大学物理第03章_动量与角动量
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第3章_动量与角动量
m a/2
o
a/2 m V0 m
(a/2) mv0 =(a/2)2mv+（a/2）mv
设碰后杆转动的角速度为 则碰后三质点的速率为
m
V
V=a/2
a/2
o a/2
V
解出
=2v0/3a
作 业 3.2、3.22、3.23
f mac
f ac m
c
ac
f
1 2 1 f 2 xc ac t （ ）t 2 m 2
作 业
3.1、3.5、3.11、3.19
22
§3.4 质点的角动量和角动量守恒定律 一、质点的角动量
L
L r P r m
L
角动量的大小
P
m
r
o
L rP sin mr sin
注意：同一质点相对于不同的定点，角动量可以不同。
在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的。
二、质点的角动量定理
dL d r P 角动量对时间的变化率 dt dt
dB dA d ( A B) A B dt dt dt
t0
（积分形式） 方向？ 重要性：动量定理将过程量的计算转化为 状态量的计算，比较方便。
例题1 质量为m的质点，以恒速率v 沿一正三角形的 三边顺时针运动一周。求作用于正三角形一顶点处质 点的冲量。
P 2
解：由质点的动量定理
m
I P2 P1
P 1 P 2 m
120
v M
m
解:
发炮前,系统在竖直方向上的外力有重力 G 地面支持力 N 而且 G N
o
a/2 m V0 m
(a/2) mv0 =(a/2)2mv+（a/2）mv
设碰后杆转动的角速度为 则碰后三质点的速率为
m
V
V=a/2
a/2
o a/2
V
解出
=2v0/3a
作 业 3.2、3.22、3.23
f mac
f ac m
c
ac
f
1 2 1 f 2 xc ac t （ ）t 2 m 2
作 业
3.1、3.5、3.11、3.19
22
§3.4 质点的角动量和角动量守恒定律 一、质点的角动量
L
L r P r m
L
角动量的大小
P
m
r
o
L rP sin mr sin
注意：同一质点相对于不同的定点，角动量可以不同。
在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的。
二、质点的角动量定理
dL d r P 角动量对时间的变化率 dt dt
dB dA d ( A B) A B dt dt dt
t0
（积分形式） 方向？ 重要性：动量定理将过程量的计算转化为 状态量的计算，比较方便。
例题1 质量为m的质点，以恒速率v 沿一正三角形的 三边顺时针运动一周。求作用于正三角形一顶点处质 点的冲量。
P 2
解：由质点的动量定理
m
I P2 P1
P 1 P 2 m
120
v M
m
解:
发炮前,系统在竖直方向上的外力有重力 G 地面支持力 N 而且 G N
大学物理第03章_动量与角动量
27
例7. 如图,一个1/4圆弧滑槽的大物体的质量为M,停在 光滑的水平面上,另一质量为m的小物体自圆弧顶点 由静止下滑.求当小物体m滑到底时,大物体M在水平 面上移动的距离?
y
解：系统在m下滑过程中,水平方向
V
vX
受合外力为零,水平方向动量守 恒!
0 mvx M (V ) mvx dt MVdt
p mv
单位：kg· m· s-1
由n个质点所构成的质点系的动量：
P pi mivi
i 1 i 1
4
n
n
牛顿运动定律：
F ma
动量定理的微分式：
dp F dt
d(mv) dp F dt dt
如果力的作用时间从 t0 t，质点动量从 p0 p
I 6 7.69 (kg m s 1 )
mv2 2 tan mv1 2
5444
15
例2. 一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为F = 400-4105 t/3，子弹从枪口射出时的速率为300 m/s。 设子弹离开枪口处合力刚好为零。求：（1）子弹走 完枪筒全长所用的时间t。（2）子弹在枪筒中所受力 的冲量I。（3）子弹的质量。
to
1 平均冲力： F t t0
t
to
F dt
F t
I F t
7
t
结论：物体动量变化一定的情况下，作用时间越长， 物体受到的平均冲力越小；反之则越大。
海绵垫子可 以延长运动员下 落时与其接触的 时间，这样就减 小了地面对人的 冲击力。
8
逆风行舟
u
v
v
大学物理课件 第3章 动量 角动量
例 如图所示,一个有四分之一圆弧光滑槽的大物体,质量为 M, 置于 光滑的水平面上。另一质量为m的小物体从圆弧顶点由静止开始下滑。 求当小物体m滑到底时，M滑槽在水平上移动的距离。
解 以 M和 m 为研究对象，其在水平方向不受外力（所受外力都 在竖直方向），故水平方向动量守恒。
设在下滑过程中，m相对于M的滑动速度为m ， M 对地速 度为 M ，并以水平方向右为正，则有
t
问题 结果与m与槽M间是否存在摩擦有关系吗？
3. 质心运动定理
C
mii mc m i 1 质点系的动量 p mc
i 1
m
n
rC
mi ri
n i 1
m
n
i i
质点系的动量等于质点系的质量乘以质心的速度。 注 质点系的动量的两种表达式
n p mii , p mc
pA m j ,
pB mi
y
B
I AB pB pA m (i j )
C
pC m j
o
A
x
I AC pC pA 2m j
质点的动量定理
例 一质量为10kg的物体沿x轴无摩擦地运动，设t=0时，物体 位于原点，速度为零。设物体在力(F=3+4t)N作用下运动了3秒， 求此时它的速度和加速度。 解
3.2
角动量定理 角动量守恒定律
3.2.1 质点的角动量定理及守恒定律
1. 力矩
讨论
力F 对定点O 的力矩 Mo F r F
单位：牛 米（N m）
(1)力矩的大小和方向
所组成的平面，指向是由 180 的角转到 F 时的右手螺旋前进的方向
①方向垂直于 r 和 F o
r 经小于
x 方向： m sin m0 sin 0 y 方向： ( f mg )t m cos m0 cos sin 由第一式 0 sin
第3章动量角动量
(3)动量守恒定律只适用于惯性系, 使用时所有速度必须相 对于同一惯性系。
(4)动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一。 在微观高速范围同样适用。
例3-3 如图,在光滑的水平面上,有一质量为M、长为l 的小车, 车上一端站有质量为m的人，起初m、M均静止，若人从车 的一端走到另一端，则人和车相对地面走过的距离为多少？
为ω，杆长均为l 。(2)如系统作加速转
动,系统的动量和角动量变化吗？
三、质点的角动量(动量矩)定理
Lrp
求
dL
导
d (r
p)
dr
p
r
dp
F
dt
dt
M
dL
dt
dt
dt
质点的角动量定理（微分形式）
质点所受合力对点O 的力矩, 等于质点对点O的角 动量的时间变化率。
M
dL
dt
改写
Mdt dL
t2 t1
F dt
p2
p1
(1)定理中的冲量指的是质点所受合力的冲量,或者质点所
受冲量的矢量和。
I
t2 t1
F合
dt
＝ ＝
t2 t1
(
F1＋F2＋＋Fn
)
d
t
t2 t1
F1dt
t2 t1
F2dt＋
＋
t2 t1
Fndt ＝
i 1
Ii
(2)冲量是过程量,动量是状态量,冲量的方向可用动量变化的
由动量定理 I p2 得 p1
(3) 2.7 m/s
（2）3s末质点的加速度
a(3) F (3) 1.5 m/s2 m
3.1.2 质点系的动量定理 动量守恒定律
(4)动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一。 在微观高速范围同样适用。
例3-3 如图,在光滑的水平面上,有一质量为M、长为l 的小车, 车上一端站有质量为m的人，起初m、M均静止，若人从车 的一端走到另一端，则人和车相对地面走过的距离为多少？
为ω，杆长均为l 。(2)如系统作加速转
动,系统的动量和角动量变化吗？
三、质点的角动量(动量矩)定理
Lrp
求
dL
导
d (r
p)
dr
p
r
dp
F
dt
dt
M
dL
dt
dt
dt
质点的角动量定理（微分形式）
质点所受合力对点O 的力矩, 等于质点对点O的角 动量的时间变化率。
M
dL
dt
改写
Mdt dL
t2 t1
F dt
p2
p1
(1)定理中的冲量指的是质点所受合力的冲量,或者质点所
受冲量的矢量和。
I
t2 t1
F合
dt
＝ ＝
t2 t1
(
F1＋F2＋＋Fn
)
d
t
t2 t1
F1dt
t2 t1
F2dt＋
＋
t2 t1
Fndt ＝
i 1
Ii
(2)冲量是过程量,动量是状态量,冲量的方向可用动量变化的
由动量定理 I p2 得 p1
(3) 2.7 m/s
（2）3s末质点的加速度
a(3) F (3) 1.5 m/s2 m
3.1.2 质点系的动量定理 动量守恒定律
第3章动量和角动量.ppt
N
(mi )ri
rdm
r c
i 1 N
mi
dm
z
rc
mi
i 1
ri
分量形式：
x
y
xc
xdm M
yc
ydm M
zc
zdm M
式中 dm dV , dm dS, or dm dl
同样，对孤立的N粒子系统或连续分布体有：
P mi vi MV c const.
i
或： P mi vi MV c const.
以传送带为参考系：
m v
O
x
二、质点系的动量定理
设有N个粒子，外力 用 Fi ，内力（即粒子 之间的相互作用）为 fi j
则第 i 粒子的运动方程
Fi
ji
fij
dpi dt
Pi ·
·i · ·
Fi
fi j
· · · ·fj i
j
Pj
共有N个方程
对所有
粒子求和
N
N
Fi
i1
i1
ji
fij
m1
v1
c
m1 m2
它表示一个位置，如图。
r r1 c
c 称为系统的质心。
设
Vc
drc dt
,
M
o
(m1 m2 )
m2
r2
v2
x
P MV c const.
结果表明：如果将两粒子系统看作一个质量集中在 rc
的一个质点，则质点系的运动就等同于一个质点的运动；
该系统的动量就等于该“质点”的动量；系统的动量守 恒就等同于该“质点”的动量守恒。
i
表点明，则：质如点果系将的系运统动看就作等一同个于质一量个全质部点集的中运在动r；c的一个质
第三章-动量-角动量
对于同一点的角动量对时间的变化率，这一结论称为质点的角
动量定理。
质点的角动量定理可以写为
Mdt dL
其中 Mdt 称为dt 时间内力矩 M对质点的冲量矩。两边
积分有：
t2 t1
Mdt
L2
L1
上式表明：作用于质点的合外力矩M 从 t1 到 t2 时间间隔 内的冲量矩，等于质点在同一时间间隔内角动量的增量。
力心
例4、一质点在x-y平面内运动，已知质点的质量为20 g，在A 、
B 两位置处的速率都是20 m/s ，vA与X轴成45 o角，vB垂 直于y轴。求质点由A点到B点这段时间内，作用在质点
上外力对O点的总冲量矩（已知OA=2m，OB=4m）。
解： 由质点的角动量定理知：
y vB B
由A到B，角动量的方向均垂 直于x-y平面向上
标量式为
(3-5)
对于冲量 I 应注意：
（1）冲量是力对时间的积累作用。
I
t2
Fdt
t1
mv1
mv
mv2
（2）冲量是矢量，其方向与动量增量方向相同。 即 I 的方向与 P 或 mv 的方向相同。
对动量原理应注意：
（1） F 是指物体所受的合外力，I 是合外力的冲量。 （2） 动量原理是矢量式，常用其分量式。 （3） 动量原理用于惯性系。
②已知炮弹对炮车的相对速度为v ，仰角
为时速θ ，度由v速’ 的度水叠平加分原量理为，炮弹对V地的瞬
v’ x = v cosθ – V
系统总动量为 m (v cosθ - V) – MV 系统总动量的水平分量守恒方程：
m (v cos θ - V) – MV = 0
代入数字 解得：
v v
第3章 动量与角动量
1) 人匀速运动，到达车尾时小车的速度为(由上式解得)： u=l/t
v v0
m uv m l 0 M m M mt
2)车的运动路程为： 由于人匀速运动，即u为常量，故小车的运动速度v 也为常量。此时车的运动路程可用 s=vt 进行计算。
m l m s vt (v0 )t v 0 t l Mm t Mm
f AB F f
A
N
mA g
f BA
N AB mB g 外力： 推力F , A的重力mA g , B的重力mB g , 地面对质点系的滑动磨擦力f , 地面对质点质的支持力N . 内力： AB间的静摩擦力f AB和f BA , AB间的正压力N AB和支持力N BA
M 大小：M rF sin 方向：右手螺旋法则
由力矩的定义可知： M r F
2、角动量
O 定义： 一个质点相对于参考点 的角动量等于 质点位置矢量 与其动量mv 的矢量积。 r
o m
L
L r mv mv r
L
L
例：一个物体在空中炸成几块，在忽略空气阻力的情况下， 这些碎块受到的外力只有竖直向下的重力，因此它们的总 动量在水平方向上的分量守恒。（某方向合外力为零，则 该方向动量守恒）
4、动量守恒定律是由牛顿定律导出的，只适用于惯性 系。（更广义的动量守恒定律不依赖于牛顿定律，是 自然界中的基本定律）
例2、 如图,车在光滑水平面上运动,已知人的质量m, 小车的质量M ,车长l ,小车的运动速度v0 人逆车运动,方向从车头经时间t到达车尾. 求：1、若人匀速运动，他到达车尾时车的速度； 2、车的运动路程； 3、若人以变速率运动，上述结论如何？ m 解：以人和车为研究系统，取 v0 u 地面为参照系。水平方向系统 M 不受外力作用，动量守恒。 x
大学物理第3章动量与角动量
力在时间上的积累效应：
平动 转动 冲量 冲量矩 动量的改变 角动量的改变
一、力的冲量
， 定义：力 f 作用时间为 t
则 f t 称为力
f
f
I
I f t
在 t 时间间隔内的冲量。 定义式:
I f t
I F t
1
量纲
pe
α
因为
pe p pN 0 2 2 1/ 2 pe 与 p 垂直： p N pe p
pN
θ
p
pe 1.2 10 23 所以： ＝arctg 61.9 6.4 10 23 p
＝ －61.9 118.1 180
A A
v
B
u
Mv mu (M m)v
Mv mu v M m m u v v M
mu v v v v M m
v dm u v 6 a lim u v t 0 t dt M M
i
常矢量 P＝mv
P＝ mivi 常矢量
动量守恒定律：一个质点系所受的合外力为零时, 这个系统的总动量将保持不变.
在直角坐标系中的分量表示：
px miv ix C1
i
p y miv iy C2
i
pz miv iz C3
i
讨论
1.动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论。 2. 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。质点 系内各质点的速度必须是相对同一惯性参照系而言。 3. 动量若在某一惯性系中守恒，则在其他 一切惯性系中 均守恒。 4. 若某个方向上合外力为零，则该方向上动量守恒，尽管 总动量可能并不守恒 5. 当外力<<内力且作用时间极短时（如碰撞） 可认为动量近似守恒。 6. 动量守恒定律比牛顿定律更普遍、更基本 ， 在宏观和 微观领域均适用。
03第三章 动量与角动量作业答案
第三次作业（第三章动量与角动量）一、选择题［A］1.（基础训练2）一质量为m0的斜面原来静止于水平光滑平面上，将一质量为m的木块轻轻放于斜面上，如图3-11(A) 保持静止．(B) 向右加速运动．(C) 向右匀速运动．(D) 向左加速运动．【提示】设m0相对于地面以V运动。
依题意，m静止于斜面上，跟着m0一起运动。
根据水平方向动量守恒，得：m V mV+=所以0V=，斜面保持静止。
［C］2.（基础训练3）如图3-12所示，圆锥摆的摆球质量为m，速率为v，圆半径为R，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大小为(A) 2m v．(B) 22)/()2(vv Rmgmπ+(C) v/Rmgπ(D) 0．【提示】22TGTI mgdt mg==⨯⎰，而vRTπ2=［C ］3．（自测提高1）质量为m的质点，以不变速率v沿图3-16正三角形ABC的水平光滑轨道运动。
质点越过A点的冲量的大小为(A) m v．(B) ．(C) ．(D) 2m v．【提示】根据动量定理2121ttI fdt mv mv==-⎰，如图。
得：21I mv mv∴=-=[ B] 4.（自测提高2）质量为20 g的子弹，以400 m/s的速率沿图3-17所示的方向射入一原来静止的质量为980 g的摆球中，摆线长度不可伸缩。
子弹射入后开始与摆球一起运动的速率为(A) 2 m/s．(B) 4 m/s．(C) 7 m/s ．(D) 8 m/s．【提示】相对于摆线顶部所在点，系统的角动量守恒：2sin30()mv l M m lV︒=+其中m为子弹质量，M为摆球质量，l为摆线长度。
解得：V=4 m/s（解法二：系统水平方向动量守恒：2sin30()mv M m V︒=+)图3-11图3-17二、填空题1、（基础训练7）设作用在质量为1 kg 的物体上的力F ＝6t ＋3（SI ）．如果物体在这一力的作用下，由静止开始沿直线运动，在0到2.0 s 的时间间隔内，这个力作用在物体上的冲量大小Ｉ＝18N s ⋅．【提示】2222(63)(33)18I Fdt t dt t t N s ==+=+=⋅⎰⎰2．（基础训练8）静水中停泊着两只质量皆为0m 的小船。
大学物理 动量与角动量解读
t2 t1
F外
dt
P2
P1
—质点系动量定 理（积分形式）
系统总动量由外力的冲量决定，与内力无关。
用质点系动量定理处理问题可避开内力。 8
§3.2动量守恒定律 （law of conservation of momentum）
质点系所受合外力为零时，质点系的总动量
不随时间改变。这就是质点系的动量守恒定律。
zC
mi zi m
质量为权重的平均值。 17
二.几种系统的质心
● 两质点系统
· · m1
C× m2
r1
r2
● 连续体
z
dm
r
×C
rc m
0
x
m1 r1 = m2 r2
rC
r dm
m
xC
xdm
……m
18
● 均匀杆、圆盘、圆环、球，质心为其几何中心。
● “小线度”物体的质心和重心是重合的。
[例]如图示，求挖掉小圆盘后系统的质心坐标。 解：由对称性分析，质心C应在x轴上。
2
3.1 冲量与动量定理
冲量：力和力作用时间的乘积 （单位：牛顿·秒 (N·s)）
恒力 变力
在 dt 时间内的元冲量： dI Fdt
在 t1至 t2 时间段内的冲量：
（力对时间的积累效应）
动量：质点质量 m 和速度 的乘积
P mv
单位：千克·米·秒-1 (kg·m·s-1) 3
一、质点的动量定理
经整理得： Mdv = -udM
d v u d M M
f
Mf dM
d v u
i
M Mi
速度公式：
vf
vi
大学物理第3章_动量与角动量
C
N N i 1 i 1
i 1
在任何参考系中，质心的动量都等于质点系 的总动量。
dvc mi ai m 4、质心的加速度 ac dt
N i 1
28
§3.6 质心运动定理和质心参考系
一、质心运动定理
f2外
p2
dP F m a c （惯性系） dt
i
内力可改变各质点的动量， 但合内力为零，对总动量无影 rj 响。 应用质点系动量定理不必 o 惯性系 考虑内力。
ri
f ij f ji
mj
pj
fj
13
证明：对第 i 个质点 d f ij fi d t pi j i 对质点求和
fi
pi
ri
2.火箭所受的反推力 研究对象：喷出气体 dm t 时刻：速度v (和主体速度相同)，动量 vdm t +dt时刻：速度 v - u， 动量dm(v - u)
由动量定理，dt内喷出气体所受冲量
F箭对气dt = dm(v - u) - vdm = - F气对箭dt
由此得火箭所受燃气的反推力为
dm F F气 对 箭 u dt
3
§ 3.1 冲量与动量定理 力的时间积累称为冲量（impulse）：
dI Fdt t I F (t )dt
t0
牛顿第二定律质点的动量定理： dI Fdt dp t I F (t )dt p p0
t0
动量定理常用于碰撞过程。
星（TEMPEL1）的彗核相撞。 据推算，撞击的强度相当于 4.5 吨 TNT 炸药造成的 巨大爆炸，它将会在彗核表面撞出一个约有足球场大
N N i 1 i 1
i 1
在任何参考系中，质心的动量都等于质点系 的总动量。
dvc mi ai m 4、质心的加速度 ac dt
N i 1
28
§3.6 质心运动定理和质心参考系
一、质心运动定理
f2外
p2
dP F m a c （惯性系） dt
i
内力可改变各质点的动量， 但合内力为零，对总动量无影 rj 响。 应用质点系动量定理不必 o 惯性系 考虑内力。
ri
f ij f ji
mj
pj
fj
13
证明：对第 i 个质点 d f ij fi d t pi j i 对质点求和
fi
pi
ri
2.火箭所受的反推力 研究对象：喷出气体 dm t 时刻：速度v (和主体速度相同)，动量 vdm t +dt时刻：速度 v - u， 动量dm(v - u)
由动量定理，dt内喷出气体所受冲量
F箭对气dt = dm(v - u) - vdm = - F气对箭dt
由此得火箭所受燃气的反推力为
dm F F气 对 箭 u dt
3
§ 3.1 冲量与动量定理 力的时间积累称为冲量（impulse）：
dI Fdt t I F (t )dt
t0
牛顿第二定律质点的动量定理： dI Fdt dp t I F (t )dt p p0
t0
动量定理常用于碰撞过程。
星（TEMPEL1）的彗核相撞。 据推算，撞击的强度相当于 4.5 吨 TNT 炸药造成的 巨大爆炸，它将会在彗核表面撞出一个约有足球场大
大学物理第3章动量与角动量
§3.2 动量守恒定律
动量守恒定律的分量形式：
若 若 若
F F F
x
0, px 0, p y 0, pz
y z
m v m v m v
i i i
i ix i iy
常量 常量 常量
i iz
动量守恒可以在单一方向上守恒。 动量守恒定律在惯性系中成立。 动量守恒定律是自然界的普遍规律，它不依赖于牛顿 定律而成立。
微观粒子的实验（如电子转化为光子）
§3.2 动量守恒定律
t2
F外dt P P0
t1
动量定理
dP 微分形式？ F dt
可以写成
0 P 当F C 外
动量守恒定律
吗？ F m a
注意后面 的讲解。
讨论
1.动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论。
m x m y m z x , y , z m m m
i i i i i i i i i C i C i C i i i i
z
C
质心的位置矢量表为
rC
m
i i
m i ri
i
x
O
r C
y
§3.4 质心
对连续质量的物体，质心位置可用积分式计算：
xdm ydm zdm x , y , z dm dm dm
C C C
rC
dm
r dm
质元dm视为质点
说明： 质心的位置由质点系各质点的相对位置决定，与 坐标原点的位置无关。 重力的着力点——重心，就在物体的质心上。
§3.4 质心
v
解：以M和dt时间里落到车厢 的煤粒dm为质点系。
动量守恒定律的分量形式：
若 若 若
F F F
x
0, px 0, p y 0, pz
y z
m v m v m v
i i i
i ix i iy
常量 常量 常量
i iz
动量守恒可以在单一方向上守恒。 动量守恒定律在惯性系中成立。 动量守恒定律是自然界的普遍规律，它不依赖于牛顿 定律而成立。
微观粒子的实验（如电子转化为光子）
§3.2 动量守恒定律
t2
F外dt P P0
t1
动量定理
dP 微分形式？ F dt
可以写成
0 P 当F C 外
动量守恒定律
吗？ F m a
注意后面 的讲解。
讨论
1.动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论。
m x m y m z x , y , z m m m
i i i i i i i i i C i C i C i i i i
z
C
质心的位置矢量表为
rC
m
i i
m i ri
i
x
O
r C
y
§3.4 质心
对连续质量的物体，质心位置可用积分式计算：
xdm ydm zdm x , y , z dm dm dm
C C C
rC
dm
r dm
质元dm视为质点
说明： 质心的位置由质点系各质点的相对位置决定，与 坐标原点的位置无关。 重力的着力点——重心，就在物体的质心上。
§3.4 质心
v
解：以M和dt时间里落到车厢 的煤粒dm为质点系。
大学物理-动量与角动量
解：以小孔O为原点，绳对小球的拉力为有心力，其力矩为零。则小球对点的角动量守恒。
因：v = rw
则小球的动能增量为：
例3.18 证明开普勒第二定律：对任一行星，它的位置矢量（以太阳中心为参考点）在相等的时间内扫过相等的面积。
太阳对行星的引力为有心力，故行星角动量守恒，即 L 为常矢量，因此有：
角动量守恒：r1mv1=r2mv2 v1=(r2/r1)v2=1.2857v2
机械能守恒：
代入数据计算时，注意长度单位要统一使用m或km。
空间累积效应
时间累积效应
瞬时效应
动量定理
角动量定理
动能定理
功能定理
质点的角动量守恒定律
力
力矩
动量
角动量
冲量
冲量矩
力与动量
力矩与角动量
动量定理(冲量与动量)
角动量定理(冲量矩与角动量)
动量守恒：某一时间间隔内，质点系所受外力矢量和始终为零，…
角动量守恒：对固定参考点而言，质点受到的合力矩始终为零，…
例2-17：将质量为m 的小球系于轻绳一端，绳的另一端穿过光滑水平面上的小孔O 用手拉住。先使小球以角速度 w1 在水平面上做半径为 r1 的圆周运动，然后慢慢将绳下拉，使半径缩小为 r2 ，求在此过程中小球的动能增量。
力矩
O
力矩的分量式:
对轴的力矩
力矩为零的情况: （1）力 F 等于零； （2）力 F 的作用线与矢径 r 共线（即 sinj = 0 ）
二、角动量定理
角动量 力矩
质点对某固定点的角动量随时间的变化率，等于质点所受的合力对该点的力矩。
表示成积分形式：
冲量矩（合力矩在Δt时间内对定点的冲量矩）
由对称性分析，质心C应在x轴上。
因：v = rw
则小球的动能增量为：
例3.18 证明开普勒第二定律：对任一行星，它的位置矢量（以太阳中心为参考点）在相等的时间内扫过相等的面积。
太阳对行星的引力为有心力，故行星角动量守恒，即 L 为常矢量，因此有：
角动量守恒：r1mv1=r2mv2 v1=(r2/r1)v2=1.2857v2
机械能守恒：
代入数据计算时，注意长度单位要统一使用m或km。
空间累积效应
时间累积效应
瞬时效应
动量定理
角动量定理
动能定理
功能定理
质点的角动量守恒定律
力
力矩
动量
角动量
冲量
冲量矩
力与动量
力矩与角动量
动量定理(冲量与动量)
角动量定理(冲量矩与角动量)
动量守恒：某一时间间隔内，质点系所受外力矢量和始终为零，…
角动量守恒：对固定参考点而言，质点受到的合力矩始终为零，…
例2-17：将质量为m 的小球系于轻绳一端，绳的另一端穿过光滑水平面上的小孔O 用手拉住。先使小球以角速度 w1 在水平面上做半径为 r1 的圆周运动，然后慢慢将绳下拉，使半径缩小为 r2 ，求在此过程中小球的动能增量。
力矩
O
力矩的分量式:
对轴的力矩
力矩为零的情况: （1）力 F 等于零； （2）力 F 的作用线与矢径 r 共线（即 sinj = 0 ）
二、角动量定理
角动量 力矩
质点对某固定点的角动量随时间的变化率，等于质点所受的合力对该点的力矩。
表示成积分形式：
冲量矩（合力矩在Δt时间内对定点的冲量矩）
由对称性分析，质心C应在x轴上。
第03章 动量和角动量01
3–1 冲量与动量定理 1
第三章 动量与角动量
§3 - 1 冲量与动量定理
宁波大学理学院
韦世豪
3–1 冲量与动量定理 1
第三章 动量与角动量
一,冲量: 反映力在时间过程中的累积效应的物理量 冲量:反映力在时间过程中的累积效应 力在时间过程中的累积效应的物理量 1,恒力的冲量(复 习) 恒力的冲量( 定义: 定义 力和作用时间的乘积 公式: 公式: I = F(t t0 ) = Ft
本题目的: 本题目的 掌握动量守恒定律的应用. 掌握动量守恒定律的应用. 动量守恒定律的应用
解: 选(M+m)为系统 ) 水平方向合外力= , 水平方向合外力 0,水平方向动量守恒
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3–3 动量守恒定律 3
第三章 动量与角动量
由于系统的初动量为零, 由于系统的初动量为零,即: 水平分量上 在水平分量上,有:
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3–1 冲量与动量定理 1
第三章 动量与角动量
四,质点动量定理 牛顿运动定律: 牛顿运动定律:
F = ma
d(mv) dp F= = dt dt
在dt 时间内外力作用 的总效果的关系式
动量定理的微分式: 动量定理的微分式: dp = F dt 的微分式 如果力的作用时间从 t0
I =
∫
3
0
Fdt =
2
∫
3
3
0
(18 t 6 t 2 )dt = 27 ( N s )
x1
= 9t 2t
(
)
3 0
∫
x1 x0
m x x 1m + 1 x0 +1 m x dx = +C = +C +C m +1 m +1 m +1 x0 m +1
第三章 动量与角动量
§3 - 1 冲量与动量定理
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3–1 冲量与动量定理 1
第三章 动量与角动量
一,冲量: 反映力在时间过程中的累积效应的物理量 冲量:反映力在时间过程中的累积效应 力在时间过程中的累积效应的物理量 1,恒力的冲量(复 习) 恒力的冲量( 定义: 定义 力和作用时间的乘积 公式: 公式: I = F(t t0 ) = Ft
本题目的: 本题目的 掌握动量守恒定律的应用. 掌握动量守恒定律的应用. 动量守恒定律的应用
解: 选(M+m)为系统 ) 水平方向合外力= , 水平方向合外力 0,水平方向动量守恒
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3–3 动量守恒定律 3
第三章 动量与角动量
由于系统的初动量为零, 由于系统的初动量为零,即: 水平分量上 在水平分量上,有:
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3–1 冲量与动量定理 1
第三章 动量与角动量
四,质点动量定理 牛顿运动定律: 牛顿运动定律:
F = ma
d(mv) dp F= = dt dt
在dt 时间内外力作用 的总效果的关系式
动量定理的微分式: 动量定理的微分式: dp = F dt 的微分式 如果力的作用时间从 t0
I =
∫
3
0
Fdt =
2
∫
3
3
0
(18 t 6 t 2 )dt = 27 ( N s )
x1
= 9t 2t
(
)
3 0
∫
x1 x0
m x x 1m + 1 x0 +1 m x dx = +C = +C +C m +1 m +1 m +1 x0 m +1
03-动量 角动量
d F i dt Pi i i
F
以F和P表示系统的合外力和总动量，上式 可写为： dP
dt
质点系的动量定理：
Fdt＝d P
微分形式
P2
t2
t1
F dt＝
P1
d P P 积分形式
14
2、动量守恒定律
dP F 0 0 dt
i i i i
P 常矢量
i
p m v
t 0.01s v1 10m/s v2 20m/s m 2.5g
Fx 6.1N Fy 0.7 N
F F F 6.14N
2 x
2 y
7
I x 0.061Ns
I
2 x 2 y
I y 0.007Ns
2
I I 6.1410 Ns
Iy Ix 0.1148
tan
6.54
为I与x方向的夹角。
此题也可用矢量法解， 作矢量图用余弦定理和 正弦定理，可得：
F
v1
t
v2
v1
8
I＝Fdt m v m v 2m v1v2 cos105
2 2 1 2 2 2 2
6.1410 Ns
2
I F 6.14N t
m v2 F t sin sin 105
F
v1
t
v2
x
v1
sin 0.7866 51.86
51.86 45 6.86
9
例3、一质量均匀分布 的柔软细绳铅直地悬 挂着，绳的下端刚好 触到水平桌面上，如
x
大学物理课件第3章 动量与角动量
§3.3 动量守恒定律 质点系所受合外力为零， Σ 时间改变，即
Fi = 0 总动量不随
N P pi 常矢量
i 1
1. 合外力为零，或外力与内力相比小很多；
2. 合外力沿某一方向为零；
p i
i
const .
3. 只适用于惯性系； 4. 比牛顿定律更普遍的最基本的定律。
M r F
力
M F d F r sin
提问:力矩为0的情况?
力矩
Lrp
动量
N m 矢量性: r F
单位:
三、角动量定理
pr p v pr F Lr 角动量定理： r F M (力矩)
q
v
V
v sinq
v cosq V
解：设车相对地面的反冲速度为V，方向水平向左 炮弹相对地面的速度水平分量为 v cosq V mv cosq 水平方向动量守恒 m(v cosq V ) MV 0 解得V
炮弹相对地面的速度竖直分量为 v sinq
m M
v sinq tg v cosq V
t2
mg
3秒时物是否被拉起？
F cos f 0 N F sin mg 0 f N t1 1.9 s
I x 0.62 Kgm / s
t1
F
x
dt 1.12t (cos sin ) mg dt
3
I x mvx 0 0.62Kgm / s
6
h
v
0
N =
m 2gh
τ
m 工件
mg
大学物理第三章动量与角动量分解
相碰时的相互作用内力为 f 和f
同时受系统外其它物体的作用外力为 F1和F 2
d P1 对质点m1: F1 f dt d P2 对质点m2:F2 f dt
两式相加,得
13
f f
d P1 d P2 F1 F2 f f dt dt
d F1 F2 ( P1 P2 ) dt ( F1 F2 )dt d ( P1 P2 ) ( m1 1 m2 2 ) ( m1 10 m2 20 )
由牛顿第三定律有： f ij 0
i j i
15
d t d pi 所以有： ( Fi） i i 令 Fi F外 ， pi P
则有：
F外 d t d P
F外 dP dt
i
i
或
质点系动量定理 （微分形式）
t2 F t1 外
m’ N
已知μs
解:箱子是否下滑,决定于物体坠入 箱子时,在冲力的作用下箱子的受力 是否
mgsin f s mg cos s tg
当一物体竖直坠入箱中,在冲力作用下,时的瞬间应满足:
s ( mg cos F cos ) ( mg sin F sin ) ma
力在时间上的积累效应：
平动 冲量，改变动量 转动 冲量矩，改变角动量
2
1、冲量（impulse）
定义:力对一段时间的积累
t2 大小： I ＝ Fdt
t1
F F
方向：速度变化的方向 单位：N· s 0 t
量纲：MLT－1
微分形式: d I F d t d p
v 2 gh 2 9.80 2 6.26 m/s
第03章 动量与角动量
px py
px0 py0
pz
pz0
(I x 0) (I y 0) (I z 0)
➢ 若系统在某一方向所受的合力为零，则该方向动量守恒 ➢ 外力<<内力时，动量近似守恒。例如碰撞和爆炸
.
二. 碰撞过程中的动量守恒现象
1、两个或两个以上的物体发生时间极为短暂的 相互作用过程叫碰撞。
2、碰撞的特点：作用时间极为短暂。
普遍成立
dt
.
2.2 动量定理
F d d p tF d td p tt0F d tp p 0d p
Ip p 0
质点动量的增量等于合力对质点作用的冲 量 —— 质点动量定理
I
x
I y
px py
p0x p0y
I
z
pz
p0z
➢ 动量定理反映了力对时间的积累效应
.
2.3 平均冲力
I mg(t2 t1)I反冲0
I反冲mg(t2 t1)
.
例 质量为 m 的匀质链条，全长为 L，
开始时，下端与地面的距离为 h , 当链
条自由下落在地面上时
求 链条下落在地面上的长度为 l ( l<L )时，地面 所受链条的作用力？
解设
ml
l
m L
l
链条在此时的速度 v 2g(lh)
Lm
h
dm
根据动量定理 fdt0(vdt)v
完全弹性对心碰撞过程中的守恒量：
动量守恒 机械能守恒
F内>>F外，且作用时间短， 外力的冲量可以忽略不计。
.
例: 在一个半径为R的固定光滑球面的顶点处有一个质量为 M的静止木块。现有一质量为m的子弹以速度v0水平射入木 块之中，然后与木块一起沿着球面下滑。试求：1、木块飞 离球面时，其连线与竖直方向的夹角；2、子弹的初速度为
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y
B O v A v0 xO y x00 B A x
解：
m0 0 m 0 mv m0v0
m v0 v m0 m dx0 (dx) m0
26
x00
0
dx0
x00
L
m dx m0
m x00 ( x00 L) m0 m x00 L m m0
解： 如图在竖直向上方向建坐标
0
y m2
N m2g
系统沿y方向受到合外力的冲量为 Fdt,由动量定理可得:
m1
m1g
Fdt ygdt dp
p m1v yv dp d (m1v) d ( yv)
17
ygdt d ( yv)
2
d ( yv) yg dt
0 0
31
3.3火箭飞行原理
v
M t
( u)
dm
v dv
M dM
(t dt ) 时刻
dm dM
u ：dm相对火箭体喷射速度
32
质点系选：(M+dM , dm) 设火箭在自由空间飞行，系统动量守恒：
Mv dm(v u) ( M dM )(v dv )
dM (v u) ( M dM )(v dv )
yd ( yv)dy y gdy yvd ( yv) dt
y
0
y gdy yvd ( yv)
2 0
yv
1 3 1 2 gy ( yv) 3 2
v 2 3 gy 3
18
例4.一辆装煤车以v=3m/s的速率从煤斗下面通过,每 秒钟落入车厢的煤为Δm=500kg.如果使车厢的速率 保持不变,应用多大的牵引力拉车厢? 解：以m表示时刻t煤车和已落进煤车的煤 的总质量. v dm 此后dt时间内又有质量为 dm的煤落入车厢. m 取m与dm为研究的质点系 ,则在t时刻水平总动量为:
0.6 N s
0
I mv 0
I 0.6 m 0.002kg 2 g v 300
16
例3.一根柔软链条长l,单位长度质量为λ .链条放在桌 上,桌上有一小孔,链条的一端由小孔垂下,其余部份 堆在桌面上小孔周围.由于某种拢动,链条因自身重量 开始下落.求链条下落速度与落下距离之间的关系.
to
p
po
t dp F dt to
t I F dt p p0 mv mv0
5
质点动量定理： 质点在运动过程中，所受合外力的 冲量等于质点动量的增量。
说明：
（1） 冲量的方向 I 与动量增量 p 的方向一致。
27
例7. 如图,一个1/4圆弧滑槽的大物体的质量为M,停在 光滑的水平面上,另一质量为m的小物体自圆弧顶点 由静止下滑.求当小物体m滑到底时,大物体M在水平 面上移动的距离?
y
解：系统在m下滑过!
0 mvx M (V ) mvx dt MVdt
d M dv u , M
vf
Mf
dv u v
i
Mi
dM M
M vf v i u ln i Mf
33
火箭体对喷射的气体的推力：
(M - dm)[( v d ) v] dt Md udM dm u dt
即喷射的气体对火箭体的推力：
第3章 动量与角动量
主要内容
冲量与动量定理 动量守恒定律 火箭飞行原理 质心 质心运动定理 质点的角动量和角动量定理 角动量守恒定律 质点系的角动量定理 质心参考系中的角动量
1
3.1 冲量与动量定理
1.力的冲量
作用力与作用时间的乘积。
Fdt ——无穷小时间间隔内的冲量
冲量是反映力对时间的累积效应。
p mv
单位：kg· m· s-1
由n个质点所构成的质点系的动量：
P pi mivi
i 1 i 1
4
n
n
牛顿运动定律：
F ma
动量定理的微分式：
dp F dt
d(mv) dp F dt dt
如果力的作用时间从 t0 t，质点动量从 p0 p
o
14
mv1 2
(kg m s )
1
1
mv1
mv2
mv2 2 (kg m s ) I mv2 mv1 (mv)
mv
(mv)
mv1 mv2
2
2
2 2 4 2 6 (kg m s 1 )
解： 某时刻飞船速度：v，质量：m 动量守恒：m0 v0 m 质量增量：
尘 0 mv
v m
dm Svdt
m0 v0 m v
m0 v0 dm 2 dv Svdt v
24
dv S 3 dt v m0 v0
dv S 3 vo v m0 v0
F x
mv dm 0 mv
t+dt时刻水平总动量为:
mv dm v (m dm)v
19
dt时间内水平总动量的增量为:
dp F dt (m dm)v mv dm v
由此可得:
不能单纯从数学上来理解导数的 形式,而是要加入物理思想! “单位时间质量变化”
5 4 10 3 400 解： （1） F 400 t 0 t 0.003 s 5 3 4 10
0.003
（2）
I Fdt
（ 3）
0
4 10 400 3
5
4 10 t t dt 400t 2 3
5 2 0.003
mvx MV
x
t
0
mvx dt MVdt
0
t
28
ms MS
由绝对位移,相对位移,牵连位移之间关系可得:
s RS m S R mM
思考：木块离开滑槽瞬间对它的作用力?
29
例8. 如质量均为m的两质点A,B.由长为L的不可伸长 轻绳连接,B点限制在光滑轨道内,可自由滑动,开始A 静止于桌面,B静止在轨道内,AB垂直于轨道距0.5L,如 A以速度v在桌面上平行于轨道方向运动,求证:当B运 动时速度大小为0.43v,并求出绳受到的冲量和轨道的 反作用冲量.
动量守恒的分量式：
Px mi vix 常量
Py mi viy 常量 Pz mi viz 常量
动量守恒定律是物理学中最重要、最普遍的规律之 一，它不仅适合宏观物体，同样也适合微观领域。
23
例5. 宇宙飞船在宇宙尘埃中飞行，尘埃密度为。如 果质量为mo的飞船以初速vo穿过尘埃，由于尘埃粘在 飞船上，致使飞船速度发生变化。求飞船的速度与其 在尘埃中飞行的时间的关系。（设飞船为横截面面积 为S的圆柱体）
v
t
0
dt
1 1 1 S ( 2 2) t 2 v v0 m0 v0
m0 v( ) v0 2 S v0t m0
25
1 2
例6. 在水平面上有一静止的车,车长为l,质量为m0,车 上有一质量为m的人站在车后端A,如图所示,设人从车 的后端A跑到车的前端B,求此时车相对地面移动的距 离.
dm F v dt
F 1.5 10 N
3
20
3.2动量守恒定律
1.质点系的动量定理：
Fi dt P P0 当
Fi 0 时， 有 P P0
t
t0
动量守恒定律：
系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。
P mi vi 常矢量
（2） 动量定理中的动量和冲量都是矢量，符合矢 量叠加原理。因此在计算时可采用平行四边 形法则。或把动量和冲量投影在坐标轴上以 分量形式进行计算。
6
I x Fx dt mv x mv xo
to t
t
I y Fy dt mv y mv yo
to t
I z Fz dt mv z mv zo
恒力的冲量： 单位：N· s
I F (t2 t1 )
t2 I F (t ) dt
t1
2
变力的冲量：
2.质点的动量定理
车辆超载容易 引发交通事故
车辆超速容易 引发交通事故
3
结论： 物体的运动状态不仅取决于速度，而且与物 体的质量有关。 动量：运动质点的质量与速度的乘积。
to
1 平均冲力： F t t0
t
to
F dt
F t
I F t
7
t
结论：物体动量变化一定的情况下，作用时间越长， 物体受到的平均冲力越小；反之则越大。
海绵垫子可 以延长运动员下 落时与其接触的 时间，这样就减 小了地面对人的 冲击力。
8
逆风行舟
u
v
B
解：A,B小球在水平方向受 外为零,故动量守恒:
0.5L A
L 300
vA θ
mv m(vB vA cos )
30
对于B,绳不可伸长,故有:
vB cos30 vA cos( 30 )
0 0
对于A,仅受于绳的拉力,故与绳正交方向动量守恒!
mv sin 30 mvA sin( 30 ) 3 vB v 7 2 3 0 0 T t m(v cos 30 v A cos( 30 ) mv 7 3 0 N t T t sin 30 mv 7
B O v A v0 xO y x00 B A x
解：
m0 0 m 0 mv m0v0
m v0 v m0 m dx0 (dx) m0
26
x00
0
dx0
x00
L
m dx m0
m x00 ( x00 L) m0 m x00 L m m0
解： 如图在竖直向上方向建坐标
0
y m2
N m2g
系统沿y方向受到合外力的冲量为 Fdt,由动量定理可得:
m1
m1g
Fdt ygdt dp
p m1v yv dp d (m1v) d ( yv)
17
ygdt d ( yv)
2
d ( yv) yg dt
0 0
31
3.3火箭飞行原理
v
M t
( u)
dm
v dv
M dM
(t dt ) 时刻
dm dM
u ：dm相对火箭体喷射速度
32
质点系选：(M+dM , dm) 设火箭在自由空间飞行，系统动量守恒：
Mv dm(v u) ( M dM )(v dv )
dM (v u) ( M dM )(v dv )
yd ( yv)dy y gdy yvd ( yv) dt
y
0
y gdy yvd ( yv)
2 0
yv
1 3 1 2 gy ( yv) 3 2
v 2 3 gy 3
18
例4.一辆装煤车以v=3m/s的速率从煤斗下面通过,每 秒钟落入车厢的煤为Δm=500kg.如果使车厢的速率 保持不变,应用多大的牵引力拉车厢? 解：以m表示时刻t煤车和已落进煤车的煤 的总质量. v dm 此后dt时间内又有质量为 dm的煤落入车厢. m 取m与dm为研究的质点系 ,则在t时刻水平总动量为:
0.6 N s
0
I mv 0
I 0.6 m 0.002kg 2 g v 300
16
例3.一根柔软链条长l,单位长度质量为λ .链条放在桌 上,桌上有一小孔,链条的一端由小孔垂下,其余部份 堆在桌面上小孔周围.由于某种拢动,链条因自身重量 开始下落.求链条下落速度与落下距离之间的关系.
to
p
po
t dp F dt to
t I F dt p p0 mv mv0
5
质点动量定理： 质点在运动过程中，所受合外力的 冲量等于质点动量的增量。
说明：
（1） 冲量的方向 I 与动量增量 p 的方向一致。
27
例7. 如图,一个1/4圆弧滑槽的大物体的质量为M,停在 光滑的水平面上,另一质量为m的小物体自圆弧顶点 由静止下滑.求当小物体m滑到底时,大物体M在水平 面上移动的距离?
y
解：系统在m下滑过!
0 mvx M (V ) mvx dt MVdt
d M dv u , M
vf
Mf
dv u v
i
Mi
dM M
M vf v i u ln i Mf
33
火箭体对喷射的气体的推力：
(M - dm)[( v d ) v] dt Md udM dm u dt
即喷射的气体对火箭体的推力：
第3章 动量与角动量
主要内容
冲量与动量定理 动量守恒定律 火箭飞行原理 质心 质心运动定理 质点的角动量和角动量定理 角动量守恒定律 质点系的角动量定理 质心参考系中的角动量
1
3.1 冲量与动量定理
1.力的冲量
作用力与作用时间的乘积。
Fdt ——无穷小时间间隔内的冲量
冲量是反映力对时间的累积效应。
p mv
单位：kg· m· s-1
由n个质点所构成的质点系的动量：
P pi mivi
i 1 i 1
4
n
n
牛顿运动定律：
F ma
动量定理的微分式：
dp F dt
d(mv) dp F dt dt
如果力的作用时间从 t0 t，质点动量从 p0 p
o
14
mv1 2
(kg m s )
1
1
mv1
mv2
mv2 2 (kg m s ) I mv2 mv1 (mv)
mv
(mv)
mv1 mv2
2
2
2 2 4 2 6 (kg m s 1 )
解： 某时刻飞船速度：v，质量：m 动量守恒：m0 v0 m 质量增量：
尘 0 mv
v m
dm Svdt
m0 v0 m v
m0 v0 dm 2 dv Svdt v
24
dv S 3 dt v m0 v0
dv S 3 vo v m0 v0
F x
mv dm 0 mv
t+dt时刻水平总动量为:
mv dm v (m dm)v
19
dt时间内水平总动量的增量为:
dp F dt (m dm)v mv dm v
由此可得:
不能单纯从数学上来理解导数的 形式,而是要加入物理思想! “单位时间质量变化”
5 4 10 3 400 解： （1） F 400 t 0 t 0.003 s 5 3 4 10
0.003
（2）
I Fdt
（ 3）
0
4 10 400 3
5
4 10 t t dt 400t 2 3
5 2 0.003
mvx MV
x
t
0
mvx dt MVdt
0
t
28
ms MS
由绝对位移,相对位移,牵连位移之间关系可得:
s RS m S R mM
思考：木块离开滑槽瞬间对它的作用力?
29
例8. 如质量均为m的两质点A,B.由长为L的不可伸长 轻绳连接,B点限制在光滑轨道内,可自由滑动,开始A 静止于桌面,B静止在轨道内,AB垂直于轨道距0.5L,如 A以速度v在桌面上平行于轨道方向运动,求证:当B运 动时速度大小为0.43v,并求出绳受到的冲量和轨道的 反作用冲量.
动量守恒的分量式：
Px mi vix 常量
Py mi viy 常量 Pz mi viz 常量
动量守恒定律是物理学中最重要、最普遍的规律之 一，它不仅适合宏观物体，同样也适合微观领域。
23
例5. 宇宙飞船在宇宙尘埃中飞行，尘埃密度为。如 果质量为mo的飞船以初速vo穿过尘埃，由于尘埃粘在 飞船上，致使飞船速度发生变化。求飞船的速度与其 在尘埃中飞行的时间的关系。（设飞船为横截面面积 为S的圆柱体）
v
t
0
dt
1 1 1 S ( 2 2) t 2 v v0 m0 v0
m0 v( ) v0 2 S v0t m0
25
1 2
例6. 在水平面上有一静止的车,车长为l,质量为m0,车 上有一质量为m的人站在车后端A,如图所示,设人从车 的后端A跑到车的前端B,求此时车相对地面移动的距 离.
dm F v dt
F 1.5 10 N
3
20
3.2动量守恒定律
1.质点系的动量定理：
Fi dt P P0 当
Fi 0 时， 有 P P0
t
t0
动量守恒定律：
系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。
P mi vi 常矢量
（2） 动量定理中的动量和冲量都是矢量，符合矢 量叠加原理。因此在计算时可采用平行四边 形法则。或把动量和冲量投影在坐标轴上以 分量形式进行计算。
6
I x Fx dt mv x mv xo
to t
t
I y Fy dt mv y mv yo
to t
I z Fz dt mv z mv zo
恒力的冲量： 单位：N· s
I F (t2 t1 )
t2 I F (t ) dt
t1
2
变力的冲量：
2.质点的动量定理
车辆超载容易 引发交通事故
车辆超速容易 引发交通事故
3
结论： 物体的运动状态不仅取决于速度，而且与物 体的质量有关。 动量：运动质点的质量与速度的乘积。
to
1 平均冲力： F t t0
t
to
F dt
F t
I F t
7
t
结论：物体动量变化一定的情况下，作用时间越长， 物体受到的平均冲力越小；反之则越大。
海绵垫子可 以延长运动员下 落时与其接触的 时间，这样就减 小了地面对人的 冲击力。
8
逆风行舟
u
v
B
解：A,B小球在水平方向受 外为零,故动量守恒:
0.5L A
L 300
vA θ
mv m(vB vA cos )
30
对于B,绳不可伸长,故有:
vB cos30 vA cos( 30 )
0 0
对于A,仅受于绳的拉力,故与绳正交方向动量守恒!
mv sin 30 mvA sin( 30 ) 3 vB v 7 2 3 0 0 T t m(v cos 30 v A cos( 30 ) mv 7 3 0 N t T t sin 30 mv 7