最新选修4-4坐标系与参数方程-知识点总结

坐标系与参数方程 知识点

(一)坐标系

1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点(,)P x y 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)

x x

y y

λλϕμμ'=>⎧⎨

'=>⎩g g 的作用下,点(,)

P x y 对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.

2.极坐标系的概念

(1)极坐标系

如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.

注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标

系都是平面坐标系.

(2)极坐标

设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.

一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有

无数种表示.

如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标

(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.

3.极坐标和直角坐标的互化

(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:

(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐

标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:

点M

直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ

互化公式

cos sin x y ρθ

ρθ=⎧⎨

=⎩

222

tan (0)

x y y

x x ρθ⎧=+⎪

⎨=≠⎪⎩

在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角.

4.常见曲线的极坐标方程

曲线

图形

极坐标方程

圆心在极点,半径为r 的圆

(02)r ρθπ=≤<

圆心为(,0)r ,半径为r 的圆

2cos ()2

2

r π

π

ρθθ=-

≤<

圆心为(,

)2

r π

,半径为r 的圆

2sin (0)r ρθθπ=≤<

圆心为(,

)2

r π

,半径为r 的圆

2sin (0)r ρθθπ=≤<

过极点,倾斜角为α的直线

(1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或

(2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和

过点(,0)a ,与极轴垂直的直线

cos ()2

2

a π

π

ρθθ=-

<<

过点(,)2

a π

,与极轴平行的直

线

sin (0)a ρθθπ=<<

注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(

,)44

M ππ

可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=. 5.圆与直线一般极坐标方程

（1）圆的极坐标方程

若圆的圆心为 00(,)M ρθ，半径为r ，求圆的极坐标方程。 设(,)P ρθ为圆上任意一点，由余弦定理，得 PM 2 = OM 2 +OP 2 −2OM·OPcos ∠POM ， 则圆的极坐标方程是：

()222

0002cos r ρρρρθθ=+--

（2）直线的极坐标方程

若直线l 经过点00(,)M ρθ，且极轴到此直线的角为α ，求直线l 的极坐标方程。

设直线l 上任意一点的坐标为P(ρ，θ)，由正弦定理，得：

OP sin ∠OMP = OM

sin ∠OPM

整理得直线l 的极坐标方程为

()()00sin sin ρθαρθα-=-

6、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为)0(>a ： ⑴a =ρ ⑵θρcos 2a = ⑶θρcos 2a -=

⑷θρsin 2a = ⑸ θρsin 2a -= ⑹)cos(2ϕθρ-=a

6、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为： ⑴0ϕθ= ⑵cos a ρθ= ⑶cos a ρθ=- ⑷sin a ρθ= ⑸sin a ρθ=- ⑹)

cos(ϕθρ-=a

θ

ρcos 2a =

图2

θ

ρsin 2a =图4

θ

ρsin 2

a -=

M

图5θ

ρcos 2a -=

a

=ρ

图1

)

cos(2ϕθρ-=a

图6

ϕ

θ=

θ

ρcos a

=

θ

ρcos a -

=图4

a

图5