2.1.3)
《组合数学》
第二章
母函数
5 i 6 i 7 i 10 i G1(x)= x x x x i 0 i 0 i 0 i 0 4 28 = 1 4 x 35 x x
与
6/49
《组合数学》
第二章
母函数
0 , 当r n为奇数 ar rn r n , 当r n为偶数 C n 2 1 , 2
递归与母函数
= [C(m+ n,0) + C(m+ n,1)x ++ C(m+ n, m+ n)xm+n
比较等号两端项对应系数, 比较等号两端项对应系数,可得一等式 C(m + n, r) = C(m,0)C(n, r) +
C(m,1)C(n, r 1) ++ C(m, r)C(n,0)
相关公式
令r=n,则, ,
解的分析
从x4的系数可知,这8个元素中取4个组合,其组合数为 10.这10个组合可从下面展开式中得到
2 3 2 2 3 (1+ x1 + x1 + x1 )(1+ x2 + x2 )(1+ x3 + x3 + x3 ) 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 = [1+ (x1 + x2 ) + (x1 + x1x2 + x2 ) + (x1 + x1 x2 + x1x2 ) + (x1 x2 + x1 x2 ) + x1 x2 ] 2 3 (1+ x3 + x3 + x3 )
母函数
x2项的系数 1a2+a1a3+…+ an-1an 中所有的项包括 个 项的系数a 中所有的项包括n个 元素a 两个组合的全体 元素 1 , a2 , …,an中取两个组合的全体;同理项系 中取两个组合的全体; 数包含了从n个元素 个元素a 中取3个元素组合 数包含了从 个元素 1 , a2 , …,an 中取 个元素组合 的全体.以此类推. 的全体.以此类推. 若令a 项系数a 若令 1=a2= …=an=1,在 x2项系数 1a2+a1a3+…+ an1 中每一个组合有1个贡献,其他各项以此类推. 1an中每一个组合有1个贡献,其他各项以此类推. 故有: 故有:
人教版数学九年级上册第12课时 反比例函数及其应用-课件
分点 6
a 2+ 1 错解:∵y=- x 是反比例函数,且k=-(a2+1)<0, ∴y随x的增大而增大, ∵-3<-1<2, ∴y1<y2<y3.
失分点 6
∵y=- a 2 + 1 是反比例函数,且k=-(a2+1)<0, x
∴在第二象限内,y随x的增大而增大,且y>0;在第四象
限内,y随x的增大而增大,且y<0,∴y2>y1>0,y3<0,
【解析】①根据反比例函数的图象的两个分支 分别位于二、四象限,可得m<0,故正确;② 在每个分支上y随x的增大而增大,故正确;③ 若点A(-1,a)、点B(2,b)在图象上,结合图 象可知a>b,故错误;④若点P(x,y)在图象上, 则点P1(-x,-y)也在图象上,故正确.故选B.
第一部分 夯实基础 提分多
第三单元 函数
第12课时 反比例函数及其应用
基础点巧练妙记
基础点 1 反比例函数的图象与性质 k
1.定义:形如y=①__x ___(k是常数,k≠0)的函数叫做 反比例函数,k叫做比例系数,反比例函数自变量的 取值范围是②_不__为__0_的___一切实数.
2.图象及性质 k的取值范围
x (2)找出满足反比例函数图象上的点P(a,b);
(3)将P(a,b)代入表达式得k=ab; (4)确定反比例函数的表达式y= a b .
x
2.在具体问题中间根据k的几何意义通过求出相应三 角形或四边形的面积求出k的值,从而求得表达式.
提分必练
8.已知点P(-4,-3)在反比例函数y=
k
x
上,则k=____1_2___.
•
提分必练
3.已知反比例函数y=- 2 ,下列结论不正确的是( )B x
A.图象必经过点(-1,2) B.y随x的增大而增大 C.图象在第二、四象限 D.若x>1,则-2<y<0
《组合数学》教案 2章(母函数)及课后习题讲解
第二章母函数及其应用问题:对于不尽相异元素的部分排列和组合,用第一章的方法新方法:母函数方法。
基本思想:把离散的数列同多项式或幂级数一一对应起来,算。
2.1 母函数(一)母函数(1)定义【定义2.1.1】对于数列{}n a ,称无穷级数()∑∞=≡0n n n x a x G 为该数列的(普通型)母函数,简称普母函数或母函数。
(2)例【例2.1.1】有限数列rn C (r =0, 1, 2, …, n )的普母函数:()x G =nn n n n nx C x C x C C ++++ 2210=()nx +1【例2.1.2】无限数列{1, 1. …, 1, …}的普母函数:()x G = +++++nx x x 21=x-11(3)说明● n a 可以为有限个或无限个。
● 数列{}n a 与母函数一一对应。
{0, 1, 1, …, 1, …}↔ +++++n x x x 20=xx -1 ● 将母函数视为形式函数,目的是利用其有关运算性质完成计数问题,故不考虑“收敛问题”。
(4)常用母函数(二) 组合问题 (1)组合的母函数【定理2.1.1】组合的母函数:设{}m m e n e n e n S ⋅⋅⋅=,,,2211 ,且n 1+n 2+…+n m =n ,则S 的r 可重组合的母函数为()x G =∏∑==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mi n j j i x 10=∑=n r r r x a 0其中,r 可重组合数为rx 之系数r a ,r =0, 1, 2, …, n 。
理论依据:多项式的任何一项与组合结果一一对应。
【例2.1.3】设有6个红球,7个黑球,8个白球,问 (1) 共有多少种不同的选取方法,试加以枚举? (2) 若每次从中任取3个,有多少种不同的取法? (解)(1)元素符号化(x ,y ,z ↔红、黑、白球),元素的个数以符号的指数区分。
母函数G (x , y , z ) =(1+x +x 2) (1+y ) (1+z )=1+(x +y +z )+(x 2+xy +xz +yz )+(x 2x +x 2x +xxx )+( x 2yz )5种情况:① 数字1表示一个球也不取的情况,共有1种方案; ② 取1个球的方案有3种,即红、黑、白三种球只取1个; ③ 取2个球的方案有4种,即2红、1红1黑、1红1白、1黑1白; ④ 取3个球的方案有3种,即2红1黑、2红1白、三色球各一; ⑤ 取4个球的方案有1种,即全取。
母函数讲义
Your mission is to count the number of ways to pay a given amount using coins of Silverland.
Input
The input consists of lines each containing an integer meaning an amount to be paid, followed by a line containing a zero. You may assume that all the amounts are positive and less than 300.
可以把它作为整体进行运算而不需要单独考虑每一个母函数可分为很多种包括普通母函数指数母函数勒让德级数贝尔级数和狄利克雷级数
母函数
母函数 a 0 + a1 x + a 2 x 2 + a3 x 3 + a 4 x 4 + 对应数列 {ai } 为什么要定义这样一个函数呢? 因为母函数把 {ai }的所有信息浓缩到了一个多项式里。 可以把它作为整体进行运算,而不需要单独考虑每一个a i 。
} cout << c1[n] << endl; } return 0; } 解释上面标志的各个地方: ① 首先对c1 初始化,由第一个表达式(1+x+x
2
+..xn)初始化,把质量从 0
到n的所有砝码都初始化为 1. ② i 从 2 到 n 遍历,这里 i 就是指第 i 个表达式,上面给出的第二种母函数关 系式里,每一个括号括起来的就是一个表达式。 ③j 从 0 到n遍历,这里j就是只一个表达式里第j个变量,比如在第二个表达式 里:(1+x
母函数
母函数(Generating function)详解前段时间写了一篇《背包之01背包、完全背包、多重背包详解》,看到支持的人很多,我不是大牛,只是一个和大家一样学习的人,写这些文章的目的只是为了一是希望让大家学的轻松,二是让自己复习起来更方便。
(PS:大家觉得我的文章还过的去就帮我支持下我的个人独立博客---Tanky Woo 的程序人生:,谢谢)(以下内容部分引至杭电ACM课件和维基百科)在数学中,某个序列的母函数是一种形式幂级数,其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。
使用母函数解决问题的方法称为母函数方法。
母函数可分为很多种,包括普通母函数、指数母函数、L级数、贝尔级数和狄利克雷级数。
对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。
构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题,因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。
这里先给出两句话,不懂的可以等看完这篇文章再回过头来看:"把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来""母函数的思想很简单—就是把离散数列和幂级数一一对应起来,把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系,最后由幂级数形式来确定离散数列的构造. "我们首先来看下这个多项式乘法:由此可以看出:1. x的系数是a1,a2,…a n的单个组合的全体。
2. x2的系数是a1,a2,…a2的两个组合的全体。
………n. x n的系数是a1,a2,….a n的n个组合的全体(只有1个)。
由此得到:母函数的定义:对于序列a0,a1,a2,…构造一函数:称函数G(x)是序列a0,a1,a2,…的母函数这里先给出2个例子,等会再结合题目分析:第一种:有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚,能称出哪几种重量每种重量各有几种可能方案考虑用母函数来接吻这个问题:我们假设x表示砝码,x的指数表示砝码的重量,这样:1个1克的砝码可以用函数1+x表示,1个2克的砝码可以用函数1+x2表示,1个3克的砝码可以用函数1+x3表示,1个4克的砝码可以用函数1+x4表示,上面这四个式子懂吗我们拿1+x2来说,前面已经说过,x表示砝码,x的指数表示重量,即这里就是一个质量为2的砝码,那么前面的1表示什么1代表重量为2的砝码数量为0个。
shuxue母函数
最佳答案发生函数"的英文原词是generating function。
它的另外两个译名是"生成函数"与"母函数"。
母函数虽词简而意深,但现今已不常用了。
发生函数方法是现代离散数学领域中的重要方法,它能以某种统一的程序方式处理和解决众多不同类型的问题。
生成函数(也有叫做“母函数”的,但是我觉得母函数不太好听)是说,构造这么一个多项式函数g(x),使得x的n次方系数为f(n)。
生成函数最绝妙的是,某些生成函数可以化简为一个很简单的函数。
也就是说,不一定每个生成函数都是用一长串多项式来表示的。
比如,这个函数f(n)=1 (n 当然是属于自然数的),它的生成函数就应该是g(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+...(每一项都是一,即使n=0时也有x^0系数为1,所以有常数项)。
再仔细一看,这就是一个有无穷多项的等比数列求和嘛。
如果-1<x<1,那么g(x)就等于1/(1-x)了。
在研究生成函数时,我们都假设级数收敛,因为生成函数的x没有实际意义,我们可以任意取值。
于是,我们就说,f(n)=1的生成函数是g(x)=1/(1-x)。
我们举一个例子说明,一些具有实际意义的组合问题也可以用像这样简单的一个函数全部表示出来。
考虑这个问题:从二班选n个MM出来有多少种选法。
学过简单的排列与组合的同学都知道,答案就是C(4,n)。
也就是说。
从n=0开始,问题的答案分别是1,4,6,4,1,0,0,0,...(从4个MM中选出4个以上的人来方案数当然为0喽)。
那么它的生成函数g(x)就应该是g(x)=1+4x+6x^2+4x^3+x^4。
这不就是……二项式展开吗?于是,g(x)=(1+x)^4。
你或许应该知道,(1+x)^k=C(k,0)x^0+C(k,1)x^1+...+C(k,k)x^k;但你或许不知道,即使k为负数和小数的时候,也有类似的结论:(1+x)^k=C(k,0)x^0+C(k,1)x^1+...+C(k,k)x^k+C(k,k+1)x^(k+1)+C(k,k+2)x^(k+2) +...(一直加到无穷;式子看着很别扭,自己写到草稿纸上吧,毕竟这里输入数学式子很麻烦)。
母函数的概念与性质
1绪论母函数又可译为发生函数或生成函数.母函数方法是现代离散数学领域中的重要方法.它是联结离散数学与连续数学的桥梁.它是解决组合计数问题的一个重要工具之一.母函数方法是一种既简单又有用的数学方法,是一个古老方法.他源于De Moivre 在1720前后的工作,1748年欧拉在研究关于划分的问题中发展了这一方法.拉普拉期于18世纪末及19世纪初期对其进行了广泛的论述.其探究主要与概率论相关.尽管这一方法有其悠久的历史,但是正如我们将要看到的那样,这一方法有着广泛的应用.当代计算机科学家克努特(D.E.Knuth)在其名著《The art of computer programming,voll》中作了这样的论述:“…当运用母函数时,通常无需担心级数的收敛性,因为我们只是在探求得到某个问题的解的可能途径,一旦当我们用任何手段发现了解,尽管这些手段也许不严格,就有可能独立的验证这个解…例如有时很容易用数学归纳法来证明,我们甚至不必提到它是利用母函数发现的.此外,可以证明我们对母函数所做的绝大多数——如果不是所有的话——运算都能严格论证其可行而无须顾及级数的收敛性.”这段引文最后的断言是通过把母函数作为形式幂级数而得以实现的.一般情况下,母函数中的x只是一个抽象符号,并不需要对它赋予具体数值.因而不需要考虑它的收敛性.此时的变量x只是一种形式变元.对这种级数可以把它看成形式幂级数,可以按通常方式定义其加法、乘法、形式微分等运算,从而构成一个代数体系.母函数有多种类型,这里仅讨论最常见的两种:普通母函数和指数母函数.下面分别进行讨论.2母函数基本概念定义2.1. 对于数列{}0n n a ≥,称函数 120120()k k k f x a x a a x a x ≥==+++∑为数列{}0n n a ≥的普通型母函数(简称普母函数).定义2.2. 对于数列{}0n n a ≥,称函数120120()!1!2!k kk x x x f x a a a a k ≥==+++∑为数列{}0n n a ≥的指数型母函数(简称指母函数).数列与母函数可以互求.已知母函数,可求出其对应的数列;已知数列,可求出其对应的母函数.R 上的母函数的全体记为[]R x ⎡⎤⎣⎦.在集合[]R x ⎡⎤⎣⎦中适当定义加法和乘法运算,可使它成为一个整环,任何一个母函数都是这个环中的元素.定义2.3. 设0()kk k A x a x ∞==∑与0()k k k B x b x ∞==∑是R 上的两个母函数.若对任意0k ≥,有k k a b =.则称()A x 与()B x 相等.记作()()A x B x =.定义 2.4. 设α为任意实数. []0()kk k A x a x R x ∞=⎡⎤=∈⎣⎦∑,则()0()kk k A x a x αα∞==∑称作α与()A x 的数乘积.定义2.5. 设0()kk k A x a x ∞==∑与0()k k k B x b x ∞==∑是R 上的两个母函数.(1)将()A x 与()B x 相加定义为0()()()k k k k A x B x a b x ∞=+=+∑,并称()()A x B x +为()A x 与()B x 的和,把运算“+”称作加法.(2)将()A x 与()B x 相乘定义为01100()()()k k k k k A x B x a b a b a b x ∞-=⋅=+++∑,并称()()A x B x ⋅为()A x 与()B x 的积,把运算“⋅”称作乘法.3母函数的性质母函数与数列之间是一一对应的,因此,若两个母函数之间存在某种关系,那么相应的两个数列之间也必然存在一定的关系;反过来说当然也能成立.设数列{}0n n a ≥的母函数为()A x ,数列{}0n n b ≥的母函数为()B x ,我们可以得到下面的一些性质:性质3.1. 若0n n kn k b a n k-<⎧=⎨≥⎩ , 则 ()()k B x x A x =.证明: 由假设条件,有 21101211()k k k k k k B x b b x b x b x b x b x -+-+=+++++++11k k k k b x b x ++=++ 101k k a x a x +=++()01k x a a x =++()k x A x =.例3.1. 2()11!2!xx x A x e =+++= 且()B x 满足0n n kn k b a n k-<⎧=⎨≥⎩,则求()B x .解:利用性质1,()()k B x x A x =k x x e =⋅性质3.2. 若n n k b a +=,10()()k n k n n B x A x a x x -=⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑.证明: 又假设条件,有2012()B x b b x b x =+++212k k k a a x a x ++=+++()12121k k k k k k k a x a x a x x ++++=+++ ()10111()k k k A x a a x a x x--=----10()k n k n n A x a x x -=⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑.例3.2. 35()sin 3!5!x x A x x x ==+++,且6k k b a +=,求()B x .解: 6160()()n n n B x A x a x x -=⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑356()3!5!x x A x x x ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦.性质3.3. 若0nn k k b a ==∑,则()()1A x B x x=-. 证明: 有假设条件,有 00b a =, 101b x a x a x =+, 22222012b x a x a x a x =++, …,012n n n n n n n b x a x a x a x a x =++++…, 把以上两边分别相加,得2222012()(1)(1)(1)B x a x x a x x x a x x x =++++++++++++22012()(1)a a x a x x x =++++++()1A x x=-. 例3.3. 21()11A x x x x =+++=- ,且0nn k k b a ==∑,则 ()2()1()11A x B x x x ==-- . 性质3.4. 若n k k nb a ∞==∑,则(1)()()1A xA x B x x -=-.这里0k n a ≥∑是收敛的.证明: 因为0k n a ≥∑是收敛的,所以n k k nb a ∞==∑是存在的.于是有0012(1)b a a a A =+++= 1120[(1)]b x a x a x A a x =++=-, 222222301[(1)]b x a x a x A a a x =++=--,…, 1011[(1)]k k k k k k k k b x a x a x A a a a x +-=++=----,….把以上各式的两边分别相加,得0()(1)[(1)]B x A A a x =+-201[(1)]A a a x +--+01[(1)]k k A a a x -+--+2(1)(1)A x x =+++20(1)a x x x -+++221(1)a x x x -+++- 21(1)k k a x x x --+++-2012[(1)()]A x a a x a x =-+++2(1)x x +++(1)()1A xA x x-=-.性质3.5. 若n n na b =, 则'()()B x xA x =.证明: 由'()A x 的定义知'11()n n n na xxA x x ∞-==∑0n n n na x ∞==∑n n n b x ∞==∑()B x =.例3.4. 已知21()11A x x x x =+++=- ,n n na b =,则()21()11x B x x x x '⎛⎫== ⎪-⎝⎭-. 性质3.6. 若1nn a b n =+, 则1()()xB x A t dt x =⎰.证明: 由假设条件,有0()xxn n n A t dt a t dt ∞==∑⎰⎰(1)xn n n b n t dt ∞==+∑⎰1n n n b x ∞+==∑=()xB x .性质3.7. 若0112200nn n n n n k n k k c a b a b a b a b a b ---==++++=∑.则2012()()()C x c c x c x A x B x =+++=证: 000c a b =()10110c x a b a b x =+ ()222021120c x a b a b a b x =++ …()()()2222001210122012()c x a b b x b x a x bb x b x a x bb x b x =++++++++++++()()22012012a a x a x bb x b x =++++++()()A x B x =.例3.5. 已知21()11n A x x x x x=+++++=- ()22()21n xB x x x nx x =++++=-()11232n n n c n +=++++=则 ()3()1xG x x =-.性质3.8. 若k k k c a b αβ=+ ,则()()()0k k k c x c x A x B x αβ∞===+∑.证明:有假设条件,有()()00kkk k k k k c x c x a b x αβ∞∞====+∑∑0kk k k k k a x b x αβ∞∞===+∑∑kk k k k k a x b x αβ∞∞===+∑∑()()A x B x αβ=+.4性质的应用利用这些性质,可以求某些数列的母函数,也可以计算数列的和.下面列出几个常见的简单数列的母函数.(1) {}111G x=- (2) {}11k G a ak=-(3) {}()21xG k x =-(4) (){}()3211xG k k x +=-(5) {}()()2311x x G k x +=-(6) ()(){}()46121xG k k k x ++=-(7) 1!x G e k ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭(8) ()1aa G x k ⎧⎫⎛⎫=+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭(9) ()111n n k G k x +⎧+⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭ 例4.1.求序列{}5,6,7,,5,n +的母函数.解:()()25675n A x x x n x =++++++()()2235123x x x xx =+++++++(){}51G G k =+ ()()221545111x xx x x -=⋅+=---. 母函数的应用很多.求解递推关系,排列组合中,计数问题中的应用等等.利用母函数的性质,可以求某些数列的母函数,也可以计算数列的和.结束语母函数又称生成函数,是一种即简单又有用的数学方法,求解递推关系和组合计数问题中母函数是一种重要的数学方法.用母函数可以求解常系数线性齐次、非齐次递推关系、求解非线性递推关系、非常系数递推关系等等递推关系.这篇文章给出了母函数的基本知识,从最基本点开始讨论了母函数的性质.利用母函数的性质,可以求某些数列的母函数,也可以计算数列的和.参考文献【1】卢开澄,卢华明. 组合数学(第四版).北京:清华大学出版社,2006,12.【2】田秋成等编著. 组合数学. 电子工业出版社,2006,11.【3】李凡长,康宇,董海峰,段爱华编著.组合理论及其应用. 北京:清华大学出版社,2005,9.【4】冯速译. 应用组合学. 拉特格大学狄克森学院:机械工业出版社,2007,5.【5】李乔.组合学讲义(第二版).北京:高等教育出版社,2008,1.【6】孙淑玲许胤龙编著.组合数学引论.中国科学技术大学出版社,2004,1.【7】孙世新张先迪编著.组合原理及其应用.北京:国防工业出版社,2006,3.。
母函数与指数型母函数
性质5:若bk=kak,则
B( x ) xA '( x ).
性质6:若bk=ak/(1+k),则 1 x B ( x ) A( x )dx. x 0 例7 已知 A( x ) 1 x x 2 x n 则
1 , 1 x
B( x) x 2 x 3 x
若信号输入的序列u0,u1,…的母函数为U(x),输出的 信号序列v0,v1,…的母函数为V(x),则
V ( x ) (1 x x 3 )U ( x ) P ( x )U ( x ),
其中
P ( x) 1 x x 3 被装置的特性所确定,称为该装置的传递函数。
例2 有红球两个,白球、黄球各一个,试求有多少种 不同的组合方案。 设r,w,y 分别代表红球,白球,黄球。
性质4:若bk=ak+ak+1+…,则 A(1) xA( x ) B( x) . 1 x 1: b0 a0 a1 a2 A(1) x: b1 a1 a2 a3 A(1) a0 x2: b2 a2 a3 a4 A(1) a0 a1 +)
类似还可以得到 2 C (n,1) 2 C(n, 2)
n C(n, n) n(n 1)2
2
n 2
.
还可以类似地推出一些等式,但通过上面一些例子 已可见函数(1+x)n在研究序列 C(n,0),C(n,1),…,C(n,n)的关系时所起的作用。 定义:对于序列a0,a1,a2,…,函数
a1 a3 a5 a7 0, a0 1, a2 C (8, 2) 28,
a4 C (8,4) 70, a6 C (8,6) 28, a8 1.
母函数在递归关系求解中的应用_王建英
摘
要 C 母函数在组合数学中有着重要的地位 D 是解决组合问题的强有力的工具 ’ 本文论述了母函数
与递归数列的关系 D 并探讨了用母函数求解递归数列的方法 ’ 关键词 C 母函数 A 递归关系 A 应用 中图分类号 C E#@F 文献标识码 C 4 文章编号 C #))) G !!!F ? !))! B )# G ))FH G )"
7 7 7
对于递归关系 ,* # ,* $ ! ’ ,* $ ) % 有*,*’* ( *,* $ !’* ) *,* $ )’*&
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显然*,*’* # + * ’ + $ ,4 $ ,! ’% *,* $ !’* # ’ * + * ’ + $ ,4 + % *,* $ )’* # ’) + * ’ + &
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母函数与递归关系
定义 1 给定数列 !) D !# D !! D …D !"D …D 构造一函数 # ? $ B K !) %) ? $ B L !# %# ? $ B L !! %! ? $ B L … L !"%" ? $ B L …D 则称 # ? $ B 是数列 !)D !# D !! D … D !" D …的母函数 ’ 而将其中的序列函数 %) ? $ B D %# ? $ B D %! ? $ B … D %" ? $ B 称为标志函数’ 一般情况下 D 我们常常选取 %" ? $ B K $" 作为研究的标志函数 ’ 此时对于数列 !) D !# D !! D …D !" D …D 其母函数为 # ? $ B K !) L !# $ L !! $! L … L !"$" L …’ 定义 2 给定数列 !) D !# D !! D …D !"D …D 构造一函数
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母函数及其应用 (Generation function) )
1 2011-3-30
从递推关系说起
2 2011-3-30
研究以下等式: 研究以下等式:
可以看出: x2项的系数a1a2+a1a3+...+an-1an中所有的项包括 n个元素a1,a2, …an中取两个组合的全体; 同理x3项系数包含了从n个元素a1,a2, …an 中取3个元素组合的全体。以此类推。
3 2011-3-30
若令a1=a2= …=an=1,在(2-1-1)式中 a1a2+a1a3+...+an-1an项系数中每一个组合 有1个贡献,其他各项以此类推。故有:
4 2011-3-30
母函数定义: 母函数定义:
对于序列a0,a1,a2,…构造一函数:
称函数G(x)是序列a0,a1,a2,…的母 函数
18 2011-3-30
改进方法
int main(void) { int n,i,j,k; int elem[17]={1,4,9,16,25,36,…,169,196,225,256,279} while (cin>>n && n!=0) { for (i=0;i<=n;i++) { c1[i]=1; c2[i]=0; } for (i=2; i<=17; i++) { for (j=0;j<=n;j++) for (k=0;k+j<=n; k+=elem[i-1] ) { c2[j+k]+=c1[j]; } for (j=0;j<=n;j++) { c1[j]=c2[j]; c2[j]=0; } } cout<<c1[n]<<endl; } return 0;
8 2011-3-30
几种砝码的组合可以称重的情况, 可以用以上几个函数的乘积表示:
(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4) =(1+x+x2+x3)(1+x3+x4+x7) =1+x+x2+2x3+2x4+2x5+2x6+2x7+x8+x9+x10 从上面的函数知道,可称出从1克到10克,系 数便是方案数。例如右端有2x5 项,即称出5克 的方案有2:5=3+2=4+1,同样, 6=1+2+3=4+2;10=1+2+3+4。故称出6克 的方案有2,称出10克的方案有1
5 2011-3-30
For example:
(1+x)n是序列C(n,0),C(n,1),...,C(n,n)的母 函数。 如若已知序列a0,a1,a2,…则对应的 母函数G(x)便可根据定义给出。 反之,如若已经求得序列的母函数G(x), 则该序列也随之确定。 序列a0,a1,a2,…可记为{an} 。
}
19 2011-3-30
附:相关练习题(hdoj): 相关练习题(hdoj) (hdoj):
1028 、1059 、1085 1171 、1398 、2069 其它相关题目(比如求邮票、硬币之类 的组合数、整数的不同拆分数等)
20 2011-3-30
9 2011-3-30
例二、求用1分、2分、3 例二、求用1分、2分、3分的邮票 贴出不同数值的方案数。
因邮票允许重复,故母函数为
以展开后的x4为例,其系数为4,即4拆分成1、 2、3之和的拆分数为4,即 : 4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2
10 2011-3-30
概念:整数拆分
所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的 和,相当于把n个无区别的球放到n个无 标志的盒子,盒子允许空着,也允许放多 于一个球。整数拆分成若干整数的和,办 法不一,不同拆分法的总数叫做拆分数。
15 2011-3-30
HDOJ_1398
Square Coins
Sample Input 2 10 30 0 Sample Output 1 4 27
16 2011-3-30
算法分析: 算法分析:
典型的利用母函数可解的题目。 G(x)=(1+x+x2+x3+x4+…)(1+x4+x8+x12 +…)(1+x9+x18+x27+…)…
17 2011-3-30
#include <iostream> using namespace std; const int lmax=300; int c1[lmax+1],c2[lmax+1]; int main(void) { int n,i,j,k; while (cin>>n && n!=0) { for (i=0;i<=n;i++) { c1[i]=1; c2[i]=0; } for (i=2;i<=17;i++) { for (j=0;j<=n;j++) for (k=0;k+j<=n;k+=i*i) { c2[j+k]+=c1[j]; } for (j=0;j<=n;j++) { c1[j]=c2[j]; c2[j]=0; } } cout<<c1[n]<<endl; } return 0; }
11 2011-3-30
练习:
例3:若有1克砝码3枚、2克砝码4枚、4 克砝码2枚,问能称出哪几种重量?各有 几种方案? 例4: 整数n拆分成1,2,3,…,m的和, 求其母函数。如若其中m至少出现一次, 其母函数又如何? 请自己写出以上两个问题的母函数。
12 2011-3-30
如何编写程序 实现母函数的应用呢? 实现母函数的应用呢? 关键:对多项式展开 关键:
6 2011-3-30Leabharlann 例分析7 2011-3-30
例一、若有1克、2克、3克、4克的砝码各一 例一、若有1 枚,能称出哪几种重量?各有几种可能方案? 能称出哪几种重量?各有几种可能方案?
如何解决这个问题呢?考虑构造母函数。 如果用x的指数表示称出的重量,则: 1个1克的砝码可以用函数1+x表示, 1个2克的砝码可以用函数1+x2表示, 1个3克的砝码可以用函数1+x3表示, 1个4克的砝码可以用函数1+x4表示,
13 2011-3-30
以整数拆分为例: 以整数拆分为例:
观察以下的母函数:
(这里以lwg写的程序为例)
14 2011-3-30
#include <iostream> using namespace std; const int lmax=10000; int c1[lmax+1],c2[lmax+1]; int main() { int n,i,j,k; while (cin>>n) { for (i=0;i<=n;i++) { c1[i]=0; c2[i]=0; } for (i=0;i<=n;i++) c1[i]=1; for (i=2;i<=n;i++) { for (j=0;j<=n;j++) for (k=0;k+j<=n;k+=i) { c2[j+k]+=c1[j]; } for (j=0;j<=n;j++) { c1[j]=c2[j]; c2[j]=0; } } cout<<c1[n]<<endl; } return 0; }