2006年中考专题复习--分类讨论

2006年中考专题复习－－分类讨论
Ⅰ、专题精讲：
在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．
分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．
分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．
Ⅱ、典型例题剖析
【例1】（2005，南充，11分）如图3－2－1，一次函数与反比
例函数的图象分别是直线AB 和双曲线．直线AB 与双曲线的一
个交点为点C ，CD ⊥x 轴于点D ，OD ＝2OB ＝4OA ＝4．求一次函
数和反比例函数的解析式．
解：由已知OD ＝2OB ＝4OA ＝4，
得A （0，－1），B （－2，0），D （－4，0）．
设一次函数解析式为y ＝kx ＋b ．
点A ，B 在一次函数图象上，
∴⎩⎨⎧=+--=,02,1b k b 即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.
1,21b k 则一次函数解析式是 .121--=x y
点C 在一次函数图象上，当4-=x 时，1=y ，即C （－4，1）． 设反比例函数解析式为m y x
=． 点C 在反比例函数图象上，则41-=
m ，m ＝－4． 故反比例函数解析式是：x
y 4-=． 点拨：解决本题的关键是确定A 、B 、C 、D 的坐标。

【例2】（2005，武汉实验，12分）如图3－2－2所示，如图，在平面直角坐标系中，点O 1的坐标为（－4，0），以点O 1为圆心，8为半径的圆与x 轴交于A 、B 两点，过点A 作直线l 与x 轴负方向相交成60°角。

以点O 2（13，5）为圆心的圆与x 轴相切于点D.
（1）求直线l 的解析式；
（2）将⊙O 2以每秒1个单位的速度沿x 轴向左平移，同时直线l 沿x 轴向右平移，当⊙O 2第一次与⊙O 2相切时，直线l 也恰好与⊙O 2第一次相切，求直线l 平移的速度；
（3）将⊙O 2沿x 轴向右平移，在平移的过程中与x 轴相切于点E ，EG 为⊙O 2的直径，过点A 作⊙O 2的切线，切⊙O 2于另一点F ，连结A O 2、FG ，那么FG·A O 2的值是否会发生变化？如果不变，说明理由并求其值；如果变化，求其变化范围。

解（1）直线l 经过点A （－12，0），与y 轴交于点（0，
－
设解析式为y ＝kx ＋b ，则b ＝
－k ＝
所以直线l 的解析式为
y －（2）可求得⊙O 2第一次与⊙O 1相切时，向左平移了5秒（5个单位）如图所示。

在5秒内直线l 平移的距离计算：8＋12
30
所以直线l 平移的速度为每秒（6
（3）提示：证明Rt△EFG∽Rt△AE O 2 于是可得：222FG EG 1 O E EG O E AO 2
＝（其中＝） 所以FG·A O 2＝21EG 2
，即其值不变。

点拨：因为⊙O 2不断移动的同时，直线l 也在进行着移动，而圆与圆的位置关系有：相离(外离，内含)，相交、相切(外切、内切〕，直线和圆的位置关系有：相交、相切、相离，所以这样以来，我们在分析过程中不能忽略所有的可能情况．
【例3】（2005，衢州，14分）如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=2，点A 的坐标为(1，0)，以CD 为直径，在矩形ABCD 内作半圆，点M 为圆心．设过A 、B 两点抛物线的解析式为
y=ax 2+bx+c ，顶点为点N ．
(1)求过A 、C 两点直线的解析式；
(2)当点N 在半圆M 内时，求a 的取值范围；
(3)过点A 作⊙M 的切线交BC 于点F ，E 为切点，当以点A 、F,B 为顶点的三角形与以C 、N 、M 为顶点的三角形相似时，求点N 的坐标．
解：(1)过点A 、c 直线的解析式为y=
32x －3
2 (2)抛物线y=ax 2－5x+4a ．
∴顶点N 的坐标为(－52 ，－94
a)． 由抛物线、半圆的轴对称可知，抛物线的顶点在过点M 且与CD 垂直的直线上，
又点N 在半圆内，12 ＜－94 a ＜2，解这个不等式，得－98 ＜a ＜－29
． (3)设EF=x ，则CF=x ，BF=2－x
在Rt△ABF 中，由勾股定理得x= 98 ，BF= 78
【例4】（2005，杭州，8分）在平面直角坐标系内,已知点A(2,1),O 为坐标原点.请你在坐标轴上确定点P,使得ΔAOP 成为等腰三角形.在给出的坐标系中把所有这样的点P 都找出来,画上实心点,并在旁边标上P 1,P 2,……,P k,(有k 个就标到P K 为止,不必写出画法) 解：以A 为圆心，OA 为半径作圆交坐标轴得1
(4,0)P 和2(0,2)P ；
以O 为圆心，OA 为半径作圆交坐标轴得3
P ，4(P ，5P 和6(0,P ；作OA 的垂直平分线交坐标轴得75(,0)4P 和85(0,)2
P 。

点拨：应分三种情况：①OA=OP 时；②OP=P 时；③OA=PA 时，再找出这三种情况中所有符合条件的P 点．。