材料力学第十章
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材料力学第十章杆件计算的能量法
T
T
A
T
l
o
B
3.梁弯曲时的应变能
3.1 纯弯曲梁
l Ml
M
EI
W
1 2
M e
Vε
W
1 2
M
e
M 2l 2EI
M
l
3.2 剪切弯曲梁
弯矩M：
dVε M
M (x)2 dx 2EI
M (x)2 dx
Vε M l 2EI
剪力FQ：
6FQ
h2 (
y2)
0 2EI
l
2EI
FA
4
F2 A
l
3
F
l2 3
5FA Fl3
3EI 6EI 6EI
3.位移
Δ A
Vε FA
0
FA
5 16
F
例 求如图所示简支梁截面A的转角，设梁EI的为常数。
Mo A
M B
l
解：为了求A截面的转角A，可在A端加一虚力偶M0，如
图所示。则按卡氏第二定理，A截面的转角:
§10-2 杆件的弹性应变能
一、杆在基本变形下的应变能
1.杆在轴向拉伸（压缩）时的应变能
F
F
A
l l1
Vε
1 2
FN l
FN2l 2EA
dF F1 F
o
d(△l) △l1
B △l
2.圆杆扭转时的应变能
W 1 T
2
Mx T
M xl
GIP
材料力学 第十章
q
弯扭组合变形
构件在荷载作用下,同时发生两种或两种以上的 基本变形，称为组合变形。
偏心受拉
构件在荷载作用下,同时发生两种或两种以上的 基本变形，称为组合变形。
偏心压缩+弯曲
组合变形强度计算的步骤:
1. 内力计算 各基本变形的内力图,确定构件危险截面位置及内力分量
2. 应力计算
分析危险截面上的应力分布，确定危险点所在位置，按叠 加原理画出危险点的应力状态图. 3. 强度分析
qy
3.3 103 f max 17.2( mm) f 16.5( mm), 200 超过13% 应该加大截面之后，再作挠度校核
y
q
qz
z
=26° 34′
10.2 拉伸(压缩)与弯曲组合变形
拉伸(压缩)与弯曲组合变形分析
=
+
拉（压）-弯曲组合应力计算：
l F1 F x F1 F2x F2
x
fy
y
fz
y
F
fy
f
f
φ
fz
z
F
荷载作用面
挠曲线平面
z
例10.1 图示简支梁跨度L＝4m，由32a工字钢制成，许用应力
［σ］＝170MPa。作用力F＝33kN，作用线与铅直轴之间的夹角
φ＝15°，试按正应力校核的强度。
解：
危险截面为跨中截面：
M max FL 33kN m 4
L 2 L 2
x
1.8 103 N m
[ ]
( 4.2 103 ) 2 (1.8 103 ) 2 3 50 10 0.1d 3
d3
(4.2 103 ) 2 (1.8 103 ) 2 6 3 914 10 m 0.1 50 103
材料力学 第十章
qL2 2
②根据方程画内力图
⊕ M ( x) x
21
q0 解：①求支反力
L
RA
q0 L2 6 ⊕
RB Q(x)
3 L 3
q0L q0L RA ; RB 6 3
②内力方程
○
q0 L2 3
x
Q( x )
q0 2 (L 3x2) 6L
⊕
x
q0 x 2 2 M ( x) (L x ) 6L
如：桥梁下的固定支座，止
推滚珠轴承等。
②可动铰支座 1个约束，2个自由度。 如：桥梁下的辊轴支座，滚 珠轴承等。
9
③固定端
3个约束，0个自由度。
如：游泳池的跳水板支座， 木桩下端的支座等。 4. 梁的三种基本形式
XA
YA
MA
M — 集中力偶
①简支梁 q(x) — 分布力 ②悬臂梁
10
③外伸梁
q — 均布力
1
第十章
弯曲内力
§10–1 平面弯曲的概念及梁的计算简图 §10–2 梁的剪力和弯矩
§10–3 剪力方程和弯矩方程 · 剪力图和弯矩图
§10–4 剪力、弯矩与荷载集度间的关系及应用 §10–5 平面刚架和曲杆的内力图
2
§10–1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
一、弯曲的概念 1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,
P — 集中力
5. 静定梁与超静定梁
静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本 形式的静定梁。 超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全 部支反力。
11
[例1]贮液罐如图示，罐长L=5m，内径 D=1m，壁厚t=10mm，
钢的密度为： 7.8g/cm³ ，液体的密度为：1g/cm³,液面高 0.8m，外伸端长 1m，试求贮液罐的计算简图。
②根据方程画内力图
⊕ M ( x) x
21
q0 解：①求支反力
L
RA
q0 L2 6 ⊕
RB Q(x)
3 L 3
q0L q0L RA ; RB 6 3
②内力方程
○
q0 L2 3
x
Q( x )
q0 2 (L 3x2) 6L
⊕
x
q0 x 2 2 M ( x) (L x ) 6L
如：桥梁下的固定支座，止
推滚珠轴承等。
②可动铰支座 1个约束，2个自由度。 如：桥梁下的辊轴支座，滚 珠轴承等。
9
③固定端
3个约束，0个自由度。
如：游泳池的跳水板支座， 木桩下端的支座等。 4. 梁的三种基本形式
XA
YA
MA
M — 集中力偶
①简支梁 q(x) — 分布力 ②悬臂梁
10
③外伸梁
q — 均布力
1
第十章
弯曲内力
§10–1 平面弯曲的概念及梁的计算简图 §10–2 梁的剪力和弯矩
§10–3 剪力方程和弯矩方程 · 剪力图和弯矩图
§10–4 剪力、弯矩与荷载集度间的关系及应用 §10–5 平面刚架和曲杆的内力图
2
§10–1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
一、弯曲的概念 1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,
P — 集中力
5. 静定梁与超静定梁
静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本 形式的静定梁。 超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全 部支反力。
11
[例1]贮液罐如图示，罐长L=5m，内径 D=1m，壁厚t=10mm，
钢的密度为： 7.8g/cm³ ，液体的密度为：1g/cm³,液面高 0.8m，外伸端长 1m，试求贮液罐的计算简图。
《材料力学》第十章 疲劳强度的概念
试件分为若干组，最大应力值由高到底，以电动 机带动试样旋转，让每组试件经历对称循环的交变应 力，直至断裂破坏。
记录每根试件中的最大应力（名义应力，即疲 劳强度）及发生破坏时的应力循环次数（又称疲劳 寿命），即可得S —N应力寿命曲线。
max
m ax,1 m ax,2
O
应力—寿命曲线，也称S—N曲线。
应力循环：应力每重复变化一次，称为一个应力循环。 完成一个应力循环所需的时间T ，称为一个周期。
o
t
max
o
min
：最大应力
max
：最小应力
min
a
a m
t
：平均应力
m
：应力幅值
a
max
m in
a
a m
循环特征：r min max
o
m
1 2
max
min
t
a
1 2
max
min
max
[ 1]
0 1
nf
其中： max 是构件危险点的最大工作应力；
nf 是疲劳安全系数。
或表示成：n
0
1
max
1 K max
同理，对扭转交变应力有：n
k
1 k
1 n f
max
max
nf
10.4 提高构件疲劳强度的措施
疲劳裂纹主要形成于构件表面和应力集中部位，故提高 构件疲劳极限的措施有：
表面加工质量愈低， 愈小， r 降低愈多。 一 般 1，但可通过对构件表面作强化处理而得到大于1 的 值。
综合上述三种因素，对称循环下构件的疲劳极限为：
0
1
K
1
或
0
材料力学第十章
Fi i
1 2
F11
1 2
F2
2
…
1 2
Fn
n
（d）
单位力 F0 所做的功由两部分组成：只作用有单位力时，单位力做的功为
1 2
F0
0
；当载荷
F1
，
F2
，…
Fn
作用到梁上后，单位力
F0
作为常力做功其值为
F0 C 。所以单位力 F0 所做的总功为
WF0
1 2
F0
0
F0 C
所有外力所做的总功为
W
WF
当弹性体上作用有 n 个外力 F1 ， F2 ，…， Fn ，则弹性体的变形能为
U
1 2
F11
1 2
F2 2
…
1 2
Fn n
（10-11）
例 10-1 简支梁受一集中载荷 F 作用，如图 10-6 所示。试求此梁内的 变形能，并求 C 点的挠度。
图10-6
解 （1）求梁的变形能。
① 求支座约束力。
材料力学
第十章 能量法
一
引言
二
变形能的计算
三
莫尔定理
四
计算莫尔积分的图形互乘法
五
卡氏定理
六
功的互等定理和位移互等定理
第一节 引 言
弹性体在外力作用下会发生变形，从而使外力作用点产生位移，外力 因此将沿其作用线方向上的位移做功。在变形过程中外力沿其作用线方向 所做的功称为外力功。与此同时，在加载过程中，外力从零开始缓慢地增 加到最终值，此时由于变形而储存于该弹性体内部的能量，称为变形能。
第三节 莫尔定理
设简支梁在静载荷 F1 ，F2 ，… Fn（广义力）作用下发生弯曲变形， 如图 10-8（a）所示。
材料力学 第十章 压杆稳定问题
由杆，B处内力偶
MB Fcraq1 , q1
由梁，B处转角
MB Fcr a
q2
MBl 3EI
q1 B
MB MBl Fcra 3EI
3EI Fcr al
q2 C
l
Page21
第十章 压杆稳定问题
作业
10-2b，4，5，8
Page22
第十章 压杆稳定问题
§10-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
稳定平衡
b. F k l
临界(随遇)平衡
c. F k l
不稳定平衡
Fcr kl 临界载荷
F
k l
F 驱动力矩 k l 恢复力矩
Page 5
第十章 压杆稳定问题
（3）受压弹性杆受微干扰
F Fcr 稳定平衡 压杆在微弯位置不能平衡,要恢复直线
F >Fcr 不稳定平衡 压杆微弯位置不能平衡,要继续弯曲,导致失稳
(
w)
令 k2 F
EI
d 2w dx2
k
2w
k
2
l
l
FM w
x
F B
F
B F
Page24
第十章 压杆稳定问题
d 2w dx2
k2w
k 2
F
w
通解：
A
x
B
w Asinkx Bcoskx
l
考虑位移边界条件：
x 0, w 0,
B
x 0, q dw 0
Page31
第十章 压杆稳定问题
二、类比法确定临界载荷
l
《材料力学》第十章 动载荷
第十章 动 载 荷
基本要求: 基本要求: 了解构件作变速运动时和冲击时应力与变形的计 算。 重点: 重点: 1.构件有加速度时应力计算； 2.冲击时的应力计算。 难点： 难点： 动荷因数的计算。 学时： 学时： 4学时
第十章
§lO.1 概述
动 载 荷
§10.2 动静法的应用 §10.4 杆件受冲击时的应力和变形 §10.5 冲击韧性
( 2 )突然荷载 h = 0 : K
d
=2
△st--冲击物落点的静位移
五、不计重力的轴向冲击问题
冲击前∶
动能T1 = Pv 2 / 2 g 势能V1 = 0 变形能V1εd = 0
冲击后：
动能T2 = 0 势能V 2 = 0 变形能V 2εd = Pd ∆ d / 2
ห้องสมุดไป่ตู้
v P
冲击前后能量守恒，且
Pd = K d P
补例10-1 起重机钢丝绳的有效横截面面积为A , 已知[σ], 补例 物体单位体积重为γ , 以加速度a上升，试建立钢丝绳(不计自 重)的强度条件。 外力分析。 解：1.外力分析。包括惯性力 外力分析
惯性力：q a
x a L x m m a Nd qg +qa
=
γA
g
a
2.内力分析。 内力分析。 内力分析 3.求动应力。 求动应力。 求动应力
任何冲击系统都 可简化弹簧系统
能量法（机械能守恒） 三、能量法（机械能守恒）
冲击过程中机械能守恒。即动能 ，势能V，变形能V 冲击过程中机械能守恒。即动能T，势能 ，变形能 εd守恒 冲击前：系统动能为T， 势能为V=Q∆d， 变形能Vεd=0 冲击后：系统动能为0， 势能为V=0， 变形能Vεd
基本要求: 基本要求: 了解构件作变速运动时和冲击时应力与变形的计 算。 重点: 重点: 1.构件有加速度时应力计算； 2.冲击时的应力计算。 难点： 难点： 动荷因数的计算。 学时： 学时： 4学时
第十章
§lO.1 概述
动 载 荷
§10.2 动静法的应用 §10.4 杆件受冲击时的应力和变形 §10.5 冲击韧性
( 2 )突然荷载 h = 0 : K
d
=2
△st--冲击物落点的静位移
五、不计重力的轴向冲击问题
冲击前∶
动能T1 = Pv 2 / 2 g 势能V1 = 0 变形能V1εd = 0
冲击后：
动能T2 = 0 势能V 2 = 0 变形能V 2εd = Pd ∆ d / 2
ห้องสมุดไป่ตู้
v P
冲击前后能量守恒，且
Pd = K d P
补例10-1 起重机钢丝绳的有效横截面面积为A , 已知[σ], 补例 物体单位体积重为γ , 以加速度a上升，试建立钢丝绳(不计自 重)的强度条件。 外力分析。 解：1.外力分析。包括惯性力 外力分析
惯性力：q a
x a L x m m a Nd qg +qa
=
γA
g
a
2.内力分析。 内力分析。 内力分析 3.求动应力。 求动应力。 求动应力
任何冲击系统都 可简化弹簧系统
能量法（机械能守恒） 三、能量法（机械能守恒）
冲击过程中机械能守恒。即动能 ，势能V，变形能V 冲击过程中机械能守恒。即动能T，势能 ，变形能 εd守恒 冲击前：系统动能为T， 势能为V=Q∆d， 变形能Vεd=0 冲击后：系统动能为0， 势能为V=0， 变形能Vεd
材料力学：第十章
能量方法
一、概 述
几何法：
物理方程
应力
应变
平衡方程
几何方程 （变形协调方程）
外力
变形
能量法出发点：能量守恒与转换原理。
弹性体承载时，加力点发生位移——荷载做功，W
弹性体变形——储存变形能（应变能）， U
略去在该过程中的微量能量损耗，则由能量守恒
与转换原理，得：
外力功 = 变形能
W=U
由能量的观点出发建立荷载与变形间关系的方法
f11
f12 )
1 2
F2 (
f21
f 22 )
第二种加载方案：先加 F1，然后再加 F2
F1 1
f11
2 F2
f12
f22
先加 F1，F1做功为：
1 2 F1 f11
再加 F2，F2 做功为：
1 2
F2
f22
在加F2的过程中 F1做功为： F1 f12
U2
W2
1 2
F1 f11
1 2
F2
如图，无刚性位移的线弹性结构体，
承受荷载P1、P2、P3…… 设想采用比例加载：P1、
P2、P3……缓慢的按相同 的比例增加，弹性体始终 δ1
δ2
P2
P3
δ3
保持平衡，而且各外力作 P1 用点的位移δ1、δ2、δ3也 将按与外力相同的比例增
加。
于是得到用“外力功”表示的变形 能的普遍表达式：
U
W
（即每个荷载是独立变化的。）
dU C
U C Pi
dPi
另一方面，因为 dPi，余功的增量为：
dWC idPi dUC
idPi
U C Pi
dPi
一、概 述
几何法：
物理方程
应力
应变
平衡方程
几何方程 （变形协调方程）
外力
变形
能量法出发点：能量守恒与转换原理。
弹性体承载时，加力点发生位移——荷载做功，W
弹性体变形——储存变形能（应变能）， U
略去在该过程中的微量能量损耗，则由能量守恒
与转换原理，得：
外力功 = 变形能
W=U
由能量的观点出发建立荷载与变形间关系的方法
f11
f12 )
1 2
F2 (
f21
f 22 )
第二种加载方案：先加 F1，然后再加 F2
F1 1
f11
2 F2
f12
f22
先加 F1，F1做功为：
1 2 F1 f11
再加 F2，F2 做功为：
1 2
F2
f22
在加F2的过程中 F1做功为： F1 f12
U2
W2
1 2
F1 f11
1 2
F2
如图，无刚性位移的线弹性结构体，
承受荷载P1、P2、P3…… 设想采用比例加载：P1、
P2、P3……缓慢的按相同 的比例增加，弹性体始终 δ1
δ2
P2
P3
δ3
保持平衡，而且各外力作 P1 用点的位移δ1、δ2、δ3也 将按与外力相同的比例增
加。
于是得到用“外力功”表示的变形 能的普遍表达式：
U
W
（即每个荷载是独立变化的。）
dU C
U C Pi
dPi
另一方面，因为 dPi，余功的增量为：
dWC idPi dUC
idPi
U C Pi
dPi
材料力学第十章
fC
1 EI
AC
M
(
x1
)
Fs
0
M ( x1 Fs
)
dx
)
f ( x) 1 EI
x 0
F
(l
x1
)(
x
x1
)dx1
Fx 2 6EI
(3l
x)
§10-4 卡氏第二定理
例10-5 图示悬臂梁AB，B端作用铅垂力F，梁的EI已知，
1)求梁的挠曲线方程；2)若在梁中截面再作用力F，求自
x2
F=F0
A
1)dx段应变能：
dU 1(A)( d
x
)
2
d
xA
FQ2dx
2
2G
2GA
dx dx
2)l段应变能：
U
l
0dU
0l
FQ2 dx 2GA
FQ—横截面剪力； A—横截面面积；
—截面系数
矩形：=6/5；实心圆：=10/9；薄圆环：=2；
3)注意：在一般细长梁中，远小于弯矩应变能的 剪力应变能，通常忽略不计。
若=0.3，h/l=0.1，比值为0.0312。长梁忽略剪切应变能。
3)求C点挠度：W
1 2
FfC
U弯
F 2l3 96EI
fC
Fl 3 48EI
§10-2 弹性应变能的计算
四、非线性固体的应变能
1．应变能
F 非线性
与比能：
U*
线性
非线性
u*
线性
2．余能与
F1
余比能：
U
d1
1 d
u
1
应变能：线弹性
F
由端挠度fB。
材料力学 第十章组合变形(1,2,3)
C 10kN
1.2m
解：求支反力,由平衡方程
FB B
FA
' FA
F ' A 0,
FA FB 5kN
A
1.6m 1.6m
m g f A
10kN C
m FAy
作折杆的受力图,折杆及 受力对称，只需分析一半 即杆AC 将FA分解, 得杆的轴力 FN、弯矩M (x)
B
FAx
FN FAx 3kN
3 10 8 10 t 81.1 2 3 c d / 4 d / 32 81.9
3 3
M W
[例10-2]圆截面杆的偏心压缩时不产生拉 力的载荷作用范围
P
y
P
y
Pa
a
z
z
CL11TU12
P
y
Pa
y
P
y
Pa
z
z
z
P
y y
Pa
y
P
z
Pa
z P
y y
z
Pa
y
P
CL11TU10
解： X A 3kN, A 4kN Y
任意横截面x上的内力:
FN X A 3kN FS YA 4kN M ( x) YA x 4 x
1 1截面上危险截面， 其上：FN 3kN，M 8kN m
FN A
M W
t FN M c A W
CL11TU5
y0 Iz tg tg z0 Iz
为中性轴与z轴夹角
3.强度计算：
1）危险截面：当x=0时 M Z , M y 同时取最大,固定端处为危险面 2）危险点：危险面上 D1 , D2点 3)最大应力
1.2m
解：求支反力,由平衡方程
FB B
FA
' FA
F ' A 0,
FA FB 5kN
A
1.6m 1.6m
m g f A
10kN C
m FAy
作折杆的受力图,折杆及 受力对称，只需分析一半 即杆AC 将FA分解, 得杆的轴力 FN、弯矩M (x)
B
FAx
FN FAx 3kN
3 10 8 10 t 81.1 2 3 c d / 4 d / 32 81.9
3 3
M W
[例10-2]圆截面杆的偏心压缩时不产生拉 力的载荷作用范围
P
y
P
y
Pa
a
z
z
CL11TU12
P
y
Pa
y
P
y
Pa
z
z
z
P
y y
Pa
y
P
z
Pa
z P
y y
z
Pa
y
P
CL11TU10
解： X A 3kN, A 4kN Y
任意横截面x上的内力:
FN X A 3kN FS YA 4kN M ( x) YA x 4 x
1 1截面上危险截面， 其上：FN 3kN，M 8kN m
FN A
M W
t FN M c A W
CL11TU5
y0 Iz tg tg z0 Iz
为中性轴与z轴夹角
3.强度计算：
1）危险截面：当x=0时 M Z , M y 同时取最大,固定端处为危险面 2）危险点：危险面上 D1 , D2点 3)最大应力
材料力学(第四版)第十章
态，此时的平衡具有抗干扰性。
P > Pcr 当P大于某个临界值Pcr时，只
要一加干扰，杆件将弯曲，干
扰去掉后，杆件不再回到原来 的直线平衡形式，而是以弯曲
的状态保持平衡甚至折断，因
此，我们说，杆件原来的直线 平衡状态是不稳定的。
P<Pcr稳定平衡
稳 临界状态 定 对应的 平 度 衡 过
压力
不 稳 定 平 衡
③压杆的临界力 P min(P , P ) cr cry crz
2 EI y
例 求下列细长压杆的临界力。E=200GPa，L=0.5m。 解：图(a) P P
10
I min
50 103 1012 4.17 109 m 4 12
50
2 I min E 2 4.17 200 Pcr 67.14kN 2 2 (1l ) (0.7 0.5)
x
rc P
3)若n=2,3… …，则挠曲线分别是两个 半波正弦曲线、三个半波正弦曲线……, 如图示。它们只有在图示支承条件下才 可能出现。此时压杆的临界力分别称为 第二临界力、第三临界力……。
y
y
3 =n
2 =n
比较第一临界力、第二临界力、第三临界力… …， 可知，第一临界力最小。而临界力是指压杆在临界状态下 维持微弯平衡所能承受压力的最小值，所以只能取n=1。
因此，两端铰支细长压杆的临界力计算公式为
Pcr
2 EI
l
2
–––两端铰支细长压杆临界力的欧拉公式
公式的应用条件：
1.理想压杆； 2.线弹性范围内； 3.由于压杆总是在抗弯能力最小的纵向平面内弯曲, 所以当两端为球铰支座时，I=Imin。
二、其它支承条件下细长压杆临界力的欧拉公式 • 长度系数 例:求一端固定,一端自由细长杆的临界压力。 在比例极限内， 挠曲线近似微分方程为 EIy = M(x)=P( y) ∴ EIy + Py = P
材料力学课件 第十章压杆稳定
sinkL0
kn P
L EI
临界力 Pcr 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且 杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
Pcr
2
EImin L2
14
Pcr
2
EImin L2
二、此公式的应用条件：
两端铰支压杆临界力的欧拉公式
1.理想压杆； 2.线弹性范围内； 3.两端为球铰支座。
三、其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式
29
我国钢结构柱子曲线
二、 受压构件的稳定公式
利用最大强度准则确定出轴心受压构件的临界应力 cr ，引入抗力分项系数 R ，则轴心受压构件的稳定计算公式如下：
N cr cr f y f A R R fy
f ：钢材的强度设计值
（10.24）
30
例6
如图所示，两端简支，长度l 5m 的压杆由两根槽钢组成，若限定两个槽钢腹板
Iy [73.3 (51.8)2 21.95]2 2176.5cm4
33
若失稳将仍会在 xoy平面内，有
imin iz
Iz A
1732.4 6.28cm 43.9
max
l imin
500 79.6 6.28
查表得2 0.733
此时3 与3 已经很接近，按两个 16a 槽钢计算压杆的许可压力，有
20
[例3] 求下列细长压杆的临界力。
y y
x
z
z
h
L1
L2
解：①绕
y 轴，两端铰支：
=1.0，
I
y
b3h 12
,
②绕 z 轴，左端固定，右端铰支：
b
Pcry
2EI L22
y
=0.7，
刘鸿文版材料力学第十章
目录
§10-2 动静法的应用
一、构件做等加速直线运动
图示梁上有一个吊车，现在问3个问题
1.物体离开地面，静止地由绳索吊挂
l
2.物体匀速地向上提升 3.物体以加速度a向上提升
求这3种情况下的绳索应力？
目录
1. 物体离开地面，静止地由绳索吊挂
P
Q
绳子：
st
Q A
Q
Q
2. 物体匀速地向上提升
与第一个问题等价
目录
§10-4
杆件受冲击时的应力和变形
目录
冲击时，冲击物在极短的时间间隔内速度发生很大的变化，其加 速度a很难测出，无法计算惯性力，故无法使用动静法。在实用 计算中，一般采用能量法。
在计算时作如下假设: 1.冲击物视为刚体，不考虑其变形; 2.被冲击物的质量可忽略不计; 3.冲击后冲击物与被冲击物附着在 一起运动; 4.不考虑冲击时热能的损失，即认为只有系统动能与势能 的转化。
2T st d 2 st d 0 Q
2
2T d st 1 1 st Q
2T 2h Kd 1 1 1 1 Q st st Fd Kd Q
Fd d d Kd Q st st
d Kd st
v
d
Q 1Q 2 v d2 2 st 2g
Fd d Q st
Q
d
v2 st g st
Kd
v2 g st
例10-2：等截面刚架的抗弯刚度为 EI，抗弯截面系数为 W，重 物Q自由下落时，求刚架内的最大正应力（不计轴力）。 解：
4Q a 3 st 3E I
st
Ql 3 4Q l 3 3 E I E bh 3
§10-2 动静法的应用
一、构件做等加速直线运动
图示梁上有一个吊车，现在问3个问题
1.物体离开地面，静止地由绳索吊挂
l
2.物体匀速地向上提升 3.物体以加速度a向上提升
求这3种情况下的绳索应力？
目录
1. 物体离开地面，静止地由绳索吊挂
P
Q
绳子：
st
Q A
Q
Q
2. 物体匀速地向上提升
与第一个问题等价
目录
§10-4
杆件受冲击时的应力和变形
目录
冲击时，冲击物在极短的时间间隔内速度发生很大的变化，其加 速度a很难测出，无法计算惯性力，故无法使用动静法。在实用 计算中，一般采用能量法。
在计算时作如下假设: 1.冲击物视为刚体，不考虑其变形; 2.被冲击物的质量可忽略不计; 3.冲击后冲击物与被冲击物附着在 一起运动; 4.不考虑冲击时热能的损失，即认为只有系统动能与势能 的转化。
2T st d 2 st d 0 Q
2
2T d st 1 1 st Q
2T 2h Kd 1 1 1 1 Q st st Fd Kd Q
Fd d d Kd Q st st
d Kd st
v
d
Q 1Q 2 v d2 2 st 2g
Fd d Q st
Q
d
v2 st g st
Kd
v2 g st
例10-2：等截面刚架的抗弯刚度为 EI，抗弯截面系数为 W，重 物Q自由下落时，求刚架内的最大正应力（不计轴力）。 解：
4Q a 3 st 3E I
st
Ql 3 4Q l 3 3 E I E bh 3
材料力学-第十章 动载荷
300
400 400 30
题 10-2 图
-1-
第十章 动载荷
班级
学号
姓名
10-3 图示钢轴 AB 的直径为 80mm，轴上有一直径为 80mm 的钢质圆杆 CD，CD 垂直于 AB。若 AB 以匀角速度 ω＝40rad/s 转动。材料的许用应力[σ]＝70MPa，密度为 7.8g/cm3。 试校核 AB 及 CD 杆的强度。
d 15kN
h h l
题 10-7 图
10-8 AB 和 CD 二梁的材料相同，横截面相同。在图示冲击载荷作用下，试求二梁最大正 应力之比和各自吸收能量之比。
l/2
l/2
P
D
A
B
l/2 C
l/2
题 10-8 图 -4-
B P
C v
A
题 12-5 图
10-6 直径 d=30cm，长为 l=6m 的圆木桩，下端固定，上端受重 P＝2kN 的重锤作用，木材 的 E1＝10GPa。求下列三种情况下，木桩内的最大正应力。 (a) 重锤以静载荷的方式作用于木桩上； (b) 重锤以离桩顶 0.5m 的高度自由落下； (c) 在桩顶放置直径为 15cm、厚为 40mm 的橡皮垫，橡皮的弹性模量 E2=8MPa。重锤也是 从离橡皮垫顶面 0.5m 的高等自由落下。
第十章 动载荷
班级
学号
姓名
10-1 均质等截面杆，长为 l，重为 W，横截面面积为 A，水平放置在一排光滑的辊子上， 杆的两端受轴向力 F1 和 F2 作用，且 F2﹥F1。试求杆内正应力沿杆件长度分布的情况（设 滚动摩擦可以忽略不计）。
l
F1
F2
题 10-1 图
400 120
10-2 轴上装一钢质圆盘，盘上有一圆孔。若轴与盘以 ω＝40rad/s 的匀角速度旋转，试求轴 内由这一圆孔引起的最大正应力。
400 400 30
题 10-2 图
-1-
第十章 动载荷
班级
学号
姓名
10-3 图示钢轴 AB 的直径为 80mm，轴上有一直径为 80mm 的钢质圆杆 CD，CD 垂直于 AB。若 AB 以匀角速度 ω＝40rad/s 转动。材料的许用应力[σ]＝70MPa，密度为 7.8g/cm3。 试校核 AB 及 CD 杆的强度。
d 15kN
h h l
题 10-7 图
10-8 AB 和 CD 二梁的材料相同，横截面相同。在图示冲击载荷作用下，试求二梁最大正 应力之比和各自吸收能量之比。
l/2
l/2
P
D
A
B
l/2 C
l/2
题 10-8 图 -4-
B P
C v
A
题 12-5 图
10-6 直径 d=30cm，长为 l=6m 的圆木桩，下端固定，上端受重 P＝2kN 的重锤作用，木材 的 E1＝10GPa。求下列三种情况下，木桩内的最大正应力。 (a) 重锤以静载荷的方式作用于木桩上； (b) 重锤以离桩顶 0.5m 的高度自由落下； (c) 在桩顶放置直径为 15cm、厚为 40mm 的橡皮垫，橡皮的弹性模量 E2=8MPa。重锤也是 从离橡皮垫顶面 0.5m 的高等自由落下。
第十章 动载荷
班级
学号
姓名
10-1 均质等截面杆，长为 l，重为 W，横截面面积为 A，水平放置在一排光滑的辊子上， 杆的两端受轴向力 F1 和 F2 作用，且 F2﹥F1。试求杆内正应力沿杆件长度分布的情况（设 滚动摩擦可以忽略不计）。
l
F1
F2
题 10-1 图
400 120
10-2 轴上装一钢质圆盘，盘上有一圆孔。若轴与盘以 ω＝40rad/s 的匀角速度旋转，试求轴 内由这一圆孔引起的最大正应力。
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2
由上式可看出：环内应力仅与ρ和v有关，而与横截面面 积A无关。因此要保证圆环的强度，应限制转速，而不是增加 横截面积。
动载荷问题的求解步骤：
1.求出动荷系数 K d 2.按静载荷求出应力、应变和变形等
3.将所得到的结果乘以动荷系数即可。
例如： 按静载求出某点的应力为σst 则动载下该点的应力为 d Kd st 按静载求出某点的挠度为vst
压杆的分类
1、压杆的分类
a s 2 b
l
i
1
E
P
( 1 )
细长杆—发生弹性屈曲 中长杆—发生弹塑性屈曲
大柔度杆 中柔度杆
( 2 < 1 )
( < 2 ) 粗短杆—不发生屈曲，而发生屈服 小柔度杆
临界应力总图
cr
S
P
小 柔 度 中柔度
录
§10.3 受迫振动的应力计算 §10.4 杆件受冲击时的应力和变形
§10.5 冲击韧性
地震后的唐山市
1999年1月4日，我国重庆市綦江县 彩虹桥发生垮塌，造成： 40人死亡； 14人受伤； 直接经济损失631万元。
垮塌前的彩虹桥
垮塌后的彩虹桥
法庭以外的问题－力学素质的重要性 －从简单力学问题到高等力学问题。
R
均布载荷的集度q：
杆件中点横截面上的弯矩：
l ql 1 l 1 a l M R( b) ( ) Ag (1 )( b)l 2 2 2 2 2 g 4
(Aρa+Aρg)l
相应的动应力：
M Ag a l d (1 )( b)l W 2W g 4
静载下的应力（即a=0）： Ag l st ( b)l
1.受力分析：沿圆环直径将它分成两部分，研究其上半部分；由已 知条件可知, 环内各点的向心加速度 ：
t
D
qd
D an r 2
2
2
沿环轴线均匀分布的惯性力集度为：
d
Nd
Nd
AD qd A an 2
方向与 an相反。
2
2.平衡条件：
由： Y 0
式中：
D v 2
动载荷的特点
移动载荷 F
千分表
移动静载荷，不是动载荷
•旋转的圆盘
•冲击
加速提升
共同特点：加速度
二 、动载作用下，材料与虎克定律的关系：
实验表明:在静载荷下服从虎克定律的材料，只要动应力 不超过比例极限，在动载荷下虎克定律仍然有效, 且弹性模量 与静载荷下的数值相同。
三、动应力计算的三种类型：
1.构件作匀加速直线运动或匀速运动 2.振动 3.冲击
§10.2
什么是动静法
动静法的应用
动静法就是在形式上将动力学问题作为静力学问题来处理。
一、起重机匀加速吊杆问题（或：杆件匀加速运动问题）
原始数据： 横截面积 ：A 加速度 ：a
材料的密度：ρ
每单位长度的质量: Aρ 重力: Aρ·g 加速产生的惯性力: Aρ·a
惯性力Aρa、重力Aρg、吊升力R组成平衡力系
简单力学问题－ 大部队过桥时不能齐步走 高等力学问题－ 冲击载荷的概念： 人跑步时脚上的力量有多大？ 损伤累积与结构寿命 与跑步的次数有关
人跑步时脚上的பைடு நூலகம்量有多大？ 脚上的力量
12500N
6000N
4500N
3000N
3500N
假设人体重量为750N
高等力学问题－ 损伤累积与结构寿命
与跑步的次数有关
§10.1
一 、基本概念：
概 述
1.静载荷:从零开始缓慢增加到最终数值，然后不再变化的载荷。 2.动载荷:载荷明显的随时间而改变，或者构件的速度发生显著 的变化，均属于动载荷。 3.动应力:构件中因动载荷而引起的应力。
从上面的定义中：我们可以看出：在以前各章中我们所讲 述的都是构件在静载荷作用下的刚度和强度的计算，在这一章 和下一章中我们将讨论构件在动载荷作用下的强度和刚度的计 算，在讲述这种问题之前，先让我们看看动载荷作用情况下， 材料与虎克定律的关系。
第九章 知识结构框图
压杆稳定 压杆保持原有的平衡状态的能力 使压杆保持微小弯曲平衡的最小压力
临界压力Fer
临界压力 长度因数μ 柔度（长细比） 大柔度杆λ≥λ1 中柔度杆λ2 ≤ λ≤λ1 小柔度杆λ2 ≤ λ 压杆稳定计算
两端铰支 μ=1
一端固定 一端铰支 μ=0.7 一端固定 一端自由 μ=2
两端固定 μ=0.5
D 2 N d qd ( d ) sin qd D 0 2 qd D AD 2 2 Nd 2 4 N d D 2 2 D 2 d ( ) v 2 A 4 2
——圆环轴线上的点的线速度
强度条件：
d
d v
2W 4
比较可知：
令： 动荷系数 上式可以写成：
a Kd 1 g
d Kd st
动应力等于静应力乘以动荷系数 强度条件：
d Kd st [ ]
——材料在静载作用下的许用应力。
（上面这种求解动应力的方法，我们就称为动静法） 所谓的动静法就是在作用于构件的原力系中加入惯性力系 ，然后按静力平衡处理，即可解决动应力的计算问题。
构件作圆周运动
一个小球放在旋转 盘子中间，停不住，要 向边缘走
小试验
• 手握绳子旋转一个石块， 会感觉到绳子有拉力
an
匀速转动
向心加速度
二、圆环在匀角速旋转时的动应力计算问题（动静法）
t
D
qd
d
Nd
Nd
原始数据：环的平均直径D： 环的匀角速度ω ；环的密度ρ 环的厚度t； 环的横截面积 A
大柔度
2
按强度问题计算 抛物线公式
1
按经验公式计算
2
按欧拉公式计算
cr a1 b1
第十章
动载荷
本章重点
动荷载的概念及类型，简单惯性力、冲击荷载的应 力和应变简化计算，动荷系数的概念及计算，简单 惯性力、冲击荷载下动应力强度
本章难点
冲击荷载的应力和应变计算。
目
§10.1 概述 §10.2 动静法的应用
则动载下该点的挠度为
d K d st
d Kd st [ ] 强度条件：
冲击动荷系数 Kd
a Kd 1 g
冲击时的载荷：
Fd K d F
冲击时的位移：
d Kd st
由上式可看出：环内应力仅与ρ和v有关，而与横截面面 积A无关。因此要保证圆环的强度，应限制转速，而不是增加 横截面积。
动载荷问题的求解步骤：
1.求出动荷系数 K d 2.按静载荷求出应力、应变和变形等
3.将所得到的结果乘以动荷系数即可。
例如： 按静载求出某点的应力为σst 则动载下该点的应力为 d Kd st 按静载求出某点的挠度为vst
压杆的分类
1、压杆的分类
a s 2 b
l
i
1
E
P
( 1 )
细长杆—发生弹性屈曲 中长杆—发生弹塑性屈曲
大柔度杆 中柔度杆
( 2 < 1 )
( < 2 ) 粗短杆—不发生屈曲，而发生屈服 小柔度杆
临界应力总图
cr
S
P
小 柔 度 中柔度
录
§10.3 受迫振动的应力计算 §10.4 杆件受冲击时的应力和变形
§10.5 冲击韧性
地震后的唐山市
1999年1月4日，我国重庆市綦江县 彩虹桥发生垮塌，造成： 40人死亡； 14人受伤； 直接经济损失631万元。
垮塌前的彩虹桥
垮塌后的彩虹桥
法庭以外的问题－力学素质的重要性 －从简单力学问题到高等力学问题。
R
均布载荷的集度q：
杆件中点横截面上的弯矩：
l ql 1 l 1 a l M R( b) ( ) Ag (1 )( b)l 2 2 2 2 2 g 4
(Aρa+Aρg)l
相应的动应力：
M Ag a l d (1 )( b)l W 2W g 4
静载下的应力（即a=0）： Ag l st ( b)l
1.受力分析：沿圆环直径将它分成两部分，研究其上半部分；由已 知条件可知, 环内各点的向心加速度 ：
t
D
qd
D an r 2
2
2
沿环轴线均匀分布的惯性力集度为：
d
Nd
Nd
AD qd A an 2
方向与 an相反。
2
2.平衡条件：
由： Y 0
式中：
D v 2
动载荷的特点
移动载荷 F
千分表
移动静载荷，不是动载荷
•旋转的圆盘
•冲击
加速提升
共同特点：加速度
二 、动载作用下，材料与虎克定律的关系：
实验表明:在静载荷下服从虎克定律的材料，只要动应力 不超过比例极限，在动载荷下虎克定律仍然有效, 且弹性模量 与静载荷下的数值相同。
三、动应力计算的三种类型：
1.构件作匀加速直线运动或匀速运动 2.振动 3.冲击
§10.2
什么是动静法
动静法的应用
动静法就是在形式上将动力学问题作为静力学问题来处理。
一、起重机匀加速吊杆问题（或：杆件匀加速运动问题）
原始数据： 横截面积 ：A 加速度 ：a
材料的密度：ρ
每单位长度的质量: Aρ 重力: Aρ·g 加速产生的惯性力: Aρ·a
惯性力Aρa、重力Aρg、吊升力R组成平衡力系
简单力学问题－ 大部队过桥时不能齐步走 高等力学问题－ 冲击载荷的概念： 人跑步时脚上的力量有多大？ 损伤累积与结构寿命 与跑步的次数有关
人跑步时脚上的பைடு நூலகம்量有多大？ 脚上的力量
12500N
6000N
4500N
3000N
3500N
假设人体重量为750N
高等力学问题－ 损伤累积与结构寿命
与跑步的次数有关
§10.1
一 、基本概念：
概 述
1.静载荷:从零开始缓慢增加到最终数值，然后不再变化的载荷。 2.动载荷:载荷明显的随时间而改变，或者构件的速度发生显著 的变化，均属于动载荷。 3.动应力:构件中因动载荷而引起的应力。
从上面的定义中：我们可以看出：在以前各章中我们所讲 述的都是构件在静载荷作用下的刚度和强度的计算，在这一章 和下一章中我们将讨论构件在动载荷作用下的强度和刚度的计 算，在讲述这种问题之前，先让我们看看动载荷作用情况下， 材料与虎克定律的关系。
第九章 知识结构框图
压杆稳定 压杆保持原有的平衡状态的能力 使压杆保持微小弯曲平衡的最小压力
临界压力Fer
临界压力 长度因数μ 柔度（长细比） 大柔度杆λ≥λ1 中柔度杆λ2 ≤ λ≤λ1 小柔度杆λ2 ≤ λ 压杆稳定计算
两端铰支 μ=1
一端固定 一端铰支 μ=0.7 一端固定 一端自由 μ=2
两端固定 μ=0.5
D 2 N d qd ( d ) sin qd D 0 2 qd D AD 2 2 Nd 2 4 N d D 2 2 D 2 d ( ) v 2 A 4 2
——圆环轴线上的点的线速度
强度条件：
d
d v
2W 4
比较可知：
令： 动荷系数 上式可以写成：
a Kd 1 g
d Kd st
动应力等于静应力乘以动荷系数 强度条件：
d Kd st [ ]
——材料在静载作用下的许用应力。
（上面这种求解动应力的方法，我们就称为动静法） 所谓的动静法就是在作用于构件的原力系中加入惯性力系 ，然后按静力平衡处理，即可解决动应力的计算问题。
构件作圆周运动
一个小球放在旋转 盘子中间，停不住，要 向边缘走
小试验
• 手握绳子旋转一个石块， 会感觉到绳子有拉力
an
匀速转动
向心加速度
二、圆环在匀角速旋转时的动应力计算问题（动静法）
t
D
qd
d
Nd
Nd
原始数据：环的平均直径D： 环的匀角速度ω ；环的密度ρ 环的厚度t； 环的横截面积 A
大柔度
2
按强度问题计算 抛物线公式
1
按经验公式计算
2
按欧拉公式计算
cr a1 b1
第十章
动载荷
本章重点
动荷载的概念及类型，简单惯性力、冲击荷载的应 力和应变简化计算，动荷系数的概念及计算，简单 惯性力、冲击荷载下动应力强度
本章难点
冲击荷载的应力和应变计算。
目
§10.1 概述 §10.2 动静法的应用
则动载下该点的挠度为
d K d st
d Kd st [ ] 强度条件：
冲击动荷系数 Kd
a Kd 1 g
冲击时的载荷：
Fd K d F
冲击时的位移：
d Kd st