樊昌信《通信原理》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(第12~14章)【圣才出品】

樊昌信《通信原理》（第6版）笔记和课后习题（含考研真题）详解

第12章正交编码与伪随机序列

12.1复习笔记

一、正交编码

1．正交编码的基本概念

若M个周期为T模拟信号s1(t)，s2(t)，...，s M(t)构成一个正交集合，则有：

设长为n的编码中码元只取+1和一1，以及x和y是其中的两个码组

则x，y之间的相关系数为：

若码组x和y正交，则：

相关系数的性质：相关系数ρ的取值范围在±1之间，即有-1≤ρ≤1。

若两个码组间的相关系数ρ＜0，则称这两个码组互相超正交；如果一种编码中任意两码组间均超正交，则称这种编码为超正交编码。

2．阿达玛矩阵

哈达玛(Hadamard)矩阵是一种方阵，且仅由元素+1和-1构成。H矩阵各行(或列)是

相互正交的，所以H矩阵是正交方阵。若把其中每一行都看作一个码组，则这些码组也是互相正交的，而整个H矩阵就是一种长为n的正交编码，它包含n个码组。

3．沃尔什函数和沃尔什矩阵

沃尔什函数具有完备正交性，可以用来表示任一波形。若将哈达玛中行的次序按“+1”和“-1”交变次数的多少重新排列，可得到沃尔什(Walsh)矩阵。

二、伪随机序列

伪随机噪声具有类似于随机噪声的某些统计特性，同时又能够重复产生。

1．m序列

m序列是最长线性反馈移位寄存器的简称，它是由带线性反馈的移位寄存器产生的周期最长的序列。

（1）与产生m序列有关的3个方程：

①递推方程：

②特征方程：

③母函数：

用代数方程表示反馈移存器的输出序列{a}，且有f(x)g(x)=h(x)，式中，h(x)为次数低f(x)次数的多项式。

（2）原本多项式

若一个n次多项式f(x)满足下列条件：

①f(x)为既约的；②f(x)可整除(x m+1)，m=2n-1；③f(x)除不尽(x q+1)，q＜m，q＜m；

则称f(x)为本原多项式。

（3）反馈移位寄存器能产生m序列的充要条件：反馈移存器的特征多项式为本原多项式。一个n级线性反馈移位寄存器之相继状态具有周期性，周期为p＜2n-1。

（4）m序列的性质

①均衡性：在m序列的一个周期中“1”和“0’的数目基本相等。

②游程分布：在m序列中，长度为k的游程占游程总数的2-k，1＜k≤n-l，在长度为k，1＜k≤n－2的游程中，连“1”的游程和连“0”的游程各占一半。

③移位相加特性：一个m序列M p与其经过任意次迟延移位产生的另一不同序列M r 模2相加，得到的仍是M p的某次迟延移位序列M s，即。

④自相关函数：m序列的自相关函数为：

⑤伪噪声特性：由于m序列的均衡性、游程分布、自相关特性和功率谱等与随机序列的性质相似，所以常认为m序列属于伪噪声序列或伪随机序列。

2．M序列

由非线性反馈移存器产生的周期最长的序列简称为M序列。其最长周期可达2n。M序列具有和m序列类似的均衡性和游程分布特性，但不具有m序列的移位相加特性及双值自相关特性。其最主要的优点是数量大，即同样级数π的移存器能够产生的平移不等价M序列，总数比m序列大得多，且随n的增大迅速增加。

三、扩展频率普通信

扩展频谱是指将信号的频谱扩展至占用很宽的频带，简称扩频。

1．扩频技术的分类

（1）直接序列扩频：用一段伪随机序列（又称为伪码）表示一个信息码元，对载波进行调制。伪码的一个单元称为一个码片。

（2）跳频：使发射机的载波在一个信息码元的时间内，按照预定的规律，离散地快速跳变，从而达到扩频的目的。载频跳变的规律一般也是由伪码控制的。

（3）线性调频：载频在一个信息码元时间内在一个宽的频段中线性地变化，从而使信号带宽得到扩展。

2．扩频的目的

（1）提高抗窄带干扰的能力，例如敌对电台的有意干扰；（2）防止窃听；（3）提高抗多径传输效应的能力；（4）使多个用户可以共用同一频带；（5）提供测距能力。

四、伪随机序列的其他应用

伪随机序列可用于误码率测量、时延测量、噪声发生器、通信加密、数据序列的扰乱与解扰、扩展频谱通信以及分离多径等方面。

12.2课后习题详解

【12-1】一个3级线性反馈移存器，已知其特征方程为f(x)=1+x 2+x 3，试验证它为本原多项式。

证明

（1）23

1f (x )x x =++的最高次幂为3，且无法继续因式分解，故f(x)是既约的；（2）令3

217m =-=，有7432231111m x x x x x f (x )x x +-==+++++即f(x)能整除1m

x +；

（3）经验证，1q x +（其中q m <）都不能被f(x)整除。

综上，231f (x )x x =++是本原多项式。【12-2】已知3级线性反馈移存器的原始状态为111，试写出两种m 序列的输出序列。解：三级线性反馈移存器的生成多项式有两种情况：

（1）本原多项式32

1f (x )x x =++，此时线性反馈移存器如图12.1所示：

图12.1

其工作状态如下：

则原始状态为111时，其输出序列为：11110010。

（2）本原多项式3

1f (x )x x =++，此时线性反馈移存器如图12.2所示：

图12.2

其工作状态如下：

则原始状态为111时，其输出序列为：11110100。

【12-3】一个4级线性反馈移存器的特征方程为f(x)=x 4+x 3+x 2+x+1，试证明由它所产生的序列不是m 序列。