123 模拟方法 概率的应用

12.3 模拟方法---概率的应用
一、选择题
1．取一根长度为4 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少
于1 m的概率是( )．
1112A. B. C. D.
4323解析把绳子4等分，当剪断点位于中间两部分时，两段绳子都不少于1 m，
故21P＝＝所求概率为.
42答案 C
ABMAM为边作正方形，则这个上任取一点2．在长为12 cm的线段，并以线段22
之间的概率为( )与81 cm．正方形的面积介于36 cm1144A. B.
C. D. 4327152AM＝636 cm，时，边长解析面积为9
－6312PAM＝＝9，∴＝＝面积为81 cm时，边长. 12124A
答案
的两个等腰直角三角形，的正方形中挖去边长为23cm、如图，在边长为325cm 现
有均匀的粒子散落在正方形中，问粒子落在中间带形区域的概率是多少？9896
625625 B.A.
68529625625 D. C.
因为均匀的粒子落在正方形内任何一点是等可能的解析
所以符合几何概型的条件。

625
＝×25A设＝“粒子落在中间带形区域”则依题意得正方形面积为：2512529
＝23×23两个等腰直角三角形的面积为：2××96 ＝－529625带形区域的面积
为：96625）＝（∴ PA
A
答案．
4.一只蚂蚁在如图所示的地板砖(除颜色不同外，其余全部相同)上爬来爬去，它
最后随意停留在黑色地板砖上的概率是( )
1111 D. A. B. C.
234541，故蚂蚁停留在黑每个小方块的面积相等，而黑色地板砖占总体的解析
1231 色地板砖上的概率是3B
答案SPBCABPABCS的概率是上任取一点的边上的面积大于5．在面积为的△，
则△ 4 ．( )2113 A. B. C. D.
3424BBABCPABCPBC的四分之，所以只需解析由△靠近，△有公共底边位于线段AE3PEA＝. 一分点之间，这是一个几何概型，∴与＝AB4C
答案
ABCDABOBCABABCD内随机取一为的中点，在长方形，＝16．，为长方形，＝2O
点，取到的点到的距离大于1的概率为( )．
ππππ D．－1－．A. B1 C.
8844O解析，1 如图，要使图中点到的距离大于
π－22πP－则该点需取在图中阴影部分，故概率为＝. 1＝42B 答案
ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，．分别以正方形7．若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为
( )．
4－ππ－2A. B. 224－ππ－2C. D. 44解析设正方形边长为2，阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接P＝，所以所求概率为－4－2，则阴影区域的面积为2ππ正方形的面积，即为2π－4π－2＝. 42答案 B
二、填空题
AB= ， BC=1，以A为圆心，1为矩形，8.如图，四边形ABCD为半径作四分3之一个圆弧DE，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率
是．
13，所以∠CAB=30°，当直线解析连接AC交弧DE于P，则tan∠CAB=
?3330?1与BC相交，所以概率P= 内时AP在∠CABAP?90?31 答案39．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若11此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打24篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为
________．
A＝{小波周末去看电影}，解析设BC＝{小波周末在家看书}，，小波周末去打篮球＝{}D，如图所示，}小波周末不在家看书{＝
1122π－π4213DP. 则－(＝)＝116π13 答案16UxyxyxyAxyxy≥0，≥0}，＝{()|，)|＝＋{(≤6，≤4，≥0，10．已知平面区域，xyUPPA的概率为________落入区域内随机投一点．，则点－2 ≥0}，若向区域UA所表示的平面区域(如图依题意可在平面直角坐标系中作出集合)与，解析S2A SSPAP＝＝，则点落入区域由图可知.
＝18，的概率为＝4AU S9U
2 答案922baxbxxa＝＋的方程02＋11．在区间[0,1]上任取两个数，有实数根，则关于的概率为________．
22ba≥0，＝Δ44 －解析由题意得a≤1，0≤
??b ≤1，0≤baba ≥.，∴∈ [0,1]∴∵，画出该不?ba ，≥ ．故所求(如图中阴影部分所示)等式组表示的可行域1.
概率等于三角形面积与正方形面积之比，即所求概率为 21 答案 2OT 30°角的终边上，任作一条射线．如图所示，在直角坐标系内，射线12落在yOTOAOA ________，则射线．落在∠内的概率为
yOTOAOA 内的落在∠在坐标系内是等可能分布的，则如题图，因为射线 解析． 601概率为＝.
36061 答案 6三、解答题
13. 在1升高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少？
解析 病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫升种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率．取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A ，则 取出的种子体积10 P(A) ??0.01? 所有种子的体积1000所以取出的种子中含有麦锈病种子的概率是0.01.
xymxn .
＝．已知关于14＋的一次函数PQPQ 中随机取一2,3}，分别从集合和和＝{－(1)设集合，－＝{－21,1,2,3}mnymxn 是增函数的概率； 和，求函数＋＝个数作为 nm －1≤0，＋??m ≤1，－1≤nm ，满足条件(2)实数?n ≤1，－1≤ymxn 的图象经过一、二、三象限的概率．＋求函数＝
解析 (1)抽取的全部结果的基本事件有：
(－2，－2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共10个基本事件，设使函
AA 包含的基本事件有：(1，－2)，(1,3)，(2数为增函数的事件为，－，则2)，63AP ＝)＝，2)(3,3)，共6个基本事件，所以，. (，(2,3)(3，－ 105 nm －1≤0，＋??m ≤1，－1≤nm (2)、的区域如图所示：满足条件?n ≤
1
－1≤nm，故使函数图象过一、二、0＞0，＞要使函数的图象过一、二、三象限，则nm的区域为第一象限的阴影部分，)，(三象限的．
121P＝＝∴所求事件的概率为.
772xyPxyxyPx－(满足∈的坐标为(R，时，)．已知15|，求当|≤2，|，|≤2，点22y≤4的概率．2)＋( 2)－思路分析由题意画出图象可求面积之
比．
ABCDP所在的区域为正方形解析如图，点的内22yx≤4－，满足(2)－2)的点的区域＋(部(含边界) )．2为半径的圆面(含边界为以(2,2)为圆心，12×2π4
πP.
＝∴所求的概率＝1164×4解决几何概型的概率问题一般利用图形
辅助解题，分析题目，找到区【点评】
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域，对照定义可求得结果，较好地体现了数形结合思想的重要性ByyxAMABx，在集)|∈∈2,0,2}，1,1}＝{－，设}＝{(，，16．已知集合{＝－yxM，合．内随机取出一个元素()22yxyx＋上的概率；＝(1)求以(，1)为坐标的点落在圆yx ＋2≥0，－??yx－2≤0，＋Dyx)为坐标的点位于区域)：的概率．内((2)求以(含
边界，?
y1≥－22yyxx )为坐标的点落在圆上”＝＋(解析 (1)记“以1，22yxA＝＋因落在圆1上为事件，则基本事件总数为6.12AA.
＝(＝)的点有(0，－1)，(0,1)2个，即包含的基本事件数为2，所以36Byx)为坐标的点位于区域内”为事件(2)记“以(，，D) 内(则基本事件总数为6，由
图知位于区域含边界，1)，(0,1)，－，－，－的点有：(－21)，(21)，(024BPB. ＝，故个，即共4包含的基本事件数为4()＝63。