第十一章电路

I
U
R,L,C 电路
U Z R I
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发生 谐振
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2.串联谐振的条件
Z R j(ωL 1 ) R j( X L X C ) ωC R jX
I
+

U
_

R j L 1 jC
当 X 0
ω 0 L 1 时，电路发生谐振 。 0C
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0 L
2 0 2 0
2 0 2 0 0
例
+ u _ 解
R
L V C
一接收器的电路参数为：U=10V =5103 rad/s, 调C使电路中的 电流最大， Imax=200mA ， 测得 电容电压为 600V ， 求 R 、 L 、 C 及Q。
10 U R 50 3 I 0 200 10
电感、电容储能的总值与品质因数的关系：
LI LI Q 0 2π R RI RI T 谐振时电路中电磁场的总储能 2π 谐振时一周期内电路消耗的能量
Q是反映谐振回路中电磁振荡程度的量，Q越大， 总能量就越大，维持振荡所消耗的能量愈小，振荡程 度越剧烈。则振荡电路的“品质”愈好。一般在要求 发生谐振的回路中希望尽可能提高Q值。
谐振条件
谐振角频率
ω0
f0
1 LC
1 2π LC
仅与电路参数有关
谐振频率
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串联电路实现谐振的方式：
(1) L C 不变，改变 0由电路参数决定，一个R L C串联电路只有一 个对应的0 , 当外加电源频率等于谐振频率时，电 路发生谐振。 (2)电源频率不变，改变 L 或 C ( 常改变C )。
入端阻抗为纯电阻，即Z=R，阻抗值|Z|最小。 电流I 和电阻电压UR达到最大值 I0=U/R (U一定)。
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I R _ + + + UR U L _ U + UC _ _


UL
j L



1 jC
UL U C 0 X 0


UR I UC



(2) LC上的电压大小相等，相位相反，串联总电压 为零，也称电压谐振，即
1 C 269 pF 2 (2 f ) L
+ _
R L C
u
U 1.5 (2) I 0 0.15μ A R 10
U C I 0 X C 158.5μ V 1.5μ V
or U C QU
0 L
R
U
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(4) 谐振时的功率
P=UIcos＝UI＝RI02=U2/R，
2 2 2
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②电流一定时，端电压较高
③支路电流是总电流的Q倍，设R<<L
L U0 I0Z I0 RC
U I L IC U0C 0 L I L IC U / 0 L 1 0 L Q I 0 I 0 U ( RC / L) 0 RC R
表明
R
①电感和电容能量按正弦规律变化，最大值相等 WLm=WCm。L、C的电场能量和磁场能量作周期 振荡性的交换，而不与电源进行能量交换。
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②总能量是不随时间变化的常量，且等于最大值。
2 2 2 2 1 1 w总 wL wC LIm CUCm CQ U 2 2
C
P
R
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(5) 谐振时的能量关系 Um 则 i sin 0t I m sin 0t 设 u U m sin 0t
Im o uC sin(0t 90 ) L I m cos0t 0C C 2 2 2 1 1 电场能量 wC CuC LIm cos 0t 2 2 2 2 2 磁场能量 1 1 wL Li LIm sin 0t 2 2
UL UC 0, LC相当于短路。 R U 电源电压全部加在电阻上， U
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U j0 L jQU UL j0 LI R I U UC j j0 L jQU 0C R U QU U
ω0 X ( j ) 0 (jω) 0
R Z( j )
lim Z( j )
0
Z( j0 ) R
ω0 X ( j ) 0 (jω) 0 R Z( j )
lim Z( j )
0
与I 同相 . (1). 谐振时U


L
C
特性阻抗
品质因数
(3) 谐振时出现过电压 当
1 L Q R R C R
0L
＝0L=1/(0C )>>R 时，Q>>1
UL= UC =QU >>U
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某收音机输入回路 L=0.3mH，R=10，为收到 例 中央电台560kHz信号，求：(1)调谐电容C值； (2) 如输入电压为1.5V,求谐振电流和此时的电 容电压。 解 (1)
L
1 (0 L) Re Ge R
3 0 2
2
品质因数
0C CL 0 L ω0C Q 2 G R /(0 L) R R
线圈的品质因数
（2）谐振特点
①电路发生谐振时，输入阻抗很大；
R (ω0 L) (ω0 L) L Z (ω0 ) R0 R RC R
IC
0 I
U


I L I C QI 0 I 0
IL

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例1 如图R=10的线圈其QL=100，与电容接成并联
谐振电路，如再并联上一个100k的电阻，求 电路的Q. R C L 0 解 Q 100 100k L R L
0 L RQL 1000 R (0 L) 2 10 6 Re 100 k R 10
重点
串、并联谐振的概念
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11.2 RLC串联电路的谐振
谐振是正弦电路在特定条件下产生的一种特殊物 理现象。谐振现象在无线电和电工技术中得到广泛 应用，研究电路中的谐振现象有重要实际意义。
1. 谐振的定义
含R、L、C的一端口电路，在特定条件下出现端口 电压、电流同相位的现象时，称电路发生了谐振。
3
等效电路 Re L C
Req 100 // 100 50k
Req 50 10 Q 50 0 L 1000
100k
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6，Q=100， 如图 R =50k ， U =100V ， =10 S S 0 例2 谐振时线圈获取最大功率，求L、C、R及谐振 i0 时I0、U和P。 ＋ 0L R 50k 解 QL 100 C R ＋ u ( 0 L) 2 L Re RS 50k uS R － －
1 0 LC
R 5 L 0.5mH C 0.002μ F
US 100 I0 1mA 3 2 RS 2 50 10 US U 50V 2 P UI 0 0.05W
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3. RLC串联电路谐振时的特点
阻抗的频率特性
Z R j(L 1 ) | Z (ω) | (ω) C
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| Z (ω) | R 2 (L 1 )2 R 2 ( X L X C )2 R 2 X 2 C 幅频 ωL 1 1 1 X L X C ωC 特性 (ω ) tg tg tg 1 X
2
U
2
④谐振时的能量
0 L
QL QC 0
2 2 S
W (0 ) WL (0 ) WC (0 ) LQ I
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2.电wk.baidu.com线圈与电容器的并联谐振
实际的电感线圈总是存在电阻，因此当电感线圈 与电容器并联时，电路如图： R （1）谐振条件 C 1 L Y jC
注意 ① 电路发生谐振是有条件的，在电路参
② 一般线圈电阻R<<L，则等效导纳为：
Y
L R j ( C 2 2 2 2) R (L) R (L) R 1 ) j ( C L (L) 2
谐振角频率
1 ω0 LC
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等效电路
Ge
C
1 50 60 L 60mH C 2 6.67μF 3 0 L 0 5 10
U C 600 U C QU Q 60 U 10
RQ
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11.4 RLC并联谐振电路
1. G、C、L 并联电路
Y G j(ωC 1 ) ωL
谐振角频率 ω0 谐振特点：
R jL

L R G jB j ( C 2 2 2 2) R (L) R (L)
2 1 R ω0 ( ) LC L
ω0 L ω0C 2 2 0 R (ω0 L)
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数一定时，满足： 1 R 2 L ( ) 0, 即 R 时, 可以发生谐振 LC L C
IS

+ U G _

C
L
1 LC
|Y| G o
0

①入端导纳为纯电导，导纳值|Y|最小，端电压达最大。
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U( ) I S /G
IC


I G IS U

o
0

IL

LC上的电流大小相等，相位相反，并联总电流 为零，也称电流谐振，即 + IS S I C L G U I C Uj0 C j0 C jQI S _
R
R
R
Z ( ) |Z( )| X ( ) L X( )
( )
/2 o –/2
相频 特性
R o
0
XC( )

0

Z(jω)频响曲线
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Z(jω)频响曲线表明阻抗特性可分三个区域描述： 感性区 容性区 电阻性
ω0 X ( j ) 0 (jω) 0


S I L U / j0 L j0 C jQI S I G IL(0) =IC(0) =QIS
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G
品质因数
ω0C Q 1 1 C G ω0GL G L
③谐振时的功率
P UI U 2 / G
QL QC 0CU
电源向电路输送电阻消耗的功率，电阻功率达最大。
Q UI sin QL QC 0 1 2 2 QL ω0 LI0 , QC I 0 0 LI02 ω0C L 注意 电 源 不 向 电 路 输 送
无功。电感中的无功与电 + 容中的无功大小相等，互 _ 相补偿，彼此进行能量交 换。 Q