第三部分数值积分代数精度与误差优秀课件

b
R4[ f ]
f ( x)dx C ( f )
a
2(ba)(ba)6f(6)()
945 4
（补充：Newton—Cotes求积公式的误差估计）
（1）当n为偶数时，如果 f C(n，2)则[a,b]
Rn [ f ] C nhn3 f (n 2) ( )
其中
1 Cn(n2)!
nt2(t1)
第三部分数值积分 代数精度与误差
插值型求积公式：
b
b
bn
f ( x)dx
a
a Ln ( x )dx
a
lk ( x) f ( xk )dx
k0
n
b
n
f ( xk ) a lk ( x)dx Ak f ( xk )
k0
k0
其中
Ak
b
a lk ( x)dx
b n1( x)dx
梯形公式
b
b f ( )
R1[ f ]
f ( x)dx T ( f )
a
a
( x a)( x b)dx 2!
f ( )
b
( x a)( x b)dx
f ( ) (b a)3
2! a
12
Simpson公式
2
I2 (f)A kf(x k) A 0f(x 0 ) A 1f(x 1 ) A 2f(x 2 ) k 0
a
(x
x
k
)
n
1
(
xk
)
插值型求积公式：
余项
Rn[ f ]
b a
f (
(n
n
1) ( )
1)!
n
1
(
x
)dx
➢求积公式的代数精度
n
定义 如果求积公式 In( f ) Ak f(xk) k0
对一切不高于m次的多项式都恒成立，而对于某个 m+1次多项式不能精确成立，则称该求积公式具有 m次代数精度。
b
n
a lk ( x)dx A j lk ( x j ) Ak
j0
n
因此求积公式 In ( f ) A是k插f 值( x型k )的。 k0
➢求积公式的代数精度
n
定理： 求积公式 In( f ) Ak f(xk)
k0
具有次m代数精度的充要条件是 f ( x为) 代数精度
1 、 x、 x2、 x3 xm
的判别方 法
时求积公式精确成立，而 f ( x为) 时x m求 1积公式不能
成为等式。
梯形公式
1
I1(f) A kf(xk)A 0f(x0)A 1f(x1) k0
0
(tn)dt
（2）当n为奇数时，如果 f C(n1，)[a则,b]
Rn[
f
]
C
hn2
n
f
( n 1)
(
)
其中
1n
Cn(n1)!
t(t1)
0
(tn)dt
n
定理：形如 In( f ) 的Ak求f积(x公k式) 至少 k0
有n次代数精度的充要条件是它是插值型求积公式。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
证明： 充分性 设它是插值型求积公式
2
b
ba
a H3( x)dx 6 H3(a) 4H3(c) H 3(b)
f (x) H3(x)
f (4)( ) ( x a)( x c)2( x b)
4!
b
b
R2[ f ]
f ( x)dx S ( f )
a
S ( f ) a H 3( x )dx
b
b
b
f ( x)dx
当 f(x)1,x,x2, ,xn时，
Rn[ f ]
b a
f (
(n1) ( )
n 1)!
n
1
(
x
)dx
0
即它对所有不超过n次的多项式精确成立，故至少有n次 代数精度。
必要性 设求积公式至少有n次代数精度
则对所有不超过n次的多项式求积公式精确成立
取 f ( x ) lk ( x ) k 0,1, 2, , n
a
a H 3 ( x )dx
a f ( x ) H 3( x )dx
b f (4) ( ) ( x a)( x c)2 ( x b)dx
a 4!
f (4) ( )
b ( x a)( x c)2 ( x b)dx
4! a
ba(ba)4f(4)()
180 2
Cotes公式 设 f ( 6 ) ( x ) 连续
S(f)b 6a f(a)4f(a 2b)f(b)
3次代数精度
Simpson公式 设 f ( 4 ) ( x ) 连续
b
R2[ f ]
f ( x)dx S ( f )
a
构造次数不超过3次的多项式 H 3 ( x ) ，满足：
H3(a)f(a),H3(b)f(b) 其中c a b
H3(c)f(c),H3(c)f(c)
T(f)baf(a)f(b) 1次代数精度
2
梯形公式
b
b f ( )
R1[ f ]
f ( x)dx T ( f )
a
a
( x a)( x b)dx 2!
f ( )
b
( x a)( x b)dx
f ( ) (b a)3
2! a
12
积分第一中值定理
如果函数f(x)、g(x)在闭区间[a,b]上可积, 且 g(x)在[a,b]上不变号, 则在积分区间[a,b]上至少存 在一个点ξ, 使下式成立: