高中数学必修4平面向量典型例题及提高题

平面向量

【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB 或a 。 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。 3.单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。

4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】

5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。

6.相等向量：长度和方向都相同的向量。

7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则：

AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数）

9.平行四边形法则：

以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。

10.共线定理：//a b a b λ=⇔。当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。 11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =

+，2

2||a a =，2||()a b a b +=+

13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ⋅=⋅； cos ||||

a b

a b θ⋅=

⋅

14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ⇔=⇔=；121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+= 题型1.基本概念判断正误：

（1）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。 （2）若ma mb =，则a b =。 （3）若ma na =，则m n =。 （4）若a 与b 不共线，则a 与b 都不是零向量。 （5）若||||a b a b ⋅=⋅，则//a b 。 （6）若||||a b a b +=-，则a b ⊥。 题型2.向量的加减运算

4.已知AC AB AD 为与的和向量，且,AC a BD b ==，则AB = ，AD = 。

5.已知点C 在线段AB 上，且3

5

AC AB =,则AC = BC ，AB = BC 。 题型3.向量的数乘运算

2.已知(1,4),(3,8)a b =-=-，则1

32

a b -

= 。 题型4根据图形由已知向量求未知向量

1.已知在ABC ∆中，D 是BC 的中点，请用向量AB AC ，

表示AD 。

2.在平行四边形ABCD 中，已知,AC a BD b ==，求AB AD 和。

题型5.向量的坐标运算

6.已知(2,3)AB =，(,)BC m n =，(1,4)CD =-，则DA = 。

7.已知O 是坐标原点，(2,1),(4,8)A B --，且30AB BC +=，求OC 的坐标。

题型6.判断两个向量能否作为一组基底

1.已知12,e e 是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底： A.1212e e e e +-和 B.1221326e e e e --和4 C.122133e e e e +-和 D.221e e e -和 题型7.结合三角函数求向量坐标

1.已知O 是坐标原点，点A 在第二象限，||2OA =，150xOA ∠=，求OA 的坐标。

题型8.求数量积

1.已知||3,||4a b ==，且a 与b 的夹角为60，求（1）a b ⋅，（2）()a a b ⋅+， （3）1

()2

a b b -

⋅，（4）(2)(3)a b a b -⋅+。

题型9.求向量的夹角

3.已知(1,0)A ，(0,1)B ，(2,5)C ，求cos BAC ∠。

题型10.求向量的模

1．已知向量与的夹角为θ，定义×为与的“向量积”，且×是一个向量，它的长度|×|=||||sin θ，若 =（2，0），﹣=（1，﹣），则|×（+）|=（ ） A ． 4

B ．

C ． 6

D ． 2

1.已知||3,||4a b ==，且a 与b 的夹角为60，求（1）||a b +，（2）|23|a b -。

3.已知||1||2a b ==，

，|32|3a b -=，求|3|a b +。

题型11.求单位向量 【与a 平行的单位向量：||

a e a =±

】 1.与(12,5)a =平行的单位向量是 2.与1

(1,)2

m =-平行的单位向量是 。 题型12.向量的平行与垂直

1.已知(1,2)a =，(3,2)b =-，（1）k 为何值时，向量ka b +与3a b -垂直？（2）k 为何值时向量ka b +与3a b -平行？

2.已知a 是非零向量，a b a c ⋅=⋅，且b c ≠，求证：()a b c ⊥-。 3．若向量=（2cos α，﹣1），=（，tan α），且∥，则sin α=（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

题型13.三点共线问题

3.已知2,56,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=-，则一定共线的三点是 。

4.已知(1,3)A -，(8,1)B -，若点(21,2)C a a -+在直线AB 上，求a 的值。

5.已知四个点的坐标(0,0)O ，(3,4)A ，(1,2)B -，(1,1)C ，是否存在常数t ，使OA tOB OC +=成立？

题型14.判断多边形的形状

1．已知P 为三角形ABC 内部任一点（不包括边界），且满足(﹣

）•（

+

﹣2

）=0，

则△ABC 的形状一定为（ ） A ． 等边三角形

B ． 直角三角形

C ． 钝三角形

D ． 等腰三角形

2.在平面直角坐标系内，(1,8),(4,1),(1,3)OA OB OC =-=-=,求证：ABC ∆是等腰直角三角形。

题型15.平面向量的综合应用

1.已知(,3)a m =，(2,1)b =-，（1）若a 与b 的夹角为钝角，求m 的范围； （2）若a 与b 的夹角为锐角，求m 的范围。

2.已知ABC ∆三个顶点的坐标分别为(3,4)A ，(0,0)B ，(,0)C c ， （1）若0AB AC ⋅=，求c 的值；（2）若5c =，求sin A 的值。