一元三次方程求根公式的解法
求实系数一元三次方程根的实用公式
求实系数一元三次方程根的实用公式在数学书籍或数学手册中，对一元三次方程求根公式的叙述都是沿用“卡丹公式”，即：对于一元三次方程：设，则它的三个根的表达式如下：其中，我们先用该公式解一个一元三次方程：。
解：p= 9，q=6，T= 3，D= 18，原方程的三个根为这样求出的三个根的表达式有两个不妥之处：其一、当时，方程有三个实根（下文给出证明），但这里的、、表达式不明确。
其二、当时，以及（如此例中的）违背了现行中等数学的表示规范，也不能具体地求出其值。
因此，用“卡丹公式”解出的一元三次方程的根，往往是不实用、不直观、不严密的。
下面我们推导一个实用的改进型求根公式。
实系数一元三次方程可写为（1）令，代入（1）得（2）其中，不失一般性，我们只要讨论实系数一元三次方程的求根公式即可。
不妨设p、q均不为零，令y=u+v（3）代入（2）得，（4）选择u、v，使得，即（5）代入（4）得，（6）将（5）式两边立方得，（7）联立（6）、（7）两式，得关于的方程组：，且问题归结于上述方程组的求解。
即求关于t的一元二次方程的两根、，设，，，又记的一个立方根为，则另两个立方根为，，其中，为1的两个立方虚根。
以下分三种情形讨论：1）若，即D>0，则、均为实数，可求得，，取，，在，组成的九个数中，有且只有下面三组满足，即、；、；、，也就是满足，方程（2）的根为，，，这是方程（2）有一个实根，两个共轭虚根，，其表达式就是前面给出的“卡丹公式”的形式，这里的根式及都是在实数意义下的。
2）若，即时，可求得，取同理，可求得方程（2）有三个实根，其中至少有两个相等的实根。
3）若，即D<0时，，p<0，，则、均为虚数，求出、并用三角式表示，就有，，其中T，都是实数，同理，其中，且取，，则显然，当且仅当取，；，；，这三组时才满足，于是方程（2）得三个实根为，，，具体表示出来就为：其中当时，方程（2）有三个实根。
综上所述，实系数一元三次方程的求根公式如下：令，，，，1）当时，方程有一个实根和两个共轭虚根，2）当时，方程有三个实根，其中至少有两个相等的实根，，，3）当时，方程有三个实根，，上面提供的公式，可以求出任意实系数一元三次方程的根的具体值，是实用性的。
一元三次方程求根公式的解法
一元三次方程求根公式的解法特殊型，标准型，其它方法卡尔丹公式法特殊型一元三次方程X^3，pX，q=0 (p、q?R)判别式Δ=(q/2)^2，(p/3)^3卡尔丹公式X1=(Y1)^(1/3)，(Y2)^(1/3)X2= (Y1)^(1/3)ω，(Y2)^(1/3)ω^2X3=(Y1)^(1/3)ω^2，(Y2)^(1/3)ω其中ω=(,1，i3^(1/2))/2Y(1,2)=,(q/2)?((q/2)^2，(p/3)^3)^(1/2)标准型一元三次方程aX ^3，bX ^2，cX，d=0，(a，b，c，d?R，且a?0)令X=Y—b/(3a)代入上式可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3，pY，q=0 卡尔丹判别法当Δ=(q/2)^2，(p/3)^3>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根当Δ=(q/2)^2，(p/3)^3=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根当Δ=(q/2)^2，(p/3)^3<0时，方程有三个不相等的实根。
除了上文中的卡尔丹公式解法，一元三次方程还有其它解法，列举如下: 1.因式分解法因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些简单的三次方程适用(对于大多数的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解。
当然，对一些简单的三次方程能用因式分解求解的，当然用因式分解法求解很方便，直接把三次方程降次。
例如:解方程x^3-x=0 对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0，得方程的三个根:x1=0;x2=1;x3=—1。
2.一种换元法对于一般形式的三次方程，先将方程化为x^3+px+q=0的特殊型。
令x=z—p/3z，代入并化简，得:z^3-p/27z+q=0。
再令z=w，代入，得:w^2+p/27w+q=0(这实际上是关于w的二次方程。
解出w，再顺次解出z，x。
3.导数求解法利用导数，求的函数的极大极小值，单调递增及递减区间，画出函数图像，有利于方程的大致解答，并且能快速得到方程解的个数，此法十分适用于高中数学题的解答。
一元三次方程求根公式
⼀元三次⽅程求根公式⼀元三次⽅程求根公式⽬录盛⾦公式三次⽅程新解法——盛⾦公式解题法三次⽅程应⽤⼴泛。
⽤根号解⼀元三次⽅程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使⽤卡尔丹公式解题⽐较复杂，缺乏直观性。
范盛⾦推导出⼀套直接⽤a、b、c、d表达的较简明形式的⼀元三次⽅程的⼀般式新求根公式，并建⽴了新判别法。
盛⾦公式（Shengjin's Formulas）⼀元三次⽅程aX3+bX2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
重根判别式：A=b2－3ac；B=bc－9ad；C=c2－3bd，总判别式：Δ=B2－4AC。
当A=B=0时，盛⾦公式①：X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。
当Δ=B2－4AC>0时，盛⾦公式②：X1=(－b－(Y1)1/3－(Y2)1/3)/(3a)；X2，X3=(－2b+(Y1)1/3+(Y2)1/3)/(6a)±31/2((Y1)1/3)－(Y2)1/3)i/(6a)，其中Y1，Y2=Ab+3a(－B±(B2－4AC)1/2)/2，i2=－1。
当Δ=B2－4AC=0时，盛⾦公式③：X1=－b/a+K；X2=X3=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)。
当Δ=B2－4AC<0时，盛⾦公式④：X1=(－b－2A1/2cos(θ/3))/(3a)；X2，X3=(－b+A1/2(cos(θ/3)±31/2sin(θ/3)))/(3a)，其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A3/2)，(A>0，－1盛⾦判别法盛⾦判别法（Shengjin's Distinguishing Means）①当A=B=0时，⽅程有⼀个三重实根；②当Δ=B^2－4AC>0时，⽅程有⼀个实根和⼀对共轭虚根；③当Δ=B^2－4AC=0时，⽅程有三个实根，其中有⼀个两重根；④当Δ=B^2－4AC<0时，⽅程有三个不相等的实根。
一元三次方程求根公式推导过程
一元三次方程求根公式推导过程一元三次方程的求根公式，即可利用一个公式求得该方程的三个根，可谓一个十分重要的数学公式。
其公式的推导过程，虽繁琐，但也是有一定的规律可循的。
本文将就这一推导过程，加以详述。
首先来看一元三次方程的一般形式：$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$$将该方程的左右两边分别平方，得到：$$a^2x^6+2abx^5+2acx^4+b^2x^4+2bcdx^3+2acdx^2+cd^2x^2+2abdx +c^2=0$$将上式两边同时乘以$4a^3$，得到：$$4a^3x^6+8a^2bx^5+8a^2cx^4+4a^2b^2x^4+16a^2bcdx^3+16a^2acd x^2+4a^2cd^2x^2+8a^2abdx+4a^2c^2=0$$将上式整理得到：$$x^2(4a^3x^4+8a^2bx^3+8a^2cx^2+4a^2b^2x^2+16a^2bcdx+16a^2a cd)+c^2-4a^3d^2=0$$设 $P =4a^3x^4+8a^2bx^3+8a^2cx^2+4a^2b^2x^2+16a^2bcdx+16a^2acd$，则上式变为：$$x^2P+c^2-4a^3d^2 = 0$$再将上式整理得到：$$x^2P+(frac{-b}{2a})^2-frac{1}{4a^2}(4ac-b^2)=0$$ 把上式分解因式，即有：$$x^2+frac{-b}{2a}+frac{2ac-b^2}{4a^2P} = 0$$ 设$D = b^2-4ac$，则上式可写为：$$x^2+frac{-b}{2a}+frac{D}{4a^2P} = 0$$将上式左右两边同时乘以$frac{1}{4a^2P}$，得到：$$frac{x^2}{4a^2P}+frac{-b}{8a^3P}+frac{1}{16a^4P^2}D=0$$ 根据二次方程的求根公式，即有：$$x=frac{-2a^2Ppmsqrt{8a^2Pb+D^2}}{4a^3P}$$再将上式改写，即得最终的一元三次方程求根公式：$$x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}-frac{2a^2P}{bpmsqrt{b^2-4ac }}$$由此可见，一元三次方程求根公式，是通过繁琐的整理、变形，最终才得到的。
一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的.doc
一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的,用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如320ax bx cx d +++=的标准型一元三次方程形式化为30x px q ++=的特殊型。
一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到,即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。
归纳出来的形如 30x px q ++=的一元三次方程的求根公式的形式应该为x 型,即为两个开立方之和。
一元三次方程的求根公式主要有两种，即卡尔丹公式和盛金公式。
其中卡尔丹公式是历史上首个完整解决一元三次方程的求根问题的重要公式，它所具有的历史意义是重大的，是不可磨灭的。
下面就首先简略介绍一下卡尔丹公式的内容及其推导过程。
一元三次方程320ax bx cx d +++=的求根公式是1545年由意大利学者卡当发表在《关于代数的大法》一书中，人们就把它叫做“卡当公式（有的数学资料叫“卡尔丹公式”）。
方程30x px q ++=，（p ，q ∈R ）判别式23(/2)(/3)q p ∆=+。
1x =；22x ；23x =。
这就是著名的卡尔丹公式。
卡尔丹公式的推导如下：第一步：320ax bx cx d +++= 为了方便，约去a 得到320x kx mx n +++=令/3x y k =- ，代入方程32(/3)(/3)(/3)0y k k y k m y k n -+-+-+=，3(/3)y k -中的2y 项系数是-k ，2(/3)k y k -中的2y 项系数是k ，所以相加后2y 抵消 ，得到30y py q ++=其中 p m =，32(/3)/3q k km n =-+。
第二步：方程30x px q ++=的三个根为：1x =；2x ω=3x ω= ；其中(1/2ω=-+。
1、方程31x =的解为11x =，2(1/2x ω=-+=，3(1/2x ω=--= ；2、方程3x A =的解为1x =2x =，23x =，3、一般三次方程320ax bx cx d +++=(0)a ≠,两边同时除以a ,可变成320x sx tx u +++=的形式。
一元三次方程怎么解求根公式
一元三次方程怎么解求根公式一元三次方程，是数学中最基本的方程，它的应用非常广泛，但很多时候遇到它，都不知如何求解它的根，这里就介绍一元三次方程怎么解求根的基本公式，希望能够对有此需求的朋友有所帮助。
一元三次方程的求根公式一元三次方程的求根公式是卡塔兰数（Caterane Numbers）中的公式，它的基本形式是：x^3 + ax^2 + bx + c = 0其中a、b、c可以是实数。
求根公式为：x = [a/3 + (a/3)^2 + (a/3)^3 + (b/2)^2]^(1/2) + (b/2) (a/3) x = [a/3 (a/3)^2 (a/3)^3 + (b/2)^2]^(1/2) (b/2) (a/3)x = [(b/2) + (a/3) + (a/3)^2 + (a/3)^3 + (b/2)^2]^(1/2) (b/2) + (a/3)x = [(b/2) (a/3) (a/3)^2 (a/3)^3 + (b/2)^2]^(1/2) + (b/2) + (a/3)求根公式的应用当a、b、c都已知时，可以应用求根公式求解三次方程，如：求解方程：x^3 + 2x^2 11x + 6 = 0则由公式：x = [2/3 + (2/3)^2 + (2/3)^3 + (11/2)^2]^(1/2) + (11/2) (2/3)x = [2/3 (2/3)^2 (2/3)^3 + (11/2)^2]^(1/2) (11/2) (2/3) x = [(11/2) + (2/3) + (2/3)^2 + (2/3)^3 + (11/2)^2]^(1/2) (11/2) + (2/3)x = [(11/2) (2/3) (2/3)^2 (2/3)^3 + (11/2)^2]^(1/2) + (11/2) + (2/3)计算得x = 1, 2, 3其他求根方法除了卡塔兰数求根公式外，还有其他一些求根方法，如：（1）因式分解法：当三次方程中出现多项式的时候，可以尝试使用因式分解的方法求解，这种方法比较容易，但是无法处理复杂的一元三次方程。
一元三次方程求根公式及韦达定理
⼀元三次⽅程求根公式及韦达定理转⾃百度百科公式法（卡尔丹公式）（如右图所⽰）若⽤A、B换元后，公式可简记为：x1=A^(1/3)+B^(1/3)；x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2；x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。
⼀元三次⽅程求根公式判别法当△=(q/2)^2+(p/3)^3>0时，有⼀个实根和⼀对个共轭；当△=(q/2)^2+(p/3)^3=0时，有三个实根，其中两个相等；当△=(q/2)^2+(p/3)^3<0时，有三个不相等的。
⼀元三次⽅程求根公式推导第⼀步：ax^3+bx^2+cx+d=0（a≠0）为了⽅便，约去a得到x^3+kx^2+mx+n=0令x=y-k/3 ，代⼊⽅程(y-k/3)^3+k(y-k/3)^2+m(y-k/3)+n=0 ，(y-k/3)^3中的y^2项系数是-k ，k(y-k/3)^2中的y^2项系数是k ，所以相加后y^2抵消，得到y^3+py+q=0，其中p=-k^2/3+m ，q=(2(k/3)^3)-(km/3)+n。
第⼆步：⽅程x^3+px+q=0的三个根为：x1=[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)；x2=w[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+w^2[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)；x3=w^2[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+w[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)，其中w=(-1+i√3)/2。
×推导过程：1、⽅程x^3=1的解为x1=1，x2=-1/2+i√3/2=ω，x3=-1/2-i√3/2=ω^2 ；2、⽅程x^3=A的解为x1=A^(1/3)，x2=A^(1/3)ω，x3=A^(1/3)ω^2 ，3、⼀般三次⽅程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),两边同时除以a,可变成x^3+sx^2+tx+u=0的形式。
一元三次方程求根 知乎
一元三次方程求根知乎全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一元三次方程求根是数学中一个非常基础且重要的知识点。
对于一些初学者来说，可能对于如何解一元三次方程求根还感到困惑。
今天就让我们来探讨一下一元三次方程求根的方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这个知识点。
一元三次方程通常可以写成如下形式：ax^3+bx^2+cx+d=0a、b、c、d为已知的系数，而x为未知数。
我们的目标就是要找到满足这个方程的根，也就是使得方程成立的x的值。
在解一元三次方程之前，我们首先需要了解一元三次方程的根的情况。
根据代数学的基本定理，一元三次方程至少有一个实数根。
也就是说，无论方程的系数取什么值，都至少存在一个实数根。
而对于复数根来说，一元三次方程可能有一个，两个或三个复数根。
接下来，我们来看一下一元三次方程求根的方法。
在解一元三次方程时，通常可以采用如下方法：1. 利用因式分解求根：如果一元三次方程可以通过因式分解为(x-a)(x-b)(x-c)=0的形式，那么方程的根就是a、b和c。
这种情况下，可以通过因式分解很容易地求得方程的根。
2. 利用求根公式求解：一元三次方程是无法像一元二次方程那样通过普通的求根公式直接求解的。
但我们可以借助一些其他的方法来求解。
其中一个比较常用的方法就是卡达诺公式。
卡达诺公式在一元三次方程的求解中起着非常重要的作用，能够帮助我们求解出方程的实数根或复数根。
3. 利用数值解法求解：如果无法通过因式分解或者求根公式求解出方程的根，我们还可以利用数值解法来逼近方程的根。
数值解法主要有二分法、牛顿法等，通过迭代求解来逼近方程的根。
除了上述方法外，对于一元三次方程的求解，还有一些其他的方法和技巧。
可以通过换元减次的方法将一元三次方程降低为一元二次方程再求解，也可以尝试利用韦达定理、拉格朗日插值等方法。
这些方法都可以帮助我们更快更准确地求得一元三次方程的根。
第二篇示例：一元三次方程在数学中是一个常见的问题，解决这个问题需要求出方程的根。
一元三次方程求根公式推导过程
一元三次方程求根公式推导过程一元三次方程的求根公式是一个非常重要的数学知识，它可以应用到许多不同的场景中。
一元三次方程的求根公式可以通过某种方法从复平面到实数空间来进行求解。
接下来，我们就来通过一步一步的推导，来介绍了这种求根公式的推导过程。
一元三次方程的标准方程形式一般为ax^3+bx^2+cx+d=0，其中a，b，c，d均为实数，而x为未知数。
既然有了一元三次方程的标准形式，那我们就可以对它进行实际求解了。
比如说，如果有 ax^3+bx^2+cx+d=0 这样的一元三次方程，那么我们就需要将该方程式化为其他形式。
我们首先可以将该方程式转化为[(x-x1)(x-x2)(x-x3)=0]的形式，然后令 y=x-x1，于是可以得到 y(x-x2)(x-x3)=0，将这两边同时除以 (x-x2)(x-x3) 即可转化为y=0 的形式。
我们将令 y=0 的形式代入到原方程中，得到方程式 ax^3+(b-a*x2)x^2+(c-a*x3)x+d-a*x1*x2*x3=0, 进一步分解可得 ax^3+(b-a*x2)x^2+(c-a*x3)x+(d-a*x1-a*x2*x3)=0，再变换一下可得ax^3+(b+a*x2)*x^2+(c+a*x3)*x=a*x1*x2*x3，将左右两边乘以 -1 变换可得 -ax^3 + (b+a*x2)*x^2 + (c+a*x3)*x - a*x1*x2*x3 = 0。
最后，我们将上面得出的一元三次方程代入通用公式 x=(-b+-√[b^2-4ac])/2a 中，得出它的三个根 x1,x2,x3，最终可以通过回代法得出其值，从而求得一元三次方程的求根公式。
因此，一元三次方程的求根公式的求导过程采用了从复平面到实数空间的方法，具体推导过程是将一元三次方程进行化简成y=0的形式，通过变换形式得到可以代入通用公式求解的一元三次方程，最终得出一元三次方程的求根公式。
一元三次方程
当△=0时，△开平方为0，u和v相等，u-v=0，于是三个根都是实数。x1=2u；x2和x3相等，都等于-u。特别 地，当q=0时（因△=0此时p也等于0），u=0，为三重零根。
当△小于0时，△开平方为纯虚数，M和N为共轭虚数。共轭虚数的辐角互为相反数，开n次方后辐角除以n， 仍然为相反数，所以共轭虚数开任意次方结果仍是共轭虚数。因此M和N开立方后的u和v也是共轭虚数，且u≠v。 根据共轭虚数的性质，共轭虚数的和为实数（即(a+bi)+(a-bi)=2a），所以x1为实数。共轭虚数的差为纯虚数 （即(a+bi)-(a-bi)=2bi），而纯虚数与i相乘一定为实数，因此(u-v)i为实数，x2和x3都是实数，方程有三个 不相等的实根。
满足下面形式的方程可以直接通过配立方来求解 两边除以a，把常数项移到右边，然后再在两边加上，可以配成， 方程的解为。 开立方可以开出三个根出来，所以x也有三个解。 这类方程用x=y-b/3a换元，可同时消去二次项和一次项，即
对于不能用配方法直接求解的一元三次方程，配方法只能消去方程的二次项。配方是根据三次项系数和二次 项系数来配的。
我 们 先 看 1 有 哪 些 立 方 根 。 求 1 的 立 方 根 ， 其 实 就 是 求 方 程 x ³- 1 = 0 的 三 根 。 方 程 可 根 据 立 方 差 公 式 ， 因 式 分 解 为 ( x - 1 ) ( x ²+ x + 1 ) = 0 ， 得 到 x 1 = 1 ， x 2 , 3 = ( - 1 ± √ 3 i ) / 2 ， 通 常 将 x 2 = ( - 1 + √ 3 i ) / 2 记 为 ω 。 于 是 1 的 三 个 立 方 根 可 记 为 x 1 = ω º= 1 ， x 2 = ω ¹， x 3 = ω ²， 其 中 x 1 = 1 是 1 的 算 术 立 方 根 ： ³√ 1 = 1 。
一元三次方程求根公式推导
一元三次方程求根公式推导方程是数学中的一个重要概念，它是用字母和数字表示的关系式，其解即为使得这个关系式成立的数值。
而三次方程则是一类特殊的方程，其形式为ax³+bx²+cx+d=0。
对于一元三次方程，我们希望能够求出它的根，即解量。
求根公式的推导有多种方法，本文介绍其中之一——卡尔丹羽公式。
卡尔丹羽公式通过将三次方程化为一个二次方程和一个一次方程，从而求解出方程的三个根。
首先，我们以一元三次方程ax³+bx²+cx+d=0为例，学习卡尔丹羽公式的推导过程。
我们的目标是将这个三次方程化为一个二次方程和一个一次方程的形式，而且让它们的解与原方程的解相同。
因此，我们可以先假设其中一个根为z。
接下来，我们将原方程除以(z-x)。
由于z为方程根，因此 (z-x) 是方程的一个因式。
通过这一除法，我们得到了一个二次方程m×x²+n×x+p=0，其中m、n、p是已知的数，且满足：m = an = b + azp = c + bz + az²此时，我们需要通过求解这个二次方程，得到方程的另外两个根。
为了求解这个二次方程，我们可以利用二次方程的求根公式：x = (- b ±√(b²-4ac)) /2a将其应用到我们的二次方程中，得到x₁ = (- n + √(n²-4mp)) /2mx₂ = (- n - √(n²-4mp)) /2m现在，我们已经求出了方程的两个根。
接下来，我们需要在解得z的前提下，构造出这两个根所对应的解。
为此，我们令x₁= z，然后将其代入原方程中，得到另外一个一次方程kx + l=0，其中k和l都是已知的数。
我们再通过求解这个一次方程，求得x₂，此时，我们就得到了原方程的三个根。
具体地，我们有：z = x₁ = (- n + √(n²-4mp)) /2m然后，令x = z，我们可以将原方程写为：(x-z)(ax² + (b + az)x + c + bz + az²) = 0展开括号，得到：ax³ + (b - az + m×z²)x² + (c - nz + pz²)x + lp = 0于是，我们可以得出：k = b - az + m×z², l = c - nz + pz²然后，我们就可以利用一次方程的求根公式来求解 x₂了：x₂ = - l / k最后，我们就得到了求根公式：z = x₁ = (-b/(3a)) - (T+U) + Sx₂ = (-b/(3a)) + ((T-U) - iV ) / 2x₃ = (-b/(3a)) + ((T-U) + iV ) / 2其中，T、U、S、V的具体表达式为：T = (b²-3ac)/(9a²)U = (2b³-9abc+27a²d)/(54a³)S = √((U²-4/3T³))V = (U²-4/3T³)^(1/3)综上，通过卡尔丹羽公式的推导，我们成功地求解了一元三次方程的根。
一元三次方程复数根求根公式
一元三次方程复数根求根公式一元三次方程是指形如ax^3+bx^2+cx+d=0的方程，其中a、b、c、d为实数且a≠0。
如果该方程没有实数根，则它一定有一对共轭复数根。
下面我们来介绍一元三次方程的复数根求根公式。
设一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0的三个根分别为α、β、γ，由于它们是复数，因此可以表示为：α = p + qiβ = r + siγ = u + vi其中，p、q、r、s、u、v均为实数。
根据复数的定义，α、β、γ满足方程：(ax^2+bx+c)(x-α)(x-β)(x-γ) = 0将x=α、x=β、x=γ代入上式，可得：(ax^2+bx+c)(p-α)(p-β)(p-γ) = 0(ax^2+bx+c)(r-α)(r-β)(r-γ) = 0(ax^2+bx+c)(u-α)(u-β)(u-γ) = 0将上述三个式子相加，得到：(ax^2+bx+c)[(p-α)(p-β)(p-γ)+(r-α)(r-β)(r-γ)+(u-α)(u-β)(u-γ)] = 0因为ax^2+bx+c≠0，所以有：(p-α)(p-β)(p-γ)+(r-α)(r-β)(r-γ)+(u-α)(u-β)(u-γ) = 0对上式进行展开，得到：pqr + pqs + prs + qru + qsu + rsu - (p^2s + p^2u + q^2r + q^2u + r^2p + r^2s + s^2p + s^2u + u^2q + u^2r + v^2p + v^2q + v^2r + v^2s + v^2u) = 0移项后，得到：(pq + pr + qr + qu + rs + su) - (p^2 + q^2 + r^2 + s^2 + u^2 + v^2) + i(ps - qr) = 0因为α、β、γ是一对共轭复数根，所以它们的实部相等，虚部互为相反数，即：p + r + u = -b/aq + s + v = 0ps = qr代入上式，得到：3pq - b/a(p+q) + c/a = 0将ps = qr代入ax^3+bx^2+cx+d=0，得到：a(x-α)(x^2+px+q) = 0因为α是原方程的一个根，所以x=α代入上式应该成立，即： a(α-α)(α^2+pα+q) = 0即：α^2 + pα + q = 0同理，β、γ的方程分别为：β^2 + pβ + q = 0γ^2 + pγ + q = 0将α、β、γ的式子代入ps = qr，得到：(p+q)(r+s)(u+v) - 3(pq+rs+uv) = 0即：(p+q+r+s+u+v)^2 - 3(p^2+q^2+r^2+s^2+u^2+v^2) = 0 所以，解得：p+q+r+s+u+v = 0p^2+q^2+r^2+s^2+u^2+v^2 = (b^2-3ac)/a^2综上所述，一元三次方程的复数根求根公式为：p、q、r、s、u、v分别为：p = -(b/a)/3 + (2/3)√[(b^2-3ac)/a^2]q = -(b/a)/3 - (1/3)√[(b^2-3ac)/a^2]r = -(b/a)/3 - (1/3)√[(b^2-3ac)/a^2]s = -(b/a)/3 + (1/3)√[(b^2-3ac)/a^2]cos(θ)u = -(b/a)/3 + (1/3)√[(b^2-3ac)/a^2]cos(θ+2π/3) v = -(b/a)/3 + (1/3)√[(b^2-3ac)/a^2]cos(θ-2π/3) 其中，θ为任意角度。
一元三次方程求根公式的解法
一元三次方程求根公式的解法一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。
一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。
归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。
归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。
方法如下：（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知 (5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A 和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a(9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)可化为(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)(13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)一、(14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。
一元三次韦达定理求根
一元三次韦达定理求根
一元三次方程的一般形式为$ax^3+bx^2+cx+d=0$，其中$a$、$b$、$c$、$d$为实数且$a\neq0$。
韦达定理的表述是：一元三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$的三个根$x_1$、$x_2$、$x_3$满足下列关系式：
$x_1+x_2+x_3=-b\div a$
$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=c\div a$
$x_1x_2x_3=-d\div a$
这个定理的证明可以通过对一元三次方程进行配方得到。
具体来说，我们可以将原方程写成$(a\times x^2+b)\times x+ (c\times x+d)=0$的形式，然后将左侧进行配方，得到一个二次方程和一个一次方程的乘积。
然后根据二次方程的求根公式，我们可以求出这个二次方程的两个根，再进一步求得一元三次方程的三个根。
韦达定理的应用非常广泛，特别是在工程和科学领域中。
例如，在控制系统中，我们常常需要求解一些复杂的方程组，韦达定理可以帮助我们简化这个过程，从而提高计算的效率。
一元三次求根公式方法
一元三次求根公式方法摘要：一、一元三次方程的一般形式二、一元三次求根公式的推导三、一元三次求根公式的应用四、实例解析五、注意事项正文：一、一元三次方程的一般形式一元三次方程的一般形式为：ax + bx + cx + d = 0，其中a、b、c、d为常数，且a ≠ 0。
二、一元三次求根公式的推导根据一元三次方程的一般形式，我们可以通过配方法、分组求和法等方法推导出一元三次求根公式。
这里我们以配方法为例：1.将一元三次方程化为标准形式：x + bx + cx + d = 0；2.添加一个恰当的项，使得方程可以表示为完全平方的形式；3.利用平方差公式，将方程转化为两个二次方程的和；4.求解这两个二次方程，得到一元三次方程的根。
三、一元三次求根公式的应用一旦得出一元三次求根公式，我们可以通过代入数值求解的方法，求出一元三次方程的根。
具体步骤如下：1.确定方程的系数a、b、c、d；2.按照求根公式计算方程的根；3.根据实际问题，对求得的根进行解释和应用。
四、实例解析以一元三次方程x - 3x + 2x - 1 = 0为例：1.确定方程的系数：a = 1，b = -3，c = 2，d = -1；2.推导出一元三次求根公式；3.代入公式，求解得到方程的根：x1 ≈ 1.0，x2 ≈ 1.4，x3 ≈ 1.6；4.对求得的根进行分析，例如在这个实例中，方程的三个根都非常接近1，说明方程描述的曲线在x = 1附近有三个交点。
五、注意事项1.在推导一元三次求根公式时，要注意选择合适的方法，如配方法、分组求和法等；2.在求解一元三次方程时，要确保计算过程的准确性，避免因误操作导致的结果偏差；3.在实际应用中，要根据问题背景和需求，合理解释和运用求得的根。
总之，掌握一元三次求根公式的方法和应用，能够帮助我们解决实际问题中的一元三次方程求解问题。
一元三次方程求根公式的通俗推导
一元三次方程求根公式的通俗推导一元三次方程求根的公式是怎么来的？我们如何理解这个东西？在本文中，我尽量用最简单通俗的方式来讲这个东西，保证一元三次方程求根的公式变得非常简单。
要解一元三次方程，就看看一元二次方程是怎么解的。
一元二次方程的解法，其实核心是“配方法”，就是配出来一个平房项。
比方说解 x^2+6x+8=0 这个方程，为了配方，要左右两边加个1，变成 x^2+6x+9=1 ，这样就能变成 (x+3)^2=1 ，于是 x+3=1 或者 x+3=-1 ，所以x=-2或x=-4。
对于一元三次方程，我们也这么搞一下。
我们这回直接用字母运算。
一元三次方程的通式是 ax^3+bx^2+cx+d=0 ，等式除以a，变成 x^3+b'x^2+c'x+d'=0 ，然后根据 x^3,x^2 的系数，写出x和常数的系数，写成这样的形式：a^3+3a^2b+3ab^3+b^3 ，这样就可以组合成 (a+b)^3 了。
令a=x,b=\frac{b'}{3} ，把x和常数的系数凑出来：x^3+b'x^2+\frac{b'}{3}x+\frac{b'^3}{27}，于是x^3+b'x^2+\frac{b'}{3}x+\frac{b'^3}{27}=\frac{b'}{3}x+ \frac{b'^3}{27}-c'x-d ，这样左边的项凑成了立方和的形式： (x+\frac{b'}{3})^3 ，而右边的只有x的一次项和常数项。
我们令 x'=x+\frac{b'}{3} ，于是这个式子化成了x'^3=\frac{b'}{3}(x'-\frac{b'}{3})+\frac{b'^3}{27}-c'(x-\frac{b'}{3})-d 。
这样，整个式子中没有二次项。
一元三次方程的解法求根公式
一元三次方程的解法求根公式一元三次方程是形如ax^3+bx^2+cx+d=0的方程，其中a、b、c、d都是已知的实数系数，x是未知数。
求出这个方程的解法也就是求出它的根公式。
一元三次方程的求根公式较为繁琐，分为两种情况：情况一：方程的三个根都是实数设方程的三个根为x1、x2、x3，那么解法如下：1.计算p和q：p = b/aq = c/a2.计算x和y：x = (q/2)^3 + (p/3)q - (1/3)(b/a)^2y = (q/2)^2 - (2/3)(b/a)3.计算r和θr = [(-x)^2 + (-y)^3]^(1/2)θ = arctan[(-y)/(-x)]4.计算方程的三个根：x1 = 2r*cos(θ/3) - p/3x2 = 2r*cos((θ+2π)/3) - p/3x3 = 2r*cos((θ+4π)/3) - p/3其中，π为圆周率，arctan是反正切函数，cos是余弦函数。
情况二：方程的一个根是实数，另外两个根是共轭复数设方程的一个实根为x1，另外两个根为x2=a+bi和x3=a-bi，那么解法如下：1.计算p和q：p = b/aq = c/a2.计算r和θ：r = [p^2/3 + (q-2p^3/27)^(1/2)]^(1/3)θ = arctan[(3q-p^2)/(2p^(3/2))]3.根据实根x1和复根的关系，可以得到：a = -p/3b = (x1-a)*√(3*r^2-p)/2c = -(x1-a)*√(3*r^2-p)/24.方程的三个根就可以表示为：x1x2 = a + bix3 = a - bi其中，√是平方根函数。
以上就是一元三次方程解法求根公式的全过程。
需要注意的是，在实际应用中，由于计算过程中可能存在大量的乘方和根号，为了避免精度误差，可以采用数值计算方法来求解方程的根。
一元三次方程的解法
一元三次方程的解法
标准型的一元三次方程ax³+bx²+cx+d=0（a，b，c，d∈R，且a≠0），其解法有：1、意大利学者卡尔丹于1545年发表的卡尔丹公式法；
2、中国学者范盛金于1989年发表的盛金公式法。
一元三次方程通用求根公式
一元三次方程的因式分解法
例题：x³-3x²+4
答案：x1=-1，x2=x3=2
解题思路：解一元三次方程，首先要得到一个解，这个解可以凭借经验或者凑数得到，然后根据短除法得到剩下的项。
具体过程：我们观察式子，很容易找到x=-1是方程的一个解，所以我们就得到一个项x+1。
剩下的项我们用短除法。
也就是用x³-3x²+4除以x+1。
因为被除的式子最高次数是3次，所以一定有x²
现在被除的式子变成了x³-3x²+4-（x+1）*x²=-4x²+4，因为最高次数项是-4x²，所以一定有-4x
现在被除的式子变成了-4x²+4-（-4x²-4x）=4x+4，剩下的一项自然就是4了
所以，原式可以分解成（x+1）*（x²-4x+4），也就是（x+1）*（x-2）²
（x+1）*（x-2）²=0
解得x1=-1，x2=x3=2。
一元三次方程求根公式的解法
一元三次方程求根公式的解法一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。
一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。
归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。
归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。
方法如下：（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知 (5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A 和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a(9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)可化为(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)(13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)一、(14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。
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一元三次方程求根公式的解法
一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。
一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。
归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。
归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。
方法如下：
（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到
（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))
（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为
x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得
（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知 (5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得
（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3
（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A 和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即
（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a
(9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a
(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为
y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
可化为
(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得
(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
(13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得
(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)
一、(14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。
由于计算太复杂及这个问题历史上已经解决，我不愿花过多的力气在上面，我做这项工作只是想考验自己的智力，所以只要关键的问题解决了另两个根我就没有花力气去求解。
二、我也曾用类似的方法去求解过一元四次方程的解，具体就是假设一元四次方程的根的形式为x=A^(1/4)+B^(1/4)+C^(1/4),有一次我好象解出过，不过后来多次求解好象说明这种方法求解一元四次方程解不出。
不过我认为如果能进一步归纳出A、B、C的形式，应该能求出一元四次方程的求根公式的。
由于计算实在太复杂及这个问题古人已经解决了，我后来一直没能完成这项工作。
三、通过求解一元三次方程的求根公式，我获得了一个经验，用演绎法（就是直接推
理）求解不出来的问题，换一个思维，用归纳法（及通过对简单和特殊的同类问题的解法的归纳类比）常常能取得很好的效果。
事实上人类常常是这样解决问题的，大科学家正是这样才成为大科学家的。
1 一元三次方程求根公式，
x^3+a*x^2+b*x+c=0
其解为（注意I为虚数单位）：
x1=1/6*(36*b*a-108*c-8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-
54*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)-6*(1/3*b-1/9*a^2)/(36*b*a-108*c-
8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-54*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)-1/3*a;
x2=-1/12*(36*b*a-108*c-8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-
54*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)+3*(1/3*b-1/9*a^2)/(36*b*a-108*c-
8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-54*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)-
1/3*a+1/2*I*3^(1/2)*(1/6*(36*b*a-108*c-8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-
54*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)+6*(1/3*b-1/9*a^2)/(36*b*a-108*c-
8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-54*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3));
x3=-1/12*(36*b*a-108*c-8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-
54*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)+3*(1/3*b-1/9*a^2)/(36*b*a-108*c-
8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-54*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)-1/3*a-
1/2*I*3^(1/2)*(1/6*(36*b*a-108*c-8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-
54*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)+6*(1/3*b-1/9*a^2)/(36*b*a-108*c-
8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-54*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3));
以上解绝对正确！我用maple解出来的。
希望有人跟贴，写成一元四次方程的解。
一元四次方程的求根公式.
设实系数四次方程为
y^4+ay^3+by^2+cy+d=0
利用代换y=x-q/4消去y^3,得
（5-2）x^4+px^2+qx+r=0
在上述方程加一参数α得(x^2+p/2+α)^2+qx+r-P^2/4-α^2-2αx^2-pα
=(x^2+p/2+α)^2-[2αx^2-qx+α^2+pα-r+p^2/4]=0
取α 使得方括号里是完全平方项，这时判别式D=0，即
q^2-r*2α(α^2+pα-r+p^2/4)=0 （5-3）
方程（5-3）除α外均为已知数,是一个一元三次方程的根.因此 可以求出.
如果α0是方程（5-3）的一个根，则
(x^2+p/2+α0)^2-2α0(x-q/4α0)^2=0
即 x^2+p/2=±(2α0)^(1/2)(x-q/4α0)
原方程变为解一元二次方程.
由此方程即解出.当然，这里α0的求法有三种，而=(2α0)^(1/2) 又有两个解，这里不再叙述.
至于一元五次以上的方程，伽罗瓦理论告诉我们，一般并不存在根式解，即不会有求根公式.。