优化模型与LINDOLINGO软件PPT课件
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优化模型与LINDOLINGO软件
火车站
公路
管道
450 里程（km）
5
运输问题
某种原材料有M个产地，现在需要将原材料从
产地运往N个工地，假定M个产地的产量为ai和N个
工地的需求量为bj，单位产品的运费cij已知，那么如
何安排运输方案可以使总运费最低？
状
态
数学模型：
变
量 cij —单位运费；
xij —运输量；
MN
min
cij xij
• 35元可买到1桶牛奶，每天最多买多少？ 最多买10桶!
例2 奶制品的生产销售计划 在例1基础上深加工
1桶 牛奶 或
12小时
3千克A1 获利24元/公斤
1千克 2小时,3元
0.8千克B1
获利44元/千克
8小时 4公斤A2
获利16元/公斤
50桶牛奶, 480小时
1千克 2小时,3元
0.75千克B2
x1-2x2≤2 L2 3x1+2x2≤14 L3 x1，x2≥0
L3
L1
L2
11
4. 局部最优解 5. 整体最优解
函数曲面图形
等值线图
多峰函数，存在局部最大和整体最大
12
建模时需要注意的几个基本问题
1.尽量使用实数优化，减少整数约束和整数变量 2.尽量使用光滑优化，减少非光滑约束的个数 如：尽量少使用绝对值、符号函数、多个变量求最 大/最小、四舍五入、取整函数等 3.尽量使用线性模型，减少非线性约束和非线性变 量的个数 4.合理设定变量的上下界，尽可能给出变量初始值 5.模型中使用的参数数量级要恰当（小于103）
源 加工能力剩余40
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
公路
管道
450 里程（km）
5
运输问题
某种原材料有M个产地，现在需要将原材料从
产地运往N个工地，假定M个产地的产量为ai和N个
工地的需求量为bj，单位产品的运费cij已知，那么如
何安排运输方案可以使总运费最低？
状
态
数学模型：
变
量 cij —单位运费；
xij —运输量；
MN
min
cij xij
• 35元可买到1桶牛奶，每天最多买多少？ 最多买10桶!
例2 奶制品的生产销售计划 在例1基础上深加工
1桶 牛奶 或
12小时
3千克A1 获利24元/公斤
1千克 2小时,3元
0.8千克B1
获利44元/千克
8小时 4公斤A2
获利16元/公斤
50桶牛奶, 480小时
1千克 2小时,3元
0.75千克B2
x1-2x2≤2 L2 3x1+2x2≤14 L3 x1，x2≥0
L3
L1
L2
11
4. 局部最优解 5. 整体最优解
函数曲面图形
等值线图
多峰函数，存在局部最大和整体最大
12
建模时需要注意的几个基本问题
1.尽量使用实数优化，减少整数约束和整数变量 2.尽量使用光滑优化，减少非光滑约束的个数 如：尽量少使用绝对值、符号函数、多个变量求最 大/最小、四舍五入、取整函数等 3.尽量使用线性模型，减少非线性约束和非线性变 量的个数 4.合理设定变量的上下界，尽可能给出变量初始值 5.模型中使用的参数数量级要恰当（小于103）
源 加工能力剩余40
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
LINGO与LINDO比较.ppt
8
LINGO WINDOWS命令
窗口菜单（Windows Menu） 1． 命令行窗口（Open Command Window）
ＬＩＮＧＯ有两种命令模式：ＷＩＮＤＯＷＳ模式和命令行模式
在命令行窗口中可以获得命令行界面，在“:”提示符后可以输 入LINGO的命令行命令。 2． 状态窗口（Status Window） 如果在编译期间没有表达错误，那么LINGO将调用适当的求解器 来求解模型。
或有多个集部分。一个集部分可以放置于模型的任何地方， 但是一个集及其属性在模型约束中被引用之前必须定义了 它们
15
定义原始集
语法： setname[/member_list/][:attribute_list];
注意：用“[]”表示该部分内容可选。
非负整数
Active
有效步数
非负整数
命令内容结束
14
LINGO中的集
LINGO有两种类型的集：原始集和派生集。 一个原始集是由一些最基本的对象组成的。原始集是
基本的对象，不能再被拆分成更小的组分 一个派生集是用一个或多个其它集来定义的，也就是
说，它的成员来自于其它已存在的集。 一个模型可以没有集部分，或有一个简单的集部分，
显示LINGO中几个特殊求解器的运行状态。包括分枝定界求解器（Branch-andBound Solver）、全局求解器（Global Solver）和多初始点求解器（Multistart Solver）。该框中的域仅当这些求解器运行时才会更新。域的含义如下
域名 Solver Type
Best ObBiblioteka Obj Bound1LINGO与LINDO比较
• LINGO除具有LINDO的全部功能外，还可用于求解非线性规划问题 • LINGO包含了内置的建模语言,允许以简练,直观的方式描述较大规模
LINGO WINDOWS命令
窗口菜单（Windows Menu） 1． 命令行窗口（Open Command Window）
ＬＩＮＧＯ有两种命令模式：ＷＩＮＤＯＷＳ模式和命令行模式
在命令行窗口中可以获得命令行界面，在“:”提示符后可以输 入LINGO的命令行命令。 2． 状态窗口（Status Window） 如果在编译期间没有表达错误，那么LINGO将调用适当的求解器 来求解模型。
或有多个集部分。一个集部分可以放置于模型的任何地方， 但是一个集及其属性在模型约束中被引用之前必须定义了 它们
15
定义原始集
语法： setname[/member_list/][:attribute_list];
注意：用“[]”表示该部分内容可选。
非负整数
Active
有效步数
非负整数
命令内容结束
14
LINGO中的集
LINGO有两种类型的集：原始集和派生集。 一个原始集是由一些最基本的对象组成的。原始集是
基本的对象，不能再被拆分成更小的组分 一个派生集是用一个或多个其它集来定义的，也就是
说，它的成员来自于其它已存在的集。 一个模型可以没有集部分，或有一个简单的集部分，
显示LINGO中几个特殊求解器的运行状态。包括分枝定界求解器（Branch-andBound Solver）、全局求解器（Global Solver）和多初始点求解器（Multistart Solver）。该框中的域仅当这些求解器运行时才会更新。域的含义如下
域名 Solver Type
Best ObBiblioteka Obj Bound1LINGO与LINDO比较
• LINGO除具有LINDO的全部功能外，还可用于求解非线性规划问题 • LINGO包含了内置的建模语言,允许以简练,直观的方式描述较大规模
(外校培训课件)优化模型与LINGO软件求解——LINGO学习集全资料文档
NLP: 非线性规划
(2)最优状态 全局全优
(3)最优目标值: 10
约束条件情况最优解： (1)约束总个数X4=100,按方法4 (2)非线性个数X6=50, 按方法6
25
[例1] 下料(截割问题)及求解
❖ [模型-2]的求解结果：
最优目标函 数值：90
x1=40, 按方法1截割 x2=20, 按方法2截割 x6=30. 按方法6截割
26
[例1] 下料(截割问题)及求解
❖ 求解结果分析：
在追求“余料最少”目标时，“≥”约 束把条件放宽了。
修正方法：改为“=”约束
模型(1)的求解结果： 最优目标(余料)=10m
(x4,x6)=(100,50) 耗用原料 = 150根
是否符 合原问 题要求?
不符合。 (1)问题出在哪里? (2)如何修正?
2
一、竞赛题中的优化模型总结
❖ 2.优化类竞赛题小结 ❖ 在全国数模竞赛中，优化问题是出现频率最
高的一类竞赛题。 ❖ 从1992-20××年全国大学生数模竞赛试题
的解题方法统计结果来看，优化模型共出现 了17次以上，占到了50%。 ❖ 即每两道竞赛题中就有一道涉及到利用优化 理论来建模和求解。
3
一、竞赛题中的优化模型总结
题
13
(三) 典型数学规划问题及求解
❖ 例1 下料(截割)问题及求解 ❖ 例2 运输问题及求解 ❖ 例3 非线性规划问题及求解 ❖ 例4 分派(选址)问题及求解 ❖ 例5 动态规划问题及求解
14
[例1] 下料(截割)问题及求解
1. 问题提出 2. 建立数学模型 3. 编写LINGO求解程序 4. 执行程序 5. 获得计算结果并分析 6. 修正模型，重新求解 7.课后作业 8.编程小结
lingo讲座.ppt
值法进行计算 2．@pcx(n,x) 自由度为n的χ2分布的累积分布函数。 3．@peb(a,x) 当到达负荷为a，服务系统有x个服务器且允许无穷排队时的
Erlang繁忙概率。 4．@pel(a,x) 当到达负荷为a，服务系统有x个服务器且不允许排队时的Erlang
繁忙概率。 5．@pfd(n,d,x) 自由度为n和d的F分布的累积分布函数。
如果x<0返回-1；否则，返回1
@floor(x)
返回x的整数部分。
@smax(x1,x2,…,xn) 返回x1，x2，…，xn中的最大值
@smin(x1,x2,…,xn) 返回x1，x2，…，xn中的最小值
概率函数 1．@pbn(p,n,x) 二项分布的累积分布函数。当n和（或）x不是整数时，用线性插
复杂变量：集合
Lingo中没有数组，代之以集合及其属性
集是一群相联系的对象，这些对象也称为集的成员。 一个集可能是一系列产品、卡车或雇员。每个集成员 可能有一个或多个与之有关联的特征，我们把这些特征 称为属性。属性值可以预先给定，也可以是未知的， 有待于LINGO求解。例如，产品集中的每个产品可以有 一个价格属性；卡车集中的每辆卡车可以有一个牵引力 属性；雇员集中的每位雇员可以有一个薪水属性，也可 以有一个生日属性等等。
何时会提升速度？
与数据段不同的是：模型中的变量在这里赋值之后，在模型中 几乎一定会被改变！
（2）Lingo中的运算符与内部函数
三类运算符：算术运算符, 逻辑运算符, 关系运算符
优先级 最高
最低
运算符 #NOT# -（负号） ^ */ + -（减法） #EQ# #NE# #GT# #GE# #LT# #LE# #AND# #OR# <(=) = >(=)
Erlang繁忙概率。 4．@pel(a,x) 当到达负荷为a，服务系统有x个服务器且不允许排队时的Erlang
繁忙概率。 5．@pfd(n,d,x) 自由度为n和d的F分布的累积分布函数。
如果x<0返回-1；否则，返回1
@floor(x)
返回x的整数部分。
@smax(x1,x2,…,xn) 返回x1，x2，…，xn中的最大值
@smin(x1,x2,…,xn) 返回x1，x2，…，xn中的最小值
概率函数 1．@pbn(p,n,x) 二项分布的累积分布函数。当n和（或）x不是整数时，用线性插
复杂变量：集合
Lingo中没有数组，代之以集合及其属性
集是一群相联系的对象，这些对象也称为集的成员。 一个集可能是一系列产品、卡车或雇员。每个集成员 可能有一个或多个与之有关联的特征，我们把这些特征 称为属性。属性值可以预先给定，也可以是未知的， 有待于LINGO求解。例如，产品集中的每个产品可以有 一个价格属性；卡车集中的每辆卡车可以有一个牵引力 属性；雇员集中的每位雇员可以有一个薪水属性，也可 以有一个生日属性等等。
何时会提升速度？
与数据段不同的是：模型中的变量在这里赋值之后，在模型中 几乎一定会被改变！
（2）Lingo中的运算符与内部函数
三类运算符：算术运算符, 逻辑运算符, 关系运算符
优先级 最高
最低
运算符 #NOT# -（负号） ^ */ + -（减法） #EQ# #NE# #GT# #GE# #LT# #LE# #AND# #OR# <(=) = >(=)
Lingo教程PPT优秀课件
演示(试用)版、学生版、高级版、超级版、工业版、扩展版…
求解问题规模和选件不同
2
LINDO和LINGO软件能求解的优化模型
连续优化
优化模型 整数规划(IP)
线性规划 二次规划 非线性规划
(LP)
(QP)
(NLP)
LINDO
LINGO
3
LINDO/LINGO软件的求解过程
1. 确定常数 2. 识别类型
5
需要掌握的几个重要方面
LINGO： 掌握集合(SETS)的应用； 正确阅读求解报告； 正确理解求解状态窗口； 学会设置基本的求解选项(OPTIONS) ； 掌握与外部文件的基本接口方法
6
文件类型描述
• .lg4 LINGO格式的模型文件 二进制格式文件 • .lng 文本格式的模型文件（不保存字体、颜色、
11
例1.1 如何在LINGO中求解如下的LP问题：
min 2 x 1 3 x 2 s .t.
x 1 x 2 350
x1
100
2 x 1 x 2 600
x1, x2 0
在模型窗口中输入如下代码： min=2*x1+3*x2; x1+x2>=350; x1>=100; 2*x1+x2<=600;
LINGO软件简介
• LINGO模型的优点
• 提供了灵活的编程语言（矩阵生成器）
• LINGO模型的构成：5个段
• 目标与约束段 • 集合段（SETS ENDSETS） • 数据段（DATA ENDDATA） • 初始段（INIT ENDINIT） • 计算段(CALC ENDCALC) - LINGO9.0
嵌入对象） • .ldt LINGO数据文件 • .ltf LINGO命令脚本文件 • .lgr LINGO报告文件 • .ltx LINDO格式的模型文件 • .mps 数学规划系统格式的模型文件
PPT上的模型实例lindo与lingo的区别
LINDO与LINGO的语法区别LINGO的使用（求解线性规划和非线性规划问题）：1.最大值MAX=…,最小值MIN=…2.语句必须以分号”;”结束每行可多个语句语句可跨行3.变量名由字母、数字和下划线组成以字母开头长度不超32个字符不区分大小写4.默认决策变量非负其他要求可做说明5.模型以MODEL：开头，以END结束(此结构也可省略）6.注释以！开始，以; 结束；7.可以用<表示<=；用>表示>=8.LINGO总是根据“MAX=”或“MIN=”寻找目标函数，而除注释语句和TITLE语句外的其他语句都是约束条件，因此语句的顺序并不重要。
9.限定变量取整数值的语句为“@GIN(X1)”和“@GIN(X2)”，不可以写成“@GIN(2)”，否则LINGO将把这个模型看成没有整数变量。
10.LINGO中函数一律需要以“@”开头，其中整型变量函数（@BIN、@GIN）和上下界限定函数（@FREE、@SUB、@SLB）与LINDO中的命令类似。
而且0/1变量函数是@BIN函数。
Lindo的使用（求解线性规划问题）★程序以“MAX”（或“MIN”）开始，表示目标最大化（或最小化）问题，后面直接写目标函数表达式和约束表达式；★目标函数和约束之间用“ST”分开；（或用“s.t.”）★程序以“END”结束（“END” 也可以省略）。
★系数与变量之间的乘号必须省略。
★系统对目标函数所在行自动生成行名“1）”,对约束默认的行名分别是“2)” “3)”…，用户也可以自己输入行名；行名放在对应的约束之前。
★书写相当灵活，不必对齐，不区分字符的大小写。
★默认所有的变量都是非负的, 所以不必输入非负约束。
★约束条件中的“<=” 及“>=”可分别用“<” 及“>”代替。
★一行中感叹号“！”后面的文字为是注释语句，可增强程序的可读性，不参与模型的建立。
1.变量与系数间可有空格(甚至回车), 但无运算符2.变量名以字母开头，不能超过8个字符3.变量名不区分大小写（包括LINDO中的关键字）4.目标函数所在“>”（或“<”）号与“>=”（或“<=”）功能相同5.行是第一行，第二行起为约束条件6.行号(行名)自动产生或人为定义。
优化模型与Lingo Lindo软件
Lingo/Lindo软件介绍
---Lingo
对前面的线性规划模型，编写Lingo程序如下：
点击图标
运行，屏幕上显示运行状态窗口如下：
对于Lingo运行状态窗口， 我们给于以下解释：
变量数目：变量总数 （Total）、非线型变量 数（Nonlinear）、整数 变量数（Integer） 约束变量：约束总数 （ Total ）、非线性约束 个数（Nonlinear） 非线性系数数量：总数 （ Total ）、非线性项的 系数个数（Nonlinear） 内存使用量：单位为千字节
① 除具备Lindo的全部功能外，还可以用于求解非线性规划问题；
② Lingo包含了内置的建模语言，允许以简练、直观的方式描述较大规 模的优化问题，模型中所需的数据可以以一定的格式保存在独立的 文件中。
事实上，Lindo公司目前已经将Lindo软件从其产品目 录中删除，而将Lindo软件的所有功能都在Lingo中得到了 支持，所以在不久的将来总有一天人们会废弃Lindo软件不 再使用，但Lingo的生命力应该还是很顽强的！
Infeasibility 约束不满足的量；0表示这个解是可行的 Objective 显示当前解的目标函数值 Best IP 显示整数规划当前解的最佳标函数值：N/A 表示无答案或无意义 显示分支定界算法已经计算的分支数： N/A 表示无答案或无意义
IP Bound 显示整数规划的界 Branches
Lingo/Lindo软件介绍
这套软件包由美国芝加哥大学的Linus Scharge教
授于1980年前后开发，专门用于求解最优化问题，后 经不断完善和扩充，并成立LINDO公司进行商业化运 作，取得了巨大的成功。全球《财富》杂志500强的企 业中，一半以上使用该公司产品，其中前25强企业中 有23家使用该产品。 该软件包功能强大，版本也很多，而我们 使用的只 是演示版（试用版），演示版与正式版功能基本上是 类似的，只是能够求解问题的规模受到限制，总变量数 不超过30个，这在我们目前的使用过程中，基本上是 足够。
lingo入门-PPT课件
x11+x12+x13+x14=16; x21+x22+x23+x24=10; x31+x32+x33+x34=22; x11+x21+x31=8; x12+x22+x32=14; x13+x23+x33=12; x14+x24+x34=14;
Global optimal solution found at iteration:
y 1 ,y 1 ',y 2,y 2',y 3,y 3' 0
(3)min max(x1,x2,x3);
s.t.xx11
x2 x3 10, 3x2 2x3 12.
最高分越低越好！！
解 令 yma1x ,x2(,xx3)，则此约束的充分条件是
yx 1 ,yx 2,yx 3 .
2、Lindo/Lingo软件内部有以下4个求解程序用于求解 不同类型的优化模型
（1）直接求解器(Direct Solver)；
（2）线性优化求解程序（Linear Solver)；
（3）非线性优化求解程序（Nonlinear Solver)；
（4）分支定界管理程序（Branch and Bound Manager)。
6
Objective value:
244.0000
Variable X11 X12 X13 X14 X21 X22 X23 X24 X31 X32 X33 X34
Value 4.000000 0.000000 12.00000 0.000000 4.000000 0.000000 0.000000 6.000000 0.000000 14.00000 0.000000 8.000000
Global optimal solution found at iteration:
y 1 ,y 1 ',y 2,y 2',y 3,y 3' 0
(3)min max(x1,x2,x3);
s.t.xx11
x2 x3 10, 3x2 2x3 12.
最高分越低越好！！
解 令 yma1x ,x2(,xx3)，则此约束的充分条件是
yx 1 ,yx 2,yx 3 .
2、Lindo/Lingo软件内部有以下4个求解程序用于求解 不同类型的优化模型
（1）直接求解器(Direct Solver)；
（2）线性优化求解程序（Linear Solver)；
（3）非线性优化求解程序（Nonlinear Solver)；
（4）分支定界管理程序（Branch and Bound Manager)。
6
Objective value:
244.0000
Variable X11 X12 X13 X14 X21 X22 X23 X24 X31 X32 X33 X34
Value 4.000000 0.000000 12.00000 0.000000 4.000000 0.000000 0.000000 6.000000 0.000000 14.00000 0.000000 8.000000
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3
2
限额
34 36 40
在一定的条件下，问生产数量xi =？使利润达到最大？
规划模型
m ax Z 4 x1 3 x2 2 x3
利润
2 x1 3 x2 x3 34
s
.t
.
3 3
x1 x1
2 2
x2 x2
1.5 x3 5x3
36 40
材料
工时 人力
x1 , x 2 , x 3 0
优化(Optimization), 规划(Programming)
4
优化问题的一般形式
优化问题三要素：决策变量；目标函数；约束条件
min f ( x)
目标函数
s.t. hi ( x) 0, i 1,..., m 约
g j ( x) 0, j 1,..., l
束 条
决策变量
x D n
件
• 可行解（满足约束）与可行域（可行解的集合） • 最优解（取到最小／大值的可行解）
5
无约束优化:最优解的分类和条件
给定一个函数 f(x),寻找 x* 使得 f(x*)最小，即
Minf (x) x
其中
x(x1,x2, ,xn)T n
局部最优解
全局最优解
ox
必要条件 充分条件
f(x*)(fx1, ,fxn)T02 f
2 f
f(x*)0, 2f(x*)0
7
最优化问题简介
1、生产计划问题； 2、运输问题；
特点：从若干可能的计划（方案）中寻求某种意
义下的最优方案，数学上将这种问题称为最优化问 题（optimization). 静态问题(没有考虑时间t的变化)
8
生产计划问题
单耗
数据表
甲乙
丙
材料 工时 工人
x1
x2
x3
2
3
1
3
2 1.5
3
2
5
利润(元/件) 4
优化模型
1
主要内容
最优化问题简介 引例 常用优化软件
范例1: 加工奶制品的生产计划 范例2:自来水输送与货机装运 范例3:汽车厂生产计划
2
优化模型及软件的重要意义
(最)优化:在一定条件下,寻求使目标最大(小)的决策
最优化是工程技术、经济管理、科学研究、 社会生活中经常遇到的问题, 如: 结构设计 资源分配 生产计划 运输方案 解决优化问题的手段 • 经验积累，主观判断 • 作试验，比优劣 • 建立数学模型(优化模型)，求最优策略(决策)
9
运输问题
网络图
S2
1200
S3
690 720
S4
690
160
170
520
88
320 70
1100
195 306
1150
5
450
3 104
600
80 2 750
A3
301
A2
10 194
606 A5 A4
A1
202
S1
20
12
31
10
201
462 S5 10
70
42
10 220
480
A10 300
s.t. hi ( x) 0, i 1,..., m g j ( x) 0, j 1,..., l
决策变量
x D n
目标函数
约 束 条 件
• 可行解（满足约束）与可行域（可行解的集合） • 最优解（取到最小／大值的可行解）
15
数学规划中的几个概念
1、可行解（可行点） 2、可行域 3、最优解
图解: 起作用约束：L2，L3 最优解（4，1） 最优值 zmax = 13
例：Max z = 3x1+x2 s.t. -x1+x2≤2 L1
x1-2x2≤2 L2 3x1+2x2≤14 L3 x1，x2≥0
线性规划(LP)
整数规划(IP)
运 输 问 题
配 料 问 题
投 资 计 划
综 合 生 产
中 转 调 用
生 产 率 比 较
投生 指 下 资产 派 料 选计 问 问 择划 题 题
50个决策变量以上的优化问题称为大规模的.
返回
14
优化问题的一般形式
优化问题三要素：决策变量；目标函数；约束条件
min f ( x)
CUMCM赛题：约一半以上与优化有关，需用软件求解
3
最优化问题简介 (最)优化理论是运筹学的基本内容
OR/ 运筹学(OR: Operations/Operational Research) MS/ 管理科学(MS: Management Science) DS 决策科学 (DS: Decision Science)
工地的需求量为bj，单位产品的运费cij已知，那么如
何安排运输方案可以使总运费最低？
状 态
数学模型：
变
量 cij —单位运费；
xij —运输量；
MN
min
cij xij
i1 j1
N
s.t.
xij ai ,
j 1
i 1, 2, ..., M
ai —第i 地产量； bj —第j 地需要量；
M
xij b j
A11
A9
680
A8
A6 205 A7
目标：运费达到最小
290 30 S7
160
70 30
20 20
S6
110
62 420
A15
500
A14
A13
210
A12
S1~S7 钢管厂 铁路
火车站 公路 管道
450 里程（km）
10
运输问题
某种原材料有M个产地，现在需要将原材料从
产地运往N个工地，假定M个产地的产量为ai和N个
xixj nn
Hessian阵
最优解在可行域边界上取得时不能用无约束优化方法求解
6
约束优化的
min f ( x)
简单分类
s.t. hi ( x) 0, i 1,..., m
数学规划
g j ( x) 0, j 1,..., l x D n
连 • 线性规划(LP) 目标和约束均为线性函数
续 优
• 非线性规划(NLP) 目标或约束中存在非线性函数
化 ✓ 二次规划(QP) 目标为二次函数、约束为线性
• 整数规划(IP) 决策变量(全部或部分)为整数
离 散
✓ 整数线性规划(ILP)，整数非线性规划(INLP)
优 ✓ 纯整数规划(PIP), 混合整数规划(MIP)
化 ✓ 一般整数规划，0-1（整数）规划
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优化，规划的类型
• 无约束优化
• 线性规划(LP) 目标和约束均为线性函数
• 非线性规划(NLP) 目标和约束均为非线性函数
• 整数规划(IP) 决策变量为整数
• 组合优化
• 不确定规划
• 多目标规划
目标函数至少两个以上
• 网络优化
• 动态规划
研究随时间变化的决策问题
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典型的工程应用问题
i 1
j 1, 2, ..., N
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建立最优化的数学模型应具备三个基本要素
1、决策变量（decision variables); 2、约束条件（constraints); 3、目标函数（objective function)
最优化问题分类： ① 线性、非线性 ② 静态、动态 ③ 整数、非整数 ④ 随机、非随机等