2016年广东高考理科数学试题及答案(Word版)
(完整word版)2016全国三卷理科数学高考真题及答案.docx
2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .（1）设集合 S= S x P(x2)(x3)0 ,T x x 0，则 S I T=(A) [2 ，3](B) （-， 2]U [3,+）(C) [3,+ ）(D) （0， 2] U[3,+ ）（2）若 z=1+2i ，则4izz1(A)1(B)-1(C) i(D)-iuuv( 1uuuv(3,1),（3）已知向量BA, 2 ) , BC则 ABC=2222(A)30 0(B)450(C) 60 0(D)120 0（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。
图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C， B 点表示四月的平均最低气温约为50C。
下面叙述不正确的是(A) 各月的平均最低气温都在00C 以上(B)七月的平均温差比一月的平均温差大(C)三月和十一月的平均最高气温基本相同(D)平均气温高于 200C 的月份有 5 个（5）若tan3，则 cos22sin 26444816(B)(C) 1(A)25(D)2525 431（6）已知a23， b44， c253，则（A ）b a c（ B）a b c （C） b c a （D） c a b（7）执行下图的程序框图，如果输入的a=4， b=6，那么输出的n=（A ） 3（B ） 4（C） 5（D ） 6（8）在 △ABC 中，B = πBC1cos A =，边上的高等于则43 BC ,（ A ）3 10（ B ）101010（ C ） -10 （ D ） - 3 1010 10 (9) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A ） 18 36 5（B ） 54 18 5（C ） 90 （D ） 81(10) 在封闭的直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 内有一个体积为 V 的球，若AB BC ， AB=6 ，BC=8， AA 1 =3，则 V 的最大值是（A ） 4π （ B ）9（ C ） 6π（D ）3223x 2 y 2 1(a b 0) 的左焦点， A ， B 分别为 C 的左，右顶点 .P 为（11）已知 O 为坐标原点， F 是椭圆 C ：b 2 a 2C 上一点，且 PF ⊥ x 轴 .过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则C 的离心率为（A ）1（ B ）1（ C ）2（ D ）33 2 3 4（12）定义 “规范 01 数列 ”{a n } 如下： { a n } 共有 2m 项，其中 m 项为 0，m 项为 1，且对任意 k 2m ， a 1 , a 2, L , a k 中 0 的个数不少于 1 的个数 .若 m=4，则不同的“规范 01 数列”共有 （A ） 18 个（ B ） 16 个（C ） 14 个（D ） 12 个二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分（13）若 x ， y 满足约束条件 错误 ! 未找到引用源。
2016广东卷理科数学答案解析
1.【答案】D考点：集合运算2.【答案】B 【解析】试题分析：因为(1)=1+,i x yi +所以=1+,=1,1,||=|1+|x xi yi x y x x yi i +==+=所以故故选B.考点：复数运算3.【答案】C 【解析】试题分析：由已知，1193627,98a d a d +=⎧⎨+=⎩所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=故选C.考点：等差数列及其运算4.【答案】B考点：几何概型5.【答案】A【解析】由题意知：双曲线的焦点在x 轴上，所以2234m n m n ++-=，解得：21m =，因为方程22113x y n n -=+-表示双曲线，所以1030n n +>⎧⎨->⎩，解得13n n >-⎧⎨<⎩，所以n 的取值范围是()1,3-，故选A ． 考点：双曲线的性质 6. 【答案】A【解析】试题分析：由三视图知：该几何体是78个球，设球的半径为R ，则37428V R 833ππ=⨯=，解得R 2=，所以它的表面积是22734221784πππ⨯⨯+⨯⨯=，故选A ． 考点：三视图及球的表面积与体积7. 【答案】D考点：函数图像与性质8.【答案】C考点：指数函数与对数函数的性质9.【答案】C 【解析】试题分析：当0,1,1x y n ===时，110,1112x y -=+=⨯=，不满足2236x y +≥； 2112,0,21222n x y -==+==⨯=，不满足2236x y +≥；13133,,236222n x y -==+==⨯=，满足2236x y +≥；输出3,62x y ==，则输出的,x y 的值满足4y x =，故选C. 考点：程序框图与算法案例10.【答案】B 【解析】试题分析：如图，设抛物线方程为22y px =，圆的半径为r ,,AB DE 交x 轴于,C F 点，则AC =，即A 点纵坐标为，则A 点横坐标为4p ，即4OC p=，由勾股定理知2222DF OF DO r +==，2222AC OC AO r +==，即22224()()2p p+=+，解得4p =，即C 的焦点到准线的距离为4，故选B. 考点：抛物线的性质11.【答案】A考点：平面的截面问题，面面平行的性质定理，异面直线所成的角12.【答案】B考点：三角函数的性质13.【答案】2- 【解析】试题分析：由222||||||+=+a b a b ，得⊥a b ，所以1120m ⨯+⨯=，解得2m =-. 考点：向量的数量积及坐标运算14.【答案】10 【解析】试题分析：5(2x +的展开式的通项为555255C (2)2C r r rr rr x x---=(0r =，1，2，…，5)，令532r -=得4r =，所以3x 的系数是452C 10=. 考点:二项式定理15.【答案】64考点：等比数列及其应用16.【答案】216000 【解析】试题分析：设生产产品A 、产品B 分别为x 、y 件，利润之和为z 元，那么由题意得约束条件 1.50.5150,0.390,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩ 目标函数2100900z x y =+. 约束条件等价于3300,103900,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩①作出二元一次不等式组①表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示.将2100900z x y =+变形，得73900z y x =-+，作直线：73y x =-并平移，当直线73900zy x =-+经过点M 时，z 取得最大值.解方程组10390053600x y x y +=⎧⎨+=⎩，得M 的坐标为(60,100).所以当60x =，100y =时，max 210060900100216000z =⨯+⨯=. 故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216000元. 考点：线性规划的应用17.【答案】（I ）C 3π=（II）5【解析】试题解析：（I ）由已知及正弦定理得，()2cosC sin cos sin cos sinC A B+B A =，()2cosCsin sinC A+B =．故2sinCcosC sinC =． 可得1cosC 2=，所以C 3π=．考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式18.【答案】（I ）见解析（II ）19-【解析】 试题分析：（I ）证明F A ⊥平面FDC E ，结合F A ⊂平面F ABE ，可得平面F ABE ⊥平面FDC E ．（II ）建立空间坐标系，利用向量求解. 试题解析：（I ）由已知可得F DF A ⊥，F F A ⊥E ，所以F A ⊥平面FDC E ． 又F A ⊂平面F ABE ，故平面F ABE ⊥平面FDC E ．（II ）过D 作DG F ⊥E ，垂足为G ，由（I ）知DG ⊥平面F ABE ．以G 为坐标原点，GF 的方向为x 轴正方向，GF 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -．由（I ）知DF ∠E 为二面角D F -A -E 的平面角，故DF 60∠E =，则DF 2=，DG 3=，可得()1,4,0A ，()3,4,0B -，()3,0,0E -，(D ．学科&网考点：垂直问题的证明及空间向量的应用19.【答案】（I ）见解析（II ）19（III ）19n =考点：概率与统计、随机变量的分布列20.【答案】（Ⅰ）13422=+y x （0≠y ）（II ）)38,12[ 【解析】试题分析：利用椭圆定义求方程；（II ）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值。
广东省广州市2016届高三普通高中毕业班综合测试(一)数学(理)试题
绝密 ★ 启用前2016年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合{}1A x x =<，{}20B x x x =-≤，则AB =（A ）{}11x x -≤≤ （B ）{}01x x ≤≤ （C ）{}01x x <≤ （D ）{}01x x ≤< （2）已知复数3i1iz +=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数z 所对应的点在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（3）执行如图所示的程序框图，如果输入3x =，则输出k 的值为（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12 （4）如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>的相邻两个零点之间的距离为6π，则ω的值为（A ）3 （B ）6 （C ）12（D ）24（5）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且271224a a a ++=，则13S =（A ）52 （B ）78 （C ）104 （D ）208 （6）如果1P ，2P ，…，n P 是抛物线C ：24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，n x ，F 是抛物线C 的焦点，若1210n x x x +++=，则12n PF P F P F +++=（A ）10n + （B ）20n + （C ）210n + （D）220n +（7）在梯形ABCD 中，A DB C ，已知4AD =，6BC =，若C D m B A n =+(),m n ∈R ，则mn = （A ）3- （B ）13- （C ）13（D ）3（8）设实数x ，y 满足约束条件10,10,1x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩， 则()222x y ++的取值范围是（A ）1,172⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）[]1,17 （C）⎡⎣ （D）⎣ （9）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（A ）20π （B（C ）5π （D）（11）已知下列四个命题：1p ：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥； 2p ：若()22x x f x -=-，则x ∀∈R ，()()f x f x -=-； 3p ：若()11f x x x =++，则()00,x ∃∈+∞，()01f x =； 4p ：在△ABC 中，若A B >，则sin sin A B >．其中真命题的个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（11）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（A）8+ （B）8+（C）2+ （D）1224（12）以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．1 2 3 4 5 … 2013 2014 2015 20163 5 7 9 ………… 4027 4029 4031 8 12 16 ………………… 8056 8060 20 28 ………………………… 16116 …………………………………………该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（A ）201520172⨯ （B ）201420172⨯ （C ）201520162⨯ （D ）201420162⨯第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）一个总体中有60个个体，随机编号0，1，2，…，59，依编号顺序平均分成6个小组，组号依次为1，2，3，…，6．现用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本，若在第1组随机抽取的号码为3，则在第5组中抽取的号码是 ．（14）已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的左顶点为A ，右焦点为F ，点()0,B b ，且0BA BF =，则双曲线C 的离心率为 ．（15）()422x x --的展开式中，3x 的系数为 ． （用数字填写答案） （16）已知函数()211,1,42,1x x f x x x x ⎧-+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，则函数()()22xg x f x =-的零点个数为个．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD BC ⊥，AC =5CD =,2BD AD =.（Ⅰ）求AD 的长； （Ⅱ）求△ABC 的面积．（18）（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1．（Ⅰ）求这些产品质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（Ⅱ）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产 品中质量指标值位于区间[)45,75内的产 品件数为X ，求X 的分布列与数学期望．（19）（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A BC D -的底面ABCD 是菱形，AC BD O =，1AO ⊥底面ABCD ，21==AA AB ．（Ⅰ）证明：平面1ACO ⊥平面11BB D D ；（Ⅱ）若60BAD ∠=，求二面角1B OB -（20）（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为()120F -，，点(B 在椭圆C 上，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．（21）（本小题满分12分）已知函数+3()e x m f x x =-,()()ln 12g x x =++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线斜率为1，求实数m 的值； （Ⅱ）当1m ≥时，证明：()3()f x g x x >-.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图所示，△ABC 内接于⊙O ，直线AD 与⊙O 相切于点A ，交BC 的延长线于点D ，过点D 作DECA 交BA 的延长线于点E ．（Ⅰ）求证：2DE AE BE =；（Ⅱ）若直线EF 与⊙O 相切于点F ，且4EF =，2EA =，求线段AC 的长．（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρsin 2=，[)0,2θ∈π. （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C 上求一点D ，使它到直线l ：32x y t ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ）的距离最短，并求出点D 的直角坐标.（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数()f x x x =+- （Ⅰ）当1a =时，求不等式()12f x ≥的解集； （Ⅱ）若对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，求实数b 的取值范围．绝密 ★ 启用前2016年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学试题答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分． 一．选择题（1）D （2）D （3）C （4）B （5）C （6）A （7）A （8）A（9）D（10）B（11）A（12）B二．填空题（13）43（14 （15）40- （16）2三．解答题（17）(Ⅰ) 解法一： 在△ABC 中，因为2BD AD =，设AD x =()0x >，则2BD x =．在△BCD 中，因为CD BC ⊥，5CD =，2BD x =， 所以cos CD CDB BD ∠=52x=．………………………………………………………2分在△ACD 中，因为AD x =，5CD =，AC =由余弦定理得222cos 2AD CD AC ADC AD CD +-∠==⨯⨯ ………4分 因为CDB ADC ∠+∠=π， 所以cos cos ADC CDB ∠=-∠，52x=-．………………………………………………………5分 解得5x =．所以AD 的长为5. …………………………………………………………………6分解法二： 在△ABC 中，因为2BD AD =，设AD x =()0x >，则2BD x =． 在△BCD 中，因为CD BC ⊥，5CD =，2BD x =，所以BC =．所以cos BC CBD BD ∠==．……………………………………………2分在△ABC 中，因为3AB x =，BC AC =由余弦定理得2222cos 2AB BC AC CBA AB BC +-∠==⨯⨯．…………4分=25分 解得5x =．所以AD 的长为5. …………………………………………………………………6分（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）求得315AB x ==，BC ==．………………8分所以cos 2BC CBD BD ∠==1sin 2CBD ∠=．…………………………10分 所以1sin 2ABC S AB BC CBA ∆=⨯⨯⨯∠111522=⨯⨯=12分解法二：由（Ⅰ）求得315AB x ==，BC =．………………8分因为AC =ABC 为等腰三角形．因为cos BC CBD BD ∠==30CBD ∠=．……………………………10分所以△ABC 底边AB 上的高12h BC == 所以12ABC S AB h ∆=⨯⨯1152=⨯=12分解法三：因为AD 的长为5， 所以51cos ==22CD CDB BD x ∠=，解得3CDB π∠=．……………………………8分所以12sin 234ADC S AD CD ∆π=⨯⨯⨯=．1sin 232BCD S BD CD ∆π=⨯⨯⨯=．……………………………………10分所以ABC ADC BCD S S S ∆∆∆=+=12分（18）解：（Ⅰ）设区间[]75,85内的频率为x ，则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ．…………………………1分 依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++=，………………3分 解得0.05x =．所以区间[]75,85内的频率为0.05．………………………………………………4分 （Ⅱ）从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =．由（Ⅰ）得，区间[)45,75内的频率为0.30.2+0.1=0.6+，将频率视为概率得0.6p =．………………………………………………………5分 因为X 的所有可能取值为0，1，2，3，…………………………………………6分且0033(0)C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=，1123(1)C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=， 2213(2)C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=，3303(3)C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=．所以X 的分布列为：X 0 1 2 3P0.064 0.288 0.432 0.216所以X 的数学期望为00.06410.28820.43230.216 1.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． （或直接根据二项分布的均值公式得到30.6 1.8EX np ==⨯=）……………12分………………………10分（19）（Ⅰ）证明：因为1AO ⊥BD ⊂平面ABCD ，所以1AO BD ⊥因为ABCD 是菱形，所以CO BD ⊥因为1AO CO O =，所以BD ⊥平面1ACO 因为BD ⊂平面11BB D D ，所以平面11BB D D ⊥平面1ACO ．…………………………………………………4分 （Ⅱ）解法一：因为1AO ⊥平面ABCD ，CO BD ⊥，以O 为原点，OB ，OC ，1OA 方 向为x ，y ，z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系．………………………5分 因为12AB AA ==，60BAD ∠=， 所以1OB OD ==，OA OC =11OA ==．………………6分则()1,0,0B ，()C ，()0,A ，()10,0,1A ，所以()11BB AA ==设平面1OBB 的法向量为n 因为()1,0,0OB =，1OB =所以0,0.x x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩令1=y ，得(0,1,=n 同理可求得平面1OCB 的法向量为()1,0,1=-m ．………………………………10分 所以cos ,<>==n m 11分 因为二面角1B OB C --的平面角为钝角，所以二面角1B OB C --的余弦值为4-．……………………………………12分解法二：由（Ⅰ）知平面连接11AC 与11B D 交于点连接1CO ，1OO ，因为11AA CC =，1//AA 所以11CAAC 因为O ，1O 分别是AC ，11所以11OAO C 为平行四边形．且111OC OA ==． 因为平面1ACO 平面11BB D D 1OO =，过点C 作1CH OO ⊥于H ，则CH ⊥平面11BB D D ．过点H 作1HK OB ⊥于K ，连接CK ，则1CK OB ⊥．所以CKH ∠是二面角1B OB C --的平面角的补角．……………………………6分 在1Rt OCO ∆中，11122O C OC CH OO ⨯===．………………………………7分在1OCB ∆中，因为1AO ⊥11A B ，所以1OB ==因为11A B CD =，11//A B CD ， 所以11B C A D ===．因为22211B C OC OB +=，所以1OCB ∆为直角三角形．……………………………8分 所以11CB OC CK OB ===⨯9分所以KH ==．…………………………………………………10分所以cos 4KH CKH CK∠==．……………………………………………………11分所以二面角1B OB C --的余弦值为4-．……………………………………12分（20）（Ⅰ）解法一：设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=．……………………………1分 设椭圆的右焦点为()220F ，，已知点(2B 在椭圆C 上， 由椭圆的定义知122BF BF a +=，所以2a ==．………………………………………………………2分所以a =2b =．………………………………………………………3分所以椭圆C 的方程为22184x y +=．………………………………………………4分 解法二：设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=． ①…………………1分因为点(2B 在椭圆C 上，所以22421a b+=． ②…………………2分由①②解得，a =2b =．…………………………………………………3分所以椭圆C 的方程为22184x y +=．………………………………………………4分 （Ⅱ）解法一：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A的坐标为()-．…………5分因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ， 设点()00,E x y （不妨设00x >），则点()00,F x y --．联立方程组22,184y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22812x k =+．所以0x =，则0y =．所以直线AE的方程为y x =+．……………………………6分因为直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ，令0x =得y =M ⎛ ⎝．……………………7分同理可得点N ⎛ ⎝．…………………………………………………8分所以MN ==．…………………9分设MN 的中点为P ，则点P 的坐标为0,P k ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．…………………………10分则以MN 为直径的圆的方程为22x y ⎛+= ⎝⎭2， 即224x y y k++=．…………………………………………………………11分 令0y =，得24x =，即2x =或2x =-．故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．………………………12分 解法二：因为椭圆C的左端点为A ，则点A 的坐标为()-．……………5分因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ， 设点00(,)E x y ，则点00(,)F x y --．所以直线AE的方程为y x =+．………………………………6分 因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得y =，即点M ⎛⎫⎝．……………………………7分同理可得点N ⎛⎫⎝．……………………………………………………8分所以020168y MN x =-=-．因为点00(,)E x y 在椭圆C 上，所以2200184x y +=． 所以08MN y =．……………………………………………………………………9分 设MN 的中点为P ，则点P的坐标为000,P y ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭．………………………10分 则以MN为直径的圆的方程为2200x y y ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭2016y ．即220+x y y y +=4．………………………………………………………11分 令0y =，得24x =，即2x =或2x =-．故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．………………………12分 解法三：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A的坐标为()-．……………5分因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ，设点(),2sin E θθ（0θ<<π），则点(),2sin F θθ--． 所以直线AE的方程为y x =+．………………………6分因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得2sin cos 1y θθ=+，即点2sin 0,cos 1M θθ⎛⎫⎪+⎝⎭．………………………………7分同理可得点2sin 0,cos 1N θθ⎛⎫⎪-⎝⎭．………………………………………………………8分所以2sin 2sin 4cos 1cos 1sin MN θθθθθ=-=+-．………………………………………9分 设MN 的中点为P ，则点P 的坐标为2cos 0,sin P θθ⎛⎫-⎪⎝⎭．………………………10分 则以MN 为直径的圆的方程为222cos sin x y θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭24sin θ，即224cos 4sin x y y θθ++=．………………………………………………………11分 令0y =，得24x =，即2x =或2x =-．故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．………………………12分（21）（Ⅰ）解：因为+3()e x m f x x =-，所以+2()e 3x m f x x '=-.……………………………………………………………1分 因为曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线斜率为1，所以()0e 1mf '==，解得0m =.…………………………………………………2分（Ⅱ）证法一：因为+3()e x m f x x =-,()()ln 12g x x =++，所以()3()f x g x x >-等价于()+e ln 120x mx -+->．当1m ≥时，()()+1e ln 12e ln 12x mx x x +-+-≥-+-．要证()+eln 120x mx -+->，只需证明1e ln(1)20x x +-+->.………………4分以下给出三种思路证明1e ln(1)20x x +-+->． 思路1：设()()1eln 12x h x x +=-+-，则()11e 1x h x x +'=-+. 设()11e 1x p x x +=-+，则()()121e 01x p x x +'=+>+． 所以函数()p x =()11e 1x h x x +'=-+在()1+-∞，上单调递增．…………………6分 因为121e 202h ⎛⎫'-=-< ⎪⎝⎭，()0e 10h '=->，所以函数()11e1x h x x +'=-+在()1+-∞，上有唯一零点0x ，且01,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. ………………………………8分 因为()00h x '=，所以0+101e1x x =+，即()()00ln 11x x +=-+.………………9分 当()01,x x ∈-时，()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，所以当0x x =时，()h x 取得最小值()0h x .………………………………………10分 所以()()()0100=e ln 12x h x h x x +≥-+-()0011201x x =++->+. 综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-. ……………………………………12分 思路2：先证明1e2x x +≥+()x ∈R ．……………………………………………5分设()1e 2x h x x +=--，则()+1e 1x h x '=-．因为当1x <-时，()0h x '<，当1x >-时，()0h x '>，所以当1x <-时，函数()h x 单调递减，当1x >-时，函数()h x 单调递增． 所以()()10h x h ≥-=． 所以1e2x x +≥+（当且仅当1x =-时取等号）．…………………………………7分所以要证明1e ln(1)20x x +-+->，只需证明()2ln(1)20x x +-+->．………………………………………………8分 下面证明()ln 10x x -+≥．设()()ln 1p x x x =-+，则()1111xp x x x '=-=++． 当10x -<<时，()0p x '<，当0x >时，()0p x '>，所以当10x -<<时，函数()p x 单调递减，当0x >时，函数()p x 单调递增． 所以()()00p x p ≥=．所以()ln 10x x -+≥（当且仅当0x =时取等号）．……………………………10分 由于取等号的条件不同， 所以1eln(1)20x x +-+->．综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-. ……………………………………12分 （若考生先放缩()ln 1x +，或e x、()ln 1x +同时放缩，请参考此思路给分！） 思路3：先证明1eln(1)20x x +-+->．令1t x =+，转化为证明e ln 2tt ->()0t >．……………………………………5分因为曲线e t y =与曲线ln y t =关于直线y t =对称，设直线0x x =()00x >与曲线e t y =、ln y t =分别交于点A 、B ，点A 、B 到直线y t =的距离分别为1d 、2d ，则)12AB d d =+．其中01x d =，2d ()00x >．①设()000e x h x x =-()00x >，则()00e 1x h x '=-． 因为00x >，所以()00e 10x h x '=->．所以()0h x 在()0,+∞上单调递增，则()()001h x h >=．所以01x d =>． ②设()000ln p x x x =-()00x >，则()0000111x p x x x -'=-=． 因为当001x <<时，()00p x '<；当01x >时，()00p x '>， 所以当001x <<时，函数()000ln p x x x =-单调递减；当01x >时，函数()000ln p x x x =-单调递增． 所以()()011p x p ≥=．所以2d ≥．所以)122AB d d ≥+>=⎭． 综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-.……………………………………12分 证法二：因为+3()ex mf x x =-,()()ln 12g x x =++，所以()3()f x g x x >-等价于()+e ln 120x mx -+->．…………………………4分以下给出两种思路证明()+eln 120x mx -+->．思路1：设()()+e ln 12x m h x x =-+-，则()+1e 1x mh x x '=-+. 设()+1e1x mp x x =-+，则()()+21e 01x m p x x '=+>+． 所以函数()p x =()+1e 1x mh x x '=-+在()+∞-1，上单调递增．………………6分 因为1m ≥， 所以()()1e+1e 1ee e e e 10mmmmm m h ----+-+'-+=-=-<，()0e 10m h '=->.所以函数()+1e1x mh x x '=-+在()+∞-1，上有唯一零点0x ，且()01e ,0m x -∈-+. …………………8分 因为()00h x '=，所以0+01e1x mx =+，即()00ln 1x x m +=--．………………9分 当()00,x x ∈时，()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>.所以当0x x =时，()h x 取得最小值()0h x ．……………………………………10分 所以()()()0+00e ln 12x mh x h x x ≥=-+-00121x m x =++-+ ()0011301x m x =+++->+． 综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-．……………………………………12分 思路2：先证明e 1()xx x ≥+∈R ，且ln(1)(1)x x x +≤>-．…………………5分 设()e 1xF x x =--，则()e 1x F x '=-．因为当0x <时，()0F x '<；当0x >时，()0F x '>， 所以()F x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增． 所以当0x =时，()F x 取得最小值(0)0F =．所以()(0)0F x F ≥=，即e 1()xx x ≥+∈R ．…………………………………7分 所以ln(1)x x +≤（当且仅当0x =时取等号）．…………………………………8分 再证明()+eln 120x mx -+->．由e 1()x x x ≥+∈R ，得1e 2x x +≥+（当且仅当1x =-时取等号）．…………9分 因为1x >-，1m ≥，且1e2x x +≥+与ln(1)x x +≤不同时取等号，所以 ()()+11e ln 12e e ln 12x m m x x x -+-+-=⋅-+-11e (2)2(e 1)(2)0m m x x x -->+--=-+≥．综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-．……………………………………12分（22）（Ⅰ）证明：因为AD 是⊙O 的切线，所以DAC B ∠=∠（弦切角定理）． (1)因为DECA ，所以DAC EDA ∠=∠．……………………………2所以EDA B ∠=∠．因为AED D EB ∠=∠（公共角），所以△AED ∽△DEB ．……………………………………………………………3分 所以DE AE BEDE=．即2DE AE BE =．…………………………………………………………………4分 （Ⅱ）解：因为EF 是⊙O 的切线，EAB 是⊙O 的割线，所以2EF EA EB = （切割线定理）．……………………………………………5分 因为4EF =，2EA =，所以8EB =，6AB EB EA =-=．…………………7分 由（Ⅰ）知2DE AE BE =，所以4DE =．………………………………………8分 因为DE CA ，所以△BAC ∽△BED ． ………………………………………9分所以BA ACBEED =．所以6438BA EDAC BE⋅⨯===． …………………………………………………10分（23）（Ⅰ）解：由θρsin 2=，[)0,2θ∈π，可得22sin ρρθ=．…………………………………………………………………1分 因为222x y ρ=+，sin y ρθ=，…………………………………………………2分所以曲线C 的普通方程为2220x y y +-=（或()2211x y +-=）． …………4分（Ⅱ）解法一：因为直线的参数方程为32x y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），消去t 得直线l的普通方程为5y =+． ……………………………………5分因为曲线C ：()2211x y +-=是以G ()1,0为圆心，1为半径的圆，设点()00,D x y ，且点D 到直线l：5y =+的距离最短， 所以曲线C 在点D 处的切线与直线l：5y =+平行． 即直线GD 与l 的斜率的乘积等于1-，即(0011y x -⨯=-．………………7分 因为()220011x y +-=，解得0x =或0x = 所以点D 的坐标为12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，或32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………………9分 由于点D到直线5y =+的距离最短，所以点D 的坐标为32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………………………………10分 解法二：因为直线l的参数方程为32x y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），消去t 得直线l50y +-=．……………………………………5分因为曲线C ()2211x y +-=是以G ()1,0为圆心，1为半径的圆，因为点D 在曲线C 上，所以可设点D ()cos ,1sin ϕϕ+[)()0,2ϕ∈π．………7分 所以点D 到直线l的距离为d =2sin 3ϕπ⎛⎫=-+⎪⎝⎭．………………………………8分 因为[)0,2ϕ∈π，所以当6ϕπ=时，min 1d =．…………………………………9分 此时D 32⎫⎪⎪⎝⎭，，所以点D 的坐标为32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………10分（24）（Ⅰ）解：当1a =时，()12f x ≥等价于112x x +-≥．……………………1分 ①当1x ≤-时，不等式化为112x x --+≥，无解； ②当10x -<<时，不等式化为112x x ++≥，解得104x -≤<； ③当0x ≥时，不等式化为112x x +-≥，解得0x ≥．…………………………3分 综上所述，不等式()1≥x f 的解集为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．………………………………4分 （Ⅱ）因为不等式()f x b ≥的解集为空集，所以()max b f x >⎡⎤⎣⎦．…………………5分以下给出两种思路求()f x 的最大值.思路1：因为()f x x x =+-()01a ≤≤，当x ≤()f x x x =-=0<．当x <时，()f x x x =2x =£=+当x ≥()f x x x =+=所以()max f x ⎡⎤⎣⎦=7分思路2：因为 ()f x x x =+-x x ≤++==当且仅当x ≥所以()max f x ⎡⎤⎣⎦=7分因为对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，所以max b >．………………………………………………………8分以下给出三种思路求()g a =. 思路1：令()g a =所以()21g a =+2212≤++=．=12a =时等号成立． 所以()max g a =⎡⎤⎣⎦所以b的取值范围为)∞．…………………………………………………10分 思路2：令()g a =因为01a ≤≤，所以可设2cos a θ= 02θπ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭， 则()g a=cos sin 4θθθπ⎛⎫=+=+≤ ⎪⎝⎭ 当且仅当4θπ=时等号成立． 所以b的取值范围为)∞．…………………………………………………10分 思路3：令()g a =因为01a ≤≤，设x y ìï=ïíï=ïî则221x y +=()01,01x y ＃＃． 问题转化为在221x y +=()01,01x y ＃＃的条件下， 求z x y =+的最大值．利用数形结合的方法容易求得z此时x y ==． 所以b的取值范围为)∞．…………………………………………………10分。
2016年全国高考理科数学及答案
2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =（ ）．A ．3(3,)2--B ．3(3,)2-C ．3(1,)2D ．3(,3)22．设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +（ ）．A ．1BC D ．23．已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a （ ）．A ．100B ．99C ．98D ．974．某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）． A ．13B ．12C ．23D ．345．已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ）．A ．(1,3)-B -1（C ．0,3（）D ．0（ 6．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是（ ）． A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π7．函数2||-=2x y x e 在[]-2,2的图像大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．8．若1a b >>，01c <<，则（ ）． A ．c c a b <B ．c c ab ba <C ．log log b a a c b c <D ．log log a b c c <9.执行右面的程序图，如果输入的0x =，1y =,1n =则输出x ，y 的值满足（ ）．A ．2y x =B ．3y x =C ．4y x =D ．5y x =10．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的标准线于D 、E 两点.已知AB =，DE =C 的焦点到准线的距离为（ ）．A ．2B ．4C ．6D ．811．平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，α∥平面11CB D ，αI 平面ABCD m =，αI平面11ABA B n =，则m ，n 所成角的正弦值为（ ）．A B C D ．1312．已知函数()sin()(0f x x+ωϕω=>，)2πϕ≤，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调，则ω的最大值为（ ）． A ．11B ．9C ．7D ．5第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分13．设向量)=(1a m ，，=2(1)b ，，且222=a b a b++，则m =__________．14．5(2x +的展开式中，3x 的系数是__________．（用数字填写答案） 15．设等比数列满足1310a a +=，245a a +=，则12n a a a ⋯的最大值为__________．16．某高科技企业生产产品A 和产品B ,需要甲、乙两种新型材料。
2016全国1高考数学(理)真题及答案解析精编版.doc
2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学及答案注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷 ( 选择题 ) 和第Ⅱ卷 ( 非选择题 ) 两部分 . 第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 3至5页.2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效 .4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回 .第Ⅰ卷一 . 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合A { x | x 24x 3 0} ， B { x | 2x 3 0} ，则 A I B( 3, 3)( 3,3)(1,3)( 3,3)（A ）2（B ）2（C ）2（D ）2（2）设(1 i) x1yi，其中 x ，y 是实数，则x yi =（A ）1（B ）2（C ） 3（D ）2（3）已知等差数列{ an}前9项的和为27，a10=8，则a100=（A）100（B）99（C）98（D）97（4）某公司的班车在 7:00 ，8:00 ，8:30 发车，小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10 分钟的概率是（A）（ B）（ C）（ D）（5）已知方程– =1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（A）( –1,3)（B）(–1,3)（C）(0,3)（D）(0,3)（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径 . 若该几何体的体积是，则它的表面积是（A）17π（ B）18π（ C）20π（ D）28π（7）函数y=2x2–e|x|在[ –2,2] 的图像大致为（A）（B）（C）（D）（8）若a b 10， c 1，则（A）a c b c（） ab c ba c（）（）B C a log b c b log a c D log a c log b c（9）执行右面的程序图，如果输入的x 0， y 1， n 1，则输出x，y的值满足（A）y2x （B） y 3x （C） y 4x （D） y 5x(10)以抛物线 C的顶点为圆心的圆交 C于 A、B两点，交 C的标准线于 D、E两点. 已知 | AB|= 4 2，| DE|=2 5，则C的焦点到准线的距离为(A)2(B)4(C)6(D)8(11) 平面a过正方体ABCD-A B CD的顶点A，a// 平面CBD，平面 ABCD=m，1111 1 1a a平面 ABA1B1=n，则 m、n 所成角的正弦值为(A) 3(B)2(C)3(D) 1 223 312. 已知函数 f xsin(x+)(0，), x 为 f (x) 的零点， x为 y f ( x) 图( )442像的对称轴，且 f ( x) 在5单调，则的最大值为18 ，36（A ）11（B ）9（C ）7 （D ）5第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分 . 第(13) 题~第 (21) 题为必考题， 每个试题考生都必须作答 . 第(22) 题~第(24) 题为选考题，考生根据要求作答 .二、填空题：本大题共3 小题，每小题 5 分(13) 设向量 a =( m ，1) ，b =(1 ，2) ，且 | a +b | 2=| a | 2+| b | 2，则 m =.(14) (2 x x )5 的展开式中， x 3 的系数是 . （用数字填写答案）（ 15）设等比数列满足 a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则 a 1a 2 a n 的最大值为。
【试卷】广东省广州市2016届高三数学毕业班综合测试试卷一理含解析
【关键字】试卷2016年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合，，则（A）（B）（C）（D）答案：D解析：集合A＝，集合B＝，所以，。
（2）已知复数，其中为虚数单位，则复数的共轭复数所对应的点在（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限答案：D解析：，共轭复数为，在第四象限。
（3）执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的值为（A）6 （B）8 （C）10 （D）12答案：C解析：第一步：x＝9，k＝2；第二步：x＝21，k＝4；第三步：x＝45，k＝6；第四步：x＝93，k＝8；第五步：x＝189，k＝10；退出循环，故k＝10。
（4）如果函数的相邻两个零点之间的距离为，则的值为（A）3 （B）6 （C）12 （D）24答案：B解析：依题意，得：周期T＝，，所以，＝6。
（5）设等差数列的前项和为，且，则（A）52 （B）78 （C）104 （D）208答案：C解析：由，得＝8，所以，＝104，选C。
（6）如果，，…，是抛物线：上的点，它们的横坐标依次为，，…，，是抛物线的焦点，若，则（A）（B）（C）（D）答案：A解析：由抛物线的焦点为（1,0），准线为＝－1，由抛物线的定义，可知，，…，故（7）在梯形中，，已知，，若，则（A ） （B ） （C ） （D ） 答案：A解析：如图，作AE ∥DC ，交BC 于E ，则ADEC 为平行四边形，＝， 又＝，所以，，故－3。
2016年全国各省市高考数学(理)试题及答案
2016年全国各省市高考数学（理）试题及答案2016年全国各省市高考数学（理）试题及答案试题类型：2016年普通高等学校招生全国统一考试卷3 理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合S ={}{}(x 2)(x 3)0,T 0S xx x =--≥=I > ，则S T =(A)[2，3](B)（-∞ ，2] [3,+∞）(C) [3,+∞） (D)（0，2] [3,+∞）（2）若z=1+2i ，则41i zz =-(A)1 (B) -1 (C) i (D)-i（3）已知向量12(,)22BA = ,31(,),2BC = 则∠ABC= (A)300(B) 450(C) 600(D)1200（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。
图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50C 。
下面叙述不正确的是(A) 各月的平均最低气温都在00C 以上(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同(D) 平均气温高于200C 的月份有5个（5）若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+= (A)6425 (B) 4825(C) 1 (D)1625（6）已知432a =，344b =，1325c =，则（A ）b a c << （B ）a b c <<（C ）b c a <<（D ）c a b << （7）执行下图的程序框图，如果输入的a =4，b =6，那么输出的n =（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（8）在ABC△中，π4B，BC边上的高等于13BC,则cos A （A）310（B）10（C）10（D）310(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A）185+（B）545+（C）90（D）81(10) 在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是π（A）4π （B）92π（C）6π （D）323（11）已知O为坐标原点，F是椭圆C：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34（12）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,ka a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有（A ）18个 （B ）16个 （C ）14个 （D ）12个第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分 （13）若x ，y 满足约束条件 则z=x+y 的最大值为_____________.（14）函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到。
2016年全国高考理科数学试题与答案_全国卷3
(D)
（2）若 z=1+2i ，则 4i zz 1
(A)1
(B) -1
(C) i
(D)-i
（ - ，2] U [3,+ ） （ 0， 2] U [3,+ ）
uuv （3）已知向量 BA
1 (,
2) ,
uuuv BC
(
31 , ),
则
ABC=
22
22
(A)30 0
(B) 45
0
(C) 60
0
(D)120
（A）4π
（ B） 9 2
x2 （11）已知 O 为坐标原点， F 是椭圆 C： a2
（ C）6π
（ D） 32 3
y2 b2 1(a b 0) 的左焦点， A， B 分别为 C
的左， 右顶点 . P为 C上一点， 且 PF⊥ x 轴. 过点 A的直线 l 与线段 PF交于点 M，与 y 轴交于
点 E. 若直线 BM经过 OE的中点，则 C的离心率为
理量。
（19）（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 P-ABCD中， PA⊥地面 ABCD，AD∥BC，AB=AD=A=C3， PA=BC=4， M为线段 AD上 一点， AM=2MD， N为 PC的中点 . （I ）证明 MN∥平面 PAB; （II ）求直线 AN与平面 PMN所成角的正弦值 .
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试题类型：
2016 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1. 本试卷分第Ⅰ卷 ( 选择题 ) 和第Ⅱ卷 ( 非选择题 ) 两部分 . 第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 3 至
5 页.
2. 答题前，考生务必将自己的、准考证号填写在本试题相应的位置
广东省广州市2016届高三数学毕业班综合测试试卷一理含解析
2016年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合{}1A x x =<，{}20B x x x =-≤，则AB =（A ）{}11x x -≤≤ （B ）{}01x x ≤≤ （C ）{}01x x <≤ （D ）{}01x x ≤< 答案：D解析：集合A ＝{}11x x <－＜，集合B ＝{}1x x ≤≤0，所以，A B ={}01x x ≤<。
（2）已知复数3i1iz +=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数z 所对应的点在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限答案：D解析：(3)(1)122i i z i ++==+，共轭复数为12i -，在第四象限。
（3）执行如图所示的程序框图，如果输入3x =，则输出k 的值为（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12 答案：C解析：第一步：x ＝9，k ＝2；第二步：x ＝21，k ＝4；第三步：x ＝45，k ＝6； 第四步：x ＝93，k ＝8；第五步：x ＝189，k ＝10；退出循环，故k ＝10。
（4）如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>的相邻两个零点之间的距离为6π，则ω的值为（A ）3 （B ）6 （C ）12 （D ）24答案：B解析：依题意，得：周期T ＝3π，23ππω=，所以，ω＝6。
2016年全国高考数学(理科)试题及答案-全国1卷(解析版)
绝密 ★ 启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国1卷)数学（理科)注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2。
答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。
4。
考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合{}2430A x x x =-+< ，{}230x x ->,则A B =（A ）33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （B)33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（D)3,32⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D考点：集合的交集运算【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题形式出现，属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算，如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算,常借助数轴进行运算。
(2）设(1i)1i x y +=+,其中x ，y 实数，则i =x y + （A ）1 （2 （C 3 （D ）2 【答案】B 【解析】试题分析：因为(1)=1+,x i yi +所以=1+,=1,1,||=|1+|2,x xi yi x y x x yi i +==+=故选B.考点：复数运算【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容，一般以客观题形式出现，属得分题。
高考中复数考查频率较高的内容有：复数相等，复数的几何意义,共轭复数，复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大，但容易出现运算错误,特别是2i 1=-中的负号易忽略，所以做复数题要注意运算的准确性.(3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，108a =，则100a = (A ）100 （B ）99 (C ）98 （D ）97 【答案】C 【解析】试题分析：由已知,1193627,98a d a d +=⎧⎨+=⎩所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=故选C 。
2016年全国高考理科数学试题及答案-全国卷3(K12教育文档)
(直打版)2016年全国高考理科数学试题及答案-全国卷3(word版可编辑修改)(直打版)2016年全国高考理科数学试题及答案-全国卷3(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(直打版)2016年全国高考理科数学试题及答案-全国卷3(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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(直打版)2016年全国高考理科数学试题及答案-全国卷3(word版可编辑修改)绝密★启封并使用完毕前2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分。
第Ⅰ卷 1 至3 页，第Ⅱ卷 3 至5页。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1）设集合S= S x P(x 2)（x 3) 0 ,T x x 0 ,则 S I T=（A) ［2 ，3］(B）（—，2] U [3，+ ）（C) [3，+ ）（D) （0，2］U [3，+ )4i（2）若 z=1+2i ，则zz 1(A)1 （B) -1 (C） i（D)—i（3)已知向量u uvBA1 2( ,）2 2,u u u vBC3 1( ,）,2 2则ABC=（A ）300 （B）450 （C） 600(D)1200(4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中月平均最高气温和平均最低0C,B 点表示四月的平均最低气气温的雷达图。
2016届广东省湛江市普通高考测试(二)数学(理)试题(解析版)
2016届广东省湛江市普通高考测试（二）数学（理）试题一、选择题1．已知全集U R =，集合{}24A x x =≥，集合{}1B x x =>，则()U A B = ð（ ）A ．{}22x x -<< B ．{}12x x ≤≤ C ．{}21x x -<≤D ．{}21x x -≤< 【答案】C【解析】试题分析：由{}24A x x =≥得{}22-≤≥=x x x A 或，则{}21-≤>=⋃x x x B A 或，故(){}12≤<-=⋃x x B A C U ，故答案为C.【考点】集合的运算.2．已知i 是虚数单位，a R ∈，复数123,12z ai z i =-=+，若12z z ⋅是纯虚数，则a =（ ） A ．32-B ．32C ．6-D ．6 【答案】A 【解析】试题分析：复数123,12z ai z i=-=+，∴()()()i a a i ai z z -++=+-=⋅62321321是纯虚数，∴⎩⎨⎧≠-=+06023a a ，解得23-=a ．故选：A ．【考点】复数代数形式的乘除运算.3．某中学共有学生2000名，校卫生室为了解学生身体健康状况，对全校学生按性别采用分层抽样的办法进行抽样调查，抽取了一个容量为200的样本，样本中男生107人，则该中学共有女生（ ）A ．1070人B ．1030人C ．930人D ．970人 【答案】C【解析】试题分析：设女生有x 人，则2002000107200=-x ，解得930=x ，所以该校女生有930人．故选：C ． 【考点】分层抽样方法.4．执行如图所示的程序框图，若输入2x =，则输出y 的值为（ ）A ．2B ．5C ．11D ．23 【答案】D 【解析】试题分析：模拟执行程序，可得本程序框图为计算并输出y 的值，循环体为“直到型”循环结构，由框图，可得：5,2==y x 不满足条件8>-y x ，执行循环体，11,5==y x ，不满足条件8>-y x ，执行循环体，23,11==y x ，满足条件8>-y x ，退出循环，输出y 的值为23．故选：D ．【考点】程序框图. 5．给出以下四个结论： ①0a b +=的充要条件是1ab=-； ②命题：“,sin 1x R x ∀∈≤”的否定是“00,sin 1x R x ∃∈>”； ③20,2xx x ∀>>；④一组数据的方差越大，则这组数据的波动越小． 其中正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】试题分析：①当0==b a 时，1-=ba不成立，∴充分性不成立，即0a b +=的充要条件是1ab=-错误，②命题：“,sin 1x R x ∀∈≤”的否定是“00,sin 1x R x ∃∈>”；正确，③当2=x 时，x x22=；∴20,2x x x ∀>>；错误，④一组数据的方差越大，则这组数据的波动越大．故④错误，故正确的是②，故选：B.【考点】命题的真假判断与应用.【方法点晴】本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大．①根据充分条件和必要条件的定义进行判断．②根据全称命题的否定是特称命题进行判断．③根据全称命题的定义,能够举出一个反例不成立，则全称命题不成立进行判断．④根据方差的意义方差越大，则这组数据的波动越大进行判断． 6．函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将其图象向右平移3π个单位后所得图象对应的解析式为（ ） A ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．cos 2y x =-C ．sin2xy = D ．cos 2y x = 【答案】B【解析】试题分析：由πωπ==2T ，2=ω，()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin πx x f ，将其图象向右平移3π个单位后，()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22sin 632sin πππx x x f ，∴()x x f 2cos -=，故答案为：B ．【考点】函数()ϕω+=x A y sin 的图象变换.7．如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形．圆柱侧面积为16π，其底面直径与母线长相等，则此三棱柱的体积为（ ）A．．12 C．．【答案】C【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的高为r 2，∴ππ1622=⋅=r r S 侧，解得2=r ．∴正三棱柱的底面边长为32．棱柱的高为4．∴棱柱的体积()312432432=⨯⨯=V ，故选：C ． 【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． 8．设0sin a xdx π=⎰，则二项式6⎛⎝展开式中含x 项的系数是（ ）A ．192-B ．192C ．240-D ．240【答案】D【解析】试题分析：2cos sin 0=-==⎰ππx xdx a ，∴66121⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x a 展开式的通项为()r r r rr x C T --+-=366121，令13=-r 得2=r ，故展开式中含x 项的系数是2401626=C ，故选D ．【考点】二项式系数的性质.9．已知实数,x y 满足121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，如果目标函数z y x =-的最大值为1，则实数m 等于（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3 【答案】B【解析】试题分析：由x y z -=得z x y +=，由图象可知要使x y z -=的最大值为1，即1+=x y ，此时直线1+=x y 对应区域的截距最大，由⎩⎨⎧-=+=121x y x y ，解得⎩⎨⎧==32y x ，即()3,2A ，同时A 也在直线m y x =+上，即532=+=m ，故选：B ．【考点】简单线性规划.10．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线()220y px p =>的准线分别交于,A B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，AOB ∆则p =（ ） A ．2 B ．4 C ．12 D ．14【答案】A【解析】试题分析：由2122222=+=+==a b a b a a c e ，可得3=a b ．由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=±=2px x ab y ，求得⎪⎭⎫ ⎝⎛-a bp p M 2,2，⎪⎭⎫⎝⎛--a bp p N 2,2，所以3221=⋅=∆p a bp S MON ．将3=a b 代入，得42=p ，解得2=p ．故选A ．【考点】双曲线的简单性质.【方法点晴】本题考查双曲线和抛物线的综合应用．求解这类问题关键是结合两个曲线的位置关系，找到它们对应的几何量，属于中档题．由双曲线的离心率公式及c b a ,,的关系可得3=ab，由双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程列出方程组解得⎪⎭⎫ ⎝⎛-a bp p M 2,2，⎪⎭⎫⎝⎛--a bp p N 2,2，求出三角形MON ∆的面积，进而解得p 的值． 11．设数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列．若1212,a a b b <<，且()21,23i i b a i ==，则数列{}n b 的公比为（ ）A．1+．3+．3-．1 【答案】B【解析】试题分析：由题意可知()()22222222131313a b b b a a a a ====，则2213a aa =±．若2213a aa =，易知123a a a ==，舍去；若2213a a a =-，则10a <，且213132a a a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以22113360a a a a ++=，23311610a a a a ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3132a a =-，又2223332111b a aq b a a ⎛⎫===⎪⎝⎭，且1q >，所以3q =+ B. 【考点】（1）等比数列的通项公式；（2）等差数列的通项公式.12．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意实数x ，有()()f x f x >'，且()1f x +为奇函数，则不等式()0xf x e +<的解集是（ ）A ．(),0-∞B ．()0,+∞C ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】试题分析：设()()x f x g x e =．由()()fx f x '>，得()()()()()()20x xxx f x e f x e f x f x g x e e ''--'==<，故函数()g x 在R 上单调递减．由()1f x +为奇函数()01f =-，所以()()0001f g e ==-．不等式()0x f x e +<等价于()1xf x e<-，即()()0g x g <，结合函数()g x 的单调性可得0x >，从而不等式()0x f x e +<的解集为()0,+∞，故答案为B.【考点】利用导数研究函数的单调性.【方法点晴】本题考查了导数的综合应用及函数的性质的应用，构造函数的思想，阅读分析问题的能力，属于中档题．常见的构造思想是使含有导数的不等式一边变为0，即()()f x f x >'得()()0<-'x f x f ，当是形如()()0<-'x f x f 时构造()()x f x g x e=；当是()()0<+'x f x f 时构造()()x e x f x g ⋅=，在本题中令()()xf xg x e =，（R x ∈），从而求导()0<'x g ，从而可判断()x g y =单调递减，从而可得到不等式的解集．二、填空题13．已知数列{}n a 满足11a =，且对于任意*n N ∈都有11n n a a n +=++，则121001111a a a ++⋅⋅⋅+=______． 【答案】5011001【解析】试题分析：∵对于任意*n N ∈都有11n n a a n +=++，即11+=-+n a a n n ， ∴()()()()()21121112211+=+++-+=+-++-+-=---n n n n a a a a a a a a n n n n n ， ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=11121n n a n ．∴12111112122310011002a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11001211002501⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．故答案为：5011001． 【考点】（1）数列的递推式；（2）数列求和. 14．已知平面向量,i j 是单位向量，且1,2=i j ，若平面向量a满足：=⋅=⋅a a i j ，则=a ______． 【答案】2【解析】试题分析：∵,是单位向量，21=⋅，∴平面向量,的夹角为60，∵3=⋅=⋅，∴a为的角平分线，∴330==⋅2=．故答案为：2．【考点】平面向量数量积的运算.15．若(10,,9log 02x a x x a ⎛⎫∀∈<> ⎪⎝⎭且)1a ≠，则实数a 的取值范围是______．【答案】⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,231【解析】试题分析：(10,,9log 02x a x x a ⎛⎫∀∈<> ⎪⎝⎭，∴10<<a ，3921log 21=≥a ，即1231<≤-a ．故答案为：⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,231.【考点】全称命题.16．已知圆22:9O x y +=，点()2,0A ，点P 为动点，以线段AP 为直径的圆内切于圆O ，则动点P 的轨迹方程是______．【答案】15922=+y x 【解析】试题分析：设AP 的中点为M ，切点为N ，连OM ，MN ，则3==+ON MN OM ，取A 关于y 轴的对称点1A ，连P A 1，故()621=+=+ON OM AP P A ．所以点P 的轨迹是以1A ，A 为焦点，长轴长为6的椭圆．其中3=a ，2=c ，5=b ，则动点P 的轨迹方程是15922=+y x ．故答案为：15922=+y x ． 【考点】轨迹方程.【方法点晴】本题考查轨迹方程的求法，判断轨迹的椭圆简化解题的过程，考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力．在圆锥曲线题中应根据草图加以理解，利用转化思想，对称性，构造三角形中位线，根据圆锥曲线的定义，性质方程构造出本题正符合一动点到两定点的距离之和为定值即椭圆的定义，从而可得结果.三、解答题17．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A 为锐角，向量(2sin ,A =m ，2cos 2,2cos 12A A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭n ，且m n ．（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）如果2a =，求ABC ∆面积的最大值． 【答案】（Ⅰ）3π；（Ⅱ）3. 【解析】试题分析：（I ）由向量平行的坐标表示整理可得22sin 2cos 122A A A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭结合已经知道20π<<A 可求A ；（II ）利用余弦定理可得2240b c bc +--=，利用基本不等式可得4bc ≤，代入面积公式A bc S ABC sin 21=∆可求. 试题解析：（Ⅰ）∵ m n，∴22sin 2cos 122A A A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．∴sin 2A A =，即tan 2A = 又∵A 为锐角，∴()20,A π∈．∴22,33A A ππ==． （Ⅱ）∵,23A a π==，由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=得2240b c bc +--=．∵222b c bc +≥，代入上式得：4bc ≤（当且仅当2b c ==时等号成立）．1sin 24ABC S bc A ∆==≤2b c ==时等号成立）． ∴ABC ∆【考点】（1）解三角形；（2）平面向量共线（平行）的坐标表示；（3）三角函数的恒等变换及化简求值.18．某校数学文化节同时安排A 、B 两场讲座．已知甲、乙两寝室各有6位同学，甲寝室1人选择听A 讲座，其余5人选择听B 讲座；乙寝室2人选择听A 讲座，其余4人选择听B 讲座．现从甲、乙两寝室中各任选2人． （Ⅰ）求选出的4人均选择听B 讲座的概率；（Ⅱ）设ξ为选出的4人中选择听A 讲座的人数，求ξ的分布列和数学期望E ξ． 【答案】（Ⅰ）154；（Ⅱ）分布列见解析，()1=ζE . 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用相互独立事件概率乘法公式能求出选出的4人均选择听B 讲座的概率；（Ⅱ）由题意得ζ的可能取值为3,2,1,0，分别求出相应的概率，由此能求出ζ的分布列和ζE ．试题解析：（Ⅰ）设“从甲寝室选出的2人选择听B 讲座”为事件M ， “从乙寝室选出的2人选择听B 讲座”为事件N ，∴()()2254226622,35C C P M P N C C ====．由于事件M 、N 相互独立，所以选出的4人均选择听B 讲座的概率()()()2243515P M N P M P N =⋅=⨯=． （Ⅱ）ξ可能的取值为0,1,2,3．∴()4015P ξ==， ()21112552442222666622145C C C C C P C C C C ξ==⨯+⨯=，()12052422661345C C C P C C ξ==⨯=．∴()()()()2210139P P P P ξξξξ==-=-=-==． ∴ξ的分布为ξ的数学期望42221012311545945E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 【考点】（1）离散型随机变量的期望与方差；（2）古典概型及其概率计算公式；（3）离散型随机变量及其分布列.19．如图，己知ABCDEF 是正六边形，GA 、ND 都垂直于平面ABCDEF ，平面GFN交线段DE 于点R ，点M 是CD 的中点，1,2AB DN AG ===．（Ⅰ）证明：AM 平面GFRN ； （Ⅱ）求二面角A GF N --的余弦值． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）41-. 【解析】试题分析：（Ⅰ）以A 为原点，直线AG AC AF ,,分别为z y x ,,轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用和向量法能证明//AM 平面GFRN ；（Ⅱ）求出平面GFRN 的法向量和平面AGF 的法向量，利用向量法能求出二面角N GF A --的余弦值．试题解析：由正六边形的性质得：AF AC ⊥，以点A 为坐标原点，直线,,AF AC AG 分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则()()()()()1,,,1,0,0,0,0,2,2C D N F G M ⎛⎫---- ⎪⎝⎭∴()()1,1,0,2,2AM FG FN ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭．设平面FRNG 的法向量为(),,x y z =n则20FN x z ⋅=+= n，0FN z ⋅+=n得一个法向量()3=-n．∵()160302AM ⎛⎫⋅=⨯-+⋅-= ⎪⎝⎭n∴AM ⊥n ．且AM ⊄平面FRNG ， ∴AM 平面GFRN ．（Ⅱ）由（Ⅰ）证法2，得平面FRNG的一个法向量为()3=-n ． 而平面AGF 的一个法向量是()0,1,0=m ．则1cos ,4⋅===⋅n mn m n m． 又因为所求二面角为钝角，所以所求二面角A GF N --的余弦值为14-． 【考点】（1）直线与平面平行的判定；（2）二面角的平面角及求法. 【一题多解】（Ⅰ）取,AF GF 的中点,H K ，连结,,DH HK KN ．∵,AH MD AH MD = ．∴四边形AMDH 都是平行四边形．∴HD AM ．① ∵GA 、ND 都垂直于平面ABCDEF ．∴GA ND ． 又112KH AG DN ===，且KH ND ．∴四边形DHKM 是平行四边形． ∴KH HD ．②由①②得AM KN ．又KN ⊂平面GFRN ，且AM ⊄平面GFRN ．∴AM 平面GFRN ．（Ⅱ）AM ⊂平面ABCDEF ，FR =平面GFRN 平面ABCDEF ． 由（Ⅰ）得AM FR （注：第一小题的证明也可先证此结论）． 延长FR 、MD 交于U ．则MU AF =，且12DU =． 3EDU π∠=，则22232cos34EU DU DE DU DE π=+-⋅⋅⋅=即222DU UE DE +=，∴UE DU ⊥．延长UE 交AF 于S ，∵AF MD ，∴US AS ⊥∵GA ⊥平面ABCDEF ，∴GA US ⊥ 且AS AG A = ，∴US ⊥平面GAF ．作ST GF ⊥，交GF 延长线于T ，则US GT ⊥，连结UT ．由GT STGT US GT TS SU S ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪=⎭ 平面STU GT UT ⇒⊥． STU ∠是二面角A GF R --的平面角的补角．在Rt STF ∆中，1sin 2ST SF GFA US AC =⋅∠==== 在Rt TSU ∆中，1cos 4ST STU UT ∠====．∴所求二面角A GF N --的余弦值为14-．20．如图，已知抛物线C 以坐标原点O 为顶点，焦点F 在x 轴的正半轴上，且12OF =．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过定点()00,N x y 的动直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点（A 、B 异于点O ），设OA 、OB 的倾斜角分别为α、β，若()()0,αβαβπ++∈为定值，求0x 的值．【答案】（Ⅰ）x y 22=；（Ⅱ）20-=x .【解析】试题分析：（Ⅰ）根据抛物线的几何性质得12122=⨯==OF p ，问题得以解决；（Ⅱ）设()()2211,,,y x B y x A ，设l 的方程为()00x x k y y -=-，与抛物线方程联立，根据韦达定理表示出21y y +，21y y ⋅，分若2πβα≠+和若2πβα=+，求得直线方程，进而求出()00,y x N 的值．试题解析：（Ⅰ）依题意，设抛物线的方程为()220y px p =>．∴根据抛物线的几何性质得12212p OF ==⋅=． ∴抛物线C 的方程是22y x =．（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，,A B 关于x 轴对称， 此时αβ+=，不符合题意．设l的方程为()()()()0011220,,,,y y k x x k A x y B x y -=-≠，则()001x y y x k=-+，代入22y x =， 得：2002120y y y x k k ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭． ∴01201222,y y y x y y k k ⎛⎫=-+=⎪⎝⎭．①由题意知,αβ均不为2π，记12tan ,tan k k αβ==．（1）若2παβ+≠，则()1212tan 1k k k k αβ++=-．又111221112222,y y k k x y y y ====，代入上式得 ()()12122tan 4y y y y αβ++=-．②将①代入②，化简得：()()002tan 2y x kαβ+=-+．∵上式左边是定值，且00,y x 为定值，k 是变量． ∴020x +=，即02x =-． （2）若2παβ+=，则tan tan 1αβ⋅=，即121k k =．∵12122212120442y y k k y y y y y x k===-． ∴02y x k-=，即()0020y x k -+=．∴002,0x y =-=． 综上可知，符合题意的点N 的横坐标02x =-．【考点】（1）抛物线的性质；（2）直线与圆锥曲线的综合.【方法点晴】本题主要考查了求轨迹方程的问题．涉及直线的抛物线的关系，常需要联立方程根据韦达定理找到解决问题的突破口，属于中档题．第一问中直接根据抛物线的几何性质，得到p 的值，从而得到结果；第二问中，直线与抛物线相交，联立方程组，运用韦达定理属于通法，结合本题中的已知条件βα+为定值，故可结合其正切值为定值，但要注意分为90=+βα和90≠+βα两种情况，结合韦达定理中的结论利用整体代换得结果.21．已知函数()ln xx f x e ex a -=--．（Ⅰ）若()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）讨论()f x 的零点个数．【答案】（Ⅰ）(]2,0e ；（Ⅱ）当20a e <≤时，()f x 有且只有1个零点；当2a e >时，()f x 有3个零点．【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，得到()ln 0xxf x e ea -'=+-≥恒成立，结合基本不等式的性质，从而求出a 的范围即可；（Ⅱ）通过讨论a 的范围，结合函数的单调性求出函数的零点的个数即可．试题解析：（Ⅰ）依题意：()ln 0xxf x e ea -'=+-≥对于x R ∈恒成立，即ln x x e e a -+≥恒成立．∵当x R ∈时，有2x x e e -+≥=（当且仅当0x =时等号成立）．∴2ln 20a a e ≤⇒<≤，故a 的取值范围为(20,e ⎤⎦．（Ⅱ）（ⅰ）当20a e <≤时，由（Ⅰ）知()f x 在R 上单调递增，故此时()f x 至多有一个零点．又()00f =，∴当20a e <≤时，()f x 有且只有一个零点00x =． （ⅱ）当2a e >时，先考察0x >时函数()f x 的零点个数．由（Ⅰ）()ln xxf x e ea -'=+-．记()ln ,0x x x e e a x ϕ-=+->．则()0xxx e eϕ-'=->．∴()x ϕ在()0,+∞上单调递增．∵2a e >，∴()02ln 0f a '=-<．又()()()()ln ln ln ln 11ln ln ln ln ln 0ln ln a a a ee a a a a aϕ-=+-=+-=>， 即()()ln ln 0f a '>．∴存在()()00,ln ln x a ∈，使()00f x '=． ∴当00x x <<时，有()0f x '<；当0x x >时，有()0f x '>． ∴()f x 在()0,+∞上有极小值()0f x ，且()()000f x f <=． 以下先证对任意0,ln x x x >>． 令()ln t x x x =-，则()111x t x x x-'=-=，得1x >时，()0,01t x x '><<时，()0t x '<．∴()()min 110t x t ==>．∴ln 0x x ->成立，即ln x x >．取3ln x a =，则()()()()223ln 3ln 33223331113ln 3ln 3ln 33a a f a e e a a a a a a a a a a -=--=-->--=--∵24a e >>，∴()23130aa a-->． 即()3ln 0f a >．()f x 在()0,3ln x a 上存在零点，∵()f x 在()0,x +∞上单调递增，∴()f x 在()0,x +∞上存在唯一零点．另一方面，∵()()f x f x -=-，∴()f x 是R 上的奇函数， ∴根据对称性知：()f x 在()0,x -∞-上也存在一个零点． 又()00f =，∴当2a e >时，函数()f x 有3个零点．综上所述，当20a e <≤时，()f x 有且只有1个零点；当2a e >时，()f x 有3个零点．【考点】（1）利用导数研究函数的单调性；（2）函数零点的判定定理.【方法点晴】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查函数的零点问题，利用导数求函数的极值，以及利用导数求函数在闭区间上的最值，熟练掌握导数的性质是解本题的关键综合性强，难度较大；首先利用函数单调递增等同于()0≥'x f 恒成立解决第一问，当涉及到零点个数时，由（Ⅰ）知分为20a e <≤和2a e >两种情况,主要是利用导数判断该函数的单调性，得到函数的大致图象，结合奇偶性得到结果. 22．选修4-1：几何证明选讲 如图，直线AB 为O 的切线，切点为B ，点C 、D 在圆上，DB DC =，作B E B D ⊥交圆于点E ．（Ⅰ）证明：CBE ABE ∠=∠；（Ⅱ）设O 的半径为2，BC =延长CE 交AB 于点F ，求BCF ∆外接圆的半径．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）3.【解析】试题分析：（Ⅰ）构造辅助线DE ，交BC 于点G ．由弦切角定理，圆上的同弧，等弧的性质，通过导角，可以得知BCE CBE ∠=∠，ABE BCE ∠=∠即可得结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得DG 是BC 的中垂线，即可求得BG 的长度．设DE 的中点为O ，连结BO ，求得60=∠BOG ，通过导角，可得BF CF ⊥，即可求得BCF Rt ∆外接圆的半径．试题解析：（Ⅰ）连结DE ，交BC 与点G ∵BE BD ⊥，∴DE 是直径． ∵222222,BE DE DB CE DE DC =-=-，又DB DC =，∴BE CE =．∴BCE CBE ∠=∠．由弦切角定理得ABE BCE ∠=∠，∴CBE ABE ∠=∠．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，Rt CDE Rt BDE ∆∆≌，∴,CDE BDE DB DC ∠=∠=， ∴DG 是BC的中垂线，∴BG =连结BO，则sin 602BOG BOG ∠=∠=︒，所以OBE ∆为正三角形． 30ABE BCE CBE ∠=∠=∠=︒，∴CF BF ⊥，∴Rt BCF ∆【考点】与圆有关的比例线段. 23．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程()()22121x y -+-=，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立 极坐标系．（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l的参数方程为112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），求圆C 上的点到直线l 的距离的取值范围．【答案】（Ⅰ）22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；（Ⅱ）1⎤⎦.【解析】试题分析：（Ⅰ）把圆的标准方程化为普通方程，利用公式cos ,sin x y ρθρθ==转化即可得到结果；（Ⅱ）把直线由参数方程化为直角坐标方程，利用几何知识圆上的点到直线距离的最大值为圆心到直线的距离加半径，最小值为圆心到直线的距离减半径即可.试题解析：（Ⅰ）圆C 的方程可化简为：222440x x y y -+-+=． ∵cos ,sin x y ρθρθ==．∴圆C 的极坐标方程为：22cos 4sin 40ρρθρθ--+=．（Ⅱ）直线l的直角坐标方程为10x -=，圆C 的圆心坐标为()1,2．圆心到直线l 的距离d ==∴圆C 上的点到直线l的距离的取值范围是1⎤⎦．【考点】（1）普通方程与极坐标方程的互化；（2）直线与圆的位置关系. 24．选修4-5：不等式选讲 已知函数()121f x x x =+--． （Ⅰ）求不等式()1f x ≥的解集；（Ⅱ）求函数()f x 的图象与x 轴围成的三角形的面积S ． 【答案】（Ⅰ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤232x x；（Ⅱ）38. 【解析】试题分析：（I ）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（II ）画出函数的图象，从而求出三角形的面积即可． 试题解析：（Ⅰ）原不等式等价于：11221x x x <-⎧⎨--+-≥⎩①或111221x x x -≤<⎧⎨++-≥⎩②或11221x x x ≥⎧⎨+-+≥⎩③． 解①得：∅；解②得；213x ≤<；解③得：12x ≤≤． ∴原不等式的解集是223xx ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭． （Ⅱ）依题意：()31311131x x f x x x x x -<-⎧⎪=--≤<⎨⎪-+≥⎩．’∴()f x 的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点的坐标分别为()()1,0,3,0,1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭．∴所求三角形的面积11832233S⎛⎫=⨯-⨯=⎪⎝⎭．【考点】绝对值不等式的解法.。
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2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅲ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2016年全国Ⅲ，理1，5分】设集合()(){}{}|230,|0S x x x T x x =--≥=> ，则S T =I （ ）（A ）[]2,3 （B ）(][),23,-∞+∞U （C ）[)3,+∞ （D ）(][)0,23,+∞U 【答案】D【解析】由()()230x x --≥解得3x ≥或2x ≤，{}23S x x ∴=≤≥或，所以{}023S T x x x =<≤≥I 或，故选D ． 【点评】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．（2）【2016年全国Ⅲ，理2，5分】若i 12z =+，则4i1zz =-（ ）（A ）1 （B ）1- （C ）i （D ）i - 【答案】C【解析】4i 4ii (12i)(12i)11zz ==+---，故选C ． 【点评】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成1-．复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．（3）【2016年全国Ⅲ，理3，5分】已知向量13(,)2BA =uu v ，31(,)2BC =uu u v ，则ABC ∠=（ ）（A ）30︒ （B ）45︒ （C ）60︒ （D ）120︒ 【答案】A【解析】由题意，得133132222cos 11BA BC ABC BA BC⨯+⨯⋅∠===⨯u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以30ABC ∠=︒，故选A ． 【点评】（1）平面向量a r 与b r 的数量积为·cos a b a b θr r r r＝，其中θ是a r 与b r 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ︒≤≤︒；（2）由向量的数量积的性质有||=a a a ·r r r ，·cos a ba b θ=r rr r ，·0a b a b ⇔⊥r r r r ＝，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．（4）【2016年全国Ⅲ，理4，5分】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15C ︒，B 点表示四月的平均最低气温约为5C ︒．下面叙述不正确的是（ ）（A ）各月的平均最低气温都在0C ︒以上 （B ）七月的平均温差比一月的平均温差大 （C ）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D ）平均气温高于20C ︒的月份有5个 【答案】D【解析】由图可知0C ︒均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0C ︒以上，A 正确；由图可在七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在5C ︒，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20C ︒的月份有3个或2个，所以不正确，故选D ．【点评】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B ．（5）【2016年全国Ⅲ，理5，5分】若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） （A ）6425（B ）4825（C ）1 （D ）1625【答案】A 【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．【点评】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系． （6）【2016年全国Ⅲ，理6，5分】已知432a =，254b =，1325c =，则（ ）（A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b << 【答案】A【解析】因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ．【点评】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决．（7）【2016年全国Ⅲ，理7，5分】执行下图的程序框图，如果输入的46a b ==，，那么输出的n =（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】B【解析】第一循环，得2,4,6,6,1a b a s n =====；第二循环，得2,6,4,10,2a b a s n =-====；第三循环，得2,4,6,16,3a b a s n =====；第四循环，得2,6,4,2016,4a b a s n =-===>=； 退出循环，输出4n =，故选B ．【点评】解决此类型时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构．根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．（8）【2016年全国Ⅲ，理8，5分】在ABC D 中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ，则cos A = ( )（A ）310 （B ）10 （C ）10- （D ）310-【答案】C【解析】设BC 边上的高线为AD ，则3BC AD =，所以225AC AD DC AD =+=，2AB AD =．由余弦定理，知22222210cos 2225AB AC BC A AB AC AD AD+-===-⋅⨯⨯，故选C ．【点评】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解．（9）【2016年全国Ⅲ，理9，5分】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）（A ）18365+ （B ）54185+ （C ）90 （D ）81 【答案】B【解析】由三视图该集合体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积236233233554185S =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+，故选B ．【点评】求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立 未知量与已知量间的关系，进行求解．（10）【2016年全国Ⅲ，理10，5分】在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（ ）（A ）4π （B ）92π （C ）6π （D ）323π【答案】B【解析】要使球的体积V 最大，必须球的半径R 最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值32，此时球的体积为334439()3322R πππ==，故选B ．【点评】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解．（11）【2016年全国Ⅲ，理11，5分】已知O 为坐标原点，F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF x ⊥轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）（A ）13（B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】A 【解析】由题意设直线l 的方程为()y k x a =+，分别令x c =-与0x =得点()FM k a c =-，OE ka =，由~OBE ∆CBM ∆，得12OE OB FM BC=，即()2ka a k a c a c =-+，整理得13c a =，所以椭圆离心率为1e 3=，故选A ． 【点评】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c 的值，进而求得e 的值；（2）建立,,a b c 的齐次等式，求得ba或转化为关于e 的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出e ．（12）【2016年全国Ⅲ，理12，5分】定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a L 中0的个数不少于1的个数．若4m =，则不同的“规范01数列”共有（ ） （A ）18个 （B ）16个 （C ）14个 （D ）12个【答案】C【解析】由题意，得必有0a =，1a =，则具体的排法列表如下：，故选C ．往往利用表格法、树枝法将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2016年广东高考数学试题和答卷分析
２ ０ １ ６年 第 ９期 （ 上）
中学 数学研 究
１
试 题的难度和 区分度主要 以能力考查要求 ２ ０ １ ６年全 国卷 重 视数 学 的 “ 四基 ” 考查 ： 基础 知 识 、 基 推理能 力的考查，
本技能、 基 本思 想 和基 本 活 动 经 验， 体 现 了对 “ 知识 与技 程度变化来体现 ．
一
高考 备 考 ．
、
的 内容干 ¨ 婴求， 立 足能 力０ 崽， 重点 芎 商 一 数学 的主十 内
容， 强 化 考 查 弩生 的 逻 辑 推 理 能 力 秆 ｌ 实 际 应 川 能 力， 重 视 学
试 卷设 计分 析
２ ０ １ ６年的高考 史、 理利 试卷的题 搜 分数 ‘ ｊ 年全ｆ
能” 、 “ 过程 与方法 ” 、 “ 情感 态度与价值 观” 三维 目标的考查 ． 在试题 的命制 上， 各题 目不仅注意 了知识考查 的水平要求有
在 符合 考试大纲对数学知识 和数学能力考查 的同时， 与 历 年广东 卷相 比， 试卷 的运算量 大， 思维量 大， 送分题 少， 充
层次性 区分， 还侧 重考 查考生数学知识 的理解 和综合运用 能 分体现 了能力立意 的理念， 具体体 现了以下几个特点． 力． 表３ 、 表 ４是 文 、 理科试 卷 的数 学知识 目标 结构， 可 以发 现全 国非卷 常重视 考查数学知识 的理解 ． 与去年广东卷相 比 （ 见表 ５ 、 表６ ） 全 国在理 解与掌 握层次 上 的分 值文科 卷 比广 东卷多 ２ １ 分。 理科卷多 ３ ２分．
表３ ２ ０ １ ６年数 学知 识 目标 结构 （ 文科卷 ）
（ １ ） 突 出选拔性， 注重考查逻辑推理能 力
文、 理科第 ７ 题将 函数 奇偶性 、 函数导数 与函数 图像 等
2016年广东高考理科数学真题（完整版）广东高考理科数学真题
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真题
紧张的高考持续一天了，无论前面的考试是否顺利、成功，请考的好的同学都不要松懈，不要大意，当然那些自认为考的不好的学生也无需自责、灰心，大家一定要调整好心态，以一颗平常心再次踏入考场，为了曾经的付出，众志成城，积极应战!高考频道将第一时间为大家提供2016年广东高考理科数学真题(完整版)，真题及答案将在此页显示，请大家关注此页，如没显示，可按Ctrl F5进行刷新。
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(完整word版)2016年全国高考数学(理科)试题及答案-全国1卷(解析版)
范围是
（A） 1,3 （B） 1, 3 （C） 0,3 （D） 0, 3
【答案】A
考点：双曲线的性质 【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题学生出现,主要考查双曲线几何性质,属于基础题.注意 双曲线的焦距是 2c 不是 c,这一点易出错. （6）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何
一. 选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.
（1）设集合 A x x2 4x 3 0 , x 2x 3 0 ,则 A B
（A）
3,
3 2
【答案】D
（B）
3,
3 2
（C）
1,
3 2
（D）
3 2
,
3
考点：集合的交集运算 【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题形式出现,属得分题.解决此类问题一般 要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数 集之间的运算,常借助数轴进行运算.
（8）若 a b 1，0 c 1,则 （A） ac bc （B） abc bac （C） a logb c b loga c （D） loga c logb c
【答案】C 【解析】
试题分析：用特殊值法,令 a 3, b
2,c
1
1
得 32
1
22 ,选项
A
1
错误, 3 22
1
2 32 ,选项
2016 高考数学（理科）试卷（全国 1 卷）
绝密 ★ 启用前
2016 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 1 卷）
数学（理科）
注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷
2016全国各省市高考数学试题及答案
2016年全国各省市高考数学（理）试题及答案试题类型：2016年普通高等学校招生全国统一考试卷3 理科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合S ={}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=I >P ，则S I T =(A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） （2）若z=1+2i ，则41izz =- (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i（3）已知向量1(,22BA =uu v ,1),22BC =uu u v 则∠ABC= (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。
图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50C 。
下面叙述不正确的是(A) 各月的平均最低气温都在00C 以上(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200C 的月份有5个 （5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625（6）已知432a =，344b =，1325c =，则（A ）b a c << （B ）a b c <<（C ）b c a <<（D ）c a b << （7）执行下图的程序框图，如果输入的a =4，b =6，那么输出的n =（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（8）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A = （A ）310 （B ）10 （C ）10- （D ）310-(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A ）185+（B ）54185+ （C ）90 （D ）81(10) 在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是（A ）4π （B ）92π（C ）6π （D ）323π（11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 （A ）13（B ）12（C ）23（D ）34（12）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a L 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有（A ）18个（B ）16个（C ）14个（D ）12个第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分 （13）若x ，y 满足约束条件则z=x+y 的最大值为_____________.（14）函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到。
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2016年广东高考理科数学试题及答案（满分150分，时间120分）第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =（A ）3(3,)2-- （B ）3(3,)2- （C ）3(1,)2 （D ）3(,3)2（2）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +（A ）1 （B （C（D ）2（3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a（A ）98 （B ）99 （C ）100 （D ）97（4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A ）31 （B ）21 （C ）32 （D ）43（5）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（A ）(0,3) （B ）(–1,3) （C ）(–1,3) （D ）(0,3)（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是（A ）20π （B ）18π（C ）17π （D ）28π（7）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（A ） （B ）（C ）（D ）（8）若101a b c >><<，，则 （A ）log log b a a c b c < （B ）c c ab ba <（C ）c ca b <（D ）log log a b c c <（9）执行右面的程序框图，如果输入的0,1,x y ==n =1,则输出,x y 的值满足（A ）4y x =（B ）3y x =（C ）2y x =（D ）5y x =(10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的标准线于D 、E 两点.已知|AB|=|DE|=C 的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8(11)平面a 过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，a //平面CB 1D 1，a ⋂平面ABCD =m ，a ⋂平面ABA 1B 1=n ，则m 、n 所成角的正弦值为(A)3 (B)2 (C)2 (D)13 12.已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分(13) 设向量a=(m ，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m=______.(14) 5(2x 的展开式中，x 3的系数是__________.（用数字填写答案）（15）设等比数列满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为___________。
（16） 某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。
生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元。
该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为___________元。
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本题满分为12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c = （I ）求C ；（II ）若c ABC =△ABC 的周长． （18）（本题满分为12分）如图，在已A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD ，90AFD ∠=，且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60．（I ）证明平面ABEF ⊥EFDC ；（II ）求二面角E-BC-A 的余弦值．（19）（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. （I ）求X 的分布列；（II ）若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值；（III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？20. （本小题满分12分）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E.为定值，并写出点E的轨迹方程；（I）证明EA EB（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.（21）（本小题满分12分）已知函数f(x)=(x-2)e x+a(x-1)2有两个零点.(I)求a的取值范围；(II)设x1，x2是的两个零点，证明：+x2<2.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°.以⊙O为圆心，OA为半径作圆.(I)证明：直线AB与O相切；(II)点C,D在⊙O上，且A,B,C,D四点共圆，证明：AB∥CD.（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直线坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）。
在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=cosθ.（I）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（II）直线C3的极坐标方程为，其中满足tan=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a。
（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)= ∣x+1∣-∣2x-3∣.（I）在答题卡第（24）题图中画出y= f(x)的图像；（II）求不等式∣f(x)∣﹥1的解集。
理科数学参考答案一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）D （2）B （3）A （4）B （5）C （6）C （7）D （8）A（9）A （10）B （11）C （12）B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分(13)2- (14)10（15）64 （16）216000三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分为12分）解：（I ）由已知及正弦定理得，()2cosC sin cos sin cos sinC A B+B A =， 即()2cosCsin sinC A+B =．故2sinCcosC sinC =． 可得1cosC 2=，所以C 3π=．（II ）由已知，1sin C 2ab = 又C 3π=，所以6ab =．由已知及余弦定理得，222cosC 7a b ab +-=．故2213a b +=，从而()225a b +=．所以C ∆AB 的周长为5．（18）（本小题满分为12分）解：（I ）由已知可得F DF A ⊥，F F A ⊥E ，所以F A ⊥平面FDC E ．又F A ⊂平面F ABE ，故平面F ABE ⊥平面FDC E ．（II ）过D 作DG F ⊥E ，垂足为G ，由（I ）知DG ⊥平面F ABE ．以G 为坐标原点，GF 的方向为x 轴正方向，GF 为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -．由（I ）知DF ∠E 为二面角D F -A -E 的平面角，故DF 60∠E =，则D F 2=，DG 3=，可得()1,4,0A ，()3,4,0B -，()3,0,0E -，(D ．由已知，//F AB E ，所以//AB 平面FDC E ．又平面CD AB 平面FDC DC E =，故//CD AB ，CD//F E ． 由//F BE A ，可得BE ⊥平面FDC E ，所以C F ∠E 为二面角C F -BE -的平面角， C F 60∠E =．从而可得(C -．所以(C E =，()0,4,0EB =，(C 3,A =--，()4,0,0AB =-．设(),,n x y z =是平面C B E 的法向量，则 C 00n n ⎧⋅E =⎪⎨⋅EB =⎪⎩，即040x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以可取(3,0,n =．设m 是平面CD AB 的法向量，则C 00m m ⎧⋅A =⎪⎨⋅AB =⎪⎩， 同理可取()0,3,4m =．则219cos ,n m n m n m ⋅==-故二面角C E-B -A 的余弦值为．学科&网（19）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而04.02.02.0)16(=⨯==X P ；16.04.02.02)17(=⨯⨯==X P ；24.04.04.02.02.02)18(=⨯+⨯⨯==X P ；24.02.04.022.02.02)19(=⨯⨯+⨯⨯==X P ；2.02.02.04.02.02)20(=⨯+⨯⨯==X P ；08.02.02.02)21(=⨯⨯==X P ；04.02.02.0)22(=⨯==X P .所以X 的分布列为（Ⅱ）由（Ⅰ）知44.0)18(=≤X P ，68.0)19(=≤X P ，故n 的最小值为19. （Ⅲ）记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.当19=n 时，08.0)500220019(2.0)50020019(68.020019⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=EY 404004.0)500320019(=⨯⨯+⨯+.学科&网当20=n 时，04.0)500220020(08.0)50020020(88.020020⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=EY 4080=. 可知当19=n 时所需费用的期望值小于20=n 时所需费用的期望值，故应选19=n .20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为||||AC AD =，AC EB //，故ADC ACD EBD ∠=∠=∠，所以||||ED EB =，故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ，从而4||=AD ，所以4||||=+EB EA . 由题设得)0,1(-A ，)0,1(B ，2||=AB ，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为： 13422=+y x （0≠y ）. （Ⅱ）当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ，),(11y x M ，),(22y x N .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 得01248)34(2222=-+-+k x k x k . 则3482221+=+k k x x ，341242221+-=k k x x . 所以34)1(12||1||22212++=-+=k k x x k MN . 过点)0,1(B 且与l 垂直的直线m ：)1(1--=x k y ，A 到m 的距离为122+k ，所以 1344)12(42||22222++=+-=k k k PQ .故四边形MPNQ 的面积 341112||||212++==k PQ MN S .学科&网 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.当l 与x 轴垂直时，其方程为1=x ，3||=MN ，8||=PQ ，四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.（21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）'()(1)2(1)(1)(2)x x f x x e a x x e a =-+-=-+．（i ）设0a =，则()(2)x f x x e =-，()f x 只有一个零点．（ii ）设0a >，则当(,1)x ∈-∞时，'()0f x <；当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >．所以()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．又(1)f e =-，(2)f a =，取b 满足0b <且ln 2a b <，则 223()(2)(1)()022a fb b a b a b b >-+-=->， 故()f x 存在两个零点．（iii ）设0a <，由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-． 若2e a ≥-，则ln(2)1a -≤，故当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，因此()f x 在(1,)+∞上单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点．学科&网 若2e a <-，则ln(2)1a ->，故当(1,ln(2))x a ∈-时，'()0f x <；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，'()0f x >．因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减，在(ln(2),)a -+∞单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点．综上，a 的取值范围为(0,)+∞．（Ⅱ）不妨设12x x <，由（Ⅰ）知12(,1),(1,)x x ∈-∞∈+∞，22(,1)x -∈-∞，()f x 在(,1)-∞上单调递减，所以122x x +<等价于12()(2)f x f x >-，即2(2)0f x -<．由于222222(2)(1)x f x x e a x --=-+-，而22222()(2)(1)0x f x x e a x =-+-=，所以 222222(2)(2)x x f x x e x e --=---．设2()(2)x x g x xe x e -=---，则2'()(1)()x x g x x e e -=--．所以当1x >时，'()0g x <，而(1)0g =，故当1x >时，()0g x <．从而22()(2)0g x f x =-<，故122x x +<．请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲解：（Ⅰ）设E 是AB 的中点，连结OE ，因为,120OA OB AOB =∠=︒，所以OE AB ⊥，60AOE ∠=︒．在Rt AOE ∆中，12OE AO =，即O 到直线AB 的距离等于圆O 的半径，所以直线AB 与⊙O 相切． E O'DC OBA（Ⅱ）因为2OA OD =，所以O 不是,,,A B C D 四点所在圆的圆心，设'O 是,,,A B C D 四点所在圆的圆心，作直线'OO ．由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上，又'O 在线段AB 的垂直平分线上，所以'OO AB⊥． 同理可证，'OO CD ⊥．所以//AB CD ．（23）（本小题满分10分）解：⑴ cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩（t 均为参数） ∴()2221x y a +-= ①∴1C 为以()01，为圆心，a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-= ∵222sin x y y ρρθ+==，∴222sin 10a ρρθ-+-= 即为1C 的极坐标方程⑵ 24cos C ρθ=：学科&网两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=，224x y x ∴+= 即()2224x y -+= ② 3C ：化为普通方程为2y x =由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C①—②得：24210x y a -+-=，即为3C∴210a -=∴1a =（24）（本小题满分10分）解：⑴ 如图所示：⑵ ()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥ ()1f x >当1x -≤，41x ->，解得5x >或3x < 1x -∴≤ 当312x -<<，321x ->，解得1x >或13x < 113x -<<∴或312x << 当32x ≥，41x ->，解得5x >或3x < 332x <∴≤或5x > 综上，13x <或13x <<或5x > ()1f x >∴，解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，。