一元三次方程求根问题
没有二次项的一元三次方程求根公式
没有二次项的一元三次方程求根公式一元三次方程是指形如ax^3+bx^2+cx+d=0的方程，其中a不等于0。
这种方程的根是非常难以求解的，因为它没有一个通用的公式来求解它的根。
然而，如果这个方程没有二次项，那么我们可以使用一些特殊的技巧来求解它的根。
首先，我们可以将这个方程写成如下形式：x^3+px+q=0其中p和q是常数。
接下来，我们需要找到一个特殊的数r，使得r^3+pr+q=0。
一旦我们找到了这个数，我们就可以将原方程写成如下形式：(x-r)(x^2+rx+(r^2+p))=0现在我们可以使用二次方程的求根公式来求解x^2+rx+(r^2+p)=0的根。
然而，我们还需要求解x-r=0的根，这个根很容易得到，它就是r。
因此，我们可以得到原方程的三个根：x1=rx2=(-r+sqrt(3)r*i)/2x3=(-r-sqrt(3)r*i)/2其中i是虚数单位，即i^2=-1。
这个公式也可以写成如下形式： x1=rx2=-r/2+sqrt(3)(r/2)ix3=-r/2-sqrt(3)(r/2)i现在让我们来看一个具体的例子。
假设我们要求解方程x^3-3x+2=0的根。
首先，我们可以将它写成如下形式：x^3+0x^2-3x+2=0这个方程没有二次项，因此我们可以使用上面的方法来求解它的根。
我们需要找到一个数r，使得r^3-3r+2=0。
这个方程的解是r=1，因为1^3-3(1)+2=0。
现在我们可以将原方程写成如下形式：(x-1)(x^2+x+2)=0我们可以使用二次方程的求根公式来求解x^2+x+2=0的根。
这个方程的判别式是-7，因此它没有实数根。
然而，它有两个共轭复数根： x2=(-1+sqrt(7)i)/2x3=(-1-sqrt(7)i)/2因此，原方程的三个根是：x1=1x2=(-1+sqrt(7)i)/2x3=(-1-sqrt(7)i)/2总之，没有二次项的一元三次方程的根可以使用特殊的技巧来求解。
求实系数一元三次方程根的实用公式
求实系数一元三次方程根的实用公式在数学书籍或数学手册中，对一元三次方程求根公式的叙述都是沿用“卡丹公式”，即：对于一元三次方程：设，则它的三个根的表达式如下：其中，我们先用该公式解一个一元三次方程：。
解：p= 9，q=6，T= 3，D= 18，原方程的三个根为这样求出的三个根的表达式有两个不妥之处：其一、当时，方程有三个实根（下文给出证明），但这里的、、表达式不明确。
其二、当时，以及（如此例中的）违背了现行中等数学的表示规范，也不能具体地求出其值。
因此，用“卡丹公式”解出的一元三次方程的根，往往是不实用、不直观、不严密的。
下面我们推导一个实用的改进型求根公式。
实系数一元三次方程可写为（1）令，代入（1）得（2）其中，不失一般性，我们只要讨论实系数一元三次方程的求根公式即可。
不妨设p、q均不为零，令y=u+v（3）代入（2）得，（4）选择u、v，使得，即（5）代入（4）得，（6）将（5）式两边立方得，（7）联立（6）、（7）两式，得关于的方程组：，且问题归结于上述方程组的求解。
即求关于t的一元二次方程的两根、，设，，，又记的一个立方根为，则另两个立方根为，，其中，为1的两个立方虚根。
以下分三种情形讨论：1）若，即D>0，则、均为实数，可求得，，取，，在，组成的九个数中，有且只有下面三组满足，即、；、；、，也就是满足，方程（2）的根为，，，这是方程（2）有一个实根，两个共轭虚根，，其表达式就是前面给出的“卡丹公式”的形式，这里的根式及都是在实数意义下的。
2）若，即时，可求得，取同理，可求得方程（2）有三个实根，其中至少有两个相等的实根。
3）若，即D<0时，，p<0，，则、均为虚数，求出、并用三角式表示，就有，，其中T，都是实数，同理，其中，且取，，则显然，当且仅当取，；，；，这三组时才满足，于是方程（2）得三个实根为，，，具体表示出来就为：其中当时，方程（2）有三个实根。
综上所述，实系数一元三次方程的求根公式如下：令，，，，1）当时，方程有一个实根和两个共轭虚根，2）当时，方程有三个实根，其中至少有两个相等的实根，，，3）当时，方程有三个实根，，上面提供的公式，可以求出任意实系数一元三次方程的根的具体值，是实用性的。
一元三次求根公式方法
一元三次求根公式方法一、一元三次方程概述1.定义及符号表示一元三次方程是指只含有一个未知数、未知数的最高次数为三次的方程。
通常用字母x表示未知数，方程一般形式为：ax+bx+cx+d=0。
2.基本性质一元三次方程有以下几个基本性质：（1）一元三次方程有三个解（实根或复根）；（2）一元三次方程的解可能有两个实根，一个虚根；（3）一元三次方程的解可能有一个实根，两个虚根；（4）一元三次方程的解可能三个都是虚根。
二、一元三次求根公式推导1.公式推导过程一元三次方程的求根公式由意大利数学家卡尔丹（Cardano）于16世纪首次推导出来。
求根公式为：x1,2,3 = [-b ± √(b-3ac)] / (3a)2.公式含义及适用范围该公式适用于一元三次方程ax+bx+cx+d=0（a≠0），通过该公式可以求得一元三次方程的三个解。
三、一元三次方程的解法1.直接开平方法直接开平方法适用于一元三次方程ax+bx+cx+d=0（a≠0，且a、b、c、d为实数），通过直接开平可以求得一元三次方程的解。
2.公式法利用一元三次方程的求根公式，可以求得一元三次方程的三个解。
公式法适用于一元三次方程ax+bx+cx+d=0（a≠0）。
3.图像法通过绘制一元三次函数的图像，观察与x轴的交点个数，可以判断一元三次方程的解的个数。
图像法适用于直观地了解一元三次方程的解的情况。
4.数值法利用数值方法（如牛顿法、二分法等）求解一元三次方程，适用于需要求解实数解的情况。
四、一元三次方程实际应用案例1.数学建模中的应用在数学建模中，一元三次方程常用于构建复杂数学模型，如人口增长模型、经济模型等。
2.物理、工程领域的应用一元三次方程在物理、工程领域中有广泛应用，如振动系统的动力方程、电磁场的麦克斯韦方程等。
五、一元三次方程求根公式的优缺点1.优点（1）公式具有普遍性，适用于各种一元三次方程；（2）求解过程较为简便，计算量较小；（3）可以求得实根、复根，以及虚根。
一元三次方程求根公式推导过程
一元三次方程求根公式推导过程一元三次方程的求根公式，即可利用一个公式求得该方程的三个根，可谓一个十分重要的数学公式。
其公式的推导过程，虽繁琐，但也是有一定的规律可循的。
本文将就这一推导过程，加以详述。
首先来看一元三次方程的一般形式：$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$$将该方程的左右两边分别平方，得到：$$a^2x^6+2abx^5+2acx^4+b^2x^4+2bcdx^3+2acdx^2+cd^2x^2+2abdx +c^2=0$$将上式两边同时乘以$4a^3$，得到：$$4a^3x^6+8a^2bx^5+8a^2cx^4+4a^2b^2x^4+16a^2bcdx^3+16a^2acd x^2+4a^2cd^2x^2+8a^2abdx+4a^2c^2=0$$将上式整理得到：$$x^2(4a^3x^4+8a^2bx^3+8a^2cx^2+4a^2b^2x^2+16a^2bcdx+16a^2a cd)+c^2-4a^3d^2=0$$设 $P =4a^3x^4+8a^2bx^3+8a^2cx^2+4a^2b^2x^2+16a^2bcdx+16a^2acd$，则上式变为：$$x^2P+c^2-4a^3d^2 = 0$$再将上式整理得到：$$x^2P+(frac{-b}{2a})^2-frac{1}{4a^2}(4ac-b^2)=0$$ 把上式分解因式，即有：$$x^2+frac{-b}{2a}+frac{2ac-b^2}{4a^2P} = 0$$ 设$D = b^2-4ac$，则上式可写为：$$x^2+frac{-b}{2a}+frac{D}{4a^2P} = 0$$将上式左右两边同时乘以$frac{1}{4a^2P}$，得到：$$frac{x^2}{4a^2P}+frac{-b}{8a^3P}+frac{1}{16a^4P^2}D=0$$ 根据二次方程的求根公式，即有：$$x=frac{-2a^2Ppmsqrt{8a^2Pb+D^2}}{4a^3P}$$再将上式改写，即得最终的一元三次方程求根公式：$$x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}-frac{2a^2P}{bpmsqrt{b^2-4ac }}$$由此可见，一元三次方程求根公式，是通过繁琐的整理、变形，最终才得到的。
一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的.doc
一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的,用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如320ax bx cx d +++=的标准型一元三次方程形式化为30x px q ++=的特殊型。
一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到,即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。
归纳出来的形如 30x px q ++=的一元三次方程的求根公式的形式应该为x 型,即为两个开立方之和。
一元三次方程的求根公式主要有两种，即卡尔丹公式和盛金公式。
其中卡尔丹公式是历史上首个完整解决一元三次方程的求根问题的重要公式，它所具有的历史意义是重大的，是不可磨灭的。
下面就首先简略介绍一下卡尔丹公式的内容及其推导过程。
一元三次方程320ax bx cx d +++=的求根公式是1545年由意大利学者卡当发表在《关于代数的大法》一书中，人们就把它叫做“卡当公式（有的数学资料叫“卡尔丹公式”）。
方程30x px q ++=，（p ，q ∈R ）判别式23(/2)(/3)q p ∆=+。
1x =；22x ；23x =。
这就是著名的卡尔丹公式。
卡尔丹公式的推导如下：第一步：320ax bx cx d +++= 为了方便，约去a 得到320x kx mx n +++=令/3x y k =- ，代入方程32(/3)(/3)(/3)0y k k y k m y k n -+-+-+=，3(/3)y k -中的2y 项系数是-k ，2(/3)k y k -中的2y 项系数是k ，所以相加后2y 抵消 ，得到30y py q ++=其中 p m =，32(/3)/3q k km n =-+。
第二步：方程30x px q ++=的三个根为：1x =；2x ω=3x ω= ；其中(1/2ω=-+。
1、方程31x =的解为11x =，2(1/2x ω=-+=，3(1/2x ω=--= ；2、方程3x A =的解为1x =2x =，23x =，3、一般三次方程320ax bx cx d +++=(0)a ≠,两边同时除以a ,可变成320x sx tx u +++=的形式。
一元三次方程求根公式过程
一元三次方程求根公式过程一元三次方程求根公式，这可是数学里一个相当有挑战性的内容。
对于很多同学来说，一提到方程，可能首先想到的是一元二次方程，觉得那已经够让人头疼的了。
但一元三次方程，那可是更上一层楼的难度。
先来说说一元三次方程的一般形式：ax³ + bx² + cx + d = 0（a ≠ 0）。
要找到它的根，可不像一元二次方程那样，用个求根公式就能轻松搞定。
记得我曾经教过一个学生，叫小李。
这孩子特别聪明，就是在一元三次方程这里卡了壳。
有一次上课，我在黑板上写下了一个一元三次方程，然后开始讲解怎么求解。
小李听得特别认真，眼睛一眨不眨的，手里的笔不停地记着笔记。
我先给大家介绍一下卡尔丹公式，这可是求一元三次方程根的重要方法。
咱们假设方程 x³ + px + q = 0 ，然后通过一系列复杂的变换和推导，就能得到求根公式。
但是这个过程可不简单，中间涉及到好多的计算和变形。
就像搭积木一样，一块一块地拼凑，一步一步地推导。
回到小李的例子，那节课后，他自己拿着习题册，一直在那琢磨。
我走过去看他，发现他眉头紧锁，嘴里还念念有词。
我问他：“怎么啦，小李？”他抬起头，一脸无奈地说：“老师，这一元三次方程太难了，我感觉脑子都要转不过来了。
”我笑着鼓励他：“别着急，咱们慢慢来。
”然后我带着他，一步一步地重新梳理了一遍解题的思路和过程。
咱们继续说求根公式。
这里面有个判别式Δ = (q/2)² + (p/3)³ 。
通过判别式的值，我们可以判断方程根的情况。
如果Δ > 0 ，方程有一个实根和两个共轭虚根；如果Δ = 0 ，方程有三个实根，其中有一个是二重根；如果Δ < 0，方程有三个不等的实根。
在实际解题的时候，咱们要先把给定的方程化成标准形式，然后计算出相应的参数，再代入求根公式。
这个过程需要特别细心，一步出错，可能就前功尽弃啦。
就像小李，经过多次的练习和我的指导，终于掌握了一元三次方程求根的方法。
一元三次方程 求根公式
一元三次方程求根公式一元三次方程求根公式一元三次方程是指方程的最高次数为三次的方程，一般表示为ax³+bx²+cx+d=0，其中a、b、c、d为实数且a≠0。
求解一元三次方程的根是数学中的重要问题之一，我们可以通过求根公式来解决这个问题。
一元三次方程的求解过程较为复杂，需要借助求根公式来进行计算。
根据数学原理，一元三次方程的根可以通过以下公式来求解：我们要计算一元三次方程的判别式Δ，Δ的计算公式为Δ=b²c²-4ac³-4b³d-27a²d²+18abcd。
判别式Δ的值可以帮助我们判断方程的根的情况。
当Δ>0时，方程有一个实根和两个共轭复根。
实根可以通过以下公式计算得出：x₁=(-b+((b²-3ac)^(1/2)))/(3a)。
而共轭复根可以通过以下公式计算得出：x₂=x₃=(-b-(b²-3ac)^(1/2))/(6a)+i((3(b²-3ac))^(1/2))/(6a)和x₂=x₃=(-b-(b²-3ac)^(1/2))/(6a)-i((3(b²-3ac))^(1/2))/(6a)。
当Δ=0时，方程有一个实根和一个重根。
实根可以通过以下公式计算得出：x=(-b+((b²-3ac)^(1/2)))/(3a)。
重根可以通过以下公式计算得出：x=(-b-(b²-3ac)^(1/2))/(3a)。
当Δ<0时，方程有三个不相等的实根。
实根可以通过以下公式计算得出：x₁=2√(-p/3)cos((1/3)arccos(√(-3q/2p^3))) - b/(3a)，x₂=2√(-p/3)cos((1/3)arccos(√(-3q/2p^3))-2π/3) - b/(3a)，x₃=2√(-p/3)cos((1/3)arccos(√(-3q/2p^3))+2π/3) - b/(3a)。
一元三次方程求根 知乎
一元三次方程求根知乎全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一元三次方程求根是数学中一个非常基础且重要的知识点。
对于一些初学者来说，可能对于如何解一元三次方程求根还感到困惑。
今天就让我们来探讨一下一元三次方程求根的方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这个知识点。
一元三次方程通常可以写成如下形式：ax^3+bx^2+cx+d=0a、b、c、d为已知的系数，而x为未知数。
我们的目标就是要找到满足这个方程的根，也就是使得方程成立的x的值。
在解一元三次方程之前，我们首先需要了解一元三次方程的根的情况。
根据代数学的基本定理，一元三次方程至少有一个实数根。
也就是说，无论方程的系数取什么值，都至少存在一个实数根。
而对于复数根来说，一元三次方程可能有一个，两个或三个复数根。
接下来，我们来看一下一元三次方程求根的方法。
在解一元三次方程时，通常可以采用如下方法：1. 利用因式分解求根：如果一元三次方程可以通过因式分解为(x-a)(x-b)(x-c)=0的形式，那么方程的根就是a、b和c。
这种情况下，可以通过因式分解很容易地求得方程的根。
2. 利用求根公式求解：一元三次方程是无法像一元二次方程那样通过普通的求根公式直接求解的。
但我们可以借助一些其他的方法来求解。
其中一个比较常用的方法就是卡达诺公式。
卡达诺公式在一元三次方程的求解中起着非常重要的作用，能够帮助我们求解出方程的实数根或复数根。
3. 利用数值解法求解：如果无法通过因式分解或者求根公式求解出方程的根，我们还可以利用数值解法来逼近方程的根。
数值解法主要有二分法、牛顿法等，通过迭代求解来逼近方程的根。
除了上述方法外，对于一元三次方程的求解，还有一些其他的方法和技巧。
可以通过换元减次的方法将一元三次方程降低为一元二次方程再求解，也可以尝试利用韦达定理、拉格朗日插值等方法。
这些方法都可以帮助我们更快更准确地求得一元三次方程的根。
第二篇示例：一元三次方程在数学中是一个常见的问题，解决这个问题需要求出方程的根。
一元三次方程的一般解法 求根公式
一元三次方程的一般解法求根公式求解一元三次方程是数学中常见的问题，可以通过一般解法来求得方程的根公式。
一元三次方程的一般形式是ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a、b、c和d为已知系数。
下面将介绍一元三次方程的解法。
我们可以利用一元三次方程的根公式来求解。
根公式的推导过程较为复杂，这里不做详细展开，只介绍其一般形式。
一元三次方程的根公式可以表示为：x = (-b + √(b^2 - 3ac))/(3a) 或x = (-b - √(b^2 - 3ac))/(3a)其中，√表示开方，b^2 - 3ac为判别式，当判别式大于0时，方程有三个不同的实根；当判别式等于0时，方程有一个实根和一个重根；当判别式小于0时，方程有三个不同的虚根。
接下来，我们可以通过代入系数的值来计算根的具体数值。
需要注意的是，由于一元三次方程的计算较为复杂，一般需要使用计算器或计算软件进行求解。
在实际计算中，可以先计算判别式的值，然后根据判别式的值来确定方程的根的性质，最后再通过根公式来求解根的具体数值。
需要强调的是，求解一元三次方程的过程中，应该注意将方程化简为标准形式，确保系数的准确性。
此外，对于复数解，可以使用复数形式表示，其中虚部为√(-1)。
在实际应用中，可以根据具体问题的需要，选择合适的解法来求解一元三次方程。
总结起来，求解一元三次方程可以通过一般解法来求得根公式。
通过代入系数的值，计算判别式的值，来确定方程的根的性质，最后通过根公式求解根的具体数值。
求解过程中需要注意方程的标准形式和系数的准确性，以及对于复数解的处理。
通过掌握一元三次方程的解法，可以更好地应对实际问题的求解。
求根公式解一元三次方程
求根公式解一元三次方程一元三次方程，这可是个让不少同学头疼的“小怪兽”。
但别怕，咱们有求根公式这个“秘密武器”，能把它打得落花流水！还记得我上高中那会，数学老师在黑板上写下一个复杂的一元三次方程，然后神秘兮兮地说：“同学们，今天咱们来挑战这个‘大魔王’！”大家都一脸紧张又期待。
求根公式解一元三次方程，听起来就很厉害的样子。
其实它就像一把万能钥匙，能打开一元三次方程这扇神秘的大门。
咱们先来说说一元三次方程一般的形式：ax³ + bx² + cx + d = 0（a ≠ 0）。
那求根公式呢，看起来有点复杂，一堆字母和符号，不过别怕，咱们一步步来拆解。
这求根公式里涉及到不少计算和推导，需要咱们有耐心和细心。
就像做一道美味的菜肴，每一步都要精心准备。
比如说，要先计算出一些中间量，像Δ 等等。
给大家举个例子吧。
假设有个方程 x³ - 6x² + 11x - 6 = 0 。
咱们先用求根公式里的方法，计算出相应的数值。
这过程就像是在搭积木，一块一块，小心翼翼。
在计算的过程中，可不能马虎。
一个小数点，一个正负号，都可能让结果相差千里。
这就好比在走钢丝，得保持平衡，不能有一点偏差。
当咱们终于算出结果，那种成就感，就像在沙漠里走了很久终于找到了绿洲。
不过，掌握求根公式解一元三次方程，不是一蹴而就的。
得不断练习，不断琢磨。
有时候，可能会被难题卡住，感觉就像走进了一个迷宫。
但只要不放弃，坚持探索，总会找到出口。
就像我当初，为了搞懂一道一元三次方程的题目，在自习室里苦思冥想了好几个小时。
草稿纸用了一张又一张，笔都快写没水了。
最后，当我终于算出正确答案的时候，那种喜悦，简直无法形容。
总之，求根公式解一元三次方程虽然有点难，但只要咱们用心去学，多做练习，就一定能攻克这个难关。
相信自己，咱们都是数学小能手！现在，大家是不是对求根公式解一元三次方程没那么害怕啦？那就赶紧拿起笔，去挑战更多的题目吧！。
一元三次方程函数求根公式
一元三次方程函数求根公式一元三次方程函数求根公式，这可是数学世界里一个相当有趣的话题。
咱先来说说啥是一元三次方程。
简单来讲，就是形如$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$（其中$a\neq 0$）这样的式子。
那为啥要研究它的求根公式呢？就好比你要打开一个神秘的宝箱，求根公式就是那把关键的钥匙。
话说我之前教过一个学生，叫小李。
这孩子特别聪明，就是遇到一元三次方程的时候有点犯迷糊。
有一次，我在黑板上写了一道一元三次方程的题目，小李看了半天，眉头皱得紧紧的，就像打了个死结。
我跟他说：“别着急，咱们一步步来。
” 我先给他讲了一元二次方程的求根公式，他一听就懂，还挺得意。
可当我说到一元三次方程的时候，他那眼神又迷茫了。
咱们接着说一元三次方程的求根公式。
这公式看起来挺复杂的，叫卡尔丹公式。
它的形式是这样的：假设方程$x^3 + px + q = 0$，令$x = u + v$，代入方程后得到：$(u + v)^3 + p(u + v) + q = 0$展开并整理得到：$u^3 + v^3 + 3uv(u + v) + p(u + v) + q = 0$再令$3uv = -p$，就可以得到一个关于$u^3$和$v^3$的二元方程组。
解这个方程组，就能得到$u^3$和$v^3$的值，进而求出$u$和$v$，最终得到方程的根。
听起来是不是有点晕？其实啊，多做几道题，多琢磨琢磨，也就慢慢明白了。
就像小李，一开始晕头转向的，后来我给他布置了几道练习题，让他自己去琢磨。
他一开始做得磕磕绊绊，还老出错。
但是这孩子有股子不服输的劲儿，错了就改，不会就问。
经过几天的努力，他终于掌握了一元三次方程的求根方法。
有一天，他兴冲冲地跑来找我，说：“老师，我现在不怕一元三次方程啦！” 看着他那开心的样子，我也打心眼里高兴。
总之，一元三次方程的求根公式虽然复杂，但只要咱们有耐心，多练习，就一定能掌握。
别被它一开始的样子吓到，就像小李一样，勇敢地去面对，总会找到解决的办法。
一元三次方程的求根公式及其推导(同名21594)
一元三次方程的求根公式及其推导由于任一个一般的一元 公式化为 即(3 Ax 3 x px 1 .实数根的判定： 设 F(x) B 3A(x —) 3A 3B) (9AC 三次方程Ax 3 Bx 2 Cx D 0均可经过移轴 2 3 B 2 B 2B 3 BC (C )(x ) ( 2 D) 0 3A 3A 27 A 3A 3 2 3AB )(3Ax B) (2B 9ABC 27 A D) 程即可。
q 0的特殊形式，因此，只需研究此类方 3 x px3 x px F'(x)点的个数即方程 (1) .若p 0,则方程 有唯一实数根。
(2) •若p 0,则方程 有唯一实数根。
(3) 若p 0,则方程 q,则F (x) 0即方程x 3 pxq 0实数根的个数。
0没有实根， F (x)有唯一零点 q 0,F (x)零F(x) X i p/ 亍，x2当 F( )? F(有唯一实数根。
当 F( )? F( 有两个实数根。
当 F( )? F( 有三个实数根。
0,F (x) F (x) 8>q28>q2右©q2810有一实根， F(x)有唯一零点 0有两实根，为12 P。
p 3)0时, F (x)有唯一零点 12 12 F(x)F(x)P 3)0时, 0时, F (x)有两个零点 F (x)有三个零点 F(x)F(x)为研究方便，不妨设p.q 不同时为O(p.q 同时为0时方程很容易求解)，则当p 0时,定有181 (81q 2 12p 3) @ 令 81q 2 12p 3，则有以下结论: 81q 2 12p 3 0时，方程x 3px q 0有唯一实数根。
81q 2 12p 3 0时，方程x 3 px q 0有两个实数根。
81q 2 12p 30时，方程x 3px q 0有三个实数根。
2•求根公式的推导： (1).实根式的推导：一元三次方程的求根公 式由演绎推理是很难解 出的，通常由归纳思维 得到。
一元三次方程的根的探究
关于一元三次方程的根的探究1.因式分解法因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些三次方程适用．对于大多数的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解．当然，因式分解的解法很简便，直接把三次方程降次．例如：解方程x^3-x=0对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0,得方程的三个根：x1=0,x2=1,x3=-1.2.另一种换元法对于一般形式的三次方程，先用上文中提到的配方和换元，将方程化为x+px+q=0的特殊型．令x=z-p/3z,代入并化简，得：z-p/27z+q=0.再令z=w,代入，得：w+p/27w+q=0．这实际上是关于w的二次方程．解出w,再顺次解出z,x.3.盛金公式解题法三次方程应用广泛。
用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。
范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法．盛金公式一元三次方程aX^3＋bX^2＋c X＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
重根判别式：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd，总判别式：Δ=B^2－4AC。
当A=B=0时，盛金公式①：X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。
当Δ=B^2－4AC>0时，盛金公式②：X1=(－b－(Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(3a)；X2，3=(－2b＋(Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)((Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(6a)，其中Y1，2=Ab＋3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2，i^2=－1。
当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③：X1=－b/a＋K；X2=X3=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)。
当Δ=B^2－4AC<0时，盛金公式④：X1=(－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a)；X2，3=(－b＋A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)，其中θ=arccosT，T=(2Ab－3aB)/(2A^(3/2))，(A>0，－1<T<1)。
一元三次方程求根公式的通俗推导
一元三次方程求根公式的通俗推导一元三次方程求根的公式是怎么来的？我们如何理解这个东西？在本文中，我尽量用最简单通俗的方式来讲这个东西，保证一元三次方程求根的公式变得非常简单。
要解一元三次方程，就看看一元二次方程是怎么解的。
一元二次方程的解法，其实核心是“配方法”，就是配出来一个平房项。
比方说解 x^2+6x+8=0 这个方程，为了配方，要左右两边加个1，变成 x^2+6x+9=1 ，这样就能变成 (x+3)^2=1 ，于是 x+3=1 或者 x+3=-1 ，所以x=-2或x=-4。
对于一元三次方程，我们也这么搞一下。
我们这回直接用字母运算。
一元三次方程的通式是 ax^3+bx^2+cx+d=0 ，等式除以a，变成 x^3+b'x^2+c'x+d'=0 ，然后根据 x^3,x^2 的系数，写出x和常数的系数，写成这样的形式：a^3+3a^2b+3ab^3+b^3 ，这样就可以组合成 (a+b)^3 了。
令a=x,b=\frac{b'}{3} ，把x和常数的系数凑出来：x^3+b'x^2+\frac{b'}{3}x+\frac{b'^3}{27}，于是x^3+b'x^2+\frac{b'}{3}x+\frac{b'^3}{27}=\frac{b'}{3}x+ \frac{b'^3}{27}-c'x-d ，这样左边的项凑成了立方和的形式： (x+\frac{b'}{3})^3 ，而右边的只有x的一次项和常数项。
我们令 x'=x+\frac{b'}{3} ，于是这个式子化成了x'^3=\frac{b'}{3}(x'-\frac{b'}{3})+\frac{b'^3}{27}-c'(x-\frac{b'}{3})-d 。
这样，整个式子中没有二次项。
一元三次方程的解法求根公式
一元三次方程的解法求根公式一元三次方程是形如ax^3+bx^2+cx+d=0的方程，其中a、b、c、d都是已知的实数系数，x是未知数。
求出这个方程的解法也就是求出它的根公式。
一元三次方程的求根公式较为繁琐，分为两种情况：情况一：方程的三个根都是实数设方程的三个根为x1、x2、x3，那么解法如下：1.计算p和q：p = b/aq = c/a2.计算x和y：x = (q/2)^3 + (p/3)q - (1/3)(b/a)^2y = (q/2)^2 - (2/3)(b/a)3.计算r和θr = [(-x)^2 + (-y)^3]^(1/2)θ = arctan[(-y)/(-x)]4.计算方程的三个根：x1 = 2r*cos(θ/3) - p/3x2 = 2r*cos((θ+2π)/3) - p/3x3 = 2r*cos((θ+4π)/3) - p/3其中，π为圆周率，arctan是反正切函数，cos是余弦函数。
情况二：方程的一个根是实数，另外两个根是共轭复数设方程的一个实根为x1，另外两个根为x2=a+bi和x3=a-bi，那么解法如下：1.计算p和q：p = b/aq = c/a2.计算r和θ：r = [p^2/3 + (q-2p^3/27)^(1/2)]^(1/3)θ = arctan[(3q-p^2)/(2p^(3/2))]3.根据实根x1和复根的关系，可以得到：a = -p/3b = (x1-a)*√(3*r^2-p)/2c = -(x1-a)*√(3*r^2-p)/24.方程的三个根就可以表示为：x1x2 = a + bix3 = a - bi其中，√是平方根函数。
以上就是一元三次方程解法求根公式的全过程。
需要注意的是，在实际应用中，由于计算过程中可能存在大量的乘方和根号，为了避免精度误差，可以采用数值计算方法来求解方程的根。
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一元三次方程求根问题
一元三次方程求根问题是一个曾经困扰了人们许多年的问题，后来数学家们在经过非常多的计算后，用巧妙的方法将其解决了。
目前，我还不知道一元三次方程求根公式和其推导过程，下面，我就尝试将这个问题解决。
显然，所有的一元三次方程都可以转化为
x 3+bx 2+cx +d =0的形式，
先从一些三次多项式的公式入手，其中有这样一个公式
()()()B A AB B A AB B A B A B A +-+=--+=+3333
22333 在这里令x =A+B ，m =-3AB ，n =-(A 3+B 3)，则上述公式转为
x 3+mx+n=0
这便是一个特殊的一元三次方程。
而 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=n
B A m B A 333
3327
所以由一元二次方程的韦达定理得A 3与B 3是方程
0273
2
=-+m ny y 的两根， 不考虑A 与B 之间的顺序，得
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧+--=++-=22742274223223m n n B m n n A
故3323
3
227422742m n n m n n B A x +--+++-=+= 在解二次方程时，可以通过配方的方法
将 ax 2+bx +c =0
转化为
04422=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b ac 2a b x a 再将a
b x 2+换元，以达到消去一次项的目的。
那么，在解x 3+bx 2+cx +d =0的过程中，是否也有类似的方法呢？ 我们可以尝试对其进行“配立方”来消去二次项， 得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++2733323
23b d x b c b x d cx bx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2723333323
b b
c
d b x b c b x 这就转为x 3+mx+n=0的形式，带入刚才得到的其求根公式，得
3
2233b t n t n x ---++-= 其中108
441827274,3,27233
32223223c d b bcd c b d m n t b c m b bc d n ++--=+=-=+-= 以上只得出了一元三次方程一个根的求根公式，还不一定是实根，而一元三次方程一般有一或三个实根，原因可能是在上述求解过程中只在实数的范围内运算，并没有考虑到虚数。
如果考虑虚数，在复数的范围内运算，一元三次方程应当有三个根。
在上述方法中，另两个根可能要应用到虚数的一些概念和性质，若只考虑实数，无法将其解出。
接下来尝试一下在复数范围内，能否将另两个根解出。
设刚才求出的根为x 1=A +B,先考虑x 3+mx+n=0形式的方程，
方程可化为 x 3-3ABx -(A 3+B 3)=0
由韦达定理可得 ⎪⎩
⎪⎨⎧+=-=++=++3332113322132130B A x x x AB x x x x x x x x x 代入x 1=A +B ，得 ⎩⎨⎧+-=+-=+223
232)(B AB A x x B A x x 再由二次方程韦达定理逆定理可得，x 2、x 3为方程
0)()(222=+-+++B AB A z B A z 的两根 解得2
)(3)(2)(3)(2B A B A B A B A z --±+-=--±+-= 不考虑x 2与x 3的顺序，得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⋅-+-+⋅---=⋅---+⋅-+-=B A x B A x 23123123123132 故方程x 3+mx+n=0的解为
⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧+--⋅+-+++-⋅--=+--⋅--+++-⋅+-=+--+++-=332332333233223323321274223127422312742231274223127422742m n n i m n n i x m n n i m n n i x m n n m n n x 再代入108
441827274,3,27233
32223223c d b bcd c b d m n b c m b bc d n ++--=+-=+-=， 并将三个结果分别减去3
b ，便可得一般一元三次方程x 3+bx 2+cx +d =0的三个根的求根公式，由于公式太长，就不列出来了，实际应用的时候可以分步先求出m 、n ，再求解。
以上方法通过多次换元得到公式，求得的公式非常繁琐，可能不太常用，但我想这种换元的思路还是很重要的。