导数与函数极值、最值问题(解析版).docx

【高考地位】

导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是

近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试卷难度考查较大.

【方法点评】

类型一利用导数研究函数的极值

使用情景：一般函数类型

解题模板：第一步计算函数 f (x) 的定义域并求出函数 f ( x) 的导函数f'(x)；

第二步求方程 f ' ( x) 0 的根；

第三步判断 f ' ( x) 在方程的根的左、右两侧值的符号；

第四步利用结论写出极值 .

例 1已知函数 f ( x)

1

ln x ，求函数f x的极值. x

【答案】极小值为 1 ，无极大值.

【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令 f ' ( x)0 ，可解出其极值点，然后根据导函数大于 0、小于 0 即可判断函数 f ( x)的增减性，进而求出函数 f (x) 的极大值和极小值．

【变式演练1】已知函数

f ( x) x 322

在 x1

处有极值

10

，则等于（

）ax bx a f (2)

A．11 或 18B．11C． 18D． 17 或 18【答案】 C

【解读】

试卷分析： f ( x)

3x

2

2ax b ,

3 2a b 0 b 3 2a

a 4 或 a 3 1 a

b a 2 10

a 2 a 12 0

．?

b 11

b 3

当

a

3

时 , f (x) 3( x 1)2

0, 在 x

1 处 不 存 在 极 值 ． ? 当

a 4 时 ，

b 3

b 11

f (x)

3x 2 8x 11 (3x 11)( x 1) ， x

( 11 ,1), f ( x) 0 ；x

(1, ), f ( x) 0 ,符合题意．所

3

以

a

4

． f (2)

8 16 22

16 18 ．故选 C ．

b

11

考点：函数的单调性与极值．

【变式演练 2】设函数 f x

ln x

1 ax

2 bx ，若 x 1 是 f x

的极大值点，则 a 的取值范围为

2

（ ）

A ．

1,0

B ． 1,

C ． 0,

D ．

, 1 U 0,

【答案】 B 【解读】

考点：函数的极值．

【变式演练 3】函数 f x

1 x 3

1

(m 1) x 2 2(m 1) x

在 (0,4) 上无极值，则 m _____.

( ) 3

2

【答案】 3 【解读】

试卷分析：因为 f (x)

1 x 3 1

(m 1)x 2

2(m 1) x ，

3

2

所以 f '(x)

x 2 (m 1)x 2(m 1)

x 2 x m 1 ，由 f ' x 0 得 x 2 或 x m 1，又因为

函数 f ( x) 1 x31

(m 1) x22(m 1)x 在 (0,4) 上无极值，而2 0,4，所以只有m1 2 ，m 3

32

时， f x在 R 上单调，才合题意，故答案为 3 .

考点： 1、利用导数研究函数的极值； 2、利用导数研究函数的单调性 .

【变式演练 4】已知等比数列 { a n} 的前 n 项和为S n2n 1k ，则f ( x) x3kx22x 1的极大

值为（）

A．2B．5

C．3D．

7 22

【答案】 B

【解读】

考点： 1、等比数列的性质； 2、利用导数研究函数的单调性及极值．

【变式演练5】设函数 f (x) x3(1a) x2ax 有两个不同的极值点x1， x2，且对不等式f ( x1) f ( x2 )0 恒成立，则实数 a 的取值范围是．

【答案】(, 1] U1, 2

2

【解读】

试卷分析：因为 f (x1) f (x2 )0 , 故得不等式x13x23 1 a x12x22 a x1 x20 ,即

x1 x2x1

2

3x1x2 1 a x1

2

2x1 x2 a x1x2 0 , x2x2

由于 f ' x3x2 2 1 a x a, 令 f ' x 0得方程 3x2 2 1 a x a 0, 因

x x 2 1a

4 a2 a 1 0 ,123，代入前面不等式 , 并化简得

故

x1 x2a

3

1a2a25a 2 0 ,解不等式得a 1 或1

a 2 ，因此,当a 1 或

1

a 2时 , 不等式22

f x1 f x20 成立 ,故答案为(, 1] U1,2 .

2

考点： 1、利用导数研究函数的极值点；2、韦达定理及高次不等式的解法 .

【变式演练 6】已知函数 f x x3ax2x 2 a0的极大值点和极小值点都在区间1,1 内,则实数 a 的取值范围是．

【答案】 3 a 2

【解读】

考点：导数与极值．

类型二求函数在闭区间上的最值

使用情景：一般函数类型

解题模板：第一步求出函数 f ( x) 在开区间 ( a,b) 内所有极值点；

第二步计算函数 f ( x) 在极值点和端点的函数值；

第三步比较其大小关系，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

例 2 若函数 f x e x x2mx ，在点 1, f 1 处的斜率为 e 1．

（ 1）求实数 m 的值；

（ 2）求函数 f x在区间1,1 上的最大值．

【答案】（） m1；（）

f x max e .

12

【解读】

试卷分析：（ 1）由f (1) e 1解之即可；

（ 2）

f x e x 2 1为递增函数且

f 1 e 1 0, f 1 e

1

3 0 ,

所以在区间

( 1,1)

上存x