旋转相似变换及其本质特征
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旋转相似变换及其本质特征
江苏省泰州市朱庄中学 曹开清 225300
一、旋转相似变换的概念
2007年江苏省南京市中考试卷的第27题给出了一个新概念——旋转相似变换: 在平面内,首先将一个多边形以点O 为位似中心放大或缩小,使所得多边形与原多边形对应线段的比为k ;接着将所得多边形以点O 为旋转中心,逆时针旋转一个角度θ,这种经过缩放和旋转的图形变换叫做旋转相似变换,记为(,)O k θ,其中点O 叫做旋转相似中心,k 叫做相似比,θ叫做旋转角.
(1)填空:
①如图1,将ABC △以点A 为旋转相似中心,放大为原来的2倍,再逆时针旋转60
,得到ADE △,这个旋转相似变换记为A (
, );
②如图2,ABC △是边长为1cm 的等边三角形,将它作旋转相似变换
90)A
,得到ADE △,则线段BD 的长为
cm ;
(2)如图3,分别以锐角三角形ABC 的三边AB 、BC 、CA 为边向外作正方形ADEB 、BFGC 、CHIA ,点1O 、2O 、3O 分别是这三个正方形的中心,试分别利用△31O AO 与ABI △,CIB △与2CAO △之间的关系,运用旋转相似变换的知识说明线段31O O 与A O 2之间的关系.
解析:(1)①2,60°;②2.
(2)13AO O △经过旋转相似变换)A
,得到ABI △,此时,线段31O O
变换为线段BI ;CIB △经过旋转相似变换45C ⎫⎪⎪⎝⎭
,得到2CAO △,此时,线
段BI 变换为线段A O 2.因为12
2
2=⨯
,45°
+45°=90°,所以A O O O 231=,A O O O 231⊥.
实际上,这种旋转相似变换是位似变换和旋转变换的“复合变换”.为了便于说明,本文中旋转相似变换的研究对象仅限于三角形,旋转相似中心为三角形的一个顶点,旋转角θ满足0°<θ<180°.
二、任意三角形旋转相似变换的规律
图4~图8是将任意△ABC 以顶点A 为旋转相似中心作旋转相似变换到△ADE 得到的一组图形,其中旋转角θ分别满足:①0°<θ<∠BAC ;②θ=∠BAC ;③∠BAC <θ<180°―∠BAC ;θ=180°―∠BAC ;⑤180°―∠BAC<θ<180°.
C
C
图4 图5
图6
E
C
C
图7 图8
连接BD 、CE ,设BD 或其延长线交CE 于点F . 由△ABC ∽△ADE ,易得
AB AC
AD AE
=
,∠BAD =∠CAE ,所以△ABD ∽△ACE .其相似比AB
k AC
=
,∠ABD =∠ACE ,于是∠BFC =∠BAC . 因此,在这组图形中,△ABD 和△ACE 的旋转相似变换关系是其本质特征.
三、几个特殊三角形旋转相似变换的规律
1.等边三角形
图9~13,是将等边△ABC 以顶点A 为旋转相似中心作旋转相似变换到△ADE 得到的一组图形,其中旋转角θ分别满足:①0°<θ<60°;②θ=60°;③60°<θ<120°;④θ=120°;⑤120°<θ<180°,
图9 图10 图
11
图12 图13
连接BD 、CE ,设BD 或其延长线交CE 于点F ,易得△ABD ≌△ACE ,∠BFC =∠BAC =60°.
因此,在这组图形中,将△ABD 绕顶点A 逆时针旋转60°后变换到△ACE 是其本质特征.
此外,如图14,当变换到点B 、D 、E 在同一直线上时,则有CE +AE =BE .如图15,当变换到DC ⊥BC 时,则有CA 2+CD 2=CE 2.如图16,当变换到点C 、D 、E 在同一直线上时,则有AD +CD =BD 等等.
E
E
E
图14
图15 图16
2.等腰直角三角形
图17~19,是将等腰直角△ABC(顶角为A)以顶点A为旋转相似中心作旋转相似变换到△ADE得到的一组图形.
图17 图18 图19
连接BD、CE,设BD或其延长线交CE于点F易得△ABD≌△ACE,∠BFC=∠BAC=90°,即BD⊥CE.
因此,在这组图形中,将△AB D绕顶点A逆时针旋转90°后变换到△ACE是其本质特征.
3.等腰三角形
图20~22,是将等腰△ABC(顶角A为θ)以顶点A为旋转相似中心作旋转相似变换到△ADE得到的一组图形.
D
E E
图20 图21 图22
连接BD、CE,设BD或其延长线交CE于点F,则有△ABD≌△ACE,所以∠ABD=∠ACE,于是∠BFC=∠BAC=θ.
因此,在这组图形中,将△ABD绕顶点A逆时针旋转θ角后变换到△ACE是其本质特征.
此外,如图22,当变换到BD平分∠ABC时,设BD与AC交于点G,则有线段FC是线段FG和FB的比例中项.
上述几个规律可以帮助我们判断在一个图形中是否存在三角形旋转,从而利用旋转知识解决问题,下面举例说明:
例1如图23,△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,△ABD、△ACE、△BCF
都是等边三角形,求四边形AEFD 的面积.
E
图23
解析:根据已知条件,△BDF 可以看成是△ABC 绕点B 逆时针旋转60°后形成的,于是△BDF ≌△BAC .同理可证△CEF ≌△CAB .由此可得四边形AEFD 是平行四边形,而∠DAE =150°,所以四边形AEFD 的面积为6.
例2 如图24,在梯形ABCD 中,AB//CD ,∠BCD =90°,且DC =2AB ,tan ∠ADC =2.
(l)求证:DC =BC ;
(2)若E 是梯形内一点,且EB =2,EC =4,∠BEC =135°,求ED 的长.
F
C
图24
解析:(l)过点A 作AH ⊥DC ,垂足为H .因为DC =2AB ,所以DH =AB . 因为tan ∠ADC =
DH
AH
=2,所以AH =2DH ,所以BC =2AB .所以DC =BC . (2)以CE 为一条直角边、C 为直角顶点作等腰直角△CEF ,则EF =42,连接BF .易证△CDE ≌△CBF ,所以ED =FB .
在△BEF 中,因为∠BEF =135°―45°=90°,所以FB =2
2
)24(2 =6,即ED =6.
例3 如图25,五边形ABCDE 中,AB =AE ,BC +DE =CD ,∠ABC +∠AED =180°,连接DA .求证:DA 平分∠CDE .