解析几何大题题型总结(1)

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高考解析几何方法总结

⾼考解析⼏何⽅法总结⾼考解析⼏何⽅法总结总结是对某⼀特定时间段内的学习和⼯作⽣活等表现情况加以回顾和分析的⼀种书⾯材料，它能使我们及时找出错误并改正，让我们抽出时间写写总结吧。

总结你想好怎么写了吗？以下是⼩编精⼼整理的预备期间考察情况总结，欢迎阅读与收藏。

⼤家都知道⾼考数学卷中解析⼏何和导数是最不容易的两道⼤题，最近⼏年的数学卷趋向基础，只要细⼼多数同学可以拿到百分之七⼋⼗的分数，⽽想要在数学上⼒争顶尖的同学就要把握好这两道⼤题带来的机会。

然⽽相对于导数需要较强的技巧和想法来讲，解析⼏何更重要考察的是⼼⾥素质。

为什么这样说：第⼀因为解析⼏何的题型是有规律可循的，只要接触过类似的题型，拿到其他题的时候⼀定不会完全没有思路，但要想了解各个题型是需要不怕难题的勇⽓的。

第⼆是因为解析⼏何要求⼤量的计算，我⾼三学习解析⼏何的时候常常⼀道题写好⼏张草稿纸，要想完美的完成⼀道题需要静下⼼来，需要耐⼼。

第三是因为这个题型作为压轴题位于试卷的末尾，我在做⾼考卷的时候也习惯于先做选做题，再回来做导数和解析⼏何，在考试的最后，时间往往剩下的不多，这往往考察每个同学的定⼒，能不能不紧张，细⼼认真的做完⾃⼰所有会的步骤。

⽏庸置疑，解析⼏何很花费时间，因此在复习的过程中不能“吝啬”，要肯花精⼒与时间，数学是对分析能⼒要求⽐较⾼的学科，复习时着重锻炼⾃⼰的分析能⼒，尽量选择整块的时间解决数学问题，否则思路被打断，效率会⽐较低。

解析⼏何作为⾼考的重点，考查项⽬不仅要求分析，还要求计算能⼒，⼤多数⼈都会觉得解析⼏何⼤题中的式⼦很长，就可能出现⼼烦意乱，懒得算下去的现象，但其实平时就是⼀个积累经验与树⽴信⼼的过程，越是在平⽇⾥认真地、⼀步步地算，才越有可能在考场上快速地，准确地算出结果。

每个⼈的⾃⾝情况都不同，不应该都听⽼师的⽽⾃⼰没有计划与针对性，如果正是在解析⼏何这类题中有所⽋缺，那么每天给⾃⼰定⼀道题的任务，限定⾃⼰在半个⼩时之内完成，如果较快完成，就看看⾃⼰与答案相⽐规范性的问题，如果⽐较慢，就经常练习反思，毕竟⾼考没有那么多的时间去完成⼀道题。

18 高中解析几何-双曲线的问题

专题18高中解析几何-双曲线的问题【知识总结】 1．双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹． (2)符号表示：||MF 1|－|MF 2||＝2a (常数)(0<2a <|F 1F 2|)． (3)焦点：两个定点F 1，F 2．(4)焦距：两焦点间的距离，表示为|F 1F 2|． 2．双曲线的标准方程和简单几何性质F (－c ，0)，F (c ，0)F (0，－c )，F (0，c )【高考真题】1．(2022·北京) 已知双曲线221x y m +=的渐近线方程为y =，则m =__________．2．(2022·全国甲理) 若双曲线2221(0)x y m m-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =_________．3．(2022·全国甲文) 记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为e ，写出满足条件“直线2y x =与C 无公共点”的e 的一个值______________．4．(2022·全国乙理) 双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 的两支交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为( )A B ．32 C D5．(2022·浙江) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a 的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________．【题型突破】题型一双曲线的标准方程1．(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A ．x 28－y 210＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝12．(2016·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1C ．3x 220－3y 25＝1D ．3x 25－3y 220＝13．(2018·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1C ．x 23－y 29＝1D ．x 29－y 23＝14．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1C ．x 23－y 2＝1D ．x 2－y 23＝15．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( ) A ．x 24－3y 24＝1 B ．x 24－4y 23＝1 C ．x 24－y 24＝1 D ．x 24－y 212＝16．已知双曲线E 的中心为原点，(3, 0)F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12, 15)N --，则E 的方程式为( )A ．22136x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22154x y -=7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C的右支交于点A ，若BA →＝2AF →，且|BF →|＝4，则双曲线C 的方程为( )A ．x 26－y 25＝1B ．x 28－y 212＝1C ．x 28－y 24＝1D ．x 24－y 26＝18．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为32，过右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为M ．若△FOM的面积为5，其中O 为坐标原点，则双曲线的方程为( )A ．x 2－4y 25＝1 B ．x 22－2y 25＝1 C ．x 24－y 25＝1 D ．x 216－y 220＝19．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，则此双曲线的方程是( )．A ．x 23－y 24＝1B ．x 24－y 23＝1C ．x 25－y 22＝1D ．x 22－y 25＝110．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)的离心率为3，左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点，∠F 1PF 2的角平分线为l ，点F 1关于l 的对称点为Q ，|F 2Q |＝2，则双曲线的方程为( ) A ．x 22－y 2＝1 B ．x 2－y 22＝1 C ．x 2－y 23＝1 D ．x 23－y 2＝1题型二双曲线中的求值11．(2018·全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若△OMN 为直角三角形，则|MN |等于( )A ．32B ．3C ．23D ．412．(2019·全国Ⅰ)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )A ．324B ．322C ．22D ．3213．已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，与x 轴平行的直线交Γ于B ，C 两点，记∠BAC＝θ，若Γ的离心率为2，则( )A ．θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2B ．θ＝π2C ．θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，πD ．θ＝3π414．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________． 15．如图，双曲线的中心在坐标原点O ，A ，C 分别是双曲线虚轴的上、下端点，B 是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于点D ．若双曲线的离心率为2，则∠BDF 的余弦值是________．16．过点P (4，2)作一直线AB 与双曲线C ：x 22－y 2＝1相交于A ，B 两点，若P 为AB 的中点，则|AB |＝( )A ．22B ．23C ．33D ．4317．过点P (4，2)作一直线AB 与双曲线C ：x 22－y 2＝1相交于A 、B 两点，若P 为AB 中点，则|AB |＝( )A ．22B ．23C ．33D ．4318．已知双曲线x 23－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝25，则△PF 1F 2的面积为()A ．1B ．3C ．5D ．1219．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上，若△AF 1F 2的周长为10a ，则△AF 1F 2的面积为( )A ．215a 2B ．15a 2C ．30a 2D ．15a 220．已知双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存在一点P 使 sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝e ，则F 2P →·F 2F 1→的值为( )A ．3B ．2C ．－3D ．－2 题型三双曲线的离心率21．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C 的离心率为( )A ．2B ．3C ．3或233D ．233或222．(2019·全国Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为( )A ．2sin 40°B ．2cos 40° C.1sin 50° D.1cos 50°23．(2019·全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________．24．已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A ．2B ．32C ．3D ．225．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线C 上第二象限内一点，若直线y ＝ba x 恰为线段PF 2的垂直平分线，则双曲线C 的离心率为( )A ．2B ．3C ．5D ．626．已知O 为坐标原点，点A ，B 在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上，且关于坐标原点O 对称．若双曲线C 上与点A ，B 横坐标不相同的任意一点P 满足k P A ·k PB ＝3，则双曲线C 的离心率为( ) A ．2 B ．4 C ．10 D ．1027．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，过点P (3，6)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (12，15)，则双曲线C 的离心率为( )A ．2B ．32C ．355D ．5228．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的右支交于不同两点A ，B ，若AF →＝3FB →，则该双曲线的离心率为( ) A ．52 B ．62 C ．233D ．3 29．已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过双曲线Γ的右焦点F ，且倾斜角为π2的直线l 与双曲线Γ交于A ，B 两点，O 是坐标原点，若∠AOB ＝∠OAB ，则双曲线Γ的离心率为( ) A ．3＋72 B ．11＋332 C ．3＋396 D ．1＋17430．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)左焦点F 的直线l 与C 交于M ，N 两点，且FN →＝3FM →，若OM ⊥FN ，则C 的离心率为( )A ．2B ．7C ．3D ．10 题型四双曲线的渐近线31．(2018·全国Ⅰ)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x 32．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，P 是双曲线在第一象限上的点，直线PO 交双曲线C 左支于点M ，直线PF 2交双曲线C 右支于点N ，若|PF 1|＝2|PF 2|，且∠MF 2N ＝60°，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±22x C ．y ＝±2x D ．y ＝±22x 33．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F (1，0)作x 轴的垂线，与双曲线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为83，则双曲线的渐近线方程为________．34．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)的右顶点A 和右焦点F 到一条渐近线的距离之比为1∶2，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±2xD ．y ＝±3x35．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1，l 2，F 为其一个焦点，若F 关于l 1的对称点在l 2上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2x36．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲线上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为π6，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±12xC ．y ＝±22x D ．y ＝±2x37．已知F 2，F 1是双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的上、下两个焦点，过F 1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B ，A ，若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±22x C ．y ＝±6x D ．y ＝±66x 38．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A ．2x ±y ＝0B ．x ±2y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0 题型五双曲线中的最值与范围39．P 是双曲线C ：x 22－y 2＝1右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ，F 1是双曲线C 的左焦点，则|PF 1|＋|PQ |的最小值为( ) A ．1 B ．2＋155 C ．4＋155D ．22＋1 40．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±233x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双曲线上在第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△P AF 周长的最小值为( )A ．8B ．10C ．4＋37D ．3＋317 41．过双曲线x 2－y 215＝1的右支上一点P ，分别向圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1作切线，切点分别为M ，N ，则|PM |2－|PN |2的最小值为( )A ．10B ．13C ．16D ．19 42．设P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M ，N 分别是圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1上的点，设|PM |－|PN |的最大值和最小值分别为m ，n ，则|m －n |＝( )A ．4B ．5C ．6D ．743．若点O 和点F (－2，0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为________．44．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线的右支上，如果|PF 1|＝t |PF 2|(t ∈(1，3])，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是______________．45．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，P 是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为[2，4]，则PF 1→·PF 2→的最小值的取值范围是________．。

高中解析几何典型题

高中解析几何典型题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一、直线和平面的关系题目题目1：设直线L经过平面α和β两个平面的交点A和B，问直线L在平面α和平面β之间的位置关系是怎样的？解析：直线L在平面α和平面β之间的位置关系有三种情况，分别是直线L既不垂直于平面α，也不垂直于平面β；直线L既垂直于平面α，也垂直于平面β；直线L既不垂直于平面α，但垂直于平面β。

具体位置可根据直线和平面的垂直关系来确定。

解析：点P在平面α和平面β之间的位置关系根据两个平面的相交线和点P所在位置的具体情况来确定。

如果直线L和点P的位置不同，点P在两个平面之间；如果直线L和点P的位置相同，点P在两个平面外部；如果直线L和点P的位置重合，点P在两个平面上。

题目3：已知平面α和平面β相交于直线m，直线n与直线m相交于点A，平面α和平面β的交线分别为l1和l2，求证：∠l1An=∠l2An。

解析：根据已知条件可得到∠l1An=∠mAn，∠l2An=∠mAn，即∠l1An=∠l2An。

解析：根据已知条件可得到∠A和∠B垂直于直线m，因此∠A和∠B所成的角度为90度。

通过以上的几个典型题目及其解析，我们不难看出解析几何题目的解题思路主要是根据已知条件，运用几何知识和性质来推导出结论。

在解析几何的学习过程中，学生应该注重培养逻辑思维能力和数学运算能力，多进行几何图形的分析和推理，提高解题的能力和速度。

在解析几何的学习过程中，还需要注意以下几点：1、熟练掌握基本几何知识和性质，包括直线、角、三角形、四边形等几何图形的性质和计算方法。

2、善于画图分析，对于解析几何题目一定要画出清晰准确的图形，以便更直观地理解题意和计算。

3、多练习典型题目，通过多做题目来积累经验，查漏补缺，加深对解析几何知识的理解。

4、注意总结归纳，将解析几何的各种题目和性质进行分类和总结，形成自己的知识体系。

高中解析几何是一个非常重要的学科，学生在学习过程中要认真对待，多加练习，提高理解能力和解题能力，从而取得更好的学习成绩。

解析几何题型及解题方法总结

解析几何题型及解题方法总结
题型：1、求曲线方程(类型确定、类型未定)；2、直线与圆锥曲线的
交点题目(含切线题目)；3、与曲线有关的最(极)值题目；4、与曲线有关
的几何证实(对称性或求对称曲线、平行、垂直)；5、探求曲线方程中几
何量及参数间的数目特征。

解题方法：
1、紧密结合代数知识解题：“求到两定点的距离之比等于常数的点
的轨迹”问题的求解过程中，取平面直角坐标系，使两定点的连线为x轴，且连线段的中点为原点，并设两定点的距离为2b，则两定点分别为M（b，0）N（-b，0），N（x，y）是轨迹上任意一点，常数为n，最终得到轨迹
方程（n2-1）（x2+y2）+2b（n2+1））x+b2（n2-1）=0。

2、充分利用几何图形性质简化解题过程：在对曲线轨迹方程求解的
过程中，通过几何条件，可以对轨迹的曲线类型进行判断，然后通过待定
系数法来求解。

3、用函数（变量）的观点来解决问题：对于解析几何问题而言，由
于线或点发生改变，从而导致图形中其他量的改变，这样类型的题目，往
往可以使用函数的观点来求解。

例如，在次全国高中数学竞赛题中，已知
抛物线y2=6x上的2个动点A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1≠x2且
1+2=4。

线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求AABC面积的最大值。

解析几何解题思路总结

解析几何巧妙解题思路总结解析几何巧妙解题思路总结一．直线和圆的方程一．直线和圆的方程1．理解直线的斜率的概念，理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、掌握直线方程的点斜式、掌握直线方程的点斜式、两点式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．线的方程判断两条直线的位置关系． 3．了解二元一次不等式表示平面区域．．了解二元一次不等式表示平面区域． 4．了解线性规划的意义，并会简单的应用．．了解线性规划的意义，并会简单的应用． 5．了解解析几何的基本思想，了解坐标法．．了解解析几何的基本思想，了解坐标法．6．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程．二．圆锥曲线方程二．圆锥曲线方程1．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质．．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质． 2．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． 3．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． 4．了解圆锥曲线的初步应用．．了解圆锥曲线的初步应用．【例题解析】考点1.1.求参数的值求参数的值求参数的值求参数的值是高考题中的常见题型之一求参数的值是高考题中的常见题型之一,,其解法为从曲线的性质入手其解法为从曲线的性质入手,,构造方程解之构造方程解之. . 例1．（2009年安徽卷）若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（）A ．2-B ．2C ．4-D ．4考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质. 解答过程：椭圆22162x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线222y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D. 考点2. 2. 求线段的长求线段的长求线段的长求线段的长也是高考题中的常见题型之一求线段的长也是高考题中的常见题型之一,,其解法为从曲线的性质入手其解法为从曲线的性质入手,,找出点的坐标找出点的坐标,,利用距离公式解之离公式解之. .例2．（2009年四川卷)已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于A.3 B.4 C.32D.42 考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用. 解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123301y x x x b x x y x bì=-+Þ++-=Þ+=-í=+î，进而可求出AB 的中点11(,)22M b --+，又由11(,)22M b --+在直线0x y +=上可求出1b =，∴220x x +-=，由弦长公式可求出221114(2)32AB =+-´-=．故选C 例3．（2006年四川卷）如图，把椭圆2212516x y +=的长轴的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，是椭圆的一个焦点，则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=____________. 考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用. 解答过程：由椭圆2212516x y +=的方程知225, 5.a a =\=∴12345677277535.2aPF P F P F P F P F P F P F a ´++++++==´=´= 故填35. 考点3. 3. 曲线的离心率曲线的离心率曲线的离心率曲线的离心率是高考题中的热点题型之一曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,,其解法为充分利用其解法为充分利用: : (1)(1)椭圆的离心率椭圆的离心率e ＝ac ∈(0,1) (e 越大则椭圆越扁越大则椭圆越扁); );(2) (2) 双曲线的离心率双曲线的离心率e ＝ac ∈(1, (1, ＋∞＋∞＋∞) (e ) (e 越大则双曲线开口越大越大则双曲线开口越大). ).结合有关知识来解题结合有关知识来解题. .例4．（2008年全国卷）文（年全国卷）文（44）理（）理（44）已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)-，(4,0)，则双曲线方程为双曲线方程为A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．221106x y -= D ．221610x y -=考查意图:本题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念. 解答过程：解答过程： 2,4,ce c a=== 所以22,12.a b \==故选(A). 小结: 对双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念，要注意认真掌握.尤其对双曲线的焦点位置和双曲线标准方程中分母大小关系要认真体会. 例5．（2008年广东卷）已知双曲线9322=-y x ,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（到右准线的距离之比等于（）A. 2B.332 C. 2 D.4 考查意图: 本题主要考查双曲线的性质和离心率e ＝ac∈(1, ＋∞) 的有关知识的应用能力. 解答过程：依题意可知解答过程：依题意可知 3293,322=+=+==b a c a ．考点4.4.求最大求最大求最大((小)值求最大求最大((小)值, , 是高考题中的热点题型之一是高考题中的热点题型之一其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大(小)值:特别是特别是,,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答. .例6．(2006年山东卷年山东卷))已知抛物线y 22=4x,=4x,过点过点P(4,0)P(4,0)的直线与抛物线相交于的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是的最小值是 . 考查意图: 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大(小)值的方法. 解:设过点P(4,0)的直线为()()224,8164,y k x k x x x =-\-+=()()122222222122284160,8414416232.k x k x k k y y x x k k \-++=+æö\+=+=´=+³ç÷èø 故填32. 考点5 5 圆锥曲线的基本概念和性质圆锥曲线的基本概念和性质圆锥曲线的基本概念和性质圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心. 例7．（2007年广东卷文）年广东卷文）在平面直角坐标系xOy 中,已知圆心在第二象限、半径为22的圆C 与直线y=x 相切于坐标原点O.椭圆9222y ax +=1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10. （1）求圆C 的方程；的方程；（2）试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长.若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. [考查目的]本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．行推理运算的能力和解决问题的能力． [解答过程] (1) 设圆C 的圆心为的圆心为 (m, n) 则,222,m n n =-ìïí×=ïî 解得2,2.m n =-ìí=î所求的圆的方程为所求的圆的方程为 22(2)(2)8x y ++-= (2) 由已知可得由已知可得 210a = ， 5a =．椭圆的方程为椭圆的方程为 221259x y += , 右焦点为右焦点为 F( 4, 0) ; 假设存在Q 点()222cos ,222sin q q -++使QF OF =, ()()22222cos 4222sin 4q q-+-++=．整理得整理得 s i n 3c o s 22q q=+，代入代入 22sin cos 1q q +=．得:210cos 122cos 70q q ++= , 122812222cos 11010q -±-±==<-．因此不存在符合题意的Q 点. 例8．（2007年安徽卷理）年安徽卷理）如图,曲线G 的方程为)0(22³=y x y .以原点为圆心，以)0(>t t 为半径的圆分别与曲线G 和y 轴的轴的正半轴相交于正半轴相交于 A 与点B. 直线直线 AB 与 x 轴相交于点C. （Ⅰ）求点（Ⅰ）求点 A 的横坐标的横坐标 a 与点与点 C 的横坐标c 的关系式；的关系式；（Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为2+a ,求证：直线CD 的斜率为定值. [考查目的]本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标素中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力，综合分析问题的能力. [解答过程]（I ）由题意知，).2,(a a A 因为.2,||22t a a t OA =+=所以由于.2,02a a t t +=>故有（1）由点B （0，t ），C （c ，0）的坐标知，直线BC 的方程为.1=+t y c x又因点A 在直线BC 上，故有,12=+ta c a将（1）代入上式，得,1)2(2=++a a a ca 解得解得 )2(22+++=a a c . （II ）因为))2(22(++a a D ，所以直线CD 的斜率为的斜率为1)2(2)2(2))2(22(2)2(22)2(2-=+-+=+++-++=-++=a a a a a a c a a k CD ，所以直线CD 的斜率为定值. 例9．已知椭圆2222x y E :1(a b 0)a b +=>>，AB 是它的一条弦，M(2,1)是弦AB 的中点，若以点M(2,1)为焦点，椭圆E 的右准线为相应准线的双曲线C 和直线AB 交于点N(4,1)-，若椭圆离心率e 和双曲线离心率1e 之间满足1ee 1=，求：，求：（1）椭圆E 的离心率；（2）双曲线C 的方程. 解答过程：（1）设A 、B 坐标分别为1122A(x ,y ),B(x ,y )，则221122x y 1a b+=，222222x y 1a b +=，二式相减得：，二式相减得： 21212AB 21212y y (x x )b k x x (y y )a -+==-=-+2MN 22b 1(1)k 1a 24---===--，所以2222a 2b 2(a c )==-，22a 2c =，则c2e a 2==；（2）椭圆E 的右准线为22a(2c)x 2c cc===，双曲线的离心率11e 2e==，设P(x,y)是双曲线上任一点，则：是双曲线上任一点，则： 22(x 2)(y 1)|PM |2|x 2c ||x 2c |-+-==--，两端平方且将N(4,1)-代入得：c 1=或c 3=，当c 1=时，双曲线方程为：22(x 2)(y 1)0---=，不合题意，舍去；，不合题意，舍去；当c 3=时，双曲线方程为：22(x 10)(y 1)32---=，即为所求. 小结：（1）“点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法；“点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法；（2）求解圆锥曲线时，若有焦点、准线，则通常会用到第二定义. 考点6 利用向量求曲线方程和解决相关问题利用向量求曲线方程和解决相关问题利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算. 典型例题：典型例题：例10．(2008年山东卷）双曲线C 与椭圆22184x y +=有相同的焦点，直线y=x 3为C 的一条渐近线. (1)求双曲线C 的方程；的方程；(2)过点P(0,4)的直线l ，交双曲线C 于A,B 两点，交x 轴于Q 点（Q 点与C 的顶点不重合）当12PQ QA QB l l ==，且3821-=+l l 时，求Q 点的坐标. 考查意图: 本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力,以及运用数形结合思想,方程和转化的思想解决问题的能力. 解答过程：（Ⅰ）设双曲线方程为22221x y a b -=, 由椭圆22184x y +=,求得两焦点为(2,0),(2,0)-，\对于双曲线:2C c =，又3y x =为双曲线C 的一条渐近线的一条渐近线\3ba = 解得解得 221,3ab ==，\双曲线C 的方程为2213y x -=（Ⅱ）解法一：（Ⅱ）解法一：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零. 设l 的方程：114,(,)y kx A x y =+，22(,)B x y ,则4(,0)Q k -. 1PQ QA l = ,11144(,4)(,)x y kkl \--=+. 111111114444()44x k k x k k y y l l l l ì=--ìï-=+ïï\Þííïï-==-îïî 11(,)A x y 在双曲线C 上，上，\2121111616()10k l l l +--=. \222211161632160.3k k l l l ++--=\2221116(16)32160.3k k l l -++-=同理有：2222216(16)32160.3k k l l -++-=若2160,k -=则直线l 过顶点，不合题意.2160,k \-¹12,l l \是二次方程22216(16)32160.3k x x k -++-=的两根. 122328163k l l \+==--,24k \=，此时0,2k D >\=±. \所求Q 的坐标为(2,0)±. 解法二：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零存在且不等于零设l 的方程，11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则4(,0)Q k-. 1PQ QA l = ， Q \分PA的比为1l . 由定比分点坐标公式得由定比分点坐标公式得1111111111144(1)14401x x k k y y l l l l l l l ìì-==-+ïï+ïï®íí+ïï=-=ïï+îî下同解法一下同解法一解法三：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零存在且不等于零设l 的方程：11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则4(,0)Q k-. 12PQ QA QB l l == ， 111222444(,4)(,)(,)x y x y kkkl l \--=+=+. 11224y y l l \-==， 114y l \=-，224y l =-，又1283l l +=-，121123y y \+=,即12123()2y y y y +=. 将4y kx =+代入2213y x -=得222(3)244830k y y k --+-=. 230k -¹ ，否则l 与渐近线平行. 212122224483,33k y y y y k k -\+==--. 222244833233k k k -\´=´--.2k \=±(2,0)Q \±. 解法四：由题意知直线l 得斜率k 存在且不等于零，设l 的方程：4y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y ,则4(,0)Q k- 1PQ QA l = ,11144(,4)(,)x y kkl \--=+. \1114444k kx x kl -==-++.同理同理 1244kx l =-+. 1212448443kx kx l l +=--=-++. 即 2121225()80k x x k x x +++=. （*）又 22413y kx y x =+ìïí-=ïî消去y 得22(3)8190k x kx ---=. 当230k -=时，则直线l 与双曲线得渐近线平行，不合题意，230k -¹. 由韦达定理有：由韦达定理有： 12212283193k x x k x x k ì+=ïï-íï=-ï-î代入（*）式得）式得24,2k k ==±. \所求Q 点的坐标为(2,0)±. 例11．（2007年江西卷理）年江西卷理）设动点P 到点A(－l ，0)和B(1，0)的距离分别为d 1和d 2， ∠APB ＝2θ,且存在常数λ(0＜λ＜1＝,使得d 1d 2 sin 2θ＝λ．（1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；的方程；（2）过点B 作直线交双曲线C 的右支于M 、N 两点,试确定λ的范围, 使OM ·ON ＝0,其中点O 为坐标原点．为坐标原点．[考查目的]本小题主要考查直线、双曲线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．[解答过程]解法1：（1）在PAB △中，2AB =，即222121222cos2d d d d q =+-，2212124()4sin d d d d q =-+，即2121244sin 212d d d d q l -=-=-<（常数），点P 的轨迹C 是以A B ，为焦点，实轴长221a l =-的双曲线．的双曲线．方程为：2211x y l l-=-．（2）设11()M x y ，，22()N x y ，①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，(11)M ，，(11)N -，在双曲线上．在双曲线上．即2111511012l l l l l -±-=Þ+-=Þ=-，因为01l <<，所以512l -=． ②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-．由2211(1)x y y k x l lì-=ï-íï=-î得：2222(1)2(1)(1)()0k x k x k l l l l l éù--+---+=ëû，由题意知：2(1)0k l l éù--¹ëû，所以21222(1)(1)k x x k l l l --+=--，2122(1)()(1)k x x k l l l l --+=--．于是：22212122(1)(1)(1)k y y k x x kl l l =--=--．因为0=×ON OM ，且M N ，在双曲线右支上，所以在双曲线右支上，所以 2121222122212(1)0(1)5121011231001x x y y k x x k x x l l l l l l l l l l l l l ll -ì+=ì-ì=ï>-ïïï+-+>ÞÞÞ<<+--íííïïï>+->>îîï-î．由①②知，51223l -<≤．解法2：（1）同解法1 （2）设11()M x y ，，22()N x y ，，MN 的中点为00()E x y ，． ①当121x x ==时，221101MB l l l l l=-=Þ+-=-，因为01l <<，所以512l -=； ②当12x x ¹时，002222212111111y x k y x y xMN ×-=Þïïîïïíì=--=--l l l l l l ．又001MN BE y k k x ==-．所以22000(1)y x x l l l -=-；由2MON p =∠得222002MN x y æö+=ç÷èø，由第二定义得2212()222MN e x x a æö+-éù=ç÷êúëûèø 22000111(1)211x x x l l ll æö=--=+--ç÷--èø．所以2220(1)2(1)(1)y x x l l l l -=--+-．于是由22000222000(1),(1)2(1)(1),y x x y x x l l l l l l l ì-=-ïí-=--+-ïî得20(1).23x l l -=-因为01x >，所以2(1)123l l->-，又01l <<，C BA oy x解得：51223l -<<．由①②知51223l -<≤．考点7 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题利用向量处理圆锥曲线中的最值问题利用向量的数量积构造出等式或函数关系，再利用函数求最值的方法求最值，要比只利用解析几何知识建立等量关系容易. 例12．设椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为33，过点C(1,0)-的直线交椭圆E 于A 、B 两点，且CA2BC = ，求当AOB D 的面积达到最大值时直线和椭圆E 的方程. 解答过程：因为椭圆的离心率为33，故可设椭圆方程为222x 3y t(t 0)+=>，直线方程为my x 1=+，由222x 3y t my x 1ì+=í=+î得：22(2m 3)y 4my 2t 0+-+-=，设1122A(x ,y ),B(x ,y )，则1224m y y 2m 3+=+…………① 又CA 2BC =，故1122(x 1,y )2(1x ,y )+=---，即12y 2y =-…………②由①②得：128m y 2m 3=+，224m y 2m 3-=+，则AOB 1221m S |y y |6||22m 3D =-=+＝66322|m ||m |£+，当23m 2=，即6m 2=±时，AOB D 面积取最大值，面积取最大值，此时2122222t32m y y 2m 3(2m 3)-==-++，即t 10=，所以，直线方程为6x y 102±+=，椭圆方程为222x 3y 10+=. 小结：利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易. 例13．已知P A (x 5,y)=+，PB (x 5,y)=- ，且|P A||P B|6+= ，求|2x 3y 12|--的最大值和最小值. 解答过程：设P(x,y)，A(5,0)-，B(5,0)，因为|P A ||PB|6+=，且|AB|256=<，所以，动点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，长轴长为6的椭圆，的椭圆，椭圆方程为22x y 194+=，令x 3cos ,y 2sin =q =q ，则|2x 3y 12|--＝|62cos()12|4pq +-，当cos()14pq +=-时，|2x 3y 12|--取最大值1262+，当cos()14pq +=时，|2x 3y 12|--取最小值1262-. 小结：利用椭圆的参数方程，可以将复杂的代数运算化为简单的三角运算. 考点8 利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题解析几何中求变量的范围，一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值域问题. 例14．（2006年福建卷）年福建卷）已知椭圆2212x y +=的左焦点为F ， O 为坐标原点. （I ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程；相切的圆的方程；（II ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围. 考查意图:本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力. 解答过程：（I ）222,1,1,(1,0),: 2.a b c F l x ==\=-=-圆过点O 、F ， \圆心M 在直线12x =-上. 设1(,),2M t -则圆半径13()(2).22r =---=由,OM r =得2213(),22t -+=解得 2.t =±\所求圆的方程为2219()(2).24x y ++±=（II ）设直线AB 的方程为(1)(0),y k x k =+¹代入221,2x y +=整理得2222(12)4220.k x k x k +++-=直线AB 过椭圆的左焦点F ，\方程有两个不等实根. ylG ABF OF EP DBA Oy x记1122(,),(,),A x y B x y AB 中点00(,),N x y 则21224,21k x x k +=-+AB \的垂直平分线NG 的方程为001().y y x x k-=--令0,y =得222002222211.21212124210,0,2G G k k k x x ky k k k k k x =+=-+=-=-+++++¹\-<<\点G 横坐标的取值范围为1(,0).2- 例15．已知双曲线C ：2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>，B 是右顶点，F 是右焦点，点A 在x 轴正半轴上，且满足|OA|,|OB|,|OF| 成等比数列，过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P ，（1）求证：PA OP PA FP ×=×；（2）若l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于点D,E ，求双曲线C 的离心率e 的取值范围. 解答过程：（1）因|OA |,|OB|,|OF| 成等比数列，故22|OB |a|OA |c |OF|== ，即2a A(,0)c ，直线l ：ay (x c)b=--，由2a y (x c)a ab b P(,)bc c y xa ì=--ïïÞíï=ïî，故：22ab a ab b ab PA (0,),OP (,),FP (,)c c c c c =-==-，则：222a b PA OP PA FP c×=-=×，即PA OP PA FP ×=× ；（或P A (OP FP)P A (PF PO)P A OF 0×-=×-=×=，即PA OP PA FP ×=× ）（2）由44422222222222222ay (x c)a a a c (b )x 2cx (a b )0b b b b b x a y a b ì=--ïÞ-+-+=íï-=î，由4222212422a c (a b )b x x 0a b b -+=<-得：4422222b a b c a a e 2e 2.>Þ=->Þ>Þ>（或由DFDO k k >Þa bb a->-Þ2222222222b c a a e 2e 2=->Þ>Þ>）小结：向量的数量积在构造等量关系中的作用举足轻重，向量的数量积在构造等量关系中的作用举足轻重，而要运用数量积，而要运用数量积，必须先恰当地求出各个点的坐标. 例16．已知a (x,0)= ，b (1,y)=，(a 3b)(a 3b)+^- ，（1）求点P(x,y)的轨迹C 的方程；的方程；（2）若直线y kx m(m 0)=+¹与曲线C 交于A 、B 两点，D(0,1)-，且|AD ||BD |=，试求m 的取值范围. 解答过程：（1）a 3b +＝(x,0)3(13(1,,y)(x 3,3y)+=+，a 3b -＝(x,0)3(13(1,,y)(x 3,3y)-=--，因(a 3b)(a 3b)+^- ，故(a 3b)(a 3b)0+×-=，即22(x 3,3y)(x 3,3y)x 3y 30+×--=--=，故P 点的轨迹方程为22x y 13-=. （2）由22y kx mx 3y 3=+ìí-=î得：222(13k )x 6kmx 3m 30----=，设1122A(x ,y ),B(x ,y )，A 、B 的中点为00M(x ,y )则22222(6km)4(13k )(3m 3)12(m 13k )0D =----=+->，1226km x x 13k +=-，1202x x 3km x 213k +==-，002my kx m 13k=+=-，即A 、B 的中点为223km m(,)13k 13k --，则线段AB 的垂直平分线为：22m 13kmy ()(x )13k k 13k -=----，将D(0,1)-的坐标代入，化简得：24m 3k 1=-，PQCBA xy O则由222m 13k 04m 3k 1ì+->ïí=-ïî得：2m 4m 0->，解之得m 0<或m 4>，又24m 3k 11=->-，所以1m 4>-，故m 的取值范围是1(,0)(4,)4-+¥ . 小结：求变量的范围，要注意式子的隐含条件，否则会产生增根现象. 考点9 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题存在性问题，其一般解法是先假设命题存在，用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐标，再根据合理的推理，若能推出题设中的系数，则存在性成立，否则，不成立. 例17．已知A,B,C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆的中心O ，且AC BC 0×= ，|BC|2|AC|=，（1）求椭圆的方程；）求椭圆的方程；（2）如果椭圆上的两点P ,Q 使PCQ Ð的平分线垂直于OA ，是否总存在实数λ，使得PQ λAB =？请说明理由；请说明理由；解答过程：（1）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立轴建立平面直角坐标系，则A(2,0)，设椭圆方程为222x y14b+=，不妨设C 在x 轴上方，轴上方，由椭圆的对称性，|BC|2|AC|2|OC||AC||OC|==Þ= ，又AC BC 0×=AC OC Þ^，即ΔOCA 为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，由A(2,0)得：C(1,1)，代入椭圆方程得：24b 3=，即，椭圆方程为22x 3y 144+=；（2）假设总存在实数λ，使得PQ λAB =，即AB //PQ ，由C(1,1)得B(1,1)--，则AB 0(1)1k 2(1)3--==--，若设CP ：y k(x 1)1=-+，则CQ ：y k(x 1)1=--+，由22222x 3y 1(13k )x 6k(k 1)x 3k 6k 1044y k(x 1)1ì+=ïÞ+--+--=íï=-+î，由C(1,1)得x 1=是方程222(13k )x 6k(k 1)x 3k 6k 10+--+--=的一个根，的一个根，由韦达定理得：2P P 23k 6k 1x x 113k --=×=+，以k -代k 得2Q 23k 6k 1x 13k+-=+，故P Q P Q PQ P Q P Q yy k(x x )2k 1k x x x x 3-+-===--，故AB //PQ ，即总存在实数λ，使得PQ λAB =. 评注：此题考察了坐标系的建立、待定系数法、椭圆的对称性、向量的垂直、向量的共线及探索性问题的处理方法等，是一道很好的综合题. 考点10 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题直线和圆锥曲线的关系问题，直线和圆锥曲线的关系问题，一般情况下，一般情况下，是把直线的方程和曲线的方程组成方程组，是把直线的方程和曲线的方程组成方程组，进一进一步来判断方程组的解的情况，但要注意判别式的使用和题设中变量的范围. 例18．设G 、M 分别是ABC D 的重心和外心，A(0,a)-，B(0,a)(a 0)>，且GM AB =l ，（1）求点C 的轨迹方程；的轨迹方程；（2）是否存在直线m ，使m 过点(a,0)并且与点C 的轨迹交于P 、Q 两点，且OPOQ 0×= 若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由. 解答过程：（1）设C(x,y)，则x yG(,)33，因为GM AB =l ，所以GM //AB ，则xM(,0)3，由M 为ABC D 的外心，则|MA ||MC |=，即2222x x ()a (x)y 33+=-+，整理得：2222x y 1(x 0)3a a+=¹；（2）假设直线m 存在，设方程为y k(x a)=-，由2222y k(x a)x y 1(x 0)3aa =-ìïí+=¹ïî得：22222(13k )x 6k ax 3a (k 1)0+++-=，设1122P(x ,y ),Q(x ,y )，则21226k a x x 13k +=+，221223a (k 1)x x 13k -=+，22212121212y y k (x a )(x a )k [x x a (x x )a ]=--=-++＝2222k a 13k-+，由OP OQ 0×=得：1212x x y y 0+=，即2222223a (k 1)2k a13k 13k --+=++，解之得k 3=±，又点(a,0)在椭圆的内部，直线m 过点(a,0)，故存在直线m ，其方程为y 3(x a)=±-. 小结：（1）解答存在性的探索问题，一般思路是先假设命题存在，再推出合理或不合理的结果，然后做出正确的判断；然后做出正确的判断；（2）直线和圆锥曲线的关系问题，一般最终都转化成直线的方程和圆锥曲线的方程所组成的方程组的求解问题. 专题训练与高考预测专题训练与高考预测一、选择题一、选择题1．如果双曲线经过点(6,3)，且它的两条渐近线方程是1y x 3=±，那么双曲线方程是（），那么双曲线方程是（）A ．22x y 1369-= B ．22x y 1819-= C ．22x y 19-= D ．22x y 1183-= 2．已知椭圆2222x y 13m 5n +=和双曲线2222x y 12m 3n-=有公共的焦点，那么双曲线的的渐近线方程为（为（） A.15x y 2=± B. 15y x2=± C. 3x y 4=± D. 3y x 4=± 3．已知12F ,F 为椭圆2222x y 1(a b 0)a b+=>>的焦点，M 为椭圆上一点，1MF 垂直于x 轴，轴，且12FMF 60Ð=°，则椭圆的离心率为（，则椭圆的离心率为（） A.12 B.22 C.33 D.324．二次曲线22x y 14m+=，当m [2,1]Î--时，该曲线的离心率e 的取值范围是（的取值范围是（）A.23[,]22B. 35[,]22C.56[,]22D. 36[,]225．直线m 的方程为y kx 1=-，双曲线C 的方程为22x y 1-=，若直线m 与双曲线C 的右支相交于不重合的两点，则实数k 的取值范围是（的取值范围是（）A.(2,2)-B.(1,2)C.[2,2)-D.[1[1,,2)6．已知圆的方程为22x y 4+=，若抛物线过点A(1,0)-，B(1,0)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程为（抛物线的焦点的轨迹方程为（） A. 22xy1(y0)34+=¹B. 22x y 1(y 0)43+=¹ C. 22x y 1(x 0)34-=¹ D. 22x y 1(x 0)43-=¹二、填空题二、填空题7．已知P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆)0(12222>>=+b a by ax 上一点，若021=×PF PF 21tan 21=ÐF PF ，则椭圆的离心率为，则椭圆的离心率为 ______________ . 8．已知椭圆x 2+2y 2=12，A 是x 轴正方向上的一定点，轴正方向上的一定点，若过点若过点A ，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为3134，点A 的坐标是______________ . 9．P 是椭圆22x y 143+=上的点，12F ,F 是椭圆的左右焦点，设12|PF ||PF |k ×=，则k 的最大值与最小值之差是______________ . 10．给出下列命题：．给出下列命题：①圆22(x 2)(y 1)1++-=关于点M(1,2)-对称的圆的方程是22(x 3)(y 3)1++-=；F 2F 1A 2A 1PNM oy x FQoyx②双曲线22x y 1169-=右支上一点P 到左准线的距离为18，那么该点到右焦点的距离为292；③顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点(4,3)--的抛物线方程只能是29y x 4=-；④P 、Q 是椭圆22x 4y 16+=上的两个动点，O 为原点，直线OP ,OQ 的斜率之积为14-，则22|OP ||OQ|+等于定值20 . 把你认为正确的命题的序号填在横线上_________________ . 三、解答题三、解答题 11．已知两点A(2,0)，B(2,0)-，动点P 在y 轴上的射影为Q ，2PA PB 2PQ ×=，（1）求动点P 的轨迹E 的方程；的方程；（2）设直线m 过点A ，斜率为k ，当0k 1<<时，曲线E 的上支上有且仅有一点C 到直线m 的距离为2，试求k 的值及此时点C 的坐标. 12．如图，1F (3,0)-，2F (3,0)是双曲线C 的两焦点，直线4x 3=是双曲线C 的右准线，12A ,A是双曲线C 的两个顶点，点P 是双曲线C 右支上异于2A 的一动点，直线1A P 、2A P 交双曲线C 的右准线分别于M,N 两点，两点，（1）求双曲线C 的方程；的方程；（2）求证：12FM F N × 是定值. 13．已知OFQ D 的面积为S ，且OFFQ 1×= ，建立如图所示坐标系，，建立如图所示坐标系，（1）若1S 2=，|OF|2= ，求直线FQ 的方程；的方程；（2）设|OF|c(c 2)=³，3S c 4=，若以O 为中心，F 为焦点的椭圆过点Q ，求当|OQ |取得最小值时的椭圆方程. 14．已知点H(3,0)-，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足HP PM 0×= ，3PM MQ 2=-，BAMQ E T HP o yx（1）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C ；（2）过点T(1,0)-作直线m 与轨迹C 交于A 、B 两点，若在x 轴上存在一点0E(x ,0)，使得ABE D 为等边三角形，求0x 的值. 15．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的长、短轴端点分别为A 、B ，从此椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F ，向量AB 与OM 是共线向量．是共线向量．（1）求椭圆的离心率e ；（2）设Q 是椭圆上任意一点，是椭圆上任意一点， 1F 、2F 分别是左、右焦点，求∠21QF F 的取值范围；的取值范围；16．已知两点M （-1，0），N （1，0）且点P 使NPNM PN PM MN MP ×××,,成公差小于零的等差数列，数列，（Ⅰ）点P 的轨迹是什么曲线？的轨迹是什么曲线？（Ⅱ）若点P 坐标为),(00y x ，q 为PN PM 与的夹角，求tan θ．参考答案参考答案一. 1．C .提示，设双曲线方程为提示，设双曲线方程为11(x y)(x y)33+-=l ，将点(6,3)代入求出l 即可. 2．D .因为双曲线的焦点在因为双曲线的焦点在x 轴上，故椭圆焦点为22(3m 5n ,0)-，双曲线焦点为22(2m 3n ,0)+，由22223m 5n 2m 3n -=+得|m |22|n |=，所以，双曲线的渐近线为6|n |3y x 2|m |4=±=± . 3．C .设1|MF |d =，则2|MF |2d =，12|FF |3d =，11212|FF |c 2c 3d3e a2a|MF ||MF |d 2d 3=====++ . 4.C .曲线为双曲线，且曲线为双曲线，且512>，故选C ；或用2a 4=，2b m =-来计算. 5．B .将两方程组成方程组，利用判别式及根与系数的关系建立不等式组将两方程组成方程组，利用判别式及根与系数的关系建立不等式组. 6．B .数形结合，利用梯形中位线和椭圆的定义数形结合，利用梯形中位线和椭圆的定义. 二.7．解：设c 为为椭圆半焦距，∵021=×PF PF ，∴21PF PF ^ . 又21tan 21=ÐF PF ∴ïïïîïïïíì==+=+212)2(122122221PF PF a PF PF c PF PF解得：255()93,cc e aa === ．选D ． 8．解：设A （x 0，0）（x 0＞0），则直线l 的方程为y=x-x 0，设直线l 与椭圆相交于P （x 1，y 1），Q （x 2、y 2），由，由 y=x-x 0 可得3x 2-4x 0x+2x 02-12=0， x 22+2y 22=12 34021x x x =+，31222021-=×x x x ，则，则 2020221221212363234889164)(||x x xx x x x x x -=--=-+=-．∴||13144212x x x -×+=，即202363223144x -××=． ∴x 02=4，又x 0＞0，∴x 0=2，∴A （2，0）．9．1；22212k |PF ||PF |(a ex)(a ex)a e x =×=+-=- . 10．②④. 三. 11．解（1）设动点P 的坐标为(x,y)，则点Q(0,y)，PQ (x,0)=-，P A (2x,y)=-- ，PB (2x,y)=---，22P A PB x 2y ×=-+ ，因为2PA PB 2PQ ×= ，所以222x 2y 2x -+=，即动点P 的轨迹方程为：22y x 2-=；（2）设直线m ：y k(x 2)(0k 1)=-<<，依题意，点C 在与直线m 平行，且与m 之间的距离为2的直线上，的直线上，设此直线为1m :y kx b =+，由2|2k b |2k 1+=+，即2b 22kb 2+=，……①把y kx b =+代入22y x 2-=，整理得：222(k 1)x 2kbx (b 2)0-++-=，则22224k b 4(k 1)(b 2)0D =---=，即22b 2k 2+=，…………②由①②得：25k 5=，10b 5=，此时，由方程组222510y x C(22,10)55y x 2ì=+ïÞíï-=î . 12．解：（1）依题意得：c 3=，2a4c 3=，所以a 2=，2b 5=，所求双曲线C 的方程为22x y145-=；（2）设00P(x ,y )，11M(x ,y )，22N(x ,y )，则1A (2,0)-，2A (2,0)，100A P (x 2,y )=+ ，200A P (x 2,y )=- ，1110A M (,y )3= ，222A N (,y )3=- ，因为1A P 与1A M 共线，故01010(x 2)y y 3+=，01010y y 3(x 2)=+，同理：0202y y 3(x 2)=--，则1113F M (,y )3= ，225F N (,y )3=-，所以12FM F N ×＝1265y y 9-+＝202020y 6599(x 4)---＝20205(x 4)206541099(x 4)-´--=-- . 13．解：（1）因为|OF|2= ，则F(2,0)，OF (2,0)=，设00Q(x ,y )，则00FQ (x 2,y )=- ，0OF FQ 2(x 2)1×=-= ，解得05x 2=，由0011S |OF ||y ||y |22=×== ，得01y 2=±，故51Q(,)22±，所以，PQ 所在直线方程为y x 2=-或y x 2=-+；（2）设00Q(x ,y )，因为|OF|c(c 2)=³，则00FQ (x c,y )=- ，)))设椭圆方程为22x y a b +=222594a4b í+=ïî所以，椭圆方程为x y106+=MQ 2-)2-Q(,0)3)(x,)22-22(k 2)k -，2(,)k k-2(x )k k k-=--2k=+2E(k+的距离等于3|2221212(x x )(y y )=-+-＝22241k 1k k -×+，所以，422231k 21k k |k |-=+，解得：3k 2=±，011x 3= . 15．解：（1）∵a b y c x c F M M 21,),0,(=-=-则，∴acb k OM 2-= . ∵AB OM a b k AB与,-=是共线向量，∴a bac b -=-2，∴b=c,故22=e . （2）设1122121212,,,2,2,FQ r F Q r F QF r r a F F c q ==Ð=\+==22222221212122121212124()24cos 11022()2r r c r r r r c a a r r r r r r r r q +-+--===-³-=+ 当且仅当21r r =时，cos θ=0，∴θ]2,0[pÎ . 16．解：（Ⅰ）记P （x,y ），由M （-1，0）N （1，0）得）得(1,),PM MP x y =-=--- ),1(y x NP PN ---=-=， )0,2(=-=NM MN . 所以所以 )1(2x MN MP +=× . 122-+=×y x PN PM ， )1(2x NP NM -=× . 于是，于是， NP NM PN PM MN MP ×××,,是公差小于零的等差数列等价于是公差小于零的等差数列等价于îîïíì<+---++=-+0)1(2)1(2)]1(2)1(2[21122x x x x y x 即 îíì>=+0322x y x . 所以，点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆. （Ⅱ）点P 的坐标为),(00y x 。

解析几何题型及解题方法总结

解析几何题型及解题方法总结
几何是小学、中学数学的基础内容，对理解和掌握数学有着重要的作用，而解析几何就是从图形出发，把它们构成的性质表示出来。

随着数学应用范围的不断扩大，解析几何也变得越来越重要。

一般来说，解析几何题型包括：直线、线段、圆、三角形、椭圆、正方形等。

在解析这些几何题型时，有一些总体的解题思路与解题方法。

首先，把问题翻译成几何模型，也是解题的第一步。

其次，通过绘图的方法，让图形的性质更加清晰，即确定结构。

最后，运用相关的几何知识、定理，进行计算、判断和证明。

举例来说，解决一道给定两线段判断是否相交的问题，可以这样做：首先，用两个不同的色彩表示这两条线段，绘出它们的图形；其次，利用类似两线段角平分线定理的几何原理，计算出两线段的角平分线，判断它们是否相交。

此外，解决解析几何问题还需要熟练掌握和推导各种常见的几何定理，如勾股定理、等腰三角形定理、角平分线定理等，并且应该能够根据情况，判断出此类定理的使用范围。

另外，还要深入理解几何中角度、边长之间的各种关系：一条线段所围成的角的几何关系，一个三角形的边长与其垂直边、对边角的几何关系，一个椭圆的边长与其顶点角的几何关系等。

最后，解析几何中突出的一般性知识，：平行线、垂直线、对称中心、交点、垂足等，也要熟练掌握，这样方便在解决具体问题时正
确使用正确的几何知识。

高考解析几何题型归纳总结

高考解析几何题型归纳总结随着高考的逼近，几何题成为了考生备考中不可忽视的一部分。

几何题在高考中占据了相当大的比重，解析几何题更是考生普遍认为难度较高的题型之一。

为了帮助考生更好地备考解析几何题，本文将对高考解析几何题型进行归纳总结，从而帮助考生更好地应对高考几何题。

1. 二维几何题目二维几何题目主要涉及平面图形的性质、面积、周长以及平行线、垂直线的性质等。

在解答二维几何题目时，考生应注意以下几个方面：(1) 论证步骤的完整性：解答二维几何题目时，应充分体现论证的完整性，即从已知条件出发，一步一步进行推导，最终得出结论。

(2) 图形的准确画法：在画图时应确保图形的准确性，边长、角度等应与给定条件一致，以避免答案误差。

(3) 重点关注特殊性质：几何题中常涉及到平行线、垂直线以及等边等特殊性质，考生应注意识别和运用这些特殊性质来解答题目。

2. 三角形相关题目三角形相关的题目主要涉及三角形的面积、周长、角度等性质。

在解答三角形题目时，考生应注意以下几个方面：(1) 利用相似三角形性质：在解答三角形的题目时，经常会用到相似三角形的性质。

考生应注意观察题目中是否存在相似三角形，以便能够灵活地运用相似三角形性质来解题。

(2) 角度关系的应用：三角形中的角度关系常常是解题的关键，考生应深入理解角的概念，并能够巧妙利用角度关系解答题目。

(3) 三角形的分类：根据不同的三角形分类，可以利用其特定性质解答题目。

例如，等边三角形具有所有边相等的性质，而等腰三角形具有两边相等的性质。

考生应注意灵活运用不同种类三角形的性质。

3. 圆相关题目圆相关的题目主要涉及圆的性质、弧长、面积等。

在解答圆相关题目时，考生应注意以下几个方面：(1) 圆的性质的应用：圆的性质是解答圆相关题目的基础，考生应深刻理解圆的定义、圆心角、弧长等基本概念，并能够合理运用这些性质。

(2) 弧长和扇形面积的计算：在解答涉及弧长和扇形面积的题目时，考生应熟记相应的计算公式，并注意计算过程中的单位换算。

《解析几何》知识点总结：第1章-向量代数

第一章向量代数一、向量及其线性运算1.向量及其表示（1）向量：有大小和方向的量。

（2）表示：AB ，A 为向量的起点，B 为向量的重点。

（3）向量的模：||AB 。

（4）向径（半径向量/定位向量）：称为P 的向径，简记为P 。

（5）单位向量：模为1，记为|a |aa o =。

（6）零向量：模为0，任意方向，与任何向量共线。

（7）自由向量：可自由平行移动。

（8）相等（相反）：大小相等，方向相同（相反）。

（9）共线（平行）：平行移动到同一始点，在一条直线上；共面。

（10）共面：平行移动到同一始点，在一个平面上。

2.向量的加法和减法（1）加法：①三角/多边形法则（定义1.1）：首尾相连，第一个向量起点到最后一个向量终点；②平行四边形法则（定义1.2）：首首相连，平行四边形过起点的对角线；③三角/多边形不等式：|a 1+a 2+…+a n |≤|a 1|+|a 2|+…+|a n |。

（2）减法：三角形法则（定义1.3）：首首相连，OA OB AB -=。

3.向量的数乘（1）定义1.4：实数λ与向量a 的乘积是一个向量，记为λa。

|λa|=|λ||a|，方向取决于λ。

4.运算律（图形法证明）①交换律：a ±b =b ±a②结合律：（a ±b ）±c =a ±（b ±c ）；λ（μa ）=（λμ）a③分配律：（λ+μ）a =λa +μa ；λ（a +b ）=λa +λb5.共线及共面向量的判定（1）定理1.1：向量b 与非零向量a 共线⟺∃λ∈R ，使b=λa ；推论1.1：两个向量a ，b 共线⟺∃λ，μ∈R ，且λ，μ不同时为0，使λa +μb =0。

（2）定理1.2：若a ，b 不共线，向量c 与a ，b 共面⟺∃λ，μ∈R ，使c =λa +μb ；推论1.2：三个向量a ，b ，c 共面⟺∃λ，μ，φ∈R ，使λa +μb+φc =0。

高考解析几何大题题型归纳

高考解析几何大题题型归纳高考解析几何大题题型归纳一、三角形的性质与判定在高中数学中，三角形是一个重要的图形。

学生在高考中常常会遇到与三角形性质与判定相关的大题。

在这一题型中，常见的题目包括用三角形的边长、角度或者特殊性质来判断三角形的形状、大小或者其他性质。

二、直线与线段的相交问题直线和线段是解析几何题目中常见的图形。

学生在高考中常常会遇到关于直线和线段相交问题的大题。

在这一题型中，学生需要根据已知条件求解未知的角度、线段长度或者其他相关问题。

三、圆的性质与判定圆是解析几何题目中一个重要的图形。

学生在高考中经常会遇到与圆的性质与判定相关的大题。

在这一题型中，学生需要利用已知条件来判断圆的位置，或者通过已知条件求解未知物品与圆的关系。

四、平行线与垂直线的判定平行线与垂线也是高考解析几何题目中常见的考点。

在这一题型中，学生需要利用已知条件来判定两条线是否平行或者垂直，或者根据已知条件求解未知的线段长度或者角度。

五、多边形的性质与判定在解析几何题中，多边形也是一个重要的图形。

学生在高考中常常会遇到与多边形的性质与判定相关的大题。

在这一题型中，学生需要利用已知条件来判断多边形的形状、大小或者其他性质，或者求解未知的角度或者线段长度。

六、空间几何问题空间几何问题在高考中也是一个重要的考点。

在这一题型中，学生需要利用已知条件来求解空间中的角度、线段长度或者其他相关问题。

这类题目常常需要学生运用立体几何知识和空间想像力来进行推理和求解。

七、向量的应用在解析几何题目中，向量是一个重要的工具。

学生在高考中常常会遇到与向量的应用相关的大题。

在这一题型中，学生需要利用向量的性质来求解角度、线段长度或者其他相关问题。

总结：解析几何题目涉及到的题型很多，常见的包括三角形的性质与判定、直线与线段相交问题、圆的性质与判定、平行线与垂直线的判定、多边形的性质与判定、空间几何问题以及向量的应用等。

针对这些题型，学生在备考中应该重点复习相关知识，并且多进行一些练习题，以加深对题型的理解和应用能力。

2024高考数学解析几何知识点总结与题型分析

2024高考数学解析几何知识点总结与题型分析随着时间的推移，我们离2024年的高考越来越近。

数学作为高考的一门重要科目，解析几何是其中的一个重点内容。

为了帮助同学们更好地复习解析几何，并在高考中取得好成绩，本文将对2024高考数学解析几何的知识点进行总结与题型分析。

1. 直线与平面1.1 直线的方程直线的一般方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数。

根据直线的特点，我们可以将其方程转化为其他形式，如点斜式、两点式、截距式等，以便于解题。

1.2 平面的方程平面的一般方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C、D为常数。

类似于直线的情况，根据平面的性质，我们可以将其方程转化为点法式、截距式等形式。

2. 空间几何体2.1 球球是解析几何中的一个重要概念。

其方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2，其中(a, b, c)为球心坐标，r为半径长度。

2.2 圆锥曲线圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。

通过对几何体的方程进行适当的变化，可以得到不同类型的圆锥曲线方程。

掌握其特点和方程形式，对于解析几何的学习非常重要。

3. 空间几何关系3.1 直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系包括相交、平行、重合等情况。

根据两条直线的方程，我们可以通过求解方程组或直线的斜率等方式，判断它们之间的空间位置关系。

3.2 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系包括相交、平行、重合等情况。

根据直线的方程和平面的方程，我们可以通过代入求解或者检验点的方法，判断它们之间的位置关系。

4. 解析几何的常见题型4.1 直线与平面的交点求解给定直线和平面的方程，我们需要求解它们的交点。

通过将直线方程代入平面方程中，可以得到关于未知变量的方程组，进而求解出交点的具体坐标。

4.2 距离计算在解析几何中，我们常常需要计算点、直线或平面之间的距离。

对于给定的两点，我们可以利用距离公式进行计算；对于直线和平面，我们可以利用点到直线/平面的距离公式进行计算。

文科高考数学重难点04 解析几何(解析版)

重难点04 解析几何【命题趋势】解析几何一直是高考数学中的计算量代名词，在高考中所占的比例一直是2+1+1模式.即两道选择，一道填空，一道解答题.高考中选择部分，一道圆锥曲线相关的简单概念以及简单性质，另外一道是圆锥曲线的性质会与直线、圆等结合考查一道综合题目，一般难度诶中等.填空题目也是综合题目，难度中等.大题部分一般是以椭圆抛物线性质为主，加之直线与圆的相关性子相结合，常见题型为定值、定点、对应变量的取值范围问题、面积问题等.双曲线一般不出现在解答题中，一般出现在小题中.即复习解答题时也应是以椭圆、抛物线为主.本专题主要通过对高考中解析几何的知识点的统计，整理了高考中常见的解析几何的题型进行详细的分析与总结，通过本专题的学习，能够掌握高考中解析几何出题的脉略，从而能够对于高考中这一重难点有一个比较详细的认知，对于解析几何的题目的做法能够有一定的理解与应用.【满分技巧】定值问题：采用逆推方法，先计算出结果.即一般会求直线过定点，或者是其他曲线过定点.对于此类题目一般采用特殊点求出两组直线，或者是曲线然后求出两组直线或者是曲线的交点即是所要求的的定点.算出结果以后，再去写出一般情况下的步骤.定值问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.先求结果一般会也是采用满足条件的特殊点进行带入求值（最好是原点或是（1，0）此类的点）.所得答案即是要求的定值.然后再利用答案，写出一般情况下的过程即可.注：过程中比较复杂的解答过程可以不求，因为已经知道答案，直接往答案上凑即可.关于取值范围问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.对于答案的求解，一般利用边界点进行求解，答案即是在边界点范围内.知道答案以后再写出一般情况下的步骤比较好写.一般情况下的步骤对于复杂的计算可以不算.方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：a c（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；a c e（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.【考查题型】选择，填空，解答题【限时检测】（建议用时：45分钟）一、单选题一、单选题1．（2020·贵州贵阳一中高三月考（文））已知圆C ：(x +3)2+(y +4)2=4上一动点B ，则点B 到直线l :3x +4y +5=0的距离的最小值为（）A ．6B ．4C ．2D．【答案】C【分析】因为圆心到直线的距离，Cl 4d ==所以最小值为，422-=故选：C ．2．（2020·河南开封市·高三一模（文））已知双曲线的离心率与椭圆221(0)x y m m -=>的离心率互为倒数，则该双曲线的渐近线方程为（）2213x y m m +=A ．B ．C ．D．y =y x =y x =y =【答案】B【分析】双曲线的离心率为221(0)x y m m -=>e =在椭圆中，由于，则，所以焦点在轴上2213x y m m +=0m >30m m >>y 所以椭圆的离心率为2213x y m m +=e =解得：1=2m =所以双曲线的渐近线方程为：2212x y -=y x =±故选：B3．（2020·四川成都市·高三一模（文））已知平行于轴的一条直线与双曲线x 相交于，两点，，（为坐标原()222210,0x y a b a b -=>>P Q 4PQ a=π3PQO ∠=O点），则该双曲线的离心率为（）．A BC D【答案】D【分析】如图，由题可知，是等边三角形，POQ △，，4PQ a =()2,P a ∴将点P 代入双曲线可得，可得，22224121a a a b -=224b a =离心率.∴c e a ===故选：D.4．（2020·河南周口市·高三月考（文））已知直线：与圆：l 340x y m -+=C 有公共点，则实数的取值范围为（）226430x y x y +-+-=m A ．B ．C ．D ．()3,37[]37,3-[]3,4[]4,4-【答案】B 【分析】因为圆的标准方程为，C ()()223216x y -++=所以，半径，()3,2C -4r =所以点到直线C :340l x y m -+=根据题意可知，解得.1745m+≤373m -≤≤故选：B5．（2020·全国福建省漳州市教师进修学校高三三模（文））已知直线:210l kx y k --+=与椭圆交于A 、B 两点，与圆交于C 、D22122:1(0)x y C a b a b +=>>222:(2)(1)1C x y -+-=两点.若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（）[2,1]k ∈--AC DB =1CA ．B ．C ．D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭⎛ ⎝⎫⎪⎪⎭【答案】C【分析】直线，即为，可得直线恒过定点，:210l kx y k --+=(2)10k x y -+-=(2,1)圆的圆心为，半径为1，且，为直径的端点，222:(2)(1)1C x y -+-=(2,1)C D 由，可得的中点为，AC DB =AB (2,1)设，，，，1(A x 1)y 2(B x 2)y 则，，2211221x y a b +=2222221x y a b +=两式相减可得，1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=由．，124x x +=122y y +=可得，由，即有，2122122y y b k x x a -==--21k -- (2)2112b a……则椭圆的离心率．(0c e a ==故选：C6．（2020·全国高三其他模拟（文））已知，为的两个顶点，点()1,0A ()3,0B ABC :C在抛物线上，且到焦点的距离为13，则的面积为（）24x y =ABC :A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】A【分析】解:因为点在抛物线上,设，C 24x y =()00,C x y 抛物线的准线方程为，24x y =1y =-根据抛物线的性质,抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.由，得，0113y +=012y =所以.()01131121222ABC S AB y =⨯⋅=⨯-⨯=△故选:A7．（2020·四川成都市·高三一模（文））已知抛物线的焦点为，过的直线24x y =F F l 与抛物线相交于，两点，．若，则（）．A B 70,2P ⎛-⎫ ⎪⎝⎭PB AB ⊥AF =A ．B ．C ．D ．322523【答案】D【分析】由题意可知，，设，，()0,1F 211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭则，，2227,42x PB x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 222,14x BF x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 因为，且，，三点共线，则由可得，PB AB ⊥A B F 0AB PB ⋅= 0BF PB ⋅=所以，即，222222710424x x x ⎛⎫⎛⎫-++-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭422226560x x+-=解得或（舍），所以.222x =2228x =-2x =设直线的方程为，与抛物线方程联立，AB 1y kx =+得，消去得，则，所以.214y kx x y =+⎧⎨=⎩y 2440x kx --=124x x =-1x =±则.21124x y ==所以.12213y F pA =+==+故选：D.8．（2020·四川高三一模（文））已知直线与双曲线：y kx =C ()222210,0x y a b a b -=>>相交于不同的两点，，为双曲线的左焦点，且满足，（A B F C 3AF BF=OA b=为坐标原点），则双曲线的离心率为（）O C AB C ．2D【答案】B【分析】设是右焦点，则，，即，F 'BF AF '=3AF BF=3AF AF '=又，∴，，而，∴22AF AF AF a''-==AF a'=3AF a=,OA b OF c'==，OA AF '⊥由得，AOF AOF π'∠+∠=cos cos 0AOFAOF '∠+∠=∴，整理得．222902b c a b bc c +-+===ce a 故选：B ．9．（2020·河南新乡市·高三一模（文））已知双曲线的左、()2222:10,0x y C a b a b -=>>右焦点分别为、，过原点的右支于点，若1F 2F O C A ，则双曲线的离心率为（）1223F AF π∠=AB 1C D【答案】D 【分析】推导出，可计算出，利用余弦定理求得112F OA F AF :::1F A =2AF =，进而可得出该双曲线的离心率为，即可得解.1212F F e AF AF =-【详解】题可知，，，123F OA π∠=121AF O F AF ∠=∠ 112F OA F AF ∠=∠112F OA F AF ∴:△△，所以，可得.11112F O F AF A F F =1F A =在中，由余弦定理可得，12F AF :22212121222cos3F F AF AF AF AF π=+-⋅即，解得.2220AF c +=2AF=双曲线的离心率为.1212F F e AF AF ===-故选：D.【点睛】10．（2020·全国高三专题练习（文））已知圆，则在轴和轴上22:(2)2C x y ++=x y 的截距相等且与圆相切的直线有几条（）C A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】C【分析】若直线不过原点，其斜率为，设其方程为，1-y x m =-+则，解得或，d 0m =4-当时，直线过原点；0m =若过原点，把代入，()0,0()2200242++=>即原点在圆外，所以过原点有2条切线，综上，一共有3条，故选：C ．二、解答题11．（2020·四川成都市·高三一模（文））已知椭圆的离心率()2222:10x y C a b a b +=>>，且直线与圆相切．1x ya b +=222x y +=（1）求椭圆的方程；C（2）设直线与椭圆相交于不同的两点﹐，为线段的中点，为坐标原l C A B M AB O 点，射线与椭圆相交于点，且，求的面积．OM C P OP OM=ABO :【答案】（1）；（2．22163x y +=【分析】（1，∴（为半焦距）．c a=c∵直线与圆．1x ya b +=222x y +==又∵，∴，．222c b a +=26a =23b =∴椭圆的方程为．C 22163x y +=（2）（ⅰ）当直线的斜率不存在时，l 设直线的方程为．l (x nn =<<∵，∴．OP OM==225n =∴．ABOS ==△（ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线，l ():0l y kx m m =+≠，．()11,A x y ()22,B x y 由，消去，得．22163y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()222214260k x kmx m +++-=∴，即．()()()2222221682138630k m k m k m ∆=-+-=-+>22630k m -+>∴，．122421kmx x k +=-+21222621m x x k -=+∴线段的中点．AB 222,2121kmm M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭当时，∵，∴．0k =OP OM==215m =∴．ABOS =△当时，射线所在的直线方程为．0k ≠OM 12y x k =-由，消去，得，．2212163y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y 2221221P k x k =+22321Py k =+∴M POMy OPy ===∴．经检验满足成立．22521m k =+0∆>设点到直线的距离为，则．O ld d =∴212ABOS x =-===△综上，．ABO :12．（2020·云南高三其他模拟（文））已知椭圆的左右焦点分2222:1(0)x y C a b a b +=>>别为，离心率为，椭圆上的点到点的距离之和等于4.12,F F 12C 31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭12,F F （1）求椭圆的标准方程；C（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，，满足()2,1P l C A B 若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.2PA PB PM ⋅= l 【答案】（1）；（2）存在直线满足条件，其方程为.22143x y +=l 12y x =【分析】解：（1）由题意得，所以.2221224c a a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩21a c b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩故椭圆的标准方程为.C 22143x y +=（2）若存在满足条件的直线，则直线的斜率存在，设其方程为.l l (2)1y k x =-+代入椭圆的方程得.C 222(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--=设，两点的坐标分别为，，A B ()11,x y ()22,x y 所以.所以，222[8(21)]4(34)(16168)32(63)0k k k k k k ∆=---+--=+>12k >-且，.1228(21)34k k x x k -+=+21221616834k k x x k --=+因为，即，2PA PB PM ⋅= 12125(2)(2)(1)(1)4x x y y --+--=所以.2212(2)(2)(1)54x x k PM --+==即.[]2121252()4(1)4x x x x k -+++=所以，222222161688(21)44524(1)3434344k k k k k k k k k ⎡⎤---+-⋅++==⎢⎥+++⎣⎦解得.12k =±又因为，所以.12k >-12k =所以存在直线满足条件，其方程为.l 12y x =13．（2020·广西北海市·高三一模（文））已知抛物线的准线为2:2(0)C x py p =>，焦点为F .1y =-（1）求抛物线C 的方程；（2）设过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且抛物线在A ，B 两点处的切线分别交x 轴于P ，Q 两点，求的最小值.||||AP BQ ⋅【答案】（1）；（2）2.24x y =【分析】（1）因为抛物线的准线为，12py =-=-解得，2p =所以抛物线的方程为.24x y =（2）由已知可判断直线l 的斜率存在，设斜率为k ，由（1）得，则直线l 的方程为.(0,1)F 1y kx =+设，，211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭由消去y ，得，214y kx x y =+⎧⎨=⎩2440x kx --=所以，.124x x k +=124x x =-因为抛物线C 也是函数的图象，且，214y x =12y x '=所以直线PA 的方程为.()2111142x y x x x -=-令，解得，所以，0y =112x x =11,02P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭从而||AP =同理得||BQ =所以，||||AP BQ ⋅==，=，==当时，取得最小值2.0k =||||AP BQ ⋅14．（2020·广东东莞市·高三其他模拟（文））在平面直角坐标系中，已知两定点xOy，，动点满足.()2,2A -()0,2B P PAPB=（1）求动点的轨迹的方程；P C （2）轨迹上有两点，，它们关于直线：对称，且满足C E F l 40kx y +-=，求的面积.4OE OF ⋅=OEF ∆【答案】（1）动点的轨迹是圆，其方程为（2）P ()()22228x y -+-=【分析】（1）设动点的坐标为，则.P (),xyPAPB==整理得，故动点的轨迹是圆，且方程为.()()22228x y -+-=P ()()22228x y -+-=（2）由（1）知动点的轨迹是圆心为，半径的圆，圆上两点，关P ()2,2C R =E F 于直线对称，由垂径定理可得圆心在直线：上，代入并求得l ()2,2l 40kx y +-=1k =，故直线的方程为.l 40x y +-=易知垂直于直线，且.OC l OC R=设的中点为，则EF M ()()OE OF OM ME OM MF⋅=+⋅+()()OM ME OM ME=+⋅- ，又，.224OM ME =-= 22222OM OC CM R CM =+=+ 222ME R CM =-∴，，∴，.224CM = CM =ME==2FE ME == 易知，故到的距离等于，∴OC FE :O FE CM 12OEF S ∆=⨯=15．（2020·全国高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆xOy 的长轴长为6，且经过点，为左顶点，为下顶点，椭22221(0)x y a b a b +=>>3(2Q A B 圆上的点在第一象限，交轴于点，交轴于点.P PA y C PB x D （1）求椭圆的标准方程（2）若，求线段的长20OB OC +=PA （3）试问：四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由ABCD 【答案】（1）；（2；（3）是定值，6.22194x y +=【分析】（1）解：由题意得，解得.26a =3a =把点的坐标代入椭圆C 的方程，得Q 22221x y a b +=229314ab +=由于，解得3a =2b =所以所求的椭圆的标准方程为.22194x y +=（2）解：因为，则得，即，20OB OC += 1(0,1)2OC OB =-=(0,1)C 又因为，所以直线的方程为.(3,0)A -AP 1(3)3y x =+由解得(舍去)或，即得221(3)3194y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩30x y =-⎧⎨=⎩27152415x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2724,1515P ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以||AP ==即线段AP （3）由题意知，直线的斜率存在，可设直线.PB 2:23PB y kx k ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭令，得，0y =2,0D k ⎛⎫⎪⎝⎭由得，解得(舍去)或222194y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩()2249360k x kx +-=0x =23649kx k =+所以，即2218849k y k -=+22236188,4949k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭于是直线的方程为，即AP 22218849(3)36314k k y x k k -+=⨯+++2(32)(3)3(32)k y x k -=++令，得，即，0x =2(32)32k y k -=+2(32)0,32k C k -⎛⎫ ⎪+⎝⎭所以四边形的面积等于ABDC 1||||2AD BC ⨯⨯122(32)13212326232232k k k k k k k -+⎛⎫⎛⎫=+⋅+=⋅⋅= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭即四边形的面积为定值.ABDC 16．（2020·江西南昌市·南昌二中高三其他模拟（文））已知抛物线的()220y px p =->焦点为，轴上方的点在抛物线上，且，直线与抛物线交于，F x ()2,M m -52MF =l A 两点（点，与不重合），设直线，的斜率分别为，.B A B M MA MB 1k 2k （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当时，求证：直线恒过定点并求出该定点的坐标.122k k +=-l 【答案】（Ⅰ）；22y x =-（Ⅱ）见解析.（Ⅰ）由抛物线的定义可以，5(2)22p MF =--=,抛物线的方程为.1p ∴=22y x =-（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，点的坐标为M (2,2)-当直线斜率不存在时，此时重合，舍去. l ,A B 当直线斜率存在时，设直线的方程为l l y kx b=+设，将直线与抛物线联立得：()()1122,,,A x y B x y l 2222(22)02y kx bk x kb x b y x=+⎧+++=⎨=-⎩212122222,kb b x x x x k k --+==①又，12121222222y y k k x x --+=+=-++即，()()()()()()1221122222222kx b x kx b x x x +-+++-+=-++，()()()()12121212121222248248kx x k x x b x x x x b x x x x ++++-++-=--+-，()1212(2+2)(2+2)40k x x k b x x b ++++=将①代入得，222(1)0b b k b ---+=即(1)(22)0b b k +--=得或1b =-22b k =+当时，直线为，此时直线恒过;1b =-l 1y kx =-(0,1)-当时，直线为，此时直线恒过（舍去）22b k =+l 22(2)2y kx k k x =++=++(2,2)-所以直线恒过定点.l (0,1)-。

解析几何中的隐圆问题

解析几何中的隐圆问题在直线与圆的综合考查中，有时题设条件并没有直接给出相关圆的信息，而是隐含在题目中，要通过分析和转化，发现圆的方程或圆的定义，从而可以利用圆的知识来求解，这类问题常被称为“隐圆”问题．此类问题在高考中出现的频率比较高，通过对以往考题的分析与研究，可以总结为如下的几种题型．1．利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）可确定隐圆题目中若已知到定点的距离等于定长或者能求出到定点的距离为定常数，则可以得到点的轨迹为圆．例1 已知圆22:1O x y +=，圆22:()(4)1M x a y a −+−+=．若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得60APB ∠=︒，则实数a 的取值范围为________．解由题意得，圆心()4M a a −，在直线40x y −−=上运动，则动圆M 是圆心在直线40x y −−=上，半径为1的圆．又因为圆M 上存在点P ，使经过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使60APB ∠=︒，所以2OP =，即点P 也在224x y +=上，记为圆E ，则圆E 与圆O 一定有公共点．于是2121−≤+，即13≤≤，所以实数a 的取值范围是22⎡⎢⎣⎦． 2．利用圆的性质（动点到两定点的夹角为直角）可确定隐圆题目中若动点到两定点的夹角为直角，则可以得到点的轨迹为圆．例2 在平面直角坐标系xOy 中，直线1:20l kx y −+=与直线2:20l x ky +−=相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线40x y −−=的距离的最大值为_______．解法1 直线12l l ，分别经过定点()()0220A B ，，，，且12l l ⊥，所以点P 在以AB 为直径的圆C 上．则圆C 的圆心为()11C ，，半径r =因为圆心C 到直线:40l x y −−=的距离为d =所以，点P 到直线l的距离的最大值为d r +=．解法2 当0k =时，点()22P ，到直线40x y −−=的距离为当0k ≠时，解方程组2020kx y x ky −+=⎧⎨+−=⎩，，得两直线交点P 的坐标为22222211k k k k −+⎛⎫⎪++⎝⎭，，所以，点P 到直线40x y −−==，显然当k 为正数时取得最大值，则有211112k k k k=≤++，34⨯≤= 综上可知，点P 到直线l的距离的最大值为d r += 3．已知两定点A ，B ，动点P 满足⋅PA PB 为定值可确定隐圆已知两定点A ，B ，动点P 满足PA PB ⋅为定值的轨迹为圆．例3 已知点()()1010A B −，，，，若圆22(1)(2)1x a y a −++−−=上存在点M 满足3MA MB ⋅=，则实数a 的取值范围是________．解设()M x y ，，因为3MA MB ⋅=所以()()113x y x y −−−⋅−−=，，，即224x y +=，表示圆．又因为点M 在圆22(1)(2)1x a y a −++−−=上，所以两圆必有交点，2112−+，即27(21)9a −≤+≤，解得21a −≤≤．4．已知两定点A ，B ，动点P 满足22+PA PB 为定值可确定隐圆已知两定点A ，B ，动点P 满足22PA PB +为定值的轨迹是圆．例4 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:40C x y x +−=及点()()1012A B −，，，．在圆C 上是否存在点P ，使得2212PA PB +=？若存在，求点P 的个数，若不存在，说明理由．解圆C 的标准方程为22(2)4x y −+=，所以圆心()20C ，，半径为2．假设圆C 上存在点P ，设()P x y ，，则22(2)4x y −+=，又222222(1)(0)(1)(2)12PA PB x y x y +=++−+−+−=，即22(1)4x y +−=，是圆心为()01，，半径为2的圆．因为2222−<+，所以圆22(2)4x y −+=与圆22(1)4x y +−=相交，所以点P 的个数为2．5．给定两定点A ，B ，动点P 满足(01)=>≠，AP λBP λλ的关系可确定隐圆若给定两定点A ，B ，动点P 满足(01)AP BP λλλ=>≠，的关系，则P 点的轨迹为隐圆，我们称为阿波罗尼斯圆．例5 已知O 为原点，()()2010A B −，，，，若MA =，则MB 的最大值为_______．解设()M x y ，，由MA =，得()2222(2)2x y x y −+=+，即22(2)8x y ++=，记为圆C ．所以M 的轨迹的圆心为()20C −，，半径为又1BC =，所以1max MB BC r =+=+6．利用轨迹法确定圆所谓轨迹法就是通过设点，根据题目中所给的条件得到轨迹方程．常见求轨迹的方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法．例6 在平面直角坐标系xOy 中，已知点()()1050A B −，，，，若圆22:(4)()4M x y m −+−=上存在唯一点P ，使得直线PA PB ，在y 轴上的截距之积为5，则实数m 的值为________．解设点()00P x y ，，则直线PA 方程为()0011y y x x =++，它在y 轴上的截距为001y x +，同理PB 在y 轴上的截距为0055y x −−，由截距之积为5，得00005551y y x x −⋅=−+，化简得()220029x y −+=，又()()1050A B −，，，满足()220029x y −+=，所以点P 的轨迹是以()20，为圆心，半径为3的圆．由题意P 的轨迹应与圆M 恰有一个适合题意的点，则：①若A ，B 不在圆M5=，解得m =1=，m 无解；②若A 或B 在圆M 上，把点A 代入圆M 可知不合题意，把点B 代入圆M ，解得m =经检验也成立．综上可知，m =m =例7 若实数x 、y满足x −=x 的取值范围是________．解析：令a b ==0a ≥，0b ≥．则()22x y x y a b =+−=+．方程x −=可化为2242a b a b +−=，即()22(2)(1)500a b a b −+−=≥≥，，如图1，在aOb 平面内，点()a b ，的轨迹是以()21C ，00a b ≥≥，的部分，即圆弧ADB 与原点O 的并集，其中，A 、B 分别为圆弧ADB 与x 轴、y 轴的交点，又因为222x a b =+=的几何意义是点()a b ，与原点O 两点的距离的平方．易知{}20⎡⎣，所以22x a b =+的取值范围是[]{}4200，．例8 函数y =________．解析：设函数()f x =，令y =()M x y ，位于一个单位圆x 轴的上半部分，如图3所示．将函数()f x =改写为()()02y f x x −=−−，它表示定点()20A −，与点()M x y ，所连直线MA 的斜率．直线MA 与上半单位圆相切时，在直角三角形MOA 中，1230MO OA MAO ==∠=︒，，，所以30MA k tan =︒=．又0AO k =，所以()0f x ⎡∈⎢⎣⎦．即函数2y x =+的值域为0⎡⎢⎣⎦．7. 当两个定点到某直线的距离分别确定时的隐圆.例9 若点()10A ，和点()40B ，到直线的距离依次为1和2，则这样的直线有______条．解析：如图1，分别以A ，B 为圆心，1，2为半径作圆依题意知，直线l 是圆A 的切线，A 到l 的距离为1，直线l 也是圆B 的切线，B 到l 的距离为2，所以直线l 是两圆的公切线，共3条（2条外公切线，1条内公切线）．故满足题意的直线有3条．评注：本题已知条件中虽然没有直接出现圆，但由题意并数形结合，把原问题转化为直线与圆、圆与圆的位置关系问题．8. “四点共圆”模型我们知道判定某一四边形有外接圆的常见方法有两个，一种方法是四边形的一组对角互补，另一方法是某一边分别与其对边的两个端点构成的角大小相等，根据圆的内接四边形的这两个性质，若题中出现的向量可以构造出四边形且符合这两种情况，则构造四点共圆．例10 向量m ，n ，p 满足：2m n ==，2m n ⋅=−，()()12m p n p m p n p −⋅−=⋅−⨯−，则p最大值为（）A ．2BC ．1D ．4解析因为2m n ==及2m n ⋅=−，所以m ，n 的夹角为120︒．因为()()12m p n p m p n p −⋅−=−⨯−，所以m p −与n p −的夹角为60︒．设OA m OB n OC p ===，，，则m p CA n p CB −=−=，，于是12060AOB ACB ∠=︒∠=︒，．发现180AOB ACB ∠+∠=︒，且2AOB ACB ∠=∠，故构造如图4、图5两个圆，易知两圆半径长均为2，点C 均在优弧AB 上，结合圆的性质知[]24OC ∈，，所以p 的最大值为4．同步练习1．在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆C ：（x ＋4）2＋（y －a ）2＝16上的两个动点，且AB ＝，若直线l ：y ＝2x 上存在唯一的一个点P ，使得PA PB OC +=，则实数a 的值为．【答案】2或－18【解析】由“圆C 的弦AB 长度为定值AB ＝”知，弦AB 的中点M 的轨迹是以点C 为圆心的圆，由“PA PB OC +=”得2PM OC =，可求得动点P 的轨迹也在圆上，此时直线l 上存在唯一的一个点P 符合要求，故直线l 和动点P 的轨迹（圆）相切．【详解】设AB 的中点为M （x 0，y 0），P （x ，y ），则由AB ＝CM =即点M 的轨迹为（x 0＋4）2＋（y 0－a ）2＝5.又因为PA PB OC +=，所以1,(4,)2PM OC C a =−，即（x 0－x ，y 0－y ）＝(2,)2a −，从而0022x x a y y =−⎧⎪⎨=+⎪⎩，则动点P 的轨迹方程为22(2)()52a x y ++−=，又因为直线l 上存在唯一的一个点P ，所以直线l 和动点Pa ＝2或a ＝－18.故答案为：2或－18【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，结合弦长分析点M 的轨迹，转化成直线与圆相切，充分体现了转化与化归思想.2．在平面直角坐标系xOy 中，直线1:20l kx y −+=与直线2:k 20l x y +−=相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线40x y −−=的距离的最大值为 .【答案】【详解】由题意得，直线1:20l kx y −+=的斜率为k ，且经过点(0,2)A ,直线2:20l x ky +−=的斜率为1k−，且经过点(2,0)B ，且直线12l l ⊥所以点P 落在以AB 为直径的圆C 上，其中圆心坐标(1,1)C，半径为r = 则圆心到直线40x y −−=的距离为d ==所以点P 到直线40x y −−=的最大距离为d r +=3．已知平面上两定点A 、B ，且2AB =，动点P 满足(0)PA PB λλ⋅=<，若点P 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，则负数λ的最大值为．【答案】34−##-0.75【分析】利用解析方法，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，得到动点P 点的轨迹方程221x y λ+=+，分1λ=−和10λ−<<两种情况讨论，当10λ−<<时，利用两圆的位置关系得到关于λ的不等式，进而求解得到λ的取值范围. 【详解】以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则()()1010A B −，，，．设()P x y ，，且动点P 满足PA PB λ⋅=，即()()11x y x y λ−−−⋅−−=，，，则221x y λ+=+，当1λ=−时，满足题意；当10λ−<<时，点P 为半径的圆上，同时点P 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，即圆221(10)x y λλ+=+−<<与圆221(1)4x y −+=相离或外切内切或内含，112≤112≥，解得314λ−<≤−或54λ≥（舍去），所以负数λ的最大值为34−．故答案为：34−.4．函数()f a =的最大值为．【答案】2x y ==，则22100x y x y +=≥≥，，，原问题可化为在条件22100x y x y ⎧+=⎨≥≥⎩，下，求z x =的最大值问题，利用线性规划思想求得最大值.x y ==，则22100x y x y +=≥≥，，， ()f a x ==．原问题可化为在条件22100x y x y ⎧+=⎨≥≥⎩，下，求z x =的最大值问题.将目标函数化为33y x z =−+，其图象是一条与3y x =−平行的直线．当直线y =与圆弧相切时，z 取最大值，此时，由圆心到直线的距离等于半径，易知12z =，得2z =（舍去负值），所以函数()f a 的最大值为2．故答案为：2.5．在平面直角坐标系xOy 中，点()03A ，，直线:24l y x =−，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，若圆C 上存在点M ，使2=MA MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．【答案】1205⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【分析】设(,)M x y ，由2=MA MO 得出M 点的轨迹方程，轨迹是圆，由此圆与圆C 有公共点可得．【详解】因为圆心C 在直线:24l y x =−．可设圆心()24C a a −，，则圆C 的方程为()22()[24]1x a y a −+−−=．设()M x y ，，由2=MA MO 化简整理得22(1)4x y ++=，所以点M 在以()01D −，为圆心，2为半径的圆上，由题意得点M 也在圆C 上，所以圆D 和圆C 有公共部分，即 2121CD −≤≤+，13≤≤，解得1205a ≤≤，故圆心C 的横坐标a 的取值范围1205⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知,B C 为圆224x y +=上两点，点(1,1)A ，且AB AC ⊥，则线段BC 的长的取值范围是．【答案】【分析】设BC 的中点为M ，由已知2BC AM =，因此可设(,)M x y ，求出M 点的轨迹方程知M 点轨迹是圆，从而易得AM 的取值范围．【详解】设BC 的中点为(,)M x y ，因为222OB OM BM =+22OM AM =+，所以22224(1)(1)x y x y =++−+−，化简得22113()()222x y −+−=，即点M 的轨迹是以11(,)22所以AM 的取值范围是[]22，从而BC 的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题考查动点的轨迹的求法以及点与圆的位置关系中的最值问题，对于圆中的弦长问题，注意通过弦心距进行转化，本题属于中档题.7．设x y ∈R 、，则22(1cos )(1sin )P x y x y =+−+−+的最小值是．【答案】3−【分析】22(1cos )(1sin )P x y x y =+−+−+的几何意义为点()11A x x +−，与点()cos sin B y y −，之间的距离的平方．利用参数方程思想分别考察,A B 的轨迹，得到在直角坐标系aOb 中，点A 在直线20a b −−=上，点B 在半径1R =的圆22:1O a b +=上．利用点到直线的距离公式和圆的性质求得min ||AB ，然后平方即得所求.【详解】22(1cos )(1sin )P x y x y =+−+−+的几何意义为点()11A x x +−，与点()cos sin B y y −，之间的距离的平方．设11a xb x =+⎧⎨=−⎩，则点A 在直线20a b −−=上；设cos sin a y b y=⎧⎨=−⎩，则点B 在半径1R =的圆22:1O a b +=上．如图，在直角坐标系aOb 中，圆心O 到直线20a b −−=的距离d ==则min ||1AB d R =−=．所以P 的最小值为21)3=−．故答案为：3−.8．已知向量a ，b ，c 为平面向量，21a b a b ==⋅=，且c 使得2c a −与−c b 所成夹角为60，则c 的最大值为（）A 1BC ．1D 1【答案】A【分析】先根据已知条件求出向量a ，b 的夹角，建立平面直角坐标系，设122A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()10B ,，设OA a =，OB b =，2OA a '=，根据线性运算可得2c A C a '=−，c b BC −=，60ACB ∠=，结合正弦定理可求出点C 的轨迹，当,,C M O 三点共线时取得最大值，即可求解. 【详解】因为21a b a b ==⋅=，所以2cos 1a b a b ⋅⋅=，可得1cos 2a b ⋅=，因为0180a b ≤⋅≤，所以60a b ⋅=，如图所示：在平面直角坐标系中，122A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()10B ,，不妨设OA a =，OB b =，延长OA 到OA '使得OA AA '=，则2OA a '=，点C 为平面直角坐标系中的点，OC c =，则2c A C a '=−，c b BC −=，则满足题意时，60ACB ∠=，结合点A '，B 为定点，且A B '= 由正弦定理可得：2sin 60A B R '=，可得1R =，则点C 的轨迹是以322M ⎛ ⎝⎭为圆心，1为半径的优弧上，当,,C M O 三点共线，即点C 位于图中点I 位置时，c 取得最大值，其最大值为11OM R +=，故选：A.9．若2,AB AC =，则ABC S ∆的最大值是 .【答案】【详解】设，则，根据面积公式得，①根据余弦定理得，，将其代入①式得，，由三角形三边关系有，解得，故当时，取得最大值考点：解三角形点评：主要是考查了三角形的面积公式的运用，属于基础题.。

高中数学解析几何答题全攻略

高中数学解析几何答题全攻略解析几何由于形式复杂多样，一直是难于解决的问题，很多同学对于解析几何的把握还差很多，很多同学对此知识点提出了相应的问题。

对此清华附中数学老师有针对性的回答了同学们的共性问题。

下面是对本次答疑情况的汇总，希望对大家学习数学尤其是解析几何部分有所帮助。

1考试时间分配问题1：老师我怎么这么短时间内做几道题通解一类题目呢？解析几何也有不少类型题老师：理解的基础上去做，不要单纯的套公式，做题一定要保证真的会了，而不是只追求数量。

如果感觉自己的水平没有提高，那么问问自己错题有没有好好整理，有没有盖住答案重新做过，再做的时候能不能保证很快的就有思路，之前出过的问题有没有及时得到解决？总之刷题不能埋头死刷，要有总结和反思。

如果都做到了，考试还是没有好成绩，那么看看是不是考试时过于紧张，这个时候心态也很重要！问题2：错题也有很多呀，怎么从错题那里去帮助学习数学呀？都抄几遍和看几遍吗？很多呀！该怎么办呢？老师：对待错题，不要抄也不要只是看，当做新题重新做一遍，有时候一道题我们直接去看答案，总是发现不了问题，我建议把错题的题目直接汇编在一起，不要有答案，每隔一段时间都重新做一下，如果做题的过程很肯定，没有模糊的地方，这道题才可以过。

这个过程比做新题更重要。

问题3：老师我数学只有三四十分马上高考该从哪里开始复习分数会提高呢？老师：简单的题目模块比如复数、集合、线性规划、程序框图、三角函数与解三角形、简单的等差等比数列以及立体几何等，还有导数和圆锥曲线的第一问，找出前几年的高考题，看看都考了哪些简单模块，一个模块练几十道，绝对会有效果的，别放弃，只要努力一定能看到进步！问题4：三视图怎么想也想不出来！有什么好的办法呀！老师！救救我老师：平时见到三视图的题目无论问什么，都是去画他的立体图形，训练自己。

如果考试时真的想不出来了，那么看看能不能判断出这个图形是什么，比如正视图和侧视图都只有一个最高顶点，那么基本可以判断这是一个椎体，如果是求体积的题目，直接底面积乘以高除以3就可以了，但是这个方法不是所有题目都适用。

2024年高考数学平面解析几何的复习方法总结

2024年高考数学平面解析几何的复习方法总结一、复习前的准备1. 了解考纲：仔细阅读高考数学的考纲，明确平面解析几何部分的重点和难点，有针对性地进行复习。

2. 整理知识框架：将平面解析几何的知识点进行整理和归纳，建立知识框架，便于全面复习和查漏补缺。

3. 完善笔记：对之前学过的平面解析几何知识进行复习，逐一检查自己的笔记是否完整，如有漏洞或不理解的地方，及时补充或向同学、老师请教。

4. 制定学习计划：合理分配复习时间，将平面解析几何的复习内容分成小块，按照计划逐一进行复习。

二、基础知识的复习1. 了解基础概念：回顾平面解析几何的基本概念，如点、直线、平面等，并熟悉它们之间的关系和性质。

2. 复习坐标系：重点复习直角坐标系和极坐标系的原理和使用方法，能够熟练转换坐标系和进行坐标计算。

3. 复习向量：回顾向量的定义、运算法则和性质，同时重点理解向量的几何意义和应用。

4. 复习直线与圆的方程：回顾直线的一般方程、斜截式方程和点斜式方程的互相转换，同时复习圆的标准方程和一般方程的建立方法。

三、常见题型的练习1. 直线与圆的方程的联立：熟练掌握直线与圆的方程的联立方法，能够灵活运用，解决实际问题。

2. 直线与圆的位置关系：理解直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的切点、交点等性质，能够准确判断直线与圆的位置关系。

3. 三角形的性质：回顾三角形的基本性质，如三角形的内心、外心、重心、垂心等，并理解它们之间的联系，能够应用这些性质解决三角形相关问题。

4. 镜面对称与旋转：通过练习镜面对称和旋转的题目，理解镜面对称和旋转的概念，并能够快速判断图形的镜面对称性和旋转对称性。

5. 预习未学内容：对于一些未学过的内容（如圆锥曲线、二次函数等），可以进行简单的预习，了解基本概念和性质，为高考后的复习打下基础。

四、真题的训练与模拟考试1. 做高考真题：通过做历年高考真题，了解平面解析几何在高考中的考查点和形式，熟悉解题思路和答题技巧，查漏补缺，增强信心。

解析几何双动点问题题型总结

解析几何双动点问题题型总结
解析几何中的双动点问题是指两个动点在图形中的运动，这类问题涉及的知识点较多，对学生的数学能力要求较高。

以下是一些常见的解析几何双动点问题题型总结：
- 不关联双动点问题：采用“控制变量法”，先控制其中一个点不动，分析另一个点运动轨迹，之后再让这个点运动起来，这样可以使问题更直观，思路更清晰。

- 关联双动点问题：这类问题需要找到两个动点之间的关系，通常可以通过构建函数、利用几何性质等方法来解决。

解决解析几何双动点问题，需要具备良好的数学基础和思维能力，同时要善于运用所学知识和方法，寻找问题中的不变量和确定关系，从而找到解题的突破口。

高考数学必考大题题型归纳及例题解析

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！高考数学必考大题题型归纳及例题解析高考数学常考的大题分别是三角函数，概率，立体几何，解析几何，函数与导数，数列。

下面就这些题型做出具体分析，并对大题给以典型题型，希望大家仔细研究总结。

1数学高考大题题型有哪些必做题：1.三角函数或数列（必修4，必修5）2.立体几何（必修2）3.统计与概率（必修3和选修2-3）4.解析几何（选修2-1）5.函数与导数（必修1和选修2-2）选做题：1.平面几何证明（选修4-1）2.坐标系与参数方程（选修4-4）3.不等式（选修4-5）1数学高考大题题型归纳一、三角函数或数列数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。

高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。

有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。

探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。

本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。

近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面;(1)数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。

(2)数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。

(3)数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。

试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。

二、立体几何高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道，解答题1道)，共计总分27分左右，考查的知识点在20个以内。

选择填空题考核立几中的计算型问题，而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题，当然，二者均应以正确的空间想象为前提。

考研数学题型总结与分类

考研数学题型总结与分类在备考考研数学时，理解各种数学题型的特点和解题思路是非常关键的。

借助分类整理不同类型的数学题目可以帮助考生更好地把握难题的本质，从而提高解题的效率。

本文将对考研数学题型进行总结与分类，帮助考生更好地复习备考。

一、解析几何题型解析几何是考研数学中的重点和难点之一。

在解析几何题型中，考生需要熟悉直线、圆、抛物线、椭圆、双曲线等的性质和表示方法，掌握求直线与曲线的交点、直线或曲线的方程、曲线的参数方程等技巧。

在几何题型中，常见的题目包括：点到直线的距离、两直线夹角、两曲线交点等。

解决这些题目需要考生结合直线的一般式、点斜式、两点式等知识点来解答。

另外，还有求两条曲线的公共切线、曲线与圆的交点等题型，考生可以利用解析几何的性质和公式进行解答。

二、高等数学题型高等数学题型主要涉及微积分和常微分方程。

其中微积分是考研数学的基础，在备考过程中，考生需要掌握微分与导数、积分与不定积分、定积分和无穷积分等知识点。

在微积分题型中，常见的题目包括求函数的导数、极值、最大值最小值、弧长、曲率等。

考生需要掌握函数求导法则、曲线的切线和曲率等概念，结合具体题目进行计算。

在常微分方程题型中，主要涉及常微分方程的基本概念、求解一阶常微分方程和二阶常微分方程等。

考生需要了解常微分方程的分类和解法，运用相应的求解方法进行计算。

三、线性代数题型线性代数是考研数学中的一门重要课程，涉及矩阵、向量和线性方程组等内容。

在备考过程中，考生需要熟悉行列式的性质，掌握矩阵的运算及其逆矩阵的求解方法。

在线性代数题型中，常见的题目包括矩阵的乘法、转置、逆运算，行列式的求解、特征值和特征向量等。

考生需要通过灵活运用矩阵运算的性质和定义，解决具体的题目。

四、数学分析题型数学分析是考研数学中比较综合性的一门课程，主要涉及极限、连续与间断、一元函数积分和级数等内容。

在备考过程中，考生需要理解极限的定义、性质和运算法则，熟悉函数的连续性和间断性的判定方法。

解析几何知识点总结大全

解析几何知识点总结大全解析几何知识点总结有哪些?对数学几何的定义、法则、公式、定理等，理解了的要记住，暂时不理解的也要记住，在记忆的基础上、在应用它们解决问题时再加深理解。

一起来看看解析几何知识点总结,欢迎查阅!几何知识点总结大全1过两点有且只有一条直线2两点之间线段最短3同角或等角的补角相等4同角或等角的余角相等5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9同位角相等，两直线平行10内错角相等，两直线平行11同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13两直线平行，内错角相等14两直线平行，同旁内角互补15定理三角形两边的和大于第三边16推论三角形两边的差小于第三边17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于18018推论1直角三角形的两个锐角互余19推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等26斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等31推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合33推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于6034等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)35推论1三个角都相等的三角形是等边三角形36推论2有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形37在直角三角形中，如果一个锐角等于30那么它所对的直角边等于斜边的一半38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形43定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a+b=c 47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a+b=c，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于36049四边形的外角和等于36050多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)18051推论任意多边的外角和等于36052平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2矩形的对角线相等62矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1菱形的四条边都相等65菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=(ab)267菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1关于中心对称的两个图形是全等的72定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=(a+b)2S=Lh83(1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d84(2)合比性质如果a/b=c/d,那么(ab)/b=(cd)/d85(3)等比性质如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n0),那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b86平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 87推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例88定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似91相似三角形判定定理1两角对应相等，两三角形相似(ASA)92直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93判定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(SAS)94判定定理3三边对应成比例，两三角形相似(SSS)95定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96性质定理1相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97性质定理2相似三角形周长的比等于相似比98性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方99任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的.点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆 106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线 107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三个点确定一条直线110垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧111推论1①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧112推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形114定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等115推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等116定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半117推论1同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等118推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弦是直径 119推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形120定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角121①直线L和⊙O相交d?r②直线L和⊙O相切d=r③直线L和⊙O相离d?r122切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 123切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径124推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点125推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心126切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角127圆的外切四边形的两组对边的和相等128弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角129推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等130相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等131推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项132切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项133推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上135①两圆外离d?R+r②两圆外切d=R+r③两圆相交R-r?d?R+r(R?r)④两圆内切d=R-r(R?r)⑤两圆内含d?R-r(R?r)136定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦137定理把圆分成n(n3):⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形138定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆139正n边形的每个内角都等于(n-2)180/n140定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形 141正n边形的面积Sn=pnrn/2p表示正n边形的周长142正三角形面积3a/4a表示边长143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360，因此k(n-2)180/n=360化为(n-2)(k-2)=4144弧长计算公式：L=nR/180145扇形面积公式：S扇形=nR/360=LR/2146内公切线长=d-(R-r)外公切线长=d-(R+r)解析几何方法总结然而相对于导数需要较强的技巧和想法来讲，解析几何更重要考察的是心里素质。

数列与其他知识交汇5：数列与解析几何

数列与解析几何交汇题型总结一、“数列”与“直线”交汇例题1．取直角坐标系内11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y 两点，使1，1x ，2x ，7依次成等差数列，1，1y ，2y ，8依次成等比数列，若1P ，2P 两点关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．10x y ++= B ．10x y --=C ．70x y +-=D ．250x y --=【解析】1，1x ，2x ，7依次成等差数列，13x ∴=，25x =1，1y ，2y ，8依次成等比数列，12y ∴=，24y =，1(3,2)P ∴，2(5,4)P1P ，2P 两点关于直线l 对称，12P P ∴两点连线的斜率是42153-=-， ∴直线l 的斜率是1-，直线l 过点(4,3)∴直线l 的方程是31(4)y x -=--，即直线l 的方程是70x y +-=，故选C ．【小结】本题根据所给的两个数列，写出数列中出现的字母，即得到两个点的坐标，根据要求的直线与这两个点的连线垂直，求出直线l 的斜率，又根据直线过两点连线的中点，根据点斜式写出方程．例题2．已知数列{}n a ，定直线:(3)(24)90l m x m y m +-+--=，若(,)n n a 在直线l 上，则数列{}n a 的前13项和为( ) A ．10B ．21C ．39D ．78【分析】由点(n ，*)()n a n N ∈在直线:(3)(24)90l m x m y m +-+--=上，可得392424n m m a n m m ++=-++，即可得到数列{}n a 的前13项和．二、“数列”与“圆”交汇例题3．已知曲线1C 的方程为221x y +=，过平面上一点1P 作1C 的两条切线，切点分别为1A ，1B 且满足11160A PB ∠=︒，记1P 的轨迹为2C ，过一点2P 作2C 的两条切线，切点分别为2A ，2B 且满足22260A P B ∠=︒，记2P 的轨迹为3C ，按上述规律一直进行下去⋯⋯，设点n A 与1n A +之间距离的最小值为n a ，且n S 为数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则满足1|2|100n S -<的最小的n 为 A ．5 B ．6 C ．7D ．8【分析】设1(,)P x y ，则11||2||2OP OA ==，可得方程222:4C x y +=．同理可得2P 的方程3C 为：2216x y +=．设1(cos ,sin )A θθ，2(2cos ,2sin )A αα，可得2212||(cos 2cos )(sin 2sin )54cos()312A A θαθααθ=-+-=--=+，同理可得：11||22n n n n n max a A A -+==+．可得1na ．可得数列1{}na 的前n 项和n S ，代入1211||332100n n S --=<⨯，由此能求出n ．【解析】设1(,)P x y ，则11||2||2OP OA ==，可得方程222:4C x y +=．同理可得2P 的方程3C 为：2216x y +=．设1(cos ,sin )A θθ，2(2cos ,2sin )A αα2212||(cos 2cos )(sin 2sin )54cos()312A A θαθααθ=-+-=--=+，同理可得：11||22n n n n n max a A A -+==+．111112232n nn n a --==+⨯．数列1{}na 的前n 项和111212(1)133212n n n S -=⨯=--，则满足1211||332100n n S --=<⨯，解得7n ．故选C ．例题4．在圆2210210x y x y +--+=内，过点(2,1)有n 条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项1a ，最长弦长为n a ，若公差11(,)35d ∈，那么n 的取值集合为．【分析】先由圆的几何性质，最短时该点与圆心的连线与所在直线垂直，最长时则该直线过圆心，即圆的直径．从而求得首项和末尾项，再由公差的范围求解．【解析】圆2210210x y x y +--+=即为22(5)(1)25x y -+-=，圆心为(5,1)，半径为5，则最长的弦长为直径，即10n a =，最短弦长为222538-=，即18a =，1211n a a d n n -∴==--，公差11(,)35d ∈，∴121315n <<-，1352n -∴<<，即711n <<， n ∴为8，9，10，故n 的取值集合为{8，9，10}，故答案为：{8，9，10}．【小结】本题主要考查了圆的几何性质，最长弦与最短弦的求法，还考查了等差数列的通项公式及不等式问题，体现了知识间的渗透，应用了转化思想．三、“数列”与“椭圆”交汇例题5．椭圆22143x y +=上有n 个不同的点1P ，2P ，3P ，n P ⋯⋯，椭圆右焦点F ，数列{||}n P F 是公差大于12019的等差数列，则n 的最大值为( ) A ．4036 B ．4037C ．4038D ．4039【分析】由椭圆方程求出a 、b 、c 、e 的值，再求出右焦点的坐标、右准线的方程，设(n P x ，)n y ，根据圆锥曲线的统一定义、题意，列出1x 、n x 的不等式，再利用椭圆上点的横坐标范围，解之即可得到n 的取值范围，从而得出n 的最大值．【解析】由椭圆22143x y +=得，2a =、b 1c =，所以右焦点为(1,0)F ，离心率12e =，设(n P x ，)n y ，P 到右准线4x =的距离为4n n d x =-，根据圆锥曲线的统一定义得，||12n n P F e d ==，所以11||(4)222n n n P F x x =-=-，因为数列{||}n P F 是公差大于12019的等差数列，所以11||||2019n n P F PF -->，可得1111222019n n x x -->，化简得1222019n n x x -->，结合椭圆上点的横坐标的范围，得124n x x a -<=，所以2242019n -<，解得4039n <，得n 的最大值为4038，故选C ．四、“数列”与“抛物线”交汇例题6．对于每个自然数n ，抛物线22()(21)1y n n x n x =+-++与x 轴交于n A ，n B 两点，以||n n A B 表示该两点间的距离，则112220152015||||||A B A B A B ++⋯+的值是（） A ．20142015B ．20162015C ．20152014 D ．20152016【分析】根据抛物线的解析式，抛物线与x 轴交点的横坐标，根据x 轴上两点间的距离公式，得11||1n n A B n n =-+，再代入计算即可．【解析】抛物线的解析式为22()(21)1y n n x n x =+-++，∴抛物线与x 轴交点坐标为1(n，0)，1(1n +，0)，11||1n n A B n n ∴=-+， 112220152015||||||1111112232015201612015120162016A B A B A B ∴++⋯+=-+-+⋯+-=-=，故选D ．【小结】本题是一道找规律的题目，考查了抛物线与x 轴的交点问题，令0y =，方程的两个实数根正好是抛物线与x 轴交点的横坐标．五、“数列”与“双曲线”交汇例题7．已知一簇双曲线222:()(*,2020)2020n n E x y n N n -=∈，设双曲线n E 的左、右焦点分别为1n F 、2n F ，nP 是双曲线n E 右支上一动点，三角形12n n n P F F 的内切圆n G 与x 轴切于点(n n A a ，0)，则122020a a a ++⋯= ．【解析】如图所示，设1n n P F ，2n n P F 与圆n G 分别切于点n B ，n C ．根据内切圆的性质可得：||||n n n n P B P A =，11||||n n n n B F A F =，22||||n n n n A F C F =，又点n P 是双曲线n E 右支上一动点，122||||220201010n n n n n n P F F P a ∴-===，12||||1010n n n n nA F A F ∴-=． ()()1010n n n n n a c c a ∴----=．可得：2020n na =．可得：122020122020202120202a a a ++⋯⋯+++⋯==．故答案为：20212．例题8．已知数列{}n a 的首项为2，n S 为其前n 项和，且12(0,*)n n S qS q n N +=+>∈ （1）若4a ，5a ，45a a +成等差数列，求数列{}n a 的通项公式；（2）设双曲线2221ny x a -=的离心率为n e ，且23e =，求222212323n e e e ne +++⋯+．【解析】（1）通过12n n S qS +=+，212n n S qS ++=+，两式相减得到21n n a qa ++=，1n ．说明数列{}n a 是首项为2，公比为q 的等比数列．通过4a ，5a ，45a a +成等差数列，求出2q =．然后求解通项公式．（2）求出双曲线2221ny x a -=的离心率22(1)114n n n e a q -+=+．然后利用错位相减法，转化求解思念的和即可．【解答】解：（1）由已知，12n n S qS +=+，212n n S qS ++=+，两式相减得到21n n a qa ++=，1n ．又由212S qS =+得到21a qa =，故1n n a qa +=对所有1n 都成立．所以，数列{}n a 是首项为2，公比为q 的等比数列．由4a ，5a ，45a a +成等差数列，可得54452a a a a =++，所以542a a =，故2q =．所以*2()n n a n N =∈．（2）由（1）可知，12n n a q -=，所以双曲线2221ny x a -=的离心率22(1)114n n n e a q -=++．由23e ==，得q =．所以222222(1)12323(14)2(14)(14)n n e e e n e q n q -+++⋯+=++++⋯++22(1)(1)4(12)2n n n q nq -+=+++⋯+，记22(1)123n n T q q nq -=+++⋯+①222(1)22(1)n n n q T q q n q nq -=++⋯+-+②①-②得2222(1)2221(1)11n n nn n q q T q q qnqnq q---=+++⋯+-=-- 所以222222222211122(1)21(1)(1)(1)(1)n n n nn n n n q nq q nq T n n q q q q --=-=-=-+=-+----．所以222212(1)2(1)242n n n n e e n e n ++++⋯+=-++．【小试牛刀】变式1．已知直线:0l ax by c ++=，若a ，b ，c 成等差数列，则当点(2,1)P 到直线l 的距离最大时，直线l 的斜率是．【解析】a ，b ，c 成等差数列，可得2a c b +=，即20a b c -+=，由直线:0l ax by c ++=，可得直线l 恒过定点(1,2)M -，当点(2,1)P 到直线l 的距离最大时，可得直线l 垂直于直线PM ，由直线PM 的斜率为12321+=-，则直线l 的斜率为13-．故答案为：13-．变式2．已知点(sin2n π，n a +在直线:l y ={}n a 的前30项的和为．【解析】点(sin2n π，)4n a +在直线:4l y =++2n n a π∴=， sin2n π的最小正周期为4，取值是1，0，1-，0的循环， ∴数列{}n a 的前30项和：3030010)10]S =⨯+-+++=故答案为：．变式3．椭圆的焦点是1(3F -，20)(3,0)F ，P 为椭圆上一点，且12||F F 是1||PF 与2||PF 的等差中项，则椭圆的方程为．【解析】椭圆的焦点是1(3F -，20)(3,0)F ，P 为椭圆上一点，且12||F F 是1||PF 与2||PF 的等差中项，1212||||2||12PF PF F F ∴+==，212a ∴=，26c =，即6a =，3c =236927b ∴=-=，∴椭圆的方程为2213627x y +=．变式4．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，点列(,)()nS n n N n+∈在直线y x =上．（1）求数列{}n a 的通项n a ；（2）求数列11{}n n a a +的前n 项和n T ．【解析】解：（1）依题意有n S n n=，即2n S n = 当1n =时时，111a S ==,当2n 时，121n n n a S S n -=-=- 又1n =时时上式也成立,21n a n ∴=-，*n N ∈ （2）111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+ ∴11111111[(1)()()](1)2335212122121n nT n n n n =-+-+⋯+-=-=-+++变式5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，132n n S S +=+，*n N ∈．（1）证明：数列{1}n S +为等比数列；（2）已知曲线22:(19)1n n C x a y +-=，若n C 为椭圆，求n 的值；（3）若33()log ()22n nn aa b =⨯，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【解析】（1）证明：132n n S S +=+，11333(1)n n n S S S +∴+=+=+，又11113S a +=+=，{1}n S ∴+是以3为首项，以3为公比的等比数列．（2）解：由（1）可知13n n S +=，即31n n S =-，当2n 时，1113323n n n n n n a S S ---=-=-=．显然当1n =时，上式也成立，故123n n a -=．曲线22:(19)1n n C x a y +-=表示椭圆，190n a ∴->且191n a -≠．∴1123192318n n --⎧<⎨≠⎩，又n N ⨯∈，故1n =或2n =．（3）解：133log 3n n b -=13n n n -=．0231132333433n n T n -∴=++++⋯+，①两边同乘3可得：2343132333433n n T n =++++⋯+，② ①-②可得：231131121333333()31322n n nn n n T n n n ---=++++⋯+-=-=---，211344n n n T -∴=+．变式6．已知数列{}n a 的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和，若110n n S qS +--=，其中0q >，*n N ∈．（1）若2a ，3a ，224a -成等差数列，求{}n a 的通项公式；（2）设双曲线2221n x y a -=的渐近线斜率的绝对值为n b ，若23b =，求111(1)(1)ni i i i b b b +=+++∑．【解答】解：（1）11n n S qS +=+，11(2)n n S qS n -=+，1(2)n n a qa n +∴=，211S qS =+，1211a a qa ∴+=+，11a =，21a qa ∴=，*1()n n a qa n N +=∈，0q >，{}n a ∴为公比是q 的等比数列，即1n n a q -=，2a ，3a ，224a -成等差数列，322224a a a ∴=+-，2223(21)(2)02q q q q q =--+==-（舍)，12q =，∴11()2n n a -=．（2）1n nb a =，∴11()n n b q -=，23b =，∴13n n b -=．11111113311()(1)(1)(31)(31)2(31)(31)i nnn i i i i ii i i i i b b b +--===+==-++++++∑∑∑， 11101121(1)(1)3111111()231313131313131133()22314232ni i i i n n n n b b b +=+-++=-+-+⋯+-++++++=-=-++∑．变式7．设双曲线时22:13y x Γ-=，正项数列{}n x 满足11x =，对任意的2n ，*n N ∈，都有1()n n x -是Γ上的点．（1）求数列{}n x 的通项公式；（2）记12231111n n n S x x x x x x +=++⋯++++，是否存在正整数m ，使得22133m y x S -=与Γ有相同的渐近线？如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由．【解答】（1）正项数列{}n x 满足11x =，对任意的2n ，*n N ∈，都有1()n n x -是双曲线22:13y x Γ-=上的点，可得2211n n x x --=，即有2{}n x 为首项和公差均为1的等差数列，可得211nx n n =+-=，即n x = （2）11n n x x +==+1223111111n n n S x x x xx x +=++⋯+++++，假设存在正整数m ，使得22133m y x S -=与Γ有相同的渐近线，即有y =与y == 即99m S =199=，解得9999m =，则存在正整数9999m =，使得22133m y x S -=与Γ有相同的渐近线．变式8．已知抛物线2y =的焦点也是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点，而E 的离心率恰好为双曲线2213x y -=的离心率的倒数．（1）求椭圆E 的方程；（2）各项均为正数的等差数列{}n a 中，11a =，点12(P a 在椭圆E 上，设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【解析】（1）依题意双曲线2213x y -=，抛物线2y =的焦点0)，可得：c =e =，∴c a =， 2a ∴=，∴1b ==．故椭圆E 的方程为2214x y +=．（2）点12(P a 在椭圆E 上，∴2312214a a a +=，又11a =，∴23243a a =，又{}n a 是等差数列，24(12)3(1)d d ∴+=+．1d ∴=或13d =-，当13d =-时，411303a =-⨯=，与0n a >矛盾．1d ∴=．1(1)1n a n n ∴=+-⨯=．∴111(1)1n b n n n n ==-++． ∴111111111122334111n n T n n n n =-+-+-+⋯⋯+-=-=+++．。