北师大版九年级数学上册《特殊平行四边形》单元测试卷

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北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元模拟试题(含答案)(5)

第一章：特殊的平行四边形单元测试卷（典型题汇总）（100分钟，120分）一、选择题1．下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠C，∠B=∠D C．AB∥CD，AD∥BC D．AB=CD，AD=BC 2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若BD、AC的和为18cm，CD：DA=2：3，△AOB的周长为13cm，那么BC的长是（）A．6cm B．9cm C．3cm D．12cm3．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED′等于（）A．50° B．55° C．60° D．65°4．给出以下三个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③对角线互相垂直的矩形是正方形；④菱形对角线的平方和等于边长平方的4倍．其中真命题的是（）A．③B．①② C．②③D．③④5．如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC，EF=EC，DE=2，矩形的周长为16，则AE的长是（）A．3B．4 C．5 D．76．已知一矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（）A．6 cm和9 cm B．5 cm和10 cm C．4 cm和11 cm D．7 cm和8 cm7．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD8．如图为菱形ABCD与△ABE的重叠情形，其中D在BE上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE的长度为何？（）A．8 B．9 C．11 D．129．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是（）A．2B．3 C．D．1+10．如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．2B．3 C．D．二、填空题11．等边三角形、平行四边形、矩形、正方形四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是矩形、正方形．12．已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是3cm2．【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，∴它的面积是：×2×3=3（cm2）．13．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是45°．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°．∵等边三角形ADE，∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°．∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，AB=AE，∠AEB=∠ABE=（180°﹣∠BAE）÷2=15°，∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°，故答案为：45°．14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于 3.5 ．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∵AB+BC+CD+DA=28，∴AD=7，∵H为AD边中点，∴OH=AD=3.5；15．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为5．【解答】解：过E作EM⊥AB于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∴EM=AD，BM=CE，∵△ABE的面积为8，∴×AB×EM=8，解得：EM=4，即AD=DC=BC=AB=4，∵CE=3，由勾股定理得：BE===5，三、解答题（15题12分，16题12分，17题16分）16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，求△AEF的周长。

北师大九年级上《第1章特殊平行四边形》单元测试含答案解析

《第1章特殊平行四边形》一、选择题1．平行四边形ABCD 中，AC 、BD 是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD 是矩形，那么这个条件是（）A ．AB=BCB ．AC=BDC ．AC ⊥BD D ．AB ⊥BD2．在平面直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1D 1、D 1E 1E 2B 2、A 2B 2C 2D 2、D 2E 3E 4B 3、A 3B 3C 3D 3…按如图所示的方式放置，其中点B 1在y 轴上，点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3…在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O=60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…则正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长是（）A ．（）2014B ．（）2015C ．（）2015 D ．（）2014二、填空题 3．如图，▱ABCD 的对角线相交于点O ，请你添加一个条件（只添一个即可），使▱ABCD 是矩形．4．如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边△ADE ，则∠BED 的度数是．5．如图，正方形ABCD 的边长为1，以对角线AC 为边作第二个正方形，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去，第n 个正方形的边长为．6．如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ．若∠CBF=20°，则∠AED 等于度．7．边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC 的面积为．8．如图，点E 在正方形ABCD 的边CD 上．若△ABE 的面积为8，CE=3，则线段BE 的长为．9．正方形OA 1B 1C 1、A 1A 2B 2C 2、A 2A 3B 3C 3，按如图放置，其中点A 1、A 2、A 3在x 轴的正半轴上，点B 1、B 2、B 3在直线y=﹣x+2上，则点A 3的坐标为．10．已知E 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点，AE=AD ，过点E 作AC 的垂线，交边CD 于点F ，那么∠FAD= 度．11．如图，要使平行四边形ABCD 是矩形，则应添加的条件是（只填一个）．12．如图，正方形ABCD 的边长为a ，在AB 、BC 、CD 、DA 边上分别取点A 1、B 1、C 1、D 1，使AA 1=BB 1=CC 1=DD 1=a ，在边A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1上分别取点A 2、B 2、C 2、D 2，使A 1A 2=B 1B 2=C 1C 2=D 1D 2=A 1B 2，…．依次规律继续下去，则正方形A n B n C n D n 的面积为．13．如图，▱ABCD 中，AB ＞AD ，AE ，BE ，CM ，DM 分别为∠DAB ，∠ABC ，∠BCD ，∠CDA 的平分线，AE 与DM 相交于点F ，BE 与CM 相交于点N ，连接EM ．若▱ABCD 的周长为42cm ，FM=3cm ，EF=4cm ，则EM= cm ，AB= cm ．三、解答题14．如图，在△ABC 中，AB=BC ，BD 平分∠ABC ．四边形ABED 是平行四边形，DE 交BC 于点F ，连接CE ．求证：四边形BECD 是矩形．15．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）（q＜n），点B，D在直线y=x+1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，CD=4，BE=DE，△AEB 的面积是2．求证：四边形ABCD是矩形．16．如图，在△ABC中，AB=AC，点D（不与点B重合）在BC上，点E是AB的中点，过点A作AF∥BC交DE延长线于点F，连接AD，BF．（1）求证：△AEF≌△BED．（2）若BD=CD，求证：四边形AFBD是矩形．17．正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，连结DF，BF，如图．（1）若α=0°，则DF=BF，请加以证明；（2）试画一个图形（即反例），说明（1）中命题的逆命题是假命题；（3）对于（1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由．18．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：BE=CE．（2）求∠BEC的度数．19．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．（1）证明：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．20．在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B，在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，求正方形落在x轴正半轴的顶点坐标．21．如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．求证：四边形BCDE是矩形．22．已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．（1）求证：四边形ADBE是矩形；（2）求矩形ADBE的面积．23．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．24．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AC，DE，AC=AB，DE∥AB．求证：四边形AECD是矩形．25．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE ⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．26．如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）求证：四边形BFDE为矩形．27．如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．（1）求证：HF=AP；（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．28．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，∠B=30°，CE⊥AB，垂足为点E．若AD=1，AB=2，求CE的长．29．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．30．如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．《第1章特殊平行四边形》参考答案与试题解析一、选择题1．平行四边形ABCD 中，AC 、BD 是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD 是矩形，那么这个条件是（）A ．AB=BCB ．AC=BDC ．AC ⊥BD D ．AB ⊥BD【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．【专题】证明题；压轴题．【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形判断．【解答】解：A 、是邻边相等，可得到平行四边形ABCD 是菱形，故不正确；B 、是对角线相等，可推出平行四边形ABCD 是矩形，故正确；C 、是对角线互相垂直，可得到平行四边形ABCD 是菱形，故不正确；D 、无法判断．故选B ．【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定．2．在平面直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1D 1、D 1E 1E 2B 2、A 2B 2C 2D 2、D 2E 3E 4B 3、A 3B 3C 3D 3…按如图所示的方式放置，其中点B 1在y 轴上，点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3…在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O=60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…则正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长是（）A ．（）2014B ．（）2015C ．（）2015D ．（）2014【考点】正方形的性质．【专题】压轴题；规律型．【分析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．【解答】方法一：解：如图所示：∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O=60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…∴D 1E 1=B 2E 2，D 2E 3=B 3E 4，∠D 1C 1E 1=∠C 2B 2E 2=∠C 3B 3E 4=30°，∴D 1E 1=C 1D 1sin30°=，则B 2C 2=（）1，同理可得：B 3C 3==（）2，故正方形A n B n C n D n 的边长是：（）n ﹣1．则正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长是：（）2014．故选：D ．方法二：∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O=60°，∴D 1E 1=B 2E 2=，∵B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…∴∠E 2B 2C 2=60°，∴B 2C 2=，同理：B 3C 3=×=…∴a 1=1，q=，∴正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长=1×．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键．二、填空题3．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件AC=BD （只添一个即可），使▱ABCD 是矩形．【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．【专题】开放型．【分析】根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可．【解答】解：添加的条件是AC=BD，理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：AC=BD．【点评】本题考查了矩形的判定定理的应用，注意：对角线相等的平行四边形是矩形，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．4．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是45°．【考点】正方形的性质；等边三角形的性质．【分析】根据正方形的性质，可得AB与AD的关系，∠BAD的度数，根据等边三角形的性质，可得AE与AD的关系，∠AED的度数，根据等腰三角形的性质，可得∠AEB与∠ABE的关系，根据三角形的内角和，可得∠AEB的度数，根据角的和差，可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°．∵等边三角形ADE，∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°．∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，AB=AE，∠AEB=∠ABE=（180°﹣∠BAE）÷2=15°，∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°，故答案为：45°．【点评】本题考查了正方形的性质，先求出∠BAE的度数，再求出∠AEB，最后求出答案．5．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为（）n﹣1．【考点】正方形的性质．【专题】压轴题；规律型．【分析】首先求出AC、AE、HE的长度，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=1，∠B=90°，∴AC2=12+12，AC=；同理可求：AE=（）2，HE=（）3…，=（）n﹣1．∴第n个正方形的边长an故答案为（）n﹣1．【点评】该题主要考查了正方形的性质、勾股定理及其应用问题；应牢固掌握正方形有关定理并能灵活运用．6．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠AED等于65 度．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】根据正方形的性质得出∠BAE=∠DAE，再利用SAS证明△ABE与△ADE全等，再利用三角形的内角和解答即可．【解答】解：∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠BAE=∠DAE，在△ABE与△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴∠AEB=∠AED，∠ABE=∠ADE，∵∠CBF=20°，∴∠ABE=70°，∴∠AED=∠AEB=180°﹣45°﹣70°=65°，故答案为：65【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质得出∠BAE=∠DAE，再利用全等三角形的判定和性质解答．7．边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC的面积为．【考点】正方形的性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．【分析】过点C作CD和CE垂直正方形的两个边长，再利用正方形和等边三角形的性质得出CE的长，进而得出△ABC的面积即可．【解答】解：过点C作CD和CE垂直正方形的两个边长，如图∵一个正方形和一个等边三角形的摆放，∴四边形DBEC是矩形，∴CE=DB=，∴△ABC的面积=AB•CE=×1×=，故答案为：．【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形和等边三角形的性质得出BE和CE的长．8．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为 5 ．【考点】正方形的性质；三角形的面积；勾股定理．【分析】根据正方形性质得出AD=BC=CD=AB，根据面积求出EM，得出BC=4，根据勾股定理求出即可．【解答】解：过E作EM⊥AB于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∴EM=AD，BM=CE，∵△ABE的面积为8，∴×AB×EM=8，解得：EM=4，即AD=DC=BC=AB=4，∵CE=3，由勾股定理得：BE===5，故答案为：5．【点评】本题考查了三角形面积，正方形性质，勾股定理的应用，解此题的关键是求出BC 的长，难度适中．9．正方形OA 1B 1C 1、A 1A 2B 2C 2、A 2A 3B 3C 3，按如图放置，其中点A 1、A 2、A 3在x 轴的正半轴上，点B 1、B 2、B 3在直线y=﹣x+2上，则点A 3的坐标为（，0）．【考点】正方形的性质；一次函数图象上点的坐标特征．【专题】压轴题；规律型．【分析】设正方形OA 1B 1C 1的边长为t ，则B 1（t ，t ），根据t 一次函数图象上点的坐标特征得到t=﹣t+2，解得t=1，得到B 1（1，1），然后利用同样的方法可求得B 2（，），B 3（，），则A 3（，0）．【解答】解：设正方形OA 1B 1C 1的边长为t ，则B 1（t ，t ），所以t=﹣t+2，解得t=1，得到B 1（1，1）；设正方形A 1A 2B 2C 2的边长为a ，则B 2（1+a ，a ），a=﹣（1+a ）+2，解得a=，得到B 2（，）；设正方形A 2A 3B 3C 3的边长为b ，则B 3（+b ，b ），b=﹣（+b ）+2，解得b=，得到B 3（，），所以A 3（，0）．故答案为（，0）．【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．10．已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE=AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD= 22.5 度．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】根据正方形的性质可得∠DAC=45°，再由AD=AE易证△ADF≌△AEF，求出∠FAD．【解答】解：如图，在Rt△AEF和Rt△ADF中，∴Rt△AEF≌Rt△ADF，∴∠DAF=∠EAF，∵四边形ABCD为正方形，∴∠CAD=45°，∴∠FAD=22.5°．故答案为：22.5．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，求证Rt△AEF≌Rt△ADF是解本题的关键．11．如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是∠ABC=90°或AC=BD（不唯一）（只填一个）．【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．【专题】开放型．【分析】根据矩形的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形，②有一个角是直角的平行四边形是矩形，直接添加条件即可．【解答】解：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形故添加条件：∠ABC=90°或AC=BD ．故答案为：∠ABC=90°或AC=BD ．【点评】本题主要应用的知识点为：矩形的判定． ①对角线相等且相互平分的四边形为矩形．②一个角是90度的平行四边形是矩形．12．如图，正方形ABCD 的边长为a ，在AB 、BC 、CD 、DA 边上分别取点A 1、B 1、C 1、D 1，使AA 1=BB 1=CC 1=DD 1=a ，在边A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1上分别取点A 2、B 2、C 2、D 2，使A 1A 2=B 1B 2=C 1C 2=D 1D 2=A 1B 2，…．依次规律继续下去，则正方形A n B n C n D n 的面积为．【考点】正方形的性质．【专题】压轴题；规律型．【分析】首先在Rt △A 1BB 1中，由勾股定理可求得正方形A 1B 1C 1D 1的面积=，然后再在Rt △A 2B 1B 2中，由勾股定理求得正方形A 2B 2C 2D 2的面积=，然后找出其中的规律根据发现的规律即可得出结论．【解答】解：在Rt △A 1BB 1中，由勾股定理可知； ==，即正方形A 1B 1C 1D 1的面积=；在Rt △A 2B 1B 2中，由勾股定理可知：==；即正方形A 2B 2C 2D 2的面积= …∴正方形A n B n C n D n 的面积=．故答案为：．【点评】本题主要考查的是正方形的性质和勾股定理的应用，通过计算发现其中的规律是解题的关键．13．如图，▱ABCD 中，AB ＞AD ，AE ，BE ，CM ，DM 分别为∠DAB ，∠ABC ，∠BCD ，∠CDA 的平分线，AE 与DM 相交于点F ，BE 与CM 相交于点N ，连接EM ．若▱ABCD 的周长为42cm ，FM=3cm ，EF=4cm ，则EM= 5 cm ，AB= 13 cm ．【考点】矩形的判定与性质；勾股定理的应用；平行四边形的性质；相似三角形的应用．【专题】综合题；压轴题．【分析】由条件易证∠AEB=∠AFD=∠DMC=90°．进而可证到四边形EFMN 是矩形及∠EFM=90°，由FM=3cm ，EF=4cm 可求出EM ．易证△ADF ≌△CBN ，从而得到DF=BN ；易证△AFD ∽△AEB ，从而得到4DF=3AF ．设DF=3k ，则AF=4k ．AE=4（k+1），BE=3（k+1），从而有AD=5k ，AB=5（k+1）．由▱ABCD 的周长为42cm 可求出k ，从而求出AB 长．【解答】解：∵AE 为∠DAB 的平分线，∴∠DAE=∠EAB=∠DAB ，同理：∠ABE=∠CBE=∠ABC ，∠BCM=∠DCM=∠BCD ，∠CDM=∠ADM=∠ADC ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠DAB=∠BCD ，∠ABC=∠ADC ，AD=BC ．∴∠DAF=∠BCN ，∠ADF=∠CBN ．在△ADF 和△CBN 中，．∴△ADF≌△CBN（ASA）．∴DF=BN．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°．∴∠EAB+∠EBA=90°．∴∠AEB=90°．同理可得：∠AFD=∠DMC=90°．∴∠EFM=90°．∵FM=3，EF=4，∴ME==5（cm）．∵∠EFM=∠FMN=∠FEN=90°．∴四边形EFMN是矩形．∴EN=FM=3．∵∠DAF=∠EAB，∠AFD=∠AEB，∴△AFD∽△AEB．∴=．∴=．∴4DF=3AF．设DF=3k，则AF=4k．∵∠AFD=90°，∴AD=5k．∵∠AEB=90°，AE=4（k+1），BE=3（k+1），∴AB=5（k+1）．∵2（AB+AD）=42，∴AB+AD=21．∴5（k+1）+5k=21．∴k=1.6．∴AB=13（cm）．故答案为：5；13．【点评】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性较强．三、解答题14．（2015•聊城）如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC 于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．【考点】矩形的判定．【专题】证明题．【分析】根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边形．结合等腰△ABC“三线合一”的性质证得BD⊥AC，即∠BDC=90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到▱BECD是矩形．【解答】证明：∵AB=BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，AD=CD．∵四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AD，BE=AD，∴BE=CD，∴四边形BECD是平行四边形．∵BD⊥AC，∴∠BDC=90°，∴▱BECD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．15．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）（q＜n），点B，D在直线y=x+1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，CD=4，BE=DE，△AEB 的面积是2．求证：四边形ABCD是矩形．【考点】矩形的判定；一次函数图象上点的坐标特征．【专题】证明题．【分析】首先利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定该四边形为平行四边形，然后根据△ABE的面积得到整个四边形的面积和AD的长，根据平行四边形的面积计算方法得当DA⊥AB即可判定矩形．【解答】证明：作EF⊥AB于点F，∵AB∥CD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，在△ABE和△CDE中，，∴△ABE≌△CDE，∴AE=CE，∴四边形ABCD是平行四边形，∵A（2，n），B（m，n），易知A，B两点纵坐标相同，∴AB∥CD∥x轴，∴m﹣2=4，m=6，将B（6，n）代入直线y=x+1得n=4，∴B（6，4），∵CD=4=AB，△AEB的面积是2，∴EF=1，∵D（p，q），∴E（，），F（，4），∴+1=4，∴q=2，p=2，∴DA⊥AB，∴四边形ABCD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，解题的关键是了解有一个角是直角的平行四边形是矩形，难度不大．16．如图，在△ABC中，AB=AC，点D（不与点B重合）在BC上，点E是AB的中点，过点A作AF∥BC交DE延长线于点F，连接AD，BF．（1）求证：△AEF≌△BED．（2）若BD=CD，求证：四边形AFBD是矩形．【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）AAS或ASA证全等；（2）根据对角线互相平分的证明四边形AFBD是平行四边形，再根据等腰三角形三线合一证明∠ADB=90°，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得证．【解答】证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE=∠EDB，∵E为AB的中点，∴EA=EB，在△AEF和△BED中，，∴△AEF≌△BED（ASA）；（2）∵△AEF≌△BED，∴AF=BD，∵AF∥BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BD，∴四边形AFBD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，三角形全等的判定及性质，能够了解矩形的判定定理是解答本题的关键，难度不大．17．（2015•义乌市）正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，连结DF，BF，如图．（1）若α=0°，则DF=BF，请加以证明；（2）试画一个图形（即反例），说明（1）中命题的逆命题是假命题；（3）对于（1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；命题与定理；旋转的性质．【专题】压轴题．【分析】（1）利用正方形的性质证明△DGF≌△BEF即可；（2）当α=180°时，DF=BF．（3）利用正方形的性质和△DGF≌△BEF的性质即可证得是真命题．【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD和四边形AEFG为正方形，∴AG=AE，AD=AB，GF=EF，∠DGF=∠BEF=90°，∴DG=BE，在△DGF和△BEF中，，∴△DGF≌△BEF（SAS），∴DF=BF；（2）解：图形（即反例）如图2，（3）解：补充一个条件为：点F在正方形ABCD内；即：若点F在正方形ABCD内，DF=BF，则旋转角α=0°．【点评】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，旋转的性质，命题和定理，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键，注意利用正方形的性质找三角形全等的条件．18．（2015•鄂州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：BE=CE．（2）求∠BEC的度数．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）根据正方形的性质，可得AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°，根据正三角形的性质，可得AE=AD=DE，∠EAD=∠EDA=60°，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；（2）根据等腰三角形的性质，∠ABE=∠AEB，根据三角形的内角和定理，可得∠AEB，根据角的和差，可得答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形∴AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°∵三角形ADE为正三角形∴AE=AD=DE，∠EAD=∠EDA=60°∴∠BAE=∠CDE=150°在△BAE和△CDE中，∴△BAE≌△CDE∴BE=CE；（2）∵AB=AD，AD=AE，∴AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，又∵∠BAE=150°，∴∠ABE=∠AEB=15°，同理：∠CED=15°∴∠BEC=60°﹣15°×2=30°．【点评】本题考查了正方形的性质，（1）利用了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质；（2）利用了等腰三角形的判定与性质，角的和差．19．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．（1）证明：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．【专题】证明题．【分析】（1）先证出△ABP≌△CBP，得PA=PC，由于PA=PE，得PC=PE；（2）由△ABP≌△CBP，得∠BAP=∠BCP，进而得∠DAP=∠DCP，由PA=PC，得到∠DAP=∠E，∠DCP=∠E，最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论；（3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∴PC=PE；（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PE，∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E，∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°；（3）在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，∵PA=PE，∴PC=PE，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PC，∴∠DAP=∠AEP，∴∠DCP=∠AEP∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠AEP，即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC=CE，【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出∠ABP=∠CBP是解题的关键．20．在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B，在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，求正方形落在x轴正半轴的顶点坐标．【考点】正方形的性质；一次函数图象上点的坐标特征．【分析】分两种情况：①如图1，令x=0，则y=3，令y=0，则x=3，得到OA=OB=3，∠BAO=45°，根据DE⊥OA，推出DE=AE，由于四边形COED是正方形，得到OE=DE，等量代换得到OE=AE，即可得到结论；②如图2，由（1）知△OFC，△EFA是等腰直角三角形，由四边形CDEF是正方形，得到EF=CF，于是得到AF=OF=2OF，求出OA=OF+2OF=3，即可得到结论．【解答】解：分两种情况；①如图1，令x=0，则y=3，令y=0，则x=3，∴OA=OB=3，∴∠BAO=45°，∵DE⊥OA，∴DE=AE，∵四边形COED是正方形，∴OE=DE，∴OE=AE，∴OE=OA=，∴E（，0）；②如图2，由①知△OFC，△EFA是等腰直角三角形，∴CF=OF，AF=EF，∵四边形CDEF是正方形，∴EF=CF，∴AF=OF=2OF，∴OA=OF+2OF=3，∴OF=1，∴F（1，0）．【点评】本题考查了正方形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，正确的画出图形是解题的关键．21．如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．求证：四边形BCDE是矩形．【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】求出∠BAE=∠CAD，证△BAE≌△CAD，推出∠BEA=∠CDA，BE=CD，得出平行四边形BCDE，根据平行线性质得出∠BED+∠CDE=180°，求出∠BED，根据矩形的判定求出即可．【解答】证明：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD﹣∠BAC=∠CAE﹣∠BAC，∴∠BAE=∠CAD，∵在△BAE和△CAD中∴△BAE≌△CAD（SAS），∴∠BEA=∠CDA，BE=CD，∵DE=CB，∴四边形BCDE是平行四边形，∵AE=AD，∴∠AED=∠ADE，∵∠BEA=∠CDA，∴∠BED=∠CDE，∵四边形BCDE是平行四边形，∴BE∥CD，∴∠CDE+∠BED=180°，∴∠BED=∠CDE=90°，∴四边形BCDE是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质和判定，平行线的性质全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，注意：有一个角是直角的平行四边形是矩形．22．已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．（1）求证：四边形ADBE是矩形；（2）求矩形ADBE的面积．【考点】矩形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．【分析】（1）利用三线合一定理可以证得∠ADB=90°，根据矩形的定义即可证得；（2）利用勾股定理求得BD的长，然后利用矩形的面积公式即可求解．【解答】解：（1）∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵四边形ADBE是平行四边形．∴平行四边形ADBE是矩形；（2）∵AB=AC=5，BC=6，AD是BC的中线，∴BD=DC=6×=3，在直角△ACD中，AD===4，∴S=BD•AD=3×4=12．矩形ADBE【点评】本题考查了三线合一定理以及矩形的判定，理解三线合一定理是关键．23．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证；（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC．【解答】解：（1）BD=CD．理由如下：依题意得AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，在△AEF和△DEC中，，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF=CD，∵AF=BD，∴BD=CD；（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB=AC，BD=CD（三线合一），∴∠ADB=90°，∴▱AFBD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．24．（2014•宁德）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AC，DE，AC=AB，DE∥AB．求证：四边形AECD是矩形．【考点】矩形的判定．【专题】证明题．【分析】先判断四边形AECD为平行四边形，然后由∠AEC=90°即可判断出四边形AECD是矩形．【解答】证明：∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形．∴AD=BE．∵点E是BC的中点，∴EC=BE=AD．∴四边形AECD是平行四边形．∵AB=AC，点E是BC的中点，∴AE⊥BC，即∠AEC=90°．∴▱AECD是矩形．【点评】本题考查了梯形和矩形的判定，难度适中，解题关键是掌握平行四边形和矩形的判定定理．25．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE ⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．【考点】矩形的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；正方形的判定．【专题】证明题；开放型．（1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知CE⊥AN，AD⊥BC，所以求证∠DAE=90°，【分析】可以证明四边形ADCE为矩形．（2）根据正方形的判定，我们可以假设当AD=BC，由已知可得，DC=BC，由（1）的结论可知四边形ADCE为矩形，所以证得，四边形ADCE为正方形．【解答】（1）证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠DAC，∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=∠CAE，∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=180°=90°，又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC=∠CEA=90°，∴四边形ADCE为矩形．（2）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．理由：∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=45°，∵AD⊥BC，∴∠CAD=∠ACD=45°，∴DC=AD，∵四边形ADCE为矩形，∴矩形ADCE是正方形．∴当∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．【点评】本题是以开放型试题，主要考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的性质等知识点的综合运用．26．如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）求证：四边形BFDE为矩形．【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】证明题．【分析】（1）由DE与AB垂直，BF与CD垂直，得到一对直角相等，再由ABCD为平行四边形得到AD=BC，对角相等，利用AAS即可的值；（2）由平行四边形的对边平行得到DC与AB平行，得到∠CDE为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形即可的值．【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠AED=∠CFB=90°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（AAS）；（2）∵四边形ABCD为平行四边形，。

北师版九年级数学第一章特殊平行四边形单元测试题含答案

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欢迎批评指正！九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元测试（时间60分钟满分120分）一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列说法中错误的是（）A 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形B 两条对角线相等的菱形是正方形C 两条对角线互相垂直的矩形是正方形；D ．两条对角线相等的四边形是矩形2．矩形具有而平行四边形不具有的性质是（）A 、对角线互相平分B 、对角线相等C 、对角线互相垂直D 、四边相等 3.能够找到一点，使该点到各顶点的距离都相等的图形是（） ①平行四边形 ②菱形 ③矩形 ④正方形 A ．①与② B ．②与③ C ．②与④ D ．③与④4.给出五种图形：①矩形； ②菱形； ③等腰三角形（腰与底边不相等）； ④等边三角形； ⑤平行四边形（不含矩形、菱形）．其中，能用完全重合的含有30°角的两块直角三角板拼成的图形是（）A ．②③B ．②③④C ．①③④⑤D ．①②③④⑤5．已知一矩形的两边长分别为10 cm 和15 cm ，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（）A.6 cm 和9 cmB. 5 cm 和10 cmC. 4 cm 和11 cmD. 7 cm 和8 cm6.顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形中满足条件的是（） ①平行四边形;②菱形; ③矩形;④对角线互相垂直的四边形.A.①③B.②③C.③④D.②④7. 如图，在菱形ABCD 中，∠BAD＝800，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，E 为垂足，连结DF ，则∠CDF 等于（） A 、80B 、70C 、650D 、60AEO DBFCG8.如图，正方形ABCD ，AF BE 于点F ，交BD 于点G ，则下述结论中不成立的是（） A. AG=BE B. △ABG ≌△BCE C. AE=DG D. ∠AGD=∠DAG9.如图，正方形ABCD 的对角线AC 是菱形AEFC 的一边，则∠FAB 等于( ) A.135° B.45° C.22.5° D.30°10.如图矩形ABCD 中,AB=2AD,AE=AB,则∠CBE 等于( ) A.30° B.22.5° C.15° D.以上答案都不对二、填空题（每小题3分，共30分）11.已知菱形的周长为40，一条对角线长为12，则这个菱形的面积为_________. 12.四边形ABCD 为菱形,∠A=60°, BD=10cm ，则此菱形的周长________cm ． 13.已知正方形的一条对角线长为8cm ，则其面积是__________cm 2． 14.已知矩形ABCD 中，CE ⊥BD 于E ，∠BCE ︰∠ECD=3︰1，则∠ACE=____度.15.一个菱形的边长与一个等腰直角三角形的直角边长相等，若菱形的一个内角为30°，则菱形的面积与等腰直角三角形的面积之比为________.16.矩形ABCD 中，M 是BC 的中点，且MA ⊥MD ，若矩形的周长为48cm ，则矩形ABCD 的面积为________. 17.如图，矩形ABCD 中过点O 作AC 的垂线EF ，已知△CDE 的周长为24 cm ，则矩形ABCD 的周长是 cm.18.如图，矩形ABCD 中AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为_______.19.如图，在RtΔABC,∠ACB=900,∠A<∠B，CM 是斜边AB 的中线，将ΔACM 沿直线CM 折叠，点A 落在点D 处，若CD 恰好与AB 垂直，则∠A 等于度。

北师大版九年级数学上册-第一章-特殊的平行四边形-单元测试题(有答案)

九年级数学上册第一章特殊的平行四边形单元测试题班级：姓名：成绩：一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下列属于菱形性质的是（）A．对角线相等 B．对角线互相垂直C．对角互补 D．四个角都是直角2．如图，AC＝AD，BC＝BD，则正确的结论是（）A．AB 垂直平分CD B．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．四边形ABCD是菱形3．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（）A．40 B．24 C．20 D．154．如图，O为矩形ABCD的对角线AC的中点，过点O作AC的垂线EF分别交AD、BC于点E、F，连结CE．若该矩形的周长为20，则△CDE的周长为（）A．10 B．9 C．8 D．55．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD 交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD为矩形的只有（）A．AC＝BD B．AB＝6，BC＝8，AC＝10 C．AC⊥BD D．∠1＝∠26．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝55°，则∠OAB的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°7．如图，在正方形ABCD中，分别以点B，C为圆心，BC长为半径画弧，两弧相交于点E，连接AE，BE得到△ABE，则△ABE与正方形ABCD的面积比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．8．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如添加一个条件，使得该四边形成为正方形，那么所添加的这个条件可以是（）A．∠D＝90°B．AB＝CD C．AB＝BC D．AC＝BD9．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边长为6，它的一边AB在x轴上，且AB的中点是坐标原点，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标为（）A．（3，3）B．（3，3）C．（6，3）D．（6，3）二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）10．矩形（非正方形）四个内角的平分线围成的四边形是形．（填特殊四边形）11．如图，E是菱形ABCD的对角线BD上一点，过点E作EF⊥BC于点F．若EF ＝4，则点E到边AB的距离为．12．在菱形ABCD中，AC＝12cm，若菱形ABCD的面积是96cm2，则AB＝．13．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，∠AOB＝60°，AB＝10，E、F 分别为AO、AD的中点，则EF的长是．14．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是．15．如图，菱形ABCD的周长是20，对角线AC、BD相交于点O．若BO＝3，则菱形ABCD的面积为．16．已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝3．延长BC到点E，使CE＝1，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为时，△ABP和△DCE全等．17．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝1，CE＝3，点D是CG边上一点，H是AF 的中点，那么CH的长是．三．解答题（共7小题，共66分）18．已知：如图所示，菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，且E为AB的中点，已知BD＝4，求菱形ABCD的周长和面积．19．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥DC，垂足分别是E，F，并且BE ＝DF．求证；四边形ABCD是菱形．20．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，∠DAE＝2∠BAE，求∠EAC的度数．21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，E为边BC上一点，且EC＝AD，连结AC．（1）求证：四边形AECD是矩形；（2）若AC平分∠DAB，AB＝5，EC＝2，求AE的长，22．如图，在边长12的正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F在边AD上，且AF＝3DF，连接BE，BF，EF，请判断△BEF的形状，并说明理由．23．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．（1）求证：四边形OCED是正方形．（2）若AC ＝，则点E到边AB 的距离为．24．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFC，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．参考答案一．选择题1．解：A、菱形的对角线互相垂直，但不一定相等，故原命题错误，不符合题意；B、菱形的对角线互相垂直，故原命题正确，符合题意；C、菱形的对角相等，故原命题错误，不符合题意；D、矩形的四个角都是直角，菱形不一定是，故原命题错误，不符合题意，故选：B．2．解：∵AC＝AD，BC＝BD，∴AB垂直平分CD，故选：A．3．解：∵AB＝AD，点O是BD的中点，∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∵AB＝5，BO ＝BD＝4，∴AO＝3，∴AC＝2AO＝6，∴四边形ABCD 的面积＝×6×8＝24，故选：B．4．解：∵O为矩形ABCD的对角线AC的中点，∴AO＝OC，∵过点O作AC的垂线EF分别交AD、BC于点E、F，∴AE＝CE，∵矩形的周长为20，∴AD+DC＝AB+BC＝10，∴△CDE的周长为CD+DE+CE＝CD+DE+AE＝CD+AD＝10，故选：A．5．解：A、正确．对角线相等的平行四边形是矩形．B、正确．∵AB＝6，BC＝8，AC＝10，∴AB2+BC2＝62+82＝102，∴∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD为矩形．C、错误．对角线垂直的平行四边形是菱形，D、正确，∵∠1＝∠2，∴AO＝BO，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形．故选：C．6．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵OA＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，∵∠OAD＝55°，∴∠OAB＝∠DAB﹣∠OAD＝35°故选：A．7．解：过E作EF⊥AB于F，由题意得，△BCE是等边三角形，∴∠EBC＝60°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABE＝30°，∴EF ＝BE，设正方形的边长为a，则AB＝BE＝BC＝a，∴EF ＝a，∴S△ABE ＝AB•EF ＝•a a ＝a，S正方形ABCD＝a2，∴△ABE与正方形ABCD的面积比为1：4，故选：C．8．解：由∠A＝∠B＝∠C＝90°可判定四边形ABCD为矩形，因此再添加条件：一组邻边相等，即可判定四边形ABCD为正方形，故选：C．9．解：过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠FCD+∠BCD＝180°，∴∠A＝∠FCD，又∠AED＝∠F＝90°，AD＝DC，∴△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，S四边形ABCD＝S正方形DEBF＝16，∴DE＝4．故选：C．10．解：∵四边形ABCD是菱形∴AB＝AD＝CD＝6，AB∥CD∵AB的中点是坐标原点，∴AO＝BO＝3，∴DO ＝＝3∴点C坐标（6，3）故选：D．二．填空题11．解：∵AF，BE是矩形的内角平分线．∴∠ABF＝∠BAF﹣90°．故∠1＝∠2＝90°．同理可证四边形GMON四个内角都是90°，则四边形GMON为矩形．又∵有矩形ABCD且AF、BE、DK、CJ为矩形ABCD四角的平分线，∴有等腰直角△DOC，等腰直角△AMD，等腰直角△BNC，AD＝BC．∴OD＝OC，△AMD≌△BNC，∴NC＝DM，∴NC﹣OC＝DM﹣OD，即OM＝ON，∴矩形GMON为正方形，故答案为：正方．12．解：∵四边形ABCD为菱形，∴BD平分∠ABC，∵E为BD上的一点，EF＝4，∴点E到AB的距离＝EF＝4，故答案为：4．13．解：如图，∵四边形ABCD是菱形∴AO＝CO＝6cm，BO＝DO，AC⊥BD ∵S菱形ABCD ＝×AC×BD＝96∴BD＝16cm∴BO＝DO＝8cm∴AB ＝＝10cm故答案为：10cm14．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝OC，DO＝BO，AC＝BD，∴DO＝CO＝AO＝BO，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∵AB＝10，∴AO＝OB＝DO＝10，∵E、F分别为AO、AD的中点，∴EF ＝DO ＝＝5，故答案为：5．15．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAE＝45°＝∠ACB．∵AE＝AC，∴∠ACE＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°．∴∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝67.5°﹣45°＝22.5°．故答案为22.5°．16．解：∵菱形ABCD的周长是20，∴AB＝5，AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝3，∴AO ＝＝4∴AC＝8，BD＝6∴菱形ABCD 的面积＝AC×BD＝24，故答案为：2417．解：因为AB＝CD，若∠ABP＝∠DCE＝90°，BP＝CE＝1，根据SAS证得△ABP≌△DCE，由题意得：BP＝2t＝1，所以t＝0.5，因为AB＝CD，若∠BAP＝∠DCE＝90°，AP＝CE＝1，根据SAS证得△BAP≌△DCE，由题意得：AP＝8﹣2t＝1，解得t＝3.5．所以，当t的值为0.5或3.5秒时．△ABP和△DCE全等．故答案为：0.5秒或3.5秒．18．解：∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴∠ACD＝45°，∠FCG＝45°，AC ＝BC ＝，CF ＝CE＝3，∴∠ACF＝45°+45°＝90°，在Rt△ACF中，由勾股定理得：AF ＝＝＝2，∵H是AF的中点，∴CH ＝AF ＝．故答案为：．三．解答题19．解：∵DE⊥AB于E，且E为AB的中点，∴AD＝BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BA，∴AB＝AD＝BD，∴△ABD是等边三角形，∴∠DAB＝60°；∵BD＝4，∴DO＝2，AD＝4，∴AO ＝＝2，∴AC＝4；∴AB ＝＝＝4，∴菱形ABCD的周长为4×4＝16；菱形ABCD 的面积为：BD•AC ＝×4×4＝8．20．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∵AE⊥BC，AF⊥DC∴∠AEB＝∠AFD＝90°．又∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（AAS）∴DA＝AB，∴平行四边形ABCD是菱形．21．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AO＝OC，OD＝OB，∠BAD＝90°，∴OA＝OB，∵∠BAD＝90°，∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝30°，∵AE⊥BD，∴∠AEB＝90°，∴∠ABO＝90°﹣30°＝60°，∵OA＝OB，∴△OAB是等边三角形，∴∠BAO＝60°，∴∠EAC＝∠BAO﹣∠BAE＝60°﹣30°＝30°．22．解：（1）证明：∵AD∥BC，EC＝AD，∴四边形AECD是平行四边形．又∵∠D＝90°，∴四边形AECD是矩形．（2）∵AC平分∠DAB．∴∠BAC＝∠DAC．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB．∴∠BAC＝∠ACB．∴BA＝BC＝5．∵EC＝2，∴BE＝3．∴在Rt△ABE中，AE ＝＝＝4．23．解：△BEF是直角三角形，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠C＝∠D＝90°．∵点E是CD的中点，∴DE＝CE ＝CD＝6．∵AF＝3DF，∴DF ＝AD＝3．∴AF＝3DF＝9．在Rt△ABF中，由勾股定理可得BF2＝AB2+AF2＝144+81＝225，在Rt△BCE中，由勾股定理可得BE2＝CB2+CE2＝144+36＝180，在Rt△DEF中，由勾股定理可得EF2＝DF2+DE2＝9+36＝45，∵BE2+EF2＝180+45＝225，BF2＝225，∴BE2+EF2＝BF2．∴△BEF是直角三角形．24．（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形，在正方形ABCD中，AC⊥BD，OD＝OC，∴∠COD＝90°，∴四边形OCED是正方形．（2）解：如图，连接EO并延长，交AB于G，交CD于H，由（1）知：四边形OCED是正方形，∴CD⊥OE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴EG⊥AB，∵AC ＝，∴AB＝BC＝1＝GH，Rt△DCE中，∵DE＝CE，EH⊥CD，∴DH＝CH，∴EH ＝CD＝0.5，∴EG＝1+0.5＝1.5，∴点E到边AB的距离为1.5；故答案为：1.5．25．解：（1）如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形，（2）CE+CG的值为定值，理由如下：∵矩形DEFG为正方形，∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴AC＝AE+CE＝AB＝×4＝8，∴CE+CG＝8是定值．。

北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元测试

北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元测试（4）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（）A．1BC．2D．2．正方形面积为36，则对角线的长为（）A．6B．C．9D．3．如图，在矩形ABCD中，对角线BD＝8cm，∠AOD＝120°，则AB的长为（）B．2cm C．D．4cmA4．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6 cm，8 cm，则这个菱形的周长为（）A．5 cm B．10 cm C．14 cm D．20 cm5．下列命题中，真命题是（）．A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．对角线互相平分的四边形是平行四边形D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形6．在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（）A ．AC ＝BD ，AB∠CD ，AB ＝CDB ．AD∠BC ，∠A ＝∠C C ．AO ＝BO ＝CO ＝DO ，AC∠BD D ．AO ＝CO ，BO ＝DO ，AB ＝BC7．若顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是菱形．则四边形ABCD 一定是( )A ．菱形B ．对角线互相垂直的四边形C ．矩形D ．对角线相等的四边形8．如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB 、CD 于E 、F ，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 的面积的( )A ．15B ．14C ．13D ．3109．图，在∠ABC 中，AB ＝AC ，四边形ADEF 为菱形，O 为AE ，DF 的交点，S △ABC ＝，则S 菱形ADEF ＝（）A ．4B ．C ．D ．10．如图，四边形ABCD 中，90BAD C ∠=∠=︒，AB AD =，AH BC ⊥于H ，若线段AH =ABCD 的面积是（）．A ．3B ．4C ．D ．6二、填空题11．如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm ，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm ，则∠1=_______°12．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，连接AC ，BD ，相交于点O ，CE 平分∠ACD 交BD 于点E ，则DE ＝_____．13．如图，在菱形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为（8，2），点D 的坐标为（0，2），则点C 的坐标为_____________．14．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，CE ∠BD ，垂足为点E ，CE ＝5，EO ＝2DE ，则DE 的长为________．15．如图，四边形ABCD 是菱形，24,10,AC BD DH AB ==⊥ 于点H ，则线段BH 的长为_________．16．将五个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A 1、A 2、A 3、A 4分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影部分的面积的和为______．17．图，已知正方形ABCD 的边长为4，P 是对角线BD 上一点（不与B ，D 重合），PE∥CD 交BC 于点E ，PF ∥BC 交CD 于点F ，连接AP ，EF ．给出下列结论：∠PD EC ；∠四边形PECF 的周长为8；∠∠APD 一定是等腰三角形；∠AP ＝EF ．其中正确结论的序号为________．三、解答题18．如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O BE AC CF BD ⊥⊥，，，垂足分别为.E F ，求证：BE CF ＝．19．如图，在77⨯的正方形网格中，网格线的交点称为格点，B 在格点上，每一个小正方形的边长为1．（1）以AB 为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上（画出一个即可）．（2）计算你所画菱形的面积．20．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝5，AC＝6，DE∠BC的延长线于点E，求OE的长．21．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F．(1)求证：四边形AEBO是矩形；(2)若CD＝3，求EO的长．22．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，连接PE，PB．(1)在AC上找一点P，使∠BPE的周长最小（作图说明）；(2)求出∠BPE周长的最小值．23．如图，矩形ABCD 和正方形ECGF，其中E、H分别为AD、BC中点，连结AF、HG、AH.=；（1）求证：AF HG∠=∠；（2）求证：FAE GHC24．如图，△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线MN∠BC，设MN 交∠ACB 的平分线于点E，交∠ACB 的外角平分线于点F．（1）求证：OE＝OF；（2）当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由．（3）若AC 边上存在点O，使四边形AECF 是正方形，猜想△ABC 的形状并证明你的结论．25．有一张矩形纸片ABCD，其中AB＝10，AD＝6，现将矩形纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF（点E、F是折痕与矩形纸片的边的交点），再将纸片还原．(1)若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图∠）．∠当点P与点A重合时，∠DEF＝________°，当点E与点A重合时，∠DEF＝________°，当点F与点C重合时，AP＝________；∠若点P为AB的中点，求AE的长；(2)若点P落在矩形ABCD的外部（如图∠），点F与点C重合，点E在AD上，BA与FP交于点M，当AM＝DE时，请求出AE的长；(3)若点E为动点，点F为DC的中点，直接写出AP的最小值．参考答案：1．C【分析】利用菱形的性质以及等边三角形的判定方法得出∠DAB 是等边三角形，进而得出BD 的长，【详解】解：∠菱形ABCD 的边长为2，∠AD =AB =2，又∠∠DAB =60°，∠∠DAB 是等边三角形，∠AD =BD =AB =2，则对角线BD 的长是2．故选C ．【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定，得出∠DAB 是等边三角形是解题关键．2．B【分析】根据对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半，且正方形对角线相等，列方程解答即可．【详解】设对角线长是x ．则有12x 2=36，解得：x故选B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，注意结论：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．此题也可首先根据面积求得正方形的边长，再根据勾股定理进行求解．3．D【分析】根据矩形的性质求出4AO BO cm ==，再根据等边三角形的判定可得AOB 是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可得．【详解】∠120AOD ∠=︒∠18060AOB AOD ∠=︒-∠=︒∠四边形ABCD 是矩形，8BD cm = ∠118,4,422AC BD cm AO AC cm BO BD cm ======∠4AO BO cm ==∠AOB 是等边三角形∠4AB AO cm ==故选：D ．【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟记矩形的性质是解题关键．4．D【分析】根据菱形的性质和勾股定理求解即可．【详解】解：∠菱形的对角线AC 与BD 相交于点O ，∠AO =OC ，BO =OD ，AC ∠BD ，AB =BC =CD =AD ，∠AC =6cm ，BD =8cm ，∠在Rt∠AOB 中，AO =3cm ，BO =4cm ，∠AOB =90°，由勾股定理得：AB ，∠菱形的周长为4×5=20cm ，故选：D ．【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的对角线互相垂直且平分是解答的关键．5．C【详解】解：A 、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；B 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；C 、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；D 、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误．故选C ．6．C【分析】根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．【详解】解：A ，不能，只能判定为矩形，不符合题意；B ，不能，只能判定为平行四边形，不符合题意；C ，能，符合题意；D，不能，只能判定为菱形，不符合题意．故选C．7．D【分析】根据三角形的中位线定理得到EH∠FG，EF=FG，EF=12BD，要是四边形为菱形，得出EF=EH，即可得到答案．【详解】解：∠E，F，G，H分别是边AD，AB，CB，DC的中点，∠EH=12AC，EH∠AC，FG=12AC，FG∠AC，EF=12BD，∠EH∠FG，EF=FG，∠四边形EFGH是平行四边形，假设AC=BD，∠EH=12AC，EF=12BD，则EF=EH，∠平行四边形EFGH是菱形，即只有具备AC=BD即可推出四边形是菱形，故选：D．【点睛】题目主要考查中位线的性质及菱形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用三角形中位线的性质是解题关键．8．B【分析】根据矩形的性质，得△EBO∠∠FDO，再由△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的12得出结论．【详解】解：∠四边形为矩形，∠OB＝OD＝OA＝OC，在△EBO与△FDO中，∠∠EOB＝∠DOF，OB ＝OD ，∠EBO ＝∠FDO ，∠∠EBO ∠∠FDO （ASA ），∠阴影部分的面积＝S △AEO ＋S △EBO ＝S △AOB ，∠∠AOB 与△ABC 同底且△AOB 的高是△ABC 高的12， ∠S △AOB ＝12S △ABC ＝14S 矩形ABCD ．故选B【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质9．C【分析】根据菱形的性质，结合AB =AC ，得出DF 为∠ABC 的中位线，DF∥BC ，12DF BC =，从而得出AE 为∠ABC 的高，得出BC AE ⨯=的面积．【详解】解：∠四边形ADEF 为菱形，∠EF∥AB ，DE∥AC ，AF =EF =DE =AD ，AE ∠DF ，∠CEF B ∠=∠，DEB C ∠=∠，AC AB =，B C ∴∠=∠，CEF B C DEB ===∴∠∠∠∠，∠CF =EF ，DE =DB ，CF AF ∴=，AD DB =，∠DF∥BC ，12DF BC =， 90AOD ∠=︒，90AEB AOD ==︒∴∠∠，AE BC ∴⊥，ABC S =∵12BC AE ⨯=∴即BC AE ⨯=1111=2224ADEF S DF AE BC AE ⨯=⨯⨯=⨯菱形∴C 正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，中位线的性质，等腰三角形的性质和判断，平行线的性质，菱形的面积，三角形面积的计算，根据菱形的性质和等腰三角形的性质得出DF 为∠ABC 的中位线，是解题的关键．10．D【详解】试题解析：过A 点作CD 的垂线,交CD 的延长线于F 点,如图，则四边形AECF 是矩形90,90DAE BAE DAE DAF ∠+∠=∠+∠=，BAE DAF ∴∠=∠，在∠ABE 和∠DAF 中，{AB ADBAE DAF AEB AFD =∠=∠∠=∠，则(AAS)ABE DAF ≌，,AE AF ∴=又∠四边形AECF 是矩形.∠四边形AECF 为正方形，而四边形ABCD 的面积是6，故选D.11．120【详解】由题意可得AB 与菱形的两邻边组成等边三角形，从而不难求得∠1的度数．解：由题意可得AB 与菱形的两邻边组成等边三角形，则∠1=120°．故答案为120．此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定．12【分析】由正方形对角线相交于点O ，则DO CO ⊥，12DO BD ==，过点E 作EF CD ⊥于F ，设EO EF DF x ===，则DE =，列出方程x =解出x ，最后得出答案．【详解】解：如图所示，过点E 作EF CD ⊥于F ，∠正方形ABCD 的边长为1，∠AC =BDDO CO ⊥，∠OA =OC =OB =OD =2， ∠CE 平分∠ACD 交BD 于点E ，∠EO =EF ，∠在正方形ABCD 中，∠ADB =∠CDB =45°，∠EF =DF ，设EO EF DF x ===，则DE =，∠OD =OE +DE =x =∠解得x =∠DE =OD -OE 1=，1．【点睛】本题主要考查了正方形的性质与角平分线的性质，解题的关键是根据角平线的性质作出辅助线．13．（4，4）【详解】解：连接AC 、BD 交于点E ，如图所示：∠四边形ABCD 是菱形，∠AC ∠BD ，AE =CE =12AC ，BE =DE =12BD ，∠点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），∠OD=2，BD=8，∠AE=OD=2，DE=4，∠AC=4，∠点C的坐标为：（4，4）故答案为：（4，4）【点睛】本题考查菱形的性质；坐标与图形性质．14【分析】由矩形的性质得到∠ADC=90°，BD=AC，OD=12BD，OC=12AC，求得OC=OD，设DE=x，OE=2x，得到OD=OC=3x，根据勾股定理即可得到答案．【详解】解：∠四边形ABCD是矩形，∠∠ADC=90°，BD=AC，OD=12BD，OC=12AC，∠OC=OD，∠EO=2DE，∠设DE=x，OE=2x，∠OD=OC=3x，∠CE∠BD，∠∠DEC=∠OEC=90°，在Rt△OCE中，∠OE2+CE2=OC2，∠（2x）2+52=（3x）2，解得：x，∠DE【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．15．50 13【详解】试题分析：∠四边形ABCD是菱形，AC=24，BD=10，∠AO=12，OD=5，AC∠BD，=13，∠DH∠AB，∠AO×BD=DH×AB，∠12×10=13×DH，∠DH=12013，5013=．考点：1.菱形的性质；2.勾股定理.16．4【分析】连接AP、AN，点A是正方形的对角线的交点，则AP=AN，∠APF=∠ANE=45°，易得PAF∠∠NAE，进而可得四边形AENF的面积等于∠NAP的面积，同理可得答案．【详解】如图，连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交则AP=AN，∠APF=∠ANE=45°，∠∠PAF+∠FAN=∠FAN+∠NAE=90°，∠∠PAF=∠NAE，∠∠PAF∠∠NAE，∠四边形AENF的面积等于∠NAP的面积，而∠NAP 的面积是正方形的面积的14，而正方形的面积为4， ∠四边形AENF 的面积为1cm 2，四块阴影面积的和为4cm 2．故答案为4．【点睛】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：∠定点-旋转中心；∠旋转方向；∠旋转角度．17．∠∠∠【分析】∠证明PF EC =，PDF ∆是等腰直角三角形，即可说明PD =；∠先证明四边形PECF 为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为2BC ，则四边形PECF 的周长为8；∠根据P 的任意性可以判断APD ∆不一定是等腰三角形；∠四边形PECF 为矩形，通过正方形的轴对称性，证明AP EF =．【详解】解：∠PE BC ⊥，PF CD ⊥，90PEC PFC ∴∠=∠=︒，又90C ∠=︒，∴四边形PECF 是矩形，EC PF ∴=．四边形ABCD 是正方形，45PDF ∴∠=︒，PDF ∴∆是等腰直角三角形，PD ∴==，故∠正确；∠PE BC ⊥，PF CD ⊥，90BCD ∠=︒，∴四边形PECF 为矩形，∴四边形PECF 的周长222228CE PE CE BE BC =+=+==，故∠正确； ∠点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上任意一点，45ADP ∠=︒，∴当45PAD ∠=︒或67.5︒或90︒时，APD ∆是等腰三角形，除此之外，APD ∆不是等腰三角形，故∠错误．∠四边形PECF为矩形，∠=∠，∴=，PFE ECPPC EF正方形为轴对称图形，∴=，AP PC∴=，AP EF故∠正确；故答案为∠∠∠．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的运用等知识；熟练掌握正方形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．18．证明见解析【分析】要证BE=CF，可运用矩形的性质结合已知条件证BE、CF所在的三角形全等．【详解】证明：∠四边形ABCD为矩形，∠AC=BD，则BO=CO．∠BE∠AC于E，CF∠BD于F，∠∠BEO=∠CFO=90°．又∠∠BOE=∠COF，∠∠BOE∠∠COF．∠BE=CF．19．（1）答案不唯一，见解析；（2）6或8或10（答案不唯一）【分析】（1）根据菱形的定义并结合格点的特征进行作图；（2）利用菱形面积公式求解．【详解】解：（1）根据题意，菱形ABCD即为所求（2）图1中AC =2，BD =6∠图1中菱形面积12662=⨯⨯=．图2中，AC22442，BD =∠图2中菱形面积182=⨯=．图3中，AC BD =∠图3菱形面积1102=⨯=．【点睛】本题考查菱形的性质，掌握菱形的概念准确作图是关键．20．4【分析】由菱形的性质得出AC BD ⊥，OB OD =，112OA OC AC ===，在Rt AOD ∆中，由勾股定理得：4OD =，得出28BD OD ==，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．【详解】解：∠四边形ABCD 是菱形，∠AD ＝AB ＝5，AC ∠BD ，AO ＝12AC ＝12×6＝3，OB ＝OD ．在Rt∠AOD 中，由勾股定理得OD ＝4OD ==，∠BD ＝2OD ＝8．∠DE ∠BC ，∠∠DEB ＝90°．又∠OD ＝OB ，∠OE ＝12BD ＝12×8＝4．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、平行线的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．21．(1)见解析；(2)3【分析】（1）先根据平行四边形的判定证明四边形AEBO 是平行四边形，再利用菱形的对角线互相垂直和矩形的判定证明即可；（2）利用矩形的性质求解即可．(1)证明：∠BE∠AC，AE∠BD，∠四边形AEBO是平行四边形．∠四边形ABCD是菱形，∠AC∠BD，即∠AOB＝90°．∠四边形AEBO是矩形．(2)解：∠四边形AEBO是矩形，∠EO＝AB，在菱形ABCD中，AB＝CD，∠EO＝CD＝3．【点睛】本题考查菱形的性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定与性质是解答的关键．22．(1)见解析(2)12【分析】（1）连接DE，交AC于点P′，连接BP′，当点P在点P′处时，∠BPE的周长最小．理由：证明∠AB P′∠∠AD P′，即可求解；（2）根据（1）可得P′B＋P′E＝DE．再由AE＝3BE，可得AE＝6．从而得到AD＝AB＝8．再由勾股定理，即可求解．（1）解：如图，连接DE，交AC于点P′，连接BP′，当点P在点P′处时，∠BPE的周长最小．理由：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAC=∠DAC，∠AP′=AP′，∠∠ABP′∠∠ADP′，∠BP′=DP′，∠BP+PE= DP′+ P′E≥DE，即当点P位于PP′时，∠BPE的周长PB+EP+BE最小；（2）解：由（1）得：B P ′=DP ′，∠P ′B ＋P ′E ＝DE ．∠BE ＝2，AE ＝3BE ，∠AE ＝6．∠AD ＝AB ＝8．∠DE10．∠PB ＋PE 的最小值是10．∠∠BPE 周长的最小值为10＋BE ＝10＋2＝12．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，最短距离，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．23．（1）详见解析；（2）详见解析.【分析】（1）根据题意可先证明四边形AHCE 为平行四边形，再根据正方形的性质得到∠AH FG =，//AH FG ，故可证明四边形AHGF 是平行四边形，即可求解；（2）根据四边形AHGF 是平行四边形，得180FAH AHG ∠+∠=︒，根据四边形ABCD 是矩形，可得 DAH AHB ∠=∠，再根据平角的性质及等量替换即可证明.【详解】（1）证明：∠四边形ABCD 是矩形，且E 、H 分别为AD 、BC 的中点， ∠AE HC =，//AE HC ，∠四边形AHCE 为平行四边形，∠AH EC =，//AH EC ，又∠四边形ECGF 为正方形，∠EC FG =，//EC FG ，∠AH FG =，//AH FG ，∠四边形AHGF 是平行四边形，∠AH FG =；（2）证明：∠四边形AHGF 是平行四边形，∠180FAH AHG ∠+∠=︒，∠四边形ABCD 是矩形，∠//AD BC ，∠DAH AHB ∠=∠，又∠180AHB AHG GHC ∠+∠+∠=︒，∠FAD GHC ∠=∠；【点睛】此题主要考查正方形的性质与证明，解题的关键是熟知特殊平行四边形的性质定理.24．（1）见解析；（2）当点 O 在边 AC 上运动到 AC 中点时，四边形 AECF 是矩形．见解析；（3）△ABC 是直角三角形，理由见解析．【分析】(1)根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4,进而得出答案；(2)根据AO =CO ,EO =FO 可得四边形AECF 平行四边形，再证明∠ECF =90°利用矩形的判定得出即可；(3)利用正方形的性质得出AC ∠EN ，再利用平行线的性质得出∠BCA =90°，即可得出答案；【详解】证明：（1）∠MN 交∠ACB 的平分线于点 E ，交∠ACB 的外角平分线于点 F ， ∠∠2＝∠5，∠4＝∠6，∠MN ∠BC ，∠∠1＝∠5，∠3＝∠6，∠∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠EO ＝CO ，FO ＝CO ，∠OE ＝OF ；（2）当点 O 在边 AC 上运动到 AC 中点时，四边形 AECF 是矩形．证明：当 O 为 AC 的中点时，AO ＝CO ，∠EO ＝FO ，∠四边形 AECF 是平行四边形，∠CE 是∠ACB 的平分线，CF 是∠ACD 的平分线，∠∠ECF ＝12（∠ACB +∠ACD ）=90°，∠平行四边形 AECF 是矩形．（3）∠ABC 是直角三角形，理由：∠四边形AECF 是正方形，∠AC∠EN，故∠AOM＝90°，∠MN∠BC，∠∠BCA＝∠AOM，∠∠BCA＝90°，∠∠ABC 是直角三角形．【点睛】此题考查了正方形的判断和矩形的判定，需要知道平行线的特征和角平分线的性质才能解答此题．25．(1)∠ 90，45，2；∠11 12(2)1275【分析】（1）∠分别画出三种情况下的图形即可得到解答；∠连接EP，设AE＝x，可以得到关于x的方程，从而得到AE的值；（2）连接EM，设AE＝y，根据题意可以得到关于y的方程，解方程即可得到问题解答；（3）画出图形后根据题意可以得到解答．（1）∠如图1所示，点P与点A重合，由题意可知，PD∠EF，所以∠DEF＝90°，如图2所示，点E与点A重合，由题意可知，ED=EP，PD∠EF，所以∠DEF＝45°，如图3所示，点F与点C重合，连结CP，由题意可知，CP=DF=10，BC=6，∠在RT∠CPB中，PB=8，∠AP=AB-PB=2，故答案为90；45；2；∠如图4所示，连接EP，∠点P为AB的中点，∠AP＝BP＝5，由折叠知DE＝EP，设AE＝x，则DE＝EP＝6－x，在Rt∠AEP中，AE2＋AP2＝EP2，即x2＋52＝（6－x）2，解得x＝1112，即AE＝1112．（2）如图5所示，连接EM，设AE＝y，由折叠知PE＝DE，∠CDE＝∠EPM＝90°，CD＝CP＝AB＝10，∠AM＝DE，∠AM＝PE．在Rt∠AEM和Rt∠PME中，,, AM PE EM ME=⎧⎨=⎩∠Rt∠AEM∠Rt∠PME（HL），∠AE＝PM＝y，∠CM＝10－y，BM＝AB－AM＝AB－DE＝10－（6－y）＝4＋y．在Rt∠BCM中，BM2＋BC2＝CM2，∠（4＋y）2＋62＝（10－y）2，解得y＝127．∠AE＝127．（3）如图6所示，连结AF，在Rt ADF中，∠D=90°，AD＝6，DF=CF=5，∠AF∠PF=DF=5，∠5AP AF PF≥-=，∠AP5．【点睛】本题考查矩形的的折叠问题和最短距离问题，正确分类并画出图形是解题的关键．。

九年级数学（上）单元测试卷第一章《特殊平行四边形》（含答案与解析）

【新北师大版九年级数学（上）单元测试卷】第一章《特殊平行四边形》（含答案与解析）班级：___________ 姓名：___________ 得分：___________一.选择题：（每小题3分，共36分）1. 已知下列命题：①矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中正确的有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个2. 如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）A. AB=BCB. AC=BCC. ∠B=60°D. ∠ACB=60°3.菱形的对角线长分别为3和4，则该菱形的面积是A. 6B. 8C. 12D. 244. 已知四边形ABCD中，分别是的中点，则四边形EFGH是A. 菱形B. 矩形C. 正方形D. 梯形5.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形为正方形的是（）A. AD∥BC，∠B=∠DB. AC=BD，AB=CD，AD=BCC. OA=OC，OB=OD，AB=BCD. OA=OB=OC=OD，AC⊥BD6. 正方形具有而矩形不一定有的性质是（）A. 对角线相等且互相平分B. 对角线互相垂直且平分每一组对角C. 每一内角均为直角D. 对边平行且相等7. 平行四边形ABCD是正方形需增加的条件是（）A. 邻边相等B. 邻角相等8.如图，在矩形ABCD中，，则BD的长为A. 5B. 10C. 12D. 139.若一个菱形的两条对角线长分别是5cm和10cm，则与该菱形面积相等的正方形的边长是A. 6cmB. 5cmC.D.10.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边上的点B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A. 12B. 24C. 12D. 1611.如图，正方形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，连接DE，BF，CE，AF，正方形ABCD的面积为1，则阴影部分的面积为（）A. B. C. D.12.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为点F，则EF的长为（）A. 1B.C. 4-2D. 3-4二.填空题：（每小题3分共12分）13.正方形的一条边长是4，则它的对角线长是_________.15.矩形的对角线相交构成的钝角为120°，短边等于5cm，则对角线的长为__________.16.如图，E为正方形ABCD边BC延长线上一点，且CE=BD，AE交DC于F，则∠AFC=_________.三.解答题：（共52分）17.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点P是AC的中点.求证：∠BDP=∠DBP．18.已知：菱形ABCD中，对角线于点E，求菱形ABCD的面积和BE的长．于点F，且，连接BF．证明：；当满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．20.已知中对角线AC的垂直平分线交AD于点F，交BC于点E.求证：四边形AECF是菱形.证明：∵EF是AC的垂直平分线（已知）∴四边形AECF是不正确⑴你能找出小明错误的原因吗？请你指出来.⑵请你给出本题的证明过程.21.如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC．（2）当∠ABC=60°，∠CEF=60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．22. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是点E,F，并且DE=DF．求证：（1）△ADE≌△CDF；（2）四边形ABCD是菱形．23.如图，F是正方形ABCD的边BC的中点，CG平分∠DCM，交过F点AF的垂线FG于G，求证：AF=FG.一.选择题：（每小题3分，共36分）1. 已知下列命题：①矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中正确的有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】C【解析】①正确.②等腰梯形是对角线相等，错误.③菱形也两个角相等，错误.④正确．所以选C.2. 如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）A. AB=BCB. AC=BCC. ∠B=60°D. ∠ACB=60°【答案】B【解析】试题分析：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴AB CD，∴四边形ABCD为平行四边形，当AC=BC时，平行四边形ACED是菱形．故选B．3.菱形的对角线长分别为3和4，则该菱形的面积是A. 6B. 8C. 12D. 24【答案】A【解析】∵菱形的两条对角线长分别为3和4，∴S菱形=.故选A.4. 已知四边形ABCD中，分别是的中点，则四边形EFGH是A. 菱形B. 矩形C. 正方形D. 梯形【答案】B【解析】如图，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴EF∥AC，HG∥AC，∴EF∥AC，∴四边形EFGH是平行四边形，∵EF∥AC，AC⊥BD，∴EF⊥BD，∵HE∥BD，∴EF⊥HE，∴∠HEF=90°，∴平行四边形EFGH是矩形.故选B.5.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形为正方形的是（）A. AD∥BC，∠B=∠DB. AC=BD，AB=CD，AD=BCC. OA=OC，OB=OD，AB=BCD. OA=OB=OC=OD，AC⊥BD【答案】D【解析】A、不能，只能判定出是平行四边形；B、不能，只能判定出是矩形；C、不能，只能判定出是菱形；D、能，由OA=OB=OC=OD可判断出四边形ABCD是矩形，再根据AC⊥BD，可判断出矩形ABCD 又是菱形，所以可判断出四边形ABCD是正方形，故选D.6. 正方形具有而矩形不一定有的性质是（）A. 对角线相等且互相平分B. 对角线互相垂直且平分每一组对角C. 每一内角均为直角D. 对边平行且相等【答案】B【解析】根据正方形和矩形的性质知，它们具有相同的特征有：四个角都是直角、对边平行且相等、对角线相等、对角线互相平分，但矩形的对角线不互相垂直，故选B．7. 平行四边形ABCD是正方形需增加的条件是（）A. 邻边相等B. 邻角相等C. 对角线互相垂直D. 对角线互相垂直且相等【解析】如图所示：添加的条件是AC=BD且AC⊥BD，平行四边形ABCD为正方形；理由如下：添加的条件时AC=BD且AC⊥BD时；∵四边形ABCD是平行四边形．又AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是正方形；故选：D．8.如图，在矩形ABCD中，，则BD的长为A. 5B. 10C. 12D. 13【答案】B【解析】∵四边形ABCD是矩形，∠BOC=120°，∴AO=BO，∠BAD=90°，∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴∠ABD=60°，∴∠BDA=30°，∴BD=2AB=10.故选B.9.若一个菱形的两条对角线长分别是5cm和10cm，则与该菱形面积相等的正方形的边长是A. 6cmB. 5cmC.D.【解析】∵菱形的两条对角线分别为5cm和10cm，∴菱形的面积为：（cm2），设正方形的边长为cm，则，解得：（cm）.故选B.10.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边上的点B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A. 12B. 24C. 12D. 16【答案】D【解析】试题分析：根据题意可得：AD=2+6=8，根据折叠图形的性质可得：AB=2，然后根据矩形的面积计算公式求出矩形的面积.11.如图，正方形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，连接DE，BF，CE，AF，正方形ABCD的面积为1，则阴影部分的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】DE BF,AF EC,EGFH是平行四边形，E,F是中点，易得，四边形对角线垂直，1∴EGFH是菱形。

新北师大版九年级上册《第1章特殊平行四边形》单元测试卷

新北师大版九年级上册《第1章特殊平行四边形》单元测试卷一、选择题（每题4分，共40分）（下列每小题只有一个正确答案，请将正确答案的序号填在括号内）1．下列条件能判定四边形是菱形的是（）A ．对角线相等的四边形 B ．对角线互相垂直的四边形 C ．对角线互相垂直平分的四边形 D ．对角线相等且互相垂直的四边形2．下列对矩形的判定：“（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的四边形是矩形；（4）有四个角是直角的四边形是矩形；（5）四个角都相等的四边形是矩形；（6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形；（7）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（8）对角线相等且互垂直的四边形是矩形”中，正确的个数有（）A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个3．已知：如图，过四边形ABCD 的顶点A 、C 、B 、D 分别作BD 、AC 的平行线围成四边形EFGH ，如果EFGH 成菱形，那么四边形ABCD 必定是（）A ．菱形B ．平行四边形C ．矩形D ．对角线相等的四边形4．在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，且E ，F 分别为BC ，CD 的中点，那么∠EAF 的度数为（）A ．75° B ．60° C ．45° D ．30°5．矩形的一条长边的中点与另一条长边构成等腰直角三角形，已知矩形的周长是36，则矩形一条对角线长是（）A ．65 B ．55 C ．45 D ．356．矩形的内角平分线能够组成一个（）A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．平行四边形7．以正方形ABCD 的一组邻边AD 、CD 向形外作等边三角形ADE 、CDF ，则下列结论中错误的是（）A ．BD 平分∠EBF B ．∠DEF=30° C ．BD ⊥EF D ．∠BFD=45°8．已知正方形ABCD 的边长是10cm ，△APQ 是等边三角形，点P 在BC 上，点Q 在CD 上，则BP 的边长是（）A ．55 cmB ．3320cm C ．(20-103)cm D ．(20+103)cm 9．菱形的周长为20，两邻角的比为2：1，则一组对边的距离为（）A ．23 B ．233 C ．33 D ．235 10．正方形具有而菱形不具有的性质是（）A ．四个角都是直角 B ．两组对边分三、解答题（第1、2小题各10分，第3、4小题各5分，共30分）16．如图，AB∥CD，∠ACB=90°，E是AB的中点，CE=CD，DE和AC相交于点F．求证：（1）DE⊥AC；（2）∠ACD=∠ACE．17．如图，ABCD为平行四边形，DFEC和BCGH为正方形．求证：AC⊥EG．18．证明：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．19．从菱形钝角的顶点向对边作垂线，且垂线平分对边，求菱形各角的度数．四、（第1、2小题各6分，第3小题7分，共19分）20．如图，正方形纸片ABCD的边BC上有一点E，AE=8cm，若把纸片对折，使点A与点E重合，则纸片折痕的长是多少？21．如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点且AE=AD，又DF⊥AE于点F，证明：EC=EF．22．如图，已知P是矩形ABCD的内的一点．求证：PA2+PC2=PB2+PD2．。

九年级数学上册《第一章特殊平行四边形》单元测试卷-附带答案(北师大版)

九年级数学上册《第一章特殊平行四边形》单元测试卷-附带答案(北师大版)一、选择题（12小题，每小题3分，共36分）1．下列命题中，真命题是（）A．两条对角线垂直的四边形是菱形B．对角线垂直且相等的四边形是正方形C．两条对角线相等的四边形是矩形D．两条对角线相等的平行四边形是矩形2．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角互补3．顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是（）①平行四边形②菱形③对角线相等的四边形④对角线互相垂直的四边形．A．①③ B．②③ C．③④ D．②④4．既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是（）A．正方形B．矩形 C．菱形 D．矩形或菱形5．（2018•大连）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝5，AC＝6，则BD的长是（）A．8 B．7 C．4 D．36．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（）A．16 B．17 C．18 D．197．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=cm，则AB边上的中线为（）A．1cm B．2cm C．1.5cm D．cm8．如图，在正方形ABCD外侧作等边三角形CDE，AE、BD交于点F，则∠AFB的度数为（）A．45°B．55°C．60°D．75°9．如图，▱ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，∠EDF=60°，AE=2cm，则AD=（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm10．如图：长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图的方式折叠，使点B与点D重合．折痕为EF，则DE长为（）A．4.8 cm B．5 cm C．5.8 cm D．6 cm11．如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图（1）），再打开，得到如图（2）所示的小菱形的面积为（）A．10cm2B．20cm2C．40cm2D．80cm212．（2018•威海）矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF 的中点H，连接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝（）A．1 B．C．D．二、填空题（每小题3分，共12分）13．（2018•锦州）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为．14．（2018•本溪）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P是边AB 或边BC上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点P的坐标为．15．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为．16．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F为AB上的一点，AF=2，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为．三、解答题（共52分）17．（6分）已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．18．（7分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD=60°，AB=，AE⊥BD于点E，求OE的长．19．（7分）如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．20．（8分）如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．（1）求证：AE=DF；（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．21．（8分）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．（1）求证：OE=OF；（2）若BC=2，求AB的长．22．（8分）正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°．将△DAE绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF=FM；（2）当AE=1时，求EF的长．23．（8分）已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）求CF的长；（3）如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD 上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题（12小题，每小题3分，共36分）1．下列命题中，真命题是（）A．两条对角线垂直的四边形是菱形B．对角线垂直且相等的四边形是正方形C．两条对角线相等的四边形是矩形D．两条对角线相等的平行四边形是矩形【分析】本题要求熟练掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质以及之间的相互联系．【解答】解：A、两条对角线垂直并且相互平分的四边形是菱形，故选项A错误；B、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项B错误；C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C错误；D、根据矩形的判定定理，两条对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故选项D正确；故选D．【点评】本题考查的是普通概念，熟练掌握基础的东西是深入研究的必要准备．2．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角互补【考点】矩形的性质；菱形的性质．【专题】推理填空题．【分析】根据菱形对角线垂直平分的性质及矩形对交线相等平分的性质对各个选项进行分析，从而得到最后的答案．【解答】解：A、菱形对角线相互垂直，而矩形的对角线则不垂直；故本选项符合要求；B、矩形的对角线相等，而菱形的不具备这一性质；故本选项不符合要求；C、菱形和矩形的对角线都互相平分；故本选项不符合要求；D、菱形对角相等；但菱形不具备对角互补，故本选项不符合要求；故选A．【点评】此题主要考查了学生对菱形及矩形的性质的理解及运用．菱形和矩形都具有平行四边形的性质，但是菱形的特性是：对角线互相垂直、平分，四条边都相等．3．顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是（）①平行四边形②菱形③对角线相等的四边形④对角线互相垂直的四边形．A．①③ B．②③ C．③④ D．②④【考点】矩形的定义及性质．【分析】已知梯形四边中点得到的四边形是矩形，则根据矩形的性质及三角形的中位线的性质进行分析，从而不难求解．【解答】解：如图点E，F，G，H分别是梯形各边的中点，且四边形EFGH是矩形．∵点E，F，G，H分别是梯形各边的中点，且四边形EFGH是矩形．∴∠FEH=90°，EF∥BD∥HG，FG∥AC∥EH，EF≠GH．∴AC⊥BD．①平行四边形的对角线不一定互相垂直，故①错误；②菱形的对角线互相垂直，故②正确；③对角线相等的四边形，故③错误；④对角线互相垂直的四边形，故④正确．综上所述，正确的结论是：②④．故选：D．【点评】此题主要考查矩形的性质及三角形中位线定理的综合运用，正确掌握矩形的判定方法是解题关键．4．既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是（）A．正方形B．矩形 C．菱形 D．矩形或菱形【考点】菱形的性质，矩形的定义及性质，正方形的定义及性质．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，有4条对称轴；矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，有2条对称轴；菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，有2条对称轴．故选D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5．（2018•大连）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝5，AC＝6，则BD的长是（）A．8 B．7 C．4 D．3【考点】L8：菱形的性质．【分析】根据菱形的对角线互相垂直，利用勾股定理列式求出OB即可；【解答】解：∵四边形ABCD是菱形∴OA＝OC＝3，OB＝OD，AC⊥BD在Rt△AOB中，∠AOB＝90°根据勾股定理，得：OB＝＝＝4∴BD＝2OB＝8故选：A．【点评】本题考查了菱形性质，勾股定理的应用等知识，比较简单，熟记性质是解题的关键．6．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（）A．16 B．17 C．18 D．19【考点】正方形的性质．【分析】由图可得，S2的边长为3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=2；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．【解答】解：如图设正方形S1的边长为x∵△ABC和△CDE都为等腰直角三角形∴AB=BC，DE=DC，∠ABC=∠D=90°∴sin∠CAB=sin45°==，即AC=BC，同理可得：BC=CE=CD∴AC=BC=2CD又∵AD=AC+CD=6∴CD==2∴EC2=22+22，即EC=2；∴S1的面积为EC2=2×2=8；∵∠MAO=∠MOA=45°∴AM=MO∵MO=MN∴AM=MN∴M为AN的中点∴S2的边长为3∴S2的面积为3×3=9∴S1+S2=8+9=17．故选B．【点评】本题考查了正方形的性质，找到相等的量，再结合三角函数进行解答．7．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=cm，则AB边上的中线为（）A．1cm B．2cm C．1.5cm D．cm【考点】直角三角形斜边上的中线．【专题】计算题．【分析】由直角三角形的性质知：斜边上的中线等于斜边的一半；已知了直角三角形的两条直角边，由勾股定理可求得斜边的长，由此得解【解答】解：∵Rt△ABC中，AC=cm，且∠ACB=90°，∠B=30°∴AB=2∴AB边上的中线CD=AB=cm．故选D．【点评】此题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点的理解和掌握，难度不大，属于基础题．8．如图，在正方形ABCD外侧作等边三角形CDE，AE、BD交于点F，则∠AFB的度数为（）A．45°B．55°C．60°D．75°【考点】正方形的性质．【分析】根据正方形以及等边三角形的性质可得出AD=DE，∠ADF=45°，∠ADC=90°，∠CDE=60°，根据等腰三角形的性质即可得出∠DAE=∠DEA=15°，再结合三角形外角性质即可算出∠AFB的值．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，△CDE为等边三角形∴AD=CD=DE，∠ADF=∠ABF=45°，∠ADC=90°，∠CDE=60°∴∠ADE=150°．∵AD=DE∴∠DAE=∠DEA=15°∴∠AFB=∠ADF+∠DAF=45°+15°=60°．故选C．【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是求出∠ADF=45°、∠DAF=15°．本题属于基础题，解决该题型题目时，通过正方形、等边三角形以及等腰三角形的性质计算出角的度数是关键．9．如图，▱ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，∠EDF=60°，AE=2cm，则AD=（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【考点】含30度角的直角三角形；多边形内角与外角；平行四边形的性质．【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，得出AB∥CD，∠A=∠C，∠CDE=∠AED，根据DE⊥AB，得出∠AED和∠CDE是直角，求出∠CDF的度数，最后根据DF⊥BC，求出∠C、∠A的度数，最后根据∠ADE=30°，AE=2cm，即可求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，∠A=∠C∴∠CDE=∠AED∵DE⊥AB∴∠AED=90°∴∠CDE=90°∵∠EDF=60°∴∠CDF=30°∵DF⊥BC∴∠DFC=90°∴∠C=60°∴∠A=60°∴∠ADE=30°∴AD=2DE∵AE=2∴AD=2×2=4（cm）；故选A．【点评】此题考查了平行四边形的性质和含30°角的直角三角形，用到的知识点是平行四边形的性质和垂直的定义30°角的直角三角形的性质，关键是求出∠ADE=30°．10．如图：长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图的方式折叠，使点B与点D重合．折痕为EF，则DE长为（）A．4.8 cm B．5 cm C．5.8 cm D．6 cm【考点】矩形的定义及性质．【分析】在折叠的过程中，BE=DE，从而设BE=DE=x，即可表示AE，在直角三角形ADE中，根据勾股定理列方程即可求解．【解答】解：设DE=xcm，则BE=DE=x，AE=AB﹣BE=10﹣x在Rt△ADE中，DE2=AE2+AD2即x2=（10﹣x）2+16．解得：x=5.8．故选C．【点评】此题主要考查了翻折变换的问题，解答本题的关键是掌握翻折前后对应线段相等，另外要熟练运用勾股定理解直角三角形．11．如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图（1）），再打开，得到如图（2）所示的小菱形的面积为（）A．10cm2B．20cm2C．40cm2D．80cm2【考点】菱形的性质．【分析】利用折叠的方式得出AC，BD的长，再利用菱形面积公式求出面积即可．【解答】解：由题意可得：图1中矩形的长为5cm，宽为4cm∵虚线的端点为矩形两邻边中点∴AC=4cm，BD=5cm∴如图（2）所示的小菱形的面积为：×4×5=10（cm2）．故选：A．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及剪纸问题，得出菱形对角线的长是解题关键．翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．12．（2018•威海）矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF 的中点H，连接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝（）A．1 B．C．D．【考点】KQ：勾股定理；LB：矩形的性质．【分析】延长GH交AD于点P，先证△APH≌△FGH得AP＝GF＝1，GH＝PH＝PG，再利用勾股定理求得PG＝，从而得出答案．【解答】解：如图，延长GH交AD于点P∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形∴∠ADC＝∠ADG＝∠CGF＝90°，AD＝BC＝2、GF＝CE＝1∴AD∥GF∴∠GFH＝∠P AH又∵H是AF的中点∴AH＝FH在△APH和△FGH中∵∴△APH≌△FGH（ASA）∴AP＝GF＝1，GH＝PH＝PG∴PD＝AD﹣AP＝1∵CG＝2、CD＝1∴DG＝1则GH＝PG＝×＝故选：C．【点评】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点．二、填空题（每小题3分，共12分）13．（2018•锦州）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为3．【考点】L8：菱形的性质．【分析】根据菱形面积＝对角线积的一半可求AC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．【解答】解：∵ABCD是菱形∴BO＝DO＝4，AO＝CO，S菱形ABCD＝＝24∴AC＝6∵AH⊥BC，AO＝CO＝3∴OH＝AC＝3．【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是灵活运用这些性质解决问题．14．（2018•本溪）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P是边AB 或边BC上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点P的坐标为（8，4）或（，7）．【分析】分两种情形分别讨论即可解决问题；【解答】解：∵四边形OABC是矩形，B（8，7）∴OA＝BC＝8，OC＝AB＝7∵D（5，0）∴OD＝5∵点P是边AB或边BC上的一点∴当点P在AB边时，OD＝DP＝5∵AD＝3∴P A＝＝4∴P（8，4）．当点P在边BC上时，只有PO＝PD，此时P（，7）．综上所述，满足条件的点P坐标为（8，4）或（，7）．故答案为（8，4）或（，7）．【点评】本题考查矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．15．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为（）n﹣1．【分析】首先求出AC、AE、HE的长度，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形∴AB=BC=1，∠B=90°∴AC2=12+12，AC=；同理可求：AE=（）2，HE=（）3…∴第n个正方形的边长a n=（）n﹣1．故答案为（）n﹣1．【点评】该题主要考查了正方形的性质、勾股定理及其应用问题；应牢固掌握正方形有关定理并能灵活运用．16．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F为AB上的一点，AF=2，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为．【考点】正方形的性质．【分析】作E关于直线AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为所求，过F作FG⊥CD于G，在Rt△E′FG 中，利用勾股定理即可求出E′F的长．【解答】解：作E关于直线AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为所求过F作FG⊥CD于G在Rt△E′FG中GE′=CD﹣BE﹣BF=4﹣1﹣2=1，GF=4所以E′F==．故答案为：．【点评】本题考查的是最短线路问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．三、解答题（共52分）17．（6分）已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．【考点】菱形的性质．【专题】证明题．【分析】在菱形中，由SAS求得△ABE≌△ADF，再由等边对等角得到∠AEF=∠AFE．【解答】证明：∵ABCD是菱形∴AB=AD，∠B=∠D．又∵EB=DF∴△ABE≌△ADF∴AE=AF∴∠AEF=∠AFE．【点评】本题利用了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，等边对等角求解．18．（7分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD=60°，AB=，AE⊥BD于点E，求OE的长．【考点】矩形的性质．【专题】计算题．【分析】矩形对角线相等且互相平分，即OA=OD，根据∠AOD=60°可得△AOD为等边三角形，即OA=AD，∵AE⊥BD，∴E为OD的中点，即可求OE的值．【解答】解：∵对角线相等且互相平分∴OA=OD∵∠AOD=60°∴△AOD为等边三角形，则OA=ADBD=2DO，AB=AD∴AD=2∵AE⊥BD，∴E为OD的中点∴OE=OD=AD=1答：OE的长度为1．【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了等边三角形的判定和等腰三角形三线合一的性质，本题中求得E为OD的中点是解题的关键．19．（7分）如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．【考点】矩形的判定．【专题】证明题．【分析】根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边形．结合等腰△ABC“三线合一”的性质证得BD⊥AC，即∠BDC=90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到▱BECD是矩形．【解答】证明：∵AB=BC，BD平分∠ABC∴BD⊥AC，AD=CD．∵四边形ABED是平行四边形∴BE∥AD，BE=AD∴BE=CD∴四边形BECD是平行四边形．∵BD⊥AC∴∠BDC=90°∴▱BECD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．20．（8分）如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．（1）求证：AE=DF；（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．【考点】菱形的判定．【专题】证明题．【分析】（1）利用AAS推出△ADE≌△DAF，再根据全等三角形的对应边相等得出AE=DF；（2）先根据已知中的两组平行线，可证四边形DEFA是▱，再利用AD是角平分线，结合AE∥DF，易证∠DAF=∠FDA，利用等角对等边，可得AE=DF，从而可证▱AEDF实菱形．【解答】证明：（1）∵DE∥AC，∠ADE=∠DAF同理∠DAE=∠FDA∵AD=DA∴△ADE≌△DAF∴AE=DF；（2）若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形∵DE∥AC，DF∥AB∴四边形AEDF是平行四边形∴∠DAF=∠FDA．∴AF=DF．∴平行四边形AEDF为菱形．【点评】考查了全等三角形的判定方法及菱形的判定的掌握情况．21．（8分）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．（1）求证：OE=OF；（2）若BC=2，求AB的长．【考点】矩形的性质．【分析】（1）根据矩形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等求出∠BAC=∠FCO，然后利用“角角边”证明△AOE和△COF全等，再根据全等三角形的即可得证；（2）连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF，再根据矩形的性质可得OA=OB，根据等边对等角的性质可得∠BAC=∠ABO，再根据三角形的内角和定理列式求出∠ABO=30°，即∠BAC=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理列式计算即可求出AB．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AB∥CD∴∠BAC=∠FCO在△AOE和△COF中∴△AOE≌△COF（AAS）∴OE=OF；（2）解：如图，连接OB∵BE=BF，OE=OF∴BO⊥EF∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC∴∠BAC=∠ABO又∵∠BEF=2∠BAC即2∠BAC+∠BAC=90°解得∠BAC=30°∵BC=2∴AC=2BC=4∴AB===6．【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，综合题，但难度不大，（2）作辅助线并求出∠BAC=30°是解题的关键．22．（8分）正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°．将△DAE绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF=FM；（2）当AE=1时，求EF的长．【考点】正方形的性质．【专题】计算题．【分析】（1）由旋转可得DE=DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；（2）由第一问的全等得到AE=CM=1，正方形的边长为3，用AB﹣AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=MF=x，可得出BF=BM﹣FM=BM﹣EF=4﹣x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为EF的长．【解答】解：（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°∴F、C、M三点共线∴DE=DM，∠EDM=90°∴∠EDF+∠FDM=90°∵∠EDF=45°∴∠FDM=∠EDF=45°在△DEF和△DMF中∴△DEF≌△DMF（SAS）∴EF=MF；（2）设EF=MF=x∵AE=CM=1，且BC=3∴BM=BC+CM=3+1=4∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=4﹣x∵EB=AB﹣AE=3﹣1=2在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2即22+（4﹣x）2=x2解得：x=则EF=．【点评】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．23．（8分）已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）求CF的长；（3）如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD 上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．【考点】正方形的性质．【分析】（1）利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理SAS即可证得△BCE≌△DCF；（2）通过△DBG≌△FBG的对应边相等知BD=BF=；然后由CF=BF﹣BC=即可求得；（3）分三种情况分别讨论即可求得．【解答】（1）证明：如图1在△BCE和△DCF中∴△BCE≌△DCF（SAS）；（2）证明：如图1∵BE平分∠DBC，OD是正方形ABCD的对角线∴∠EBC=∠DBC=22.5°由（1）知△BCE≌△DCF∴∠EBC=∠FDC=22.5°（全等三角形的对应角相等）；∴∠BGD=90°（三角形内角和定理）∴∠BGF=90°；在△DBG和△FBG中∴△DBG≌△FBG（ASA）∴BD=BF，DG=FG（全等三角形的对应边相等）∵BD==∴BF=∴CF=BF﹣BC=﹣1；（3）解：如图2，∵CF=﹣1，BH=CF∴BH=﹣1①当BH=BP时，则BP=﹣1∵∠PBC=45°设P（x，x）∴2x2=（﹣1）2解得x=1﹣或﹣1+∴P（1﹣，1﹣）或（﹣1+，﹣1+）；②当BH=HP时，则HP=PB=﹣1∵∠ABD=45°∴△PBH是等腰直角三角形∴P（﹣1，﹣1）；③当PH=PB时，∵∠ABD=45°∴△PBH是等腰直角三角形∴P（，）综上，在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形，所有符合条件的P点坐标为（1﹣，1﹣）、（﹣1+，﹣1+）、（﹣1，﹣1）、（，）．【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．。

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第1章特殊的平行四边形》单元综合达标测试题(附答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第1章特殊的平行四边形》单元综合达标测试题（附答案）一．选择题（共9小题，满分36分）1．下列说法中，不正确的是（）A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．一组对边平行另外一组对边相等的四边形是平行四边形C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形D．有一组邻边相等的矩形是正方形2．已知四边形ABCD中，AC⊥BD，再补充一个条件使得四边形ABCD为菱形，这个条件可以是（）A．AC＝BD B．AB＝BCC．AC与BD互相平分D．∠ABC＝90°3．如图，平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A（3，0），B（﹣2，0），顶点D在y轴正半轴上，则点C的坐标为（）A．（﹣3，4）B．（﹣4，5）C．（﹣5，5）D．（﹣5，4）4．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为（）A．24B．3.6C．4.8D．56．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE⊥BD，垂足为E．已知∠BCE＝4∠DCE，则∠COE的度数为（）A．36°B．45°C．60°D．67.5°7．在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠CBE的度数为（）A．80°B．75°C．70°D．65°8．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是（）A．30B．34C．36D．409．如图，矩形ABCD和矩形BDEF，点A在EF边上，设矩形ABCD和矩形BDEF的面积分别为S1、S2，则S1与S2的大小关系为（）A．S1＝S2B．S1＞S2 C．S1＜S2D．3S1＝2S2二．填空题（共8小题，满分32分）10．如图，菱形ABCD中，若BD＝24，AC＝10，则AB的长等于．菱形ABCD的面积等于．11．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝30°，则∠E＝度．12．如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是．13．如图所示，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC，且∠EDO等于15°，∠DOE＝°．14．菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB＝60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．15．将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1、A2…A n分别是各正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积的和为cm2．16．如图是阳光广告公司为某种商品设计的商标图案，图中阴影部分为红色．若每个小长方形的面积都是1，则红色的面积是．17．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是．三．解答题（共7小题，满分52分）18．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．（1）求证：BD＝DF；（2）求证：四边形BDFG为菱形；（3）若AG＝13，CF＝6，求四边形BDFG的周长．19．如图，点P是菱形ABCD中对角线AC上的一点，且PE＝PB．（1）求证：PE＝PD；（2）求证：∠PDC＝∠PEB；（3）若∠BAD＝80°，连接DE，试求∠PDE的度数，并说明理由．20．如图，过△ABC的顶点A分别作∠ACB及其外角的平分线的垂线，垂直分布为E、F，连接EF交AB于点M，交AC于点N，求证：（1）四边形AECF是矩形；（2）MN＝BC．21．某校数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图①，正方形ABCD中，AB＝4，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB 于点P，另一边交BC的延长线于点Q．（1）求证：AP＝CQ；（2）如图②，小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；（3）在（2）的条件下，若AP＝1，求PE的长．22．如图，平行四边形ABCD中，AD＝9cm，CD＝3cm，∠B＝45°，点M、N分别以A、C为起点，1cm/秒的速度沿AD、CB边运动，设点M、N运动的时间为t秒（0≤t≤6）（1）求BC边上高AE的长度；（2）连接AN、CM，当t为何值时，四边形AMCN为菱形；（3）作MP⊥BC于P，NQ⊥AD于Q，当t为何值时，四边形MPNQ为正方形．23．如图①，在正方形ABCD中，E为CD上一动点，连接AE交对角线BD于点F，过点F 作FG⊥AE交BC于点G．（1）求证：AF＝FG；（2）如图②，连接EG，当BG＝3，DE＝2时，求EG的长．24．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且P A ＝PE，PE交CD于F．（1）证明：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．参考答案一．选择题（共9小题，满分36分）1．解：A、正确．两组对边分别平行的四边形是平行四边形；B、错误．比如等腰梯形，满足条件，不是平行四边形；C、正确．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形；D、正确．有一组邻边相等的矩形是正方形；故选：B．2．解：∵在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．故选：C．3．解：∵菱形ABCD的顶点A（3，0），B（﹣2，0），∴CD＝AD＝AB＝5，OA＝3，∴OD＝＝＝4∵AB∥CD，∴点C的坐标为（﹣5，4）故选：D．4．解：∵在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，∴EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，同理：HE∥GF，∴四边形EFGH是平行四边形，∵E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，∴GH＝AD，GF＝BC，∵AD＝BC，∴GH＝GF，∴平行四边形EFGH是菱形；故选：B．5．解：连接PC，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∴PC的最小值为：＝4.8．∴线段EF长的最小值为4.8．故选：C．6．解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCD＝90°，OC＝OB，∵∠BCE＝4∠DCE，∴5∠DCE＝90°，∴∠DCE＝18°，∴∠BCE＝72°，∵CE⊥BD，∴∠EBC＝90°﹣∠BCE＝18°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝18°，∴∠COE＝36°，故选：A．7．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AB＝AD，∵△ADE是等边三角形，∴∠EAD＝60°，AE＝AD，∴∠BAE＝150°，AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝15°，∴∠CBE＝90°﹣15°＝75°，故选：B．8．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AH＝BE＝CF＝DG．在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），∴EH＝FE＝GF＝GH，∠AEH＝∠BFE，∴四边形EFGH是菱形，∵∠BEF+∠BFE＝90°，∴∠BEF+∠AEH＝90°，∴∠HEF＝90°，∴四边形EFGH是正方形，∵AB＝BC＝CD＝DA＝8，AE＝BF＝CG＝DH＝5，∴EH＝FE＝GF＝GH＝＝，∴四边形EFGH的面积是：×＝34，故选：B．9．解：∵矩形ABCD的面积S1＝2S△ABD，S△ABD＝S矩形BDEF，∴S1＝S2．故选：A．二．填空题（共8小题，满分32分）10．解：∵菱形ABCD中，BD＝24，AC＝10，∴BO＝12，AO＝5，AC⊥BD，∴AB＝＝13，∴菱形ABCD的面积＝＝120故答案为：13，12011．解：连接AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BE，AC＝BD，且∠ADB＝∠CAD＝30°，∴∠E＝∠DAE，又∵BD＝CE，∴CE＝CA，∴∠E＝∠CAE，∵∠CAD＝∠CAE+∠DAE，∴∠E+∠E＝30°，即∠E＝15°，故答案为：15．12．解：连接OP，∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，∴S矩形ABCD＝AB•BC＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝＝10，∴OA＝OD＝5，∴S△ACD＝S矩形ABCD＝24，∴S△AOD＝S△ACD＝12，∵S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝×5×PE+×5×PF＝（PE+PF）＝12，解得：PE+PF＝4.8．故答案为：4.8．13．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠BAD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，∴OA＝OD，∵DE平分∠ADC∴∠CDE＝∠ADE＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AD＝AE，又∵∠EDO＝15°，∴∠ADO＝60°；∴△OAD是等边三角形，∴∠AOD＝∠OAD＝60°，∴AD＝AO＝DO，∴AO＝AE，∴∠AOE＝∠AEO，∵∠OAE＝90°﹣∠OAD＝30°，∴∠AOE＝∠AEO＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠DOE＝60°+75°＝135°，故答案为：135．14．解：连接ED，如图，∵点B关于OC的对称点是点D，∴DP＝BP，∴ED即为EP+BP最短，∵四边形OBCD是菱形，顶点B（2，0），∠DOB＝60°，∴点D的坐标为（1，），∴点C的坐标为（3，），∴可得直线OC的解析式为：y＝x，∵点E的坐标为（0，﹣1），∴可得直线ED的解析式为：y＝（1+）x﹣1，∵点P是直线OC和直线ED的交点，∴点P的坐标为方程组的解，解方程组得：，所以点P的坐标为（），故答案为：（）．15．解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n﹣1）＝cm2．故答案为：．16．解：设每个小长方形长为a，宽为b，则ab＝1．用大长方形的面积减去三个空白部分的三角形面积，就等于阴影部分的面积．4a×4b﹣a×4b﹣3a×3b﹣×3a×3b＝5ab＝5．故填5．17．解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，则AM＝BC+CE＝1+3＝4，FM＝EF﹣AB＝3﹣1＝2，∠AMF＝90°，∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，∴∠ACD＝∠GCF＝45°，∴∠ACF＝90°，∵H为AF的中点，∴CH＝AF，在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF＝＝＝2，∴CH＝，故答案为：．三．解答题（共7小题，满分52分）18．（1）证明：∵∠ABC＝90°，BD为AC的中线，∴BD＝AC，∵AG∥BD，BD＝FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵点D是AC中点，∴DF＝AC，∴BD＝DF；（2）证明：∵BD＝DF，∴四边形BGFD是菱形，（3）解：设GF＝x，则AF＝13﹣x，AC＝2x，∵在Rt△ACF中，∠CF A＝90°，∴AF2+CF2＝AC2，即（13﹣x）2+62＝（2x）2，解得：x＝5，∴四边形BDFG的周长＝4GF＝20．19．（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，∠DCP＝∠BCP，在△DCP和△BCP中，，∴△CDP≌△CBP（SAS），∴PB＝PD，∵PE＝PB，∴PE＝PD；（2）证明：∵PE＝PB，∴∠PBC＝∠PEB，∵△CDP≌△CBP，∴∠PDC＝∠PBC，∴∠PDC＝∠PEB；（3）解：如图所示：∠PDE＝40°；理由如下：在四边形DPEC中，∵∠DPE＝360°﹣（∠PDC+∠PEC+∠DCB）＝360°﹣（∠PEB+∠PEC+∠DCB）＝360°﹣（180°+80°）＝100°，∴∠PDE＝∠PED＝40°．20．证明：（1）∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE＝∠BCE＝∠ACB，∠ACF＝∠ACD，∵∠ACB+∠ACD＝180°，∴∠ACE+∠ACF＝90°，即∠ECF＝90°，又∵AE⊥CE，AF⊥CF，∴∠AEC＝∠AFC＝90°，∴四边形AECF是矩形；（2）∵四边形AECF是矩形，∴EN＝FN，AN＝CN＝AC，∴CN＝EF＝EN，∴∠NEC＝∠ACE＝∠BCE，∴EN∥BC，∴＝＝，∴MN＝BC．21．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝∠A＝∠B＝∠BCD＝∠DCQ＝90°，AD＝BC＝CD＝AB＝4，∵∠PDQ＝90°，∴∠ADP＝∠CDQ，在△APD和△CQD中，，∴△APD≌△CQD（ASA），（2）解；PE＝QE，理由如下：由（1）得：△APD≌△CQD，∴PD＝QD，∵DE平分∠PDQ，∴∠PDE＝∠QDE，在△PDE和△QDE中，，∴△PDE≌△QDE（SAS），∴PE＝QE；（3）解：由（2）得：PE＝QE，由（1）得：CQ＝AP＝1，∴BQ＝BC+CQ＝5，BP＝AB﹣AP＝3，设PE＝QE＝x，则BE＝5﹣x，在Rt△BPE中，由勾股定理得：32+（5﹣x）2＝x2，解得：x＝3.4，即PE的长为3.4．22．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝3cm．在直角△ABE中，∵∠AEB＝90°，∠B＝45°，∴AE＝AB•sin∠B＝3×＝3（cm）；（2）∵点M、N分别以A、C为起点，1cm/秒的速度沿AD、CB边运动，设点M、N运动的时间为t秒（0≤t≤6），∴AM＝CN＝t，∵AM∥CN，∴四边形AMCN为平行四边形，∴当AN＝AM时，四边形AMCN为菱形．∵BE＝AE＝3，EN＝6﹣t，∴AN2＝32+（6﹣t）2，∴32+（6﹣t）2＝t2，解得t＝．故当t为时，四边形AMCN为菱形；（3）∵MP⊥BC于P，NQ⊥AD于Q，QM∥NP，∴四边形MPNQ为矩形，∴当QM＝QN时，四边形MPNQ为正方形．∵AM＝CN＝t，BE＝3，∴AQ＝EN＝BC﹣BE﹣CN＝9﹣3﹣t＝6﹣t，∴QM＝AM﹣AQ＝|t﹣（6﹣t）|＝|2t﹣6|（注：分点Q在点M的左右两种情况），∵QN＝AE＝3，∴|2t﹣6|＝3，解得t＝4.5或t＝1.5．故当t为4.5或1.5秒时，四边形MPNQ为正方形．23．（1）证明：如图①，连接CF，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABF＝∠CBF＝45°，在△ABF和△CBF中，，∴△ABF≌△CBF（SAS），∴AF＝CF，∠BAF＝∠BCF，∵FG⊥AE，∴在四边形ABGF中，∠BAF+∠BGF＝360°﹣90°﹣90°＝180°，又∵∠BGF+∠CGF＝180°，∴∠BAF＝∠CGF，∴∠CGF＝∠BCF，∴AF＝FG；（2）如图②，把△ADE顺时针旋转90°得到△ABH，则AH＝AE，BH＝DE，∠BAH＝∠DAE，∵AF＝FG，FG⊥AE，∴△AFG是等腰直角三角形，∴∠EAG＝45°，∴∠HAG＝∠BAG+∠DAE＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAG＝∠HAG，在△AHG和△AEG中，，∴△AHG≌△AEG（SAS），∴HG＝EG，∵HG＝BH+BG＝DE+BG＝2+3＝5，∴EG＝5．24．（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴P A＝PC，∴PC＝PE；（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP，∵P A＝PE，∴∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E，∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF＝∠EDF＝90°；（3）在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝60°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴P A＝PC，∠BAP＝∠BCP，∵P A＝PE，∴PC＝PE，∴∠DAP＝∠DCP，∵P A＝PC，∴∠DAP＝∠AEP，∴∠DCP＝∠AEP∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠AEP，即∠CPF＝∠EDF＝180°﹣∠ADC＝180°﹣120°＝60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC＝CE，。

北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元测试题

北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元测试题第一章特殊平行四边形第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(每小题3分,共30分)1.如图菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别为6和8,则这个菱形的周长是()A.20B.24C.40D.482.如图2,菱形ABCD的周长为20,对角线AC,BD相交于点O,E是CD的中点,则OE的长是()A.2.5B.3C.4D.5图23如图3,在平行四边形ABCD中,M,N是BD上两点,BM=DN,连接AM,MC,CN,NA,添加一个条件,使四边形AMCN是矩形,这个条件可以是()A.OM=ACB.MB=MOC.BD⊥ACD.∠AMB=∠CND4.如图在菱形ABCD中,E,F分别是AC,AB的中点,如果EF=3,那么菱形ABCD的周长为()B.18C.12D.95.如图4,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是CD边的中点.若OB=5,OM=3,则矩形ABCD的面积为()A.48B.50C.60D.80图46.如图5,在△ABC中,D是BC上一点,AB=AD,E,F分别是AC,BD的中点,EF=2,则AC的长是()A.3B.4C.5D.6图57.直角三角形斜边上的高与中线的长分别为5cm和6cm,则它的面积为()A.30cm2B.60cm2C.45cm2D.15cm28.如图6是由8个全等的小矩形组成的大正方形,线段AB的两个端点都在小矩形的顶点上,如果点P是某个小矩形的顶点,连接P A,PB,那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是()A.2C.4D.5图6 图79.如图,在△OAB中,顶点O(0,0),A(-3,4),B(3,4).将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转,每次旋转90°,则第70次旋转结束时,点D的坐标为()A.(10,3)B.(-3,10)C.(10,-3)D.(3,-10)10.如图,在正方形ABCD中,AB=6,G是BC的中点.将△ABG沿AG 翻折得到△AFG,延长GF交DC于点E,则DE的长是()A.1B.1.5C.2D.2.5第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(每小题3分,共18分)11.如图9,四边形ABCD是正方形,延长AB到点E,使AE=AC,则∠BCE的度数是.图9 图1012.如图10,在矩形ABCD中,AD=3,将矩形ABCD绕点A逆时针旋转,得到矩形AEFG,点B 的对应点E落在CD上,且DE=EF,则AB的长为.13.如图11,在菱形ABCD中,AB=4,线段AD的垂直平分线交AC 于点N,△CND的周长是10,则AC的长为.图11 图1214.如图12,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点A作AH⊥BC于点H,连接OH,若OB=4,S菱形ABCD=24,则OH的长为.15.如图13,四边形OABC是矩形,点A的坐标为(8,0),点C的坐标为(0,4),把矩形OABC沿OB折叠,点C落在点D处,则点D的坐标为.图13 图1416.如图14是各大小型号的纸张长宽关系裁剪对比图,可以看出纸张大小的变化规律:把A0纸对折后变为A1纸;把A1纸对折后变为A2纸;把A2纸对折后变为A3纸;把A3纸对折后变为A4纸……A4规格的纸是我们日常生活中最常见的,那么一张A4纸可以裁张A8纸.三、解答题(共72分)17.(6分)如图15,在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E,F,且满足BE=DF,连接AE,AF,CE,CF.(1)求证:△ABE≌△ADF;(2)试判断四边形AECF的形状,并说明理由.图1518.(6分)如图16,E是正方形ABCD外一点,F是线段AE上一点,△EBF是等腰直角三角形,其中∠EBF=90°,连接CE,CF.(1)求证:△ABF≌△CBE;(2)判断△CEF的形状,并说明理由.图1619.(8分)如图17,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边上的中线,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F,连接CF.(1)求证:BD=AF;(2)判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.图1720.(8分)如图18,将矩形ABCD沿对角线AC翻折,点B落在点F 处,FC交AD于点E.(1)求证:△AFE≌△CDE;(2)若AB=4,BC=8,求图中阴影部分的面积.图1821.(10分)已知:如图9,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,G为AD的中点,连接CG,CG的延长线交BA的延长线于点F,连接FD.(1)求证:AB=AF;(2)若AG=AB,∠BCD=120°,判断四边形ACDF的形状,并证明你的结论.22.(10分)如图20,在△ABC和△BCD 中,∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,BC=CD,延长CA至点E,使AE=AC,延长CB至点F,使BF=BC,连接AD,AF,DF,EF,延长DB交EF于点N.(1)求证:AD=AF;(2)试判断四边形ABNE的形状,并说明理由.图2023.(12分)如图21,在正方形ABCD中,E是边CD上一点(点E不与点C,D重合),连接BE.【感知】如图①,过点A作AF⊥BE交BC于点F,易证△ABF≌△BCE.(不需要证明) 【探究】如图②,取BE的中点M,过点M作FG⊥BE交BC于点F,交AD于点G.(1)求证:BE=GF;(2)连接CM.若CM=1,则GF的长为.【应用】如图③,取BE的中点M,连接CM.过点C作CG⊥BE交AD于点G,连接EG,MG.若CM=3,则四边形GMCE的面积为.图2124.(12分)背景阅读早在三千多年前,我国周朝数学家商高就提出:将一根直尺折成一个直角,如果勾等于三,股等于四,那么弦就等于五.它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中.在本题中,我们把三边的比为3∶4∶5的三角形称为(3,4,5)型三角形.例如:三边长分别为9,12,15的三角形就是(3,4,5)型三角形.用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形.实践操作如图22①,在矩形纸片ABCD中,AD=8cm,AB=12cm.第一步:如图②,将图①中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠,使点D落在AB上的点E处,折痕为AF,再沿EF折叠,然后把纸片展平.第二步:如图③,将图②中的矩形纸片再次折叠,使点D与点F重合,折痕为GH,然后展平,隐去AF.第三步:如图④,将图③中的矩形纸片沿AH折叠,得到△AD'H,再沿AD'折叠,折痕为AM,AM与折痕EF交于点N,然后展平.问题解决(1)请在图②中证明四边形AEFD是正方形;(2)请在图④中判断NF与ND'的数量关系,并加以证明;(3)请在图④中证明△AEN是(3,4,5)型三角形.图22。

2022-2023学年北师大版九年级数学《第1章特殊的平行四边形》单元综合测试题(附答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学《第1章特殊的平行四边形》单元综合测试题（附答案）一、选择题（本题共计10小题，共计40分，）1．在菱形ABCD中，AC、BD为对角线，若AC＝4，BD＝8，则菱形ABCD的面积是（）A．12B．16C．24D．322．能判定一个四边形是菱形的是（）A．有一组邻边相等B．对角线互相垂直C．对角线相等D．四条边都相等3．下面真命题的是（）A．矩形的对角线互相垂直B．菱形是中心对称图形，不是轴对称图形C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D．依次连接等腰梯形各边的中点，所得四边形是菱形4．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（）A．75°B．60°C．54°D．67.5°5．如图，四边形ABCD是边长为5cm的菱形，其中对角线BD与AC交于点O，BD＝6cm，则对角线AC的长度是（）A．8cm B．4cm C．3cm D．6cm6．如图，矩形ABCD中，BE、CF分别平分∠ABC和∠DCB，点E、F都在AD上，下列结论不正确的是（A．△ABE≌△DCF B．△ABE和△DCF都是等腰直角三角形C．四边形BCFE是等腰梯形D．E、F是AD的三等分点7．如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD⊥CE于点O，点M，N 分别OB，OC的中点，若OB＝8，OC＝6，则四边形DEMN的周长是（）A．14B．20C．22D．288．如图，小华剪了两条宽为1的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为60°，则它们重叠部分的面积为（）A．1B．2C．D．9．如图，在平面直角坐标系xOy，四边形OABC为正方形，若点A（3，1），则点C的坐标为（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，3）C．（﹣2，3）D．（1，﹣3）10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝EC；②四边形PECF的周长为8；③AP＝EF；④EF的最小值为2．其中正确结论有几个（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（本题共计8小题，共计32分，）11．在平行四边形ABCD中，请你添加一个条件，使它成为矩形，则你添加的条件是．12．矩形的一个内角平分线把矩形的一条边分成长为3和5两部分，则该矩形的面积是．13．如图，线段AB⊥BC，以C为圆心，BA为半径画弧，然后再以A为圆心，BC为半径画弧，两弧交于点D，则四边形ABCD是矩形，其依据是．14．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC 于E、F，则阴影部分的面积是．15．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：，使得该菱形为正方形．16．如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，AC＝6，BD＝8，若DE∥AC，CE∥BD，则OE的长为．17．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC＝6，BD＝4，则菱形ABCD的周长是．18．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC、BD，若S四边＝18，则BD的最小值为．形ABCD三、解答题（本题共计6小题，共计48分，）19．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AB，CD上，且AE＝CF，DF＝BF，求证：四边形DEBF为菱形．20．如图，O为△ABC边AC的中点，AD∥BC交BO的延长线于点D，连接DC，DB平分∠ADC，作DE⊥BC，垂足为E．（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）若BD＝8，AC＝6，求DE的长．21．如图，菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE＝AF，连接EF并延长，交CB的延长线于点G，连接BD．（1）求证：四边形EGBD是平行四边形；（2）连接AG，若∠FGB＝30°，GB＝AE＝1，求AG的长．22．如图所示，矩形ABCD中，AB＝30，AD＝40，P为BC上的一动点，过点P作PM⊥AC于点M，PN⊥BD于点N，试问当P点在BC上运动时，PM+PN的值是否发生变化？若不变，请求出定值．23．如图，正方形ABCD，点E、F分别为BC、CD边上的点，连接EF，点M为EF上一点，且使AE平分∠BAM，AF平分∠DAM，证明：∠EAF＝45°．24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若BF＝8，DF＝4，求CD的长．参考答案一、选择题（本题共计10小题，共计40分，）1．解：∵菱形ABCD的面积＝AC×BD∴菱形ABCD的面积＝×4×8＝16故选：B．2．解：四条边都相等四边形是菱形，对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故选：D．3．解：A、矩形的对角线相等但不垂直，故本选项错误；B、菱形是中心对称也是轴对称图形，故本选项错误；C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项错误；D、因为等腰梯形的对角线相等，所以依次连接等腰梯形各边的中点，所得四边形是菱形，故本选项正确．故选：D．4．解：如图，连接BD，∵∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝90°+60°＝150°，BC＝EC，∴∠EBC＝∠BEC＝（180°﹣∠BCE）＝15°∵∠BCM＝∠BCD＝45°，∴∠BMC＝180°﹣（∠BCM+∠EBC）＝120°，∴∠AMB＝180°﹣∠BMC＝60°∵AC是线段BD的垂直平分线，M在AC上，∴∠AMD＝∠AMB＝60°故选：B．5．解：∵四边形ABCD是菱形，∴BO＝DO，AC⊥DB，AO＝CO，∵BD＝6cm，∴BO＝3cm，∵AB＝5cm，∴AO＝＝4（cm），∴AC＝8cm．故选：A．6．解：如图，∵四边形ABCD是矩形ABCD，∴∠A＝∠D＝∠DCB＝∠ABC＝90°．又BE、CF分别平分∠ABC和∠DCB，∴∠ABE＝∠DCF＝45°，∴∠AEB＝∠ABE＝45°，∠DFC＝∠DCF＝45°，∴AB＝AE，DF＝DC，∴△ABE和△DCF都是等腰直角三角形．故B正确；在△ABE与△DCF中，．则△ABE≌△DCF（AAS），故A正确；∵△ABE≌△DCF，∴BE＝CF．又BE与FC不平行，且EF∥BC，EF≠BC，∴四边形BCFE是等腰梯形．故C正确；∵△ABE≌△DCF，∴AE＝DF．但是不能确定AE＝EF＝FD成立．即点E、F不一定是AD的三等分点．故D错误．故选：D．7．解：∵BD和CE分别是△ABC的中线，∴DE＝BC，DE∥BC，∵M和N分别是OB和OC的中点，OB＝8，OC＝6，∴MN＝BC，MN∥BC，OM＝OB＝4，ON＝OC＝3，∴四边形MNDE为平行四边形，∵BD⊥CE，∴平行四边形MNDE为菱形，∴BC＝＝10，∴DE＝MN＝EM＝DN＝5，∴四边形MNDE的周长为20，故选：B．8．解：过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，根据题意得：AD∥BC，AB∥CD，BE＝BF＝1cm，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠BAD＝∠BCD＝60°，∴∠ABE＝∠CBF＝30°，∴AB＝2AE，BC＝2CF，∵AB2＝AE2+BE2，∴AB＝，同理：BC＝，∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，∴AD＝，∴S菱形ABCD＝AD•BE＝．故选：D．9．解：过C作CD⊥x轴于D，过A作AE⊥x轴于E，如图：∵四边形OABC是正方形，∴∠AOC＝90°，OA＝OC，∴∠AOE＝90°﹣∠COD＝∠DCO，又∠CDO＝90°＝∠AEO，∴△COD≌△OAE（AAS），∴CD＝OE，OD＝AE，∵A（3，1），∴CD＝3，OD＝1，∴C（﹣1，3），故选：B．10．解：如图，连接PC，①∵正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，∴∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∠PDC＝∠DBC＝45°，AB＝BC＝CD＝AD＝4，又∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴∠PEC＝∠PEB＝∠PFC＝∠PFD＝90°＝∠BCD，∴∠DPF＝∠PDF＝∠BPE＝∠DBC＝45°，∴PF＝DF，PE＝BE，即△PDF和△BPE均为等腰直角三角形，∴PD＝PF，∵∠PEC＝∠PFC＝∠BCD＝90°，∴四边形PECF是矩形，∴CE＝PF＝DF，PE＝FC，∴PD＝CE，故①正确；②由①知：PE＝BE，且四边形PECF为矩形，∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2（CE+BE）＝2BC＝2×4＝8，故②正确；③∵四边形PECF为矩形，∴PC＝EF，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，在△ADP和△CDP中，，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴AP＝PC，∴AP＝EF，故③正确；④由③得：EF＝PC＝AP，∴当AP最小时，EF最小，∴当AP⊥BD时，垂线段最短，即AP＝BD＝2时，EF的最小值等于2；故④错误；综上，①②③正确．故选：C．二、填空题（本题共计8小题，共计32分，）11．解：答案不唯一，∵四边形ABCD是平行四边形，∴可添加：∠A＝90°、AC＝BD等．故答案为：∠A＝90°．12．解：∵矩形的一个内角平分线把矩形的一条边分成长为3和5两部分，∴矩形的长为8，宽为5或3．∴面积为40或24．故答案为：40或24．13．解：∵AB＝CD，CB＝AD，∴四边形ABCD为平行四边形（两组对边相等的四边形是平行四边形），又∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），故答案为：有一个角是直角的平行四边形是矩形．14．解：由题意可知△DEO≌△BFO，∴S△DEO＝S△BFO，阴影面积＝三角形BOC面积＝×2×1＝1．故答案为：1．15．解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC＝BD；根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB⊥BC；故添加的条件为：AC＝BD或AB⊥BC．16．证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA＝AC＝3，OD＝BD＝4，∴∠AOD＝90°，∴AD＝＝5＝CD∵DE∥AC，CE∥BD∴四边形OCED为平行四边形，又∵AC⊥BD∴四边形OCED为矩形∴CD＝OE＝5故答案为：517．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝AC＝3，DO＝BD＝2，AC⊥BD，在Rt△AOD中，AD＝＝，∴菱形ABCD的周长为4．故答案为：4．18．解：∵AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴AB2+AD2＝BD2，BC2+CD2＝BD2，∴2AB2＝BD2，∵S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD，∴18＝+S△BCD，∴当S△BCD值最大时，BD最小，∵（CD﹣BC）2≥0∴CD2+BC2≥2BC×CD，∴BC×CD≤，∴S△BCD≤，∴当CD＝BC时，S△BCD有最大值，∴当S△BCD＝时，BD的长度最小，∴18＝∴BD＝6故答案为：6三、解答题（本题共计6小题，共计48分，）19．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB，DC∥AB，∵AE＝CF，∴AB﹣AE＝DC﹣CF，即DF＝BE，∴四边形DFBE是平行四边形，∵DF＝BF，∴四边形DEBF为菱形．20．（1）证明：∵O为△ABC边AC的中点，AD∥BC，∴OA＝OC，∠OAD＝∠OCB，∠ADB＝∠CBD，在△OAD和△OCB中，，∴△OAD≌△OCB（ASA），∴OD＝OB，∴四边形ABCD是平行四边形，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB，∴∠CBD＝∠CDB，∴BC＝DC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝BD＝4，OC＝AC＝3，AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴BC＝＝5，∵DE⊥BC，∴∠E＝90°＝∠BOC，∵∠OBC＝∠EBD，∴DE＝．21．（1）证明：连接AC，如图1：∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAB，且AC⊥BD，∵AF＝AE，∴AC⊥EF，∴EG∥BD．又∵菱形ABCD中，ED∥BG，∴四边形EGBD是平行四边形．（2）解：过点A作AH⊥BC于H．∵∠FGB＝30°，∴∠DBC＝30°，∴∠ABH＝2∠DBC＝60°，∵GB＝AE＝1，∴AB＝AD＝2，在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，∴AH＝，BH＝1．∴GH＝2，在Rt△AGH中，根据勾股定理得，AG＝．22．解：当P点在BC上运动时，PM+PN的值不发生变化，理由是：连接PO，∵在矩形ABCD中，AB＝30，BC＝AD＝40，∴AC＝BD，∠ABC＝90°，AO＝OC＝BO＝OD，由勾股定理得：AC＝50，∴AO＝OC＝OB＝OD＝25，∴S△ABC＝AB×BC＝×30×40＝600，∴S△BOC＝S△ABC＝300，∴×BO×PN+CO×PM＝300，∴PM+PN＝24，即当P点在BC上运动时，PM+PN的值不发生变化，永远是24．23．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∵AE平分∠BAM，AF平分∠DAF，∴∠EAM＝∠BAM，∠MAF＝∠DAM，∴∠EAM+∠MAF＝∠BAM+∠DAM＝（∠BAM+∠DAM）＝∠BAD＝×90°＝45°，即∠EAF＝∠EAM+∠MAF＝45°．24．（1）证明：∵在菱形ABCD中，∴AD∥BC且AD＝BC，∵BE＝CF，∴BC＝EF，∴AD＝EF，∵AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴四边形AEFD是矩形；（2）解：设BC＝CD＝x，则CF＝8﹣x在Rt△DCF中，∵x2＝（8﹣x）2+42 ，∴x＝5，∴CD＝5．。

北师大版九年级上学期第1章《特殊的平行四边形》单元测练习(含答案)

《特殊的平行四边形》单元测试卷一．选择题1．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝5，AC＝6，则BD的长是（）A．8 B．7 C．4 D．32．如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为（）A．24 B．18 C．12 D．93．菱形不具备的性质是（）A．四条边都相等B．对角线一定相等C．是轴对称图形D．是中心对称图形4．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有（）A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠1＝∠25．矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝（）A ．1B ．C ．D ．6．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（） A ．对边相等 B ．对角相等C ．对角线相等D ．对角线互相平分7．如图，矩形ABCD 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别与AB 、CD 交于点E 、F ，连结BF 交AC 于点M ，连结DE 、BO ．若∠COB ＝60°，FO ＝FC ，则下列结论：①FB 垂直平分OC ；②△EOB ≌△CMB ；③DE ＝EF ；④S △AOE ：S △BCM ＝2：3．其中正确结论的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个8．已知平行四边形ABCD ，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（） A ．∠A ＝∠BB ．∠A ＝∠CC ．AC ＝BDD ．AB ⊥BC9．在△ABC 中，点D 是边BC 上的点（与B ，C 两点不重合），过点D 作DE ∥AC ，DF ∥AB ，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，下列说法正确的是（）A ．若AD ⊥BC ，则四边形AEDF 是矩形B ．若AD 垂直平分BC ，则四边形AEDF 是矩形 C ．若BD ＝CD ，则四边形AE DF 是菱形 D ．若AD 平分∠BAC ，则四边形AEDF 是菱形10．如图，平行四边形ABCD 中，∠B ＝60°．G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连结CE ，DF ，下列说法不正确的是（）A ．四边形CEDF 是平行四边形B ．当CE ⊥AD 时，四边形CEDF 是矩形C ．当∠AEC ＝120°时，四边形CEDF 是菱形D ．当AE ＝ED 时，四边形CEDF 是菱形11．如图，正方形ABCD 的边长为1，点E ，F 分别是对角线AC 上的两点，EG ⊥AB ．EI ⊥AD ，FH ⊥AB ，FJ ⊥AD ，垂足分别为G ，I ，H ，J ．则图中阴影部分的面积等于（）A ．1B ．C ．D ．12．如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AB 上一点，过点E 作EF ∥AD ，与AC 、DC 分别交于点G ，F ，H 为CG 的中点，连接DE ，EH ，DH ，FH ．下列结论：①EG ＝DF ；②∠AEH +∠ADH ＝180°；③△EHF ≌△DHC ；④若＝，则3S △EDH ＝13S △DHC ，其中结论正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．在平面直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1D 1、D 1E 1E 2B 2、A 2B 2C 2D 2、D 2E 3E 4B 3、A 3B 3C 3D 3…按如图所示的方式放置，其中点B 1在y 轴上，点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3…在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…则正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长是（）A ．（）2014B ．（）2015C ．（）2015D ．（）201414．关于▱ABCD 的叙述，正确的是（）A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF16．如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．无法判断二．填空题17．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝16，DB＝12，DH⊥AB于H，则DH等于．18．在菱形ABCD中，∠A＝60°，其所对的对角线长为4，则菱形ABCD的面积是．19．顺次连接四边形ABCD各边中点形成一个菱形，则原四边形对角线AC、BD的关系是．20．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为cm．21．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P为AD上一动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为．22．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若BD＝5，则四边形DOCE的周长为．23．如图，矩形ABCD中， AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，则下列结论：①△ODC是等边三角形；②BC＝2AB；③∠AOE＝135°；④S△AOE ＝S△COE，其中正确的结论的序号是．24．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加条件，才能保证四边形EFGH是矩形．25．在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC 于F，连接EF，则EF的最小值为cm．26．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快s后，四边形ABPQ成为矩形．27．如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形ABCD，BEFG的边长分别为3，4，H为线段DF的中点，则BH＝．28．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去第n个正方形的边长为．29．▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：，使得▱ABCD 为正方形．30．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，∠ABE＝45°，BC＝CD，若AE＝5，CE＝2，则BC的长度为．31．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD 的面积是18，则DP的长是．三．解答题32．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE 的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形；（3）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．33．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．34．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC 的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE＝1，DE＝2，则菱形ABCD的面积是．35．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE 是矩形．36．在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE＝DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．37．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E、F．（1）若CE＝8，CF＝6，求OC的长；（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．38．如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF．（1）四边形ABEF是；（选填矩形、菱形、正方形、无法确定）（直接填写结果）（2）AE，BF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF＝10，则AE的长为，∠ABC＝°．（直接填写结果）39．如图，已知正方形ABCD中，边长为10厘米，点E在AB边上，BE＝6厘米．（1）如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD 上由C点向D点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD边上的何处相遇？40．如图，△ABC的中线AD、BE、CF相交于点G，H、I分别是BG、CG的中点．（1）求证：四边形EFHI是平行四边形；（2）①当AD与BC满足条件时，四边形EFHI是矩形；②当AG与BC满足条件时，四边形EFHI是菱形．参考答案1．解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝3，OB＝OD，AC⊥BD，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，根据勾股定理，得：OB＝＝＝4，∴BD＝2OB＝8，故选：A．2．解：∵E是AC中点，∵EF∥BC，交AB于点F，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝BC，∴BC＝6，∴菱形ABCD的周长是4×6＝24．故选：A．3．解：菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线垂直不一定相等，故选：B．4．解：A、正确．对角线垂直的平行四边形的菱形．B、正确．邻边相等的平行四边形是菱形．C、错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．D、正确．可以证明平行四边形ABCD的邻边相等，即可判定是菱形．故选：C．5．解：如图，延长GH交AD于点P，∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，∴∠ADC＝∠ADG＝∠CGF＝90°，AD＝BC＝2、GF＝CE＝1，∴AD∥GF，∴∠GFH＝∠PAH，又∵H是AF的中点，∴AH＝FH，在△APH和△FGH中，∵，∴△APH≌△FGH（ASA），∴AP＝GF＝1，GH＝PH＝PG，∴PD＝AD﹣AP＝1，∵C G＝2、CD＝1，∴DG＝1，则GH＝PG＝×＝，故选：C．6．解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．故选：C．7．解：①∵矩形ABCD中，O为AC中点，∴OB＝OC，∵∠COB＝60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝BC，∵FO＝FC，∴FB垂直平分OC，故①正确；②∵△BOC为等边三角形，FO＝FC，∴BO⊥EF，BF⊥OC，∴∠CMB＝∠EOB＝90°，∴BO≠BM，∴△EOB与△CMB不全等；故②错误；③易知△ADE≌△CBF，∠1＝∠2＝∠3＝30°，∴∠ADE＝∠CBF＝30°，∠BEO＝60°，∴∠CDE＝60°，∠DFE＝∠BEO＝60°，∴∠CDE＝∠DFE，∴DE＝EF，故③正确；④易知△AOE≌△COF，∴S△AOE ＝S△COF，∵S△COF ＝2S△CMF，∴S△AOE ：S△BCM＝2S△CMF：S△BCM＝，∵∠FCO＝30°，∴FM＝，BM＝CM，∴＝，∴S△AOE ：S△BCM＝2：3，故④正确；所以其中正确结论的个数为3个；故选：B．8．解：A、∠A＝∠B，∠A+∠B＝180°，所以∠A＝∠B＝90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；B、∠A＝∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；C、AC＝BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；D、AB⊥BC，所以∠B＝90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；故选：B．9．解：若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误；若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；选项B错误；若BD＝CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；故选：D．10．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴CF∥ED，∴∠FCG＝∠EDG，∵G是CD的中点，∴CG＝DG，在△FCG和△EDG中，，∴△FCG≌△EDG（ASA）∴FG＝EG，∵CG＝DG，∴四边形CEDF是平行四边形，正确；B、∵四边形CEDF是平行四边形，∵CE⊥AD，∴四边形CEDF是矩形，正确；C 、∵四边形CEDF 是平行四边形，∵∠AEC ＝120°，∴∠CED ＝60°，∴△CDE 是等边三角形，∴CE ＝DE ，∵四边形CEDF 是平行四边形，∴四边形CEDF 是菱形，正确；D 、当AE ＝ED 时，不能得出四边形CEDF 是菱形，错误；故选：D ．11．解：∵四边形ABCD 是正方形，∴直线AC 是正方形ABCD 的对称轴，∵EG ⊥AB ．EI ⊥AD ，FH ⊥AB ，FJ ⊥AD ，垂足分别为G ，I ，H ，J ．∴根据对称性可知：四边形EFHG 的面积与四边形EFJI 的面积相等，△AIE 的面积＝△AEG 的面积，∴S 阴＝S 正方形ABCD ＝，故选：B ．12．解：①∵四边形ABCD 为正方形，EF ∥AD ，∴EF ＝AD ＝CD ，∠ACD ＝45°，∠GFC ＝90°，∴△CFG 为等腰直角三角形，∴GF ＝FC ，∵EG ＝EF ﹣GF ，DF ＝CD ﹣FC ，∴EG ＝DF ，故①正确；②∵△CFG 为等腰直角三角形，H 为CG 的中点，∴FH ＝CH ，∠GFH ＝∠GFC ＝45°＝∠HCD ，在△EHF 和△DHC 中，，∴△EHF ≌△DHC （SAS ），∴∠HEF ＝∠HDC ， ∴∠AEH +∠ADH ＝∠AEF +∠HEF +∠ADF ﹣∠HDC ＝∠AEF +∠ADF ＝180°，故②正确；③∵△CFG 为等腰直角三角形，H 为CG 的中点，∴FH ＝CH ，∠GFH ＝∠GFC ＝45°＝∠HCD ，在△EHF 和△DHC 中，，∴△EHF ≌△DHC （SAS ），故③正确；④∵＝， ∴AE ＝2BE ，∵△CFG 为等腰直角三角形，H 为CG 的中点，∴FH ＝GH ，∠FHG ＝90°，∵∠EGH ＝∠FHG +∠HFG ＝90°+∠HFG ＝∠HFD ，在△EGH 和△DFH 中，， ∴△EGH ≌△DFH （SAS ），∴∠EHG ＝∠DHF ，EH ＝DH ，∠DHE ＝∠EHG +∠DHG ＝∠DHF +∠DHG ＝∠FHG ＝90°， ∴△EHD 为等腰直角三角形，过H 点作HM 垂直于CD 于M 点，如图所示：设HM ＝x ，则DM ＝5x ，DH ＝x ，CD ＝6x ，则S △DHC ＝×HM ×CD ＝3x 2，S △EDH ＝×DH 2＝13x 2，∴3S △EDH ＝13S △DHC ，故④正确；故选：D ．13．方法一：解：如图所示：∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3… ∴D 1E 1＝B 2E 2，D 2E 3＝B 3E 4，∠D 1C 1E 1＝∠C 2B 2E 2＝∠C 3B 3E 4＝30°，∴D 1E 1＝C 1D 1sin30°＝，则B 2C 2＝（）1，同理可得：B 3C 3＝＝（）2，故正方形A n B n ∁n D n 的边长是：（）n ﹣1．则正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长是：（）2014．故选：D ．方法二：∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，∴D 1E 1＝B 2E 2＝，∵B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…∴∠E 2B 2C 2＝60°，∴B 2C 2＝，同理：B 3C 3＝×＝…∴a 1＝1，q ＝，∴正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长＝1×． 14．解：∵▱ABCD 中，AB ⊥BC ，∴四边形ABCD 是矩形，不一定是菱形，选项A 错误；∵▱ABCD 中，AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形，不一定是正方形，选项B 错误；∵▱ABCD 中，AC ＝BD ，∴四边形ABCD 是矩形，选项C 正确；∵▱ABCD 中，AB ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形，不一定是正方形，选项D 错误．故选：C ．15．解：∵EF 垂直平分BC ，∴BE＝EC，BF＝CF，∵BF＝BE，∴BE＝EC＝CF＝BF，∴四边形BECF是菱形；当BC＝AC时，∵∠ACB＝90°，则∠A＝45°时，菱形BECF是正方形．∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠EBC＝45°∴∠EBF＝2∠EBC＝2×45°＝90°∴菱形BECF是正方形．故选项A正确，但不符合题意；当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B正确，但不符合题意；当BD＝DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项C正确，但不符合题意；当AC＝BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项D错误，符合题意．故选：D．16．解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．∵两张长方形纸条的宽度相等，∴DE＝DF．又∵平行四边形ABCD的面积＝AB•DE＝BC•DF，∴AB＝BC，∴平行四边形ABCD为菱形．故选：B．二．填空题（共15小题）17．解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝8，OB＝OD＝6，AC⊥BD，在Rt△AOB中，AB＝＝10，＝•AC•BD，∵S菱形ABCDS＝DH•AB，菱形ABCD∴DH•10＝×12×16，∴DH＝．故答案为：．18．解：如图所示：∵在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，其所对的对角线长为4，∴可得AD＝AB，故△ABD是等边三角形，则AB＝AD＝4，故BO＝DO＝2，则AO＝＝2，故AC＝4，则菱形ABCD的面积是：×4×4＝8．故答案为：8．19．解：∵EFGH为菱形∴EH＝EF又∵E、F、G、H为四边中点∴AC＝2EH，BD＝2FE∴AC＝BD．故答案为AC＝BD．20．解：根据作图，AC ＝BC ＝OA ， ∵OA ＝OB ，∴OA ＝OB ＝BC ＝AC ，∴四边形OACB 是菱形，∵AB ＝2cm ，四边形OACB 的面积为4cm 2，∴AB •OC ＝×2×OC ＝4，解得OC ＝4cm ．故答案为：4．21．解：连接OP ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝90°，AC ＝BD ，OA ＝OC ，OB ＝OD ，∴OA ＝OD ＝BD ，S △AOD ＝S △AOB ，∵AB ＝3，AD ＝4，∴S 矩形ABCD ＝3×4＝12，BD ＝5，∴S △AOD ＝S 矩形ABCD ＝3，OA ＝OC ＝，∵S △AOD ＝S △AOP +S △DOP ＝OA •PE +OD •PF ＝××PE +××PF ＝（PE +PF ）＝3， ∴PE +PF ＝．故答案为．22．解：∵CE ∥BD ，DE ∥AC ，∴四边形CODE 是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝4，OA＝OC，OB＝OD，∴OC＝OD＝BD＝，∴四边形CODE是菱形，∴四边形CODE的周长为：4OC＝4×＝10．故答案为：10．23．解：∵矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE＝45°，∵∠CAE＝15°，∴∠BAO＝∠BAE+∠CAE＝45°+15°＝60°，又∵矩形中OA＝OB＝OC＝OD，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝∠COD＝60°，∴△ODC是等边三角形，故①正确；由等边三角形的性质，AB＝OA，∴AC＝2AB，由垂线段最短BC＜AC，∴BC＜2AB，故②错误；∵∠BAE＝45°，∠ABE＝90°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝BE，∴BO＝BE，∵∠COB＝180°﹣60°＝120°，∴∠BOE＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝60°+75°＝135°，故③正确；∵△AOE和△COE的底边AO＝CO，点E到AC的距离相等，∴S△AOE ＝S△COE，故④正确；综上所述，正确的结论是①③④．故答案为：①③④．24．解：∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点，∴HG∥BD，EH∥AC，∴∠EHG＝∠1，∠1＝∠2，∴∠2＝∠EHG，∵四边形EFGH是矩形，∴∠EHG＝90°，∴∠2＝90°，∴AC⊥BD．故还要添加AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形．25．解：∵AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形AEPF为矩形，连接AP，如图，EF＝AP，当AP的值最小时，EF的值最小，当AP⊥BC时，AP的值最，此时AP＝＝，∴EF的最小值为．故答案为．26．解；设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP＝AQ得3x＝20﹣2x．解得x＝4，故答案为：4．27．解：连接BD、BF，∵四边形ABCD，BEFG是正方形，且边长分别为3和4，∴∠DBC＝∠GBF＝45°，BD＝3，BF＝4，∴∠DBF＝90°，由勾股定理得：DF＝＝5，∵H为线段DF的中点，∴BH＝DF＝．故答案为：．28．解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝1，∠B＝90°，∴AC2＝12+12，AC＝同理可得：AE＝（）2，AG＝（）3…，∴第n个正方形的边长a n＝（）n﹣1．故答案为（）n﹣1．29．解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，当∠BAD＝90°时，▱ABCD为正方形．故答案为：∠BAD＝90°．30．解：过点B作BF⊥AD于点F，延长DF使FG＝EC，∵AD∥BC，∠D＝90°，∴∠C＝∠D＝90°，BF⊥AD∴四边形CDFB是矩形∵BC＝CD∴四边形CDFB是正方形∴CD＝BC＝DF＝BF，∠CBF＝90°＝∠C＝∠BFG，∵BC＝BF，∠BFG＝∠C＝90°，CE＝FG∴△BCE≌△BFG（SAS）∴BE＝BG，∠CBE＝∠FBG∵∠ABE＝45°，∴∠CBE+∠ABF＝45°，∴∠ABF+∠FBG＝45°＝∠ABG∴∠ABG＝∠ABE，且AB＝AB，BE＝BG∴△ABE≌△ABG（SAS）∴AE＝AG＝5，∴A F＝AG﹣FG＝5﹣2＝3在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2，∴25＝（DF﹣3）2+（DF﹣2）2，∴DF＝6∴BC＝6故答案为：631．解：如图，过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴四边形DPBE是矩形，∵∠CDE+∠CDP＝90°，∠ADC＝90°，∴∠ADP+∠CDP＝90°，∴∠ADP＝∠CDE，∵DP⊥AB，∴∠APD＝90°，∴∠APD＝∠E＝90°，在△ADP和△CDE中，，∴△ADP≌△CDE（AAS），∴DE＝DP，四边形ABCD的面积＝四边形DPBE的面积＝18，∴矩形DPBE是正方形，∴DP＝＝3．故答案为：3．三．解答题（共9小题）32．（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，在△AFE和△DBE中，∴△AFE≌△DBE（AAS）；（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB．∵AD为BC边上的中线∴DB＝DC，∴AF＝CD．∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，∴AD＝DC＝BC，∴四边形ADCF是菱形；（3）连接DF，∵AF∥BD，AF＝BD，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF＝AB＝5，∵四边形ADCF是菱形，＝AC▪DF＝×4×5＝10．∴S菱形ADCF33．解：（1）∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴▱ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC，∵BD＝2，∴OB＝BD＝1，在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1，∴OA＝＝2，∴OE＝OA＝2．34．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°．∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形，又∠COD＝90°，∴平行四边形OCED是矩形；（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，则CE＝OD＝1，DE＝OC＝2．∵四边形ABCD是菱形，∴AC＝2OC＝4，BD＝2OD＝2，∴菱形ABCD的面积为： AC•BD＝×4×2＝4．故答案是：4．35．证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE为平行四边形，∴四边形AODE是矩形．36．证明：（1）∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∴∠ABE＝∠ADF，在△ABE与△ADF中，∴△ABE≌△ADF（SAS）；（2）连接AC，四边形AECF是菱形．理由：∵正方形ABCD，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥EF，∴OB+BE＝OD+DF，即OE＝OF，∵OA＝OC，OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．37．（1）证明：∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF，∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF，∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF；∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF＝180°，∴∠ECF＝90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF＝＝10，∴OC＝OE＝EF＝5；（2）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：连接AE、AF，如图所示：当O为AC的中点时，AO＝CO，∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．38．解：（1）在△AEB和△AEF中，，∴△AEB≌△AEF，∴∠EAB＝∠EAF，∵AD∥BC，∴∠EAF＝∠AEB＝∠EAB，∴BE＝AB＝AF．∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形∵AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形．故答案为菱形．（2）∵四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，BO＝OF＝5，∠ABO＝∠EBO，∵AB＝10，∴AB＝2BO，∵∠AOB＝90°∴∠BA0＝30°，∠ABO＝60°，∴AO＝BO＝5，∠ABC＝2∠ABO＝120°．故答案为，120．39．解：（1）①∵t＝1秒，∴BP＝CQ＝4×1＝4厘米，（1分）∵正方形ABCD中，边长为10厘米∴PC＝BE＝6厘米，（1分）又∵正方形ABCD，∴∠B＝∠C，（1分）∴△BPE≌△CQP（1分）②∵V P≠V Q，∴BP≠CQ，又∵△BPE≌△CQP，∠B＝∠C，则BP＝PC，而BP＝4t，CP＝10﹣4t，∴4t＝10﹣4t（2分）∴点P，点Q运动的时间秒，（1分）∴厘米/秒．（1分）（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得4.8x﹣4x＝30，（1分）解得秒．（1分）∴点P共运动了厘米（1分）∴点P、点Q在A点相遇，∴经过秒点P与点Q第一次在A点相遇．（1分）40．（1）证明：∵BE，CF是△ABC的中线，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC且EF＝BC．∵H、I分别是BG、CG的中点．，∴HI是△BCG的中位线，∴HI∥BC且HI＝BC，∴EF∥HI且EF＝HI．∴四边形EFHI是平行四边形．（2）解：①当AD与BC满足条件AD⊥BC时，四边形EFHI是矩形；理由如下：同（1）得：FH是△ABG的中位线，∴FH∥AG，FH＝AG，∴FH∥AD，∵EF∥BC，AD⊥BC，∴EF⊥FH，∴∠EFH＝90°，∵四边形EFHI是平行四边形，∴四边形EFHI是矩形；故答案为：AD⊥BC；②当AG＝BC时，四边形DEFI是菱形．理由：∵△ABC的两条中线BE与CF交于点G、H、I分别是BG、CG的中点，∴FH＝AG，∵EF＝BC，∴当AG＝BC时，FH＝EF，∵四边形EFHI为平行四边形，∴▱EFHI为菱形；故答案为：AG＝BC．。

北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元综合测试题及答案

第一章：特殊的平行四边形单元测试卷（典型题汇总）一、选择题(本大题共6小题，共24分)1．下列关于▱ABCD的叙述中，正确的是( )A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形2．如图1，在△ABC中，D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF ∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是( )A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形123．如图2，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，作OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC ＝130°，则∠AOE的度数为( )A．75° B．65° C．55° D．50°4．如图3，P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB，BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( )A.125B.65C.245 D．不确定345．如图4，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是( )A．2.5 B.5 C.322 D．26．如图5，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标是(4，0)，P为边AB上一点，∠CPB＝60°，沿CP折叠正方形OABC，折叠后，点B落在平面内的点B′处，则点B′的坐标为( )图5A．(2，2 3) B．(32，2－3)C．(2，4－2 3) D．(32，4－2 3)二、填空题(本大题共6小题，共30分)7．已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形的较短对角线的长是________．8．如图6所示，在矩形纸片ABCD中，AB＝2 cm，点E在BC上，且AE＝EC.若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点B′重合，则AC＝________ cm.679．如图7所示，若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为________．10．如图8，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠BED的度数是________．8911．如图9所示，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，E，F，G，H分别为AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为________．图1012．如图10，在矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，则△BOF的面积为________．三、解答题(共46分)13．(10分)如图11，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE＝CF.(1)求证：四边形BEDF是菱形；(2)若正方形ABCD的边长为4，AE＝2，求菱形BEDF的面积．图1114．(10分)如图12，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝20 cm，BD＝12 cm，两动点E，F同时以2 cm/s的速度分别从点A，C出发在线段AC上相对运动，点E到点C，点F到点A时停止运动．(1)求证：当点E，F在运动过程中不与点O重合时，以点B，E，D，F为顶点的四边形为平行四边形；(2)当点E，F的运动时间t为何值时，四边形BEDF为矩形？图1215．(12分)如图13，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，E，F分别是AB，AC的中点．(1)求证：四边形AEDF是菱形；(2)如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S.图1316．(14分)如图14，四边形ABCD是正方形，E是直线CD上的点，将△ADE沿AE对折得到△AFE，直线EF交边BC于点G，连接AG.(1)求证：△ABG≌△AFG；(2)当DE是线段CD的一半时，请你在备用图中利用尺规作图画出符合题意的图形(保留作图痕迹，不写作法)；(3)在(2)的条件下，求∠EAG的度数．图141．C 2.D 3.B 4.A5．B ．6．C7．6 .8．49．(2＋2，2)10．45°.11．12 12.75813．解：(1)证明：连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC.∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF，∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，∴四边形BEDF为菱形．(2)∵正方形ABCD的边长为4，∴BD＝AC＝4 2.∵AE＝CF＝2，∴EF＝AC－2 2＝2 2，∴S菱形BEDF＝12BD·EF＝12×4 2×2 2＝8.14．解：(1)证明：连接DE，EB，BF，FD.∵两动点E，F同时以2 cm/s的速度分别从点A，C出发在线段AC上相对运动，∴AE＝CF.∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OD＝OB，OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)，∴OA－AE＝OC－CF或AE－OA＝CF－OC，即OE＝OF，∴四边形BEDF为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)，即以点B，E，D，F为顶点的四边形是平行四边形．(2)当点E在OA上，点F在OC上，EF＝BD＝12 cm时，四边形BEDF为矩形．∵运动时间为t，∴AE＝CF＝2t，∴EF＝20－4t＝12，∴t＝2；当点E在OC上，点F在OA上时，EF＝BD＝12 cm，EF＝4t－20＝12，∴t＝8.因此，当点E，F的运动时间t为2 s或8 s时，四边形BEDF为矩形．15．解：(1)证明：∵AD⊥BC，E，F分别是AB，AC的中点，∴在Rt△ABD中，DE＝12AB＝AE，在Rt△ACD中，DF＝12AC＝AF.又∵AB＝AC，∴AE＝AF＝DE＝DF，∴四边形AEDF是菱形．(2)如图，∵菱形AEDF的周长为12，∴AE＝3.设EF＝x，AD＝y，则x＋y＝7，∴x2＋2xy＋y2＝49.①由四边形AEDF是菱形得AD⊥EF，∴在Rt△AOE中，AO2＋EO2＝AE2，∴(12y)2＋(12x)2＝32，即x2＋y2＝36.②把②代入①，可得2xy＝13，∴xy＝132，∴菱形AEDF的面积S＝12xy＝134.16．解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°.∵将△ADE沿AE对折得到△AFE，∴AF＝AD＝AB，∠AFE＝∠D＝90°.在Rt△ABG和Rt△AFG中，AB＝AF，AG＝AG，)∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)．(2)如图所示：(3)∵△AFE≌△ADE，△ABG≌△AFG，∴∠EAF＝∠EAD，∠GAF＝∠GAB.∵在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，∴∠EAG＝∠EAF＋∠GAF＝12×90°＝45°.第一章：特殊的平行四边形单元测试卷（典型题汇总）（100分钟，120分）一、选择题1．下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠C，∠B=∠D C．AB∥CD，AD∥BC D．AB=CD，AD=BC 2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若BD、AC的和为18cm，CD：DA=2：3，△AOB的周长为13cm，那么BC的长是（）A．6cm B．9cm C．3cm D．12cm3．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED′等于（）A．50° B．55° C．60° D．65°4．给出以下三个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③对角线互相垂直的矩形是正方形；④菱形对角线的平方和等于边长平方的4倍．其中真命题的是（）A．③B．①② C．②③D．③④5．如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC，EF=EC，DE=2，矩形的周长为16，则AE的长是（）A．3B．4 C．5 D．76．已知一矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（）A．6 cm和9 cm B．5 cm和10 cm C．4 cm和11 cm D．7 cm和8 cm7．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD8．如图为菱形ABCD与△ABE的重叠情形，其中D在BE上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE的长度为何？（）A．8 B．9 C．11 D．129．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是（）A．2B．3 C．D．1+10．如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．2B．3 C．D．二、填空题11．等边三角形、平行四边形、矩形、正方形四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是矩形、正方形．12．已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是3cm2．【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，∴它的面积是：×2×3=3（cm2）．13．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是45°．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°．∵等边三角形ADE，∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°．∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，AB=AE，∠AEB=∠ABE=（180°﹣∠BAE）÷2=15°，∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°，故答案为：45°．14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于 3.5 ．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∵AB+BC+CD+DA=28，∴AD=7，∵H为AD边中点，∴OH=AD=3.5；15．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为5．【解答】解：过E作EM⊥AB于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∴EM=AD，BM=CE，∵△ABE的面积为8，∴×AB×EM=8，解得：EM=4，即AD=DC=BC=AB=4，∵CE=3，由勾股定理得：BE===5，三、解答题（15题12分，16题12分，17题16分）16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，求△AEF的周长。

2022-2023学年北师大版九年级数学上册第1章《特殊的平行四边形》单元测试卷含答案

第1章特殊的平行四边形一．选择题（共8小题，满分32分）1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6cm，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC 沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设Q点运动的时间为t秒，若四边形QP′CP为菱形，则t的值为（）A．B．2C．D．32．如图．若要使平行四边形ABCD成为菱形．则需要添加的条件是（）A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD3．如图，Rt△ABC中，DC是斜边AB上的中线，EF过点C且平行于AB．若∠BCF＝35°，则∠ACD的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．65°4．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P在AB上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于（）A．B．C．D．5．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（）A．2B．2.2C．2.4D．2.56．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判定它为正方形的条件是（）A．AO＝CD B．AO＝CO＝BO＝DOC．AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD D．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD7．顺次连接等腰梯形四边中点得到一个四边形，再顺次连接所得四边形四边中点得到的图形是（）A．等腰梯形B．正方形C．菱形D．矩形8．如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，垂足为F，则DF的长为（）A．2+2B．5﹣C．3﹣D．+1二．填空题（共10小题，满分30分）9．如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形四边中点为顶点作四边形，…依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为；所作的第n个四边形的周长为．10．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：，使得该菱形为正方形．11．如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是．12．如图是一个矩形桌子，一小球从P撞击到Q，反射到R，又从R反射到S，从S反射回原处P，入射角与反射角相等（例如∠PQA＝∠RQB等），已知AB＝8，BC＝15，DP＝3．则小球所走的路径的长为．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于．14．如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB 的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°．给出如下结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④FH＝BD其中正确结论的为（请将所有正确的序号都填上）．15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．AC＝8cm，BD＝6cm，点P为AC上一动点，点P以1cm/s的速度从点A出发沿AC向点C运动．设运动时间为ts，当t＝s时，△PAB为等腰三角形．16．如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE 、BE 、DE ．过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若AE ＝AP ＝1，PB ＝．下列结论：①△APD ≌△AEB ；②点B 到直线AE 的距离为；③EB ⊥ED ；④S △APD +S △APB ＝1+；⑤S 正方形ABCD ＝4+．其中正确结论的序号是．17．如图，在3×4的矩形方格图中，不包含阴影部分的矩形个数是个．18．如图，在四边形ABCD 中，AC ＝BD ＝6，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则EG 2+FH 2＝．三．解答题（共7小题，满分88分）19．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝8，∠BAC ＝100°，AD 是∠BAC 的平分线，交BC 于D ，点E 是AB 的中点，连接DE ．（1）求∠BAD 的度数；（2）求∠B 的度数；（3）求线段DE 的长．20．如图，在▱ABCD中，BC＝2AB＝4，点E、F分别是BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．21．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，AE∥DC，EC∥AD，连接DE交AC于点O，（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若AB＝AO，求tan∠OCE的值．22．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的外角平分线于点F．（1）求证：OE＝OF；（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．23．已知▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB＝4cm，求这个平行四边形的面积．24．如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED．求证：四边形ABCD 是正方形．25．已知，如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，连接CF．（1）若DG＝2，求证四边形EFGH为正方形；（2）若DG＝6，求△FCG的面积；（3）当DG为何值时，△FCG的面积最小．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：连接PP′交BC于O，∵若四边形QPCP′为菱形，∴PP′⊥QC，∴∠POQ＝90°，∵∠ACB＝90°，∴PO∥AC，∴＝，∵设点Q运动的时间为t秒，∴AP＝t，QB＝t，∴QC＝6﹣t，∴CO＝3﹣，∵AC＝CB＝6，∠ACB＝90°，∴AB＝6，∴＝，解得：t＝2，故选：B．2．解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，那么可添加的条件是：AB＝BC．故选：C．3．解：∵EF∥AB，∴∠BCF＝∠B，∵∠BCF＝35°，∴∠B＝35°，∵DC是斜边AB上的中线，∴AD＝BD＝CD，∴∠B＝∠BCD，∠ACD＝∠CAD，∵∠ADC ＝∠B +∠BCD ，∴∠ADC ＝70°，∴∠ACD ＝（180°﹣70°）＝55°，故选：C ．4．解：方法一：设AP ＝x ，PB ＝3﹣x ．∵∠EAP ＝∠EAP ，∠AEP ＝∠ABC ；∴△AEP ∽△ABC ，故＝①；同理可得△BFP ∽△DAB ，故＝②．①+②得＝， ∴PE +PF ＝．方法二：（面积法）如图，作BM ⊥AC 于M ，则BM ＝＝，∵S △AOB ＝S △AOP +S △POB ，∴•AO •BM ＝•AO •PE +•OB •PF ，∵OA ＝OB ，∴PE +PF ＝BM ＝．故选：B ．5．解：∵在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，∴AB 2+AC 2＝BC 2，即∠BAC ＝90°．又∵PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，∴四边形AEPF 是矩形，∴EF ＝AP ．因为AP 的最小值即为直角三角形ABC 斜边上的高，即2.4，∴EF 的最小值为2.4，故选：C．6．解：A、不能判定为特殊的四边形；B、只能判定为矩形；C、只能判定为菱形；D、能判定为正方形；故选：D．7．解：∵等腰梯形的两条对角线相等，∴顺次连接等腰梯形四边中点得到的四边形是菱形，∵菱形的对角线互相垂直，∴再顺次连接所得四边形四边的中点得到的图形是矩形．故选：D．8．解：方法一：如图，延长DA、BC交于点G，∵四边形ABED是正方形，∴∠BAD＝90°，AD＝AB，∴∠BAG＝180°﹣90°＝90°，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AB＝2，∠ABC＝60°，∴AG＝AB•tan∠ABC＝2×tan60°＝2，∴DG＝AD+AG＝2+2，∵∠G＝90°﹣60°＝30°，DF⊥BC，∴DF＝DG＝×（2+2）＝1+，故选D．方法二：如图，过点E作EG⊥DF于点G，作EH⊥BC于点H，则∠BHE＝∠DGE＝90°，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AB＝2，∠ABC＝60°，∵四边形ABED是正方形，∴BE＝DE＝2，∠ABE＝∠BED＝90°，∴∠EBH＝180°﹣∠ABC﹣∠ABE＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∴EH＝BE•sin∠EBH＝2•sin30°＝2×＝1，BH＝BE•cos∠EBH＝2cos30°＝，∵EG⊥DF，EH⊥BC，DF⊥BC，∴∠EGF＝∠EHB＝∠DFH＝90°，∴四边形EGFH是矩形，∴FG＝EH＝1，∠BEH+∠BEG＝∠GEH＝90°，∵∠DEG+∠BEG＝90°，∴∠BEH＝∠DEG，在△BEH和△DEG中，，∴△BEH≌△DEG（AAS），∴DG＝BH＝，∴DF＝DG+FG＝+1，故选：D．二．填空题（共10小题，满分30分）9．解：根据三角形中位线定理得，第一个四边形的边长为＝，周长为2，第二个四边形的周长为＝4，第三个四边形的周长是：4（）3＝，第n个四边形的周长为4（）n，故答案为，4（）n．10．解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC＝BD；根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB⊥BC；故添加的条件为：AC＝BD或AB⊥BC．11．解：连接PC．∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°；又∵∠ACB＝90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴AC•BC＝AB•PC，∴PC＝．∴线段EF长的最小值为；故答案是：．12．解：∵入射角与反射角相等，∴∠BQR＝∠AQP，∠APQ＝∠SPD，∠CSR＝∠DSP，∠CRS＝∠BRQ，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴∠DPS+∠DSP＝90°，∠AQP+∠APQ＝90°，∴∠DSP＝∠AQP＝∠CSR＝∠BQR，∴∠RSP＝∠RQP，同理∠SRQ＝∠SPQ，∴四边形SPQR是平行四边形，∴SR＝PQ，PS＝QR，在△DSP和△BQR中∴△DSP≌△BQR，∴BR＝DP＝3，BQ＝DS，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，BC＝AD＝15，∴AQ＝8﹣DS，AP＝15﹣3＝12，∵∠SPD＝∠APQ，∴△SDP∽△QAP，∴＝∴＝，DS＝，在Rt△DSP中，由勾股定理得：PS＝QR＝＝，同理PQ＝RS＝，∴QP+PS+SR+QR＝2×+2×＝34，故答案为：34．13．解：如图，∵∠C＝90°，点D为AB的中点，∴AB＝2CD＝10，∴CD＝5，∴BC＝CD＝5，在Rt△ABC中，AC＝＝＝5．故答案为：5．14．解：∵△ACE是等边三角形，∴∠EAC＝60°，AE＝AC，∵∠BAC＝30°，∴∠FAE＝∠ACB＝90°，AB＝2BC，∵F为AB的中点，∴AB＝2AF，∴BC＝AF，∴△ABC≌△EFA，∴FE＝AB，∴∠AEF＝∠BAC＝30°，∴EF⊥AC，故①正确，∵EF⊥AC，∠ACB＝90°，∴HF∥BC，∵F是AB的中点，∴HF＝BC，∵BC＝AB，AB＝BD，∴HF＝BD，故④说法正确；∵AD＝BD，BF＝AF，∴∠DFB＝90°，∠BDF＝30°，∵∠FAE＝∠BAC+∠CAE＝90°，∴∠DFB＝∠EAF，∵EF⊥AC，∴∠AEF＝30°，∴∠BDF＝∠AEF，∴△DBF≌△EFA（AAS），∴AE＝DF，∵FE＝AB，∴四边形ADFE为平行四边形，∵AE≠EF，∴四边形ADFE不是菱形；故②说法不正确；∴AG＝AF，∴AG＝AB，∵AD＝AB，则AD＝4AG，故③说法正确，故答案为：①③④．15．解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8cm，BD＝6cm，∴AC⊥BD，AO＝OC＝4cm，BO＝OD＝3cm，由勾股定理得：BC＝AB＝AD＝CD＝5cm，分为三种情况：①如图1，当PA＝AB＝5cm时，t＝5÷1＝5；②如图2，当P和C重合时，PB＝AB＝5cm，t＝8÷1＝8；③如图3，作AB的垂直平分线交AC于P，此时PB＝PA，连接PB，在Rt△BOP中，由勾股定理得：BP2＝BO2+OP2，AP2＝32+（4﹣AP）2，AP＝；t＝÷1＝，故答案为：5或8或．16．解：①∵∠EAB+∠BAP＝90°，∠PAD+∠BAP＝90°，∴∠EAB＝∠PAD，又∵AE＝AP，AB＝AD，∵在△APD和△AEB中，，∴△APD≌△AEB（SAS）；故此选项成立；③∵△APD≌△AEB，∴∠APD＝∠AEB，∵∠AEB＝∠AEP+∠BEP，∠APD＝∠AEP+∠PAE，∴∠BEP＝∠PAE＝90°，∴EB ⊥ED ；故此选项成立；②过B 作BF ⊥AE ，交AE 的延长线于F ，∵AE ＝AP ，∠EAP ＝90°，∴∠AEP ＝∠APE ＝45°，又∵③中EB ⊥ED ，BF ⊥AF ，∴∠FEB ＝∠FBE ＝45°，又∵BE ＝＝＝，∴BF ＝EF ＝，故此选项不正确；④如图，连接BD ，在Rt △AEP 中，∵AE ＝AP ＝1，∴EP ＝，又∵PB ＝， ∴BE ＝，∵△APD ≌△AEB ，∴PD ＝BE ＝，∴S △ABP +S △ADP ＝S △ABD ﹣S △BDP ＝S正方形ABCD ﹣×DP ×BE ＝×（4+）﹣××＝+．故此选项不正确．⑤∵EF ＝BF ＝，AE ＝1， ∴在Rt △ABF 中，AB 2＝（AE +EF ）2+BF 2＝4+，∴S 正方形ABCD ＝AB 2＝4+，故此选项正确．故答案为：①③⑤．17．解：第一行有1个矩形，第二行有1个矩形，第三行有6个，第一列有3个，第二列有1个，第四列有3个，那么共有1+1+6+3+1+3＝15个，图中还有11个正方形，因为正方形也是矩形的一种，因此共有26个矩形．故答案为26．18．解：如右图，连接EF，FG，GH，EH，∵E、H分别是AB、DA的中点，∴EH是△ABD的中位线，∴EH＝BD＝3，同理可得EF，FG，GH分别是△ABC，△BCD，△ACD的中位线，∴EF＝GH＝AC＝3，FG＝BD＝3，∴EH＝EF＝GH＝FG＝3，∴四边形EFGH为菱形，∴EG⊥HF，且垂足为O，∴EG＝2OE，FH＝2OH，在Rt△OEH中，根据勾股定理得：OE2+OH2＝EH2＝9，等式两边同时乘以4得：4OE2+4OH2＝9×4＝36，∴（2OE）2+（2OH）2＝36，即EG2+FH2＝36．故答案为：36．三．解答题（共7小题，满分88分）19．解：（1）∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝100°，∴∠BAD＝50°；（2）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠；（3）∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD是等腰△ABC底边BC上的高，即∠ADB＝90°在直角三角形ABD中，点E是AB的中点，∴DE为斜边AB边上的中线，∴DE＝．20．（1）证明：∵在▱ABCD中，AB＝CD，∴BC＝AD，∠ABC＝∠CDA．又∵BE＝EC＝BC，AF＝DF＝AD，∴BE＝DF．∴△ABE≌△CDF．（2）解：∵四边形AECF为菱形，∴AE＝EC．又∵点E是边BC的中点，∴BE＝EC，即BE＝AE．又∵BC＝2AB＝4，∴AB＝BC＝BE，∴AB＝BE＝AE，即△ABE为等边三角形，如图，过点A作AH⊥BC于H，∴BH＝BE＝1，根据勾股定理得，AH＝∴菱形AECF的面积为2．21．（1）证明：∵AE∥DC，EC∥AD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵∠BAC＝90°，点D是BC的中点，∴AD＝BD＝CD，∴平行四边形ADCE是菱形；（2）解：∵四边形ADCE是菱形，∴∠EOC＝90°，AO＝CO，∠ACE＝∠ACD，∴tan∠ACB＝＝，∴tan∠OCE＝．22．（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的外角平分线于点F，∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，∵MN∥BC，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴EO＝CO，FO＝CO，∴OE＝OF；（2）解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，∵CE＝12，CF＝5，∴EF＝＝13，∴OC＝EF＝6.5；（3）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．证明：当O为AC的中点时，AO＝CO，∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．23．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC＝AC，BO＝OD＝BD，∵△AOB是等边三角形，∴AO＝BO．∴AC＝BD．∴平行四边形ABCD是矩形，在Rt△ABC中，∵AB＝4cm，AC＝2AO＝8cm，∴BC＝＝4cm，＝AB×BC＝4cm×4cm＝16cm2．∴S平行四边形ABCD24．证明：∵∠CED是△BCE的外角，∠AED是△ABE的外角，∴∠CED＝∠CBE+∠BCE，∠AED＝∠BAE+∠ABE，∵∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED，∴∠CBE＝∠ABE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCD＝∠BAD＝90°，AB＝CD，∴∠CBE＝∠ABE＝45°，∴△ABD与△BCD是等腰直角三角形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∴四边形ABCD是正方形．25．解：（1）∵四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形，∴∠D＝∠A＝90°，HG＝HE，又AH＝DG＝2，∴Rt△AHE≌Rt△DGH（HL），∴∠DHG＝∠HEA，∵∠AHE+∠HEA＝90°，∴∠AHE+∠DHG＝90°，∴∠EHG＝90°，∴四边形HEFG为正方形；（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，∵AB∥CD，∴∠AEG＝∠MGE，∵HE∥GF，∴∠HEG＝∠FGE，∴∠AEH＝∠MGF，在△AHE和△MFG中，∠A＝∠M＝90°，HE＝FG，∴△AHE≌△MFG，∴FM＝HA＝2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2，因此；（3）设DG＝x，则由第（2）小题得，S＝7﹣x，在△AHE中，AE≤AB＝7，△FCG∴HE2≤53，∴x2+16≤53，∴x≤，∴S的最小值为，此时DG＝，△FCG∴当DG＝时，△FCG的面积最小为（）．。

第一章特殊平行四边形单元测试卷(含答案) 北师大版九年级上册数学

共有（）
A．1 对
B．2 对
C．3 对
D．4 对
3．如图，AC、BD 是四边形 ABCD 的两条对角线，顺次连接四边形 ABCD 各边中点得到四边形 EFGH，要使四边
形 EFGH 为矩形，应添加的条件是（）
A．AC⊥BD
B．AB＝CD
C．AB∥CD
D．AC＝BD
4．如图，在正方形 ABCD 中， CE MN ， MCE 36 ，那么 ANM 等于（）
的最小值为
．
三、解答题（共 6 小题，每题 8 分，满分 48 分） 19．如图，小亮将升旗的绳子拉到杆底端，绳子末刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆 8m 处，发现此时绳子末端距离地面 2m ．请你求出杆的高度（滑轮上方的高度忽略不计，解题时请在图中标注字母）
20．如图，将一张长方形纸片 ABCD 沿 CE 折叠，使点 B 与 AD 边上的点 B′重合．过点 B′作 B′F//EB 交 CE 于点 F，连接 EB′与 BF．
24．(1)
y1
2t 0
16 2t
t 4 4 t
8
；
y2
t
0
t
8
(2)①当 0 t 4 时， y1 随时间 t 的增大而增大，当 4 t 8 时， y1 随时间 t 的增大而减小；② 0 t 16
3
周长多 4，则 AC 的长是（
A．2 3
B．4 3
C．2 7
D． 4 7
8．如图，边长为 4 和 10 的两个正方形 ABCD 与 CEFG 并排在一起，连接 BD 并延长交 EF 于 H，交 EG 于 I，则 GI 的长为（）
A．3
B．7
C．3 2

北师大版九年级数学上册《第一章特殊平行四边形》单元测试卷(带答案)

北师大版九年级数学上册《第一章特殊平行四边形》单元测试卷(带答案)一、选择题1．菱形的周长为20cm，一条对角线长为8cm，则菱形的面积为（）2cm．A．48B．24C．12D．202．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相垂直C．对角相等D．对边平行3．要检验一个四边形画框是否为矩形，可行的测量方法是（）A．测量四边形画框的两个角是否为90︒B．测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分C．测量四边形画框的一组对边是否平行且相等D．测量四边形画框的四边是否相等4．如图，在矩形ABCD中，已知AE BD⊥于E，∠BDC=60°，BE=1，则AB的长为（）A．3B．2C．3D35．下列条件中，能判定四边形是正方形的是（）A．对角线相等的平行四边形B．对角线互相平分且垂直的四边形C．对角线互相垂直且相等的四边形D．对角线相等且互相垂直的平行四边形6．如图，将图1的正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则ba=（）A 51-B 53+C 51+D 217．如图，在菱形ABCD 中 50ABC ∠=︒ ，对角线AC ，BD 交于点O ，E 为CD 的中点，连接OE ，则 AOE ∠ 的度数是（）A ．110°B ．112°C ．115°D ．120°8．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝4，CD ＝6，∠A ＝90°，∠B ＝∠C ＝120°，则AD 的长度为（）A ．3B ．3C ．3D ．3+39．如图，点E 、F 在矩形ABCD 的对角线BD 所在的直线上，BE =DF ，则四边形AECF 是( )A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形10．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边BC ，CD 上的动点，且BE CF =，连接BF ，DE ，则BF DE +的最小值为（）A 3B 5C ．3D ．512．如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD ，∠A ＝120°，则A ．13．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上一点90AED ∠=︒，∠EAD=30°，F 是AD 边的中点2cm EF =则BE = cm ．14．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 是AB 边上的一点，且AE=3，点Q 为对角线AC 上的动点，则∠BEQ 周长的最小值为．三、解答题15．如图，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，AE//BD ，BE//AC ．（1）求证：四边形AEBO 是菱形；（2）若2AB =，OB=3，求AD 的长及四边形AEBO 的面积．16．如图，平行四边形ABCD 中，AC=6，BD=8，点P 从点A 出发以每秒1cm 的速度沿射线AC 移动，点Q 从点C 出发以每秒1cm 的速度沿射线CA 移动．（1）经过几秒，以P ，Q ，B ，D 为顶点的四边形为矩形？（2）若BC∠AC 垂足为C ，求（1）中矩形边BQ 的长．17．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，且∠EAF =45°，分别连接EF 、BD ，BD 与AF 、AE 分别相交于点M 、N.（1）求证：EF =BE +DF .为了证明“EF =BE +DF ”，小明延长CB 至点G ，使BG =DF ，连接AG ，请画出辅助线并按小明的思路写出证明过程. （2）若正方形ABCD 的边长为6，BE =2，求DF 的长.18．已知：如图，在 Rt ABC 中 90ACB ∠=︒ ， CD 是 ABC 的角平分线，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，垂足分別为E 、F.求证：四边形 CEDF 是正方形.四、综合题19．如图，在ABC 中，AB=AC=2，∠BAC=45°，AEF 是由ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到的，连接BE ，CF 相交于点D .（1）求证：BE CF =；（2）当四边形ABDF 为菱形时，求CD 的长.20．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DE∠AC ，且12DE AC =，连接CE（1）求证：四边形OCED为矩形；（2）连接AE，若DB=6，AC=8，求AE的长.21．已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A，点G、E分别在线段AD、AB上.（1）如图1，连接DF、BF，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，判断∠“在旋转的过程中线段DF与BF的长始终相等.”是否正确，若正确请说明理由，若不正确请举反例说明；（2）若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连结DG，在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG的长始终相等.并以图2为例说明理由.22．已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图（1），连接AF、CE．①四边形AFCE是什么特殊四边形？说明理由；②求AF的长；（2）如图（2），动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿∠AFB和∠CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为每秒5cm，点Q 的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：∵菱形周长为20cm∴一条边的边长a=5cm又∵一条对角线长为8cm根据勾股定理可得另一条对角线长的一半22543 b-=∴另一条对角线长为6cm∴2186242m=⨯⨯=菱形的面积故答案为：B.【分析】本题考查菱形的性质、菱形的面积公式以及勾股定理，首先根据菱形的四边相等可知边长为5，又因为菱形的对角线垂直，所以结合一条已知的对角线求出另一条对角线的长度为6，两条对角线长度已知即可求出菱形的面积.2．【答案】B【解析】【解答】矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，故A不符合题意；矩形的对角线互相不垂直，菱形的对角线互相垂直，故B符合题意；因为矩形与菱形都是特殊的平行四边形，所以矩形与菱形的对角都相等，故C不符合题意；因为矩形与菱形都是特殊的平行四边形，所以矩形与菱形的对边都平行，故D不符合题意；故答案为：B．【分析】菱形和矩形具有平行四边形的一切性质，菱形特有：四条边都相等，对角线互相垂直且平分一组对角，矩形特有：四个角都是直角，对角线相等，据此逐一判断即可.3．【答案】B【解析】【解答】解：A、测量四边形画框的两个角是否为90°，不能判定为矩形，故选项A不符合题意；B、测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分，能判定为矩形，故选项B符合题意；C、测量四边形画框的一组对边是否平行且相等，能判定为平行四边形，不能判定是否为矩形，故选项C 不符合题意；D、测量四边形画框的四边是否相等，能判断四边形是菱形，故选项D不符合题意.【分析】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，据此一一判断得出答案.4．【答案】B【解析】【解答】解：四边形ABCD 为矩形60BDC ∠=︒=60ABD ∴∠︒AE BD ⊥30BAE ∴∠=︒AB 2∴=故答案为：B ．【分析】由矩形的性质求出∠ABD=90°，利用三角形内角和求出∠BAE=30°，再根据含30°角的直角三角形的性质即可求解.5．【答案】D【解析】【解答】解：A 、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项不符合题意；B 、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故此选项不符合题意；C 、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故C 选项不符合题意，D 选项符合题意.故答案为：D.【分析】利用对角线互相平分，垂直且相等的四边形是正方形；对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，一一判断可得答案.6．【答案】C【解析】【解答】解：依题意得()2()a b b b a b +=++整理得：22222a b ab b ab ++=+则220a b ab -+= 方程两边同时除以2a 2()10b b a a --=152b a +∴=（负值已经舍去）【分析】根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为（a＋b），右图是一个长方形，长宽分别为（b＋a＋b）、b，并且它们的面积相等，由此即可列出等式（a＋b）2＝b（b＋a＋b），解方程即可求出ba的值.7．【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形∴AC∠BD，∠CDO= 12∠ADC=12∠ABC=25°∴∠DOC=90°∵点E是CD的中点∴OE=DE= 12CD∴∠DOE=∠CDO=25°∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=90°+25°=115°故答案为：C.【分析】根据菱形的性质得出AC∠BD，∠CDO=25°，然后根据直角三角形斜边中线的性质求出OE=DE，则由等腰三角形的性质求出∠DOE=25°，最后根据角的和差关系求∠AOE的度数即可. 8．【答案】A【解析】【解答】解：延长DC、AB，DC、AB的延长线相交于点E∵∠ABC=∠BCD=120°∴∠EBC=∠ECB=60°∴∠BCE是等边三角形∵BC=4，∴EC=BE=BC=4∵AB=1，CD=6∴AE=1+4=5，DE=CD+CE=4+6=10∵∠A=90°∴22221057553DE AE-=-=故答案为：53.【分析】延长DC、AB，DC、AB的延长线相交于点E，结合已知易得∠BCE是等边三角形，由等边三角形的性质可得EC=BE=BC，由线段的构成可求出AE、DE的值，然后在直角三角形ADE中，用勾股定理可求得AD的值.9．【答案】A∴AO=CO BO=DO又BE=DF∴ BO+BE=DO+DF即EO=FO∴ 四边形AECF 是平行四边（对角线互相平分的四边形是平行四边形）故选：A【分析】根据矩形性质得到平行四边形的判定条件。

2019-2020学年北师大版九年级上册数学第一章特殊平行四边形单元达标测试题(含答案)

第一章特殊平行四边形一、选择题1.已知菱形的边长为，较短的一条对角线的长为，则该菱形较长的一条对角线的长为（）A. B. C. D.2.下列说法中不正确的是（）A. 四边相等的四边形是菱形B. 对角线垂直的平行四边形是菱形C. 菱形的对角线互相垂直且相等D. 菱形的邻边相等3.一个菱形的边长是方程的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为（）A. 48B. 24C. 24或40D. 48或804.如图，四边形的两条对角线相交于点，且互相平分.添加下列条件，仍不能判定四边形为菱形的是（）A. B. C. D.5.对于任意的矩形，下列说法一定正确的是（）A. 对角线垂直且相等B. 四边都互相垂直C. 四个角都相等D. 是轴对称图形，但不是中心对称图形6.如图，在平行四边形中，、是上两点，，连接、、、，添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是( )A. B. C. D.7.已知四边形的ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D，则这个四边形是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形8.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，CE垂直平分DO，，则BE等于A. B. C. D. 29.正方形具有而菱形不一定具有的特征是（）A. 对角线互相垂直平分B. 内角和为360°C. 对角线相等D. 对角线平分内角10.在四边形中，是对角线、的交点，能判定这个四边形为正方形的是（）A. ，B. ，，C. ，，D. ，11.如图，四张大小不一的正方形纸片分别放置于矩形的四个角落,其中，①和②纸片既不重叠也无空隙．在矩形ABCD的周长己知的情况下，知道下列哪个正方形的边长，就可以求得阴影部分的周长（）A. ①B. ②C. ③D. ④12.如图，在正方形ABCD中，AB=4，P是线段AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（）A. 2B. 4C. 4D. 2二、填空题13.若菱形两条对角线的长分别是6cm和8cm，则其面积为________cm2．14.已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数比为1：2，则较短的对角线长为________，面积为________.15.如图，在菱形ABCD中，若AC=6，BD=8，则菱形ABCD的面积是________.16.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO＝4，S菱形ABCD＝24，则AH＝________.17.如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是________（添加一个条件即可）．18.在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，若点E为边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，则BF长为________.19.四边形ABCD中，AC⊥BD，顺次连接它的各边中点所得的四边形是________.20.如图，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是________（只需添加一个即可）21.如图，正方形ABCD的边长为1，点E是BC边上一动点（点E不与点B、C重合），以线段DE为边长，作正方形DEFG，使得点F、G落在直线DE的下方，连接AF、BF.当△ABF为等腰三角形时，BE的长为________.22.如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，BG⊥EF，点G为垂足，AB=5，AE=1，CF=2，则BG=________．三、解答题23.已知：在菱形ABCD中，E，F是BD上的两点，且AE∥CF.求证：四边形AECF是菱形.24.如图,△ABC≌△ABD,点E在边AB上,并且CE∥BD,连接DE.求证:四边形BCED是菱形.25.如图，在矩形ABCD，AD=AE，DF⊥AE于点F．求证：AB=DF．26.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，且DE∥AC，AE∥BD．求OE的长．27.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且AB=FC，E为AD上一点，EC交AF于点G，EA=EG．求证：ED=EC．28.如图，在正方形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE=EF=FD，连接AF，AE，CE，CF，请你判断四边形AECF的形状，并证明你的结论．29.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．（1）已知BD= ，求正方形ABCD的边长；（2）猜想线段CM与CN的数量关系并加以证明．参考答案一、选择题1. C2. C3. B4. C5. C6. A7. B8. A9. C 10. D 11. B 12.A二、填空题13. 24 14. 10cm；50 cm215. 24 16. 17. ∠ABC=90°或AC=BD．18.19.矩形20. ∠ABC=90°或AC=BD 21. 或1- 22.三、解答题23. 证明：∵四边形ABCD是菱形∴AB∥CD，AB＝CD，∠ADF＝∠CDF，∵AB＝CD，∠ADF＝∠CDF，DF＝DF∴△ADF≌△CDF（SAS）∴AF＝CF，∵AB∥CD，AE∥CF∴∠ABE＝∠CDF，∠AEF＝∠CFE∴∠AEB＝∠CFD，∠ABE＝∠CDF，AB＝CD∴△ABE≌△CDF（AAS）∴AE＝CF，且AE∥CF∴四边形AECF是平行四边形又∵AF＝CF，∴四边形AECF是菱形24.证明：∵≌，∴，在和中,∴≌，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴四边形BCED是菱形.25.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B=90°，∴∠AEB=∠DAE．∵DF⊥AE，∴∠AFD=∠B=90°．在△ABE和△DFA中，∵∴△ABE≌△DFA，∴AB=DF26.解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA= AC=3，OD= BD=4，∴∠AOD=90°，∴AD= = =5．∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE为平行四边形，∴四边形AODE是矩形，∴OE=AD=527.解：证明：∵AB∥DC，FC=AB，∴四边形ABCF是平行四边形．∵∠B=90°，∴四边形ABCF是矩形．∴∠AFC=90°，∴∠D=90°﹣∠DAF，∠ECD=90°﹣∠CGF．∵EA=EG，∴∠EAG=∠EGA．∵∠EGA=∠CGF，∴∠DAF=∠CGF．∴∠D=∠ECD．∴ED=EC28.解：四边形AECF是菱形．∵在正方形ABCD中，AB=AD，∴∠ABE=∠ADF，又∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，同理可得，CE=CF，∵在正方形ABCD中，CD=AD，∠CDE=∠ADF，DF=DF，∴△ADF≌△CDF，∴AF=CF，∴AE=AF=CF=CE，∴四边形AECF是菱形．29.（1）解：∵四边形ABCD 是正方形，∴△ABD 是等腰直角三角形，∴2AB2=BD2，∵BD= ，∴AB=1，∴正方形ABCD的边长为1．（2）解：CN= CM.证明如下：∵CF=CA，CE是∠ACF的平分线，∴CE⊥AF，∴∠AEN=∠CBN=90°，∵∠ANE=∠CNB，∴∠BAF=∠BCN，在△ABF 和△CBN 中，∴△ABF≌△CBN（ASA），∴AF=CN，∵∠BAF=∠BCN，∠ACN=∠BCN，∴∠BAF=∠OCM，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴∠ABF=∠COM=90°，∴△ABF~△COM，∴，∴，即CN= CM.。

北师大九年级上《第1章特殊的平行四边形》单元测试卷(有答案)

2021-2022学年度北师大版数学九年级上册第1章《特殊的平行四边形》单元测试卷一、选择题(每小题3分，总计30分。

请将唯一正确答案的字母填写在表格内)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项1．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（）A ．20B ．24C ．40D ．48 2．一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（）cm 2． A ．12B ．96C ．48D ．243．如图，在▱ABCD 中，AM ，CN 分别是∠BAD 和∠BCD 的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AMCN 为菱形的是（）A ．AM=ANB ．MN ⊥ACC ．MN 是∠AMC 的平分线D ．∠BAD=120°4．如图，在矩形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，CD 上的点，AE=CF ，连接EF ，BF ，EF 与对角线AC 交于点O ，且BE=BF ，∠BEF=2∠BAC ，FC=2，则AB 的长为（）A ．8B ．8C ．4D ．65．下列命题中正确的是（） A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相垂直的四边形是矩形C ．对角线相等的平行四边形是矩形D ．对角线互相垂直的平行四边形是矩形6．如图，在任意四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，E 、F 、G 、H 分别是线段BD 、BC 、AC 、AD 上的点，对于四边形EFGH 的形状，某班的学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A ．当E ，F ，G ，H 是各条线段的中点时，四边形EFGH 为平行四边形B ．当E ，F ，G ，H 是各条线段的中点，且AC ⊥BD 时，四边形EFGH 为矩形 C ．当E ，F ，G ，H 是各条线段的中点，且AB=CD 时，四边形EFGH 为菱形 D ．当E ，F ，G ，H 不是各条线段的中点时，四边形EFGH 可以为平行四边形 7．平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（） A ．对角线相等B ．对角线互相平分C ．对角线互相垂直D ．对角形互相垂直平分8．夹在两条平行线间的正方形ABCD 、等边三角形DEF 如图所示，顶点A 、F 分别在两条平行线上．若A 、D 、F 在一条直线上，则∠1与∠2的数量关系是（）A ．∠1+∠2=60°B ．∠2﹣∠1=30°C ．∠1=2∠2．D ．∠1+2∠2=90°9．已知四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AD ∥BC ，下列判断中错误的是（） A ．如果AB=CD ，AC=BD ，那么四边形ABCD 是平行四边形 B ．如果AB ∥CD ，AC=BD ，那么四边形ABCD 是矩形 C ．如果AD=BC ，AC ⊥BD ，那么四边形ABCD 是菱形D ．如果AO=BO ，AC 垂直平分BD ，那么四边形ABCD 是正方形10．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ，DF 分别是△ABD 和△ACD 的高，得到下面四个结论：①OA=OD ；②AD ⊥EF ；③当∠BAC=90°时，四边形AEDF 是正方形；④AE 2+DF 2=AF 2+DE 2．其中正确的是（）姓名学号班级---------------------------------------------------装-----------------------------------订----------------------------------线--------------------------------------------------A．②③B．②④C．②③④D．①③④二、填空题(每题4分，总计20分)11．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB=3，AC=2，则BD的长为．12．如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC，EF=EC，DE=2，矩形的周长为16，则AE的长是．13．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O 的最大距离为．14．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为．15．如图，正方形CEGF的顶点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，且AB=5，CE=3，连接BG、DG，则图中阴影部分的面积是三．解答题（共5小题50分）16．如图，在四边形ABCD中，BC=CD，∠C=2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA=OB=OD．求证：（1）∠BOD=∠C；（2）四边形OBCD是菱形．17．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC 的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE=1，DE=2，则菱形ABCD的面积是．18．如图，已知▱ABCD，延长AB到E使BE=AB，连接BD，ED，EC，若ED=AD．（1）求证：四边形BECD是矩形；（2）连接AC，若AD=4，CD=2，求AC的长．19．已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．（1）求证：△BGF≌△FHC；（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．20．如图：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB上一点，过点D作DE ⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连结CD，BE，（1）当点D是AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由（2）在（1）的条件下，当∠A=时四边形BECD是正方形．参考答案一、选择题(每小题3分，总计30分。

(常考题)北师大版初中数学九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》测试题(包含答案解析)

一、选择题1．菱形的一条对角线与它的边相等，则它的锐角等于（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°2．如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，4AB =，O 为对角线BD 的中点，过O 点作OE AB ⊥，垂足为E ．则下列说法错误的是（）A ．点O 为菱形ABCD 的对称中心B ．2OE =C ．CDB ∆为等边三角形D ．4BD =3．如图，在矩形ABCD 中，点E 在DC 上，将矩形沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处．若AB ＝3，BC ＝5，则DE 的长为（）A ．12B ．53C ．25D ．134．如图，把矩形ABCD 沿EF 对折，若112,AEF ∠=︒则1∠等于（）A ．43B ．44C ．45︒D ．46︒5．如图，在平面直角坐标系中，将边长为a 的正方形OABC 绕点O 顺时针旋转45︒后得到正方形111OA B C ，依此方式连续旋转2021次得到正方形202120212021OA B C ，那么点2021A 的坐标是（）A．22,22a a⎛⎫⎪⎝⎭B．22,22a a⎛⎫-⎪⎝⎭C．22,22a a⎛⎫--⎪⎝⎭D．22,22a a⎛⎫- ⎪⎝⎭6．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是边CB延长线上一点，F为AB边上一点，BE ＝BF，连接EF并延长交线段AD于点G，连接CF交BD于点M，连接CG交BD于点N．则下列结论：①AE＝CF；②∠BFM＝∠BMF；③∠CGF﹣∠BAE＝45°；④当∠BAE＝15°时，MN＝433．其中正确的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图，正方形ABCD的边长为3，点P为对角线AC上任意一点，PE BC⊥，PQ AB⊥，垂足分别是E，Q，则PE PQ+的值是（）A．32B．3 C．322D．328．在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，点E关于∠A的平分线的对称点为F，点F关于∠B的平分线的对称点为G，连结EG．若AE＝1，AB＝4，则EG＝（）A．210B．27C．33D．199．给出下列命题，其中错误命题的个数是（）①四条边相等的四边形是正方形；②四边形具有不稳定性；③有两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；④一组对边平行的四边形是平行四边形．A．1 B．2 C．3 D．4AB ，G是BC的中点．将ABG沿AG对折至AFG，10．如图，正方形ABCD中，6延长GF交DC于点E，则DE的长是（）A．2 B．2.5 C．3.5 D．411．□ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，可推出□ABCD是菱形，那么这个条件可以是（）A．AB=CD B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD12．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，M为AD中点，P为对角线BD上一动点，连接PA和PM，则PA＋PM的最小值是( )A．3 B．3C．3D．6二、填空题13．如图，在直角坐标系中，正方形ABCD的顶点坐标分别为A(1，﹣1)，B(﹣1，﹣1)，C(﹣1，1)，D(1，1)．曲线AA1A2A3…叫做“正方形的渐开线”，其中AA1、A1A2、A2A3、A3A4…的圆心依次是B、C、D、A循环，则点A18的坐标是______________．14．如图，点H 在菱形ABCD 的边BC 上，连结AH ，把菱形ABCD 沿AH 折叠，使B 点落在边BC 上的点E 处，若∠B=70°，则∠AED 的度数为_____．15．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 在DA 的延长线上，BE BF ⊥交CD 于点F ，连接EF ．DEF ∠的角平分线与BD 交于点H ，连接FH ．过点D 分别作DQ EH ⊥于点Q 、DP FH ⊥于点P ，连接PQ PQ ．若1PQ CF ==，则DF =______．16．菱形ABCD 周长为52cm ，它的一条对角线长为10cm ，则另一条对角线长为__________cm ．17．如图，在矩形ABCD 纸片中，点E 是BC 边的中点，沿直线AE 折叠，点B 落在矩形内部的点B '处，连接AB '并延长交CD 于点F ．已知4CF =，5DF =，则AD 的长为__________．18．如图，把长方形纸片ABCD 沿折痕EF 折叠，使点B 与点D 重合，点A 落在点G 处，68DFG ∠=︒，则BEF ∠的度数为_________．19．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，对角线AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥BD ，垂足为E ，若BE ＝EO ，则AD 的长是____．20．如图将一张长方形纸片沿EF 折叠后，点A 、B 分别落在A ′、B ′的位置，如果∠2=70°，则∠1的度数是___________．三、解答题21．如图，点E 为边长为3的正方形ABCD 的边CB 延长线上一点，1BE =，连接AE ，将ABE △绕着正方形的顶点A 旋转得到ADF ．（1）写出上述旋转的旋转方向和旋转角度数：（2）连接EF ，求AEF 的面积：（3）如图中，ADG 可以看作由BAE △先绕着正方形的顶点B 顺时针旋转90︒，再沿着BA 方向平移3个单位的二次基本运动所成，那么ADG 是否还可以看作由BAE △只通过一次旋转运动而成呢？如果可以，请写出（同时在图中画出）旋转中心、旋转方向和旋转角度数，如果不能，则说明理由．22．如图，点E 是正方形ABCD 的边DC 上一点，把ADE 顺时针旋转ABF 的位置．（1）旋转中心是点，旋转角度是度：（2）若连结EF ，则AEF 是三角形，并证明你的结论．23．如图，矩形ABCD 中，EF 垂直平分对角线BD ，垂足为O ，点E 和F 分别在边AD ，BC 上，连接BE ，DF ．（1）求证：四边形BFDE 是菱形；（2）若AE ＝OF ，求∠BDC 的度数．24．如图，在直角坐标系中，3,4OA OC ==，点B 是y 轴上一动点，以AC 为对角线作平行四边形ABCD ．（1）求直线AC 的函数解析式；（2）设点(0)B m ，，记平行四边形ABCD 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式；（3）当点B 在y 轴上运动，能否使得平行四边形ABCD 是菱形？若能，求出点B 的坐标；若不能，说明理由．25．如图1、图2都是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点．已知点O，M，N，A，B均在格点上，请按要求完成下列问题：（1）在图①中，仅用无刻度直尺在网格中画出∠MON的平分线OP，并简要说明画图的依据；（2）在图②中，仅用无刻度直尺在网格中画一个Rt△ABC，使点C在格点上，并简要说明画图的依据．26．如图，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．求证：四边形CDOF是矩形．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由菱形的性质可得这条对角线与菱形的两边组成等边三角形，从而求得锐角的度数等于60°．【详解】解：由菱形的性质得，菱形相邻的两边相等，则与这条对角线组成等边三角形，则它的锐角等于60°，故选C．【点睛】此题主要考查菱形的性质：四边相等．2．B解析：B【分析】根据菱形的性质，等边三角形的判定，含30度的直角三角形的性质，勾股定理即可判断得出答案．【详解】菱形对角线互相垂直平分，O为对角线BD的中点，也是菱形对角线的交点，所以点O为菱形ABCD的对称中心，故A选项正确；∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=BC=CD，∵∠A=60°，∴∠A=∠C =60°，∴△ABD和△CBD是等边三角形，故C选项正确；∴BD=AB=4，故D选项正确；∠OBE=60°，∵OE⊥AB，∴∠BOE=30°，∵O为对角线BD的中点，∴OB=1BD=2，2∴BE=1OB =1，2∴==B选项错误；故选：B．【点睛】本题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，含30度的直角三角形的性质，勾股定理等．注意证得△ABD是等边三角形是关键．3．B解析：B【分析】先根据矩形的性质得AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，再根据折叠的性质得AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF＝4，则CF＝BC﹣BF＝1，设CE＝x，则DE＝EF ＝3﹣x ，然后在Rt △ECF 中根据勾股定理得到x 2+12＝（3﹣x ）2，解方程即可得到DE 的长．【详解】解：∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ＝5，AB ＝CD ＝3，∵矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上的F 处，∴AF ＝AD ＝5，EF ＝DE ，在Rt △ABF 中，BF 4，∴CF ＝BC ﹣BF ＝5﹣4＝1，设CE ＝x ，则DE ＝EF ＝3﹣x ，在Rt △ECF 中，CE 2+FC 2＝EF 2，∴x 2+12＝（3﹣x ）2，解得x ＝43， ∴DE ＝3﹣x ＝53，故选：B ．【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，属于常考题型，灵活运用这些性质进行推理与计算是解题的关键．4．B解析：B【分析】根据矩形的对边平行，可得∠AEF+∠BFE=180°，继而求得∠BFE=68°，再利用折叠的性质和平角的定义求解即可．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠AEF+∠BFE=180°，∵112AEF ∠=︒，∴∠BFE=68°，∴∠1=180°-2∠BFE=44°，故选B ．【点睛】本题考查了折叠问题，矩形的性质，平行线的性质，平角的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．5．C解析：C【分析】由正方形的性质和旋转的性质探究规律，利用规律解决问题即可．【详解】解：∵四边形OABC 是正方形，且OA=1，∴A （0，a ），∵将正方形OABC 绕点O 顺时针旋转45°后得到正方形OA 1B 1C 1，∴A 122,)22a a ，A 2（a ，0），A 322,)22a a ，A 4（0，-a ）…，发现是8次一循环，∵2021÷8=252…5，∴点A 2021的坐标为22,⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．6．B解析：B【分析】①根据已知条件证明△ABE ≌△CBF ，即可判断；②由△ABE ≌△CBF 和已知条件证明四边形DGEB 是平行四边形，再证明△FBC ≌△GDC ，当且仅当∠FCG=45°时，∠BFM=∠BMF ，即可判断；③结合①②证明∠FMB=∠CGF ，进而可以判断；④当∠BAE=15°时，∠BCM=∠GCD=∠BAE=15°，可得△CMN 是等边三角形，作CH ⊥BD 于点H ，根据正方形边长为4，即可求出MN 的值，进而可以判断.【详解】解：①∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBF ＝90°，在△ABE 和△CBF 中，BE BF ABE CBF AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CBF （SAS ），∴AE ＝CF ，故①正确；②∵△ABE ≌△CBF ，∴∠BCF ＝∠BAE ，∵∠GEC ＝∠DBC ＝∠ADB ＝45°，∴∠BMF ＝∠FCB +∠DBC ＝∠FCB +45°，∵∠GEC ＝∠DBC ，∴EG ∥DB ，∵DG ∥BE ，∴四边形DGEB 是平行四边形，∴BE ＝DG ，在△FBC 和△GDC 中，BF DG FBC GDC BC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FBC ≌△GDC （SAS ），∴∠BCF ＝∠DCG ，∴∠BFM ＝∠FCD ＝∠DCG +∠FCG ＝∠BCF +∠FCG ，∴当且仅当∠FCG ＝45°时，∠BFM ＝∠BMF ，故②错误；③∵GE ∥BD ，∴∠FMB ＝∠GFC ，∵△FBC ≌△GDC ，∴CF ＝CG ，∴∠GFC ＝∠CGF ，∴∠FMB ＝∠CGF ，∴∠CGF ﹣∠BAE ＝∠FMB ﹣∠BCM ＝∠MBC ＝45°，故③正确；④当∠BAE ＝15°时，∠BCM ＝∠GCD ＝∠BAE ＝15°，∴∠FCG ＝90°﹣∠BCM ﹣∠GCD ＝60°，∵BD ∥EG ，∴∠GFC ＝∠NMC ，∠FGC ＝∠MNC ，∵∠GFC ＝∠FGC ，∴∠NMC ＝∠MNC ，∴CM ＝CN ，∠MCN ＝60°，∴△CMN 是等边三角形，作CH ⊥BD 于点H ，如图，∴CH＝12BD＝122244＝2，∴CM223×246，∴MN＝CM＝63，故④错误．所以其中正确有①③，2个．故选：B．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形、全等三角形、平行四边形的性质和判定，在有中点和直角三角形的前提条件下，可以利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来证明两条线段相等.7．B解析：B【分析】证明四边形PQBE是矩形得PE=QB，证明△PEC是等腰直角三角形得PQ=BE便可求得结果【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∠ACB=12∠BCD=45°∵PE⊥BC，PQ⊥AB，∴四边形PQBE是矩形，∴PQ=BE∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠PCE=45°，又∠PEC=90°∴△PEC是等腰直角三角形∴PE=CE∴PE+PQ=CE+BE=BC=3．故选：B．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的判定，关键是证明PE=CE，PQ=BE．8．B【分析】连接FG ，根据菱形的性质和轴对称的性质可得∠A=60°，AE ＝AF ，BF ＝BG ，进而可证△AEF 是等边三角形及△BFG 是等腰三角形，根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质可求得EF 和FG 的长，且∠EFG=90°，根据勾股定理即可求得EG 的长．【详解】解：连接FG ，过点B 作BH ⊥FG 于H ，如图，∵菱形ABCD ，∠ADC ＝120°，∴∠A ＝60°，∠ABC ＝120°，∵点E 关于∠A 的平分线的对称点为F ，点F 关于∠B 的平分线的对称点为G ，∴AE ＝AF=1，BF ＝BG ，∴△AEF 是等边三角形，∴∠AFE ＝60°，EF=AF=1∵BF ＝BG ，∴△BFG 是等腰三角形，∴∠GFB ＝1801202-=30°， ∴∠EFG ＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵BF ＝4﹣1＝3，∴BH=32，22223333()22BF BH -=-=， ∴FG ＝3∴EG 2221(33)27EF FG =+=+故选：B ．【点睛】本题考查了菱形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的三边关系、勾股定理，属于常考基本题型，难度适中，充分利用轴对称的性质是解答的关键．9．C解析：C【分析】利用正方形的判定、直角三角形全等的判定、平行四边形的判定定理对每个选项依次判定解答．①四条边相等的四边形是菱形，故①错误；②四边形具有不稳定性，故②正确；③两直角三角形隐含一个条件是两直角相等，两个锐角对应相等，因此构成了AAA，不能判定全等，故③错误；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故④错误；综上，错误的命题有①③④共3个．故选：C．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正方形的判定、平行四边形的判定及直角三角形全等的判定．10．A解析：A【分析】连接AE，根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△AFE≌Rt△ADE，在直角△ECG中，根据勾股定理求出DE的长．【详解】解：连接AE，∵正方形ABCD中，6AB=∴AB=AD=BC=CD6=，∠B=∠D=90°，由折叠的性质得：AB =AF6=，∠B=∠AFG=90°，BG=GF∴AD=AF，∠AFE=180°－∠AFG=90°=∠D在Rt△AFE和Rt△ADE中，∵AE AE AF AD=⎧⎨=⎩∴Rt△AFE≌Rt△ADE，∴EF=DE，设DE=FE=x，EC=6−x．∵G是BC的中点∴BG=CG=12BC=3，∴GF=BG=3在Rt△ECG中，根据勾股定理，得：(6−x)2+9=(x+3)2，解得x=2．则DE=2故选A．【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用．证明Rt△AFE≌Rt△ADE是解答本题的关键．11．C解析：C【分析】根据菱形的定义和判定定理逐项作出判断即可．【详解】解：A. AB=CD，无法判断四边形ABCD是菱形，不合题意；B. AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断□ABCD是矩形，不合题意；C. AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以判断□ABCD是菱形，符合题意；D. AB⊥BD，可以得到∠B=90°，根据有一个角是直角的平行四边形叫矩形可以判断□ABCD 是矩形，不合题意．故选：C【点睛】本题考查了菱形的判定，熟知菱形的定义和判定定理是解题的关键．12．C解析：C【分析】首先连接AC，交BD于点O，连接CM，则CM与BD交于点P，此时PA+PM的值最小，由在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，易得△ACD是等边三角形，BD垂直平分AC，继而可得CM⊥AD，则可求得CM的值，继而求得PA+PM的最小值．【详解】解：连接AC，交BD于点O，连接CM，则CM与BD交于点P，此时PA+PM的值最小，∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，∴∠ADC=∠ABC=60°，AD=CD=6，BD垂直平分AC，∴△ACD是等边三角形，PA=PC，∵M为AD中点，∴DM=1AD=3，CM⊥AD，2∴，∴故选C．【点睛】此题考查了最短路径问题、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及菱形的性质．注意准确找到点P的位置是解此题的关键．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．(－371)【分析】先求出A1（-1-3）A2（-51）A3（17）A4（9-1）再研究规律每四次变化回到相同的象限；一象限横坐标都为1二象限纵坐标都为1三象限横坐标都为-1四象限纵坐标都为-1；相解析：(－37，1)【分析】先求出A1（-1，-3），A2（-5，1），A3（1,7），A4（9，-1），再研究规律每四次变化回到相同的象限；一象限横坐标都为1，二象限纵坐标都为1，三象限横坐标都为-1，四象限纵坐标都为-1；相应变化的坐标一周差8；18÷4=4…2；四周差4×8=32，四周余2，A18在第二象限，横坐标为：-5-4×8计算即可写出A18的坐标．【详解】正方形ABCD的顶点坐标分别为A(1，﹣1)，B(﹣1，﹣1)，C(﹣1，1)，D(1，1)．AB=1-（-1）=2，A1与B平行y轴，A1的横坐标为-1，纵坐标为：-1-2=-3，A1（-1，-3）CA1=1-（-3）=4，A2与C平行x轴，A2的纵坐标为1，横坐标为：-1-4=-5，A2（-5，1）DA2=1-（-5）=6，A3与D平行y轴，A3的横坐标为1，纵坐标为：1+6=7，A3（1,7）AA3=7-（-1）=8，A4与A平行x轴，A4的纵坐标为-1，横坐标为：1+8=9，A4（9，-1）A(1，﹣1)，A1（-1，-3），A2（-5，1），A3（1,7），A4（9，-1），A5（-1，-11，A6（-13，1），每四次变化回到相同的象限，第一象限横坐标都为1，第二象限纵坐标都为1，第三象限横坐标都为-1，第四象限纵坐标都为-1，相应变化的坐标一周差8，18÷4=4…2，A18在第二象限，4×8=32，四周差32，A18的横坐标为：-5-4×8=-37，A18（-37，1），故答案为：（-37，1）．【点睛】本题考查正方形的渐开线点的规律探究问题，掌握渐开线呈周期性变化，每4次渐开线终点在相同象限，各象限都有一坐标不变，找到变化的坐标规律是解题关键．14．55°【分析】根据翻折变换的性质可得AB=AE然后根据等腰三角形两底角相等求出∠B=∠AEB=70°根据菱形的四条边都相等可得AB=AD菱形的对角相等求出∠ADC再求出∠DAE然后根据等腰三角形两底解析：55°【分析】根据翻折变换的性质可得AB=AE，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠B=∠AEB=70°，根据菱形的四条边都相等可得AB=AD，菱形的对角相等求出∠ADC，再求出∠DAE，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠AED．【详解】解：∵菱形ABCD沿AH折叠，B落在BC边上的点E处，∴AB=AE，∵∠B=70°，∴∠AEB=70°在菱形ABCD中，AB=AD，∠ADC=∠B=70°，AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB=70°，∵AB=AE，AB=AD，∴AE=AD，∴∠AED=12（180°-∠DAE）=12（180°-70°）=55°．故答案为：55°．【点睛】本题考查了翻折变换的性质，菱形的性质，等腰三角形两底角相等的性质，翻折前后对应边相等，菱形的四条边都相等，对角相等．15．1+【分析】延长DQ交EF于M延长DP交EF于N先证∆ABE≌∆CBF∆FPN≌∆FPD∆EQD≌∆EQM设CD=x则DF=x-1EF=BF=列方程求解即可【详解】解：延长DQ交EF于M延长DP交E解析：【分析】延长DQ交EF于M，延长DP交EF于N，先证∆ABE≌∆CBF，∆FPN≌∆FPD，∆EQD≌∆EQM，设CD=x，则DF=x-1，【详解】解：延长DQ交EF于M，延长DP交EF于N，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠BAD=∠BCF=90°，BD平分∠ADC，∵BE⊥BF，∴∠EBF=90°，∴∠EBF=∠ABC ，∴∠EBF-∠ABF=∠ABC-∠ABF ，∴∠ABE=∠CBF ，在∆ABE 和∆CBF 中，BAE BCF AB CBABE CBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴∆ABE ≌∆CBF ，∴AE=CF ，BE=BF ，∵EQ 平分∠DEF ，OD 平分∠EDF ，EQ 与OD 交于H ，∴FH 平分∠EFD ，∴EP ⊥DP ，∴∠FPN=∠FPD ，在∆FPN 和∆FPD 中，NFP DFP PF PFFPN FPD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴∆FPN ≌∆FPD ，∴PN=PD ，NF=DF ，∵EQ 平分∠DEF ，∴∠DEQ=∠MEQ ，∵EQ ⊥DQ ，∴∠EQD=∠EQM=90°，在∆EQD 和∆EQM 中，DEQ EQ EQ MQEQD EQM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴∆EQD ≌∆EQM ，∴DQ=MQ ，EM=ED ，∴PQ 是∆DMN 的中位线，∴PQ=12MN=1， ∴MN=2，∴EF+MN=EM+FN=DE+DF=AD+AE+CD-CF=2CD ，设CD=x ，则DF=x-1，∴∴，∴2x²+2=4x²-8x+4，∴2x²-8x+2=0，∴x²-4x+1=0，∴(x-2) ²=3，∴1232,32x x =+=-+(舍)，∵CD=2+3，∴DF=1+3，故答案为：1+3【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质及三角形的中位线定理，解题的关键是熟练掌握有关性质及正确添加辅助线．16．24【分析】根据菱形的性质先求菱形的边长利用勾股定理求另一条对角线的长度【详解】如图菱形ABCD 中BD=10∴AC ⊥BD ∵菱形的周长为52BD=10∴AB=52÷4=13BO=5∴AO=∴AC=则这解析：24【分析】根据菱形的性质，先求菱形的边长，利用勾股定理求另一条对角线的长度．【详解】如图，菱形ABCD 中，BD=10，∴AC ⊥BD ，∵菱形的周长为52，BD=10，∴AB=52÷4=13，BO=5，∴AO=2213512∴AC=24．则这个菱形的另一条对角线长为24cm ．故答案为：24．【点睛】本题考查了菱形对角线互相垂直平分、菱形各边长相等的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理求AO 的值是解题的关键． 17．【分析】连接EF 根据矩形的性质可得AB=CD=9∠B=∠C=∠D=90°根据折叠的性质可得=∠B=90°利用HL 证出Rt △≌Rt △FCE 从而求出即可求出AF 最后利用勾股定理即可求出结论【详解】解：连解析：12【分析】连接EF ，根据矩形的性质可得AB=CD=9，∠B=∠C=∠D=90°，根据折叠的性质可得9AB AB '==，B E BE '=，AB E '∠=∠B=90°，利用HL 证出Rt △FB E '≌Rt △FCE ，从而求出B F '，即可求出AF ，最后利用勾股定理即可求出结论．【详解】解：连接EF ，∵4CF =，5DF =，∴CD=CF ＋DF=9∵四边形ABCD 为矩形，∴AB=CD=9，∠B=∠C=∠D=90°由折叠的性质可得9AB AB '==，B E BE '=，AB E '∠=∠B=90°∴FB E '∠=90°=∠C∵点E 为BC 的中点∴BE=CE∴B E CE '=在Rt △FB E '和Rt △FCE 中B E CE EF EF '=⎧⎨=⎩∴Rt △FB E '≌Rt △FCE∴4B F CF '==∴AF=AB '＋B F '=13在Rt △AFD 中，故答案为：12．【点睛】此题考查的是矩形与折叠问题，掌握矩形的性质、折叠的性质、利用HL 判定两个三角形全等和勾股定理是解题关键． 18．56【分析】根据折叠的性质和长方形的性质以及三角形内角和解答即可【详解】解：∵把长方形纸片ABCD 沿折痕EF 折叠使点B 与点D 重合点A 落在点G 处∴∠G=∠A=90°∠GDE=∠B=90°∵∠DFG=6解析：56【分析】根据折叠的性质和长方形的性质以及三角形内角和解答即可．【详解】解：∵把长方形纸片ABCD 沿折痕EF 折叠，使点B 与点D 重合，点A 落在点G 处， ∴∠G=∠A=90°，∠GDE=∠B=90°，∵∠DFG=68°，∴∠GDF=∠G-∠DFG=90°-68°=22°，∴∠ADE=∠GDE-∠GDF=90°-22°=68°，∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-68°=22°，∴∠DEC=90°-∠EDC=90°-22°=68°，由折叠可得：∠FEB=∠FED ， ∴180180685622DEC BEF -∠-=︒︒︒∠==︒，故答案为：56．【点睛】此题考查翻折问题，关键是根据折叠前后图形全等和长方形性质解答．19．【分析】由矩形的性质可得OB=OD=OA=OCAC=BD 由线段垂直平分线的性质可得OA=AB=OB 可证△OAB 是等边三角形可得∠ABD=60°由直角三角形的性质可求解【详解】解：∵四边形ABCD 是矩解析：【分析】由矩形的性质可得OB=OD=OA=OC，AC=BD，由线段垂直平分线的性质可得OA=AB=OB，可证△OAB是等边三角形，可得∠ABD=60°，由直角三角形的性质可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，∴OA=OB，∵BE=EO，AE⊥BD，∴AB=AO，∴OA=AB=OB，即△OAB是等边三角形，∴∠ABD=60°，∴∠ADE=90°-∠ABD=30°，∴故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．20．55°【分析】先由矩形的对边平行及平行线的性质知∠B′FC=∠2=70°再根据折叠的性质可得答案【详解】∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC∴∠B′FC=∠2=70°∴∠1+∠B′FE=180°-∠B解析：55°【分析】先由矩形的对边平行及平行线的性质知∠B′FC=∠2=70°，再根据折叠的性质可得答案．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠B′FC=∠2=70°，∴∠1+∠B′FE=180°-∠B′FC=110°，由折叠知∠1=∠B′FE，∴∠1=∠B′FE=55°，故答案为：55°．【点睛】本题主要考查折叠的性质和平行线的性质，解题的关键是掌握矩形的对边平行、两直线平行同位角相等性质．三、解答题21．（1）旋转方向：逆时针旋转，旋转角：90°；（2）5；（3）可以，图见解析，△绕点O顺时针旋转90°得到ADGBAE（1）根据图形和正方形的性质即可得出结论；（2）根据正方形的性质和旋转的性质可得AD=DC=BC=3，DF=BE=1，从而求出EC和CF，最后利用AEFS=S梯形AECD－S△ADF－S△ECF即可求出结论；（3）根据旋转中心、旋转方向和旋转角的定义即可得出结论．【详解】解：（1）由图易知：由ABE△到ADF的旋转方向为逆时针旋转，∵四边形ABCD为正方形∴∠BAD=90°即旋转角为90°综上：旋转方向：逆时针旋转，旋转角：90°；（2）∵正方形ABCD的边长为3，1BE=∴AD=DC=BC=3，DF=BE=1∴EC=BE＋BC=4，CF=DC－DF=2∴AEFS=S梯形AECD－S△ADF－S△ECF=12DC（AD＋EC）－12AD·DF－12EC·CF=12×3×（3＋4）－12×3×1－12×4×2=10.5 1.54--=5；（3）可以，∵在BAE△和ADG中，点A的对应点是点D，点B的对应点是点A，点E的对称点是点G∴作线段AD的对称轴和线段BA的对称轴交于点O，根据旋转中心的定义，由BAE△到ADG，点O即为旋转中心，由图易知旋转方向为顺时针旋转连接OA、OB，则∠BOA=90°即旋转角为90°综上：BAE△绕点O顺时针旋转90°得到ADG．此题考查的是图形的旋转，掌握旋转的性质、旋转中心、旋转方向和旋转角的定义是解题关键．22．（1）A，90；（2）等腰直角，证明过程见解析．【分析】（1）根据旋转中心及旋转角的定义，即可得出结论；（2）利用旋转的性质与正方形的性质，并结合等腰直角三角形的判定方法，即可判断出△AEF的形状．【详解】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∵△ADE顺时针旋转到△ABF的位置，∴旋转中心是点A，旋转角是∠BAD＝90°．故答案为A，90．（2）△AEF等腰直角三角形．证明：∵△ADE顺时针旋转到△ABF的位置，∴AF＝AE，∠FAE＝∠BAD，∵四边形ABCD是正方形∴∠FAE＝∠BAD＝90°∴△AEF是等腰直角三角形故答案为：等腰直角．【点睛】本题主要考查了旋转变换的性质、正方形的性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换及正方形的性质．23．（1）见解析；（2）60°．【分析】（1）首先判定平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行判定即可；（2）AE＝OF，四边形BFDE是菱形，BE=BF，可证△ABF≌△OBF, ∠ABF=∠OBF,∠FBO=∠OBF, ∠OBF=30°，即可求解．【详解】证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴ AD∥BC,AD=BC,∴∠EDO=∠OBF,∵EF垂直平分BD,∴BO=DO,∠EOD=∠BOF=90°,∴△DEO=△BFO(ASA)∴OE=OF,∴四边形EBFD是平行四边形,又EF⊥BD,∴四边形EBFD 是菱形;(2)∵四边形EBFD 是菱形,∴ED=EB又 AE ＝OF ，∠A=∠BOF∴△ABF ≌△OBF∴∠ABF=∠OBF,∵∠FBO=∠OBF,∴∠ABF =∠FBO=∠OBF,∴ ∠OBF=30°∴∠BDC=60°．【点睛】本题考查了菱形的性质和判定，掌握菱形的性质和判定是解题的关键．24．（1）443y x =+；（2）()3+124S m m =-<；()3124S m m =->；（3）能，70,8B ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据OA 、OC 的长度结合图形可得出点A 、C 的坐标，再利用待定系数法即可求出直线AC 的解析式；（2）根据点B 的坐标可得出BC 的长度，结合平行四边形的面积公式即可得出S 关于m 的函数关系式；（3）根据菱形的性质，利用勾股定理构建方程即可解决问题；【详解】解：（1）∵OA ＝3，OC ＝4，∴A （﹣3，0）、C （0，4）．设直线AC 的函数解析式为y ＝kx+b ，将点A （﹣3，0）、C （0，4）代入y ＝kx+b 中，得：304k b b -+=⎧⎨=⎩，解得：434k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC 的函数解析式为y ＝43x+4．（2）∵C(0，4) B (0，m)当点B 在C 点下方时BC=4-m，∴S=BC•OA=3(4-m)=-3m+12（m＜4）．当B点在C点上方时BC=m-4，∴S=BC•OA=3(m-4)=3m-12（m>4）．(3)能，当四边形ABCD是菱形时，AB＝BC 在RtΔAOB中 AB2＝OA2+OB2＝32+m2，∴32+m2＝（4﹣m）2解得：m＝78，∴B（0，78）．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质、菱形的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据平行四边形的面积公式找出S关于m的函数关系式；（3）学会构建方程解决问题．25．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）构造全等三角形，利用全等三角形的性质即可解决问题；（2）利用菱形以及平行线的性质即可解决问题．【详解】解：（1）如图1，射线OP即为所求的∠MON的平分线．作图依据是：可判定△MOP≌△NOP，于是有∠MOP＝∠NOP．（2）如图2，△ABC即为所求作的直角三角形，其中∠ACB＝90°．作图依据是：①菱形的对角线互相垂直，即BC⊥EF；②可判定AC∥EF，则AC⊥BC，所以∠ACB＝90°．【点睛】本题考查作图−应用与设计、菱形的性质等知识，解题的关键是掌握菱形的性质并灵活运用所学知识解决问题．26．见解析．【分析】利用角平分线的性质、平角的定义可以求得∠DOF=90°；由等腰三角形的“三合一”的性质可推知OD⊥AC，即∠CDO=90°；根据已知条件“CF⊥OF”知∠CFO=90°；则三个角都是直角的四边形是矩形．【详解】证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB，∴∠AOC=2∠COD，∠COB=2∠COF，∵∠AOC+∠BOC=180°，∴2∠COD+2∠COF=180°，∴∠COD+∠COF=90°，∴∠DOF=90°；∵OA=OC，OD平分∠AOC，∴OD⊥AC，AD=DC，∴∠CDO=90°，∵CF⊥OF，∴∠CFO=90°∴四边形CDOF是矩形【点睛】本题考查了矩形的判定、角平分线的定义、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．。

2020-2021学年北师大版九年级上册第1章《特殊的平行四边形》单元测试卷 (解析版)

北师大版2020年九年级上册第1章《特殊的平行四边形》单元测试卷满分：120分姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．菱形具有而一般矩形不具有的性质是（）A．对边相等B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直2．要判断一个四边形门框是否为矩形，在下面四个拟定方案中，正确的方案是（）A．测量对角线是否相互平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量对角线是否互相垂直D．测量其中三个角是否是直角3．已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，补充下列四个条件，能使平行四边形ABCD 成为菱形的是（）A．AB＝BD B．AC＝BD C．∠DAB＝90°D．∠AOB＝90°4．四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且∠ACD＝30°，BD＝2，则菱形ABCD的面积为（）A．2B．4C．4D．85．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为（）A．4B．8C．D．66．E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠AEB的度数是（）A．55°B．60°C．65°D．75°7．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AB于点E，若AC＝8cm，BD＝6cm，则DE＝（）A．5cm B．2cm C．cm D．cm8．在长方形MNPQ中，三点的坐标分别是M（0，0），N（4，0），P（4，2），则Q点的坐标为（）A．（2，0）B．（0，2）C．（0，4）D．（4，0）9．如图，四边形ABCD、EFGH、NHMC都是正方形，边长分别为a，b，c；A，B，N，E，F五点在同一直线上，则c＝（）A．a+b B．C．D．a2+b210．矩形ABCD中，AD＝3，AB＝9，点E、F同时分别从点A、C出发沿AB、CD方向以每秒1个单位的速度运动，当四边形EBFD为菱形时，两点运动的时间为（）A．4秒B．5秒C．6秒D．6秒二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．矩形、菱形和正方形的对角线都具有的性质是．12．已知菱形ABCD的周长为12，则边BC＝．13．如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，请你添加一个适当的条件，使ABCD成为正方形．14．如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝8m，∠ABC＝60°，则DE＝m．15．如图所示，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为（6，10），则点C的坐标为．16．如图，在Rt△CDE中，∠DCE＝90°，分别以CD，DE为边在Rt△CDE外部作正方形ABCD和正方形DEFG，若S△ADG＝，S正方形ABCD＝6，则S正方形DEFG＝．三．解答题（共8小题，满分66分）17．（7分）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，DG＝2．求证：四边形EFGH为正方形．18．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB，CD边上的点，且∠ADE＝∠CBF．当BD⊥EF时，求证：四边形EBFD是菱形．19．（8分）如图，在正方形ABCD中，AE，DF相交于点O且AF＝BE．（1）求证：∠BAE＝∠ADF；（2）若∠BAE＝30°，AF＝2，求OD的长．20．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE＝1，菱形ABCD的周长是4，求菱形ABCD的面积．21．（8分）如图，在矩形ABCD中，直线l经过对角线AC的中点O（直线l不与线段AC 重合），与AB、CD交于点E、F．（1）求证：BE＝DF；（2）当直线l⊥AC时，若AD＝4，AB＝6，求CF的长．22．（8分）如图（1），正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．（1）求证：OE＝OF；（2）如图（2）若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，AM交DB的延长线于点F，其他条件不变，结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．23．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q 的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．24．（10分）已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点（不与C、D重合）．连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于H，连接CH．在EF上取一点G，使∠ECG＝∠DAH．（1）若点F在边CD上，如图1，①求证：CH⊥CG．②求证：△GFC是等腰三角形．（2）取DF中点M，连接MG．若MG＝3，正方形边长为4，则BE＝．参考答案一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．解：菱形具有的性质：四边相等，对边平行，对角相等，邻角互补，对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；矩形具有的性质：四个角都是直角，对边平行且相等，对角线互相平分且相等．∴菱形具有而一般矩形不具有的性质是对角线互相垂直；故选：D．2．解：∵三个角是直角的四边形是矩形，∴在下面四个拟定方案中，正确的方案是D，故选：D．3．解：A、AB＝BD，不能判定平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；B、AC＝BD，则平行四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，故选项B不符合题意；C、∠DAB＝90°，则平行四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，故选项B不符合题意；D、∠AOB＝90°，则AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；故选：D．4．解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD＝1，AC⊥BD，在Rt△OCD中，∵∠ACD＝30°，∴CD＝2OD＝2，∴OC＝＝＝，∴AC＝2OC＝2，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×2×2＝2．故选：A．5．解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，∴AC＝12，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴OH＝BD，∵菱形ABCD的面积＝×AC×BD＝×12×BD＝48，∴BD＝8，∴OH＝BD＝4；故选：A．6．解：∵E为正方形ABCD内一点，且△EDC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，∠EBC＝60°，AB＝BE＝BC，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝30°，∴∠AEB＝∠BAE＝（180°﹣30°）＝75°，故选：D．7．解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8cm，BD＝6cm，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×6×8＝24，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝4cm，OB＝OD＝3cm，∴在直角三角形AOB中，AB＝＝＝5cm，∴DH＝＝cm．故选：C．8．解：如图，根据图形易知Q点的坐标是（0，2）．故选：B．9．解：∵四边形ABCD、EFGH、NHMC都是正方形，∴∠CNH＝90°，BC＝a，NE＝c，HE＝b．∵∠BCN+∠CNB＝90°，∠CNB+∠HNE＝90°，∴∠BCN＝HNE．又∵∠CBN＝∠HEN＝90°，CN＝NH＝c∴△CBN≌△NEH．∴NE＝CB＝a．在Rt△NEH中，∵NH＝，∴c＝．故选：C．10．解：设t秒时四边形EBFD为菱形，此时DE＝DF＝FB＝BE，则AE＝t，DF＝9﹣t，根据勾股定理得：32+t2＝（9﹣t）2，解得：t＝4，故选：A．二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．解：因为矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相平分且垂直且平分每一组对角，正方形的对角线具有矩形和菱形所有的性质，所有矩形、菱形和正方形的对角线都具有的性质是对角线互相平分．故答案为：对角线互相平分．12．解：∵菱形ABCD的周长为12，∴AB＝BC＝CD＝AD＝3；故答案为：3．13．解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，当∠BAD＝90°时，▱ABCD为正方形．故答案为：∠BAD＝90°．14．解：∵立柱BC、DE垂直于横梁AC，∴BC∥DE，∴AE：CE＝AD：BD，∵D是AB中点，∴AD＝BD，∴AE＝CE，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC，在Rt△ABC中，BC＝AB＝4，∴DE＝2．故答案为：2．15．解：∵四边形OABC是菱形，∴A、C关于直线OB对称，∵A（6，10），∴C（6，﹣10），故答案为：（6，﹣10）．16．解：如图所示，过G作GH⊥AD，交AD的延长线于H，则∠H＝90°，又∵∠DCE＝90°，∴∠H＝∠DCE，∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，∴∠ADC＝∠CDH＝∠EDG＝90°，DG＝DE，∴∠GDH＝∠EDC，∴△DGH≌△DEC（AAS），∴GH＝CE，∵S正方形ABCD＝6，∴CD＝，∵S△ADG＝，∴AD×GH＝，又∵AD＝CD，∴CD×CE＝，即×CE＝，∴CE＝2，∴Rt△CDE中，DE＝＝＝，∴S正方形DEFG＝DE2＝10，故答案为：10．三．解答题（共8小题，满分66分）17．解：∵四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形，∴∠D＝∠A＝90°，HG＝HE，又AH＝DG＝2，∴Rt△AHE≌Rt△DGH（HL），∴∠DHG＝∠HEA，∵∠AHE+∠HEA＝90°，∴∠AHE+∠DHG＝90°，∴∠EHG＝90°，∴四边形HEFG为正方形．18．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，∠A＝∠C，AB∥CD，AB＝CD，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴AE＝CF，∴AB﹣AE＝CD﹣CF，即BE＝DF，又∵BE∥DF，∴四边形EBFD是平行四边形，∵BD⊥EF，∴四边形EBFD是菱形．19．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠DAB＝90°，AB＝AD，又∵AF＝BE，在△ABE与△DAF中，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠BAE＝∠ADF；（2）解：∵△ABE≌△DAF，∴∠BAE＝∠ODA，∴∠DAO+∠ODA＝90°，∴∠AOD＝90°，∵∠BAE＝30°，AF＝2，∴OF＝AF＝1，DF＝2AF＝4，∴OD＝DF﹣OF＝3．20．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°．∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形，又∠COD＝90°，∴平行四边形OCED是矩形；（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD＝BC，∵菱形ABCD的周长是4，∴CD＝，∴OC＝＝2，∴AC＝2OC＝4，BD＝2OD＝2，∴菱形ABCD的面积为：AC•BD＝×4×2＝4．21．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠EAO＝∠FCO，∵对角线AC的中点为O，∴OA＝OC，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（ASA），∴EA＝FC，∴AB﹣AE＝CD﹣CF，∴BE＝DF；（2）解：连接AF、CE，如图所示：∵EA＝FC，EA∥FC，∴四边形AFCE为平行四边形，∵EF⊥AC，∴▱AFCE为菱形，∴AF＝CF，设AF＝CF＝x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，在Rt△ADF中，由勾股定理得：x2＝42+（6﹣x）2，解得：x＝，即CF＝．22．解：（1）∵四边形ABCD是正方形．∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．又∵AM⊥BE，∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，∴∠MEA＝∠AFO．在△BOE和△AOF中，∵，∴△BOE≌△AOF．∴OE＝OF．（2）OE＝OF成立．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．又∵AM⊥BE，∴∠F+∠MBF＝90°，∠E+∠OBE＝90°，又∵∠MBF＝∠OBE，∴∠F＝∠E．在△BOE和△AOF中，∵，∴△BOE≌△AOF．∴OE＝OF．23．解：（1）由已知可得，BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝6﹣t 在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，∴t＝6﹣t，得t＝3故当t＝3s时，四边形ABQP为矩形．（2）由（1）可知，四边形AQCP为平行四边形∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形即时，四边形AQCP为菱形，解得t＝，故当t＝s时，四边形AQCP为菱形．（3）当t＝时，AQ＝，CQ＝，则周长为：4AQ＝4×＝15cm面积为：．24．（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝∠CDB＝45°，DA＝DC，在△DAH和△DCH中，，∴△DAH≌△DCH（SAS），∴∠DAH＝∠DCH．∵∠ECG＝∠DAH，∴∠ECG＝∠DCH．∵∠ECG+∠FCG＝∠FCE＝90°，∴∠DCH+∠FCG＝90°，∴CH⊥CG；②∵在Rt△ADF中，∠DF A+∠DAF＝90°，由①得∠DCH+∠FCG＝90°，∠DAH＝∠DCH；∴∠DF A＝∠FCG，又∵∠DF A＝∠CFG，∴∠CFG＝∠FCG，∴GF＝GC，∴△GFC是等腰三角形；（2））①如图，当点F在线段CD上时，连接DE．∵∠GFC＝∠GCF，∠GEC+∠GFC＝90°，∠GCF+∠GCE＝90°，∴∠GCE＝∠GEC，∴EG＝GC＝FG，∵FG＝GE，FM＝MD，∴DE＝2MG＝6，在Rt△DCE中，CE＝＝＝2，∴BE＝BC+CE＝4+2．②如图，当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．同法可知GM是△DEC的中位线，∴DE＝2GM＝6，在Rt△DCE中，CE＝＝＝2，∴BE＝BC﹣CE＝4﹣3＝1．综上所述，BE的长为4+或1．。

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第一章特殊平行四边形单元测试卷
1. 菱形与矩形都具有的性质是（）
A.对角相等
B.四边相等
C.对角线互相垂直
D.四角相等
2. 若正方形的对角线长为8，则这个正方形的面积为（）
A.16
B.24
C.32
D.64
3. 能判定一个四边形是菱形的是（）
A.对角线相等的四边形是菱形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D.对角线相等且互相平分的四边形是菱形
4. 如图所示，已知四边形ABCD为平行四边形，下列结论不正确的是()
A.当AB=BC时，它是菱形
B.当AC⊥BD时，它是菱形
C.当∠ABC=90∘时，它是矩形
D.当AC=BD时，它是正方形
5. 如图，在正方形ABCD中，如果AF=BE，那么∠AOD的度数是()
A.90∘
B.80∘
C.70∘
D.60∘
6. 下列条件中，不能判定一个平行四边形是正方形的是（） A.对角线相等且互相垂直 B.一组邻边相等且有一个角是直角 C.对角线相等且一组邻边相等 D.对角线互相平分且有一个角是直角
7. 菱形具有而矩形不具有的性质是( ) A.对角相等 B.四个角相等
C.对角线相等
D.四条边相等
8. 四边形ABCD 的对角线AC =BD ，AC ⊥BD ，分别过A 、B 、C 、D 作对角线的平行线，所成的四边形EFMN 是（） A.正方形 B.菱形
C.矩形
D.任意四边形
9. 下列条件：
①四边相等的四边形，②对角线互相垂直且平分的四边形，
③一组邻边相等的四边形，④一条对角线平分一组对角的平行四边形，其中能判断四边形是菱形的有（） A.1个 B.2个
C.3个
D.4个
10. 如图，正方形ABCD 的边长为4，它的两条对角线交于点O ，过点0作边BC 的垂线，垂足为M 1，△OBM 1的面积为S 1，过点M 1作OC 的垂线，垂足为M 2，△△OM 1M 2的面积为S 2，过点M 2作BC 的垂线，垂足为M 3，△M 1M 2M 3的面积为S 3，…△
M n−2M n−1M n 的面积为S n ，则S 1+S 2+S 3+...+S n =( )
A.4
B.4−(1
2)n−1
C.4−(1
2
)n−2
D.4−(1
2)n−3
二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，） 11. ▱ABCD 中，加一个条件________它就是矩形．
12. 一个正方形的面积是5，那么这个正方形的对角线的长度为________．
13. 如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的面积有最小值9，那么菱形面积的最大值是________．
FC，则四14. 如图，矩形ABCD中，AB=8cm，BC=3cm，E是DC的中点，BF=1
2
边形DBFE的面积为________cm2．
15. 菱形ABCD中，∠A:∠B=1:5，高是8cm，则菱形的周长是________cm．
16. 如图，将边长为8的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则EF的长是________．
17. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=2√2，点E是AB的中点，点F是AD 边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，连接A′C，A′D，则当△A′DC是以A′D为腰的等腰三角形时，AF的上长是________．
18. 四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AD // BC，AC=BD．试添加一个条
件________，使四边形ABCD为矩形．
19. 如图，正方形ABCD的边长是4cm，点G在边AB上，以BG为边向外作正方形GBFE，连结AE、AC、CE，则△AEC的面积是________cm2．
20. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，其中AC=8，BD=6，以OC、OB 为边作矩形OBEC，矩形OBEC的对角线OE、BC交于点F，再以CF、FE为边作第一个
菱形CFEG，菱形CFEG的对角线FG、CE交于点H，如此继续，得到第n个菱形的周长
等于________．
三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）
21. 如图，在△ABC中，D是AB上一点，且BD=BC，BF⊥CD于点E，交AC于点F，M为线段BE上任意一点，请探究，当ME与EF满足什么数量关系时四边DMCF是菱形？
22. 如图：已知：AD是△ABC的角平分线，DE // AC交AB于E，DF // AB交AC于
F．
（1）求证：四边形AEDF是菱形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？
23. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，AE⊥BD，垂足为E，若OE:OD=1:2，AE=√3cm，则DE长为多少？
24. 如图，已知EF // GH，AB、BC分别平分∠EAC、∠GCA，且交于点B，AD、CD分别平分∠FAC、∠HCA，且交于点D．求证：四边形ABCD是矩
形．
25. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点D分别作DE // AC、DF // AB，分别交AB、AC于点E、F．求证：四边形AEDF是菱形．
26. 如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O是AB的中点，连接DO
并延长到E，使DO=EO，连接AE，BE．
（1）判断四边形AEBD是何特殊的四边形，并证明；
（2）当∠BAC为多少度时，四边形AEBD是正方形？并证明．。