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高等数学下册知识点

第八章 空间解析几何与向量代数

（一） 向量线性运算

定理1：设向量a ≠0，则向量b 平行于a 的充要条件是存在唯一的实数λ，使 b ＝λa

1、 线性运算：加减法、数乘；

2、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；

3、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a =

，),,(z y x b b b b =

；

则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±

, ),,(z y x a a a a λλλλ= ；

4、 向量的模、方向角、投影：

1） 向量的模：

222z y x r ++= ；

2） 两点间的距离公式：2

12212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=

3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,

4） 方向余弦：r

z r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα

5） 投影：ϕcos Pr a a j u

=，其中ϕ为向量a 与u 的夹角。 （二） 数量积，向量积

1、 数量积：θcos b a b a

=⋅

1）2a a a =⋅

2）⇔⊥b a 0=⋅b a

z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅

2、 向量积：b a c

⨯=

大小：θsin b a ，方向：c b a

,,符合右手规则

1）0 =⨯a a

2）b a //⇔0 =⨯b a

z

y x z

y x b b b a a a k

j i b a

=⨯

运算律：反交换律 b a a b

⨯-=⨯

（三） 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S

2、 旋转曲面：

yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，

绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕

z 轴旋转一周：

0),(22=+±z y x f

3、 柱面：

0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为⎪⎩⎪⎨⎧==0

0),(z y x F 的柱面

4、 二次曲面

1） 椭圆锥面：2

2

2

22z b y a x =+ 2） 椭球面：122

222

2=++c z b y a x

旋转椭球面：122

22

2

2

=++c

z

a y a x

3） 单叶双曲面：122

222

2=-+c z b y a x

4） 双叶双曲面：122

222

2=--c

z b y a x

5） 椭圆抛物面：z b

y

a x =+22

2

2

6） 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22

2

2

7） 椭圆柱面：122

2

2=+b y a x

8） 双曲柱面：122

2

2

=-b y

a x

9） 抛物柱面：ay x =2

（四） 空间曲线及其方程

1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0

),,(0),,(z y x G z y x F

2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===bt z t a y t a x sin cos

3、 空间曲线在坐标面上的投影

⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，消去z ，得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0

),(z y x H

（五） 平面及其方程

1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A

法向量：),,(C B A n =

，过点),,(000z y x

2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax

截距式方程：

1=++c

z

b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ，),,(2222C B A n = ，

22

22

22

21

21

2

1

2

12121cos C

B A

C B A C C B B A A ++⋅++++=

θ

⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ⇔∏∏21// 21

2121C C B B A A ==

4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：

2

2

2

000C

B A D

Cz By Ax d +++++=

（六） 空间直线及其方程

1、 一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++0

22221111D z C y B x A D z C y B x A

2、 对称式（点向式）方程：p z z n y y m x x 0

00-=-=-

方向向量：),,(p n m s = ，过点),,(000z y x

3、 参数式方程：⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧+=+=+=pt z z nt

y y mt x x 000

4、 两直线的夹角：),,(1111p n m s = ，),,(2222p n m s =

，

22

22

22

21

21

21

212121cos p

n m p n m p p n n m m ++⋅++++=

ϕ

⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m

⇔21//L L

21

2121p p n n m m ==

5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，

2

2

2

2

2

2

sin p

n m C B A Cp

Bn Am ++⋅++++=

ϕ

⇔∏//L 0=++Cp Bn Am

⇔∏⊥L p

C

n B m A =

=

第九章 多元函数微分法及其应用

（一） 基本概念

1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。