第一章质点力学

第一章 质点力学

1.5 矿山升降机作加速度运动时，其变加速度可用下式表示：⎪

⎭

⎫ ⎝

⎛-=T t c a 2sin

1π 式中c 及T 为常数，试求运动开始t 秒后升降机的速度及其所走过的路程。已知升降机的初速度为零。

解 ：由题可知，变加速度表示为

⎪⎭

⎫ ⎝

⎛

-=T t c a 2sin

1π 由加速度的微分形式我们可知dt

dv a =

代入得 dt T t c dv ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2sin 1π 对等式两边同时积分

dt T t c dv t v

⎰⎰⎪⎭

⎫ ⎝⎛

-=00

2sin 1π

可得 ：D T t c T ct v ++=2cos 2ππ（D 为

常数）

代入初始条件：0=t 时，0=v ， 故c T D π

2-=

即⎥⎦⎤⎢⎣

⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=12cos 2T t T t c v ππ 又因为dt

ds v =

所以 =ds dt T t T t c ⎥⎦⎤⎢⎣

⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+12cos 2ππ 对等式两边同时积分，可得：

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎪⎭⎫

⎝⎛-+=t T t T T t c s 2sin 222

12πππ 1.8 直线FM 在一给定的椭圆平面内以匀角速ω绕其焦点F 转动。求此直线与椭圆的焦点M 的速度。已知以焦点为坐标原点

的椭圆的极坐标方程为()

θ

cos 112

e e a r +-=

式中a 为椭圆的半长轴，e 为偏心率，常数。

解：以焦点F 为坐标原点

题1.8.1图

则M 点坐标 ⎩⎨

⎧==θθ

sin cos r y r x 对y x ,两式分别求导

⎪⎩⎪⎨⎧+=-=θθθθθθcos sin sin cos r r y

r r x 故

()()

2

2

222cos sin sin cos θθθθθθ r r r r y x

v ++-=+=222ωr r

+= 如图所示的椭圆的极坐标表示法为

()

θ

cos 112e e a r +-=

对r 求导可得（利用ωθ= ） 又因为

()()

2

21cos 111e

a e e a r -+-=θ

即 ()re

r e a --=2

1cos θ

所以

()

()

2

222

2

22

221211cos 1sin e r e ar r e

a --+--=-=θθ

故有 ()

2222

224222

sin 1ωθωr e a r e v +-=

()

2

2

24221e a r e -=

ω()()]1211[2

2222

22e

r e ar r e a --+--22ωr +

()()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--+-⋅-=222222

22

21121e e ar r r e e a r ω()r r a b r -=

22

2

2ω

即 ()r a r b

r v -=2ω（其中

()

b a e b ,1222-=为椭圆的半短轴）

1.9 质点作平面运动，其速率保持为常数。试证其速度矢量v 与加速度矢量a 正交。

证：质点作平面运动，设速度表达式为 j i v y x v v +=令为位矢与轴正向的夹角，所以

dt d v dt dv dt d v dt dv dt d y

y x x j j i i v a +++==j i ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθ x y

y x v dt dv v dt dv []

j i a ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθ x y y x v dt dv v dt dv ()j i y x v v +⋅

θ

θ y x y

y y x x x v v dt dv v v v dt

dv v ++-=dt

dv v dt

dv

v y y

x x += 又因为速率保持为常数，即

C C v v y x ,22=+为常数 对等式两边求导 022=+dt

dv v dt dv v y y x

x

所以 0=⋅v a 正交.

1.11 质点沿着半径为r 的圆周运动，加速度

矢量与速度矢量间的夹角α保持不变。求质点的速度随时间而变化规律。出速度为0v 。

解 由题可知速度和加速度有关系如

图

1.11.1所示

题1.11.1图

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧====ααcos sin 2a dt dv a a r v a t n

两式相比得 dt

dv r v ⋅=ααcos 1sin 2

即 2cot 1v dv dt r =α

对等式两边分别积分

20

0cot 1v dv dt r

v v t

⎰⎰

=α 即

αcot 110r

t

v v -= 此即质点的速度随时间而变化的规律

1.19 将质量为m 的质点竖直抛上于有阻力的媒质中。设阻力与速度平方成正比，即

22gv mk R =。如上抛时的速度为0v ，试证

此质点又落至投掷点时的速度为

2

2011v

k v v +=