高中数学直线与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析)
高中直线与方程练习题及讲解
高中直线与方程练习题及讲解### 高中直线与方程练习题及讲解题目一：直线方程的求解题目描述：已知点A(2,3)和点B(-1,-2)，求经过这两点的直线方程。
解题步骤：1. 首先，我们需要找到直线的斜率。
斜率公式为 \( k = \frac{y_2- y_1}{x_2 - x_1} \)。
2. 将点A和点B的坐标代入公式，得到 \( k = \frac{-2 - 3}{-1 - 2} = \frac{-5}{-3} = \frac{5}{3} \)。
3. 有了斜率，我们可以使用点斜式方程 \( y - y_1 = k(x - x_1) \) 来写出直线方程。
选择点A代入，得到 \( y - 3 = \frac{5}{3}(x - 2) \)。
4. 最后，将方程化为一般形式 \( Ax + By + C = 0 \)，得到 \( 5x - 3y + 1 = 0 \)。
题目二：直线的平行与垂直题目描述：已知直线 \( l_1: 3x - 4y + 5 = 0 \)，求与 \( l_1 \) 平行且与直线 \( 2x + y - 7 = 0 \) 垂直的直线方程。
解题步骤：1. 平行直线的斜率相同，所以 \( l_1 \) 的斜率为 \( k =\frac{3}{4} \)。
2. 垂直直线的斜率互为相反数的倒数，因此 \( l_1 \) 垂直的直线斜率为 \( -\frac{4}{3} \)。
3. 利用点斜式方程，我们可以选择直线 \( l_1 \) 上的一点，比如\( (0, 5/4) \)，代入 \( y - y_1 = k(x - x_1) \)，得到 \( y - \frac{5}{4} = -\frac{4}{3}(x - 0) \)。
4. 将方程化为一般形式，得到 \( 4x + 3y - 15 = 0 \)。
题目三：直线的交点题目描述：求直线 \( l_1: 2x + 3y - 6 = 0 \) 与直线 \( l_2: x - y + 1 = 0 \) 的交点坐标。
直线与方程知识点与练习试题
直线与方程【知识点一：直线的方程】 （1）直线方程的几种形式（2）线段的中点坐标公式121122,(,),(,)P P x y x y 若点的坐标分别是，1212122(,)2x x x PP M x y y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩且线段的中点的坐标为 【知识点二：直线平行与垂直】（1）两条直线平行：对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有2121 // k k l l =⇔特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行（2）两条直线垂直：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则有1- 2121=⋅⇔⊥k k l l 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直；反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。
如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直.【知识点三 直线的交点坐标与距离】 （1）两条直线的交点设两条直线的方程是1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++=两条直线的交点坐标就是方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解。
①若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标； ②若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行. （2）几种距离两点间的距离：平面上的两点111222(,),(,)P x y P x y 间的距离公式12||PP =特别地，原点(0,0)O 与任一点(,)P x y的距离||OP =点到直线的距离：点00(,)o P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =两条平行线间的距离：两条平行线1200Ax By C Ax By C ++=++=与间的距离d =一、疑难辨析判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．直线的倾斜角越大，其斜率越大．( )2．斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1，不适用于垂直于x 轴和平行于x 轴的直线．( )3．当直线的斜率不存在时，其倾斜角存在．( )4．过点P (x 1，y 1)的直线方程一定可设为y －y 1＝k (x －x 1)．( ) 5．直线方程的截距式x a ＋yb ＝1中，a ，b 均应大于0.( ) 二、选择题1．已知直线l 的斜率为－33，那么直线l 的倾斜角是( ) A ．60° B ．120° C ．30° D ．150°2直线l 经过原点O 和点P (－1，－1)，则它的倾斜角是( )A ．45°B ．135°C ．135°或225°D ．0°3过点M (－2，m )，N(m ，4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A ．1B ．4C ．1或3D ．1或44直线l 过点A (1，2)且不过第四象限，那么直线l 的斜率的取值范围为( )A ．[0，2]B ．(0，2)C ．⎣⎡⎦⎤0，12D ．⎝⎛⎭⎫0，12 5.中直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则 ( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 26经过点(1，3)且斜率不存在的直线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝3C ．y ＝1D ．y ＝3 7．已知点A (－3，4)和B (0，b )，且|AB |＝5，则b 等于( )A ．0或8B ．0或－8C ．0或6D ．0或－6 8将方程3x －2y ＋1＝0化成斜截式方程为( )A ．y ＝23x ＋12B ．y ＝32x ＋12C ．y ＝32x ＋1D ．y ＝23x ＋19直线l 过点(－1，2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0直线l 过点(－1，2)且与直线2x －3y ＋4＝0平行，则l 的方程是10直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx ＋y －a ＝0(ab ≠0)的图象只可能是( )11已知A (2，0)，B (3，3)，直线l ∥AB ，则直线l 的斜率k ＝( )A ．－3B ．3C ．－13D ．1312已知直线l 1的斜率为0，且l 1⊥l 2，则l 2的倾斜角为( ) A ．0° B ．135° C ．90° D ．180°13点P(2，5)关于直线x＋y＝0的对称点的坐标是()A．(5，2) B．(2，5)C．(－5，－2) D．(－2，5)14．经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线方程是()A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝0三填空题15已知l1⊥l2，直线l1的倾斜角为60°，则直线l2的倾斜角为________．16直线l的方程为y－m＝(m－1)(x＋1)，若l在y轴上的截距为7，则m＝________．17倾斜角为30°，且过点(0，2)的直线的斜截式方程为________．18已知直线l1过点P(2，1)且与直线l2：y＝x＋1垂直，则l1的点斜式方程为________．19．直线y＝kx＋2(k∈R)不过第三象限，则斜率k的取值范围是________．20.直角坐标平面上连接点(－2，5)和点M的线段的中点是(1，0)，那么点M到原点的距离为________．21.方程mx＋(m2＋m)y＋4＝0表示一条直线，则实数m≠________．22．已知直线l1过点A(－2，3)，B(4，m)，直线l2过点M(1，0)，N(0，m－4)，若l1⊥l2，则常数m的值是____________．四、解答题23经过两条直线2x－3y＋10＝0和3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线3x－2y＋4＝0的直线的方程为________．24．已知A(1，－1)，B(2，2)，C(3，0)三点，求点D的坐标，使直线CD⊥AB，且CB∥A D．限时训练1.（2，1)，B (3，－1)两点连线的斜率为( )A ．－2B ．－12C ．12D ．22．直线y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为( )A ．12B ．－12C ．23D ．－233.直线y ＝－2x －1的斜率与纵截距分别为( )A ．－2，－1B ．2，－1C ．－2，1D ．2，14若过两点P (6，m )和Q(m ，3)的直线与斜率为12的直线M N 平行，则m 的值为( )A ．5B ．4C ．9D ．05经过两条直线2x －3y ＋10＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线的方程为________．。
(完整版)高一数学直线方程知识点归纳及典型例题
直线的一般式方程及综合【学习目标】1．掌握直线的一般式方程；2．能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同样形式的方程在表示直线时的异同之处；3．能利用直线的一般式方程解决有关问题. 【要点梳理】要点一：直线方程的一般式关于 x 和 y 的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为 Ax+By+C=0 ，这个方程 (其中 A 、B 不全为零 )叫做直线方程的一般式．要点讲解：1．A 、 B 不全为零才能表示一条直线，若 A 、 B 全为零则不能够表示一条直线 .当 B ≠0时，方程可变形为 yA x C ，它表示过点 0,C，斜率为A的直线．B BBB当 B=0 ， A ≠0时，方程可变形为Ax+C=0 ，即 xCx 轴垂直的直线．，它表示一条与A由上可知，关于 x 、 y 的二元一次方程，它都表示一条直线．2．在平面直角坐标系中，一个关于x 、y 的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于 x 、y 的一次方程 （如斜率为 2，在 y 轴上的截距为 1 的直线，其方程能够是 2x ―y+1=0 ，也能够是 x 1 y 1 0 ，还可以够是 4x ― 2y+2=0等．）2 2要点二：直线方程的不同样形式间的关系 直线方程的五种形式的比较以下表：名称方程的形式 常数的几何意义适用范围 点斜式y ―y（ x 1， y 1）是直线上必然点， k 是斜率 不垂直于 x 轴1=k(x ―x 1)斜截式y=kx+bk 是斜率， b 是直线在 y 轴上的截距不垂直于 x 轴 两点式y y 1 x x 1 （ x 1， y 1 ），（x 2 ，y 2）是直线上两定点不垂直于 x 轴和 y 轴y 2 y 1x 2x 1截距式x y a 是直线在 x 轴上的非零截距，b 是直不垂直于 x 轴和 y 轴，a1线在 y 轴上的非零截距b且但是原点 一般式Ax+By+C=0 （ A 2+B 2≠0） A 、B 、 C 为系数任何地址的直线要点讲解：在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求 直 线 存 在 斜 率 ， 两 点 式 是 点 斜 式 的 特 例 ， 其 限 制 条 件 更 多 （ x 1≠x 2， y 1 ≠y 2）， 应 用 时 若 采 用 (y 2―y 1)(x ―x 1) ― (x 2―x 1)(y ―y 1)=0 的形式，即可除掉限制性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，第一要判断可否满足 “直线在两坐标轴上的截距存在且不为零 ”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同样，获取的 方程也不同样．要点三：直线方程的综合应用1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．2．依照题目所给条件，选择合适的直线方程的形式，求出直线方程．关于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同样，考虑的方向也不同样．（ 1）从斜截式考虑已知直线 l 1 : y k 1 x b 1 , l 2: y k 2 x b 2 ,l 1 // l 2 1 2k 1 k 2 (b 1 b 2 ) ；l 1 l 2tancot1 k 1k 211212k 12k 2于是与直线 y kx b 平行的直线能够设为 ykx b 1 ；垂直的直线能够设为y1 x b2 ． （ 2）从一般式考虑：kl 1 : A 1x B 1 y C 1 0, l 2 : A 2 x B 2 y C 2l 1 l 2 A 1 A 2 B 1B 2l 1 // l 2A 1B 2 A 2B 1 0且 A 1C 2 A 2C 1 0 或 B 1C 2 B 2C 1 0 ，记忆式（ A 1 B 1C1 ）A 2B 2C 2l 1 与 l 2 重合， A 1B 2 A 2 B 1 0 ， A 1C 2 A 2C 1 0 ， B 1C 2 B 2C 1 0于 是 与 直 线 Ax By C 0 平 行 的 直 线 可 以 设 为 AxBy D 0 ； 垂 直 的 直 线 可 以 设 为Bx Ay D0 .【典型例题】种类一：直线的一般式方程例 1．依照以下条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．1 （1）斜率是，经过点 A （ 8， ―2）；2（2）经过点 B （ 4， 2），平行于 x 轴；（3）在 x 轴和 y 轴上的截距分别是3，―3；2（4）经过两点 P 1（ 3，―2）， P 2（ 5， ―4）．【答案】（ 1） x+2y ―4=0 （ 2） y ―2=0 （ 3） 2x ―y ―3=0 （ 4） x y 1 0【剖析】（ 1）由点斜式方程得 y( 2)1( x 8) ，化成一般式得 x+2y ― 4=0．2（2）由斜截式得 y=2，化为一般式得 y ―2=0 ．（3）由截距式得xy1 ，化成一般式得 2x ―y ―3=0 ．3 32（4）由两点式得y 2x3，化成一般式方程为x y 1 0 ．4 ( 2)5 3【总结升华】本题主若是让学生领悟直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转变，关于直线方程的一般式，一般作以下约定： x 的系数为正， x ，y 的系数及常数项一般不出现分数，一般按含 x 项、 y 项、常数项序次排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式．贯穿交融：【变式 1】已知直线 l 经过点 B(3, 1) ，且倾斜角是 30 ，求直线的点斜式方程和一般式方程.【答案】 y 13(x3) 3x 3y3 3 3 03【剖析】由于直线倾斜角是30 ，所以直线的斜率 ktantan 303 ，所以直线的点斜式方程3为： y 13(x 3) ，化成一般式方程为：3x 3 y 3 3 30 .3例 2． ABC 的一个极点为 A( 1, 4) ， B 、 C 的均分线在直线y 1 0和 x y 10 上，求直线 BC 的方程 .【答案】 x 2 y3 0【剖析】由角均分线的性质知，角均分线上的任意一点到角两边的距离相等，所以可得 A 点关于B 的均分线的对称点 A ' 在 BC 上， B 点关于C 的均分线的对称点 B ' 也在 BC 上．写出直线 A ' B ' 的方程，即为直线 BC 的方程 .例 3．求与直线 3x+4y+1=0 平行且过点（ 1， 2）的直线 l 的方程．【答案】 3x+4y ―11=0 【剖析】解法一：设直线l 的斜率为 k ，∵ l 与直线 3x+4y+1=0 平行，∴ k3 ．4又∵ l 经过点（ 1， 2），可得所求直线方程为 y 23(x 1) ，即 3x+4y ― 11=0．4解法二：设与直线 3x+4y+1=0 平行的直线 l 的方程为 3x+4y+m=0 ，∵ l 经过点（ 1， 2），∴ 3×1+4×2+m=0 ，解得 m=―11 ．∴所求直线方程为 3x+4y ―11=0 ．【总结升华】（ 1）一般地， 直线 Ax+By+C=0 中系数 A 、B 确定直线的斜率， 所以，与直线 Ax+By+C=0平行的直线可设为 Ax+By+m=0 ，这是常采用的解题技巧．我们称 Ax+By+m=0 是与直线 Ax+By+C=0 平行的直线系方程．参数m 能够取 m ≠C 的任意实数，这样就获取无数条与直线Ax+By+C=0平行的直线．当m=C 时， Ax+By+m=0 与 Ax+By+C=0 重合．（2）一般地，经过点 A （x 0 ，y 0），且与直线 Ax+By+C=0 平行的直线方程为 A(x ―x )+B(y ―y )=0 ．（3）近似地有：与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线系方程为Bx ―Ay+m=0 （ A ， B 不同样时为零） ．贯穿交融：【变式 1】已知直线 l 1 ： 3mx+8y+3m-10=0 和 l 2 ：x+6my-4=0 . 问 m 为何值时 :（1） l 1 与 l 2 平行（ 2） l 1 与 l 2 垂直 . 【答案】（ 1） m2 （ 2） m3【剖析】当 m0 时， l 1 ： 8y-10=0 ； l 2 ： x-4=0 ， l 1 l 2当 m 0 时， l 1 ： y3m 10 3m： y 1x4x 8 ； l 2 6m86m由 3m1 ，得 m2 ，由 10 3m 4 得 m 2 或 886m38 6m 3 3 而 (3m ) ( 1 ) 1无解8 6m2综上所述（ 1） m， l 1 与 l 2 平行．（ 2） m 0 ， l 1 与 l 2 垂直．3【变式 2】 求经过点 A （ 2， 1），且与直线 2x+y ―10=0 垂直的直线 l 的方程． 【答案】 x － 2y=0【剖析】由于直线 l 与直线 2x+y ―10=0 垂直，可设直线 l 的方程为 x 2y m 0 ，把点 A （2，1）代入直线 l 的方程得： m0 ，所以直线 l 的方程为： x －2y=0 ．种类二：直线与坐标轴形成三角形问题例 4．已知直线 l 的倾斜角的正弦值为3，且它与坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线 l 的方程．5【思路点拨】知道直线的倾斜角就能求出斜率，进而引进参数—— 直线在 y 轴上的截距 b ，再依照直线与坐标轴围成的三角形的面积为 6，即可求出 b ．也能够依照直线与坐标轴围成的三角形的面积为6，设截距式直线方程，进而得出1| ab | 6 ，再依照它的斜率已知，进而获取关于a ，b 的方程组，解之即可．3 x23 x【答案】 y3 或 y 344【剖析】解法一：设 l 的倾斜角为，由 sin33，得 tan．3544设 l 的方程为yx b ，令 y=0，得 x4 b ．3∴直线 l 与 x 轴、 y 轴的交点分别为 4 ，（ 0，b ）．b,03∴ S1 4b | b | 2b 2 6 ，即 b 2=9，∴ b=±3．23 3故所求的直线方程分别为y 3 x 3 或 y3 x 3 ．44解法二：设直线l 的方程为xy 1，倾斜角为，由 sin3 ，得 tan3 ．a b541| a | | b |6a 4∴2b3 ，解得．b 3a4故所求的直线方程为x y 1或 xy 1．4 3 4 3【总结升华】（ 1）本例中，由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关） ，所以可选择斜截式直线方程，也可采用截距式直线方程，故有“题目决定解法 ”之说．（2）在求直线方程时，要合适地选择方程的形式，每种形式都拥有特定的结论，所以依照已知条件恰 当地选择方程的种类经常有助于问题的解决．比方：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，平时采用点 斜式，再由其他条件确定该直线在y 轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的种类后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特别情况的谈论，省得遗漏．贯穿交融：【变式 1】（ 2015 春 启东市期中）已知直线m ： 2x ― y ―3=0 ， n ：x+y ―3=0 ．（ 1）求过两直线 m ，n 交点且与直线 l ： x+2y ―1=0 平行的直线方程； （2）求过两直线 m ， n 交点且与两坐标轴围成面积为4 的直线方程．【思路点拨】（ 1）求过两直线 m ， n 交点坐标，结合直线平行的斜率关系即可求与直线l ： x+2y ―1=0平行的直线方程；（ 2）设出直线方程，求出直线和坐标轴的交点坐标，结合三角形的面积公式进行求解即可．【答案】（ 1） x+2y ―4=0 ；（ 2）2x y 3 0 x 2 【剖析】（ 1）由y3 ，解得y，x 01即两直线 m ， n 交点坐标为（ 2， 1），设与直线 l ： x+2y ―1=0 平行的直线方程为 x+2y+c=0 ，则 2+2×1+c=0，解得 c=―4， 则对应的直线方程为 x+2y ―4=0 ；（2）设过（ 2， 1）的直线斜率为 k ，（ k ≠0），则对应的直线方程为 y ―1= k(x ―2) ，令 x=0， y=1―2k ，即与 y 轴的交点坐标为 A （ 0， 1―2k ） 令 y=0，则 x2 1 2k 1 ，即与 x 轴的交点坐标为 B(2k 1,0) ，k kk 则△AOB 的面积 S1 | 2k 1||1 2k | 4 ，2 k即 (2k 1)2 8 k ，即 4k 24k 8 k1 0 ，若 k ＞ 0，则方程等价为 4k 212k1 0 ，解得 k3 2 2或 k 3 2 2 ，22若 k ＜ 0，则方程等价为 4k 24k1 0 ，解得 k1 ．2综上直线的方程为y 11( x 2) ，或 y 13 2 2 ( x 2) ，或 y 13 2 2( x 2)222即 y1 x2 ，或 y3 2 23 2 2x 2 2 22 x 2 2 2 ，或 y22种类三：直线方程的本质应用例 6．（ 2015 春 湖北期末）光辉从点 A （ 2，3）射出，若镜面的地址在直线 l ： x+y+1=0 上，反射光辉经过 B （ 1， 1），求入射光辉和反射光辉所在直线的方程，并求光辉从 A 到 B 所走过的路线长．【思路点拨】求出点 A 关于 l 的对称点，就可以求出反射光辉的方程，进一步求得入射点的坐标，从而可求入射光辉方程，可求光辉从A 到B 所走过的路线长．【答案】 41【剖析】设点 A 关于 l 的对称点 A ＇（ x 0， y 0），x 0 2 y 0 3 1 0 x 04∵AA ＇被 l 垂直均分，∴2 2 ，解得y 0 3y 03x 0 12∵点 A ＇（―4， ―3）， B （1， 1）在反射光辉所在直线上， ∴反射光辉的方程为y 3 x4，即 4x ―5y+1=0，1 3 1 44x 5y 1 0( 2 ,1) ． 解方程组x y 10 得入射点的坐标为3 3y 1x 2由入射点及点 A 的坐标得入射光辉方程为3 3，即 5x ―4y+2=0 ，31 2 233光辉从 A 到 B 所走过的路线长为 | A' B |( 4 1)2 ( 3 1)241 ．【总结升华】本题要点观察点关于直线的对称问题，观察入射光辉和反射光辉，解题的要点是利用对称点的连结被对称轴垂直均分．线 贯穿交融：【变式 1】（ 2016 春 福建厦门期中）一条光辉从点 A （－ 4，－ 2）射出，到直线y=x 反射到 y 轴上的 C 点，又被 y 轴反射，这时反射光辉恰好过点 D （－ 1，6）．求 【答案】 10x － 3y+8=0【剖析】如图， A （－ 4，－ 2）， D （－ 1，6），y=x 上的 B 点后被直BC 所在直线的方程．由对称性求得 A （－ 4，－ 2）关于直线 y=x 的对称点 A ＇（－ 2，－ 4）， D 关于 y 轴的对称点 D ＇（ 1， 6），则由入射光辉和反射光辉的性质可得：过 A ＇ D ＇的直线方程即为 BC 所在直线的方程．由直线方程的两点式得： y 4 x 2 ． 整理得： 10x － 3y+8=0 ．64 1 2例 7．如图，某房地产公司要在荒地ABCDE 上划出一块长方形土地（不改变方向）建筑一幢8 层的公寓，如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积．（精确到 1 m 2）【答案】 6017【剖析】建立坐标系，则 B （ 30， 0）， A （ 0， 20）．∴由直线的截距方程获取线段AB 的方程为x y 1 （0≤ x ≤ ）30．30 202x ． 设点 P 的坐标为（ x ， y ），则有 y203∴公寓的占地面积为S (100 x) (80y) (100 x) (80 20 2x)2 x 2 20 x 6000 （0≤ x ≤ ）30．3 3 3 ∴当 x=5 ， y50 时， S 取最大值，最大值为 S2 52 20 5 6000 6017(m 2 ) ．333即当点 P 的坐标为 (5,50) 时，公寓占地面积最大，最大面积为6017 m 2．3P 的地址由两个条件确定，一是 A 、 P 、 B 三点共线，【总结升华】本题是用坐标法解决生活问题，点 二是矩形的面积最大．借三点共线追求x 与 y 的关系，利用二次函数知识研究最大值是办理这类问题常用的方法．。
必修二第三章直线与方程知识点总结及练习(答案)
必修二第三章直线与方程（1）直线的倾斜角定义： x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时 , 我们规定它的倾斜角为0 度。
所以，倾斜角的取值范围是0°≤α＜ 180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用 k 表示。
即k tan。
斜率反应直线与轴的倾斜程度。
当直线 l与 x 轴平行或重合时 ,α =0° , k = tan0° =0;当直线 l与 x 轴垂直时 ,α = 90 ° , k不存在 .当0,90 时，k 0；当90 ,180时， k 0 ；当90时， k 不存在。
②过两点的直线的斜率公式： k y2y1 (x1x2 )（ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠ x2 ）x2x1注意下边四点： (1)当 x1x2时，公式右侧无心义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k 与 P1、 P2的次序没关；(3)此后求斜率可不经过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率获得。
（3）直线方程①点斜式：y y1k( x x1 ) 直线斜率k，且过点x1, y1注意：当直线的斜率为= 0°时， k=0，直线的方程是y y1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不可以用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x ，所以它的方程是x=x 。
11②斜截式：y kx b ，直线斜率为k，直线在 y 轴上的截距为b③两点式：y y1x x1（ x1 x2 , y1y2）直线两点x1, y1，x2, y2y2y1x2x1④截矩式：xy 1 此中直线l与 x 轴交于点 (a,0) ,与y轴交于点 (0,b) ,即l与 x 轴、y轴a b的截距分别为 a,b 。
高中数学直线与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析)
高中数学直线与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析) 知识点：一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k 表示。
即。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
tan k α=当时，； 当时，； 当时，不存[) 90,0∈α0≥k () 180,90∈α0<k 90=αk 在。
②过两点的直线的斜率公式： )(211212x x x x y y k ≠--=注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；21x x =(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程①点斜式：直线斜率k ，且过点)(11x x k y y -=-()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。
②斜截式：，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为bb kx y +=③两点式：（）直线两点，112121y y x x y y x x --=--1212,x x y y ≠≠()11,y x ()22,y x ④截矩式：1x y a b+=其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。
l x (,0)a y (0,)b l x y ,a b ⑤一般式：（A ，B 不全为0）0=++C By Ax 注意：各式的适用范围 特殊的方程如：○1○2平行于x 轴的直线：（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：（a 为常数）；b y =a x =（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线（是不全为0的常数）的直线系：0000=++C y B x A 00,B A （C 为常数）000=++C y B x A （二）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k 的直线系：，直线过定点；()00x x k y y -=-()00,y x （ⅱ）过两条直线，的交点的直线系方程0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 为（为参数），其中直线不在直线系中。
高二数学直线的方程知识点及习题
直线的方程知识点及习题知识点一 直线的点斜式方程1．方程()00y y k x x -=-由直线上一定点及其斜率确定，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．适用于斜率存在的直线．2．如果直线过点()000,P x y ，且与y 轴垂直，这时倾斜角为0︒，tan 00︒=，即0k =，由点斜式，得直线方程为0y y =，如图3．2-1．3．如果直线过点()000,P x y ，且与x 轴垂直，此时它的倾斜角为90︒（直线与y 轴平行或重合），斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时直线方程表示为0x x =，如图3．2-2．知识点二 直线的点斜式方程（1）我们把直线l 与y 轴交点()0,b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距．若直线l 的斜率为k ，且在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为()0y b k x -=-，即y kx b =+，这个方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．（2）斜截式与一次函数的解析式相同，都是y kx b =+的形式，但有区别，当0k ≠时，y kx b =+即为一次函数；当0k =时，y b =不是一次函数，一次函数y kx b =+()0k ≠必是一条直线的斜截式方程． 例1.已知直线y kx b =+，当34x -≤≤时，813y -≤≤.求此直线方程.（3）截距①直线的斜截式方程是由点斜式推导而来的．直线与y 轴的交点()0,b 的纵坐标b 称为此直线的纵截距．值得强调的是，截距可能是正数，也可能是负数，还可能是0，不能将其理解为“距离”而恒为非负数．②直线与x 轴的交点(),0a 的横坐标a 称为此直线的横截距．并不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线1x =没有纵截距，直线2y =没有横截距．练习（1）直线123y x =-+的斜率是_________，在y 轴上的截距是________，在x 轴上的截距是_________；（2）倾斜角为60︒，在y 轴上的截距为3的直线方程是_________．例2 已知直线1l 的方程为23y x =-+，2l 的方程为42y x =-，直线l 与1l 平行且与2l 在y 轴上的截距相同，求直线l 的斜截式方程．练习,.已知直线l 过点(1,2)和(,)a b ，求其方程.本题常见的错误是没有对a 进行分类讨论，而是直接利用斜率公式求斜率，然后套用点斜式写直线方程.在利用点斜式或斜截式求直线方程时，要注意直线方程的点斜式00()y y k x x -=-和斜截式y kx b =+都是斜率k 存在的前提下才能使用的，要认真分析，避免遗漏.1. 直线的两点式方程的定义212y y y y --=121x x x x --就是经过两点111222(,),(,)p x y p x y (其中1212,x x y y ≠≠)的直线方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式.2.若点12,p p 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，是线段12p p 的中点M 的坐标为(,),x y 则有中点坐标公式：121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩.例3：已知三角形的三个顶点分别为(6,7),(2,3),(2,1)A B C --,求AC 边上的中线所在的直线方程.3 直线的截距式方程直线与x 轴的交点(,0)a 的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距，若此时直线在y 轴上的截距为b ，则直线的方程为1(0),x yab a b+=≠此方程由直线在两个坐标轴上的截距a 与b 确定，所以叫做直线的截距式方程. 求截距的方法在直线l 的方程中，令0x =，解出y 的直线，即得直线l 在y 轴上的截距.令y 0=，解出x 的值，即得出直线l 在x 轴上的截距.例4：求过点A (1,1)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.4 直线的一般式方程1.定义在平面直角坐标系中，每一条直线都可以用一个关于,x y 的二元一次方程表示，每一个关于,x y 的二元一次方程都表示一条直线，我们把关于,x y 的二元一次方程Ax +0By C +=（其中A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式. 2.适用范围在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示. 3.几何意义（1）当0B ≠时，A k B -=（斜率），C b B -=（y 轴上的截距）； （2）当0A ≠时，Ca A-=（x 轴上的截距）.例5.根据条件写出直线方程，并化成一般式. （1(5,3)A ； （2）在,x y 轴上的截距分别是3,1--.5直线过定点问题例5.已知直线:5530l ax y a --+=.（1）求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； （2）为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围.6解决与面积、周长有关的问题例6.直线过点4(,2)3P ，且与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴分别交与,A B 两点，O 为坐标原点，是否存在这样的直线能同时满足以下条件：①AOB ∆的周长为12；②AOB ∆的面积为6.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.课堂练习1.已知直线方程34)y x -=-，则这条直线经过的定点和倾斜角分别 （ ） A.(4,3),60︒ B.(3,4),30--︒ C.(4,3),30︒ D.(4,3),60--︒2.若直线(32)6y t x =--不经过第一象限，则t 的取值范围为 .3.已知直线12y x k =+与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k 的取值范围是 . 4.若直线l 的倾斜角是直线1y x =+的倾斜角的2倍，且过定点(3,3)P ，则直线l 的方程为 . 5．若三条直线0,0,3x y x y x ay +=-=+=构成三角形，则a 的取值范围是（ ） A.1a ≠± B.1,2a a ≠≠ C.2a ≠ D.1,2a a ≠±≠6．若直线350mx y +-=经过连接点(1,2),(3,4)A B --的线段的中点，则m = . 7．ABC ∆的三个顶点分别为(0,4),(2,6),(8,0)A B C --. 求：（1）边AC 所在直线的直线方程； （2）AC 边上的中线BD 所在直线方程.直线方程练习题一、选择题1．已知点)1,0(-M ，点N 在直线01=+-y x 上，若直线MN 垂直于直线032=-+y x ， 则点N 的坐标是（ ）A ．)1,2(--B ．)3,2(C ． )1,2(D ．)1,2(- 2．点M ),(b a 与N )1,1(+-a b 关于下列哪种图形对称（ ） A ．直线01=+-y x B ．直线01=--y xC ．点（21,21-） D ．直线0=--+b a y x3．若三条直线l 1：x －y ＝0；l 2：x ＋y －2＝0; l 3：5x －ky －15＝0围成一个三角形，则k 的取 值范围是（ ）A ．k ∈R 且k ±≠5且k ≠1B ．k ∈R 且k ±≠5且k ≠－10C ．k ∈R 且k ±≠1且k ≠0D ．k ∈R 且k ±≠ 54、如果直线(2a +5)x +(a －2)y +4=0与直线(2－a )x +(a +3)y －1=0互相垂直，则a 的值等于（ ） A ． 2 B ．－2 C ．2,－2 D ．2,0,－25、两条直线mx+y －n =0和x+my +1=0互相平行的条件是（ ） A m=1 B m=±1C ⎩⎨⎧-≠=11n m D ⎩⎨⎧≠-=⎩⎨⎧-≠=1111n m n m 或 6、下列说法正确的有（ ）①若两直线斜率相等，则两直线平行； ②若l 1∥l 2，则k 1=k 2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交； ④若两直线斜率都不存在，则两直线平行。
2025届高三数学专题复习：直线方程重难点专题(解析版)
直线的方程重难点专题常考结论及公式结论一：两直线平行与垂直的充要条件若l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2；①l 1∥l 2⇒k 1=k 2⇒≠b 2；②l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.若l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零.①l 1∥l 2⇒A 1A 2=B 1B 2≠C 1C 2；l 1与l 2重合⇒A 1A 2=B 1B 2=C1C 2；②l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0.结论二：到角公式和夹角公式(1)l 1到l 2的角公式①tan α=k 2-k 11+k 2k 1.(l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2,k 1k 2≠-1)；②tan α=A 1B 2-A 2B 1A 1A 2+B 1B 2(l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,A 1A 2+B 1B 2≠0)(2)夹角公式①tan α=k 2-k 11+k 1k 2.(l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2,k 1k 2≠-1)；②tan α=A 1B 2-A 2B 1A 1A 2+B 1B 2.(l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,A 1A 2+B 1B 2≠0)直线l 1⊥l 2时，直线l 1与l 2的夹角是π2.结论三：四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为y -y 0=k (x -x 0)(除直线x =x 0)，其中k 是待定的系数；经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为A (x -x 0)+B (y -y 0)=0，其中A 、B 是待定的系数.(2)共点直线系方程：经过两直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系方程为l 1:(A 1x +B 1y +C 1)+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0(除l 2)，其中λ是待定的系数.(3)平行直线系方程：直线y =kx +b 中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程.与直线Ax +By +C =0平行的直线系方程是Ax +By +λ=0(λ≠0)，λ是参变量.(4)垂直直线系方程：与直线Ax +By +C =0(A ≠0,B ≠0)垂直的直线系方程是Bx -Ay +λ=0，λ是参变量.结论四：与对称有关的一些结论(1)点P (u ,v )关于点Q (s ,t )的对称点的坐标为：(2s -u ,2t -v )，特别地，点P (u ,v )关于原点的对称点的坐标为：(2×0-u ,2×0-v )，即(-u ,-v ).(2)直线Ax +By +C =0关于点P (-u ,-v )对称的直线的方程为：(2u -x )+B (2v -y )+C =0.(3)直线Ax +By +C =0关于原点、x 轴、y 轴对称的直线的方程分别为：A (-x )+B (-y )+C =0，Ax +B (-y )+C =0，A (-x )+By +C =0.(4)直线Ax +By +C =0关于直线x =u ,y =v 对称的直线的方程分为：A (2u -x )+By +C =0，Ax +B (2v -y )+C =0.(5)曲线f (x ,y )=0关于点P (u ,v )对称的直线的方程为：f (2u -x ,2v -y )=0.(6)点P (s ,t )关于直线Ax +By +C =0的对称点的坐标为：s -2A ∙As +Bt +C A 2+B 2,t -2B ∙As +Bt +CA 2+B2.特别地，当A =B ≠0时，点P (s ,t )关于直线Ax +By +C =0的对称点的坐标为：-Bt +C A,-As +CB .点P (s ,t )关于x 轴、y 轴，直线x =u ，直线y =v 的对称点的坐标分别为(s ,-t ),(-s ,t ),(2u -s ),(s ,2v -t ).题型一直线的倾斜角与斜率关系问题例1.直线x cos θ+y sin θ=0,θ∈0,5π6的斜率的取值范围为()A.-∞,3B.2,+∞C.-∞,0 ∪0,3D.-∞,2【答案】A【分析】求出直线的斜率的表达式，通过角的范围求解斜率的范围即可.【详解】由x cos θ+y sin θ=0,θ∈0,5π6 可得直线的斜率为：k =-cos θsin θ=-1tan θ.因为θ∈0,5π6 ，所以tan θ∈-∞,-33 ∪0,+∞ ,所以k =-1tan θ∈-∞,0 ∪0,3 当θ=π2时，易得k =0。
直线与方程题型总结答案
题型一：重点考查直线的倾斜角)2cos10,2sin10，)2cos130,2sin130，则直线．160【详解】方法一：由斜率和倾斜角关系，利用两点连线斜率公式可得tan 方法二：根据三角函数定义可知,P Q 在圆160QOM +，由此可得倾斜角.的倾斜角为)0180θ≤<，()()33cos10sin10sin 12010sin102sin1302sin10222cos1302cos10cos 12010cos1033cos10sin1022−+−−==−+−−−()()3sin10cos103sin 1030sin 20sin 202tan 20sin 70cos 2033sin 1060sin10cos102−−==−=−=−++tan160.PQ 的倾斜角为160；方法二：由三角函数的定义可知：点,P Q 在圆24x y +=上，如图所示，为直线PQ 与轴的交点，则10，130QOM ∠，120=，又OQ =，30OQM ∴∠，160QOM +∠，∴直线PQ 的倾斜角为160. 160.2023春·安徽合肥·高二统考开学考试）直线y ++ 34π⎤⎡⋃⎥⎢⎦⎣精练核心考点3,24ππ⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎦⎣⎭3,24ππ⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎦⎣⎭3,4ππ⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎦⎣⎭【详解】解：直线l 的斜率为3≤，α∈3,4⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎦⎣⎭ππ. ．（2023·全国·高二专题练习）直线,135︒︒⎤⎦【详解】解：直线x y −，则3x =，直线的斜率不存在，倾斜角为90；1≤，可得为不等于90的倾斜角），90135θ︒<≤综合，倾斜角的取值范围是45︒≤．题型二：重点考查直线的斜率19,6⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭）因为点M 在函数)在线段AB ()19,6⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭，记点16,2P ⎛− ⎝16,2P ⎛⎫− ⎪⎝⎭，所以21y +精练核心考点30，则实数D ．323303=两点的直线的方向向量为题型三：重点考查斜率与倾斜角的变化关系第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（)30,60)30,90 )60,9060,90⎤⎦B【详解】因为直线:l ，直线23x y +()0,2B ;30； 90；)30,90.·全国·高二专题练习）经过点P10PA k −=且直线l 与连接点如下图所示，则tan PA k ≤α∴∈π[0,4故选：B例题3．（精练核心考点2．（2023·全国·高二专题练习）已知坐标平面内三点ABC 的边A ．0,⎡⎢⎣C ．3⎡⎢⎣【答案】D【详解】如图所示，1为ABC 的边BD 斜率k ．（2023·全国·高二专题练习）若实数的取值范围为5,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦题型四：重点考查斜率公式的应用精练核心考点题型五：重点考查由直线与线段相交求直线斜率（倾斜角）范围3,7⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭【详解】解：设过点P 且垂直于当直线l 由位置PA 绕点P 此时，11354725PA k k +≥==+当直线l 由位置PC 绕点P 此时，1254PB k k +≤==精练核心考点1,2⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭1,2⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭题型六：重点考查两直线的平行或垂直关系；方法二：直线1l 的方向向量()6,3AB =−的方向向量(3,6CD =因为0AB CD ⋅=，所以AB CD ⊥，所以5．（2023·全国·高二专题练习）已知两条直线60my +=2)30m x y −+=，当m 为何值时，相交； 平行； 垂直．【答案】(1)m ≠−3；题型七：重点考查直线的方程．（2023·全国·高二专题练习）在ABC中，已知点轴上截距是y轴上截距的3⎫，即(−⎪⎭；题型八：重点考查两直线的交点坐标【详解】三条直线不能构成三角形三条直线相交于同一点S的最小值AOBS最小值为AOB题型九：重点考查两点间的距离公式故选：B.xA B'=所以函数的最小值为故答案为：42精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）已知故选：B2．（2023·全国·高二课堂例题）【答案】32【详解】()2221x x x ++=+()(224824x x x −+=−+=如图，设点(),0A x ，()1,1B −，值．由于AB AC BC +≥，当A ，B 故答案为： 32.3．（2023·全国·高二专题练习）函数为 ．【答案】41【详解】()()219f x x =−+1故答案为：41题型十：重点考查点到直线的距离公式例题2．（2023秋·高二课时练习）求垂直于直线3105的直线l 的方程． 【答案】390x y −+=或3x −【详解】设与直线35x y +−则由点到直线的距离公式知()()2310310⨯−−+−===mm d350y+=.春·上海·高二期中）已知ABC的三个顶点y+=，且60)2,3，所以因此有+24=723+6=0m n m n −−⎧⎨⎩或+24=723+6=0m n m n −−−⎧⎨⎩，解得：=3=4m n ⎧⎨⎩或=3=0m n −⎧⎨⎩， 所以点A 的坐标为：()3,4或()3,0−．题型十一：重点考查两条平行线间的距离公式精练核心考点。
高考数学专题《直线与直线方程》习题含答案解析
专题9.1 直线与直线方程1.（福建高考真题（文））“a=1”是“直线x+y =0和直线x-ay =0互相垂直”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】直线x +y =0和直线x −ay =0互相垂直的充要条件是1×(−a)+1×1=0，即a =1，故选C2．（2020·肥东县综合高中月考（文））点(),P x y 在直线40x y +-=上，O 是坐标原点，则OP 的最小值是（ ） A BC ．D 【答案】C 【解析】原点到直线40x y +-===故选C. 3．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线:1l y =-，则直线l （ ）． A ．过点)2-B C ．倾斜角为60° D ．在y 轴上的截距为1【答案】BC 【分析】根据直线斜截式方程的定义，依次判断，即得解 【详解】 点)2-的坐标不满足方程1y =-，故A 错误；根据斜截式的定义，直线l 的斜率tan k θ=60°，故B ，C 正确； 由1y =-，知直线l 在y 轴上的截距为1-，故D 错误． 故选：BC4．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线:10l x my m -+-=，则下列说法正确的是（ ）． A ．直线l 的斜率可以等于0练基础B ．若直线l 与y 轴的夹角为30°，则m =或m =C ．直线l 恒过点()2,1D ．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则1m =或1m =- 【答案】BD 【分析】讨论0m =和0m ≠时直线的斜率和截距情况，判断AD 的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B 的正误；将方程化为()()110x m y ---=判断直线过定点，判断C 的正误. 【详解】当0m =时，直线:1l x =，斜率不存在， 当0m ≠时，直线l 的斜率为1m，不可能等于0，故A 选项错误； ∵直线l 与y 轴的夹角角为30°，∴直线l 的倾斜角为60°或120°，而直线l 的斜率为1m，∴1tan 60m =︒=1tan120m =︒=m 或m =B 选项正确； 直线l 的方程可化为()()110x m y ---=，所以直线l 过定点()1,1，故C 选项错误； 当0m =时，直线:1l x =，在y 轴上的截距不存在， 当0m ≠时，令0x =，得1m y m-=，令0y =，得1x m =-， 令11m m m-=-，得1m =±，故D 选项正确． 故选：BD ．5．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线l 的方程为20ax by +-=，则下列判断正确的是（ ）．A ．若0ab >，则直线l 的斜率小于0B ．若0b =，0a ≠，则直线l 的倾斜角为90°C ．直线l 可能经过坐标原点D ．若0a =，0b ≠，则直线l 的倾斜角为0° 【答案】ABD 【分析】根据直线方程与斜率，倾斜角的关系，依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于A 选项，若0ab >，则直线l 的斜率0ab-<，A 正确； 对于B 选项，若0b =，0a ≠，则直线l 的方程为2x a=，其倾斜角为90°，B 正确； 对于C 选项，将()0,0代入20ax by +-=中，显然不成立，C 错误； 对于D 选项，若0a =，0b ≠，则直线l 的方程为2y b=，其倾斜角为0°，D 正确． 故选：ABD ．6．（2021·全国高二课时练习）直线3240x y +-=的斜率为______，在x 轴上的截距为______. 【答案】32- 43【分析】将直线转化为斜截式即可得出斜率，令0y =可求出在x 轴上的截距. 【详解】由3240x y +-=，可得322y x =-+，故该直线的斜率32k =-.令0y =，得43x =，所以该直线在x 轴上的截距为43. 故答案为：32-；43.7．（2021·全国）已知直线1:1l y x =+，将直线1l 绕点()1,2按逆时针方向旋转45︒后，所得直线2l 的方程为_______，将直线1l 绕点()1,2按顺时针方向旋转45°后，所得直线3l 的方程为_______．【答案】1x = 2y = 【分析】根据斜率和倾斜角的关系得出直线2l 和直线3l 的斜率再求解其直线方程即可. 【详解】易知直线1l 的斜率为1，倾斜角为45︒，所以直线2l 的倾斜角为90︒，直线3l 的倾斜角为0︒， 又因为直线2l 和直线3l 都经过点()1,2， 所以直线2l 和直线3l 的方程分别为1x =，2y =． 故答案为：1x =；2y =8．（2021·浙江衢州·高二期末）已知直线1l ：3480x y +-=和2l ：320x ay -+=，且12l l //，则实数a =__________，两直线1l 与2l 之间的距离为__________． 【答案】-4； 2 【分析】根据两直线平行斜率相等求解参数即可；运用两平行线间的距离公式计算两直线之间的距离可得出答案. 【详解】解：直线1:3480l x y +-=和2:320l x ay -+=，12l l //， 334a -∴=，解得4a =-； ∴2:3420l x y ++= 两直线1l 与2l间的距离是：2d == .故答案为：4-；2.9.（2020·浙江开学考试）已知直线1l 的方程为3420x y --=，直线2l 的方程为6810x y --=，则直线1l 的斜率为___________，直线1l 与2l 的距离为___________. 【答案】34310【解析】直线1l 的方程为3420x y --=即为3142y x =-，斜率为34. 因为直线2l 的方程为6810x y --=即为13402x y --=， 所以直线1l 与2l 平行，则直线1l 与2l310=.故答案为：34；31010．（2021·抚松县第一中学高二月考）已知A （1，0），B （﹣1，2），直线l ：2x ﹣ay ﹣a ＝0上存在点P ，满足|P A |+|PB |＝a 的取值范围是 ___________． 【答案】2[,2]3-【分析】计算线段AB 的距离，得到点P 的轨迹，将点A ，B 分别代入2x ﹣ay ﹣a ＝0，得到a ，根据题意得到直线l 所过定点Ｃ，求出直线AC ,BC 的斜率，根结合直线l 与线段AB 始终有交点计算出a 的取值范围. 【详解】因为||AB ==||||PA PB += 由图可知，点P 的轨迹为线段AB ，将点A ，B 的坐标分别代入直线l 的方程，可得a ＝2，a ＝23-，由直线l 的方程可化为：2x ﹣a （y +1）＝0，所以直线l 过定点C （0，﹣1）， 画出图形，如图所示：因为直线AC 的斜率为k AC ＝1，直线BC 的斜率为k BC ＝2(1)10----＝﹣3， 所以直线l 的斜率为k ＝2a ，令2123aa⎧≥⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，解得23-≤a ≤2，所以a 的取值范围是[23-，2]．故答案为：[23-，2]．1.（2021·绥德中学高一月考）已知0a >，0b >，直线220ax by -+=恒过点(2-，1)，则14a b+的最小值为（ ） A ．8 B ．9 C ．16 D ．18【答案】B 【分析】利用给定条件可得1a b +=，再借助“1”的妙用即可计算得解. 【详解】因直线220ax by -+=恒过点(2-，1)，则有2220a b --+=，即1a b +=， 又0a >，0b >，则14144()()559b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当4b a a b =，即2b a =时取“=”，练提升由21b a a b =⎧⎨+=⎩得12,33a b ==，所以当12,33a b ==时，14a b+取得最小值9.故选：B2．（2019·四川高考模拟（文））已知点(3,0)P -在动直线(1)(3)0m x n y -+-=上的投影为点M ，若点3(2,)2N ，那么||MN 的最小值为（ ） A ．2 B ．32C ．1D ．12【答案】D 【解析】因为动直线()()130m x n y -+-=方程为，所以该直线过定点Q （1,3）， 所以动点M 在以PQ5,2= 圆心的坐标为3(1,)2-，所以点N3=， 所以MN 的最小值为51322-=.故答案为：D 3．（2019·湖南衡阳市八中高三月考（文））已知直线的倾斜角为且过点，其中，则直线的方程为( )C.【答案】B 【解析】，， 则直线方程为：故选4．（四川高考真题（文））设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线l θ1sin()22l 20y --=40y +-=0x -=360y 122sin πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭1cos 2θ∴=-2 3πθ=tan θ=1y x -=40y +-=B30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB +的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B 【解析】易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||10PA PB AB +==，令,PA PB θθ==，则)4PA PB πθθθ+=+=+.因为0,0PA PB ≥≥，所以02πθ≤≤.sin()14πθ≤+≤PA PB ≤+≤.选B. 法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.5.（2020·浙江）已知点(2,1)M -，直线l 过点M 且与直线210x y -+=平行，则直线l 的方程为____________；点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为_______________. 【答案】240x y -+= (0,1)- 【分析】根据所求直线与直线210x y -+=平行，设方程为()201x y n n -+=≠求解；设点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为(),M x y '，由112211022y x x y -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩求解.【详解】因为所求直线与直线210x y -+=平行， 所以设方程为()201x y n n -+=≠， 因为直线过点(2,1)M -， 代入直线方程解得4n =，所以所求直线方程为：240x y -+=；设点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为(),M x y '， 则112211022y x x y -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩，所以点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为()0.1-故答案为：240x y -+=，(0,1)-6．（2019·黑龙江鹤岗·月考（文））已知直线l 经过点()4,3P ，且与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，O 为坐标原点.（1）若点O 到直线l 的距离为4，求直线l 的方程； （2）求OAB ∆面积的最小值.【答案】（1）7241000x y +-=（2）24 【解析】（1）由题意可设直线l 的方程为()34y k x -=-，即430kx y k --+=，则4d ==，解得724k =-. 故直线l 的方程为774302424x y ⎛⎫---⨯-+= ⎪⎝⎭，即7241000x y +-=. （2）因为直线l 的方程为430kx y k --+=，所以34,0A k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()0,43B k -+， 则OAB ∆的面积为()113194431624222S OA OB k k k k ⎛⎫⎛⎫=⋅=-+⨯-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由题意可知k 0<，则91624k k --≥=（当且仅当34k =-时，等号成立）.故OAB ∆面积的最小值为()12424242⨯+=. 7.（2021·抚松县第一中学高二月考）已知直线l 1：2x +y +3＝0，l 2：x ﹣2y ＝0．(1) 求直线l 1关于x 轴对称的直线l 3的方程，并求l 2与l 3的交点P ； (2)求过点P 且与原点O （0，0）距离等于2的直线m 的方程． 【答案】(1)2x ﹣y +3＝0，P （﹣2，﹣1）；(2) 3x +4y +10＝0或x ＝﹣2. 【分析】(1)由对称关系求直线l 3的方程，联立l 2与l 3的方程，求点P 的坐标，(2)当直线m 的斜率存在时，设直线m 的点斜式方程，由点到直线距离公式列方程求斜率，由此可得直线m 的方程，再检验过点P 的斜率不存在的直线是否满足要求. 【详解】(1)由题意，直线l 3与直线l 1的倾斜角互补，从而它们的斜率互为相反数，且l 1与l 3必过x 轴上相同点3(,0)2-，∴直线l 3的方程为2x ﹣y +3＝0，由230,20,x y x y -+=⎧⎨-=⎩解得2,1.x y =-⎧⎨=-⎩∴P （﹣2，﹣1）．(2)当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y +1＝k （x +2）， 即kx ﹣y +2k ﹣1＝0，∴原点O （0，0）到直线m2=，解得34k =-，∴直线m 方程为3x +4y +10＝0，当直线m 的斜率不存在时，直线x ＝﹣2满足题意， 综上直线m 的方程为3x +4y +10＝0或x ＝﹣2．8．（2021·宝山区·上海交大附中高一开学考试）如图，点(),4A m ，4,B n 在反比例函数()0ky k x=>的图象上，经过点A ､B 的直线与x 轴相交于点C ，与y 轴相交于点D .（1）若2m =，求n 的值； （2）求m n +的值；（3）连接OA ､OB ，若tan tan 1AOD BOC ∠+∠=，求直线AB 的函数关系式. 【答案】(1)2(2)0(3)2y x =+ 【分析】（1）先把A 点坐标代入()0k y k x =>求出k 的值得到反比例函数解析式为8y x=，然后把(4,)B n -代8y x=可求出n 的值； （2）利用反比例函数图象上点的坐标特征得到4m ＝k ，﹣4n ＝k ，然后把两式相减消去k 即可得到m +n 的值；（3）作AE ⊥y 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，如图，利用正切的定义得到tan ∠AOE 4AE mOE ==，tan 4BF n BOF OF -∠==，则144m n-+=，加上0m n +=，于是可解得2,2m n ==-，从而得到(2,4)A ，(4,2)B --，然后利用待定系数法求直线AB 的解析式．【详解】（1）当m ＝2，则A （2，4）， 把A （2，4）代入ky x=得k ＝2×4＝8， 所以反比例函数解析式为8y x=， 把(4,)B n -代入8y x=得﹣4n ＝8，解得n ＝﹣2； （2）因为点A （m ，4），B （﹣4，n ）在反比例函数()0ky k x=>的图象上， 所以4m ＝k ，﹣4n ＝k ， 所以4m +4n ＝0，即m +n ＝0；（3）作AE ⊥y 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，如图，在Rt △AOE 中，tan ∠AOE 4AE mOE ==， 在Rt △BOF 中，tan 4BF nBOF OF -∠==， 而tan ∠AOD +tan ∠BOC ＝1， 所以144m n-+=， 而m +n ＝0，解得m ＝2，n ＝﹣2， 则A （2，4），B （﹣4，﹣2）， 设直线AB 的解析式为y ＝px +q ，把(2,4),(4,2)A B --代入得2442p q p q +=⎧⎨-+=-⎩，解得12p q =⎧⎨=⎩，所以直线AB 的解析式为y ＝x +2．9．（2021·全国高二课时练习）已知点()2,1P -. （1）求过点P 且与原点的距离为2的直线的方程.（2）是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1） 20x -=或34100x y --=；（2） 不存在这样的直线；理由见解析． 【分析】（1）分k 存在与不存在两种情况讨论，点斜式表示直线方程，利用点到直线距离公式即得解；（2）过点P 且与原点的距离最大的直线为过点P 且与OP 垂直的直线，分析即得解 【详解】（1）①当直线的斜率不存在时，直线方程为2x =，符合题意． ②当直线的斜率存在时，设斜率为k ，则直线方程为()12y k x +=-，即210kx y k ---=．2=，解得34k =，所以直线方程为34100x y --=．故所求直线方程为20x -=或34100x y --=． （2）不存在．理由如下：过点P 且与原点的距离最大的直线为过点P 且与OP 垂直的直线，OP =而6>10．（2021·全国高三专题练习）AOB 是等腰直角三角形，||AB =动直线l 过点(1,1)P 与AOB 的斜边、直角边分别交于不同的点M 、N （如图所示）.（1）设直线l 的斜率为k ，求k 的取值范围，并用k 表示M 的坐标； （2）试写出表示AMN 的面积S 的函数解析式()S k ，并求()S k 的最大值.【答案】（1）0k >，1,11kM k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭；（2）112(1)()012(1)k k k S k kk k ⎧⎪+⎪=⎨-⎪<<⎪+⎩，max 1()4S k =.【分析】(1)根据题意，结合图象即可得到k 的取值范围，再联立直线方程即可得到M 的坐标； (2) 由于l 绕P 点转动，则N 点可落在OA 上，也可落在OB 上，AMNS的计算不一样，所以必须对l 的斜率不同的取值范围进行分类讨论，表示出()S k ，结合函数单调性即可求解. 【详解】(1)由已知条件得(1,0)A 、(0,1)B ，0k >，设直线l 的方程为1y kx k =+-.由11x y y kx k+=⎧⎨=+-⎩，得1,11kM k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭. (2)当1k 时，点N 在直角边OA 上，1,0k N k -⎛⎫⎪⎝⎭， 1111()1212(1)k S k k k k k -⎛⎫=-⋅= ⎪++⎝⎭. 当01k <<时，点k 在直角边OB 上，(0,1)N k -，111()11(1)122212(1)k k S k k k k k =⨯⨯--⨯-⨯=++.∴112(1)()012(1)k k k S k k k k ⎧⎪+⎪=⎨-⎪<<⎪+⎩，当1k 时，()S k 递减，∴max 1()(1)4S k S ==，当01k <<时，11111()22(1)244S k k =-<-=+. 综上所述，当1k =时，max 1()4S k =.1.（上海高考真题（文））已知直线1l ：(3)(4)10k x k y -+-+=与2l ：2(3)230k x y --+=平行，则k 的值是（ ）. A ．1或3 B ．1或5C ．3或5D ．1或2【答案】C 【解析】由两直线平行得，当k-3=0时，两直线的方程分别为1y =- 和32y =，显然两直线平行．当练真题k-3≠0时，由()k 34k1/32k 32--=≠--，可得 k=5．综上，k 的值是 3或5， 故选 C ．2．（2020·山东高考真题）已知直线sin cos :y x l θθ=+的图像如图所示，则角θ是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D 【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出sin 0θ<、cos 0θ>，即可得出结果. 【详解】结合图像易知，sin 0θ<，cos 0θ>， 则角θ是第四象限角， 故选：D.3．（2021·山东高考真题）如下图，直线l 的方程是（ ）A 0y -=B 20y -=C 310y --=D ．10x -=【答案】D 【分析】由图得到直线的倾斜角为30，进而得到斜率，然后由直线l 与x 轴交点为()1,0求解. 【详解】由图可得直线的倾斜角为30°，所以斜率tan 30k =︒=所以直线l 与x 轴的交点为()1,0，所以直线的点斜式方程可得l ：)01y x -=-，即10x -=． 故选：D4．（2021·湖南高考真题）点(0,1)-到直线3410x y -+=的距离为（ ） A ．25B ．35C ．45D ．1【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】点(0,1)-到直线3410x y -+=的距离为515d ==， 故选：D.5.（全国高考真题（理））已知点A （﹣1，0），B （1，0），C （0，1），直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ） A.（0，1） B.112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， C.113⎛⎤⎥ ⎝⎦， D.1132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【答案】B 【解析】由题意可得，三角形ABC 的面积为12AB OC ⋅⋅=1， 由于直线y ＝ax +b （a ＞0）与x 轴的交点为M （ba-，0）， 由直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，可得b ＞0， 故ba-≤0，故点M 在射线OA 上． 设直线y ＝ax +b 和BC 的交点为N ，则由1y ax b x y =+⎧⎨+=⎩可得点N 的坐标为（11b a -+，1a ba ++）．①若点M 和点A 重合，如图：则点N为线段BC的中点，故N（12，12），把A、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b13 =．②若点M在点O和点A之间，如图：此时b13＞，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于12，即1122NMB y⋅⋅=，即111212b a ba a+⎛⎫⨯+⋅=⎪+⎝⎭，可得a212bb=-＞0，求得b12＜，故有13＜b12＜．③若点M在点A的左侧，则b13＜，由点M的横坐标ba--＜1，求得b＞a．设直线y ＝ax +b 和AC 的交点为P ，则由 1y ax b y x =+⎧⎨=+⎩求得点P 的坐标为（11b a --，1a ba --），此时，由题意可得，三角形CPN 的面积等于12，即 12•（1﹣b ）•|x N ﹣x P |12=， 即12（1﹣b ）•|1111b b a a ---+-|12=，化简可得2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|．由于此时 b ＞a ＞0，0＜a ＜1，∴2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|＝1﹣a 2 ． 两边开方可得（1﹣b）=1，∴1﹣b ，化简可得 b ＞12-， 故有1b 13＜． 综上可得b 的取值范围应是1122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，， 故选：B ．6.（2011·安徽高考真题（理））在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号） ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点 ③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线 【答案】①③⑤ 【解析】①令直线为：，则其不与坐标轴平行且不经过任何整点，①正确； ②令直线为：，②错误；③令直线为：，过两个不同的整点，则，两式作差得： 即直线经过整点直线经过无穷多个整点，③正确；x y (,)x y k b y kx b =+l l y kx b =+k b l 12y x =+l y =-()2,0l y kx =()11,x y ()22,x y 112y kx y kx =⎧⎨=⎩()1212y y k x x -=-l ()1212,x x y y --∴l④令直线为：，则不过整点，④错误； ⑤令直线为：，则其只经过一个整点，⑤正确.本题正确结果：①③⑤l 1132y x =+ll y =()0,0。
直线与方程知识点归纳及对应习题
直线与方程一、直线倾斜角和斜率000180α≤<. k=tan α(α不为090)。
经过两点),(),,(222111y x P y x P （21x x ≠）的直线的斜率公式是1212x x y y k --=（21x x ≠） 练习：1、直线x +y -5=0的倾斜角为（ ）A. -30°B. 60°C. 120°D. 150°2、在下列四个命题中，正确的共有（）①坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率；②直线的倾斜角的取值范围是[0，π]；③若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α；④若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、直线的方程1、直线方程的几种形式点斜式:)(11x x k y y -=- (斜率存在) ； 两点式:121121x x x x y y y y --=--),(2121y y x x ≠≠其中 斜截式:b kx y += (斜率存在) ； 截距式:1=+by a x (0a ≠≠且b 0) 一般式:0=++C By Ax ）不同时为其中0,(B A 练习：3、过点（-1，2）且在坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程是______．4、 已知△ABC 的顶点A （5，1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x-y-5=0，∠B 平分线BN 所在直线方程为x-2y-5=0．求：（1）顶点B 的坐标；（2）直线BC 的方程．5、已知△ABC 的顶点A （5，1），AB 边上的中线CM 所在的直线方程为2x-y-5=0，AC 边上的高BH 所在直线的方程为x-2y-5=0．（1）求直线BC 的方程；（2）求直线BC 关于CM 的对称直线方程．2、 两条直线位置关系的判定：已知 0:11=++C By Ax l , 0:22=++C By Ax l ，则：（1）0212121=+⇔⊥B B A A l l（2）1212211221//(1)-00(0);l l A B A B BC B C B ⇔=-≠≠且斜率存在，即1221(2)0(0).AC A C B -≠=斜率存在，即（3）1l 与2l 相交01221≠-⇔B A B A练习：6、若直线l1:(m-2)x-y-1=0与直线l2:3x-my=0互相平行，则m 的值为（ ）A. 0或或3B. 0或3C. 0或D. 或37、已知直线ax+3y-1=0与直线3x-y+2=0互相垂直，则a=（ ）A. -3B. -1C. 1D. 38、已知两条直线l1（3+m ）x+4y=5-3m ，l2 2x+（5+m ）y=8．当m 分别为何值时，l1与l2：（1）相交？（2）平行？（3）垂直？3、几种直线系方程（1）过两条直线0:1111=++C y B x A l , 0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线l 2不在直线系中. （2）平行于直线0n 0(n )Ax By C Ax By C ++=++=≠的直线可表示为（3）垂直于直线0m 0Ax By C Bx Ay ++=-+=的直线可表示为练习：9、过直线x+y-3=0和2x-y=0的交点，且与直线2x+y-5=0垂直的直线方程是（）A. 4x+2y-3=0B. 4x-2y+3=0C. x+2y-3=0D. x-2y+3=010、已知直线l1：x-2y+3=0与直线l2：2x+3y-8=0的交点为M ，（1）求过点M 且到点P （0，4）的距离为2的直线l 的方程；（2）求过点M 且与直线l3：x+3y+1=0平行的直线l 的方程．三、直线的交点坐标与距离公式1.两条直线的交点2.几种距离平面上的两点),(),,(222111y x P y x P 间的距离公式21221221)()(y y x x P P-+-= 点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离2200B A CBy Ax d +++=(直线方程要化为一般式)两条平行线0:11=++C By Ax l , 0:22=++C By Ax l 间的距离2212B A C C d +-=(直线化为系数相同的一般式)练习：11、原点到直线y=-x+的距离为（ ） A. 1 B. C. 2 D.12、直线3x+4y-12=0和6x+8y+6=0间的距离是______ ．13、若直线l1：x-2y+1=0与l2：2x+ay-2=0平行，则l1与l2的距离为（ ） A. B. C. D.3、 直线l 上一动点P 到两个定点A 、B 的距离“最值问题”：(1) 在直线l 上求一点P ，使PB PA +取得最小值：“同侧对称异侧连”（2）在直线l 上求一点P 使PB PA -取得最大值：“异侧对称同侧连” (3) 22PB PA +的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。
直线与方程知识总结及典型 例题(高一人教版必修二)
）
（A）2x－3y＝0;
（B）x＋y＋5＝0;
（C）2x－3y＝0或x＋y＋5＝0
（D）x＋y＋5或x－y＋5＝0
4．直线x=3的倾斜角是（ ）
A.0 B. C. D.不存在
5．圆x2+y2+4x=0的圆心坐标和半径分别是（ ）
A.(－2,0),2 B.(－2,0),4 C.(2,0),2 D.(2,0),4
相交 平行 重合
交点 夹角 平行线间的距离
表示平面区域
直线 与方程
直线与直线位置关系 倾斜角 五种形式 直线方程
二元一次不等式
线性规划 斜率
与
与方程 点 关于直线的方程，直线的斜率、倾斜角，两点间距离公式，点到直
线的距离公式，夹角与到角公式，两直线的垂直、平行关系等知识的试 题，都属于基本要求，既有选择题、填空题，也有解答题，所占的分值 为5～10分，一般涉及到两个以上的知识点，这些仍将是今后高考考查 的热点。
（A）－
（B）－3;
（C） （D）3
12．直线当变动时，所有直线都通过定点（ ）
（A）（0，0）
（B）（0，1）
（C）（3，1）
（D）（2，1）
二、填空题（每题4分，共16分）
13．直线过原点且倾角的正弦值是，则直线方程为
14．直线mx＋ny＝1（mn≠0）与两坐标轴围成的三角形面积为
15．如果三条直线mx+y+3=0, xy2=0, 2xy+2=0不能成为一个三角形三边
7．点（2，1）到直线3x 4y + 2 = 0的距离是
（A） （B） （C） （D）
8．直线x y 3 = 0的倾斜角是（ ）
（A）30° （B）45° （C）60° （D）90°
高中数学必修第三章《直线与方程》知识点总结与练习
第八章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程[知识能否忆起]一、直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角(1)定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)倾斜角的范围为[0，π)_．2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率．(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝＝.二、直线方程的形式及适用条件1．(教材习题改编)直线x＋y＋m＝0(m∈k)的倾斜角为()A．30°B．60°C．150°D．120°解析：选C由k＝tanα＝－，α∈[0，π)得α＝150°.2．(教材习题改编)已知直线l过点P(－2,5)，且斜率为－，则直线l的方程为() A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0解析：选A由y－5＝－(x＋2)，得3x＋4y－14＝0.3．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A．1 B．4C．1或3 D．1或4解析：选A由1＝，得m＋2＝4－m，m＝1.4．(2012·长春模拟)若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________．解析：k AC＝＝1，k AB＝＝a－3.由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.答案：45．若直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程为________．解析：由已知得直线l的斜率为k＝－.所以l的方程为y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.答案：3x＋2y－1＝01.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．2．由斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．3．用截距式写方程时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需要分类讨论．典题导入[例1](1)(2012·岳阳模拟)经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y＝()A．－1B．－3C．0 D．2(2)(2012·苏州模拟)直线x cosθ＋y＋2＝0的倾斜角的范围是________．[自主解答](1)tan＝＝＝y＋2，因此y＋2＝－＝－3.(2)由题知k＝－cosθ，故k∈，结合正切函数的图象，当k∈时，直线倾斜角α∈，当k ∈时，直线倾斜角α∈，故直线的倾斜角的范围是∪.[答案](1)B(2)∪由题悟法1．求倾斜角的取值范围的一般步骤：(1)求出斜率k＝tanα的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．2．求倾斜角时要注意斜率是否存在．以题试法1．(2012·哈尔滨模拟)函数y＝a sin x－b cos x的一条对称轴为x＝，则直线l：ax－by＋c ＝0的倾斜角为()A．45°B．60°C．120°D．135°解析：选D由函数y＝f(x)＝a sin x－b cos x的一条对称轴为x＝知，f(0)＝f，即－b＝a，则直线l的斜率为－1，故倾斜角为135°.2．(2012·金华模拟)已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是()B．(－∞，－2]C．(－∞，－2]∪解析：选D由题意知直线l恒过定点P(2,1)，如右图．若l 与线段AB相交，则k PA≤k≤k PB.∵k PA＝－2，k PB＝，∴－2≤k≤.直线方程典题导入[例2](1)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是________________．(2)(2012·东城模拟)若点P(1,1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为______________．[自主解答](1)设所求直线方程为x－2y＋m＝0，由直线经过点(1,0)，得1＋m＝0，m ＝－1.则所求直线方程为x－2y－1＝0.(2)由题意得，×k MN＝－1，所以k MN＝2，故弦MN所在直线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.[答案](1)x－2y－1＝0(2)2x－y－1＝0由题悟法求直线方程的方法主要有以下两种：(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；(2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程．以题试法3．(2012·龙岩调研)已知△ABC中，A(1，－4)，B(6,6)，C(－2,0)．求：(1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；(2)BC边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．解：(1)平行于BC边的中位线就是AB，AC中点的连线．因为线段AB，AC中点坐标分别为，，所以这条直线的方程为＝，整理一般式方程为得6x－8y－13＝0，截距式方程为－＝1.(2)因为BC边上的中点为(2,3)，所以BC边上的中线所在直线的方程为＝，即一般式方程为7x－y－11＝0，截距式方程为－＝1.典题导入[例3](2012·开封模拟)过点P(3,0)作一直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0与l2：x ＋y＋3＝0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程．[自主解答]法一：设点A(x，y)在l1上，点B(x B，y B)在l2上．由题意知则点B(6－x，－y)，解方程组得则k＝＝8.故所求的直线方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.法二：设所求的直线方程为y＝k(x－3)，点A，B的坐标分别为(x A，y A)，(x B，y B)，由解得由解得∵P(3,0)是线段AB的中点，∴y A＋y B＝0，即＋＝0，∴k2－8k＝0，解得k＝0或k＝8.若k＝0，则x A＝1，x B＝－3，此时＝≠3，∴k＝0舍去，故所求的直线方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.由题悟法解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值．以题试法4．(2012·东北三校联考)已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点．(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程；(2)当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．解：(1)设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，A，B(0，1－2k)，△AOB的面积S＝(1－2k)＝≥(4＋4)＝4.当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立．故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.(2)∵|MA|＝，|MB|＝，∴|MA|·|MB|＝·＝2≥2×2＝4，当且仅当k2＝，即k＝－1时取等号，故直线方程为x＋y－3＝0.[典例](2012·西安模拟)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．[尝试解题](1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，此时截距相等．故a＝2，方程即为3x＋y＝0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，得＝a－2，即a＋1＝1，故a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，则或∴a≤－1.综上可知，a的取值范围是(－∞，－1]．——————[易错提醒]———————————————————————————1.与截距有关的直线方程求解时易忽视截距为零的情形.如本例中的截距相等，当直线在x轴与y轴上的截距为零时也满足.2.常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形.注意分类讨论思想的运用.——————————————————————————————————————针对训练过点M(3，－4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________．解析：①当过原点时，直线方程为y＝－x；②当不过原点时，设直线方程为＋＝1，即x－y＝a.代入点(3，－4)，得a＝7.即直线方程为x－y－7＝0.答案：y＝－x或x－y－7＝01．若k，－1，b三个数成等差数列，则直线y＝kx＋b必经过定点()A．(1，－2)B．(1,2)C．(－1,2) D．(－1，－2)解析：选A因为k，－1，b三个数成等差数列，所以k＋b＝－2，即b＝－2－k，于是直线方程化为y＝kx－k－2，即y＋2＝k(x－1)，故直线必过定点(1，－2)．2．直线2x＋11y＋16＝0关于点P(0,1)对称的直线方程是()A．2x＋11y＋38＝0 B．2x＋11y－38＝0C．2x－11y－38＝0 D．2x－11y＋16＝0解析：选B因为中心对称的两直线互相平行，并且对称中心到两直线的距离相等，故可设所求直线的方程为2x＋11y＋C＝0，由点到直线的距离公式可得＝，解得C＝16(舍去)或C＝－38.3．(2012·衡水模拟)直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为()A．(3,0) B．(－3,0)C．(0，－3) D．(0,3)解析：选D∵l1∥l2，且l1斜率为2，∴l2的斜率为2.又l2过(－1,1)，∴l2的方程为y－1＝2(x＋1)，整理即得y＝2x＋3.令x＝0，得P(0,3)．4．(2013·佛山模拟)直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c 应满足()A．ab＞0，bc＜0 B．ab＞0，bc＞0C．ab＜0，bc＞0 D．ab＜0，bc＜0解析：选A由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－x－，易知－＜0且－＞0，故ab＞0，bc＜0.5．将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为() A．y＝－x＋B．y＝－x＋1C．y＝3x－3 D．y＝x＋1解析：选A将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°得到直线y＝－x，再向右平移1个单位，所得直线的方程为y＝－(x－1)，即y＝－x＋.6．已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是()A．－2 B．－7C．3 D．1解析：选C线段AB的中点代入直线x＋2y－2＝0中，得m＝3.7．(2013·贵阳模拟)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________．解析：设直线l的斜率为k，则方程为y－2＝k(x－1)，在x轴上的截距为1－，令－3＜1－＜3，解得k＜－1或k＞.答案：(－∞，－1)∪8．(2012·常州模拟)过点P(－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为________．解析：直线l过原点时，l的斜率为－，直线方程为y＝－x；l不过原点时，设方程为＋＝1，将点(－2,3)代入，得a＝1，直线方程为x＋y＝1.综上，l的方程为x＋y－1＝0或2y＋3x＝0.答案：x＋y－1＝0或3x＋2y＝09．(2012·天津四校联考)不论m取何值，直线(m－1)x－y＋2m＋1＝0恒过定点________．解析：把直线方程(m－1)x－y＋2m＋1＝0整理得(x＋2)m－(x＋y－1)＝0，则得答案：(－2,3)10．求经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l的方程．解：设所求直线方程为＋＝1，由已知可得解得或故直线l的方程为2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0.11．(2012·莆田月考)已知两点A(－1,2)，B(m,3)．(1)求直线AB的方程；(2)已知实数m∈，求直线AB的倾斜角α的取值范围．解：(1)当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1；当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝(x＋1)．(2)①当m＝－1时，α＝；②当m≠－1时，m＋1∈∪(0，]，∴k＝∈(－∞，－]∪，∴α∈∪.综合①②知，直线AB的倾斜角α∈.12.如图，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．解：由题意可得k OA＝tan45°＝1，k OB＝tan(180°－30°)＝－，所以直线l OA：y＝x，l OB：y＝－x.设A(m，m)，B(－n，n)，所以AB的中点C，由点C在y＝x上，且A、P、B三点共线得解得m＝，所以A(，)．又P(1,0)，所以k AB＝k AP＝＝，所以l AB：y＝(x－1)，即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.1．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是()解析：选B由解得∵两直线交点在第一象限，∴解得k＞.∴直线l的倾斜角的范围是.2．(2012·洛阳模拟)当过点P(1,2)的直线l被圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝5截得的弦最短时，直线l的方程为________________．解析：易知圆心C的坐标为(2,1)，由圆的几何性质可知，当圆心C与点P的连线与直线l垂直时，直线l被圆C截得的弦最短．由C(2,1)，P(1,2)可知直线PC的斜率为＝－1，设直线l的斜率为k，则k×(－1)＝－1，得k＝1，又直线l过点P，所以直线l的方程为x －y＋1＝0.答案：x－y＋1＝03．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．解：(1)证明：法一：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)．法二：设直线过定点(x0，y0)，则kx0－y0＋1＋2k＝0对任意k∈R恒成立，即(x0＋2)k－y0＋1＝0恒成立，∴x0＋2＝0，－y0＋1＝0，解得x0＝－2，y0＝1，故直线l总过定点(－2,1)．(2)直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k的取值范围是[0，＋∞)．(3)依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，∴A，B(0,1＋2k)．又－<0且1＋2k>0，∴k>0.故S＝|OA||OB|＝×(1＋2k)＝≥(4＋4)＝4，当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.1．(2012·郑州模拟)已知直线l1的方向向量为a＝(1,3)，直线l2的方向向量为b＝(－1，k)．若直线l2经过点(0,5)且l1⊥l2，则直线l2的方程为()A．x＋3y－5＝0 B．x＋3y－15＝0C．x－3y＋5＝0 D．x－3y＋15＝0解析：选B∵kl1＝3，kl2＝－k，l1⊥l2，∴k＝，l2的方程为y＝－x＋5，即x＋3y－15＝0.2．(2012·吴忠调研)若过点P(1－a,1＋a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是________．解析：k＝tanα＝＝.∵α为钝角，∴＜0，即(a－1)(a＋2)＜0，故－2＜a＜1.答案：(－2,1)3.已知直线l过点P(3,2)，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B 两点如图，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．解：设A(a,0)，B(0，b)，(a＞0，b＞0)，则直线l的方程为＋＝1，∵l过点P(3,2)，∴＋＝1.∴1＝＋≥2，即ab≥24.∴S△ABO＝ab≥12.当且仅当＝，即a＝6，b＝4时，△ABO的面积最小，最小值为12.此时直线l的方程为＋＝1.即2x＋3y－12＝0.第二节两直线的位置关系[知识能否忆起]一、两条直线的位置关系设两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．三、几种距离1．两点间的距离平面上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式：d(A，B)＝|AB|＝.2．点到直线的距离点P(x1，y1)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.3．两条平行线间的距离两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.[小题能否全取]1．(教材习题改编)已知l1的倾斜角为45°，l2经过点P(－2，－1)，Q(3，m)．若l1⊥l2，则实数m为()A．6B．－6C．5 D．－5解析：选B由已知得k1＝1，k2＝.∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1，∴1×＝－1，即m＝－6.2．(教材习题改编)点(0，－1)到直线x＋2y＝3的距离为()C．5解析：选B d＝＝.3．点(a，b)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是()A．(－a－1，－b－1) B．(－b－1，－a－1)C．(－a，－b) D．(－b，－a)解析：选B设对称点为(x′，y′)，则解得x′＝－b－1，y′＝－a－1.4．l1：x－y＝0与l2：2x－3y＋1＝0的交点在直线mx＋3y＋5＝0上，则m的值为() A．3 B．5C．－5 D．－8解析：选D由得l1与l2的交点坐标为(1,1)．所以m＋3＋5＝0，m＝－8.5．与直线4x＋3y－5＝0平行，并且到它的距离等于3的直线方程是______________________．解析：设所求直线方程为4x＋3y＋m＝0，由3＝，得m＝10或－20.答案：4x＋3y＋10＝0或4x＋3y－20＝01.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在，两条直线都有斜率时，可根据斜率的关系作出判断，无斜率时，要单独考虑．2．在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时，直线方程必须先化为Ax＋By＋C＝0的形式，否则会出错．典题导入[例1](2012·浙江高考)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x ＋(a＋1)y＋4＝0平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[自主解答]由a＝1，可得l1∥l2；反之，由l1∥l2，可得a＝1或a＝－2.[答案] A在本例中若l1⊥l2，试求a.解：∵l1⊥l2，∴a×1＋2×(a＋1)＝0，∴a＝－.由题悟法1．充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．2．(1)若直线l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则直线l1⊥l2的充要条件是k1·k2＝－1.(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.则l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.以题试法1．(2012·大同模拟)设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对的边，则直线x sin A＋ay＋c＝0与bx－y sin B＋sin C＝0的位置关系是()A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直解析：选C由已知得a≠0，sin B≠0，所以两直线的斜率分别为k1＝－，k2＝，由正弦定理得k1·k2＝－·＝－1，所以两条直线垂直．典题导入[例2](2012·浙江高考)定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝________.[自主解答]因曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离为－＝2－＝，所以曲线C1与直线l不能相交，故x2＋a＞x，即x2＋a－x＞0.设C1：y＝x2＋a上一点为(x0，y0)，则点(x0，y0)到直线l的距离d＝＝＝≥＝，所以a ＝.[答案]由题悟法1．点到直线的距离问题可直接代入距离公式去求．注意直线方程为一般式．2．点到与坐标轴垂直的直线的距离，可用距离公式求解．也可用如下方法去求解：(1)点P(x0，y0)到与y轴垂直的直线y＝a的距离d＝|y0－a|.(2)点P(x0，y0)到与x轴垂直的直线x＝b的距离d＝|x0－b|.以题试法2．(2012·通化模拟)若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则c的值是________．解析：由题意得＝≠，得a＝－4，c≠－2，则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，则＝，解得c＝2或－6.答案：2或－6典题导入[例3](2012·成都模拟)在直角坐标系中，A(4,0)，B(0，4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后，再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A．2B．6C．3 D．2[自主解答]如图，设点P关于直线AB，y轴的对称点分别为D，C，易求得D(4,2)，C(－2,0)，由对称性知，D，M，N，C共线，则△PMN的周长＝|PM|＋|MN|＋|PN|＝|DM|＋|MN|＋|NC|＝|CD|＝＝2即为光线所经过的路程．[答案] A由题悟法对称问题主要包括中心对称和轴对称(1)中心对称①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．(2)轴对称①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．以题试法3．(2012·南京调研)与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为()A．3x＋4y＋5＝0B．3x＋4y－5＝0C．－3x＋4y－5＝0D．－3x＋4y＋5＝0解析：选A与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程是3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0.[典例](2012·银川一中月考)求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．[常规解法]解方程组得l1，l2的交点坐标为(－1,2)．由l3的斜率得l的斜率为－.则由点斜式方程可得l的方程为y－2＝－(x＋1)即5x＋3y－1＝0.——————[高手支招]———————————————————————————运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)；(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y ＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.——————————————————————————————————————[巧思妙解]由于l过l1，l2的交点，故可设l的方程为3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0将其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0，其斜率－＝－，得λ＝.代入直线系方程得l方程5x＋3y－1＝0.针对训练求与直线2x＋6y－11＝0平行，且与坐标轴围成的三角形面积为6的直线方程．解：由题意，设所求直线方程为2x＋6y＋b＝0.令x＝0，得y＝－；令y＝0，得x＝－，则直线2x＋6y＋b＝0与坐标轴的交点坐标分别为，.又所围成的三角形面积S＝··＝·＝6，所以b2＝144，所以b＝±12.故所求直线方程为2x＋6y＋12＝0或2x＋6y－12＝0.即为x＋3y＋6＝0或x＋3y－6＝0.1．(2012·海淀区期末)已知直线l1：k1x＋y＋1＝0与直线l2：k2x＋y－1＝0，那么“k1＝k2”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C由k1＝k2,1≠－1，得l1∥l2；由l1∥l2知k1×1－k2×1＝0，所以k1＝k2.故“k1＝k2”是“l1∥l2”的充要条件．2．当0＜k＜时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B解方程组得两直线的交点坐标为，因为0＜k＜，所以＜0，＞0，故交点在第二象限．3．(2012·长沙检测)已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2的距离为()C．4 D．8解析：选B∵直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，即为3x＋4y＋＝0，∴直线l1与直线l2的距离为＝.4．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点()A．(0,4) B．(0,2)C．(－2,4) D．(4，－2)解析：选B由于直线l1：y＝k(x－4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)．又由于直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2恒过定点(0,2)．5．已知直线l1：y＝2x＋3，若直线l2与l1关于直线x＋y＝0对称，又直线l3⊥l2，则l3的斜率为()A．－2 B．－D．2解析：选A依题意得，直线l2的方程是－x＝2(－y)＋3，即y＝x＋，其斜率是，由l3⊥l2，得l3的斜率等于－2.6．(2012·岳阳模拟)直线l经过两直线7x＋5y－24＝0和x－y＝0的交点，且过点(5,1)．则l的方程是()A．3x＋y＋4＝0 B．3x－y＋4＝0C．x＋3y－8＝0 D．x－3y－4＝0解析：选C设l的方程为7x＋5y－24＋λ(x－y)＝0，即(7＋λ)x＋(5－λ)y－24＝0，则(7＋λ)×5＋5－λ－24＝0.解得λ＝－的方程为x＋3y－8＝0.7．(2012·郑州模拟)若直线l1：ax＋2y＝0和直线l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0垂直，则实数a 的值为________．解析：由2a＋2(a＋1)＝0得a＝－.答案：－8．已知平面上三条直线x＋2y－1＝0，x＋1＝0，x＋ky＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的所有取值为________．解析：若三条直线有两条平行，另外一条与这两条直线相交，则符合要求，此时k＝0或2；若三条直线交于一点，也符合要求，此时k＝1，故实数k的所有取值为0,1,2.答案：0,1,29．(2013·临沂模拟)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________．解析：由题意得，点到直线的距离为＝.又≤3，即|15－3a|≤15，解得，0≤a≤10，所以a∈[0,10]．答案：[0,10]10．(2013·舟山模拟)已知＋＝1(a＞0，b＞0)，求点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离的最小值．解：点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离为d＝＝(a＋2b)＝≥(3＋2)＝，当且仅当a2＝2b2，a＋b＝ab，即a＝1＋，b＝时取等号．所以点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离的最小值为.11．(2012·荆州二检)过点P(1,2)的直线l被两平行线l1：4x＋3y＋1＝0与l2：4x＋3y＋6＝0截得的线段长|AB|＝，求直线l的方程．解：设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，由解得A；由解得B.∵|AB|＝，∴＝，整理，得7k2－48k－7＝0，解得k1＝7或k2＝－.因此，所求直线l的方程为x＋7y－15＝0或7x－y－5＝0.12．已知直线l：3x－y＋3＝0，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点；(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程．解：设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)．∵k PP′·k l＝－1，即×3＝－1.①又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，∴3×－＋3＝0.②由①②得(1)把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，∴P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2,7)．(2)用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，得关于l的对称直线方程为－－2＝0，化简得7x＋y＋22＝0.1．点P到点A(1,0)和直线x＝－1的距离相等，且点P到直线y＝x的距离为，这样的点P的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C∵点P到点A和定直线距离相等，∴P点轨迹为抛物线，方程为y2＝4x.设P(t2,2t)，则＝，解得t1＝1，t2＝1＋，t3＝1－，故P点有三个．2．(2012·福建模拟)若点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，则m2＋n2的最小值是() A．2 B．2C．4 D．2解析：选C设原点到点(m，n)的距离为d，所以d2＝m2＋n2，又因为(m，n)在直线4x ＋3y－10＝0上，所以原点到直线4x＋3y－10＝0的距离为d的最小值，此时d＝＝2，所以m2＋n2的最小值为4.3．在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A(4,1)和B(0，4)的距离之差最大．解：如图所示，设点B关于l的对称点为B′，连接AB′并延长交l 于P，此时的P满足|PA|－|PB|的值最大．设B′的坐标为(a，b)，则k BB′·k l＝－1，即3·＝－1.则a＋3b－12＝0.①又由于线段BB′的中点坐标为，且在直线l上，则3×－－1＝0，即3a－b－6＝0.②解①②，得a＝3，b＝3，即B′(3,3)．于是AB′的方程为＝，即2x＋y－9＝0.解得即l与AB′的交点坐标为P(2,5)．1．点(1，cosθ)(其中0≤θ≤π)到直线x sinθ＋y cosθ－1＝0的距离是，那么θ等于()或或解析：选B由已知得＝，即|sinθ－sin2θ|＝，∴4sin2θ－4sinθ－1＝0或4sin2θ－4sinθ＋1＝0，∴sinθ＝或sinθ＝.∵0≤θ≤π，∴0≤sinθ≤1，∴sinθ＝，即θ＝或.2．已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是()A．x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0解析：选B l1与l2关于l对称，则l1上任一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1,0)在l2上．又易知(0，－2)为l1上一点，设其关于l的对称点(x，y)，则得即(1,0)，(－1，－1)为l2上两点，可得l2方程为x－2y－1＝0.3．光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．解：法一：由得即反射点M的坐标为(－1,2)．又取直线x－2y＋5＝0上一点P(－5,0)，设P关于直线l的对称点P′(x0，y0)，由PP′⊥l可知，k PP′＝－＝.而PP′的中点Q的坐标为，Q点在l上，即3·－2·＋7＝0.由得根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x－2y＋33＝0.法二：设直线x－2y＋5＝0上任意一点P(x0，y0)关于直线l的对称点为P′(x，y)，则＝－，又PP′的中点Q在l上，即3×－2×＋7＝0，由可得P点的坐标为x0＝，y0＝，代入方程x－2y＋5＝0中，化简得29x－2y＋33＝0，故所求反射光线所在的直线方程为29x－2y＋33＝0.。
必修2《直线与方程___知识点_总结》及习题
直线与方程 知识点 总结一、概念理解：1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°；③范围：0°≤α＜180° 。
2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②与x 轴垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。
3、斜率与坐标：12122121tan x x y y x x y y k --=--==α ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值与两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。
4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在）特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=∙k k 。
②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。
③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程：①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可；②斜截式：b kx y += 将已知截距 k b 与斜率 直接带入即可； ③两点式：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可；④截距式：1=+bya x 将已知截距坐标),0(),0,(b a 直接带入即可；⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 在距离公式当中会经常用到直线的“一般式方程”。
2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可（可简记为“方程组思想”）。
3、距离公式：①两点间距离：22122121)()(y y x x P P -+-=推导方法：构造直角三角形“勾股定理”； ②点到直线距离：2200B A C By Ax d +++=推导方法：构造直角三角形“面积相等”；③平行直线间距离：2221BA C C d +-=推导方法：在y 轴截距),0(1C 代入②式；4、中点坐标公式：已知两点),(),,(2211y x B y x A ①AB 中点),(00y x ：)2,2(2121y y x x ++ 推导方法：构造直角“相似三角形”；一.选择题1.(安徽高考) 过点(1,0)且与直线x-2y=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B. x-2y+1=0 C. 2x+y-2=0 D. x+2y-1=02. 过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A. 012=-+y xB. 052=-+y xC. 052=-+y xD. 072=+-y x 3. 已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ） A. 0 B. 8- C. 2 D. 104.(安徽高考)直线过点（-1，2），且与直线2x-3y+4=0垂直，则直线的方程是（ ） A . 3x+2y-1=0 B. 3x+2y+7=0 C. 2x-3y+5=0 D. 2x-3y+8=05.设直线ax+by+c=0的倾斜角为θ，且sin cos 0θθ+=则a,b 满足 （ ） A. a+b=1 B. a-b=1 C. a+b=0 D. a-b=06. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a= A 、 -3 B 、-6 C 、23- D 、327.点P （-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ） A 2 B 21 C 1 D 278. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是 A （-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2）9. （上海文，15）已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 得值是（ ） A. 1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或210、若图中的直线L 1、L 2、L 3的斜率分别为K 1、K 2、K 3则（ ）A 、K 1﹤K 2﹤K 3B 、K 2﹤K 1﹤K 3C 、K 3﹤K 2﹤K 1D 、K 1﹤K 3﹤K 211.（北京卷）“m =21”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m －2)x +(m +2)y －3=0相互垂直”的( ) （A ）充分必要条件 （B ）充分而不必要条件（C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 12、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（ ）A.3x-2y-6=0B.2x+3y+7=0C. 3x-2y-12=0D. 2x+3y+8=0 13. 若直线ax + by + c = 0在第一、二、三象限，则( )A. ab ＞0，bc ＞0B. ab ＞0，bc ＜0C. ab ＜0，bc ＞0D. ab ＜0，bc ＜0 14.（北京文）“m=21”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m －2)x+(m+2)y －3=0相互垂直”的 ( )A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件15. 如果直线 l 经过两直线2x - 3y + 1 = 0和3x - y - 2 = 0的交点，且与直线y = x 垂直，则原点到直线 l 的距离是( )A. 2B. 1C. 2 D 、22 16. 原点关于x - 2y + 1 = 0的对称点的坐标为( )A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛52 ，54- B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛54 ，52- C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛52 ，54 D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛54 ，52- 二、填空题1. 点(1,1)P -到直线10x y -+=的距离是________________.2.已知A(-4,-6),B(-3,-1),C(5,a)三点共线，则a 的值为（ ）3.经过两直线11x+3y －7=0和12x+y －19=0的交点，且与A （3，－2），B （－1，6）等距离的直线的方程是 。
必修二第三章直线与方程知识点总结及练习(答案)
必修二 第三章 直线与方程（1)直线的倾斜角定义：ｘ轴正向与直线向上方向或重合时,我们规定它的倾斜角为０度。
因此，倾斜角的取值范围是(2）直线的斜率①定义：倾斜角不是9０°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用 当直线ｌ与x 轴平行或重合时， α=0°, k = tan0°=0; 当直线l 与ｘ轴垂直时, α＝ 90°, k 不存在. 当[)90,0∈α时,0≥k ； 当()180,90∈α时,0<k ; 当90=α时,k 不存在。
②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=（ P1(x1，y1),P ２(x2,ｙ2),ｘ１≠ｘ2）注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°；(2)k 与P 1、P ２的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
注意：当直线的斜率为０°时，k=0，直线的方程是1。
当直线的斜率为9０°时,直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示.但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是ｘ＝ｘ1。
（7)两条直线的交点0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交 交点坐标即方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 的一组解。
方程组无解21//l l ⇔ ; 方程组有无数解⇔1l 与2l 重合 (８)两点间距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（）是平面直角坐标系中的两个点， 则222121||()()AB x x y y =-+-（9)点到直线距离公式：一点()00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l 的距离2200BA C By Ax d +++=(１0）两平行直线距离公式已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2221BA C C d +-=直线的方程1.设a ，b ，c 是互不相等的三个实数,如果A (ａ，a ３）、B (b ，ｂ3)、C (c ，c 3）在同一直线上,求证:ａ+ｂ+c =０.证明 ∵A 、B 、C 三点共线,∴k AB ＝k AC ，∴ca c ab a b a --=--3333,化简得ａ２+ab +b ２=a ２+ac +c 2,∴b 2-c ２+ab -ac =0,（b －c ）（ａ＋b +c )=0， ∵a 、b 、ｃ互不相等,∴b -c ≠0,∴a +b +c =0. ２.若实数x ，y 满足等式(ｘ－2)2+ｙ２=3,那么xy的最大值为ﻩ ﻩ（ )A .21ﻩ B ．33ﻩﻩ Ｃ.23ﻩ ﻩﻩ D .3答案D3.求经过点Ａ（-5，2)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程； 解 ①当直线l 在ｘ、y 轴上的截距都为零时，设所求的直线方程为y =ｋｘ, 将（-５，2）代入y =kx 中,得k =-52,此时，直线方程为y =-52x , 即2x +5y =０. ②当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为ay a x+2=１，将(－5,2）代入所设方程，解得a =－21, 此时，直线方程为x +2ｙ+1=0.综上所述，所求直线方程为x +2ｙ+1=0或2x ＋5ｙ＝0.４．直线l 经过点P （3，2）且与x ,y 轴的正半轴分别交于Ａ、B 两点，△O ＡＢ的面积为12，求直线l 的方程.解 方法一 设直线l 的方程为1=+bya x （a ＞０,b ＞0）, ∴A (a ,0),Ｂ(0,b ), ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=.123,24ba ab 解得⎩⎨⎧==.4,6b a∴所求的直线方程为46yx +=１,即2x ＋3y -12=０． 方法二 设直线l 的方程为y -２=ｋ（x -３), 令y ＝0,得直线l 在x 轴上的截距a =3-k2，令x =0,得直线l 在y 轴上的截距ｂ＝２－３ｋ. ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-k 23(2-3k )＝24.解得ｋ=-32.∴所求直线方程为y -２=-32(x －3).即２x ＋3y －12＝0.9．已知线段PQ 两端点的坐标分别为(-1,1）、（２，２），若直线l ：x +my +m ＝0与线段P Ｑ有交点，求ｍ的取值范围.解 方法一 直线x +ｍｙ＋m =0恒过A （0,-１）点. ｋＡP ＝1011+--=-2，k AQ =2021---=23， 则-m 1≥23或－m 1≤-2, ∴-32≤m ≤21且m ≠0．又∵m =0时直线x ＋m ｙ＋m ＝0与线段PQ 有交点,∴所求ｍ的取值范围是－32≤ｍ≤21. 方法二 过P 、Ｑ两点的直线方程为y -1=1212+-(x +1)，即y ＝31x +34，代入x+ｍy ＋m ＝0, 整理，得ｘ=-37+m m . 由已知－1≤－37+m m ≤2, 解得-32≤m ≤21. 两直线方程例1 已知直线l １:ax +2ｙ+6=０和直线l 2：ｘ＋(a -１)y +a 2-1=0, (1）试判断l 1与l 2是否平行； (2）l １⊥l ２时，求ａ的值．解 （1）方法一 当ａ=１时,l １:x +2y +6=0,l 2:x =０，ｌ1不平行于ｌ2;当ａ=0时,ｌ1:y ＝-3,ｌ２:x -y -1=０,l １不平行于ｌ２； ﻩ ﻩ ﻩ当ａ≠1且a ≠０时,两直线可化为 l 1：y ＝-x a 2-3,l 2:y =x a-11－(ａ+１）， l 1∥ｌ2⇔⎪⎩⎪⎨⎧+-≠--=-)1(3112a a a ,解得a ＝-1, ﻩﻩﻩ综上可知，ａ=-1时,ｌ１∥l 2,否则l 1与ｌ2不平行.ﻩ ﻩ ﻩ ﻩ方法二 由A 1B 2-A 2B 1=0，得ａ(a -1）－1×2=０,由Ａ1C 2－Ａ２C 1≠０,得ａ（ａ2-1)－１×6≠０,ﻩ∴l 1∥l 2⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠⨯--=⨯--061)1(021)1(2a a a a ﻩﻩ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠-=--6)1(0222a a a a ⇒a =－1,ﻩﻩﻩﻩ 故当a ＝-１时,l 1∥l ２,否则ｌ1与ｌ2不平行．ﻩ ﻩ ﻩﻩﻩﻩ（２)方法一 当a =1时,l 1:x +２ｙ+６＝0,l ２:x =0,l 1与l ２不垂直,故a =１不成立. ﻩﻩﻩﻩ当a ≠１时，ｌ１:y =－2a x －3,ｌ2:ｙ=x a -11-(ａ+1),ﻩ由⎪⎭⎫⎝⎛-2a ·a-11＝-1⇒a ＝32.ﻩ 方法二 由Ａ１A 2+B 1Ｂ2=0，得a +2(a －1)＝０⇒a =32．例3 已知直线l 过点Ｐ（3,1)且被两平行线l １:x +y +1=0，ｌ2:x +ｙ+6=0截得的线段长为5，求直线l 的方程.解 方法一 若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为ｘ＝３,此时与ｌ1,l ２的交点分别是A （3,-4）,B (３,-9）, 截得的线段长|AB |＝|－４+9｜=5，符合题意.ﻩﻩﻩ若直线ｌ的斜率存在时，则设直线l 的方程为y =k （ｘ－3)+1,分别与直线l 1,l ２的方程联立，由⎩⎨⎧=+++-=011)3(y x x k y ，解得Ａ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-141,123k k k k .ﻩﻩﻩﻩ ﻩ ﻩ ﻩ 8分由⎩⎨⎧=+++-=061)3(y x x k y ,解得B ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-191173k k ，k k ，由两点间的距离公式,得2173123⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-k k k k ＋2191141⎪⎭⎫⎝⎛+--+-k k k k =2５, 解得k =0,即所求直线方程为y =１.ﻩﻩ ﻩ ﻩ ﻩﻩﻩ 综上可知，直线l 的方程为x ＝3或y =1. ﻩﻩ ﻩﻩﻩﻩ方法二 设直线ｌ与l １，l 2分别相交于A (x 1，ｙ1),B （x 2,y ２),则x 1+y 1+１=０，x 2+y 2+6=０,两式相减，得(x 1－ｘ2）+(y １-y 2）=5 ﻩﻩ① ﻩﻩﻩﻩ６分又(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=25ﻩﻩﻩ②联立①②可得⎩⎨⎧=-=-052121y y x x 或⎩⎨⎧=-=-502121y y x x ,ﻩﻩﻩﻩﻩ１０分由上可知，直线l 的倾斜角分别为０°和90°, 故所求的直线方程为ｘ=3或y =1.例４ 求直线l 1:ｙ=2x +3关于直线l ：ｙ＝x +1对称的直线ｌ2的方程.解 方法一 由⎩⎨⎧+=+=132x y x y 知直线l 1与ｌ的交点坐标为（－2,-1），∴设直线ｌ2的方程为y +1=k (x +2),即kx -y ＋2k -１=0.在直线ｌ上任取一点(１，2），由题设知点（1,2)到直线l 1、l 2的距离相等， 由点到直线的距离公式得 221122kk k +-+-=22)1(2322-++-，解得ｋ＝21（k =2舍去),∴直线ｌ2的方程为x -2y =0. 方法二 设所求直线上一点P (x ，ｙ）,则在直线l 1上必存在一点P 1(x 0，y 0）与点P 关于直线ｌ对称． 由题设：直线P Ｐ1与直线ｌ垂直，且线段PP 1的中点P 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2,200y y x x 在直线l 上.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=•--122110000x x y y x x yy ,变形得⎩⎨⎧+=-=1100x y y x , 代入直线l 1:ｙ=２x +3,得x +1=2×(ｙ-1)＋3,整理得x －２y =0.所以所求直线方程为x -2y =０.直线与方程1.设直线l 与x 轴的交点是P ,且倾斜角为α，若将此直线绕点P 按逆时针方向旋转４5°,得到直线的倾斜角为α+45°，则ﻩﻩ ﻩ ﻩ ﻩ ﻩ ﻩ （ ）Ａ.0°≤α<180°ﻩ ﻩ ﻩﻩＢ.０°≤α<13５°C ． 0°＜α≤135°ﻩﻩﻩﻩＤ． ０°<α<1３5°答案 D2.曲线ｙ=x 3-2x +4在点（1，3)处的切线的倾斜角为ﻩﻩ( ) A .30°ﻩ ﻩB .４5°ﻩﻩC .６0° ﻩD .１２0°答案 B3.过点M (-2,ｍ)，N (ｍ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为ﻩﻩ ﻩ( )A .1ﻩ ﻩﻩ ﻩB .4 ﻩﻩﻩC .1或3ﻩ ﻩD ．1或4答案 A４.过点Ｐ（-1，2）且方向向量为a ＝（-1，2）的直线方程为ﻩﻩﻩﻩ（ )A .2ｘ+ｙ=0Ｂ．ｘ－2y ＋５=0 C .x -2y ＝0ﻩﻩﻩD .x +2y －5=０ 答案 A5.一条直线经过点A （-２，2）,并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,则此直线的方程为 . 答案 x +2y －2=0或2ｘ＋y +2=0例1 已知三点A (1,-1),B （3，3）,C （４,5）. 求证：Ａ、Ｂ、Ｃ三点在同一条直线上.证明∵A （1，-1)，B （３,3)，C (4,5）, ∴k A Ｂ=1313-+＝2,k B Ｃ＝3435--＝２，∴k A Ｂ＝ｋＢC ， ∴A 、B 、Ｃ三点共线.例２已知实数x ，y 满足y =x 2-２x +２ （-1≤ｘ≤1)． 试求:23++x y 的最大值与最小值. 解 由23++x y 的几何意义可知，它表示经过定点Ｐ（－２,-3）与曲线段ＡB 上任一点（x ,y )的直线的斜率ｋ,如图可知：k P Ａ≤k ≤k ＰB ,由已知可得：A (1,1）,B (-1，5)， ∴34≤k ≤８，故23++x y 的最大值为８，最小值为34．例3 求适合下列条件的直线方程：(1）经过点P （３,2）,且在两坐标轴上的截距相等；（2）经过点A (－1，-3)，倾斜角等于直线y ＝3ｘ的倾斜角的2倍. 解 (1）方法一 设直线l 在x ,y 轴上的截距均为a ,若ａ＝0,即l 过点(０,0)和(3,２）,∴l 的方程为ｙ=32x ,即2x -3y ＝0. 若ａ≠0，则设l 的方程为1=+b ya x ，∵ｌ过点（3，2）,∴123=+aa ，∴a =５,∴ｌ的方程为x +y -5=0, 综上可知,直线l 的方程为2x -3ｙ=0或ｘ+ｙ－5=0. 方法二 由题意知,所求直线的斜率k 存在且k ≠0,设直线方程为ｙ-2=ｋ(ｘ-３),令ｙ=0,得ｘ=3-k2,令x ＝０,得y =2-3ｋ, 由已知3－k 2=2-3k ，解得k =-1或k =32，∴直线l 的方程为:y -2=-(x -3）或y -2=32(x －3), 即x +y -５=0或２x -3y ＝0.(2)由已知：设直线y =3x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α. ∵ｔan α＝3，∴t ａn2α=αα2tan 1tan 2-=-43．又直线经过点A （-1,-3）,、 因此所求直线方程为y +3=-43(x ＋１),即３x +４y +15=0. 例4 (12分)过点P （2，1)的直线l 交x 轴、y 轴正半轴于A 、Ｂ两点,求使: （1)△AOB 面积最小时ｌ的方程； （2)|P Ａ｜·|P Ｂ|最小时ｌ的方程. 解 方法一 设直线的方程为1=+bya x (a ＞2,b ＞1)， 由已知可得112=+b a (1)∵2ba 12•≤b a 12+＝1，∴a ｂ≥8.ﻩ∴S △A ＯB =21ab ≥4． ﻩﻩ当且仅当a 2＝b 1=21，即a =4,b =2时，S △ＡOB 取最小值4，此时直线l 的方程为24yx +=1,即ｘ＋2ｙ-4=０. 6分 （2）由a 2+b1=1,得ab －ａ-2b =０， 变形得（a -２)(ｂ-１）＝2,|PA |·|PB |=22)01()2(-+-a ·22)1()02(b -+-＝]4)1[(]1)2[(22+-⋅+-b a ≥)1(4)2(2-⋅-b a ．ﻩ当且仅当a -2=1,b -1=２，即a =３，b =3时，|ＰA |·|ＰB |取最小值4.此时直线l 的方程为ｘ+y -3=０．ﻩ 方法二 设直线l 的方程为ｙ-1=ｋ(ｘ-2） (ｋ<0),则l 与x 轴、y 轴正半轴分别交于A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,12k 、B (0,１-2ｋ）.(１）S △AOB =21⎪⎭⎫ ⎝⎛-k 12(１-2k ）=21×⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+)1()4(4k k ≥21（４+4)=4. 当且仅当－４k ＝-k 1,即ｋ=-21时取最小值，此时直线l 的方程为ｙ-1=-21(ｘ-2）,即ｘ+2ｙ－４=0.6分（2）|PA ｜·｜PB |=22441)1(k k ++=84422++k k ≥4, 当且仅当24k=4k ２，即k =-1时取得最小值，此时直线l 的方程为y -1=-(ｘ-2),即x +y -３=0．一、选择题1.过点（1,3）作直线l ，若经过点(a ,0）和(0,ｂ)，且a ∈Ｎ*，b ∈N *，则可作出的l 的条数为（ ）·A .1ﻩﻩ ﻩ Ｂ.2 ﻩﻩ Ｃ.3ﻩD .４答案B2.经过点P （1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为（ ) A .x ＋２y -6=0 ﻩﻩﻩ ﻩ ﻩ B .2x +y -6=0C ．x -２y +7=0ﻩﻩﻩﻩD .ｘ-2y -7=０答案B3．若点A （2，-3)是直线a 1x ＋b １y +1=0和ａ2x +b 2y +1=0的公共点,则相异两点（ａ1,ｂ1)和(ａ2，b 2）所确定的直线方程是 ﻩﻩﻩﻩﻩﻩ ﻩﻩﻩ ﻩ ( ） A ．2x －３ｙ+1=0ﻩﻩﻩﻩﻩB .3x －2y +1=0C .2x －3y －1＝0 ﻩﻩﻩＤ.3x －2y -1＝0答案A二、填空题4.已知a ＞0,若平面内三点Ａ（1,－ａ)，B (2,a 2），C (3，a 3）共线,则a ＝ . 答案 1+2５.已知两点A (－1，－5），B （３，-2）,若直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，则l 的斜率是 . 答案31三、解答题６.已知线段P Ｑ两端点的坐标分别为（－１,1)、（2,2）,若直线l :x ＋ｍy +ｍ＝0与线段PQ 有交点,求m 的取值范围.解 方法一 直线x ＋my ＋m =0恒过A (0，-1）点. k AP ＝1011+--=-２,ｋAQ =2021---＝23,则-m 1≥23或-m 1≤-２,∴-32≤ｍ≤21且m ≠0． 又∵m =0时直线x +ｍy +ｍ＝0与线段ＰQ 有交点，∴所求m 的取值范围是－32≤m ≤21． 方法二 过P 、Q 两点的直线方程为 ｙ-1=1212+-(x +1),即y =31x +34,代入x ＋my +m =0,整理，得x =-37+m m .由已知－1≤－37+m m ≤2, 解得-32≤m ≤21. 7.已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程: （1）过定点A （-3，4);(2）斜率为61. 解 (１)设直线ｌ的方程是y =k (x +３)+4,它在x 轴，y 轴上的截距分别是-k4-3,3k ＋４, 由已知,得（３k +4）（k4+3）=±6,解得ｋ1=-32或ｋ２＝-38． 直线l 的方程为2x +3y -6=0或8ｘ+3y +1２=０． （2）设直线ｌ在y 轴上的截距为ｂ,则直线l 的方程是y =61x +b ,它在x 轴上的截距是-6b , 由已知，得|-6b ·ｂ|=6,∴b ＝±1．∴直线l 的方程为x -６y ＋6=0或x -6y -6=０． 8.已知两点A (-1,2)，B （m ，３). （1）求直线AB 的方程；（2）已知实数m ∈⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---13,133，求直线ＡB 的倾斜角α的取值范围． 解 (1）当m ＝-1时,直线ＡＢ的方程为x =-1,当m ≠-1时，直线AB 的方程为y －2＝11+m (x +1). （2）①当m =-1时,α=090;②当m ≠－1时,ｍ+1∈(]3,00,33 ⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡-,∴k =11+m ∈（-∞，-3］∪⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡+∞,33, ∴α∈[)(]0120,9090,30 .综合①②知,直线AB 的倾斜角α∈[]0120,30.９．过点Ｐ(3，0)作一直线，使它夹在两直线l １:2x -y -2=0与l ２：x ＋y ＋3＝0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程.解 方法一 设点Ａ(x ，y )在l 1上,由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+0232B B y y x x ,∴点B (6-x ，-y ),解方程组⎩⎨⎧=+-+-=--03)()6(022y x y x ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==316311y x ,∴k ＝833110316=--． ∴所求的直线方程为y =8(x -3),即8x －y -24＝0. 方法二 设所求的直线方程为y =ｋ（x -3)，则⎩⎨⎧=---=022)3(y x x k y ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=24223k ky k k x A A , 由⎩⎨⎧=++-=03)3(y x x k y ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=16133k ky k k x B B . ∵P （3,０)是线段ＡＢ的中点，∴y A ＋y B =0，即24-k k ＋16+-k k =０,∴k 2-８ｋ=0，解得ｋ=０或k =8． 又∵当k =0时，x Ａ＝1，ｘB =-３,此时32312≠-=+B A x x ,∴k ＝0舍去,∴所求的直线方程为ｙ=8（x－3), 即8ｘ－y-24=０.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学直线与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析) 知识点：一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k 表示。
即。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
tan k α=当时，； 当时，； 当时，不存[) 90,0∈α0≥k () 180,90∈α0<k 90=αk 在。
②过两点的直线的斜率公式： )(211212x x x x y y k ≠--=注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；21x x =(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程①点斜式：直线斜率k ，且过点)(11x x k y y -=-()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。
②斜截式：，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为bb kx y +=③两点式：（）直线两点，112121y y x x y y x x --=--1212,x x y y ≠≠()11,y x ()22,y x ④截矩式：1x y a b+=其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。
l x (,0)a y (0,)b l x y ,a b ⑤一般式：（A ，B 不全为0）0=++C By Ax 注意：各式的适用范围 特殊的方程如：○1○2平行于x 轴的直线：（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：（a 为常数）；b y =a x =（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线（是不全为0的常数）的直线系：0000=++C y B x A 00,B A （C 为常数）000=++C y B x A （二）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k 的直线系：，直线过定点；()00x x k y y -=-()00,y x （ⅱ）过两条直线，的交点的直线系方程0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 为（为参数），其中直线不在直线系中。
()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λλ2l （6）两直线平行与垂直当，时，111:b x k y l +=222:b x k y l +=；212121,//b b k k l l ≠=⇔12121-=⇔⊥k k l l注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
（7）两条直线的交点相交0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 交点坐标即方程组的一组解。
⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 方程组无解 ；方程组有无数解与重合21//l l ⇔⇔1l 2l （8）两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，1122(,),A x y B x y ，（）则 ||AB =（9）点到直线距离公式：一点到直线的距离()00,y x P 0:1=++C By Ax l 2200B A CBy Ax d +++=（10）两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。
常考题：一．选择题（共20小题）1．直线L 1：ax+3y+1=0，L 2：2x+（a+1）y+1=0，若L 1∥L 2，则a 的值为（ ）A ．﹣3B ．2C ．﹣3或2D ．3或﹣22．直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是（ ）A ．[0，π）B ．[0，]∪[，π）C ．[0，]D ．[0，]∪（，π）3．已知点A （﹣1，0），B （1，0），C （0，1），直线y=ax+b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．C ．D ．4．直线3x+y﹣1=0的倾斜角是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知点（a ，2）（a ＞0）到直线l ：x﹣y+3=0的距离为1，则a=（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知点P 在直线x+3y﹣2=0上，点Q 在直线x+3y+6=0上，线段PQ 的中点为M （x 0，y 0），且y 0＜x 0+2，则的取值范围是（ ）A ．[﹣，0）B ．（﹣，0）C ．（﹣，+∞）D ．（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）7．设m ∈R ，过定点A 的动直线x+my=0和过定点B 的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P （x ，y ），则|PA|+|PB|的取值范围是（ ）A ．[，2]B ．[，2]C ．[，4]D ．[2，4]8．若直线l 1：mx+2y+1=0与直线l 2：x+y﹣2=0互相垂直，则实数m 的值为（ ）A．2B．﹣2C．D．﹣9．直线（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0过定点（ ）A．（1，﹣3）B．（4，3）C．（3，1）D．（2，3）10．直线（a2+1）x﹣2ay+1=0的倾斜角的取值范围是（ ）A．[0，]B．[，]C．[，]D．[0，]∪[，π）11．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x+y﹣2=0与x﹣7y﹣4=0，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ）A．3B．2C．D．12．若动点A，B分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为（ ）A．3B．2C．3D．413．已知点（﹣1，2）和（，0）在直线l：ax﹣y+1=0（a≠0）的同侧，则直线l倾斜角的取值范围是（ ）A．（，）B．（0，）∪（，π）C．（，）D．（，）14．直线l过点P（﹣1，2）且与以点M（﹣3，﹣2）、N（4，0）为端点的线段恒相交，则l的斜率取值范围是（ ）A．[﹣，5]B．[﹣，0）∪（0，2]C．（﹣∞，﹣]∪[5，+∞）D．（﹣∞，﹣]∪[2，+∞）15．已知直线mx+4y﹣2=0与2x﹣5y+n=0互相垂直，垂足为P（1，p），则m﹣n+p的值是（ ）A．24B．20C．0D．﹣416．过点P（﹣2，2）作直线l，使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l一共有（ ）A．3条B．2条C．1条D．0条17．已知直线l：3x﹣4y+m=0上存在不同的两点M与N，它们都满足与两点A （﹣1，0），B（1，0）连线的斜率k MA与k MB之积为﹣1，则实数m的取值范围是（ ）A．（﹣3，3）B．（﹣4，4）C．（﹣5，5）D．[﹣5，5]18．点P到点及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a的值是（ ）A．B．C．D．19．已知直线l：x﹣my+m=0上存在点M满足与两点A（﹣1，0），B（1，0）连线的斜率k MA与k MB之积为3，则实数m的取值范围是（ ）A．B．∪C．∪D．以上都不对20．若两平行直线l1：x﹣2y+m=0（m＞0）与l2：2x+ny﹣6=0之间的距离是，则m+n=（ ）A．0B．1C．﹣2D．﹣1二．填空题（共9小题）21．若直线l：+=1（a＞0，b＞0）经过点（1，2），则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是 ．22．在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为 ．23．已知两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），如果在直线3x+4y+25=0上存在点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是 ．24．已知直线（1﹣a）x+（a+1）y﹣4（a+1）=0（其中a为实数）过定点P，点Q在函数的图象上，则PQ连线的斜率的取值范围是 ．25．直线l：xtan+y+1=0的倾斜角α= ．26．已知动点P（x，y）满足|x﹣1|+|y﹣a|=1，O为坐标原点，若的最大值的取值范围为，则实数a的取值范围是 ．27．过点P（3，﹣1）引直线，使点A（2，﹣3），B（4，5）到它的距离相等，则这条直线的方程为 ．28．在平面直角坐标系xOy中，将点A（2，1）绕原点O逆时针旋转到点B，若直线OB的倾斜角为α，则cosα的值为 ．29．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx﹣y+2=0与直线l2：x+ky﹣2=0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x﹣y﹣4=0的距离的最大值为 ．三．解答题（共21小题）30．已知直线l1的方程为3x+4y﹣12=0．（1）若直线l2与l1平行，且过点（﹣1，3），求直线l2的方程；（2）若直线l2与l1垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l2的方程．31．已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．32．已知直线l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R）．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．33．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．34．已知直线l：y=（1﹣m）x+m（m∈R）．（Ⅰ）若直线l的倾斜角，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若直线l分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程．35．在直角坐标系中，已知射线OA：x﹣y=0（x≥0），OB：2x+y=0（x≥0）．过点P（1，0）作直线分别交射线OA，OB于点A，B．（1）当AB的中点在直线x﹣2y=0上时，求直线AB的方程；（2）当△AOB的面积取最小值时，求直线AB的方程．（3）当PA•PB取最小值时，求直线AB的方程．36．在△ABC中，已知BC边上的高所在直线的方程为x﹣2y+1=0，∠A的平分线所在直线的方程为y=0．若点B的坐标为（1，2），求点C的坐标．37．已知x，y满足直线l：x+2y=6．（1）求原点O关于直线l的对称点P的坐标；（2）当x∈[1，3]时，求的取值范围．38．已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数的y=log2x的图象交于C、D两点．（1）证明点C、D和原点O在同一条直线上；（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标．39．已知直线l：3x﹣y+3=0，求：（1）点P（4，5）关于l的对称点；（2）直线x﹣y﹣2=0关于直线l对称的直线方程．40．已知过点A（1，1）且斜率为﹣m（m＞0）的直线l与x轴、y轴分别交于P、Q，过P、Q作直线2x+y=0的垂线，垂足为R、S，求四边形PRSQ面积的最小值．41．已知直线l=1．（1）若直线的斜率小于2，求实数m的取值范围；（2）若直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．42．有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=13km，BC=10km．今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系如图）（Ⅰ）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，点P应位于何处？（Ⅱ）若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？43．已知直线l过点M（1，1），且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求：（1）当|OA|十|OB|取得最小值时，直线l的方程；（2）当|MA|2+|MB|2取得最小值时，直线l的方程．44．光线从点A（2，3）射出，若镜面的位置在直线l：x+y+1=0上，反射光线经过B（1，1），求入射光线和反射光线所在直线的方程，并求光线从A到B 所走过的路线长．45．过点P（3，0）有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x﹣y﹣2=0与l2：x+y+3=0之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程．46．已知△ABC的两个顶点A（﹣10，2），B（6，4），垂心是H（5，2），求顶点C的坐标．47．如图，平行四边形ABCD（A，B，C，D按逆时针顺序排列），AB，AD 边所在直线的方程分别是x+4y﹣7=0，3x+2y﹣11=0，且对角线AC和BD的交点为M（2，0）（1）求点A的坐标（2）求CD边所在直线的方程．48．两条互相平行的直线分别过点A（6，2）和B（﹣3，﹣1），并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d．求：（1）d的变化范围；（2）当d取最大值时两条直线的方程．49．已知三条直线l1：2x﹣y+a=0（a＞0），l2：﹣4x+2y+1=0和l3：x+y﹣1=0，且l1与l2的距离是；（1）求a的值；（2）能否找到一点P同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是：？若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由．50．如图，矩形OABC的顶点O为原点，AB边所在直线的方程为3x+4y﹣25=0，顶点B的纵坐标为10．（Ⅰ）求OA，OC边所在直线的方程；（Ⅱ）求矩形OABC的面积．必修二第三章直线与方程知识点与常考题(附解析)参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．直线L1：ax+3y+1=0，L2：2x+（a+1）y+1=0，若L1∥L2，则a的值为（ ）A．﹣3B．2C．﹣3或2D．3或﹣2【解答】解：直线L1：ax+3y+1=0的斜率为：，直线L1∥L2，所以L2：2x+（a+1）y+1=0的斜率为：所以=；解得a=﹣3，a=2（舍去）故选：A．2．直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是（ ）A．[0，π）B．[0，]∪[，π）C．[0，]D．[0，]∪（，π）【解答】解：直线xsinα+y+2=0的斜率为k=﹣sinα，∵﹣1≤sinα≤1，∴﹣1≤k≤1∴倾斜角的取值范围是[0，]∪[π，π）故选：B．3．已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y=ax+b（a＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（ ）A．（0，1）B．C．D．【解答】解：解法一：由题意可得，三角形ABC的面积为=1，由于直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣，0），由直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，故﹣≤0，故点M在射线OA上．设直线y=ax+b和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为（，）．①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，故N（，），把A、N两点的坐标代入直线y=ax+b，求得a=b=．②若点M在点O和点A之间，此时b＞，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，即=，即=，可得a=＞0，求得b＜，故有＜b＜．③若点M在点A的左侧，则b＜，由点M的横坐标﹣＜﹣1，求得b＞a．设直线y=ax+b和AC的交点为P，则由求得点P的坐标为（，），此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即•（1﹣b）•|x N﹣x P|=，即（1﹣b）•|﹣|=，化简可得2（1﹣b）2=|a2﹣1|．由于此时b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2=|a2﹣1|=1﹣a2 ．两边开方可得（1﹣b）=＜1，∴1﹣b＜，化简可得b＞1﹣，故有1﹣＜b＜．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得b的取值范围应是，故选：B．解法二：当a=0时，直线y=ax+b（a＞0）平行于AB边，由题意根据三角形相似且面积比等于相似比的平方可得=，b=1﹣，趋于最小．由于a＞0，∴b＞1﹣．当a逐渐变大时，b也逐渐变大，当b=时，直线经过点（0，），再根据直线平分△ABC的面积，故a不存在，故b＜．综上可得，1﹣＜b＜，故选：B．4．直线3x+y﹣1=0的倾斜角是（ ）A．B．C．D．【解答】解：设直线3x+y﹣1=0的倾斜角是θ，θ∈[0，π）．直线3x+y﹣1=0化为y=﹣x+，∴tanθ=﹣，∴．故选：C．5．已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x﹣y+3=0的距离为1，则a=（ ）A．B．C．D．【解答】解：由点到直线的距离公式得：=，∵a＞0，∴a=．故选：C．6．已知点P在直线x+3y﹣2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M（x0，y0），且y0＜x0+2，则的取值范围是（ ）A．[﹣，0）B．（﹣，0）C．（﹣，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）【解答】解：∵点P在直线x+3y﹣2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ 的中点为M（x0，y0），∴，化为x0+3y0+2=0．又y0＜x0+2，设=k OM，当点位于线段AB（不包括端点）时，则k OM＞0，当点位于射线BM（不包括端点B）时，k OM＜﹣．∴的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．故选：D．7．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的取值范围是（ ）A．[，2]B．[，2]C．[，4]D．[2，4]【解答】解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），∵动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0的斜率之积为﹣1，始终垂直，P又是两条直线的交点，∴PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．设∠ABP=θ，则|PA|=sinθ，|PB|=cosθ，由|PA|≥0且|PB|≥0，可得θ∈[0，]∴|PA|+|PB|=（sinθ+cosθ）=2sin（θ+），∵θ∈[0，]，∴θ+∈[，]，∴sin（θ+）∈[，1]，∴2sin（θ+）∈[，2]，故选：B．8．若直线l1：mx+2y+1=0与直线l2：x+y﹣2=0互相垂直，则实数m的值为（ ）A．2B．﹣2C．D．﹣【解答】解：∵直线l1：mx+2y+1=0与直线l2：x+y﹣2=0互相垂直，∴m×1+2×1=0，解得m=﹣2．故选：B．9．直线（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0过定点（ ）A．（1，﹣3）B．（4，3）C．（3，1）D．（2，3）【解答】解：直线方程整理得：2mx+x+my+y﹣7m﹣4=0，即（2x+y﹣7）m+（x+y﹣4）=0，∴，解得：，则直线过定点（3，1），故选：C．10．直线（a2+1）x﹣2ay+1=0的倾斜角的取值范围是（ ）A．[0，]B．[，]C．[，]D．[0，]∪[，π）【解答】解：①当a=0时，斜率不存在，即倾斜角为；②当a＞0时，直线的斜率k=，∴k≥1，即直线的倾斜角的取值范围为[）．③当a＜0时，直线的斜率，∴k≤﹣1，即直线的倾斜角的取值范围为（]．综上，直线的倾斜角的取值范围为，故选：C．11．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x+y﹣2=0与x﹣7y﹣4=0，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ）A．3B．2C．D．【解答】解：l1：x+y﹣2=0，k1=﹣1，，设底边为l3：y=kx由题意，l3到l1所成的角等于l2到l3所成的角于是有，解得k=3或k=﹣，因为原点在等腰三角形的底边上，所以k=3．k=，原点不在等腰三角形的底边上（舍去），故选：A．12．若动点A，B分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为（ ）A．3B．2C．3D．4【解答】解：∵l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0是平行直线，∴可判断：过原点且与直线垂直时，中的M到原点的距离的最小值∵直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0，∴两直线的距离为=，∴AB的中点M到原点的距离的最小值为+=3，故选：A．13．已知点（﹣1，2）和（，0）在直线l：ax﹣y+1=0（a≠0）的同侧，则直线l倾斜角的取值范围是（ ）A．（，）B．（0，）∪（，π）C．（，）D．（，）【解答】解：点（﹣1，2），（，0）在直线ax﹣y+1=0的同侧，（﹣a﹣2+1）（a+1）＞0解不等式可得，﹣＜a＜﹣1∴，故选：D．14．直线l过点P（﹣1，2）且与以点M（﹣3，﹣2）、N（4，0）为端点的线段恒相交，则l的斜率取值范围是（ ）A．[﹣，5]B．[﹣，0）∪（0，2]C．（﹣∞，﹣]∪[5，+∞）D．（﹣∞，﹣]∪[2，+∞）【解答】解：如图，∵P（﹣1，2）、M（﹣3，﹣2）、N（4，0），∴，．由图可知，使直线l与线段MN相交的l的斜率取值范围是（﹣∞，﹣]∪[2，+∞）．故选：D．15．已知直线mx+4y﹣2=0与2x﹣5y+n=0互相垂直，垂足为P（1，p），则m﹣n+p的值是（ ）A．24B．20C．0D．﹣4【解答】解：∵直线mx+4y﹣2=0与2x﹣5y+n=0互相垂直，∴×=﹣1，∴m=10，直线mx+4y﹣2=0即5x+2y﹣1=0，垂足（1，p）代入得，5+2p﹣1=0，∴p=﹣2．把P（1，﹣2）代入2x﹣5y+n=0，可得n=﹣12，∴m﹣n+p=20，故选：B．16．过点P（﹣2，2）作直线l，使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l一共有（ ）A．3条B．2条C．1条D．0条【解答】解：假设存在过点P（﹣2，2）的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8，设直线l的方程为：，则．即2a﹣2b=ab直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积S=﹣ab=8，即ab=﹣16，联立，解得：a=﹣4，b=4．∴直线l的方程为：，即x﹣y+4=0，即这样的直线有且只有一条，故选：C．17．已知直线l：3x﹣4y+m=0上存在不同的两点M与N，它们都满足与两点A （﹣1，0），B（1，0）连线的斜率k MA与k MB之积为﹣1，则实数m的取值范围是（ ）A．（﹣3，3）B．（﹣4，4）C．（﹣5，5）D．[﹣5，5]【解答】解：由题意可知，点M、N、A、B在以AB为直径的圆上，则该圆的方程为x2+y2=1．∵M、N是不同的两点，∴直线l与圆相交，且直线l与圆相切为临界条件，此时原点到直线l的距离等于圆的半径，即1=，∴m=±5．∴m的取值范围为（﹣5，5）．故选：C．18．点P到点及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a的值是（ ）A．B．C．D．【解答】解：法一由题意有点P在抛物线y2=2x上，设P（，y），则有（+）2=（﹣a）2+（y﹣2）2，化简得（﹣a）y2﹣4y+a2+=0，当a=时，符合题意；当a≠时，△=0，有a3﹣++=0，（a+）（a2﹣a+）=0，a=﹣．故选D．法二由题意有点P在抛物线y2=2x上，B在直线y=2上，当a=﹣时，B为直线y=2与准线的交点，符合题意；当a=时，B为直线y=2与抛物线通径的交点，也符合题意，故选D．故选：D．19．已知直线l：x﹣my+m=0上存在点M满足与两点A（﹣1，0），B（1，0）连线的斜率k MA与k MB之积为3，则实数m的取值范围是（ ）A．B．∪C．∪D．以上都不对【解答】解：设M（x，y），由k MA•k MB=3，得，即y2=3x2﹣3．联立，得．要使直线l：x﹣my+m=0上存在点M满足与两点A（﹣1，0），B（1，0）连线的斜率k MA与k MB之积为3，则△=，即．解得m∈∪．∴实数m的取值范围是∪．故选：C．20．若两平行直线l1：x﹣2y+m=0（m＞0）与l2：2x+ny﹣6=0之间的距离是，则m+n=（ ）A．0B．1C．﹣2D．﹣1【解答】解：由题意，解得n=﹣4，即直线l2：x﹣2y﹣3=0，所以两直线之间的距离为d=，解得m=2，所以m+n=﹣2，故选：C．二．填空题（共9小题）21．若直线l：+=1（a＞0，b＞0）经过点（1，2），则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是 3+2 ．【解答】解：∵直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）∴=1，∴a+b=（a+b）（）=3+≥3+2，当且仅当b=a时上式等号成立．∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为3+2．故答案为：3+2．22．在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为 ﹣1或 ．【解答】解：设点P，则|PA|===，令，∵x＞0，∴t≥2，令g（t）=t2﹣2at+2a2﹣2=（t﹣a）2+a2﹣2，①当a≤2时，t=2时g（t）取得最小值g（2）=2﹣4a+2a2=，解得a=﹣1；②当a＞2时，g（t）在区间[2，a）上单调递减，在（a，+∞）单调递增，∴t=a，g（t）取得最小值g（a）=a2﹣2，∴a2﹣2=，解得a=．综上可知：a=﹣1或．故答案为﹣1或．23．已知两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），如果在直线3x+4y+25=0上存在点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是 [5，+∞） ．【解答】解：∵P在直线3x+4y+25=0上，设点P（x，），∴=（x+m，），=（x﹣m，）；又∠APB=90°，∴•=（x+m）（x﹣m）+=0，即25x2+150x+625﹣16m2=0；∴△≥0，即1502﹣4×25×（625﹣16m2）≥0，解得m≥5，或m≤﹣5，又m＞0，∴m的取值范围是[5，+∞）．故答案为：[5，+∞）．24．已知直线（1﹣a）x+（a+1）y﹣4（a+1）=0（其中a为实数）过定点P，点Q在函数的图象上，则PQ连线的斜率的取值范围是 [﹣3，+∞） ．【解答】解：已知直线（1﹣a）x+（a+1）y﹣4（a+1）=0即x+y﹣4+a （﹣x+y﹣4）=0，由，解得，故定点P的坐标为（0，4）．设点Q（m，m+），m≠0，则PQ连线的斜率为=1+﹣=﹣3≥﹣3，故PQ连线的斜率的取值范围为[﹣3，+∞），故答案为[﹣3，+∞）．25．直线l：xtan+y+1=0的倾斜角α= ．【解答】解：根据题意，设直线的倾斜角为θ，有0≤θ＜π，直线可化为y=﹣tan•x，由倾斜角与斜率的关系，可得tanθ=﹣tan，又有0≤θ＜π，则θ=，故答案为：．26．已知动点P（x，y）满足|x﹣1|+|y﹣a|=1，O为坐标原点，若的最大值的取值范围为，则实数a的取值范围是 ．【解答】解：考虑|x﹣1|+|y﹣a|=1的图象，如图，x必然是在0到2之间x取到0或2那么y只能取ax在两者之间y可以取两个值x取到1则y可以取a+1或a﹣1，图象是（0，a），（1，a﹣1），（1，a+1），（2，a）为端点的正方形，那么和O最远的应该是最远的两个端点之一，如果a＞0就是（1，a+1）或（2，a）如果a＜0就是（1，a﹣1）或（2，a）这样一来，||平方的最大值就是：当a＞0，（a+1）2+1 或a2+4当a＜0，（a﹣1）2+1 或a2+4比较它们的大小：当a≥1时，（a+1）2+1；﹣1＜a＜1时，a2+4；a≤﹣1时，（a﹣1）2+1．作以上函数图象，再读出y取值范围为[，17]时a取值范围是．故答案为：．27．过点P（3，﹣1）引直线，使点A（2，﹣3），B（4，5）到它的距离相等，则这条直线的方程为 4x﹣y﹣13=0或x=3 ．【解答】解：由题意，所求直线有两条，其中一条是经过点P且与AB平行的直线；另一条是经过P与AB中点C的直线．∵A（2，﹣3），B（4，5），∴AB的斜率k==4，可得经过点P且与AB平行的直线方程为y+1=4（x﹣3），化简得4x﹣y﹣13=0，又∵AB中点为C（3，1）∴经过PC的直线方程为x=3，故答案为：4x﹣y﹣13=0或x=3．28．在平面直角坐标系xOy中，将点A（2，1）绕原点O逆时针旋转到点B，若直线OB的倾斜角为α，则cosα的值为 ．【解答】解：设直线OA的倾斜角为θ，则tanθ=，则tanα====3，∴cosα===．故答案为：．29．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx﹣y+2=0与直线l2：x+ky﹣2=0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x﹣y﹣4=0的距离的最大值为 3 ．【解答】解：∵直线l1：kx﹣y+2=0与直线l2：x+ky﹣2=0的斜率乘积=k×=﹣1，（k=0时，两条直线也相互垂直），并且两条直线分别经过定点：M（0，2），N（2，0）．∴两条直线的交点在以MN为直径的圆上．并且k MN=﹣1，可得MN与直线x﹣y﹣4=0垂直．∴点M到直线x﹣y﹣4=0的距离d==3为最大值．故答案为：3．三．解答题（共21小题）30．已知直线l1的方程为3x+4y﹣12=0．（1）若直线l2与l1平行，且过点（﹣1，3），求直线l2的方程；（2）若直线l2与l1垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l2的方程．【解答】解：（1）由直线l2与l1平行，可设l2的方程为3x+4y+m=0，以x=﹣1，y=3代入，得﹣3+12+m=0，即得m=﹣9，∴直线l2的方程为3x+4y﹣9=0．（2）由直线l2与l1垂直，可设l2的方程为4x﹣3y+n=0，令y=0，得x=﹣，令x=0，得y=，故三角形面积S=•|﹣|•||=4∴得n2=96，即n=±4∴直线l2的方程是4x﹣3y+4=0或4x﹣3y﹣4=0．31．已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．【解答】解：（1）设C（m，n），∵AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．∴，解得．∴C（4，3）．（2）设B（a，b），则，解得．∴B（﹣1，﹣3）．∴k BC==∴直线BC的方程为y﹣3=（x﹣4），化为6x﹣5y﹣9=0．32．已知直线l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R）．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．【解答】解：（1）直线l的方程可化为y=k（x+2）+1，故无论k取何值，直线l总过定点（﹣2，1）．（2）直线l的方程可化为y=kx+2k+1，则直线l在y轴上的截距为2k+1，要使直线l不经过第四象限，则，解得k的取值范围是k≥0．（3）依题意，直线l在x轴上的截距为﹣，在y轴上的截距为1+2k，∴A（﹣，0），B（0，1+2k），又﹣＜0且1+2k＞0，∴k＞0，故S=|OA||OB|=×（1+2k）=（4k++4）≥（4+4）=4，当且仅当4k=，即k=时，取等号，故S的最小值为4，此时直线l的方程为x﹣2y+4=0．33．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）令x=0，得y=a﹣2．令y=0，得（a≠﹣1）．∵l在两坐标轴上的截距相等，∴，解之，得a=2或a=0．∴所求的直线l方程为3x+y=0或x+y+2=0．（2）直线l的方程可化为y=﹣（a+1）x+a﹣2．∵l不过第二象限，∴，∴a≤﹣1．∴a的取值范围为（﹣∞，﹣1]．34．已知直线l：y=（1﹣m）x+m（m∈R）．（Ⅰ）若直线l的倾斜角，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若直线l分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）由已知直线l斜率k=1﹣m，∵倾斜角，由k=tanα可得1≤k≤，∴1≤1﹣m≤，解得1﹣≤m≤0；（Ⅱ）在直线l：y=（1﹣m）x+m中，令x=0可得y=m，∴点B（0，m）；令y=0可得x=，∴点A（，0），由题设可知m＞1，∴△AOB面积S=|OA||OB|=•m•==[（m﹣1）++2]≥[2+2]=2，当且仅当（m﹣1）=即m=2时S取得最小值2，此时直线l的方程为：x+y﹣2=035．在直角坐标系中，已知射线OA：x﹣y=0（x≥0），OB：2x+y=0（x≥0）．过点P（1，0）作直线分别交射线OA，OB于点A，B．（1）当AB的中点在直线x﹣2y=0上时，求直线AB的方程；（2）当△AOB的面积取最小值时，求直线AB的方程．（3）当PA•PB取最小值时，求直线AB的方程．【解答】解：（1）设A（a，a），B（b，﹣2b），则线段AB的中点为C．∴﹣2×=0，=，分别化为：a=5b，a+2b﹣3ab=0．解得：，∴直线AB的方程为：y﹣0=（x﹣1），化为：7x﹣4y﹣7=0．（2）设A（a，a），B（b，﹣2b），（a，b＞0）．a=b=1时，A（1，1），B（1，﹣2），S△OAB=×|OP|×|AB|==．a，b≠1时，S△OAB=×|OP|×（a+2b）=（a+2b），又，化为a+2b=3ab，∴a+2b=3ab=≤，解得：a+2b≥．∴S△OAB≥×=，当且仅当a=2b=时取等号．综上可得：当△AOB的面积取最小值时，直线AB的方程为：y=（x﹣1），化为：4x﹣y﹣4=0．（3）设直线AB的方程为：my=x﹣1.．联立，解得A，可得|PA|==．联立，解得B，可得|PB|==．∴|PA|•|PB|====f（m），m=﹣3时，f（﹣3）=1；令m+3=k≠0，f（m）=g（k）==，k＜0时，g（k）=≥=．k＞0时，g（k）=≥=，而＜，∴g（k）的最小值为：．当且仅当k=﹣时取等号．∴m=﹣﹣3．∴直线AB的方程为：（﹣﹣3）y=x﹣1．36．在△ABC中，已知BC边上的高所在直线的方程为x﹣2y+1=0，∠A的平分线所在直线的方程为y=0．若点B的坐标为（1，2），求点C的坐标．【解答】解：点A为y=0与x﹣2y+1=0两直线的交点，∴点A的坐标为（﹣1，0）．∴k AB==1．又∵∠A的平分线所在直线的方程是y=0，∴k AC=﹣1．∴直线AC的方程是y=﹣x﹣1．而BC与x﹣2y+1=0垂直，∴k BC=﹣2．∴直线BC的方程是y﹣2=﹣2（x﹣1）．由y=﹣x﹣1，y=﹣2x+4，解得C（5，﹣6）．故点C的坐标（5，﹣6）．37．已知x，y满足直线l：x+2y=6．（1）求原点O关于直线l的对称点P的坐标；（2）当x∈[1，3]时，求的取值范围．【解答】解：（1）设原点O关于直线l的对称点P的坐标为（a，b），则满足，解得a=，b=，故；（2）当x∈[1，3]时，的几何意义为到点C（2，1）的斜率的取值范围．当x=1时，y=，当x=3时，y=，由可得A（1，），B（3，），从而k BC==，k AC==﹣，∴k的范围为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）38．已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数的y=log2x的图象交于C、D两点．（1）证明点C、D和原点O在同一条直线上；（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标．【解答】解：（Ⅰ）设点A、B的横坐标分别为x1、x2由题设知，x1＞1，x2＞1．则点A、B纵坐标分别为log8x1、log8x2．因为A、B在过点O的直线上，所以，点C、D坐标分别为（x1，log2x1），（x2，log2x2）．由于log2x1==3log8x1，log2x2==3log8x2OC的斜率，OD的斜率．由此可知，k1=k2，即O、C、D在同一条直线上．（Ⅱ）由于BC平行于x轴知log2x1=log8x2，即得log2x1=log2x2，∴x2=x13．代入x2log8x1=x1log8x2得x13log8x1=3x1log8x1．由于x1＞1知log8x1≠0，∴x13=3x1．考虑x1＞1解得x1=．于是点A的坐标为（，log8）．39．已知直线l：3x﹣y+3=0，求：（1）点P（4，5）关于l的对称点；（2）直线x﹣y﹣2=0关于直线l对称的直线方程．【解答】解：（1）设P（x，y）关于直线l：3x﹣y+3=0的对称点为P′（x′，y′）．∵k PP′•k1=﹣1，即×3=﹣1．①又PP′的中点在直线3x﹣y+3=0上，∴3×﹣+3=0．②由①②得把x=4，y=5代入③及④得x′=﹣2，y′=7，∴P（4，5）关于直线l的对称点P′的坐标为（﹣2，7）．（2）用③④分别代换x﹣y﹣2=0中的x，y，得关于l的对称直线方程为﹣﹣2=0，化简得7x+y+22=0．40．已知过点A（1，1）且斜率为﹣m（m＞0）的直线l与x轴、y轴分别交于P、Q，过P、Q作直线2x+y=0的垂线，垂足为R、S，求四边形PRSQ面积的最小值．【解答】解：设l的方程为y﹣1=﹣m（x﹣1），则P（1+，0），Q（0，1+m）．从而可得直线PR和QS的方程分别为x﹣2y﹣=0和x﹣2y+2（m+1）=0．又PR∥QS，∴|RS|==．又|PR|=，|QS|=，四边形PRSQ为梯形，S四边形PRSQ =[+]•=（m++）2﹣≥（2+）2﹣=3.6．∴四边形PRSQ的面积的最小值为3.6．41．已知直线l=1．（1）若直线的斜率小于2，求实数m的取值范围；（2）若直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．【解答】解：（1）直线l过点（m，0），（0，4﹣m），则2，解得m＞0或m＜﹣4且m≠4．∴实数m的取值范围是m＞0或m＜﹣4且m≠4；（2）由m＞0，4﹣m＞0得0＜m＜4，则，则m=2时，S有最大值，直线l的方程为x+y﹣2=0．42．有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=13km，BC=10km．今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系如图）（Ⅰ）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，点P应位于何处？（Ⅱ）若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？【解答】解：（Ⅰ）设P的坐标为（0，y），则P至三镇距离的平方和为f（y）=2（25+y2）+（12﹣y）2=3（y﹣4）2+146．所以，当y=4时，函数f（y）取得最小值．答：点P的坐标是（0，4）．（Ⅱ）解法一：P至三镇的最远距离为g（y）=由解得，记，因为在[y*，+∞）上是增函数，而|12﹣y|在（﹣∞，y*]上是减函数．所以y=y*时，函数g（y）取得最小值．答：点P的坐标是；解法二：P至三镇的最远距离为g（y）=由解得，记，函数x=g（y）的图象如图（a），因此，当y=y*时，函数g（y）取得最小值．答：点P的坐标是；解法三：因为在△ABC中，AB=AC=13，且，．所以△ABC的外心M在线段AO上，其坐标为，且AM=BM=CM．当P在射线MA上，记P为P1；当P在射线MA的反向延长线上，记P为P2，这时P到A、B、C三点的最远距离为P1C和P2A，且P1C≥MC，P2A≥MA，所以点P与外心M重合时，P到三镇的最远距离最小．答：点P的坐标是；43．已知直线l过点M（1，1），且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求：（1）当|OA|十|OB|取得最小值时，直线l的方程；（2）当|MA|2+|MB|2取得最小值时，直线l的方程．【解答】解：（1）设点A（a，0），B（0，b），且a＞0，b＞0，直线l的方程为：+=1，且直线l过点M（1，1），∴+=1①；∴a+b=（a+b）•（+）=2++≥2+2=4，当且仅当=，即a=b时取“=”，将a=b代入①式得a=2，b=2；∴直线l的方程为x+y﹣2=0，即|OA|+|OB|取最小值4时，l的方程为x+y﹣2=0；（2）设直线方程为y﹣1=k（x﹣1）（k＜0），则A（﹣+1，0），B（0，1﹣k），∴|MA|2+|MB|2=[（﹣）2+1]+[1+（﹣k）2]=2+k2+≥2+2•k2•=4，当且仅当k=﹣1时取“=”；∴当|MA|2+|MB|2取得最小值4时，直线l的方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．44．光线从点A（2，3）射出，若镜面的位置在直线l：x+y+1=0上，反射光线经过B（1，1），求入射光线和反射光线所在直线的方程，并求光线从A到B 所走过的路线长．【解答】解：设点A关于l的对称点为A′（x0，y0），∵AA′被l垂直平分，∴，解得∵点A′（﹣4，﹣3），B（1，1）在反射光线所在直线上，∴反射光线的方程为=，即4x﹣5y+1=0，解方程组得入射点的坐标为（﹣，﹣）．由入射点及点A的坐标得入射光线方程为，即5x﹣4y+2=0，光线从A到B所走过的路线长为|A′B|==．45．过点P（3，0）有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x﹣y﹣2=0与l2：x+y+3=0之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程．【解答】解：如图，设直线l夹在直线l1，l2之间的部分是AB，且AB被P （3，0）平分．设点A，B的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），则有，（4分）又A，B两点分别在直线l1，l2上，所以．（8分）由上述四个式子得，即A点坐标是，B（，﹣）（11分）所以由两点式的AB即l的方程为8x﹣y﹣24=0．（12分）46．已知△ABC的两个顶点A（﹣10，2），B（6，4），垂心是H（5，2），求顶点C的坐标．【解答】解：∴∴直线AC的方程为即x+2y+6=0（1）又∵k AH=0∴BC所直线与x轴垂直故直线BC的方程为x=6（2）解（1）（2）得点C的坐标为C（6，﹣6）47．如图，平行四边形ABCD（A，B，C，D按逆时针顺序排列），AB，AD 边所在直线的方程分别是x+4y﹣7=0，3x+2y﹣11=0，且对角线AC和BD的交点为M（2，0）（1）求点A的坐标（2）求CD边所在直线的方程．【解答】解：（1）由题意联立直线方程，解方程组可得，∴A（3，1）（2）解法一：A关于M的对称点为C，∴C（1，﹣1），又，∴CD边所在的直线方程为化为一般式可得：x+4y+3=0解法二：A关于M的对称点为C，∴C（1，﹣1），设CD边所在的直线方程为：x+4y+m=0，∴1+4×（﹣1）+m=0，解得m=3，∴CD边所在的直线方程为x+4y+3=0解法三：设P（x，y）为CD边所在的直线上的任一点，P关于点M的对称点为P′（x0，y0），。