人教版九上数学之弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图--知识讲解(提高)
弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图--知识讲解(提高)
责编:常春芳
【学习目标】
1.通过复习圆的周长、圆的面积公式,探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积
的计算公式,并应用这些公式解决问题;
2.了解圆锥母线的概念,理解圆锥侧面积计算公式,理解圆锥全面积的计算方法,会应用公式解决问题;
3.能准确计算组合图形的面积.
【要点梳理】
要点一、弧长公式
半径为R的圆中
360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式:
n°的圆心角所对的圆的弧长公式:(弧是圆的一部分)
要点诠释:
(1)对于弧长公式,关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的,即;
(2)公式中的n表示1°圆心角的倍数,故n和180都不带单位,R为弧所在圆的半径;
(3)弧长公式所涉及的三个量:弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径,知道其中的两个量就可以求
出第三个量.
要点二、扇形面积公式
1.扇形的定义
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.
2.扇形面积公式
半径为R的圆中
360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式:
n°的圆心角所对的扇形面积公式:
要点诠释:
(1)对于扇形面积公式,关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的,即
;
(2)在扇形面积公式中,涉及三个量:扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角,知道其中的两个量就可以求出第三个量.
,可根据题目条件灵活选择使用,它与三角形面积公式有点
(3)扇形面积公式
类似,可类比记忆;
(4)扇形两个面积公式之间的联系:
.
要点三、圆锥的侧面积和全面积
π或
连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
圆锥的母线长为,底面半径为r,侧面展开图中的扇形圆心角为n°,则
圆锥的侧面积S=
扇nπl2
360=πrl,
圆锥的全面积.
要点诠释:
扇形的半径就是圆锥的母线,扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此,要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积,全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.
【典型例题】
类型一、弧长和扇形的有关计算
1.如图所示,一纸扇完全打开后,外侧两竹条AB、AC的夹角为120°,BC的长为20πcm,
那么AB的长是多少?
【答案与解析】
∵l=nπR 180,
120?π?R
∴20π=.
180
解得R=30cm.
答:AB的长为30cm.
【总结升华】由弧长公式l=nπR
180知,已知l、n,可求R.
举一反三:
【高清ID号:359387高清课程名称:弧长扇形圆柱圆锥
关联的位置名称(播放点名称):经典例题5-6】
【变式】一个圆柱的侧面展开图是相邻边长分别为10和16的矩形,则该圆柱的底面圆半径是.
【答案】由圆柱的侧面展示图知:2πr=10或2πr=16,解得r=58
π
.
2.如图所示,矩形ABCD中,AB=1,AD=3,以BC的中点E为圆心的MPN与AD相切于点P,则图中阴影部分的面积是多少?
= 2 = O
【答案与解析】
∵ BC =AD = 3 ,∴
BE =
3
2
.
连接 PE ,∵ AD 切⊙E 于 P 点,∴ PE ⊥AD . ∵ ∠A =∠B =90°.
∴ 四边形 ABEP 为矩形, ∴ PE =AB =1.
3
BE 3 在 △R t BEM 中, ,∠BEM =30°. ME 1 2
同理∠CEN =30°,∴ ∠MEN =180°-30°×2=120°.
∴
S
扇形 n π R 2 120 ? π ?12 π = = = . 360 360 3
【总结升华】由 MPN 与 AD 相切,易求得扇形 MEN 的半径,只要求出圆心角∠MEN 就可以利用扇形面积
公式求得扇形 MEN 的面积.
举一反三:
【高清 ID 号:359387 高清课程名称:弧长 扇形 圆柱 圆锥
关联的位置名称(播放点名称):经典例题 5-6】
【变式】若圆锥经过轴的截面是一个正三角形,则它的侧面积与底面积之比是(
).
A . 3: 2
B . 3 :1
C . 5:3
D . 2 :1 【答案】D ;
【解析】设圆锥底面圆的半径为 r ,∴S 底=π r 2,S 侧= ?2r?2π r=2π r 2,∴S 侧:S 底=2π r 2:π r 2=2:1.
类型二、圆锥面积的计算
3. 如图(1),从一个直径是 2 的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90 的扇形.
(1)求这个扇形的面积(结果保留 π ).
(2)在剩下的三块余料中,能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥?请说
明理由.
(3)当⊙O 的半径 R ( R > 0) 为任意值时,(2)中的结论是否仍然成立?请说明理由.
A
① ② B
C
③
E
C EF=AF-AE=2-2弧BC的长:l=nπR
2πr=2
由勾股定理求得:AB=AC=2R弧BC的长:l=nπR
【答案与解析】
(1)连接BC,如图(2),由勾股定理求得:
nπR21
AB=AC=2S==π
3602
(2)连接AO并延长,与弧BC和O交于E,F,
B
A
①②
O
③
F
2
=π,图(2)
1802
2
π∴圆锥的底面直径为:2r=
22
2-2<2
2,∴不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥.
(3)(2)中的结论仍然成立.
2
=πR
1802
2πr=2πR
2
∴圆锥的底面直径为:2r=2 2 R
EF=AF-AE=2R-2R=(2-2)R
2-2<2
且R>0 2
∴(2-2)R<2 2 R
即无论半径R为何值,EF<2r
∴不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥.
【总结升华】(1)连接BC、OA,由于∠BAC=90°,根据圆周角定理知BC为⊙O的直径,根据等腰三角形的性质即可求出AB、AC的长,即扇形的半径长,已知了扇形的圆心角为90°,根据扇形
的面积公式即可求出扇形的面积.
(2)过A作⊙O的直径AF,求出以FE为直径的圆的周长,若此圆的周长<弧BC的长,则
不能围成圆锥,反之则能.
举一反三:
【变式】(2015?黔西南州)已知圆锥的底面圆半径为3,母线长为5,则圆锥的全面积是.
【答案】24π.
【解析】底面周长是:2×3π=6π,
则侧面积是:×6π×5=15π,
底面积是:π×32=9π,
则全面积是:15π+9π=24π.
故答案为:24π.
类型三、组合图形面积的计算
4.(2015?山西模拟)如图,已知⊙O△是ABC的外接圆,AC是直径,∠A=30°,BC=2,点D 是AB的中点,连接DO并延长交⊙O于点P,过点P作PF⊥AC于点F.
(1)求劣弧PC的长;(结果保留π)
(2)求阴影部分的面积.(结果保留π).
【答案与解析】
解:(1)∵点D是AB的中点,PD经过圆心,
∴PD⊥AB,
∵∠A=30°,
∴∠POC=∠AOD=60°,OA=2OD,
∵PF⊥AC,
∴∠OPF=30°,
∴OF=OP,
∵OA=OC,AD=BD,
∴BC=2OD,
∴OA=BC=2,
∴⊙O的半径为2,
∴劣弧PC的长=(2)∵OF=OP,∴OF=1,
∴PF====π;,
∴S
阴影=S
扇形
﹣△S OPF=﹣×1×=π﹣.
【总结升华】本题考查了垂径定理的应用,30°角的直角三角形的性质,三角形的中位线的性质,弧长公式以及扇形的面积公式等,求得圆的半径和扇形的圆心角的度数是解题的关键.