2020届燕博园联考高三综合能力测试(全国卷I)数学理科试题(word无答案)

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2020年高三全国统一考试·联考数学理科(含答案)

2020年普通高等学校招生全国统一考试·联考理科数学本试卷共5页，23小题（含选考题），满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上用2B 铅笔将试卷类型（B ）填在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}N x x x x A ∈<--=,0322，则集合A 的真子集有（）A ．5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个2．已知i 是虚数单位，则化简2020)11(ii -+的结果为（） A.i B.i - C.1- D.13.若干年前，某教师刚退休的月退休金为400元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（）A ．4500元 B. 5000元 C ．5500元 D ．6000元4．将包括甲、乙、丙在内的8人平均分成两组参加文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（） A.72 B.73 C.71 D.143 5已知抛物线x y 42=的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点)32,3(M 的直线l 交抛物线于另一点N ，则NM NF :等于（）A.2:1B.3:1C.4:1D.3:16.在所有棱长都相等的直三棱柱111C B A ABC -中，D ，E 分别为棱AC CC ,1的中点，则直线AB 与平面DE B 1所成角的余弦值为（） A.1030 B.2030 C.20130 D.1070 7已知点A （4，3），点B 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥06200y x y x y 所表示平面区域上的任意一点，则AB 的最小值为（）A.5B.554 C.5 D.552 8．给出下列说法①定义在[a ，b]上的偶函数b x a x x f ++-=)4()(2的最大值为20； ②“4π=x ”是“1tan =x ”的充分不必要条件； ③命题“21),,0(000≥++∞∈∃x x x ”的否定形式是“21),,0(<++∞∈∀xx x ” 其中正确说法的个数为（）A.0B.1C.2D.39.已知5.03422log 2log ,,,03log m c m b m a m ===>，则c b a ,,间的大小关系为 A.c b a << B.c a b << C.b a c << D.a c b <<10．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤=15斤，1斤=16两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何?其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半.若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银（）A ．9两 B.127266两 C.63266两 D.127250两 11在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若3cos cos c A b B a =-，则B b A a B a cos cos cos +的最大值为( ) A.2 B.22 C.23 D.332 12.已知几)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，且)13(log )()(3+=+x x g x f ，不等式0)()(3≥--t x f x g 对R x ∈恒成立，则t 的最大值为（）A.1B.2log 233-C.2D.12log 233- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知向量a =（2，5-），b =（1，52），则b 在a 方向上的投影等于 .14在△ABC 中，∠B=32π，A 、B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，且BC=21AB ，则E 的离心率为 .5已知函数)0,0)(cos()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 是奇函数，且在]4,6[ππ-上单调减，则ω的最大值是 .16已知三棱锥A-BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，BC=CD=2，AB=AD=6，则三棱锥A-BCD 的外接球的体积为 .三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第次年题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且112n n n S na a =+-．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列22n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ，证明： 32n T ＜．18．（12分）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABEF 为正方形，AF ⊥DF ，AF=22FD ，∠DFE=∠CEF=45．（1）证明DC ∥FE ；（2）求二面角D-BE-C 的平面角的余弦值．19．（12分）已知点P 在圆O ：x 2+y 2=9上，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足432PQ MQ u u u r u u u u r ．（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设G （-3，0），H （3，0），过点F （1，0）的动直线l 与曲线E 交于A 、B 两点，问直线AG 与直线BH 的斜率之比是否为定值?若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．20．（12分）某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗A 、B 、C ．经过引种实验发现，引种树苗A 的自然成活率为0.7，引种树苗B 、C 的自然成活率均为p （0.6≤p≤0.8）（1）任取树苗A 、B 、C 各一棵，估计自然成活的棵数为X ，求X 的分布列及其数学期望；（2）将（1）中的数学期望取得最大值时p 的值作为B 种树苗自然成活的概率，该农户决定引种n 棵B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗有75%的树苗可经过人栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．①求一棵B 种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活可获利400元，不成活的每棵亏损80元该农户为了获利期望不低于10万元，问至少要引种种树苗多少棵?21．（12分）已知函数f （x ）=（a-1）x+xlnx 的图象在点A （e 2，f （e 2））（e 为自然对数的底数）处的切线斜率为4（1）求实数a 的值；（2）若m ∈Z ，且m （x-1）<f （x ）+1对任意x>1恒成立，求m 的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为-22ππρθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，），直线l 的参数方程为2cos 4sin x t y ts αα=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）．（1）点A 在曲线C 上，且曲线C 在点A 处的切线与直线：x+2+1=0垂直，求点A 的直角坐标；（2）设直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求直线l 的斜率的取值范围．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数f （x ）=|x-1|+2|x+1|，x ∈R（1）求不等式f （x ）<5的解集；（2）若关于x 的不等式122)(-<+t x f 在实数范围内解集为空集，求实数t 的取值范围·11·。

2020届全国大联考高三联考数学(理)试题

2020届全国大联考高三联考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数552i z i i -=-，则z =（）A B ．C ．D ．2．设集合{|{|19}A x y B x x ===<≤，则()A B =R （） A ．(1,3) B ．(3,9) C ．[3,9] D ．∅3．若各项均为正数的等比数列{}n a 满足31232a a a =+，则公比q =（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（）A ．6.25%B ．7.5%C ．10.25%D ．31.25% 5．已知21532121,,log 353a b c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（） A ．a b c << B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a << 6．已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（）A ．,5()4k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z B ．,5()48k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭Z C ．,4()5k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭Z7．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是（）A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-8．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且0FA FB +=，若以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（） ABC ．2 D9．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r ，大圆柱底面半径为2r ，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h ，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为2h ，则12h h =（）A ．21r rB ．212r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．321r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭D10．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，且在(0,)+∞上是增函数，不等式()()21f ax f +≤-对于[]1,2x ∈恒成立，则a 的取值范围是A ．3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,111．在三棱锥P ABC -中，5AB BC ==，6AC =，P 在底面ABC 内的射影D 位于直线AC 上，且2AD CD =，4PD =.设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球Q 的球面上，则球Q 的半径为（）A．8 B．6 C．8 D．612．设函数()2ln x e f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是（） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1,,23e ⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭二、填空题 13．设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且712a a =-，则94S a =______. 14．根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.现有ABC ∆满足“勾3股4弦5”，其中“股”4AB =，D 为“弦”BC 上一点（不含端点），且ABD ∆满足勾股定理，则()CB CA AD -⋅=______. 15．已知圆22 : 4O x y +=，直线l 与圆O 交于P Q ，两点，()2,2A ，若2240AP AQ +=，则弦PQ 的长度的最大值为___________.三、双空题16．()62122x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数和为______，常数项为______.四、解答题17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知0ccosB bsinC -=，2cosA cos A =． ()1求C ；()2若2a =，求，ABC 的面积ABCS18．某省新课改后某校为预测2020届高三毕业班的本科上线情况，从该校上一届高三（1）班到高三（5）班随机抽取50人，得到各班抽取的人数和其中本科上线人数，并将抽取数据制成下面的条形统计图.（1）根据条形统计图，估计本届高三学生本科上线率.（2）已知该省甲市2020届高考考生人数为4万，假设以（1）中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率.（i ）若从甲市随机抽取10名高三学生，求恰有8名学生达到本科线的概率（结果精确到0.01）；（ii ）已知该省乙市2020届高考考生人数为3.6万，假设该市每个考生本科上线率均为(01)p p <<，若2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，求p 的取值范围. 可能用到的参考数据：取40.360.0168=，40.160.0007=.19．如图1，在等腰梯形12ABF F 中，两腰122AF BF ==，底边6AB =，214F F =，D ，C 是AB 的三等分点，E 是12F F 的中点.分别沿CE ，DE 将四边形1BCEF 和2ADEF 折起，使1F ，2F 重合于点F ，得到如图2所示的几何体.在图2中，M ，N 分别为CD ，EF 的中点.（1）证明：MN ⊥平面ABCD .（2）求直线CN 与平面ABF 所成角的正弦值.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，左、右焦点分别为12,F F ，离心率为12，P 是椭圆上的一个动点（不与左、右顶点重合），且12PF F △的周长为6，点P 关于原点的对称点为Q ，直线2,AP QF 交于点M .（1）求椭圆方程；（2）若直线2PF 与椭圆交于另一点N ，且224AF M AF N S S =△△，求点P 的坐标.21．设函数()1f x x x=-，()ln g x t x =，其中()0,1x ∈，t 为正实数.（1）若()f x 的图象总在函数()g x 的图象的下方，求实数t 的取值范围；（2）设()()()221ln 1e 11x H x x x x x ⎛⎫=-++-- ⎪⎝⎭，证明：对任意()0,1x ∈，都有()0H x >.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程是11cos ,421sin 42x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（α是参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在曲线C 上取一点M ，直线OM 绕原点O 逆时针旋转3π，交曲线C 于点N ，求||||OM ON ⋅的最大值.23．已知函数()|2||3|f x x x =++-.（1）解不等式()32f x x ≤-；（2）若函数()f x 最小值为M ，且23(0,0)a b M a b +=>>，求13211a b +++的最小值.参考答案1．B【分析】先求z ，并根据复数除法法则以及模的定义求结果.【详解】552i z i i -=∴-()525551725i i i z i i i i +=+=+=-+-，故z ==故选：B【点睛】本题考查复数除法法则以及模的定义，考查基本分析求解能力，属基础题.2．A【解析】【分析】求函数定义域求得集合A ，由此求得()R A B ⋂. 【详解】因为{|3}A x x =≥，所以()(1,3)R A B ⋂=.故选：A【点睛】本小题主要考查集合交集、补集的概念和运算，属于基础题.3．C【分析】由正项等比数列满足31232a a a =+，即211132a q a a q =+，又10a ≠，即2230q q --=，运算即可得解.【详解】解：因为31232a a a =+，所以211132a q a a q =+，又10a ≠，所以2230q q --=，又0q >，解得3q =.故选：C.本题考查了等比数列基本量的求法，属基础题.4．A【分析】由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比.【详解】水费开支占总开支的百分比为25020% 6.25%250450100⨯=++. 故选：A【点睛】本题考查折线图与柱形图，属于基础题.5．C【分析】加入0和1这两个中间量进行大小比较，其中2510()13<<，132()15->，21log 03<，则可得结论.【详解】 205110()()133<<=， 10322()()155->=， 221log log 103<=， c a b ∴<<.故选：C.【点睛】本题考查了指数幂，对数之间的大小比较问题，是指数函数，对数函数的性质的应用问题，其中选择中间量0和1是解题的关键，属于基础题.6．B【解析】由值域为[5,3]-确定,a b 的值，得()5cos4g x x =--，利用对称中心列方程求解即可【详解】因为()[,2]f x b a b ∈+，又依题意知()f x 的值域为[5,3]-，所以23a b += 得4a =，5b =-，所以()5cos4g x x =--，令4()2x k k ππ=+∈Z ，得()48k x k ππ=+∈Z ，则()g x 的图象的对称中心为,5()48k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z . 故选：B【点睛】本题考查三角函数的图像及性质，考查函数的对称中心，重点考查值域的求解，易错点是对称中心纵坐标错写为07．A【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a 的范围即可．【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为z ax y =+的最大值为26a +，所以z ax y =+在点(2,6)A 处取得最大值，则1a -≤，即1a ≥-.故选：A【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 8．C【解析】【分析】由0FA FB +=得F 是弦AB 的中点.进而得AB 垂直于x 轴，得2b ac a=+，再结合,,a b c 关系求解即可【详解】因为0FA FB +=，所以F 是弦AB 的中点.且AB 垂直于x 轴.因为以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，所以2b a c a =+，即22c a a c a-=+，则c a a -=，故2c e a ==. 故选：C【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题． 9．B【分析】根据空余部分体积相等列出等式即可求解.【详解】在图1中，液面以上空余部分的体积为211r h π；在图2中，液面以上空余部分的体积为222r h π.因为221122r h r h ππ=，所以21221h r h r ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 故选：B【点睛】本题考查圆柱的体积，属于基础题.10．A【分析】根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在(),0-∞上是减函数，由此可将不等式化为121ax -≤+≤；利用分离变量法可得31a x x -≤≤-，求得3x -的最大值和1x -的最小值即可得到结果.【详解】()()f x f x =- ()f x ∴为定义在R 上的偶函数，图象关于y 轴对称又()f x 在()0,∞+上是增函数 ()f x ∴在(),0-∞上是减函数()()21f ax f +≤- 21ax ∴+≤，即121ax -≤+≤121ax -≤+≤对于[]1,2x ∈恒成立 31a xx∴-≤≤-在[]1,2上恒成立312a ∴-≤≤-，即a 的取值范围为：3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦本题正确选项：A 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题. 11．A 【分析】设AC 的中点为O 先求出ABC ∆外接圆的半径，设QM a =，利用QM ⊥平面ABC ，得QM PD ∥ ，在MBQ ∆ 及DMQ ∆中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可【详解】设AC 的中点为O,因为AB BC =，所以ABC ∆外接圆的圆心M 在BO 上.设此圆的半径为r .因为4BO =，所以222(4)3r r -+=，解得258r =.因为321OD OC CD =-=-=，所以8DM ==. 设QM a =，易知QM ⊥平面ABC ，则QM PD ∥.因为QP QB ==即22113625(4)6464a a -+=+，解得1a =.所以球Q 的半径R QB ===. 故选：A【点睛】本题考查球的组合体，考查空间想象能力，考查计算求解能力，是中档题 12．C 【分析】()f x 恰有两个极值点，则0fx 恰有两个不同的解，求出f x 可确定1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02x t x -=+确定，令()()e 02xg x x x =>+通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时t 应满足的条件. 【详解】由题意知函数()f x 的定义域为0,，()()221e 121x x f x t x xx -⎛⎫'=-+-⎪⎝⎭()()21e 2xx t x x ⎡⎤--+⎣⎦=()()2e 122x x x t x x⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭=.因为()f x 恰有两个极值点，所以0fx恰有两个不同的解，显然1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02xt x -=+确定，且这个解不等于1.令()()e 02xg x x x =>+，则()()()21e 02xx g x x +'=>+，所以函数()g x 在0,上单调递增，从而()()102g x g >=，且()13e g =.所以，当12t >且e 3t ≠时，()e 2ln x f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，即实数t 的取值范围是1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数与方程的应用，属于中档题.13．18 【分析】先由712a a =-，可得12a d =-，再结合等差数列的前n 项和公式求解即可. 【详解】解：因为711+62a a d a ==-，所以12a d =-，()19544194992183a d S a d a a a d d+⨯====+. 故答案为：18. 【点睛】本题考查了等差数列基本量的运算，重点考查了等差数列的前n 项和公式，属基础题. 14．14425【分析】先由等面积法求得AD ，利用向量几何意义求解即可. 【详解】由等面积法可得341255AD ⨯==，依题意可得，AD BC ⊥，所以()214425CB CA AD AB AD AD -⋅=⋅==. 故答案为：14425【点睛】本题考查向量的数量积，重点考查向量数量积的几何意义，属于基础题. 15．【分析】取PQ 的中点为M ，由2240AP AQ +=可得2216AM OM -=，可得M 在20x y ++=上，当OM 最小时，弦PQ 的长才最大. 【详解】设M 为PQ 的中点，()22222(2)AP AQ AM PQ +=+，即222222AP AQ AM MQ +=+，即()2224022AM OQ OM=+-，22204AMOM =+-，2216AM OM -=.设(),M x y ，则()2222(2)(2)16x y x y-+--+=，得20x y ++=.所以min OM ==max PQ =故答案为：【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查学生的逻辑推理、数形结合的思想，是一道有一定难度的题. 16．3 -260 【分析】(1)令1x =求得所有项的系数和； (2)先求出612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项与含21x 的系数，再求()62122x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项.【详解】将1x =代入()62122x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，得所有项的系数和为3.因为的展开式中含21x 的项为()424621602C x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含常数项()333612160C x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以()62122x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为60320260-=-.故答案为：3； -260 【点睛】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特殊项问题，属于基础题.17．(1) 12π．(2) 【分析】()1由已知利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求1tanB =，结合范围()0,B π∈，可求4B π=，由已知利用二倍角的余弦函数公式可得2210cos A cosA --=，结合范围()0,A π∈，可求A ，根据三角形的内角和定理即可解得C 的值．()2由()1及正弦定理可得b 的值，根据两角和的正弦函数公式可求sinC 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．【详解】() 1由已知可得ccosB bsinC =，又由正弦定理b csinB sinC=，可得ccosB csinB =，即1tanB =， ()0,B π∈，4B π∴=，2221cosA cos A cos A ==-，即2210cos A cosA --=，又()0,A π∈，12cosA ∴=-，或1(舍去)，可得23A π=，12C A B ππ∴=--=．()223A π=，4B π=，2a =， ∴由正弦定理a bsinA sinB=，可得23a sinB b sinA ⋅===，()1sin 2sinC A B sinAcosB cosAsinB ⎛⎫=+=+=+-=⎪⎝⎭11222ABCSabsinC ∴==⨯=．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，三角形的内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式等知识在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 18．(1)60%；(2) （i ）0.12 （ii ） 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）利用上线人数除以总人数求解；（2）（i ）利用二项分布求解；（ii ）甲、乙两市上线人数分别记为X ，Y ，得~(40000,0.6)X B ，~(36000,)Y B p .，利用期望公式列不等式求解【详解】（1）估计本科上线率为4678560%50++++=.（2）（i ）记“恰有8名学生达到本科线”为事件A ，由图可知，甲市每个考生本科上线的概率为0.6，则882241010()0.6(10.6)0.360.16450.01680.160.12P A C C =⨯⨯-=⨯⨯=⨯⨯≈.（ii ）甲、乙两市2020届高考本科上线人数分别记为X ，Y ，依题意，可得~(40000,0.6)X B ，~(36000,)Y B p . 因为2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，所以EY EX ≥，即36000400000.6p ≥⨯，解得23p ≥，又01p <<，故p 的取值范围为2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查二项分布的综合应用，考查计算求解能力，注意二项分布与超几何分布是易混淆的知识点.19．（1）证明见解析（2）3(1)先证CN EF ⊥，再证DN EF ⊥，由EF BC ∥可得BC ⊥平面CDN ，从而推出MN ⊥平面ABCD ；(2) 建立空间直角坐标系，求出平面ABF 的法向量与CN ，坐标代入线面角的正弦值公式即可得解. 【详解】（1）证明：连接CF ，DN ，由图1知，四边形BCEF 为菱形，且60CEF ∠=︒，所以CEF ∆是正三角形，从而CN EF ⊥. 同理可证，DN EF ⊥，所以EF ⊥平面CDN .又EF BC ∥，所以BC ⊥平面CDN ，因为BC ⊂平面ABCD ，所以平面CDN ⊥平面ABCD .易知CN DN =，且M 为CD 的中点，所以MN CD ⊥，所以MN ⊥平面ABCD . （2）解：由（1）可知CN =MN =ABCD 为正方形.设AB 的中点为G ，以M 为原点，以MG ，MC ，MN 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系M xyz -，则()2,1,0A -，()2,1,0B ，()0,1,0C，(N，(F ，所以()0,2,0AB =，(AF =-，(0,CN =-. 设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =，由0,0,n AB n AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩得20,0,y x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩取()2,0,1n =.设直线CN 与平面ABF 所成的角为θ，所以sin 3CN n CN nθ⋅===，所以直线CN 与平面ABF.【点睛】本题考查线面垂直的证明，直线与平面所成的角，要求一定的空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，属于基础题.20．（1）22143x y +=；（2）12⎛ ⎝⎭或1,2⎛ ⎝⎭ 【分析】（1）根据12PF F △的周长为22a c +，结合离心率，求出,a c ，即可求出方程；（2）设(,)P m n ，则(,)Q m n --，求出直线AM 方程，若2QF 斜率不存在，求出,,M P N 坐标，直接验证是否满足题意，若2QF 斜率存在，求出其方程，与直线AM 方程联立，求出点M 坐标，根据224AF M AF N S S =△△和2,,P F N 三点共线，将点N 坐标用,m n 表示，,P N 坐标代入椭圆方程，即可求解. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为12，12PF F △的周长为6，设椭圆的焦距为2c ，则222226,1,2,a c c abc a +=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩解得2a =，1c =，b =所以椭圆方程为22143x y +=.（2）设(,)P m n ，则22143m n +=，且(,)Q m n --，所以AP 的方程为(2)2ny x m =++①. 若1m =-，则2QF 的方程为1x =②，由对称性不妨令点P 在x 轴上方，则31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，联立①，②解得1,9,2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩即91,2M ⎛⎫⎪⎝⎭. 2PF 的方程为3(1)4y x =--，代入椭圆方程得2293(1)124x x +-=，整理得276130x x --=，1x =-或137x =，139,714N ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭. 222219|227419|21||4AF MAF N AF S S AF ⨯⨯==≠⨯⨯△△，不符合条件.若1m ≠-，则2QF 的方程为(1)1ny x m -=---，即(1)1ny x m =-+③. 联立①，③可解得34,3,x m y n =+⎧⎨=⎩所以(34,3)M m n +.因为224AF M AF N S S =△△，设(,)N N N x y所以2211|42|||2M N AF y AF y ⨯⨯=⨯⨯⨯，即4M N y y =. 又因为,M N 位于x 轴异侧，所以34N n y =-. 因为2,,P F N 三点共线，即2F P 应与2F N 共线，223(1,),(1,)4N n F P m n F N x =-=--所以()31(1)4N n n x m -=--，即734N m x -=，所以2273344143m n -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，又22143m n +=，所以2272839m m ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得12m =，所以n =±所以点P 的坐标为1,24⎛ ⎝⎭或1,24⎛-⎝⎭. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程以及应用、直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论思想和计算求解能力，属于较难题.21．（1）(]0,2 （2）证明见解析【分析】(1)据题意可得()()()1ln 0F x f x g x x t x x=-=--<在区间0,1上恒成立，利用导数讨论函数的单调性，从而求出满足不等式的t 的取值范围；(2)不等式整理为2e 1e 1ln x xx x x x x -<-+，由(1)可知当2t =时，212ln x x x ->，利用导数判断函数e e 1xx x x -+的单调性从而证明e 2e 1xx x x <-+在区间0,1上成立，从而证明对任意()0,1x ∈，都有()0H x >.【详解】（1）解：因为函数()f x 的图象恒在()g x 的图象的下方，所以()()1ln 0f x g x x t x x-=--<在区间0,1上恒成立. 设()1ln F x x t x x=--，其中()0,1x ∈，所以()222111t x tx F x x x x-+'=+-=，其中24t ∆=-，0t >. ①当240t -，即02t <时，()0F x '，所以函数()F x 在0,1上单调递增，()()10F x F <=，故()()0f x g x -<成立，满足题意.②当240t ->，即2t >时，设()()2101x x tx x θ=-+<<，则()x θ图象的对称轴12t x =>，()01θ=，()120t θ=-<，所以()x θ在0,1上存在唯一实根，设为1x ，则()1,1x x ∈，()0x θ<，()0F x '<，所以()F x 在()1,1x 上单调递减，此时()()10F x F >=，不合题意.综上可得，实数t 的取值范围是(]0,2.（2）证明：由题意得()()21e ln 1e 1x x H x x x x ⎛⎫=---+ ⎪⎝⎭()()21e 1e ln x x x x x x x --+=-，因为当()0,1x ∈时，e 10x x x -+>，ln 0x <，所以()()()21e 10e ln x xx x x H x x x --+>⇔>2e 1e 1ln x x x x x x x -⇔<-+. 令()()e 101x h x x x =--<<，则()e 10x h x '=->，所以()h x 在0,1上单调递增，()()00h x h >=，即e 1x x >+，所以()2e 1111x x x x x x x -+>+-+=+，从而2e e e 11x xx x x x <-++. 由（1）知当2t =时，12ln 0x x x --<在()0,1x ∈上恒成立，整理得212ln x x x->. 令()()2e 011xm x x x =<<+，则要证()0H x >，只需证()2m x <. 因为()()()222e 101x x m x x -'=>+，所以()m x 在0,1上单调递增，所以()()e 122m x m <=<，即()2m x <在0,1上恒成立. 综上可得，对任意()0,1x ∈，都有()0H x >成立.【点睛】本题考查导数在研究函数中的作用，利用导数判断函数单调性与求函数最值，利用导数证明不等式，属于难题.22．（1）sin 6π⎛⎫ρ=θ+ ⎪⎝⎭（2）最大值为34 【分析】（1）利用22sin cos 1αα+=消去参数α，求得曲线C 的普通方程，再转化为极坐标方程. （2）设出,M N 两点的坐标，求得||||OM ON ⋅的表达式，并利用三角恒等变换进行化简，再结合三角函数最值的求法，求得||||OM ON ⋅的最大值.【详解】（1）由11cos ,421sin ,2x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去α得曲线C的普通方程为22102x y x y +--=. 所以C的极坐标方程为1cos 22ρ=θ+θ，即sin 6π⎛⎫ρ=θ+ ⎪⎝⎭. （2）不妨设()1,M ρθ，2,3N πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，10ρ>，20ρ>，[0,2)θπ∈，则12||||sin sin 663OM ON πππρρθθ⎛⎫⎛⎫⋅==+⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin cos 6θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1cos cos 22θθθ⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭112cos 2444θθ=++11sin 2264πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 当6πθ=时，||||OM ON ⋅取得最大值，最大值为34. 【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，普通方程化为极坐标方程，考查极坐标系下线段长度的乘积的最值的求法，考查三角恒等变换，考查三角函数最值的求法，属于中档题. 23．（1）7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）169【分析】（1）利用零点分段法，求得不等式的解集.（2）先求得()5f x ≥，即235(0,0)a b a b +=>>，再根据“1的代换”的方法，结合基本不等式，求得13211a b +++的最小值. 【详解】（1）当2x <-时，2332x x x ---+≤-，即35x ≥，无解；当23x -≤≤时，2332x x x +-+≤-，即73x ≤，得733x ≤≤；当3x >时，2332x x x ++-≤-，即1x ≥，得3x >. 故所求不等式的解集为7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（2）因为()|2||3||(2)(3)|5f x x x x x =++-≥+--=，所以235(0,0)a b a b +=>>，则213(1)9a b +++=， 1311313(1)3(21)16[213(1)]10211921192119b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎡⎤+=++++=++≥ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎣⎦.当且仅当211,235,0,0,a b a b a b +=+⎧⎪+=⎨⎪>>⎩即5,854a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号. 故13211a b +++的最小值为169. 【点睛】本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。

2020年全国I卷理科数学高考试题及解析

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题，共60分。

17.（12分）设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项.（1）求{}n a 的公比；（2）若1a =1，求数列{}n na 的前n 项和.解析：（1）由题意可知，，1a 为2a ，3a 的等差中项即1232a a a =+又因{}n a 是公比不为1的等比数列，设公比为q,得21112a a q a q =+即220q q +-=解得q=-2,或q=1(舍去)（2）1111,n n a a a q -== 由第1问计算得q=-2所以通项1(2)n n a -=-令1(2)n n n b na n -==-记{}n na 的前n 项和为Tn，012211(2)2(2)3(2)..(1)(2)(2)n n n T n n --=⨯-+⨯-+⨯-+--+-①23121(2)2(1)3(2)....(1)(2)(2)n nn T n n --=⨯-+⨯-+⨯-++--+-②1-②可得23131(2)(2)(2)...(2)(2)n nn T n -=+-+-+-++---1(2)[1(2)]31(2)1(2)n n n T n ----=+----131(2)99nn n T +=--点评：本题考查等差数列、等比数列的通知公式，数列的求和，其中第2问的数列求和在平时训练中会讲到类似的方法，不算新鲜的题，在计算时要特别小心。

18.（12分）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE=AD,ABC ∆是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点,66PO DO =.(1)证明：PA⊥平面PBC；(2)求二面角B-PC-E 的余弦值.解析：DAE 的截面图和圆锥的底面图如下(1)证明：设OA=OE=1由于AD=AE，所以AD=2因为DO 垂直平面ABC，所以DOA 为直角三角形，由勾股定理，得223DO DA AO =-=6,6PO DO = 所以22PO =再由POD 为直角三角形，故2262PA PO AO =+=同理可得2PB =在三角形ABC 中，由于AO=1，得AB =因为22222⎛⎫⎛+=⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，也即222,PA PB AB +=得AP ⊥BP同理，AP ⊥CP,又由于PBC,CP PBC BP BP CP P⊆⊆⋂=平面平面，且AP PBC⊥所以平面（2）以O 为坐标原点，OE 的方向为y 轴正方向，OE 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.由题设可得1(0,1,0),(0,1,0),((0,0,).222E A C P --所以1(,0),(0,1,),222EC EP =--=-设m(x,y.z)是平面PCE 的法向量，则002,01022y z m EP m EC x y ⎧-+=⎪=⎧⎪⎨⎨∙=⎩⎪--=⎪⎩ 即可取(3m =-由（1）可知(0,1,PCB 2AP n AP == 是平面的一个法向量，记cos ,5n m n m n m ∙<>== 则。

2020届全国大联考高三联考数学(理)试题(解析版)

x y 2 0,
范围是（）
A．[1, )
B． (, 1]
C． (1, )
D． (, 1)
【答案】A 【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断 a 的范围即可．【详解】
作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为 z ax y 的最大值为 2a 6 ，所以 z ax y 在点 A(2, 6) 处取得最大值，则 a 1 ，即 a 1 .
，则可得结论.
【详解】
第 2 页共 20 页
0
(
1
)
2 5
(1)0
1，
33
(
2
)
1 3
(2)0
1，
5
5
log2
1 3
log2
1
0
，
c a b .
故选：C.
【点睛】
本题考查了指数幂，对数之间的大小比较问题，是指数函数，对数函数的性质的应用问
题，其中选择中间量 0 和 1 是解题的关键，属于基础题.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题.
2．设集合 A {x | y x 3}, B {x |1 x 9} ，则 (ðR A) B （）
A． (1,3)
B． (3,9)
C．[3, 9]
D．
【答案】A
【解析】求函数定义域求得集合 A ，由此求得 ðR A B .
本题考查折线图与柱形图，属于基础题.
5．已知
a
1 3
2
5
,b
2 5
1 3
,
c
log2
1 3
，则（
）
A． a b c

燕博园联考2020届高三下学期综合能力测试(CAT一全国卷I)数学(理)试题答案

13、2；
14、 −
1 2n−1
；
15、 − 13 ; 2
− 13 ； 2
16、①②③④
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：60 分。
17、解：（1）在△ABC ， cos C = 5 ，所以 sin C = 1− cos2 C = 2 .
=
43 m
z =1
即 n = (− 3, 4 3 ,1) m
因为 N 在平面 PDB 内，所以 DN ⊥ n .所以 DN n = 0 .
所以 − 3(−k 2 − k + 2) + 4 3 mk 2 + 3k(1− k) = 0 . m
3
即 2k 2 + k −1 = 0 ，
所以 k = 1 或者 k = −1（舍），即 AN = 1
y2 + 2 x2
=
k 2 x1x2
+ 3k(x1 x1x2
+
x2 ) + 9
=
k2
+ 2k 2
− 2 − 3k 2
所以 = AD = sin C =
2
.
DC sin DAC 3sin DAC
因为 0 DAC BAC ,
1
所以 sin DAC (0,1] .
所以 [2 , +) . 3
18、解：
（Ⅰ）证明：取 AD 中点为 O ，连接 PO . △ PAD 是等边三角形，所以 PO ⊥ AD . 因为平面PAD ⊥ 平面ABCD 且相交于 AD ，所以 PO ⊥ 平面 ABCD ,所以 PO ⊥ DC . 因为 AB / /CD, AB ⊥ PA ，所以 CD ⊥ PA . 因为 PO PA = P 在平面 PAD 内，所以 CD ⊥ 平面PAD .

2020年全国I卷理科数学高考试题及答案(word版)

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若z=1+i,则|z2−2z|=A.0B.1C.√2D.22.设集合A={x|x2−4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|−2≤x≤1}，则a=A.-4B.-2C.2D.43.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A.√5−14B.√5−12C.√5+14D.√5+124.已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9,则p=A.2B.3C.6D.95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:C )的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x i,y i)(i=1,2,...,20)得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是A.y=a+bxB.y=a+bx2C.y=a+be xD.y=a+b ln x6.函数f(x)=x4−2x3的图像在点(1,f(1))处的切线方程为A.y=−2x−1B.y=−2x+1C.y=2x−3D.y=2x+1)在[−π，π]的图像大致如下图,则f(x)的最小正周期为7.设函数f(x)=cos(ωx+π6A.10π9B.7π6C.4π3D.3π2 8.(x +y 2x )(x +y)5的展开式中x 3y 3的系数为A.5B.10C.15D.209.已知α∈(0,π),且3cos 2α−8cos α=5,则sin α=A.√53B.23C.13D.√5910.已知A,B,C 为球O 的球面上的三个点，⊙O 1为△ABC 的外接圆，若⊙O 1的面积为4π,AB =BC =AC =OO 1,则球O 的表面积为A.64πB.48πC.36πD.32π11.已知⊙M:x 2+y 2−2x −2y −2=0,直线l:2x +y =0,p 为l 上的动点.过点p 作⊙M 的切线PA ,PB ,切点为A,B ,当|PM ||AB |最小时,直线AB 的方程为A.2x −y −1=0B.2x +y −1=0C.2x −y +1=0D.2x +y +1=012.若2a +log 2a =4b +2log 4b 则A. a >2bB.a <2bC. a >b 2D. a <b 2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若x,y 满足约束条件{2x +y −2≤0,x −y −1≥0,y +1≥0,则z =x +7y 的最大值为 114.设a,b 为单位向量,且|a +b |=1,则|a −b |= √315.已知F 为双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点,且BF垂直于x 轴,若AB 的斜率为3,则C 的离心率为____2____16.如图，在三棱锥P −ABC 的平面展开图中，AC =1，AB =AD =√3，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30∘,则cos ∠FCB =___−14___三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题,共60分.17.(12分)设{a n }是公比不为1的等比数列,a 1为a 2,a 3的等差中项.(1)求{a n }的公比；(2)若a 1=1,求数列{na n }的前n 项和.(1)q =−2;(2)S n =19−3n+19∙(−2)n . 18.(12分)如图,D 为圆锥的顶点,O 是圆锥底面的圆心,AE 为底面直径,AE=AD,ΔABC 是底面的内接正三角形,P 为DO 上一点,PO =√66DO . (1)证明:P A⊥平面PBC ；(2)求二面角B-PC-E 的余弦值.(1){PA ⊥PC(勾股定理)PA ⊥PB(勾股定理)PB ∩PC =P⇒PA ⊥平面PBC(2)2√55(建立空间直角坐标系) 19.(12分)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一轮轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12. (1)求甲连胜四场的概率；(2)求需要进行第五场比赛的概率；(3)求丙最终获胜的概率.(1)116; (2) 34; (3) 38.20.(12分)已知A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2+y 2=1(a >1)的左、右顶点,G 为E 上顶点,AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GB⃗⃗⃗⃗⃗ =8.P 为直线x =6上的动点,PA 与E 的另一交点为C ,PB 与E 的另一交点为D .(1)求E 的方程(2)证明:直线CD 过定点(1)x 29+y 2=1;(2)(32,0)21.(12分)已知函数f (x )=e x +ax 2−x .(1)当a =1时,讨论f (x )的单调性；(2)当x ≥0时,f (x )≥12x 3+1,求a 的取值范围.(1)增区间为(0,+∞),减区间为(−∞,0);(2)[7−e 24,+∞)(二)选考题:共10分,请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =cos k t ,y =sin k t(t 为参数),以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为4ρcos θ−16ρsin θ+3=0.(1)当k =1时,C 1是什么曲线？(2)当k =4时,求C 1与C 2的公共点的直角坐标.(1)以原点为圆心,1为半径的圆;(2)(14,14)23.[选修4—5：不等式选讲](10分)已知函数f(x)=|3x +1|−2|x -1|.(1)画出y =f (x )的图像；(2)求不等式f (x )>f(x +1)的解集. (1)(2){x|x <−76}。

2020届全国高三第一次联合考试数学(理)试题(含解析)

2020年全国高三统一联合考试理科数学一、选择题1.若集合{}|3A x x =<，{}2B =≤，则A B ⋂=（） A.{}|3x x <B.{}|03x x ≤<C.{}|03x x <<D.{}|4x x ≤2.已知i 为虚数单位，若a 为实数，且0a ≠，则1aia i-=+（） A.a i +B.a i -C.iD.i -3.如图，网格纸上每个小正方形的边长为10cm ，粗实线画出的是某蛋糕店制作的一款生日蛋糕的三视图，则该蛋糕的体积为（）A.33310cm π⨯ B.33710cm π⨯C.33910cm π⨯D.331010cm π⨯4.已知,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且cos22sin 21αα=-，则tan α=（） A.12-B.12C.-2D.25.在52y x x ⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中，3xy 的系数为（） A.20B.10C.-10D.-206.函数()21x xe f x xe+=的图象大致为（） A. B. C. D.7.摆线最早出现于公元1501年出版的C ·包威尔的一本书中，摆线是这样定义的：一个圆沿一条直线缓慢地滚动，则圆上一固定点所经过的轨迹称为摆线.圆滚动一周，动圆上定点描画出摆线的第一拱；再向前滚动一周，动圆上定点描画出第二拱；继续滚动，可得第三拱、第四拱、……设圆的半径为r ，圆滚动的圈数为c ，摆线的长度为1，执行如图所示程序框图，若输入的2r =，2c =，则输出摆线的长度为（）A.12πB.16πC.32D.968.在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，2b =，c =60C =︒,则sin A 的值为（）A.7B.7C.14 D.149.某车站在某一时刻有9位旅客出站，假设每位旅客选择共享单车继续出行的概率都为12，且各位旅客之间互不影响.设在这一时刻9位旅客中恰好有k 人骑行共享单车的概率为()P X k -，则（） A.()()45P X P X === B.()()45P X P X =>= C.()()56P X P X =<=D.()()56P X P X ===10.在边长为8的等边ABC ∆中，,D E 分别为AC ,AB 的中点.现将ADE ∆沿DE 折起到A DE '∆的位置，使得A B '=直线A B '=直线A B '与底面BCDE 所成的正弦值为（）A.10B.10C.10D.711.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ,A 为抛物线C 上异于顶点O 的一点，点B 的坐标为(),a b （其中,a b 满足240b a -<）.当||||AB AF +最小时，ABF ∆恰好为正三角形，则a =（）A.1B.43C.53D.212.已知函数ln(2),2()0,2ln(2),2x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪-<⎩，若()||f x x a ≤-对任意的x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（） A.[]1,3B.[]2,4C.[]1,2D.[]1,1-二、填空题13.已知向量()2,1a =-r ，()3,2b =r，若()a b a λ+⊥r r r ，则实数λ=__________.14.函数()2ln ||f x x x =-的图象在点()()1,1f --处的切线方程为__________.15.将函数()22cos 13f x x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移1个单位长度，最后得到的图象对应的函数设为()g x ，则()g x 在区间[]1,1-上的所有零点的和为_________.16.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线l 与C 交于,A B （其中点A 在x 轴上方）两点，且满足22AF F B λ=u u u u r u u u u r .若C 的离心率为32，直线l 的倾斜角为120︒，则实数λ的值是_________.三、解答题（一）必考题17.已知等比数列{}n a 是递减数列，143a a =，234a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设212n n n b a n -+=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.如图，在多面体ABCDFE 中，四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，四边形ABEF 是直角梯形，90FAB ∠=︒，AF BE P ，22AF AB BE ===.①证明：CE P 平面ADF .②若平面ABCD ⊥平面ABEF ，H 为DF 的中点，求平面ACH 与平面ABEF 所成锐二面角的余弦值. 19.为了解高三学生的“理科综合”成绩是否与性别有关，某校课外学习兴趣小组在本地区高三年级理科班中随机抽取男、女学生各100名，然后对200名学生在一次联合模拟考试中的“理科综合”成绩进行统计.规定：分数不小于240分为“优秀”，小于240分为“非优秀”.①根据题意，填写下面的22⨯列联表，并根据列联表判断是否有90%以上的把握认为“理科综合”成绩是否优秀与性别有关.校举办的自主招生考生，设抽到的3名学生中女生的人数为X ，求X 的分布列及数学期望.附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.22a b3，直线l 和椭圆C 交于A ，B 两点，当直线l 过椭圆C 的焦点，且与x 轴垂直时，2||3AB =.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 过点()1,0且倾斜角为钝角，P 为弦AB 的中点，当OPB ∠最大时，求直线l 的方程. 21.已知函数()21axf x x e =-.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当13a e >时，求证：()ln f x x >. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），点P 的坐标为()2,0-.（1）当12cos 13α=时，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求||||PA PB ⋅的值；（2）若点Q 在曲线C 上运动，点M 在线段PQ 上运动，且2PM MQ =，求动点M 的轨迹方程. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()|1||2|f x x x =-+.①在给出的平面直角坐标系中作出函数()f x 的图象，并解不等式()2f x ≥； ②若不等式()|1|5f x x k +-≥-对任意的x R ∈恒成立，求证：65k k+≥.一、选择题1.B【解析】因为{}|3A x x =<，{}|04B x x =≤≤，所以{}|03A B x x ⋂=≤<.故选B. 2.D【解析】()2211(1)()()()1a iai ai a i i a i a i a i a -+---===-++-+，故选D. 3.C【解析】该蛋糕是由上下两个圆柱形小蛋糕组合而成，其体积为()223320*********V cm πππ=⨯⨯+⨯⨯=⨯.故选C.4.B【解析】由cos22sin 21αα=-，得22cos 2sin 2αα=，即2cos 2sin cos ααα=，又,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以cos 0α≠，从而2sin cos αα=，即1tan 2α=.故选B. 5.C【解析】因为52y x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()52103155(1)rr r r r r rr y T C x C xy x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以当3r =时，3xy 的系数为()335110C -=-.故选C.6.A【解析】由()211()x x xx e f x e e xe x-+==+为奇函数，可排除C 和D ；当0x >时，()0f x >，可排除B.故选A. 7.C【解析】08216l =+⨯=，2n =，适合2n ≤；168232l =+⨯=，3n =，不适合2n ≤，此时输出32l =.故选C.8.D【解析】由余弦定理，得2742a a =+-，即3a =，利用正弦定理可得sin sin a A C c ==.故选D. 9.A【解析】由题意得()949142P X C ⎛⎫== ⎪⎝⎭,()959152P X C ⎛⎫== ⎪⎝⎭,()969162P X C ⎛⎫== ⎪⎝⎭.因为4599C C =,所以()()45P X P X ===.因为5699C C >，所以()()56P X P X =>=.故选A.10.B【解析】取DE 的中点O ,连接OA ',OB .在A DE '∆中，由4A D A E DE ''===可得OA '=在BOE ∆中，由2OE =,4BE =,120BEO ∠=︒可得OB =由222OA OB A B ''+=可得OA OB '⊥. 又因为OA DE '⊥,OB DE O ⋂=,所以OA '⊥底面BCDE ,A BO '∠即为直线A B '与底面BCDE 所成角. 在Rt A OB '∆中，sin OA A BO A B ''∠=='故选B. 11.C【解析】设C 的准线为l ，过点B 作BD l ⊥，D 为垂足.当且仅当AB l ⊥，即点,,B A D 共线时，||||AB AF +最小，此时点D 的坐标为()1,b -. 考虑到ABF ∆为正三角形和抛物线的定义，则有||||||AB AF AD ==, 从而点A 的坐标为1,2a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭.因此，11122a a -⎛⎫+=⎪⎝⎭，解得53a =.故选C. 12.A【解析】将函数()f x 的图像向左平移2个单位长度，得到函数ln ,0()0,0,ln(),0x x g x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩的图像，画出函数()f x ，()g x 的图像如图所示，注意到直线1y x =-与曲线ln y x =切于点()1,0，且直线1y x =-在曲线ln y x =的上方. 根据对称性，直线1y x =--与曲线()ln y x =-切于点()1,0-，且直线1y x =--在曲线()ln y x =-的上方.而曲线|2||(2)|y x a x a =+-=--的最低点的坐标为()2,0a -，故若满足()||f x x a ≤-，即()|2|g x x a ≤+-对任意的x R ∈恒成立，则121a -≤-≤，即13a ≤≤.故选A.二、填空题13.54【解析】由题得()32,21a b λλλ+=-+r r .由()a b a λ+⊥r r r ，得2(32)(21)0λλ--++=，解得54λ=.14.0x y +=【解析】因为当0x >时，()2ln f x x x =-，()12f x x x'=-，所以()11f '=. 因为函数()f x 是偶函数，所以()11f '-=-.又()11f -=，所以函数()f x 的图像在点()()1,1f --处的切线方程为()11y x -=-+，即0x y +=. 15.23【解析】由题意知()cos 3g x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令32x k ππππ-=+，k Z ∈，则56x k =+，k Z ∈,可得零点为56x =和16x =-，故所求零点的和为23. 16.17【解析】由2222222229544c a b b e a a a +===⇒=<，得直线l 与双曲线C 的右支交于,A B 两点，设2||F B k =，则2||AF k λ=.根据双曲线定义，1||2F B a k =+，1||2AF a k λ=+. 在12AF F ∆中，由余弦定理，得222(2)(2)()22cos 60a k c k c k λλλ︒+=+-⋅①；在12BF F ∆中，由余弦定理，得()()2222222cos120a k c k ck +=+-⋅︒②.①-②并整理，得322212327222c a c a c a c a λ---====+++. 三、解答题17.解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则22113134a q a q a q ⎧=⎨+=⎩，解得1133a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩或1913a q =⎧⎪⎨=⎪⎩又因为数列{}n a 是递减数列，所以1133a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，不合题意，故1913a q =⎧⎪⎨=⎪⎩故数列的通项公式为33nn a -=.（2）由（1）得2222233n n n n b n n ---⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭，故232123(1)99222223213nnn n n n n T ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭++⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=-⨯+ ⎪⎝⎭-. 18.（1）证明：（方法一）因为四边形ABCD 是菱形，所以AD BC P .又因为AF BE P ,AF AD A ⋂=,BC BE B ⋂=,所以平面ADF P 平面BCE . 因为CE ⊂平面BCE ，所以CE P 平面ADF . （方法二）取AF 的中点M ,连接DM ,EM ,如图，由题意知AM BE =且AM BE P ,所以四边形ABEM 为平行四边形，即ME AB =且ME AB P .又因为四边形ABCD 是菱形，所以四边形DCEM 为平行四边形，即有DM CE P .又DM ⊂平面ADF ,CE ⊄平面ADF ,所以CE P 平面ADF .（2）解：取CD 的中点N ，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒,可得AN CD ⊥. 因为平面ABCD ⊥平面ABEF ,平面ABCD ⋂平面ABEF AB =,AF ⊂平面ABEF ,AF AB ⊥,所以AF ⊥平面ABCD . 以A 为坐标原点，以AN u u u r ,AB u u u r ,AF u u u r的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -如图所示.{}na故()0,0,0A,)C,)1,0D-,()0,0,2F,1,122H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,1,122AH ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭u u u r,)AC =u u ur . 设平面ACH 的一个法向量为(),,n x y z =r，则有00n AH n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r ,即1020x y z y -+=⎨+= 令1x =可得(1,n =r.易知平面ABEF 的一个法向量为()1,0,0m =u r.设平面ACH 与平面ABEF 所成的锐二面角为θ，则||cos ||||m n m n θ⋅==u r r u r r ，. 19.解：（1）填写列联表如下：因为2200(35756525) 2.381 2.70610010060140K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有90%以上的把握认为“理科综合”成绩是否优秀与性别有关. （2）利用分层抽样的方法，抽到男生的人数为1235760⨯=，抽到女生的人数为1225560⨯=.若从12人中任意抽取3人，则女生被抽到的人数0,1,2,3X =,01537327(0)44C C P X C ===,752131221(1)44C C P X C ===,2731251C C 7(2)C 22P X ===,7331250C C 1(3)C 22P X ===. 故抽到女生的人数X 的分布列为()0123444422224E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 20.解：(1)由题意知3c a =，222119c b a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又222a b c =+，解得21b =，29a =，故椭圆C 的方程为2219x y +=. （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l ：()()10y k x k =-<.联立方程2219(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()22229118990k x k x k +-+-=，故21221891k x x k +=+. 设()00,P x y ，则212029291x x k x k +==+， ()001y k x =-=222919191k k k k k ⎛⎫-=- ⎪++⎝⎭，所以直线OP 的斜率0019OP y k x k==-. 设直线l ，OP 的倾斜角分别为α，β，则OPB αβ∠=-, tan tan 91tan tan()1tan tan 89OPB k k αβαβαβ-⎛⎫∠=-==+ ⎪+⎝⎭. 因为0k <，所以11()99k k k k ⎛⎫-+=-+ ⎪-⎝⎭…23=，即1293k k +≤-，所以3tan 4OPB ∠≤-.当且仅当13k =-时，等号成立.所以当OPB ∠最大时，直线l 的斜率13k =-，此时直线l 的方程为310x y +-=.21.（1）解：函数()f x 的定义域为R ,2()2(2)ax ax ax f x xe x ae x ax e '=+⋅=+.当0a =时，()21f x x =-,则()f x 在区间()0,+∞内为增函数，在区间(),0-∞内为减函数；当0a >时，()2ax f x ax x e a ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，令()0f x '>得2x a <-或0x >，令()0f x '<得20x a -<<，所以()f x 在区间2,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭内为增函数，在区间2,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭内为减函数，在区间()0,+∞内为增函数；当0a <时，()2ax f x ax x e a ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，令()0f x '>得20x a <<-，令()0f x '<得2x a >-或0x <，所以()f x 在区间(),0-∞内为减函数，在区间20,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭内为增函数，在区间2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭内为减函数.（2）证明：由()ln f x x >，得2ln 1ax x e x >+，即3ln 1axe x x x +>.设()3ln 1x g x x +=，则3261(ln 1)3()x x x xg x x ⋅-+⋅'=23443ln ln 3ln 2x e x x x -⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-=-当230x e -<<时，()0g x '>；当23x e ->时，()0g x '<.所以()g x 在区间230,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭内是增函数，在区间23,e -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内是减函数，所以23x e -=是()g x 的极大值点，也是()g x 的最大值点，即22323max 323ln 11()3e g x g e e e ---⎛⎫+=== ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎝⎭.设()()0ax e h x x x =>，则()21axa x ea h x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭'=. 当10x a <<时，()0h x '<；当1x a >时，()0h x '>.所以()h x 在区间10,a ⎛⎫⎪⎝⎭内是减函数，在区间1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内是增函数，所以1x a =是()h x 的极小值点，也是的最小值点，即()min 1h x h ae a ⎛⎫== ⎪⎝⎭.综上，()()213g x e ae h x ≤<≤，故()ln f x x >成立.22.解：（1）曲线C 的普通方程为221x y +=. 当12cos 13α=时，直线l 的参数方程为12213513x ty t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 的普通方程，得2483013t t -+=. 由于24827612013169⎛⎫∆=--=> ⎪⎝⎭，故可设点,A B 对应的参数分别为1t ，2t ，则123t t ⋅=，所以||||3PA PB ⋅=.（2）设()cos ,sin Q θθ，(),M x y ，则由2PM MQ =u u u u r u u u u r ,得()h x(2,)2(cos ,sin )x y x y θθ+=--，即322cos 32sin x y θθ+=⎧⎨=⎩消去θ，得222439x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，此即为点M 的轨迹方程.23.（1）解：13,()|1||2|1,0131,1x x f x x x x x x x -<⎧⎪=-+=+⎨⎪->⎩剟，其图像如下图所示令()2f x =，得13x =-或1x =，由()f x 的图像可知，不等式()2f x ≥的解集为1|,13x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或.（2）证明：因为()|1||22||2||222|2f x x x x x x +-=-+--=…，所以3k ≥. 因为2656(2)(3)5k k k k k k k k -+--+-==，又由3k ≥，得20k ->，30k -≥，所以()()230k k k --≥，即65k k +≥.。

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国 I 卷)word版试题及答案解析

2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷I ）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若1z i =+,则22z z -= A.0 B.1 C.2 D.22.设集合{}240A x x =-≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x =-≤≤，则a = A.-4 B.-2 C.2 D.43. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 A.51- B.51- C.51+ D.51+4.已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p = A ．2 B ．3 C ．6 D ．95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C ο）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据i i (,)x y (1,2,...,20)i =得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A ．y a bx =+B ．2y a bx =+ C ．x y a be =+ D ．ln y a b x =+6.函数43()2f x x x =-的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+7.设函数()cos()6f x x πω=+在[]-ππ，的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为A.109πB. 76πC. 43πD. 32π8. 25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为A. 5B. 10C. 15D. 209. 已知(0,)α∈π，且3cos28cos 5αα-=，则sin α= A.5 B. 23C. 13D. 510. 已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，1O 为ABC 的外接圆，若1O 的面积为14,AB BC AC OO π===,则球O 的表面积为 A. 64π B. 48π C. 36π D. 32π11. 已知22:2220M x y x y +---=，直线:20,l x y p +=为l 上的动点.过点p作M 的切线PA ，PB ,切点为,A B ,当PM AB 最小时，直线AB 的方程为 A. 210x y --= B. 210x y +-= C. 210x y -+= D. 210x y ++=12.若a 242log 42log b a b +=+则 A.a>2b B.a<2b C.a>2b D.a<2b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届高三数学质量检测第一次联考试题理含解析

2020届高三数学质量检测第一次联考试题理（含解析）第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,1,0,1,2A =--，2}2{|0B x x x =-+>，则AB =( )A. {}1,0-B. {}0,1C. {}1,0,1-D.{}2,1,0,1,2--【答案】D 【解析】【分析】先求出集合B ，再与集合A 求交集即可. 【详解】由已知，22172()024x x x，故B R =，所以A B ={}2,1,0,1,2--. 故选：D.【点睛】本题考查集合的交集运算，考查学生的基本运算能力，是一道容易题. 2.若复数()12()()z m m i m R =+-∈+是纯虚数，则63iz+=( )A. 3B. 5D.【答案】C 【解析】【分析】先由已知，求出1m =-，进一步可得63i12i z+=-，再利用复数模的运算即可【详解】由z 是纯虚数，得10m +=且20m -≠，所以1m =-，3z i =.因此，6363123i ii z i++==-=故选：C.【点睛】本题考查复数的除法、复数模的运算，考查学生的运算能力，是一道基础题. 3.已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a ⊂α，b ⊂β，a //β，b //α，则“a //b “是“α//β”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】根据面面平行的判定及性质求解即可．【详解】解：a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α，由a ∥b ，不一定有α∥β，α与β可能相交；反之，由α∥β，可得a ∥b 或a 与b 异面，∴a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α，则“a ∥b “是“α∥β”的既不充分也不必要条件．故选：D .【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断，考查面面平行的判定与性质，属于基础题． 4.函数()221x x x f x =+-的图象大致为( ) A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】由()f x 是偶函数可排除A 、B ；再由，0x >有()0f x >可排除D.【详解】由已知，()()()2111221221x x x x f x x +⎛⎫=+=⎪--⎝⎭，则()()()()()()()2121221221x xx xx xf x f x--+-+-===--，所以()f x为偶函数，故可排除A和B；当0x>时，()0f x>，故可排除D.故选：C.【点睛】本题考查已知函数解析式确定函数图象的问题，在处理这类问题时，通常利用函数的性质，如单调性、奇偶性、特殊点的函数值来处理，是一道容易题.5.马林●梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p﹣1作了大量的计算、验证工作，人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2P﹣1（其中p是素数）的素数，称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】模拟程序的运行即可求出答案．【详解】解：模拟程序的运行，可得：p＝1，S＝1，输出S的值为1，满足条件p≤7，执行循环体，p＝3，S＝7，输出S的值为7，满足条件p≤7，执行循环体，p＝5，S＝31，输出S的值为31，满足条件p≤7，执行循环体，p＝7，S＝127，输出S的值为127，满足条件p ≤7，执行循环体，p ＝9，S ＝511，输出S 的值为511，此时，不满足条件p ≤7，退出循环，结束，故若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是5，故选：C ．【点睛】本题主要考查程序框图，属于基础题．6.小明有3本作业本，小波有4本作业本，将这7本作业本混放在-起，小明从中任取两本.则他取到的均是自己的作业本的概率为( ) A.17B. 27C.13D.1835【答案】A 【解析】【分析】利用An P n=计算即可，其中A n 表示事件A 所包含的基本事件个数，n 为基本事件总数. 【详解】从7本作业本中任取两本共有27C 种不同的结果，其中，小明取到的均是自己的作业本有23C 种不同结果，由古典概型的概率计算公式，小明取到的均是自己的作业本的概率为232717C C =.故选：A.【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，考查学生的基本运算能力，是一道基础题. 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且80S =，33a =-，则9S =( ) A. 9 B. 12C. 15-D. 18-【答案】A 【解析】【分析】由80S =，33a =-可得1,a d 以及9a ，而989S S a =+，代入即可得到答案.【详解】设公差为d ，则1123,8780,2a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得17,2,a d =-⎧⎨=⎩ 9189a a d =+=，所以9899S S a =+=.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查学生运算求解能力，是一道基础题.8.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ，若F到直线20bx ay -=，则E 的离心率为( )A.2B.12C.2D.3【答案】A 【解析】【分析】由已知可得到直线20bx ay -=的倾斜角为45，有21ba=，再利用222a b c =+即可解决.【详解】由F 到直线20bx ay -=，得直线20bx ay -=的倾斜角为45，所以21ba=，即()2224a c a -=，解得e =故选：A.【点睛】本题考查椭圆离心率的问题，一般求椭圆离心率的问题时，通常是构造关于,,a b c 的方程或不等式，本题是一道容易题. 9.已知函数()cos(2)3f x x π=+，则下列结论错误的是( )A. 函数()f x 的最小正周期为πB. 函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称C. 函数()f x 在2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D. 函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度得到【答案】D 【解析】由2πT ω=可判断选项A ；当π12x =时，ππ2=32x +可判断选项B ；利用整体换元法可判断选项C ；πsin 212y x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭()πcos 23x f x ⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭可判断选项D.【详解】由题知()πcos 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，最小正周期2ππ2T ==，所以A 正确；当π12x =时， ππ2=32x +，所以B 正确；当π2π,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，π5π2π,33x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以C 正确；由sin 2y x = 的图象向左平移π12个单位，得ππππsin 2sin 2sin 212623y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()πcos 23x f x ⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭，所以D 错误.故选：D.【点睛】本题考查余弦型函数的性质，涉及到周期性、对称性、单调性以及图象变换后的解析式等知识，是一道中档题. 10.已知函数f （x ）＝e b ﹣x﹣ex ﹣b+c （b ，c 均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f （5）+f （﹣1）＝（） A. ﹣2 B. ﹣1C. 2D. 4【答案】C 【解析】【分析】根据对称性即可求出答案．【详解】解：∵点（5，f （5））与点（﹣1，f （﹣1））满足（5﹣1）÷2＝2，故它们关于点（2，1）对称，所以f （5）+f （﹣1）＝2，故选：C ．【点睛】本题主要考查函数的对称性的应用，属于中档题．11.已知双曲线2222:1(0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线E 上的一点，且212||PF PF =.若直线2PF 与双曲线E 的渐近线交于点M ，且M 为2PF 的中点，则双曲线E 的渐近线方程为( )A. 13y x =±B. 12y x =±C. 2y x =±D. 3y x =±【答案】C 【解析】【分析】由双曲线定义得24PF a =，12PF a =，OM 是12PF F △的中位线，可得OM a =，在2OMF △中，利用余弦定理即可建立,a c 关系，从而得到渐近线的斜率. 【详解】根据题意，点P 一定在左支上.由212PF PF =及212PF PF a -=，得12PF a =，24PF a =，再结合M 为2PF 的中点，得122PF MF a ==，又因为OM 是12PF F △的中位线，又OM a =，且1//OM PF ，从而直线1PF 与双曲线的左支只有一个交点.在2OMF △中22224cos 2a c aMOF ac+-∠=.——①由2tan b MOF a ∠=，得2cos aMOF c∠=. ——② 由①②，解得225c a=，即2b a =，则渐近线方程为2y x =±.故选：C.【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题.12.数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( ) A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ②③④【答案】B 【解析】【分析】利用基本不等式得224x y +≤，可判断②；224x y +=和()3222216x yx y +=联立解得222x y ==可判断①③；由图可判断④.【详解】()2223222216162x y x yx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，解得224x y +≤（当且仅当222x y ==时取等号），则②正确；将224x y +=和()3222216x y x y +=联立，解得222x y ==，即圆224x y +=与曲线C 相切于点2,2，(2,2-，(2,2-，2,2-，则①和③都错误；由0xy <，得④正确. 故选：B.【点睛】本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.二、填空题：本题共4小题.每小题5分，共20分. 13.已知向量()1,1,2a b ==，且向量a 与b 的夹角为()3,4a ab π⋅+=_______.【解析】【分析】根据向量数量积的定义求解即可．【详解】解：∵向量()112a b ==，，，且向量a 与b 的夹角为34π，∴|a |==所以：a •（a b +）22a a b =+⋅=22⨯cos34π=2﹣2＝0，故答案为：0．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的定义，属于基础题．14.定义在R 上的函数()f x 满足：①对任意的,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y -=-；②当0x <时，()0f x >，则函数()f x 的解析式可以是______________. 【答案】()f x x =-（或()2f x x =-，答案不唯一）【解析】【分析】由()()()f x y f x f y -=-可得()f x 是奇函数，再由0x <时，()0f x >可得到满足条件的奇函数非常多，属于开放性试题.【详解】在()()()f x y f x f y -=-中，令0x y ==，得(0)0f =；令0x =，则()()()()0y f y f y f f -==--，故()f x 是奇函数，由0x <时，()0f x >，知()f x x =-或()2f x x =-等，答案不唯一.故答案为：()f x x =-（或()2f x x =-，答案不唯一）. 【点睛】本题考查抽象函数性质，涉及到由表达式确定函数奇偶性，是一道开放性的题，难度不大.15.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(21)3n n S a +=，若108a ka =，则k =______________. 【答案】9 【解析】用1n -换(21)3n n S a +=中的n ，得11233(2)n n S a n --=+≥，作差可得13(2)n n a a n，从而数列{}n a 是等比数列，再由2810a k q a ==即可得到答案. 【详解】由233n n S a =+，得11233(2)n n S a n --=+≥，两式相减，得1233n n n a a a -=-，即13(2)nn a a n；又11233S a =+，解得13a =-，所以数列{}n a 为首项为-3、公比为3的等比数列，所以28109a k q a ===. 故答案为：9.【点睛】本题考查已知n a 与n S 的关系求数列通项的问题，要注意n 的范围，考查学生运算求解能力，是一道中档题.16.已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，且90PAB ∠=︒.若四棱锥P-ABCD 的五个顶点在以4为半径的同一球面上，当PA 最长时，则PDA ∠=______________；四棱锥P-ABCD 的体积为______________.【答案】 (1). 90° (2). 3【解析】【分析】易得AB ⊥平面PAD ，P 点在与BA 垂直的圆面1O 内运动，显然，PA 是圆1O 的直径时，PA 最长；将四棱锥P ABCD -补形为长方体111A B C P ABCD -，易得PB 为球的直径即可得到PD ，从而求得四棱锥的体积.【详解】如图，由90PAB ∠=及AB AD ⊥，得AB ⊥平面PAD ，即P 点在与BA 垂直的圆面1O 内运动，易知，当P 、1O 、A 三点共线时，PA 达到最长，此时，PA 是圆1O 的直径，则90PDA ∠=；又AB PD ⊥，所以PD ⊥平面ABCD ，此时可将四棱锥P ABCD -补形为长方体111A B C P ABCD -，其体对角线为28PB R ==，底面边长为2的正方形，易求出，高214PD =，故四棱锥体积1814421433V =⨯⨯=.故答案为： (1) 90° ； (2)8143. 【点睛】本题四棱锥外接球有关的问题，考查学生空间想象与逻辑推理能力，是一道有难度的压轴填空题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.我国在贵州省平塘县境内修建的500米口径球面射电望远镜（FAST ）是目前世界上最大单口径射电望远镜.使用三年来，已发现132颗优质的脉冲星候选体，其中有93颗已被确认为新发现的脉冲星，脉冲星是上世纪60年代天文学的四大发现之一，脉冲星就是正在快速自转的中子星，每一颗脉冲星每两脉冲间隔时间（脉冲星的自转周期）是-定的，最小小到0.0014秒，最长的也不过11.765735秒.某-天文研究机构观测并统计了93颗已被确认为新发现的脉冲星的自转周期，绘制了如图的频率分布直方图.（1）在93颗新发现的脉冲星中，自转周期在2至10秒的大约有多少颗？（2）根据频率分布直方图，求新发现脉冲星自转周期的平均值. 【答案】（1）79颗；（2）5.5秒. 【解析】【分析】（1）利用各小矩形的面积和为1可得a ，进而得到脉冲星自转周期在2至10秒的频率，从而得到频数；（2）平均值的估计值为各小矩形组中值与频率的乘积的和得到. 【详解】（1）第一到第六组的频率依次为 0.1，0.2，0.3，0.2，2a ，0.05，其和为1所以()210.10.20.30.20.05a =-++++，0.075a =，所以，自转周期在2至10秒的大约有()9310.1579.0579⨯-=≈（颗）. （2）新发现的脉冲星自转周期平均值为0.110.230.350.270.1590.0511 5.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（秒）.故新发现的脉冲星自转周期平均值为5.5秒.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，涉及到平均数的估计值等知识，是一道容易题. 18.在ABC ∠中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 33cos sin a b C c B =-.（1）求B ；（2）若23b =AD 为BC 边上的中线，当ABC 的面积取得最大值时，求AD 的长. 【答案】（1）23π；（27. 【解析】【分析】（1）利用正弦定理及A B C π++=可得sin sin sin B C C B =-，从而得到tan B =（2）在ABC 中，利用余弦定可得22123a c ac ac =++≥，4ac ≤，而1sin 24ABC S ac B ac ∆==，故当4ac =时，ABC 的面积取得最大值，此时2a c ==，π6C =，在ACD 中，再利用余弦定理即可解决.【详解】（1cos sin sin A B C C B =-，结合()sin sin A B C =+，sin sin sin B C C B =-，因为sin 0C ≠，所以tan B =，由()0,πB ∈，得2π3B =. （2）在ABC 中，由余弦定得2212a c ac =++，因为223a c ac ac ++≥，所以4ac ≤，当且仅当2a c ==时，ABC 的面积取得最大值，此时π6C =. 在ACD 中，由余弦定理得222π2cos 1212176AD CA CD CA CD =+-⋅⋅⋅=+-⋅⋅=⎝⎭.即AD =【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道容易题.19.在三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，14BC BB ==，1AC AB ==160BCC ∠=︒.（1）求证：平面1ABC ⊥平面11BCC B ；（2）设二面角1C AC B --的大小为θ，求sin θ的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）154. 【解析】【分析】（1）要证明平面1ABC ⊥平面11BCC B ，只需证明AB ⊥平面11BCC B 即可；（2）取1CC 的中点D ，连接BD ，以B 为原点，以BD ，1BB ，BA 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，分别计算平面11ACC A 的法向量为n 与平面1ABC 的法向量为1B C ，利用夹角公式111cos ,n B C n B C n B C⋅=计算即可.【详解】（1）在ABC 中，22220AB BC AC +==，所以90ABC ∠=，即AB BC ⊥. 因为1BC BB =，1AC AB =，AB AB =，所以1B ABC A B ≌.所以190ABB ABC ∠=∠=，即1AB BB ⊥. 又1BC BB B =，所以AB ⊥平面11BCC B .又AB平面1ABC ，所以平面1ABC ⊥平面11BCC B .（2）由题意知，四边形11BCC B 为菱形，且160BCC ∠=，则1BCC 为正三角形，取1CC 的中点D ，连接BD ，则1BD CC ⊥.以B 为原点，以BD ，1BB ，BA 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系B xyz -，则()0,0,0B ，()10,4,0B ，()0,0,2A，()2,0C -，()12,0C .设平面11ACC A 的法向量为(),,n x y z =，且()22,2AC =--，()10,4,0CC =. 由10,0,AC n CC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得220,40,y z y ⎧--=⎪⎨=⎪⎩取(1,0,3n =.由四边形11BCC B 菱形，得11BC B C ⊥；又AB ⊥平面11BCC B ，所以1AB B C ⊥；又1=AB BC B ⋂，所以1B C ⊥平面1ABC ，所以平面1ABC 的法向量为()1=23,6,0B C -. 所以11121cos ,443n B C n B C n B C⋅===.故sin θ=. 【点睛】本题考查面面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角正弦值的问题，在利用向量法时，关键是点的坐标要写准确，本题是一道中档题.20.已知动圆Q 经过定点()0,F a ，且与定直线:l y a =-相切（其中a 为常数，且0a >）.记动圆圆心Q 的轨迹为曲线C.（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线？（2）设点P 的坐标为()0,a -，过点P 作曲线C 的切线，切点为A ，若过点P 的直线m 与曲线C 交于M ，N 两点，则是否存在直线m ，使得AFM AFN ∠=∠？若存在，求出直线m 斜率的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）24x ay =，抛物线；（2）存在，()(),11,-∞-+∞.【解析】【分析】（1）设(),Q x yy a =+，化简即得；（2）利用导数几何意义可得()2,A a a ，要使AFM AFN ∠=∠，只需0FM FN k k +=. 联立直线m 与抛物线方程，利用根与系数的关系即可解决.【详解】（1）设(),Q x yy a =+，化简得24x ay =，所以动圆圆心Q 的轨迹方程为24x ay =，它是以F 为焦点，以直线l 为准线的抛物线.（2）不妨设()2,04t A t t a ⎛⎫> ⎪⎝⎭.因为24x y a=，所以2x y a '=，从而直线PA 的斜率为2402t at at a+=-，解得2t a =，即()2,A a a ，又()0,F a ，所以//AF x 轴.要使AFM AFN ∠=∠，只需0FM FN k k +=.设直线m 的方程为y kx a =-，代入24x ay =并整理，得22440x akx a -+=. 首先，()221610ak∆=->，解得1k <-或1k >.其次，设()11,M x y ，()22,N x y ，则124x x ak +=，2124x x a =.()()2112121212FM FN x y a x y a y a y a k k x x x x -+---+=+=()()()21121212122222x kx a x kx a a x x k x x x x -+-+==-224204a akk a⋅=-=. 故存在直线m ，使得AFM AFN ∠=∠，此时直线m 的斜率的取值范围为()(),11,-∞-+∞.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，涉及抛物线中的存在性问题，考查学生的计算能力，是一道中档题. 21.已知函数21()(1)ln ,2f x ax a x a R x =+--∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若),(1a ∈-∞，设()ln xg x xe x x a =--+，证明：1(0,2]x ∀∈，2(0,)x ∃∈+∞，使()()122ln2f x g x ->-.【答案】（1）见解析；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）()()()()'110ax x f x x x+-=>，分0a ≥，10a -<<，1a =-，1a <-四种情况讨论即可；（2）问题转化为()()min min 2ln 2f x g x ->-，利用导数找到min ()f x 与min ()g x 即可证明. 【详解】（1）()()()()()'11110ax x f x ax a x x x+-=+--=>.①当0a ≥时，10ax +>恒成立，当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>，所以，()f x 在()0,1上是减函数，在()1,+∞上是增函数.②当10a -<<时，11a->，()()'11a x x a f x x⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=. 当01x <<时，()'0f x <；当11x a<<-时，()'0f x >；当1x a>-时，()'0f x <，所以， ()f x 在()0,1上是减函数，在11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上是减函数. ③当1a =-时，()()2'10x f x x--=≤，则()f x 在()0,∞+上是减函数. ④当1a <-时，11a-<，当10x a<<-时，()0f x '<；当11x a-<<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<，所以，()f x 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上是减函数，在1,1a ⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数，在()1,+∞上是减函数. （2）由题意，得()()min min 2ln 2f x g x ->-.由（1）知，当1a <-，(]0,2x ∈时，()()min 1,2f x f f a ⎧⎫⎛⎫=-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭， ()1112ln 1ln 22f f a a a⎛⎫⎛⎫--=----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令()1ln 1ln 22h x x x =-+-+，()0,1x ∈，()202x h x x-'=< 故()h x 在()0,1上是减函数，有()()11ln 2ln 02h x h >=-=>，所以()12f f a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，从而()()min 22ln 2f x f ==-. ()ln x g x xe x x a =--+，()0,x ∈+∞，则()()'11xg x x e x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，令()1xG x e x=-，显然()G x 在()0,∞+上是增函数，且1202G ⎛⎫=<⎪⎝⎭，()110G e =->，所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使()0001e 0x G x x =-=，且()g x 在()00,x 上是减函数，在()0,x +∞上是增函数，()()00000min ln 10x g x g x x e x x a a ==--+=+<，所以()min 2ln 212ln 22ln 2g x a +-=++-<-，所以()()min min 2ln 2f x g x >+-，命题成立.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及证明不等式的问题，考查学生逻辑推理能力，是一道较难的题.（二）选考题：共10分.请考生在第22.23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题号后的方框涂黑. 选修4-4：极坐标与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为1cos 2sin x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（α为参数）.以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐标系.（1）设直线l 的极坐标方程为12πθ=，若直线l 与曲线C 交于两点A.B ，求AB 的长；（2）设M 、N 是曲线C 上的两点，若2MON π∠=，求OMN ∆面积的最大值.【答案】（1；（2）1. 【解析】【分析】（1）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；（2）()1,M ρθ，2π,2N ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由（1）通过计算得到121πsin 22S ρρ=πsin 23θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即最大值为1.【详解】（1）将曲线C的参数方程化为普通方程为22112x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即220x y x +-=；再将222x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，得2cos sin 0ρρθθ--=，故曲线C 的极坐标方程为π2sin 6ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，显然直线l 与曲线C 相交的两点中，必有一个为原点O ，不妨设O 与A 重合，即12ππ2sin 612AB OB πθρ=⎛⎫===+=⎪⎝⎭. （2）不妨设()1,M ρθ，2π,2N ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则OMN 面积为121π1πππsin 2sin 2sin 222626S ρρθθ⎛⎫⎛⎫==⋅+⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ πππ2sin cos sin 2663θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当πsin 213θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即取π12θ=时，max 1S =. 【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，三角形面积的最值问题，是一道容易题.选修4-5：不等式选讲23.已知不等式111x x x m +++-≥+对于任意的x ∈R 恒成立.（1）求实数m 的取值范围；（2）若m 的最大值为M ，且正实数a ，b ，c 满足23a b c M ++=.求证11222a b b c +≥++【答案】（1）[]3,1-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）法一：()()11112x x x x ++-≥+--=，0x ≥，得112x x x +++-≥，则12m +≤，由此可得答案；法二：由题意()min 111m x x x +≤-+++，令()11f x x x x =+++-，易知()f x 是偶函数，且[)0,x ∈+∞时为增函数，由此可得出答案；（2）由（1）知，1M =，即231a b c ++=，结合“1”的代换，利用基本不等式即可证明结论．【详解】解：（1）法一：()()11112x x x x ++-≥+--=（当且仅当11x -≤≤时取等号），又0x ≥（当且仅当0x =时取等号），所以112x x x +++-≥（当且仅当0x =时取等号），由題意得12m +≤，则212m -≤+≤，解得31m -≤≤，故m 的取值范围是[]3,1-；法二：因为对于任意x ∈R 恒有111x x x m +++-≥+成立，即()min 111m x x x +≤-+++，令()11f x x x x =+++-，易知()f x 是偶函数，且[)0,x ∈+∞时为增函数，所以()()min 02f x f ==，即12m +≤，则212m -≤+≤，解得31m -≤≤，故m 的取值范围是[]3,1-；（2）由（1）知，1M =，即231a b c ++=， ∴1122a b b c +++()112322a b c a b b c ⎛⎫=++⋅+ ⎪++⎝⎭()()23211222a b b c a b b c +++⎛⎫=⋅+ ⎪++⎝⎭ ()32124222b c a b a b b c +⎡⎤+=++⎢⎥++⎣⎦ 1422⎡≥+=+⎣故不等式11222a b b c +≥++ 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的恒成立问题，考查基本不等式的应用，属于中档题．。

2020年高考理科数学 (全国I卷)-(含答案解析word)

2020年高考理科数学 (全国I卷)一、单选题本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

1. 若,则（）A、0B 、1C 、D 、22.设集合，，且，则（）A 、-4 B、-2 C、2 D、43. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A、B、C、D、4.已知A为抛物线上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则P=（）A、2B、3C、6D、95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）A、B、C、D、6.函数的图像在点处的切线方程为（）A、B、C、D、7.设函数在的图像大致如下图，则的最小正周期为（）A、B、C、D、8. 的展开式中的系数为（）A、5B、10C、15D、209. 已知，且，则=（）A、B、C、D、10. 已知A、B、C为球O的球面上的三个点，⊙O1为∆ABC的外接圆，若⊙O1的面积为4π，AB=BC=AC=O O1,则球O的表面积为（）A、64πB、48πC、36πD、32π11. 已知⊙M:x2+y2-2x-2y-2=0，直线l:2x+y=0,P为l上的动点.过点P作⊙M的切线PA、PB切点为A,B,当|PM|●|AB|最小时，直线AB的方程为（）A 、B 、C 、 D、12.若则（）A 、a>2bB 、a<2bC 、a>b 2D 、a< b 2二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填写在题中横线上。

13.若x ，y 满足约束条件则z=x+7y 的最大值为。

CAT燕博园2020届高考理综模拟试题及答案(一)(全国1卷)

联立①②式解得 v1＝2.0 m/s
（1 分）
（2）（共 8 分）由题可知，0.8 s 时间后推力 F 的功率恒为 P0，由双曲线图像可得 P0＝F1v1＝ F2v2
（如果第②④⑤式的任意一处或多处 d 写成 L ，均只扣 1 分。）
（2）（断开后认为板间电压等于电动势）断开 S 再立即撤去金属棒，板间电压为
U＝E
⑥（1 分）
恒定速率，油滴做匀速圆周运动，有
解得
mg＝qU d
m＝qF(R＋r) gBd2
⑦（2 分）（含 mg＝qE 电和 E 电＝Ud 两式，各 1 分） ⑧（1 分）
第1页共6页
24．（12 分）如图所示，两正对的长为 2d 、间距为 d 的水平金属极板 M 、N ，处在垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度大小为 B 。一电阻为 r 的光滑金属棒与极板垂直放置，有滑扣装置（图中无画出）保证其能紧贴极板一侧无摩擦地运动，现在大小为 F 的水平恒力作用下加速向左运动，且与极板之间无挤压。金属棒、金属极板与阻值为 R 的电阻构成闭合电路。重力加速度为 g 。不计金属极板电阻及接触电阻。
M
S
F
v0
B
R
N
（1）求闭合开关 S 后金属棒获得的最大速度 vm（设此过程金属棒不会脱离金属极板）；（2）当金属棒获得最大速度时断开开关 S ，再（改为“立即”）撤去金属棒。之后使一质量为 m 、电荷
量为 q 的油滴如图从两板右端的正中间水平向左射入两极板间，为使油滴能以恒定的速率在两板间运动，并恰从 N 极板左边缘离开，求油滴质量 m 以及初速度的大小 v0 。（注∶试题的红色部分是学生的纸质试卷上没有、但通知添加的。绿色部分试卷没有、也没有通知修正。）

2020年全国卷Ⅰ理数、理综高考试答案

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案(A 卷)选择题答案一、选择题 1．D 2．B 3．C 4．C 5．D 6．B 7．C 8．C 9．A 10．A11．D12．B非选择题答案二、填空题13．1 1415．2 16．14-三、解答题17．解：（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1232,a a a =+ 即21112a a q a q =+.所以220,q q +-= 解得1q =（舍去），2q =-. 故{}n a 的公比为2-.（2）设n S 为{}n na 的前n 项和.由（1）及题设可得，1(2)n n a -=-.所以112(2)(2)n n S n -=+⨯-++⨯-，21222(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=-+⨯-++-⨯-+⨯-.可得2131(2)(2)(2)(2)n n n S n -=+-+-++--⨯-1(2)=(2).3n n n ---⨯-所以1(31)(2)99nn n S +-=-.18．解：（1）设DO a =，由题设可得,,63PO a AO a AB a ===，2PA PB PC ===.因此222PA PB AB +=，从而PA PB ⊥. 又222PA PC AC +=，故PA PC ⊥. 所以PA ⊥平面PBC .（2）以O 为坐标原点，OE 的方向为y 轴正方向，||OE 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.由题设可得1(0,1,0),(0,1,0),(,0),(0,0,)222E A C P --. 所以31(,,0),(0,1,)222EC EP =--=-. 设(,,)x y z =m 是平面PCE 的法向量，则00EPEC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即021022y z x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，可取(=m . 由（1）知AP =是平面PCB 的一个法向量，记AP =n ，则cos ,|||5⋅==n m n m n m |. 所以二面角B PC E --的余弦值为5.19．解：（1）甲连胜四场的概率为116．（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛．比赛四场结束，共有三种情况：甲连胜四场的概率为116；乙连胜四场的概率为116；丙上场后连胜三场的概率为18．所以需要进行第五场比赛的概率为11131161684---=．（3）丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18．比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为116，18，18．因此丙最终获胜的概率为111178168816+++=．20．解：（1）由题设得A （–a ，0），B （a ，0），G （0，1）.则(,1)AG a =，GB =（a ，–1）.由AG GB ⋅=8得a 2–1=8，即a =3.所以E 的方程为29x +y 2=1．（2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），P （6，t ）.若t ≠0，设直线CD 的方程为x =my +n ，由题意可知–3<n <3. 由于直线P A 的方程为y =9t （x +3），所以y 1=9t （x 1+3）.直线PB 的方程为y =3t （x –3），所以y 2=3t（x 2–3）.可得3y 1（x 2–3）=y 2（x 1+3）.由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++，即221212(27)(3)()(3)0.m y y m n y y n ++++++=①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290.m y mny n +++-=所以12229mn y y m +=-+，212299n y y m -=+．代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0.m n m n mn n m +--++++= 解得n =–3（含去），n =32.故直线CD 的方程为3=2x my +，即直线CD 过定点（32，0）．若t =0，则直线CD 的方程为y =0，过点（32，0）.综上，直线CD 过定点（32，0）.21．解：（1）当a =1时，f （x ）=e x +x 2–x ，则()f x '=e x +2x –1．故当x ∈（–∞，0）时，()f x '<0；当x ∈（0，+∞）时，()f x '>0．所以f （x ）在（–∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）31()12f x x ≥+等价于321(1)e 12x x ax x --++≤. 设函数321()(1)e (0)2xg x x ax x x -=-++≥，则32213()(121)e 22x g x x ax x x ax -'=--++-+-21[(23)42]e 2x x x a x a -=--+++1(21)(2)e 2x x x a x -=----.（i ）若2a +1≤0，即12a ≤-，则当x ∈（0，2）时，()g x '>0.所以g （x ）在（0，2）单调递增，而g （0）=1，故当x ∈（0，2）时，g （x ）>1，不合题意.（ii ）若0<2a +1<2，即1122a -<<，则当x ∈(0，2a +1)∪(2，+∞)时，g'(x )<0；当x ∈(2a +1，2)时，g'(x )>0.所以g (x )在(0，2a +1)，(2，+∞)单调递减，在(2a +1，2)单调递增.由于g (0)=1，所以g (x )≤1当且仅当g (2)=(7−4a )e −2≤1，即a ≥27e 4-. 所以当27e 142a -≤<时，g (x )≤1. （iii ）若2a +1≥2，即12a ≥，则g (x )≤31(1)e 2xx x -++.由于27e 10[,)42-∈，故由（ii ）可得31(1)e 2x x x -++≤1. 故当12a ≥时，g (x )≤1.综上，a 的取值范围是27e [,)4-+∞.22．解：（1）当k =1时，1cos ,:sin ,x t C y t =⎧⎨=⎩消去参数t 得221x y +=，故曲线1C 是圆心为坐标原点，半径为1的圆．（2）当k =4时，414cos ,:sin ,x t C y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩消去参数t 得1C1． 2C 的直角坐标方程为41630x y -+=．由1,41630x y -+=⎪⎩解得1414x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．故1C 与2C 的公共点的直角坐标为11(,)44．23．解：（1）由题设知13,,31()51,1,33, 1.x x f x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩()y f x =的图像如图所示．（2）函数()y f x =的图像向左平移1个单位长度后得到函数(1)y f x =+的图像．()y f x =的图像与(1)y f x =+的图像的交点坐标为711(,)66--．由图像可知当且仅当76x <-时，()y f x =的图像在(1)y f x =+的图像上方，故不等式()(1)f x f x >+的解集为7(,)6-∞-．2020年普通高等学校招生全国统一考试理科综合参考答案1．B 2．D 3．D 4．A 5．C 6．A 7．D 8．B 9．A10．C11．B12．D13．C 14．D 15．B 16．B 17．A 18．C 19．BD 20．AB 21．BC22．（1）O 、P （2）I 50.5 （3）50.0 23．（1）大约相等（5）m 1gt 12 （5）221d d m t t ⎛⎫-⎪∆∆⎝⎭（6）0.221 0.212 （7）4 24．解：（1）设飞机装载货物前质量为m 1，起飞离地速度为v 1；装载货物后质量为m 2，起飞离地速度为v 2，重力加速度大小为g 。

2020年高考全国卷i理科数学试题[word]

2020年高考全国卷i 理科数学试题[word]理科数学〔必修+选修Ⅱ〕本试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至4页．考试终止后，将本试卷和答题卡一并交回．第一卷考生注意： 1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清晰，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．3．本卷共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．参考公式：假如事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =假如事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式假如事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(01,2)k kn k n n P k C P P k n -=-=，，，一、选择题(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B ，那么集合[u 〔AB 〕中的元素共有〔A 〕3个〔B 〕4个〔C 〕5个〔D 〕6个〔2〕1iZ＋=2+I,那么复数z= 〔A 〕-1+3i (B)1-3i (C)3+I (D)3-i (3) 不等式11X X +-＜1的解集为〔A 〕｛x }{}011x x x 〈〈〉 (B){}01x x 〈〈〔C 〕{}10x x -〈〈 (D){}0x x 〈(4)设双曲线22221x y a b-=〔a ＞0,b ＞0〕的渐近线与抛物线y=x 2+1相切，那么该双曲线的离心率等于〔A 〔B 〕2 〔C 〔D(5) 甲组有5名同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。