高中物理：正交分解法的应用
“正交分解”在高中物理习题中的应用
本题中，因UC-UB=UE-UF，则UE=4V;FC连线中点的电势为U0=UCF/2=2.5V，则由UO-UC=UE-UD可知UD=3.5V，由UA-UB=UE-UD可知UA=1.5V;若将电场沿DC方向和DF方向进行正交分解，容易求得：
水平分电场：
竖直分电场：
再根据矢量合成容易得出总电场强度：
可见，正交分解法有助于学生深入理解匀强电场U=Ed这一规律的本质特征，对于分析已知某三个点电势的匀强电场的场强，能有效避开复杂的几何分析。
大众印象中，正交分解只是分析动力学问题的“利器”，但实际上它也是解决其他矢量问题的有力工具。比如，匀强电场中，根据电场的特性，水平（竖直）方向的电场在竖直（水平）方向上不会产生电势差，如果将电场正交分解为水平（x方向）和竖直（y方向）两个相互垂直的方向的电场Ex和Ey，那就可以理解为水平（竖直）方向的电场产生水平（竖直）方向的电势差，于是有：Ex=Ux/dx;Ey=Uy/dy，其中Ex、Ux、dx（Ey、Uy、dy）分别对应x方向（y方向）上两点间的电场强度、电势差和距离。
四、结语
正交分解加速度、速度和电场强度，根据需要分解不同的物理量，选择不同的分解方向，这种“按需”分解对于解决诸多矢量问题往往有事半功倍的奇效。这些问题的解决，活化了正交分解的方法，深化了正交分解的模型，丰富了正交分解的内涵，也推动了科学思维这一学科核心素养的有效渗透。
参考文献：
[1]刘建兵.浅析高中物理解题方法[J].新课程学习（上），2013（9）.
本问题是要利用牛顿第二定律分析物体的圆周运动，按常规思路，应将力沿平行半径和垂直半径的方向进行分解，做法如下：
这种方法格式固定、容易理解，但由于涉及比较巧妙的数学运算，方程不易求解。如果这是一道选择题，会列方程却不会求解，做了也白做。根据独立性原理，某方向上的力只会产生该方向上的加速度，这给我们分析问题提供了又一思路。
(完整)1力的正交分解法及其应用
又f =μN;
③
联立①②③得F=μGB+FA(cos θ-μsin θ). 可见,随着θ不断减小,水平力F将不断增大.
答案 随着θ不断减小,水平力F将不断增大
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练习8如图1所示,重物的质量为m,轻细绳AO和BO的 A端、B端是固定的,平衡时AO水平,BO与水平面的夹
角为θ,AO的拉力F1和BO的拉力F2的大小是多少？
为θ3，绳子的张力为F3。不计摩擦。则（ A．θ1=θ2 =θ3 B．θ1= θ2＜θ3 C．F1＞F2＞F3 D．F1＝F2＜F3
）
θθ
θ
答案：BD
拓展练习1如图所示，质量为m的物体在与竖直方向成 θ角的恒力F作用下沿粗糙墙面向上匀速运动，求物 体与墙壁间的动摩擦因数。
F θ
F G cos - sin
正交分解力的目的： 化复杂的矢量运算为普通的代数运算。便于运
用普通代数运算公式来解决矢量的运算。
基本思想： 正交分解法求合力，运用了“欲合先分”的策
略，即先分解再合成，降低了运算的难度，是一种 重要物理思维方法。
五、典例 求合力
例1一个物体受到四个力的作用，已知F1=1N，方向
正东；F2=2N，方向东偏北600，F3= 3 3 N，方向西
解题步骤 1、画出物体的受力图 2、建立直角坐标系 3、正交分解各力
4、别写出x、y方向的方程
5、根据方程求解
练习2质量为m的物体在与水平方向成θ角的恒力F作 用下，沿水平天花板向右做匀速直线运动。物体与天 花板间动摩擦因数为μ。请写出物体受摩擦力大小的 表达式。
F mg sin cos
练习3如图所示，用绳AO和BO吊起一个重100N的物体， 两绳AO、BO与竖直方向的夹角分别为30o和40o，求绳 AO和BO对物体的拉力的大小。
高一高三物理-正交分解法在解题中的应用
FY F1Y+F2Y+F3Y+F4Y+F5Y=0
F3Y=0
F=30N
精题讲解
一物块在拉力F的作用下静止在倾角为30 °的斜面上,物块重40N, 拉力F 与斜面成30°角,大小为10N.求物块所受支持力和摩擦力的大小.
F=10N
精题讲解
一物体放在水平桌面上,现对物体施加一个斜向上的拉力F,使物体在水平
线与杆垂直，B的悬线竖直向下．则下列说法中正确的是( A )
A．A环与滑杆间没有摩擦力 B．B环与滑杆间没有摩擦力 C．A环做的是匀速运动 D．B环做的是匀加速运动
精题讲解
如图所示，一皮带输送机的皮带以v＝13.6m/s的速率做匀速运动，其 有效输送距离AB＝29.8m，与水平面夹角为θ＝37°.将一小物体轻放在 A点，物体与皮带间的动摩擦因数μ＝0.1，求物体由A到B所需的时间． (g＝10m/s2)
Fx 1/ 2 600
精题讲解
有五个力作用于一点Ｏ，这五个力构成一个正六边形的两邻边和三条 对角线，如图所示，设Ｆ３＝１０Ｎ，则五个力的合力大小为多少？
Ｙ
正交分解 Ｘ
X轴：
F1X=F5X=2.5Ｎ
F2X=F4X=7.5N
F3X=10N
Ｙ轴：
F1Y+F5Y=0
F2Y+F4Y=0
FX F1X+F2X+F3X+F4X+F5X=30N
1、建立直角坐标系（让尽量多的力在坐标轴上）
2、正交分解各力（将各力分解到两个坐标轴上）
3、分别求出x 轴和y 轴上各力的合力： Fx F1x F 2xF3x
4、求出Fx和Fy的合力，即为多个力的合力
Fy
219457542_正交分解法在高中物理中的巧妙运用
正交分解法在高中物理中的巧妙运用王一龙(江苏省宿迁市宿豫区实验高级中学ꎬ江苏宿迁２２３８００)摘㊀要:在高中物理力学的学习过程中ꎬ我们经常会遇见各种各样的受力分析ꎬ在这种类型的题目中ꎬ我们需要用到正交分解法将力进行分解ꎬ做到化繁为简.正交分解法就是将力分解为两个垂直方向的分力ꎬ然后对各个方向的分力进行求解ꎬ最后解决实际问题.掌握正交分解法有助于同学们在力学物理问题求解中ꎬ化难为易.关键词:正交分解法ꎻ力学ꎻ受力分析ꎻ高中物理中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１８－００７４－０３收稿日期:２０２３－０３－２５作者简介:王一龙(１９８０.１０－)ꎬ男ꎬ江苏省宿迁人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中物理教学研究.㊀㊀要高效使用正交分解法ꎬ就需要掌握正交分解法的原理及应用步骤ꎬ在使用正交分解法中ꎬ建立平面直角坐标系ꎬ认真审题ꎬ知道解决问题的目标ꎬ不要做无用功.１怎样建立直角坐标系平面直角坐标系多是在水平面上建立的ꎬ但是当我们在解答物理问题时ꎬ遇见不在水平地面上的物体ꎬ如何建立直角坐标系呢?下面举些例题进行例证[１].例题１㊀在竖直的墙壁上有一个质量为２ｋｇ的小方块ꎬ它们之间的动摩擦因数为０.２５ꎬ如果现在使用一个３０Ｎ的推力Ｆ沿着斜向上的方向推这个小方块ꎬ这个力的方向与水平方向成３７ʎꎬ在这个力的作用下小方块保持静止状态ꎬ如图１所示ꎬｇ＝１０ｍ/ｓ２.求:(１)此时小方块受到的摩擦力的大小(２)如果要使得小方块保持匀速下滑的状态ꎬ力的方向不发生改变ꎬ则力的大小为多少?解析㊀(１)此时的小方块为静止状态ꎬ它所受图１到的力一共有四个ꎬ分别是墙壁对它的摩擦力ｆ和弹力Ｎꎬ重力Ｇ和推力Ｆ.它的受力分析如图２所示ꎬ通过这个图ꎬ我们知道只需要分解Ｆꎬ建立直角坐标系ꎬ分别为Ｆｘ和Ｆｙ.图２因为要保持静止状态ꎬ所以分力Ｆｙ与ｆ的合力要等于重力.有Ｆｙ＝Ｆｓｉｎ３７ʎ＝３０Ｎˑｓｉｎ３７ʎ＝１８Ｎ所以墙壁对小方块摩擦力为ｆ＝Ｇ－Ｆｙ＝２ˑ１０Ｎ－１８Ｎ＝２Ｎ４７(２)这一小问与上一问相同ꎬ小方块依然是承受着４个力ꎬ只是静摩擦力ｆ变为滑动摩擦力ｆ２.因为小方块是以匀速运动的方式下滑ꎬ所以竖直方向上和水平方向上的力应该保持平衡ꎬ这样才不会存在加速度.所以可以得到以下方程:在水平方向上ꎬ有Ｎ＝Ｆｃｏｓ３７ʎ在竖直方向上ꎬ有Ｆｓｉｎ３７ʎ＋ｆ２＝Ｇ小方块的滑动摩擦力为ｆ２＝μＮ联立解得Ｆ＝２５Ｎ２运用正交分解法的步骤(１)先对研究对象进行受力分析ꎬ画出受力示意图.㊀(２)以力的作用点为原点ꎬ建立坐标系.(３)将不在坐标轴的所有力进行分解ꎬ分解成在坐标轴的分力.(４)相同坐标轴上的力进行运算ꎬ列出方程(５)最后求出合力的大小和方向例２㊀有一个人在放风筝ꎬ这个风筝的重力为４Ｎꎬ此时的风筝线与水平面成５３ʎꎬ如图３所示ꎬ这个人以５Ｎ的力拉住风筝ꎬ风筝处于静止状态ꎬ求风对风筝的风力Ｆ为多少及Ｆ与水平面形成的夹角的正切值.图３解析㊀在解答这题时ꎬ我们首先要对风筝所受的力进行受力分析ꎬ风筝受到重力Ｇ㊁风筝线的拉力Ｔ和风力Ｆ.以风筝为原点建立直角坐标系ꎬ将风力Ｆ进行分解ꎬ分别分解为水平方向上的分力Ｆｘ和竖直方向上的分力Ｆｙꎬ然后再对风筝线的拉力Ｔ进行分解ꎬ分别分解为水平方向上的分力Ｔｘ和竖直方向上的分力Ｔｙ.如图４所示:由图可知:水平方向ꎬ有图４Ｆｘ＝Ｔｃｏｓ５３ʎＦｘ＝３Ｎ竖直方向ꎬ有Ｆｙ＝Ｔｓｉｎ５３ʎ＋ＧＦｙ＝８Ｎ所以风力Ｆ为Ｆ＝Ｆｘ２＋Ｆｙ２＝７３Ｎ正切值为ｔａｎθ＝ＦｙＦｘ＝８３点评㊀在解答这一题时ꎬ也可以使用相似三角形的方法进行解题ꎬ但是相比于正交分解法难度更大ꎬ更容易出错ꎬ所以掌握正交分解法可以更加高效地解决问题.３正交分解法的使用注意不要固执地认为需要求的力不能够进行正交分解ꎬ要根据物体受力情况具体分析[２].例３㊀如图５所示ꎬ现在要用绳子将一个物体匀速提起来ꎬ该物体的重力为Ｇꎬ在这个阶段ꎬ四条细绳与竖直方向上的夹角都是６０ʎꎬ则每根细绳的拉力为多少(㊀㊀).Ａ.Ｇ４㊀㊀Ｂ.３Ｇ６㊀㊀Ｃ.３Ｇ４㊀㊀Ｄ.Ｇ２图５解析㊀设每根细绳的拉力为Ｆꎬ在竖直方向上有４Ｆｃｏｓ６０ʎ＝Ｇꎬ解得Ｆ＝Ｇ２ꎬ选项Ｄ正确.总结:在高中物理力学的学习阶段ꎬ我们在５７解决共点力问题时ꎬ要注意几个问题:首先是确定物体的运动状态ꎬ是静止的还是滑动的ꎻ然后是理清楚物体的受力情况ꎬ要画出受力分析图ꎬ以便确定是要使用正交分解法还是三角形法ꎻ最后是求得正确答案ꎬ在物理解题时要正确运用数学知识进行运算.４正交分解法的具体运用４.１求合力当物体受到多个力的情况下ꎬ其他求合力方法比较复杂ꎬ且计算起来繁琐ꎬ其运算量大ꎬ此时便可以选择正交分解法.假设一个物体ꎬ受到同一平面上ｎ个不同方向的作用力ꎬ分别为Ｆ１㊁Ｆ２ Ｆｎꎬ就需要建立正交坐标系ｘ轴和ｙ轴ꎬ并将这ｎ个作用力ꎬ分解到坐标轴上ꎬ得到Ｆｘ＝Ｆ１ｘ＋Ｆ２ｘ＋Ｆ３ｘ＋ ＋Ｆｎｘ㊁Ｆｙ＝Ｆ１ｙ＋Ｆ２ｙ＋Ｆ３ｙ＋ ＋Ｆｎｙꎬ而这个作用力的合力为Ｆ＝Ｆ２ｘ＋Ｆ２ｙ.４.２受力平衡当物体受到三个及以上的力作用平衡时ꎬ便可以采用正交分解法进行解题ꎬ快捷且准确.假设一个物体ꎬ受到ｎ个作用力Ｆ１㊁Ｆ２ Ｆｎꎬ处于平衡时ꎬ就要先建立正交坐标系ｘ轴和ｙ轴ꎬ并将这ｎ个作用力ꎬ分解到坐标轴上ꎬ根据物体处于平衡状态ꎬ合外力为０ꎬ沿着ｘ轴和ｙ轴方向ꎬ分别建立平衡方程为Ｆ１ｘ＋Ｆ２ｘ＋Ｆ３ｘ＋ ＋Ｆｎｘ＝０㊁Ｆ１ｙ＋Ｆ２ｙ＋Ｆ３ｙ＋ ＋Ｆｎｙ＝０.４.３受力不平衡当一个物体ꎬ受到ｎ个作用力不平衡时ꎬ建立正交坐标系ꎬ并将这ｎ个作用力ꎬ分解到坐标轴上ꎬ或者将加速度分解到坐标轴上ꎬ在ｘ轴和ｙ轴两个方向上ꎬ分别根据牛顿第二定律列方程ꎬ有Ｆ１ｘ＋Ｆ２ｘ＋Ｆ３ｘ＋ ＋Ｆｎｘ＝ｍａｘ㊁Ｆ１ｙ＋Ｆ２ｙ＋Ｆ３ｙ＋ ＋Ｆｎｙ＝ｍａｙ.例４㊀如图６所示ꎬ电梯与水平夹角为３０ʎꎬ当电梯加速度向上运动ꎬ人对梯面压力为其重力的６/５ꎬ求人与梯面之间的摩擦力是其重力多少倍?㊀解析㊀对人进行的受力进行分析ꎬ其受到的重图６力ｍｇꎬ支持力为ＦＮꎬ摩擦力为Ｆｆꎬ根据图６可知ꎬ取水平向右为ｘ轴正向ꎬ建立正交坐标系ꎬ按照牛顿第二定律得到Ｆｆ＝ｍａｃｏｓ３０ʎＦＮ－ｍｇ＝ｍａｓｉｎ３０ʎ{又ＦＮｍｇ＝６５ꎬ联立解得Ｆｆｍｇ＝３５４.４运动量对于位移㊁速度及加速度等运动矢量的计算ꎬ同样可以运用正交分解法.高中物理中的曲线运动ꎬ可以根据合运动实际的运动效果ꎬ分解为两个简单的相互垂直的分运动ꎬ进行求解.为了使解题更加的简洁ꎬ尽可能将更多的矢量与坐标轴方向在同一直线上ꎬ这样可以减少矢量的分解ꎬ提升学生的物理解题效率与准确性.参考文献:[１]吴艳芳.正交分解法在高中物理解题中的四个应用[Ｊ].山西教育(教学版)ꎬ２０１３(１２):２３. [２]丁岳林.以不变应万变之矢量运算策略:例说正交分解法在高考题解中的应用[Ｊ].物理通报ꎬ２０１７(０３):７８－８１.[３]汪飞.浅谈非正交分解法在曲线运动问题中的应用[Ｊ].物理教师ꎬ２０２３(９):９１－９２. [４]陈建伟.正交分解法在高中物理解题中的应用[Ｊ].魅力中国ꎬ２０１９(２):１３４－１３５.[５]陈泽鲲.浅谈如何运用正交分解法解决力学问题[Ｊ].祖国ꎬ２０１９(１):２.[６]沈卫.莫管方法 老 ꎬ只看 巧 不 巧 :论抛体运动问题中正交分解法的应用[Ｊ].物理教学ꎬ２０２０ꎬ４２(５):３.[责任编辑:李㊀璟] ６７。
完整1力的正交分解法及其应用
）
θθ
θ
答案：BD
拓展练习 1如图所示，质量为 m的物体在与竖直方向成 θ角的恒力 F作用下沿粗糙墙面向上匀速运动，求物 体与墙壁间的动摩擦因数。
Fcosα=Gsinα+Ff Ff=μFN
拓展： F多大时恰能沿斜面匀速向下？
F
A
α
y
FN
Fcosα
x
Gsinα Ff
F Fsinα
Gcosα G
例3如图所示，质量为m的物体放在粗糙水平面上，它与水平面 间的滑动摩擦因数为μ，在与水平面成θ角的斜向上的拉力 F作 用下匀速向右运动。求当θ满足什么条件时拉力 F的最小，并求 出最小值。
Fy ? F2 y ? F3 y ? F4 y
? 2 ? sin 600 ? 3 3 ? sin 300 ? 4 ? sin 600 ? 3 ? 3 3 / 2 ? 2 ? 2 3 ? 3 / 2(N )
大小F ?
Fx2
?
F
2 y
? ( 3 / 2)2 ? (1 / 2)2 ? 1N
方向 tan? ? Fy ? 3 / 2 ? 3
偏北300；F 4=4N，方向东偏南 600，求物体所受的合
力。
y
F3
F 3y
F 2y
F2
300
600 F 4x
F 3x
600
F
F
2x
1
x
F 4y
F4
Fx ? F1 ? F2 x ? F3x ? F4x ? 1 ? 2 ? cos60 0 ? 3 3 ? cos30 0 ? 4 ? cos60 0 ? 1 ? 1 ? 3 3/2 ? 2 ? ?1/2(N)
F
2 x
浅谈如何运用正交分解法解决力学问题
祖国2019.1.上|基础教育|浅谈如何运用正交分解法解决力学问题文/陈泽鲲摘要：数理问题是极具逻辑思维的，通过对难题的解答方法分析可以培养我们学生群体的逻辑推理能力，并激发我们不断探索的科学精神。
本文以正交分解法解决高中物理力学问题为例，展现解答方法对解决自然科学问题的重要性、必要性与简易性。
关键词：高中物理正交分解法力学问题一、正交分解法概述所谓正交分解法，主要用于物理上对物体复杂受力的简化、规范化、系统化。
通常就是以勾股定理为基础，以垂直坐标系为基准，将物体所受的各个力集中到物体上的一个点上，这个点所受的力通常是处于同一平面的，以这个点作为垂直坐标系原点，画出该直角坐标系的横轴与竖轴，将每个力分解到x 、y 轴，通常使用向量投影法进行力的分解，将两个方向的所有力求矢量和，最后，由于这两个方向的力相互垂直，则使用勾股定理求出合力，该合力包括方向和大小。
二、正交分解法在力学问题中运用正交分解法在力学问题中的运用，将复杂、多样的力规范化、形象化，通过对力进行分解，求和，能够轻易地将合力的大小、方向表达出来，不但快捷，更容易被人们所接受。
在受力分析问题中，一旦求单个物体的合力的方向和大小时，且所受力呈现多样化，方向的多极化，正交分解法的灵感便会从脑海中浮现出来。
（一）水平木块拖动受力分解例1:如图1所示，在一个具有摩擦系数的水平面上，木块重100N ，此时有一个力F=40N 且朝着右上角与水平面成30度，物体保持静止不动，求：物体受到哪几个力，并求出它们的大小和方向。
解：首先对该木块进行受力分析，发现受力呈现多样性。
于是采用正交分解法解决问题。
以物体重心为原点建立直角坐标系，发现物体受到支持力、摩擦力、重力和F ，将各个力朝着坐标轴进行分解。
分析木块状态为静止，因此沿x 轴和y 轴的合力为零，建立方程组，一部分力可通过三角形的边的关系即F 表示出来。
解出方程组，从而获取力的大小、及方向。
对物体进行受力分析，建立直角坐标系，受力分解，如图2所示。
正交分解法(精选例题)
资源分配
02
在资源分配问题中，正交分解法用于优化资源配置，以实现经
济效率和社会福利的最大化。
产业组织
03
在产业组织理论中，正交分解法用于研究市场结构、企业行为
和绩效之间的关系，以制定有效的产业政策和竞争策略。
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控制系统
在航空航天和自动化领域，正交分解法用于设计 控制系统，以实现精确的轨迹跟踪和稳定的系统 性能。
信号处理
在通信和雷达系统中，正交分解法用于信号处理， 特别是在多径干扰抑制和信号分离方面。
在经济学中的应用
金融市场
01
在金融市场中，正交分解法用于分析股票价格、利率和汇率等
金融变量的动态变化，以预测市场趋势和制定投资策略。
电磁学
在电磁学中，正交分解法用于分 析电场和磁场，特别是在求解电 磁波的传播和散射问题时。
光学
在光学中，正交分解法用于研究 光的传播、干涉和衍射现象，特 别是在处理光波的偏振和干涉问 题时。
在工程学中的应用
1 2 3
结构分析
在土木工程和机械工程中，正交分解法用于分析 结构的静力和动力响应，特别是在处理多自由度 系统和复杂结构时。
正交分解法(精选例题)
• 正交分解法简介 • 正交分解法例题解析 • 正交分解法在数学中的重要性 • 正交分解法的扩展与进阶 • 正交分解法的实际应用
01
正交分解法简介
定义与性质
定义
正交分解法是一种将一个向量分解为 若干个正交向量的方法，即利用正交 基底来表示任意向量。
性质
正交分解法具有唯一性，即一个向量 只有一种正交分解方式。此外，正交 分解法还具有正交性，即分解后的正 交向量两两正交。
高中物理：力的正交分解的应用
高中物理：力的正交分解的应用[探究导入] 在很多问题中，常把一个力分解为互相垂直的两个分力，特别是物体受多个力作用时，把物体受到的各个力都分解到互相垂直的两个方向上去，然后求两个方向上的力的合力，这样可把复杂问题简化．(1)如图甲所示拉箱子的力产生了哪些作用效果？如何正交分解呢？提示：产生了两个效果：一是水平向前拉箱子的效果，二是竖直向上提箱子的效果；分别以平行于地面和垂直于地面的方向为x 轴和y 轴建立坐标系，把F 分解为沿着两个坐标轴的分力．(2)如图乙所示物体受多个力作用，怎样去建立坐标系进行正交分解呢？提示：坐标系的建立原则上是任意的，如图所示．实际问题中，让尽可能多的力落在两个坐标轴方向上，这样就可以尽可能少分解力．1．力的正交分解法：把力沿着两个选定的相互垂直的方向分解的方法．2．正交分解法求合力的步骤(1)建立直角坐标系：以共点力的作用点为坐标原点，直角坐标系x轴和y 轴的选择应使尽量多的力在坐标轴上．(2)正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x 轴和y 轴上，并求出各分力的大小，如图所示．(3)分别求出x 轴、y 轴上各分力的矢量和，即：F x ＝F 1x ＋F 2x ＋…，F y ＝F 1y ＋F 2y ＋….(4)求共点力的合力：合力大小F ＝F 2x ＋F 2y ，设合力的方向与x 轴的夹角为α，则tan α＝F y F x. [易错提醒]应用正交分解法分解力应首先分析物体的受力，然后建立坐标系，将不在坐标轴上的力分别沿x 轴方向和y 轴方向分解．[典例2] 如图所示，水平地面上的物体重G ＝100 N ，受到与水平方向成37°角的拉力F ＝60 N ，支持力N ＝64 N ，摩擦力f ＝16 N ，求物体所受的合力及物体与地面间的动摩擦因数．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)[解析] 对四个共点力进行正交分解，如图所示．则x 方向的合力：F x ＝F cos 37°－f ＝60×0.8 N －16 N ＝32 Ny 方向的合力：F y ＝F sin 37°＋N －G ＝60×0.6 N ＋64 N －100 N ＝0所以合力大小F 合＝F x ＝32 N ，方向水平向右．物体与地面间的动摩擦因数μ＝f N ＝1664＝0.25. [答案] 32 N ，方向水平向右 0.25[规律总结]正交分解法的优点(1)正交分解法是一种按解题需要把力按照选定的正交坐标轴进行分解的一种方法，它可以将矢量转化为标量进行计算，尤其适用于物体受三个或三个以上共点力作用的情况，实际上它是利用平行四边形定则的一种特殊方法．(2)利用正交分解法很容易把合力与分力放到一个直角三角形中，便于通过分析直角三角形的边角关系计算合力或分力的大小．2．两个大人和一个小孩拉一条船沿河岸前进．两个大人对船的拉力分别是F 1和F 2，其大小和方向如图所示．今欲使船沿河中心线行驶，求小孩对船施加的最小拉力的大小和方向．解析：根据题意建立如图所示的直角坐标系．F 1y ＝F 1·sin 60°＝200 3 NF 2y ＝F 2·sin 30°＝160 N所以小孩最小拉力的大小为F ＝F 1y －F 2y ＝(2003－160)N ≈186.4 N ，方向为垂直于河中心线指向F 2一侧．答案：186.4 N 垂直于河中心线指向F 2一侧。
高中物理平行四边形定则及正交分解方法的应用
高中物理平行四边形定则及正交分解方法的应用展开全文一、对合力、分力、共点力的理解例1、下列关于合力与分力的叙述，不正确的是（）A. 一个物体受到几个力的作用，同时也受到这几个力的合力的作用B. 几个力的合力总是大于它各个分力中最小的力C. 合力和它相应的分力对物体的作用效果相同D. 力的合成就是把几个力的作用效果用一个力来代替解答：几个力的合力与这几个力的作用效果是相同的，它们是可以相互替代的，合力与分力不能同时作用在物体上，所以A错误，C、D正确；而合力可以大于其中任一个分力，也可以小于任一个分力。
所以B错误。
答案：A、B例2、下面关于共点力的说法中正确的是（）A. 物体受到的外力一定是共点力B. 共点力一定是力的作用点在物体上的同一点上C. 共点力可以是几个力的作用点在物体的同一点上，也可以是几个力的作用线交于同一点D. 以上说法都不对解答：共点力的定义为：几个力如果都作用在物体上的同一点，或者它们的作用线相交于同一点，这几个力叫做共点力。
所以C正确，A、B、D错误。
答案：C二、力的合成与平行四边形定则的理解和应用例1、有两个共点力，F1＝2N，F2＝4N，它们的合力F的大小可能是（）A. 1NB. 5NC. 7ND. 9N分析：本题主要考查二力合成的平行四边形定则及二力合成的范围。
要求知道二力合成时合力范围在两力大小之和与两力大小之差之间，即|F1－F2|＜F＜F1＋F2，这样就可以选出正确的选项。
解答：两个共点力F1＝2N、F2＝4N，当力F1、F2方向相同时，合力最大，且F max＝F1＋F2＝2N＋4N＝6N；当力F1、F2方向相反时，合力最小，且F min＝4N－2N＝2N。
所以这两个力F1、F2的合力范围为［2N，4N］，从上述四个选项中可看出，合力在此范围内的力只有B。
答案：B例2、如图所示，AB为半圆的一条直径，P点为圆周上的一点，在P点作用了三个共点力F1、F2、F3，求它们的合力。
1轮复习：第二章第6课时 正交分解法在平衡问题中的应用.
【例2】重为G的木块与水平地面间的动摩擦因数为μ，一人欲 用最小的作用力F使木块做匀速运动，则
此最小作用力的大小和方向应如何？
G 1 2 与水平方向成α角且tan α＝μ
Op’p；’ 解析 木块在运动过程中受摩擦力作用，要减小摩擦力，应使作用力F斜向上，
设当F斜向上与水平方向的夹角为α时，F的值最小．木块受力分析如图所示，由平
（2016黑龙江大庆一中模拟）重为G1=8N的物体悬挂在绳PA和PB的结点上。PA偏 离竖直方向370角，PB在水平方向，连接着另一个重为G2=100N的木块，木块静止 于倾角为370的斜面上，如图所示，(已知sin 370=0.6，cos370=0.8，重力加速度g取 10 m/s2)。试求： (1)绳PA和PB所受的拉力； (2)木块受到的斜面作用的弹力和摩擦力。
正交分解法解共点力平衡
正交分解法解共点力平衡引言在物理学中，力学是一个重要的领域，它研究物体在受力下的运动和平衡。
平衡是物体所受力的总和为零时的状态。
在某些情况下，多个力作用在一个点上，这就是共点力的问题。
为了解决这个问题，正交分解法是一种常用的方法。
本文将介绍正交分解法的原理及其在解共点力平衡问题中的应用。
正交分解法正交分解法是一种将一个力分解为多个互相垂直的分力的方法。
它基于向量分解的原理，通过将力分解为水平和垂直两个方向上的分力，简化了问题的求解过程。
原理正交分解法的原理基于三角函数的性质。
我们可以将一个力F分解为水平方向的分力Fx和垂直方向的分力Fy。
通过三角函数的定义，我们可以得到以下关系：Fx = F * cosθ Fy = F * sinθ其中，θ是力F与水平方向之间的夹角。
应用步骤正交分解法的应用步骤如下：1.画出力的示意图，并标注力的方向和大小。
2.根据示意图确定力与水平方向之间的夹角θ。
3.使用三角函数计算水平方向和垂直方向上的分力Fx和Fy。
4.根据得到的分力，进行进一步的计算，如求和或比较大小。
优点和局限性正交分解法的优点在于它简化了问题的求解过程，并且能够将复杂的共点力问题转化为简单的分力问题。
它使得物理问题的解决更加直观和易于理解。
然而，正交分解法也有一些局限性。
首先，它只适用于共点力的问题，对于其他类型的力的平衡问题并不适用。
其次，它只能解决平衡问题，对于动力学问题并不适用。
解共点力平衡问题在解共点力平衡问题时，我们可以通过正交分解法将复杂的共点力问题转化为简单的分力问题。
下面通过一个例子来说明如何使用正交分解法解共点力平衡问题。
问题描述有一个物体在平面上受到三个力的作用，这三个力分别是F1=10N，F2=15N和F3=20N。
角度a1=30°，a2=45°和a3=60°。
我们需要求解物体是否处于平衡状态，如果不平衡，计算物体沿哪个方向运动。
解决步骤1.画出力的示意图。
正交分解法的应用
正交分解法的应用1．方法：把力沿经选定的两个相互垂直的方向分解。
2．目的：将力的合成化简为同向或反向或垂直方向，便于运用普通代数运算公式来解决矢量的运算。
计算多个共点力的合力时，正交分解法显得简明方便。
正交分解法求合力，运用了“欲合先分”的策略，降低了运算的难度，是解题中的一种重要思想方法。
3．步骤：（1）正确选定直角坐标系。
（2）分别将各力投影到坐标轴上。
（3）求各力的分力在x ，y 轴的合力。
（4）再求合力的大小和方向。
计算过程： +++=x x x x F F F F 321合+++=y y y y F F F F 321合合力的大小为：22合合合y x F F F +=合力的方向：合合x y F F =θtan典例剖析例1 如图所示，三个共点力F 1、F 2、F 3的大小分别为20N 、30N 、40N ，求这三个共点力的合力。
例2 如图所示，质量为m ，横截面为直角三角形的物块ABC ，AB 边靠在竖直墙面上，物块与墙面间的动摩擦因数为μ，F 是垂直于斜面BC 的推力，物块沿墙面匀速下滑，则物块所受到的摩擦力的大小为 （ ）A ．αsin F mg +B ．αsin F mg -C ．mg μD ．αμcos FF 1变式训练：1． 在同一平面上共点的四个力F 1、F 2、F 3、F 4的大小依次是19N 、40N 、30N 和15N ，方向如图所示，求这四个力的合力。
2．如图所示，电灯的重力G =10N ，BO 与顶板间的夹角θ为60o，AO 绳水平，求绳AO 、BO 受到的拉力F 1 、F 2 是多少？3．如图甲所示，重为500 N 的人通过跨过定滑轮的轻绳牵引重200 N 的物体，当绳与水平面成60°角时，物体静止，不计滑轮与绳的摩擦，求地面对人的支持力和摩擦力。
24．水平地面上的重为150N木块，受到与水平面成370斜向上的拉力F作用向右做匀速直线运动，F大小为60N，求物体与水平面间的动摩擦因数。
牛顿运动定律(三)正交分解法、连接体
牛顿运动定律（三）——正交分解法、连接体一、正交分解法应用【典例评析】【例1】如下图所示，小车在水平面上向左以加速度a做匀加速直线运动，车厢内用OA、OB两细绳系住一个质量为m的物体，OA与竖直方向的夹角为θ，OB绳水平。
求：两细绳的拉力分别是多大？【对应训练1】一个质量为m的物体放置在倾角为θ的斜面上，斜面放置在加速上升的电梯中，加速度大小为a，如下图所示。
物体始终相对于斜面静止。
【对应训练2】如图所示，自动电梯与水平面的夹角为θ，当电梯以加速度a匀加速上升时，一个质量为m的人站在电梯上与电梯保持相对静止。
求：梯面对人的支持力、摩擦力的大小二、连接体【例2】如图所示，A、B两物体用轻绳连接，放于光滑水平面上，质量分别为m1、m2。
在、F2作用下共同向右匀加速运动。
求：拉力F（1）物体A的加速度大小（2）绳子拉力大小【对应训练2】如图所示，A、B两物体用轻绳连接，放于粗糙水平面上，质量分别为m1、m2，在拉力F1、F2作用下共同向右匀加速运动。
两个物体与水平面间的动摩擦因数均为μ。
求：（1）物体A的加速度大小（2）绳子拉力大小【对应训练1】如图所示，在光滑水平面上，两个质量相同的物体并排靠在一起，在推力F1、F2的作用下，共同向右匀加速运动，则两物体之间作用力大小为（）A、（F1 - F2）/2B、（F1 + F2）/2C、F1 /2D、F2 /2【例3】（多选）两个重叠在一起的滑块，置于固定的、倾角为θ的斜面上，如图所示，滑块A、B的质量分别为m1、m2，A与斜面间的动摩擦因数为μ1，B与A间的动摩擦因数为μ2，已知两滑块一起从静止开始以相同的加速度从斜面滑下，滑块B受到摩擦力为（）A、等于零B、大小等于μ1 m2 g cosθC、大小等于μ2 m2 g cosθD、方向沿斜面向上【对应训练】如下图所示，物体A、B用轻杆相连，沿斜面加速下滑，A、B与斜面之间的动摩擦因数分别为μA、μB，下列关于轻杆中的弹力说法正确的是（）= μB则杆中无弹力A、若μB、若μA < μB则杆对B有拉力C、若μA > μB则杆对B有支持力D、由于没有给出两个物体质量的大小关系，故无法确定杆中是拉力还是支持力。
正交分解法在静力学中的应用
正交分解法在静力学中的应用所谓正交分解法是把一个矢量分解在两个互相垂直的坐标轴上的方法（如图所示）。
正交分解法是一种常用的矢量运算方法，也是解牛顿第二定律题目最基本的方法。
物体在受到三个或是三个以上的不在同一直线上的力的作用时一般都采用正交分解法。
1.建立坐标轴的原则：在静力学中，一般选共点力的作用点为原点，以少分解力和容易分解力为原则(即尽量多的力在坐标轴上)；2.正交分解法的适用情况适用于计算物体受三个或三个以上共点力的合力情况．3.方法：物体受到多个力作用F1、F2、F3…，可把各力沿相互垂直的x轴、y轴分解。
x轴上的合力：F x＝F x1＋F x2＋F x3＋…＝0y轴上的合力：F y＝F y1＋F y2＋F y3＋…＝0【例1】物体放在粗糙的水平地面上，物体重50N，受到斜向上方向与水平面成300角的力F作用，F=50N，物体仍然静止在地面上，如图所示。
求：物体受到的摩擦力和地面的支持力分别是多少？m＝4.4 kg，用与竖直方向成θ＝37°的斜向右上方的推力把该物体压在竖直墙壁上，并使它沿墙壁在竖直方向上做匀速直线运动．物体与墙壁间的动摩擦因数μ＝0.5，取重力加速度g＝10 N/kg，求推力F的大小．(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)【例3】(多选)如图所示，质量为m的物体在恒力F作用下沿天花板做匀速直线运动，物体与天花板间动摩擦因数为μ，则物体受到的摩擦力的大小为()A.F sin θB.F cos θC.μ(F sin θ－mg)D.μ(mg－F sin θ)【例4】物体A在水平力F1＝400 N的作用下，沿倾角θ＝53°的斜面匀速下滑，如图所示．物体A受的重力G＝400 N，求斜面对物体A的支持力和A与斜面间的动摩擦因数μ.(sin53°＝0.8，cos53°＝0.6)300【例5】如图所示，质量为M 的直角三棱柱A 放在水平地面上，三棱柱的斜面是光滑的，且斜面倾角为θ.质量为m 的光滑球B 放在三棱柱和光滑竖直墙壁之间，A 和B 都处于静止状态，求地面对三棱柱的支持力和摩擦力的大小.随堂练习1.如图所示，一只气球在风中处于静止状态，风对气球的作用力水平向右。
正交分解思想在高中物理中的应用
正交分解思想在高中物理中的应用1、正交分解法：把同一矢量系的各个矢量向垂直的两个坐标轴（x 轴和y 轴）方向分解。
2、适用范围：所有矢量，比如高中阶段学的矢量：力、速度、位移、加速度、电场强度、磁感应强度等等。
3、基本原理：矢量的合成和分解法则，即平行四边形定则；先分解后合成，即为了合成而分解（欲合先分）。
一、正交分解思想在求合力中的应用【例1】如图所示，三个共点力F 1、F 2、F 3的大小分别为20N 、30N 、40N ，求这三个共点力的合力。
【答案】二、正交分解思想在求共点力平衡中的应用【例2】如图甲，质量为m 的木块静止在固定斜面上，已知斜面倾角为θ，重力加速度为g ，求木块所受摩擦力？【例3】如图乙，一个质量为m 的木块放在固定的粗糙斜面上，今对木块施一个既与斜面底边平行又与斜面平行的推力F ，木块处于静止状态。
已知斜面倾角为θ，重力加速度为g ，求木块所受摩擦力？【答案】甲θ乙【例4】如图所示，粗糙斜面P 固定在水平面上，斜面倾角为θ，在斜面上有一个小滑块Q 。
若给Q 一个水平向右的推力F ，无论推力为多大，Q 都不会向上滑动，则PQ 间的动摩擦因数( )A．不小于1tan θB．等于1tan θC ．等于tan θD ．不小于tan θ答案 A解析 对Q ，沿斜面向上的合外力F ′＝F cos θ－μ(F sin θ＋mg cos θ)－mg sin θ，整理为F ′＝(cos θ－μsin θ)F －(μcos θ＋sin θ)mg ，只有当F 的系数(cos θ－μsin θ)≤0时，F ′才不能大于0，即合外力不可能向上，滑块不可能向上滑动，解得μ≥1tan θ，所以答案为A 。
三、正交分解思想在求牛顿第二定律中的应用1、牛顿第二定律的分量式：F 合x =ma x ，F 合y =ma y ；2、为了减少矢量分解，建立坐标系时，确定x 轴正方向主要有以下两种方法：①分解力而不分解加速度，此方法一般规定加速度a 的方向为x 轴正方向；②分解加速度而不分解力，把加速度分解在x 轴和有轴上。
正交分解法的应用
练习
1、上题中，如物体在F作用下匀速运动，求：水平桌面和物 体间的动摩擦因数
2、竖直墙上有一重为G的物块，在与竖直方向成a角的斜 向上的推力F作用下匀速向上运动，求：墙与物块间的动摩 擦因数
分析：由正交分解法解题步
骤逐步解决：
1）画出物体受力示意图
2）建立合适的X、Y轴
3）把该分解的力分解
4）X、Y方向上列方程、求解
3、一重为G的物块放在倾角为a的斜面上在水平恒力 F作用下，处于1）静止状态 2）向上匀速运动状态 求：以上两种情况下的摩擦力
4、一重为G的物块放在倾角为a的斜面上正好能向下 匀速运动。求：物块与斜面间的动摩擦因数
正交分解法的应用
掌握正交分解法基本方法 能应用它处理一般问题
例1 一重量为G的物体放在水平桌面上，受到一和水 平面成a角的恒力F作用处于静止，求：地面对物体的 摩擦力及支持力
分析：
水平方向：合力为0 竖直方向：合力为0
结论：摩擦力f=Fcosa 支持力FN=G—Fsina
总结：正交分解法解题骤：
高三物理正交分解法应用复习
7
例 3. 如图所示，质量 m=1 kg 的物块放在 倾角为θ的斜面上，斜面体质量 M=2 kg， 斜面与物块间的动摩擦因数μ=0.2，地面 光滑，θ=37°.现对斜面体施加一水平推 力 F，要使物体 m 相对斜面静止，力 F 应为
多大？（设物体与斜面的最大静摩擦力等
第三章
牛顿运动定律
4.正交分解法应用牛顿第二定律
1
问题1.什么是正交分解法？ 问题2.F=ma中哪些量可 以进行分解？ 问题3.正交分解后，牛顿第 二定律的表达式？
2
例1.如图所示，质量为1kg,初速度为 18m/s的物体,在粗糙水平面上滑行,物 体与地面间的动摩擦因数为0.25,同时 还受到一个与水平方向成53°角,大小
于滑动摩擦力，g 取 10 m/s2）
8
例4.质量为m的物体放在倾 角为α的固定斜面上，物体和斜 面间的动摩擦因数为μ，如沿水 平方向加一个力F，使物体沿斜 面向上以加速度a做匀加速直线 运动。则F多大？
9
5
小结：应用正交分解法时怎样建立坐标？ 在牛顿第二定律中应用正交分解法时，
建立坐标系的基本原则是：使分解的物理 量（力和加速度）尽量的少；尽可能的分 解已知量.
具体有两种方法：
6
(1)以加速度a的方向为x轴正方向，与 a垂直的方向为y轴，则有：
∑Fx=ma ∑Fy=0.
(2)使尽可能多的力位于正交坐标轴上， 将加速度进行分解，则有：
为5N的外力F作用,经2s后撤去外力,求
物体滑行的总路程.
(sin53°=0.8,cos53°=0.6,g=10m/s2)
3
例2.如图所示，质量为m的人
站在自动扶梯上，扶梯正以
以“正交分解法”为例谈范例教学在物理教学中的运用
以 “ 正交分解 法 ”为例谈范例教学在物理教学 中的运用
董耀 ，任智
范例教学理论主张选取学科材料 中最典 型的材料 ， 形 成认 知的稠密区 ， 学生通过对稠 密区的探究思考 ， 形成整体认知结 构 ，理解掌握学科知识… ．范例教学 的核 心和关键 是如何精选教材 中的示范性知识作为范例．本文从范例教学理论要求的基 本性 、基础性和范例性三个特性 ，选择典 型的水平 面和斜面上的正交分解法进行设计教学 ，对范例教学的运用进行探讨．
设计意图 ：定性判断与定量计算相结合 ，感性认识 与理 性分 析相 融合 ，层 层深人中培养学生科学严谨的学 习态 度． １ ． ２ 典例分析应 用 质量 ｍ＝ ２ ｋ ｇ的物体放在水平地面上 ，与水平地 面的动摩擦 因数 ＝ ０ ． ２ ，物体在一个向右与水 平方 向成 ３ ７ 大小 １ Ｏ Ｎ的拉力 Ｆ作用 下 ，向右做匀 加速运动 ，求物体运动 的加速度． 解
Ｆｃ ｏ ｓ ａ＝６ Ｎ．分析可得 ， 轴：
２ 斜面上的物体受力情况分析 Nhomakorabea２ ． １ 实例 播放滑雪视频作为切人点 ，引导学生分析物体在斜面上运动 的情况 （ 见图 ２） ，斜面体 固定在水平地面上 ，形状
规 则 ，质量为 的物块从光滑斜面顶端加速下滑 ，试求物块下滑 的加 速度 大小 ． 解
＝
建 立坐标系 （ 见图 ２） ，将力 Ｆ沿 轴和 Ｙ轴方向进行分解 ，分力为 ：
＝Ｆｓ ｉ ｎ 口，
Ｆｃ ｏ ｓ ａ．分析 可得 ， 轴： ：ｍａ； Ｙ轴 ：
＝ ．故 ａ＝ Ｐ ｇ ｓ ｉ ｎ ．
２ ． ２ 变式 将光滑斜 面改为粗糙 斜面 ， 物块 与斜面间的动摩擦因数为 ，物块可以沿斜面下
力的分解方式——正交分解法． （ ３ ） 引导学生思考 ： 如果在两种斜拉力作用下物块 向右滑 动 ，如何 计算 支持力、压力 、滑动摩擦力大小．
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高中物理：正交分解法的应用
正交分解法是高中物理中矢量运算的重要工具，在力学和运动学中由广泛的应用。
在力学中，是在作好受力示意图的基础上，列出力学关系的方程式，进行定量计算的重要环节。
由于高中阶段涉及的物理量多数是矢量，若不能掌握这种方法，将会在物理学习过程中造成极大的障碍。
熟练掌握正交分解法，应注意以下几点:
1.如何建立科学合理的直角坐标系？
2.x、y轴上对应力学关系的方程式是什么？
3.正交分解法的应用有哪些？
（一）建立直角坐标系的方法
在高中物理中，多数物体受到的力都是共点力，且都落在同一个平面内，在三维空间中的较少，建立的坐标系时有以下要求：
1. 以各个力所在的平面为坐标平面
2. 以研究对象的质心为坐标原点
3. 建立坐标轴
（1）在静力学中，应以少分解力为原则建立x、y轴
（2）做直线（沿水平面、斜面、直杆）运动的物体，应以运动方向和垂直于运动方向建立坐标轴
（3）在圆周运动中，以径向和垂直于径向建立坐标轴
（二）列出力学关系的方程式
在分析x、y轴上的力学关系时，应结合物体的运动状态
1.若为平衡状态，则所有的力在x轴上的合力为0，所有的力在y轴上的合力也为0，即：ΣFX=0，ΣFy=0
2.在直线运动中若为非平衡状态，如果是以运动方向为x轴、垂直于运动方向为y轴，则所有的力在x轴上的合力为ma，所有的力在y轴上的合力为0，即：ΣFX=ma，ΣFy=0
（三）正交分解法在力学中的应用
1.分析相对运动趋势：以接触面和垂直于接触面建立直角坐标系，分析物体在平行于接触面上的除去摩擦力以外的其他力的合力方向，该力方向即为物体的运动趋势方向。
2.求静摩擦力的大小：利用物体在平行于接触面上的力学关系方程式求解
3.求支持力（正压力）的大小：利用物体在垂直于接触面上的力学关系方程式求解
4.求滑动摩擦力的大小
滑动摩擦力的计算方法有两种，为：
（1）利用接触面上的坐标轴上的力学关系方程进行计算；
（2）先利用垂直于接触面上坐标轴上的力学方程求出FN，再利用f滑=μFN进行计算
5.求合力的大小
6.求向心力的大小。