电工作业答案
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x 0时有极大值，此处发现粒子的概率最大，最大值为 a
.
（2）平均势能：
U
a
am 2 2
e
1 ax 2 2
1 m 2 x e 2
2 a x
2 2
1 ax 2 2 2
dx
x2
a
e
1 ax 2 2
xe
1 ax 2 2 2
dx
体积称为简约区或第一布里渊区。
1、什么是电子能带，电子能带是如何形成的？ 在晶体中，晶体周期势场的微扰作用，使得电子能谱在布里 渊区边界处出现不连续，发生能量的突变。使得电子可能具 有的能量是分段存在的。其中允许存在的能量范围称为许可 带，每两个可取的许可能量段之间为一不允许的能量范围所 隔开，这些能量范围均称为禁带。电子的能带是由禁带和许 可带共同组成的。
M Z NA d abc
abcdN A Z M
NA为阿伏加德罗常数
P.79,第6题
解：一维复式格子的色散关系为：
2
2 2 M m M m 2Mm cos aq
Mm
2 ( M m) 6.7 1013 Hz Mm
(1) 光学波的最大频率在布利渊区中心处：q＝0
2、什么是电子气的状态密度？什么是格波的频率分布函数， 比较二者的关系。
在q空间中，格波振动频率处在－＋d单位频率之间的
振动模式数，称为格波的频率分布函数。
在k空间中，能带中处在E－E＋dE单位能量间隔内的电 子能态数，称为电子气的状态密度。 由于晶格振动频率是准连续的，振动的波矢在q空间的分布是 均匀的。所以可引入频率分布函数来计算晶格振动的模式。 同样，固体中电子的能量是准连续，电子波矢在k空间分布是 均匀的，所以可引入状态密度来计算电子的能态数。所用引 入二者的原因是类似。此外，格波波矢q和电子波矢K在倒空 间的取值是一致。
xe
dx
a
xe
2 a2 x2
dx
1 2 2 所以， U m x 2
P.40,第9题 由费米分布函数可得：
f (E) e
1
E EF k 0T
1
对费米能级以上0.1ev的能级，电子分布给率为：
f (E)
1
0.1ev 0.025 ev
1.8%
e 1 对费米能级以下0.1ev的能级，电子分布给率为： 1 f ( E ) 0.1ev 98 .2% e 0.025 ev 1
1
（4) 电磁波能够激发长光学波，设波长为
，则：
c
2
o max
第3章
2、什么是布里渊区？
解答：在晶体的周期性势场中，波矢相差一个倒格矢，
晶格振动的状态相同，因此通常将k取在由各个倒格矢的
垂直平分面所围成的体积相等的封闭体积内，这些封闭 的体积即为布里渊区，其中包含原点在内的最小的封闭
P.119,第2题
P.120,第3题
dE 0 可解得： 解：(i) 由 dk 1 sin ka sin 2ka 0; 4
1 sin ka sin ka cos ka 0 2 sin ka o; cos ka 2
因为ka为实数，若只有sin ka=0存在，则ka=n
*
1
1 2 3 2 m 2
2
2 m 3
第2章
1、实验测得硅的密度为2.33g/cm3，已知每个晶胞中 含有8个Si原子，Si原子量为28，计算Si的晶胞参数。 解：设硅的晶胞参数为a
23 8 28 / 6.02 10 硅的密度可表示为： a3
已知密度为2.33g/cm3,可计算得晶胞常数a为5.4×10-8cm.
2、假设晶格常数为a，试分别计算简立方、体心 立方和面心立方结构晶胞的致密度。 解： 简立方：
解：（1）由归一化条件：
dx 1 2 A
2
0
e
ax 2
1 dx 2 a
1 2
Ae
2 a2 x2
0
e
a2 x2
a dx 1 A
（2）概率密度：
2
a
e
a2 x2
d d a a 2 x 2 2a3 a2 x2 令 e xe 0 dx dx
面心立方：
一个晶胞中的原子数为4个，原子半径为 2a / 4,
Va 4 / 3 ( 2a / 4)3 4 致密度＝ ＝ 0.74 3 Vc a
3、画出体心立方和面心立方晶格结构的金属在 （100），（110）和（111）面上的原子排列。
解： 体心立方：
(100) (110) (111)
正方格子
中心长方格子
六角格子
面心立方：
(100) (110)
(111)
正方格子
长方格子
六角格子
4、在立方晶胞中, 画出（101）（021）(122) (210) 晶面
、
5、若已知某正交化合物的晶格常数为a、b、c，测得密度为d，假定该化 合物的分子量为M，试导出每个晶胞中含有的分子的个数Z。
解：正交化合物的密度
o max
光学波的最小频率在布利渊区边界处：q＝ / a
o min
2 5.5 1013 Hz m
(2) 声学波的最大频率在布利渊区边界处：q＝ / a
A max
2 3.0 1013 Hz m
（3) 相应的声子能量分别为：
E
o max
o max
0.044ev
(sin ka 1 4 sin 2ka ) ma
（iii） m
*
1
1 d 2E 2 dk 2
d 2E 2 1 ; 2 (coska cos 2ka) dk m 2
1 2m 1 2 2 2 m
* 带底位于 k o m (k 0)
带顶位于 k a m (k a )
第1章
P.39,第1题
解：（1）由归一化条件：
2 2
( x) dx A x 2e 2 Ax dx
0 2
0
x n e ax dx
n! a n 1
A
0
xe
2 2 Ax
2! 1 dx A 1 3 (2 A) 4A
2
A 1/ 4
（2）概率分布函数：
n 0, k 0; n 1, k
a
2 2 k 0时, E (o) 0; k 时, E 2 a a m a
2 2 能带宽 m a2
（ii）
1 dE 1 2 2a V (k ) ( a sin ka 8 sin 2ka) 2 dk m a
1 w ( x) xe 4
2 1 2 x 4 x 1 2 1 2 xe 16
（3）对w求极大值：
x dw 1 1 2 2x 2 (2 xe x e ) 0 dx 16 2 1 1
x 0, x 4
带入w，可得x＝4时有极大值，该处概率最大
P.40,第3题
一个晶胞中的原子数为1个，原子半径为a/2,
Va 4 / 3 (a / 2)3 1 致密度＝ ＝ 0.52 3 Vc a
体心立方：
一个晶胞中的原子数为2个，原子半径为 3a / 4 ,
Va 4 / 3 ( 3a / 4)3 2 致密度＝ ＝ 0.68 3 Vc a
E
Fra Baidu bibliotek
o min
o min
0.04ev
A A Emax max 0.02ev
（4) 在300k时可激发的声子数分别为：
n
o max
1 e
o max / k 0T
1 1
1 e
1.69
1
n
o min
1 e
o min / k0T
1
n
A max
e
A max / k0T
.
（2）平均势能：
U
a
am 2 2
e
1 ax 2 2
1 m 2 x e 2
2 a x
2 2
1 ax 2 2 2
dx
x2
a
e
1 ax 2 2
xe
1 ax 2 2 2
dx
体积称为简约区或第一布里渊区。
1、什么是电子能带，电子能带是如何形成的？ 在晶体中，晶体周期势场的微扰作用，使得电子能谱在布里 渊区边界处出现不连续，发生能量的突变。使得电子可能具 有的能量是分段存在的。其中允许存在的能量范围称为许可 带，每两个可取的许可能量段之间为一不允许的能量范围所 隔开，这些能量范围均称为禁带。电子的能带是由禁带和许 可带共同组成的。
M Z NA d abc
abcdN A Z M
NA为阿伏加德罗常数
P.79,第6题
解：一维复式格子的色散关系为：
2
2 2 M m M m 2Mm cos aq
Mm
2 ( M m) 6.7 1013 Hz Mm
(1) 光学波的最大频率在布利渊区中心处：q＝0
2、什么是电子气的状态密度？什么是格波的频率分布函数， 比较二者的关系。
在q空间中，格波振动频率处在－＋d单位频率之间的
振动模式数，称为格波的频率分布函数。
在k空间中，能带中处在E－E＋dE单位能量间隔内的电 子能态数，称为电子气的状态密度。 由于晶格振动频率是准连续的，振动的波矢在q空间的分布是 均匀的。所以可引入频率分布函数来计算晶格振动的模式。 同样，固体中电子的能量是准连续，电子波矢在k空间分布是 均匀的，所以可引入状态密度来计算电子的能态数。所用引 入二者的原因是类似。此外，格波波矢q和电子波矢K在倒空 间的取值是一致。
xe
dx
a
xe
2 a2 x2
dx
1 2 2 所以， U m x 2
P.40,第9题 由费米分布函数可得：
f (E) e
1
E EF k 0T
1
对费米能级以上0.1ev的能级，电子分布给率为：
f (E)
1
0.1ev 0.025 ev
1.8%
e 1 对费米能级以下0.1ev的能级，电子分布给率为： 1 f ( E ) 0.1ev 98 .2% e 0.025 ev 1
1
（4) 电磁波能够激发长光学波，设波长为
，则：
c
2
o max
第3章
2、什么是布里渊区？
解答：在晶体的周期性势场中，波矢相差一个倒格矢，
晶格振动的状态相同，因此通常将k取在由各个倒格矢的
垂直平分面所围成的体积相等的封闭体积内，这些封闭 的体积即为布里渊区，其中包含原点在内的最小的封闭
P.119,第2题
P.120,第3题
dE 0 可解得： 解：(i) 由 dk 1 sin ka sin 2ka 0; 4
1 sin ka sin ka cos ka 0 2 sin ka o; cos ka 2
因为ka为实数，若只有sin ka=0存在，则ka=n
*
1
1 2 3 2 m 2
2
2 m 3
第2章
1、实验测得硅的密度为2.33g/cm3，已知每个晶胞中 含有8个Si原子，Si原子量为28，计算Si的晶胞参数。 解：设硅的晶胞参数为a
23 8 28 / 6.02 10 硅的密度可表示为： a3
已知密度为2.33g/cm3,可计算得晶胞常数a为5.4×10-8cm.
2、假设晶格常数为a，试分别计算简立方、体心 立方和面心立方结构晶胞的致密度。 解： 简立方：
解：（1）由归一化条件：
dx 1 2 A
2
0
e
ax 2
1 dx 2 a
1 2
Ae
2 a2 x2
0
e
a2 x2
a dx 1 A
（2）概率密度：
2
a
e
a2 x2
d d a a 2 x 2 2a3 a2 x2 令 e xe 0 dx dx
面心立方：
一个晶胞中的原子数为4个，原子半径为 2a / 4,
Va 4 / 3 ( 2a / 4)3 4 致密度＝ ＝ 0.74 3 Vc a
3、画出体心立方和面心立方晶格结构的金属在 （100），（110）和（111）面上的原子排列。
解： 体心立方：
(100) (110) (111)
正方格子
中心长方格子
六角格子
面心立方：
(100) (110)
(111)
正方格子
长方格子
六角格子
4、在立方晶胞中, 画出（101）（021）(122) (210) 晶面
、
5、若已知某正交化合物的晶格常数为a、b、c，测得密度为d，假定该化 合物的分子量为M，试导出每个晶胞中含有的分子的个数Z。
解：正交化合物的密度
o max
光学波的最小频率在布利渊区边界处：q＝ / a
o min
2 5.5 1013 Hz m
(2) 声学波的最大频率在布利渊区边界处：q＝ / a
A max
2 3.0 1013 Hz m
（3) 相应的声子能量分别为：
E
o max
o max
0.044ev
(sin ka 1 4 sin 2ka ) ma
（iii） m
*
1
1 d 2E 2 dk 2
d 2E 2 1 ; 2 (coska cos 2ka) dk m 2
1 2m 1 2 2 2 m
* 带底位于 k o m (k 0)
带顶位于 k a m (k a )
第1章
P.39,第1题
解：（1）由归一化条件：
2 2
( x) dx A x 2e 2 Ax dx
0 2
0
x n e ax dx
n! a n 1
A
0
xe
2 2 Ax
2! 1 dx A 1 3 (2 A) 4A
2
A 1/ 4
（2）概率分布函数：
n 0, k 0; n 1, k
a
2 2 k 0时, E (o) 0; k 时, E 2 a a m a
2 2 能带宽 m a2
（ii）
1 dE 1 2 2a V (k ) ( a sin ka 8 sin 2ka) 2 dk m a
1 w ( x) xe 4
2 1 2 x 4 x 1 2 1 2 xe 16
（3）对w求极大值：
x dw 1 1 2 2x 2 (2 xe x e ) 0 dx 16 2 1 1
x 0, x 4
带入w，可得x＝4时有极大值，该处概率最大
P.40,第3题
一个晶胞中的原子数为1个，原子半径为a/2,
Va 4 / 3 (a / 2)3 1 致密度＝ ＝ 0.52 3 Vc a
体心立方：
一个晶胞中的原子数为2个，原子半径为 3a / 4 ,
Va 4 / 3 ( 3a / 4)3 2 致密度＝ ＝ 0.68 3 Vc a
E
Fra Baidu bibliotek
o min
o min
0.04ev
A A Emax max 0.02ev
（4) 在300k时可激发的声子数分别为：
n
o max
1 e
o max / k 0T
1 1
1 e
1.69
1
n
o min
1 e
o min / k0T
1
n
A max
e
A max / k0T