大一高数知识点PPT课件
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大一高数知识点总结ppt6
大一高数知识点总结ppt6第一章：导数与微分在大一的高数课程中，导数与微分是一个非常重要的知识点。
导数可以理解为函数在某一点处的变化率，而微分则是对函数进行近似的线性逼近。
通过学习导数和微分，我们可以更好地理解函数的性质和行为。
1. 导数的定义导数的定义是极限的概念。
对于一个函数f(x)，在某一点x处的导数可以表示为f'(x)或者dy/dx。
其定义可以表述为：f'(x) = lim(h→0) [(f(x+h) - f(x))/h]其中，h表示取极限的无穷小量。
导数的意义在于反映函数在某一点处的瞬时变化率。
2. 导数的计算法则在实际计算导数时，我们可以利用一系列的计算法则来简化计算过程。
其中，常见的导数计算法则有：- 常数法则：如果f(x) = C，其中C为常数，则f'(x) = 0。
- 幂法则：如果f(x) = x^n，其中n为常数，则f'(x) = nx^(n-1)。
- 和差法则：如果f(x) = g(x) ± h(x)，则f'(x) = g'(x) ± h'(x)。
- 乘法法则：如果f(x) = g(x) * h(x)，则f'(x) = g'(x) * h(x) + g(x) * h'(x)。
- 商法则：如果f(x) = g(x) / h(x)，则f'(x) = [g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)] / [h(x)]^2。
这些导数计算法则可以帮助我们更快地计算出函数的导数，并且减少计算错误的可能性。
3. 微分的定义与应用微分是导数的一种应用。
通过微分，我们可以对函数进行近似的线性逼近，从而研究函数的性质。
微分的定义可以表述为：df(x) = f'(x) * dx其中，df(x)表示函数f(x)在dx范围内的微小变化量。
在实际应用中，微分可以用于求函数在某一点处的斜率、切线方程以及近似计算等问题。
大学高数第一章函数和极限ppt课件
例如函数 y x2 在 (, 0) 上单调递减， 在 (0, ) 上单调递增
7
3.函数的奇偶性
如函数 y f (x) 的定义域 D 关于原点对称，且对于任意 xD ，均有： f (x) f (x) ，则称该函数在其定义域内是偶函数； 若是 f (x) f (x) ，则称该函数在其定义域内是奇函数；
lim 3x
x
28
2、当 x x0 时函数极限
定义 1.6 设函数在点 x0 附近有定义（但在这一点可以没有
定义），若 x （ x x0 ）无论以怎样的方式趋近于 x0 ，函
数 f (x) 都无限趋近于一个常数 A ，就称当 x 趋近于 x0 时，
函数以 A 为极限，记为：
lim f (x) A 或
(2)
1 x 1
ln(x 0
1)
1
1
e
x
1 1
x
e
1
D :[1 1, e 1] e
12
邻域的概念
以 x0 为中心的任何开区间称为点 x0 的邻域，记作 N x0 。 设 为任一正数，称开区间 x0 , x0 为 x0 的 邻 域，记作 N x0 , ， x0 称为邻域的中心， 称为邻域的半
无界的。
如:函数 y sin x ，在 ,内有界,且：| y | 1
10
1.1.3复合函数
定义 1.2 如变量 y 是变量 u 的函数，变量 u 又是
变量 x 的函数，即： y f (u) ， u (x) ， 且 u (x) 的值域与 y f (u) 的定义域有公共部分， 则称 y 是 x 的复合函数，记作： y f [(x)]
7
3.函数的奇偶性
如函数 y f (x) 的定义域 D 关于原点对称，且对于任意 xD ，均有： f (x) f (x) ，则称该函数在其定义域内是偶函数； 若是 f (x) f (x) ，则称该函数在其定义域内是奇函数；
lim 3x
x
28
2、当 x x0 时函数极限
定义 1.6 设函数在点 x0 附近有定义（但在这一点可以没有
定义），若 x （ x x0 ）无论以怎样的方式趋近于 x0 ，函
数 f (x) 都无限趋近于一个常数 A ，就称当 x 趋近于 x0 时，
函数以 A 为极限，记为：
lim f (x) A 或
(2)
1 x 1
ln(x 0
1)
1
1
e
x
1 1
x
e
1
D :[1 1, e 1] e
12
邻域的概念
以 x0 为中心的任何开区间称为点 x0 的邻域，记作 N x0 。 设 为任一正数，称开区间 x0 , x0 为 x0 的 邻 域，记作 N x0 , ， x0 称为邻域的中心， 称为邻域的半
无界的。
如:函数 y sin x ，在 ,内有界,且：| y | 1
10
1.1.3复合函数
定义 1.2 如变量 y 是变量 u 的函数，变量 u 又是
变量 x 的函数，即： y f (u) ， u (x) ， 且 u (x) 的值域与 y f (u) 的定义域有公共部分， 则称 y 是 x 的复合函数，记作： y f [(x)]
大一高数知识点PPT课件
在三个坐标轴上的分向量： a x i,a yj,a zk ,
向量的坐标： ax, ay, az, 向量的坐标表达式： a { a x ,a y ,a z}
M 1 M 2 { x 2 x 1 ,y 2 y 1 ,z 2 z 1 }
特殊地：O M {x ,y ,z}
.
16
六、向量的模与方向余弦的坐标表示式
中，使用勾股定
y 理知
x
d2M 1P 2P2 N N22 M ,
.
6
M 1 P x 2 x 1 , PN y2y1, N2M z2z1,
zR
M 1•
P
o x
dM 1P 2P2 N N2M 2
•M 2
Q Ny
M 1 M 2 x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2 .
C(x,o,z)
o x P(x,0,0)
•M(x,y,z)
y
Q(0,y,0) A(x,y,0)
.
5
二、空间两点间的距离
设 M 1 (x 1,y 1,z1)、 M 2(x 2,y 2,z2)为 空 间 两 点
zR
M 1•
P o
•M 2
Q N
dM 1M 2?
在 直 角 M 1 NM 2 及 直 角 M 1 PN
非零向量 a的方向角：、、
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.
z
0,
•M 2
M 1•
0, 0.
o
y
x
.
17
z
R
M 1•
•M 2
Q
P
o
由图分析可知
a a x y ||a a ||c co o向 量 的ss
向量的坐标： ax, ay, az, 向量的坐标表达式： a { a x ,a y ,a z}
M 1 M 2 { x 2 x 1 ,y 2 y 1 ,z 2 z 1 }
特殊地：O M {x ,y ,z}
.
16
六、向量的模与方向余弦的坐标表示式
中，使用勾股定
y 理知
x
d2M 1P 2P2 N N22 M ,
.
6
M 1 P x 2 x 1 , PN y2y1, N2M z2z1,
zR
M 1•
P
o x
dM 1P 2P2 N N2M 2
•M 2
Q Ny
M 1 M 2 x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2 .
C(x,o,z)
o x P(x,0,0)
•M(x,y,z)
y
Q(0,y,0) A(x,y,0)
.
5
二、空间两点间的距离
设 M 1 (x 1,y 1,z1)、 M 2(x 2,y 2,z2)为 空 间 两 点
zR
M 1•
P o
•M 2
Q N
dM 1M 2?
在 直 角 M 1 NM 2 及 直 角 M 1 PN
非零向量 a的方向角：、、
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.
z
0,
•M 2
M 1•
0, 0.
o
y
x
.
17
z
R
M 1•
•M 2
Q
P
o
由图分析可知
a a x y ||a a ||c co o向 量 的ss
大一高数上_PPT课件_第一章
几个数集:
R表示所有实数构成的集合，称为实数集。
Q表示所有有理数构成的集合，称为有理集。 Z表示所有整数构成的集合，称为整数集。 N表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集。 子集: 若xA，则必有xB，则称A是B 的子集, 记 为AB（读作A包含于B）。 显然，N Z ，Z Q ，Q R 。
的上方。
y y=f(x) O x
y=K2
如果存在数 M,使对任一 xX，有 | f(x) |M， 则称函数f(x)在X上有界；如果这样的M不存在， 则称函数f(x)在X上是无界函数，就是说对任何M ，总存在 x1X，使|f(x)|>M。 有界函数的图形特点： 函数y = f(x)的图形在直线y = - M和y = M y 的之间。
高等数学研究的主要对象是函数，主要研 究函数的分析性质（连续、可导、可积等）和 分析运算（极限运算、微分法、积分法等）。 那么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方 法就是极限方法，也称为无穷小分析法。从方 法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数 学的一个显著标志。 由于高等数学的研究对象和研究方法与初 等数学有很大的不同，因此高等数学呈现出 以下显著特点：
周期函数的图形特点：
y
y=f(x)
-2l
-l
O
l
2l
x
四、反函数与复合函数
1. 反函数 设函数y=f(x)的定义域为D，值域为W。 对于任一数值 yW，D上可以确定唯一数值 x 与 y 对应，这个数值 x 适合关系 f(x)=y。
如果把 y看作自变量，x 看作因变量，按 照函数的定义就得到一个新的函数，这个 新函数称为函数y=f(x)的反函数，记作 x=f -1(y)。
什么样的函数存在反函数？
高数大一上知识点总结ppt
高数大一上知识点总结ppt一、导论高等数学是大一上学期的一门重要的基础课程。
本次总结将通过PPT的形式逐个介绍高数大一上学期的知识点。
二、数列与极限1. 数列的概念与性质- 数列的定义- 数列的分类- 数列的性质2. 极限的概念与运算法则- 极限的定义- 极限的运算法则- 极限存在的判定方法三、函数与连续1. 函数的概念与性质- 函数的定义- 函数的性质- 函数的分类2. 连续性与间断点- 连续性的概念- 连续性的判定方法- 间断点的分类四、导数与微分1. 导数的概念与基本性质- 导数的定义- 导数的基本性质- 导数的计算方法2. 微分与微分中值定理- 微分的定义- 微分中值定理的原理- 微分中值定理的应用五、不定积分1. 不定积分的概念与性质- 不定积分的定义- 不定积分的基本性质- 基本积分表2. 定积分与定积分的性质- 定积分的概念- 定积分的性质- 定积分的计算方法六、多元函数与偏导数1. 多元函数的概念与性质- 多元函数的定义- 多元函数的性质- 多元函数的分类2. 偏导数与全微分- 偏导数的定义- 偏导数的计算方法- 全微分的概念与计算方法七、二元函数与二重积分1. 二元函数的概念与性质- 二元函数的定义- 二元函数的性质- 二元函数的分类2. 二重积分的概念与计算方法- 二重积分的定义- 二重积分的计算方法- 二重积分的应用八、向量与空间解析几何1. 向量的概念与运算- 向量的定义- 向量的运算法则- 向量间的关系2. 空间解析几何的基本概念与性质- 点、直线的表示与方程- 平面的表示与方程- 空间几何中的距离与角度九、作业与课堂练习通过本次PPT的学习，我们对高等数学大一上学期的知识点进行了系统的总结。
接下来，我们将通过作业和课堂练习进一步巩固和深化所学内容。
结语通过本次总结PPT，我们回顾了高数大一上学期的重要知识点。
希望这个PPT对你巩固和扩展数学知识有所帮助。
祝你在高等数学学习中取得出色的成绩！。
大学高等数学第一节PPT
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a a≥0 a = − a a < 0 运算性质: 运算性质 ab = a b ;
4.绝对值: 4.绝对值: 绝对值
( a ≥ 0)
a a = ; b b
绝对值不等式: 绝对值不等式
a − b ≤ a ± b ≤ a + b.
x ≤ a ( a > 0) x ≥ a ( a > 0)
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(3)并集 并集 由属于A或属于 的所有元素组成的 由属于 或属于B的所有元素组成的 或属于 集称为A与 的并集记作A∪ ， 的并集记作 集称为 与B的并集记作 ∪B，即 A∪B={x|x∈A或x∈B} ∪ ∈ 或 ∈ (4)交集 交集 由同时属于A与 的元素组成的集称 由同时属于 与B的元素组成的集称 的交集， 为A与B的交集，记作 与 的交集 记作A∩B，即 ， A∩B={x|x∈A且x∈B} ∈ 且 ∈ 不相交， 若A∩B=∅，则称 与B不相交， ∅ 则称A与 不相交 相交。 若A∩B≠∅，则称 与B相交。 ∅ 则称A与 相交
f : A → B , 或 f : x |→ y , x ∈ A
称y为x在映射 下的像， x称为 在映射f下的原像,集 为 在映射f下的像 称为y在映射 下的原像 集 在映射 下的 称为 在映射 下的原像 称为映射f 定义域, 中所有元素 的像y的全体 中所有元素x的像 合A称为映射 的定义域,A中所有元素 的像 的全体 称为映射 记作f 所构成的集合称为f 值域,记作 即 所构成的集合称为 的值域 记作 (A).即
第一章 第二章 第七章
第三章
第八章
第四章
第九章 第十章
第五章
第六章
第十一章
Байду номын сангаас
a a≥0 a = − a a < 0 运算性质: 运算性质 ab = a b ;
4.绝对值: 4.绝对值: 绝对值
( a ≥ 0)
a a = ; b b
绝对值不等式: 绝对值不等式
a − b ≤ a ± b ≤ a + b.
x ≤ a ( a > 0) x ≥ a ( a > 0)
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(3)并集 并集 由属于A或属于 的所有元素组成的 由属于 或属于B的所有元素组成的 或属于 集称为A与 的并集记作A∪ ， 的并集记作 集称为 与B的并集记作 ∪B，即 A∪B={x|x∈A或x∈B} ∪ ∈ 或 ∈ (4)交集 交集 由同时属于A与 的元素组成的集称 由同时属于 与B的元素组成的集称 的交集， 为A与B的交集，记作 与 的交集 记作A∩B，即 ， A∩B={x|x∈A且x∈B} ∈ 且 ∈ 不相交， 若A∩B=∅，则称 与B不相交， ∅ 则称A与 不相交 相交。 若A∩B≠∅，则称 与B相交。 ∅ 则称A与 相交
f : A → B , 或 f : x |→ y , x ∈ A
称y为x在映射 下的像， x称为 在映射f下的原像,集 为 在映射f下的像 称为y在映射 下的原像 集 在映射 下的 称为 在映射 下的原像 称为映射f 定义域, 中所有元素 的像y的全体 中所有元素x的像 合A称为映射 的定义域,A中所有元素 的像 的全体 称为映射 记作f 所构成的集合称为f 值域,记作 即 所构成的集合称为 的值域 记作 (A).即
第一章 第二章 第七章
第三章
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第九章 第十章
第五章
第六章
第十一章
Байду номын сангаас
完整高数(一)PPT课件
y
y f (x)
f (x1)
f (x2 )
o
x
I
.
22
3．函数的奇偶性:
设D关于原点对称 , 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为偶函数 ;
y y f (x)
f (x)
f (x)
-x o
x
x
偶函数
.
23
设D关于原点对称 , 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为奇函数 ;
y 1 x2
定义: 设函数 y f (u)的定义域D f , 而函数 u ( x)的值域为Z, 若D f Z , 则称 函数 y f [( x)]为x 的复合函数.
x 自变量, u 中间变量, y 因变量,
.
47
注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
例如 y arcsin u, u 2 x2; y arcsin(2 x2 )
或 x 0, ( x) x 2 1, 或 x 0, ( x) x 2 1 1,
综上所述
ex2,
f
[
(
x)]
x 2, e x2 1 ,
x2 1,
x 1 1 x 0
. 0 x 2
x 2
1 x 0; x 2;
.
50
三、双曲函数与反双曲函数
1.双曲函数
双曲正弦 sinh x e x ex 2
4321
-4 -3 -2 -1
o -1 1 2 3 4 5
x
-2 -3 -4
阶梯曲线
.
13
(3) 狄利克雷函数
y
D(
x)
1 0
当x是有理数时 当x是无理数时
y f (x)
f (x1)
f (x2 )
o
x
I
.
22
3．函数的奇偶性:
设D关于原点对称 , 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为偶函数 ;
y y f (x)
f (x)
f (x)
-x o
x
x
偶函数
.
23
设D关于原点对称 , 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为奇函数 ;
y 1 x2
定义: 设函数 y f (u)的定义域D f , 而函数 u ( x)的值域为Z, 若D f Z , 则称 函数 y f [( x)]为x 的复合函数.
x 自变量, u 中间变量, y 因变量,
.
47
注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
例如 y arcsin u, u 2 x2; y arcsin(2 x2 )
或 x 0, ( x) x 2 1, 或 x 0, ( x) x 2 1 1,
综上所述
ex2,
f
[
(
x)]
x 2, e x2 1 ,
x2 1,
x 1 1 x 0
. 0 x 2
x 2
1 x 0; x 2;
.
50
三、双曲函数与反双曲函数
1.双曲函数
双曲正弦 sinh x e x ex 2
4321
-4 -3 -2 -1
o -1 1 2 3 4 5
x
-2 -3 -4
阶梯曲线
.
13
(3) 狄利克雷函数
y
D(
x)
1 0
当x是有理数时 当x是无理数时
大一高数期末复习重点-PPT
)
闭区间连续函数的性质
最大,最小值定理 有界性
介值定理
零点定理
,
6
例 求 f ( x) 1 x 的间断点, 并指出其类型. 1 e1 x
解 当x 0, x 1时,函数无定义, 是函数的间断点.
x 0, 由于 lim f ( x) lim
1 x ,
x0
1 e x0
1 x
所以 x 0是函数的第二类间断点, 且是无穷型.
1 的间断点, x1
2x 1
并判断其类型.
解 : 可知 x 0，x 1是可能的间断点. (1) 在x 0处，
lim y 1 sin2(1)，lim y 1 sin2(1)
x0
x0
因在x 0处的左右极限都存在, 但不相等， 所以x 0为函数的第一类间断点,且是跳跃间断点.
9
(2) 在x 1处，
x( , )
则函数 f ( x)的曲线有水平渐近线 y a. (b) 垂直渐近线 若函数 f ( x)满足
lim f ( x) ,
x x0 ( x0 , x0 )
则函数 f ( x)的曲线有垂直渐近线 x x0.
25
计算题
1. 设
y
f
(
x
)
1
2 x
2
ax b
x 1处可导, 确定 a, b.
x)
a 2
f (0 ) lim ln (b x2 ) ln b x0
a 1 ln b 2
1 cos x ~ 1 x2 2
11
例
讨论
f (x)
x2 sin
1, x
x0
0,
x0
在x 0处的连续性与可导性 .
大一高等数学教材24PPT课件
4、 y sinh xe cosh x ；
5、 y ห้องสมุดไป่ตู้arctan x )2 ； 2
6、
y
sin2
e
1 x
；
7、
y
arcsin 1
2t t
2
.
导数与微分
15
练习题答案
一、1、1 n ln x ； x n1
2、
1 x2
tan
1 x
；
3、 4
2 x
x 1 x
； x
4、 1 ； cosh2 t
导数与微分
4
例1 求函数 y x x x 的导数.
解 y
1
( x x x )
2 x x x
1
(1 1 ( x x))
2 x x x 2 x x
1
(1 1 (1 1 ))
2 x x x 2 x x 2 x
4 x2 x x 2 x 1 . 8 x x x x2 x x
2 t
2
,
t
1
2 t
2
2 ,t2
1
. 1
导数与微分
17
2019/9/13
18
解
y
1
1 tanh2
x
(tanh
x)
1
1 tanh2
x
1 cosh
2
x
1
1 sinh 2 cosh2
x
1 cosh2
x
x
cosh2
x
1
sinh 2
大学高数第一章 PPT课件
39
复合函数
代入法
设 y u, u 1 x2 ,
y 1 x2
定义: 设函数y=f(u),uU，函数u=(x), x X, 其值域 为(X)={u|u= (x), xX } U，则称函数y=f[(x)]为 x的复合函数。
x 自变量, u 中间变量, y 因变量,
所以它们不相等。
(2)f(x)=x, φ(x)=|x|;
解： f(x)与φ(x)的对应规律不同 ，所以是不同的函数。
(3)f(x)=sin2x+cos2x, φ(x)=1. 解：f(x)与φ(x)的对应规律相同 ，定义域也相同， 所以 f(x)=φ(x)。
17
二、函数的特性
1．函数的单调性:
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D,
例1 在出生后 1～6个月期间内,正常婴儿的体重近似 满足以下关系:
y 3 0.6x x [1,6] 公式法
13
例2 监护仪自动记录了某患者一段时间内体温T的 变化曲线,如下图示:
T
T (t0 )
37
o
t0
t
例3 某地区统计了某年1~12月中当地流行性出血热 的发病率,见下表
t (月份) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
如果对于区间 I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时,
恒有 f ( x1 ) f ( x2 ) ( f ( x1 ) f ( x2 ) ), 则称函数 f ( x)在区间I上是单调增加(减少)的 ;
y
y f (x)
y
y f (x)
f (x2 )
f ( x1)
f ( x1)
y ax (a 1)
复合函数
代入法
设 y u, u 1 x2 ,
y 1 x2
定义: 设函数y=f(u),uU，函数u=(x), x X, 其值域 为(X)={u|u= (x), xX } U，则称函数y=f[(x)]为 x的复合函数。
x 自变量, u 中间变量, y 因变量,
所以它们不相等。
(2)f(x)=x, φ(x)=|x|;
解： f(x)与φ(x)的对应规律不同 ，所以是不同的函数。
(3)f(x)=sin2x+cos2x, φ(x)=1. 解：f(x)与φ(x)的对应规律相同 ，定义域也相同， 所以 f(x)=φ(x)。
17
二、函数的特性
1．函数的单调性:
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D,
例1 在出生后 1～6个月期间内,正常婴儿的体重近似 满足以下关系:
y 3 0.6x x [1,6] 公式法
13
例2 监护仪自动记录了某患者一段时间内体温T的 变化曲线,如下图示:
T
T (t0 )
37
o
t0
t
例3 某地区统计了某年1~12月中当地流行性出血热 的发病率,见下表
t (月份) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
如果对于区间 I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时,
恒有 f ( x1 ) f ( x2 ) ( f ( x1 ) f ( x2 ) ), 则称函数 f ( x)在区间I上是单调增加(减少)的 ;
y
y f (x)
y
y f (x)
f (x2 )
f ( x1)
f ( x1)
y ax (a 1)
《大学高数》课件
不定积分的性质、不定积分的计算方法（换 元法、分部积分法等）。
定积分运算
定积分的性质、定积分的计算方法（微元法 ）。
03 高级知识
微分方程
总结词
微分方程是描述函数变化率与函数值之 间关系的方程，是高等数学中的重要内 容。
VS
详细描述
微分方程在许多领域都有广泛的应用，如 物理学、工程学、经济学等。通过学习微 分方程，学生可以理解各种实际问题的数 学模型，并掌握求解微分方程的方法，从 而解决实际问题。
课程目标
知识目标
使学生掌握《大学高数》的基本 概念、原理和方法，理解数学在 描述自然现象和社会现象中的作 用。
能力目标
培养学生运用数学工具解决实际 问题的能力，提高他们的逻辑思 维、推理和创新能力。
情感态度与价值观
培养学生对数学的兴趣和热爱， 树立正确的数学观，认识到数学 在人类文明发展中的重要地位。
习题1
求函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$的单调区间。
习题2
利用定积分求圆$x^2 + y^2 = 4$的面积。
习题3
计算$int_{0}^{pi} sin x dx$的值。
习题4
判断级数$sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$的收敛性。
答案与解析
• 答案1： 首先求导数$f'(x) = 3x^2 - 6x$ ，令导数等于0，解得$x=0$或$x=2$。根 据导数的符号判断单调区间，得到单调递 增区间为$(- \infty, 0)$和$(2, + \infty)$ ，单调递减区间为$(0,2)$。
无穷级数
总结词
无穷级数是高等数学中研究无穷序列的数学分支，它可以用来表示函数、研究 函数的性质和行为。
定积分运算
定积分的性质、定积分的计算方法（微元法 ）。
03 高级知识
微分方程
总结词
微分方程是描述函数变化率与函数值之 间关系的方程，是高等数学中的重要内 容。
VS
详细描述
微分方程在许多领域都有广泛的应用，如 物理学、工程学、经济学等。通过学习微 分方程，学生可以理解各种实际问题的数 学模型，并掌握求解微分方程的方法，从 而解决实际问题。
课程目标
知识目标
使学生掌握《大学高数》的基本 概念、原理和方法，理解数学在 描述自然现象和社会现象中的作 用。
能力目标
培养学生运用数学工具解决实际 问题的能力，提高他们的逻辑思 维、推理和创新能力。
情感态度与价值观
培养学生对数学的兴趣和热爱， 树立正确的数学观，认识到数学 在人类文明发展中的重要地位。
习题1
求函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$的单调区间。
习题2
利用定积分求圆$x^2 + y^2 = 4$的面积。
习题3
计算$int_{0}^{pi} sin x dx$的值。
习题4
判断级数$sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$的收敛性。
答案与解析
• 答案1： 首先求导数$f'(x) = 3x^2 - 6x$ ，令导数等于0，解得$x=0$或$x=2$。根 据导数的符号判断单调区间，得到单调递 增区间为$(- \infty, 0)$和$(2, + \infty)$ ，单调递减区间为$(0,2)$。
无穷级数
总结词
无穷级数是高等数学中研究无穷序列的数学分支，它可以用来表示函数、研究 函数的性质和行为。
高等数学第一章-课件2.ppt
一 函数的连续性
1.函数在点x0的连续性
函数连续的概念源于对几何曲线的直观分析,粗略地 说,如果函数是连续的,那么它的图像是一条连绵不断的曲 线,当然我们不能满足于这种直观的认识,我们需要用数学 的语言给出它的精确定义。
第四节
考察如图1-21所示的函数图像。
图1-21
第四节
故函数f(x)在点 x=0处连续,如图 1-22所示。
图1－20
第二节 极
四 无穷小量与无穷大量
1.无穷小量
定义1－9 若函数f(x)在自变量的某一变化过程中 的极限为零,则称该函数为自变量在此变化过程中的无 穷小量,简称无穷小。通常函数极限有x→+∞,x→- ∞, x→∞,x→x0 + ,x→x0 -,x→x0这六种情形。因此,只简 单地说函数是无穷小量是不确切的,还必须指出x的趋近 方式。
fξ=0。 该推论表明方程fx=0在 a,b内有实根。其几何解释如 图1-26所示。
图1-26
Thank You!
第一章 函数、极限与连续
第一节 函数
第二节 极限
第三节
极限的运算
第四节
初等函数的连续性Leabharlann 第五节 闭区间上连续函数的性质
第一节 函数
一 函数
1.函数的概念
定义1－1 给定两个实数集D和E，若有一个对应法则f，使 得对每个x∈D，都有唯一确定的值y∈E与之对应，则称f是定义 在数集D上的函数，记作y=f(x) ，x∈D。其中，x称为自变量，y 称为因变量，D称为函数fx的定义域，全体函数值的集合E称为函 数的值域.如果在D中任取某一个数值x0，与之对应的y的数值y0， 称为函数f(x)在点x0处的函数值，记作y0=f(x)0 。
1.函数在点x0的连续性
函数连续的概念源于对几何曲线的直观分析,粗略地 说,如果函数是连续的,那么它的图像是一条连绵不断的曲 线,当然我们不能满足于这种直观的认识,我们需要用数学 的语言给出它的精确定义。
第四节
考察如图1-21所示的函数图像。
图1-21
第四节
故函数f(x)在点 x=0处连续,如图 1-22所示。
图1－20
第二节 极
四 无穷小量与无穷大量
1.无穷小量
定义1－9 若函数f(x)在自变量的某一变化过程中 的极限为零,则称该函数为自变量在此变化过程中的无 穷小量,简称无穷小。通常函数极限有x→+∞,x→- ∞, x→∞,x→x0 + ,x→x0 -,x→x0这六种情形。因此,只简 单地说函数是无穷小量是不确切的,还必须指出x的趋近 方式。
fξ=0。 该推论表明方程fx=0在 a,b内有实根。其几何解释如 图1-26所示。
图1-26
Thank You!
第一章 函数、极限与连续
第一节 函数
第二节 极限
第三节
极限的运算
第四节
初等函数的连续性Leabharlann 第五节 闭区间上连续函数的性质
第一节 函数
一 函数
1.函数的概念
定义1－1 给定两个实数集D和E，若有一个对应法则f，使 得对每个x∈D，都有唯一确定的值y∈E与之对应，则称f是定义 在数集D上的函数，记作y=f(x) ，x∈D。其中，x称为自变量，y 称为因变量，D称为函数fx的定义域，全体函数值的集合E称为函 数的值域.如果在D中任取某一个数值x0，与之对应的y的数值y0， 称为函数f(x)在点x0处的函数值，记作y0=f(x)0 。
大一高数ppt课件
VS
向量的模
在空间直角坐标系中，向量$vec{a}$的模 为$sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$。 06多项式函数与插值法
多项式函数的性质
代数性质
多项式函数具有加法、减法、乘法和除法的 代数性质，可以按照这些性质进行多项式函 数的运算。
最高次项系数
多项式的最高次项系数是多项式函数的一个重要性 质，它决定了多项式函数的开口方向和大小。
常积分。
反常积分的性质
反常积分具有与普通定积分相似的性 质，如线性性质、区间可加性等。
反常积分的计算方法
对于不同类型的反常积分，需要采用 不同的计算方法，如利用极限思想、
分部积分法、换元积分法等。
05
空间解析几何
向量代数基础
01 02
向量的加法
向量加法满足交换律和结合律，即对于任意向量$vec{a}$、$vec{b}$和 $vec{c}$，有$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}$和$(vec{a} + vec{b}) + vec{c} = vec{a} + (vec{b} + vec{c})$。
高数是许多学科领域的基础，如物理 、工程、经济等，掌握高数知识对于 后续专业课程的学习至关重要。
高数课程的学习目标
01
掌握高等数学的基本概念、定理和公式，理解其数学意义和实 际应用。
02
学会运用高数知识解决实际问题，培养分析问题和解决问题的
能力。
培养自主学习和终身学习的能力，形成良好的学习习惯和思维
空间点的坐标
在空间直角坐标系中，任意一点$P$的位置由三个实数 $x$、$y$和$z$确定，这三个实数称为点$P$的坐标。
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Q(0,y,0) A(x,y,0)
.
5
二、空间两点间的距离
设 M 1 (x 1,y 1,z1)、 M 2(x 2,y 2,z2)为 空 间 两 点
zR
M 1•
P o
•M 2
Q N
dM 1M 2?
在 直 角 M 1 NM 2 及 直 角 M 1 PN
中，使用勾股定
y 理知
x
d2M 1P 2P2 N N22 M ,
.
21
例2 求(1)
a向 量(3m,5,a1),bbc(;2(2,2) ,m3)在, cy轴(4上,的1,投3影) ,
及在 z 轴上的分向量.
或
M1M20
零向量：模长为0的向量. 0
.
9
自由向量：不考虑起点位置的向量.
相等向量：大小相等且方向相同的向量.
a
b
负向量：大小相等但方向相反的向量.a
a
a
向径： 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的向量. OM
.
10
向 a 平 量 b ,即 行 a /b / 于
向量的共线、共面 向a 量 与 b 的夹角，垂直
空间两向量的夹角的概念：
a0,
b0,
向量a与向量b的夹角
b
a
(a ,b )(b ,a ) (0)
.
11
四、向量的线性运算
[1] 加法：符合平行四边形法则，也称为三角形法则
[2] 减法
[3] 数乘
设 是一个数，向量a与 的乘积a规定为
(1)0, a 与 a 同 向 ， |a ||a |
.
15
按基本单位向量的坐标分解式：
M 1 M 2 ( x 2 x 1 ) i ( y 2 y 1 ) j ( z 2 z 1 ) k
在三个坐标轴上的分向量： a x i,a yj,a zk ,
向量的坐标： ax, ay, az, 向量的坐标表达式： a { a x ,a y ,a z}
x x1 x2 , y y1 y2 , z z1 z2 . z
2
2
2
B
AM o
y
.
x
8
三、向量的概念
向量：既有大小又有方向的量.
M2
向量表示：a或 M1M2
M 1
以 M 1为 起 点 ， M 2为 终 点 的 有 向 线 段 .
向量的模： 向量的大小.| a|或 | M1M2|
单位向量：模长为1的向量. a 0
由图分析可知
a a x y ||a a ||c co o向 量 的ss
y a z |a |co方 向s
x 方向余弦通常用来表示向量的方向.
余 弦
M 1 M 2M 1 P 2 M 1 Q 2 M 1 R 2
|a |a x 2 a y 2 a z2向量模长的坐标表示式
.
18
向量方向余弦的坐标表示式
z zox面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
.
4
空间的点 1 1有序数组(x,y,z)
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P , Q , R , 坐标面上的点 A , B , C , O(0,0,0)
z
R(0,0,z)
B(0,y,z)
C(x,o,z)
o x P(x,0,0)
•M(x,y,z)
y
d OM x2y2z2.
.
7
结论：设 A( x1 , y1 , z1 )和 B( x2 , y2 , z2 )为两已知
点，点 M 为线段 AB上的一个点，且 AM ，
MB
则 M(x, y, z)的坐标分别为：
x x1 x2 ,
y y
y 1
2,
z z
z 1
2.
1
1
1
M 为 有 向 线 段 A 的 定 B 比 分 点 .M为 中 点 时 ，
使 ba,即 bx by bz .
ax ay az
.
13
五、向量的坐标
空间一向量在轴上的投影
B A
u
A
B
已知向量的起点A和终点B 在
轴u上的投影分别为A, B那
么轴u上的有向线段AB的
值，称为向量在轴u 上的投影.
向 量 A 在 轴 u B 上 的 投 影 记 为 PrjuAB
.
14
以 i,j,k 分 别 表 示 沿 x ,y ,z 轴 正 向 的 单 位 向 量 .
(2)0, a 0
(3)0, a 与 a 反 向 ， |a | | ||a |
.
12
数乘符合下列运算规律：
（1）结合律： (a ) (a ) ()a
（2）分配律：( ) a a a
( a b ) a b
两个向量的平行关系
定 理 设 向 a量 0,则 向 b//a 量 存 在 唯 一 ，的
M 1 M 2 { x 2 x 1 ,y 2 y 1 ,z 2 z 1 }
特殊地：O M {x ,y ,z}
.
16
六、向量的模与方向余弦的坐标表示式
非零向量 a的方向角：、、
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.
z
0,
•M 2
M 1•
0, 0.
o
y
x
.
17
z
R
M 1•
•M 2
Q
P
o
第八章 空间解析几何
.
1
第一节 空间向量及其线性运算
.
2
一、空间点的直角坐标
三个坐标轴的正方向符合 右手系.
z竖轴
即以右手握住 z
轴，当右手的四个
手指从正向 x轴以
2
角度转向正向 y 轴
时，大拇指的指向
就是 z 轴的正向.
定点 o•
y纵轴
横轴 x 空间直角坐标系
.
3
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z
a a x i a y j a z k
R
向向 向
•M 2
量量 量
k M 1•
P
o
j
Q 在x 在y 在z
N y轴 轴 轴
上上 上
xi
axx2x1
的 投
的 投
的 投
ayy2y1 azz2z1 影 影 影
M 1 M 2 ( x 2 x 1 ) i ( y 2 y 1 ) j ( z 2 z 1 ) k
.
6
M 1 P x 2 x 1 , PN y2y1, N2M z2z1,
zR
M 1•
P
o x
dM 1P 2P2 N N2M 2
•M 2
Q Ny
M 1 M 2 x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2 .
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为 M (x,y,z),O(0,0,0)
当 ax2ay2az20时，
cos
ax
,
ax2ay2az2
cos
ay
,
ax2ay2az2
cos
az
.
ax2ay2az2
.
19
方向余弦的特征
c2 o s c2 o s c2 o 1 s
特殊地：单位向量的方向余弦为
a0
Байду номын сангаас
|
a a
|
{c,c oo ,s cso }.s
.
20
例 1 求平行于向量 a (1,2,2)的单位向量.
.
5
二、空间两点间的距离
设 M 1 (x 1,y 1,z1)、 M 2(x 2,y 2,z2)为 空 间 两 点
zR
M 1•
P o
•M 2
Q N
dM 1M 2?
在 直 角 M 1 NM 2 及 直 角 M 1 PN
中，使用勾股定
y 理知
x
d2M 1P 2P2 N N22 M ,
.
21
例2 求(1)
a向 量(3m,5,a1),bbc(;2(2,2) ,m3)在, cy轴(4上,的1,投3影) ,
及在 z 轴上的分向量.
或
M1M20
零向量：模长为0的向量. 0
.
9
自由向量：不考虑起点位置的向量.
相等向量：大小相等且方向相同的向量.
a
b
负向量：大小相等但方向相反的向量.a
a
a
向径： 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的向量. OM
.
10
向 a 平 量 b ,即 行 a /b / 于
向量的共线、共面 向a 量 与 b 的夹角，垂直
空间两向量的夹角的概念：
a0,
b0,
向量a与向量b的夹角
b
a
(a ,b )(b ,a ) (0)
.
11
四、向量的线性运算
[1] 加法：符合平行四边形法则，也称为三角形法则
[2] 减法
[3] 数乘
设 是一个数，向量a与 的乘积a规定为
(1)0, a 与 a 同 向 ， |a ||a |
.
15
按基本单位向量的坐标分解式：
M 1 M 2 ( x 2 x 1 ) i ( y 2 y 1 ) j ( z 2 z 1 ) k
在三个坐标轴上的分向量： a x i,a yj,a zk ,
向量的坐标： ax, ay, az, 向量的坐标表达式： a { a x ,a y ,a z}
x x1 x2 , y y1 y2 , z z1 z2 . z
2
2
2
B
AM o
y
.
x
8
三、向量的概念
向量：既有大小又有方向的量.
M2
向量表示：a或 M1M2
M 1
以 M 1为 起 点 ， M 2为 终 点 的 有 向 线 段 .
向量的模： 向量的大小.| a|或 | M1M2|
单位向量：模长为1的向量. a 0
由图分析可知
a a x y ||a a ||c co o向 量 的ss
y a z |a |co方 向s
x 方向余弦通常用来表示向量的方向.
余 弦
M 1 M 2M 1 P 2 M 1 Q 2 M 1 R 2
|a |a x 2 a y 2 a z2向量模长的坐标表示式
.
18
向量方向余弦的坐标表示式
z zox面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
.
4
空间的点 1 1有序数组(x,y,z)
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P , Q , R , 坐标面上的点 A , B , C , O(0,0,0)
z
R(0,0,z)
B(0,y,z)
C(x,o,z)
o x P(x,0,0)
•M(x,y,z)
y
d OM x2y2z2.
.
7
结论：设 A( x1 , y1 , z1 )和 B( x2 , y2 , z2 )为两已知
点，点 M 为线段 AB上的一个点，且 AM ，
MB
则 M(x, y, z)的坐标分别为：
x x1 x2 ,
y y
y 1
2,
z z
z 1
2.
1
1
1
M 为 有 向 线 段 A 的 定 B 比 分 点 .M为 中 点 时 ，
使 ba,即 bx by bz .
ax ay az
.
13
五、向量的坐标
空间一向量在轴上的投影
B A
u
A
B
已知向量的起点A和终点B 在
轴u上的投影分别为A, B那
么轴u上的有向线段AB的
值，称为向量在轴u 上的投影.
向 量 A 在 轴 u B 上 的 投 影 记 为 PrjuAB
.
14
以 i,j,k 分 别 表 示 沿 x ,y ,z 轴 正 向 的 单 位 向 量 .
(2)0, a 0
(3)0, a 与 a 反 向 ， |a | | ||a |
.
12
数乘符合下列运算规律：
（1）结合律： (a ) (a ) ()a
（2）分配律：( ) a a a
( a b ) a b
两个向量的平行关系
定 理 设 向 a量 0,则 向 b//a 量 存 在 唯 一 ，的
M 1 M 2 { x 2 x 1 ,y 2 y 1 ,z 2 z 1 }
特殊地：O M {x ,y ,z}
.
16
六、向量的模与方向余弦的坐标表示式
非零向量 a的方向角：、、
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.
z
0,
•M 2
M 1•
0, 0.
o
y
x
.
17
z
R
M 1•
•M 2
Q
P
o
第八章 空间解析几何
.
1
第一节 空间向量及其线性运算
.
2
一、空间点的直角坐标
三个坐标轴的正方向符合 右手系.
z竖轴
即以右手握住 z
轴，当右手的四个
手指从正向 x轴以
2
角度转向正向 y 轴
时，大拇指的指向
就是 z 轴的正向.
定点 o•
y纵轴
横轴 x 空间直角坐标系
.
3
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z
a a x i a y j a z k
R
向向 向
•M 2
量量 量
k M 1•
P
o
j
Q 在x 在y 在z
N y轴 轴 轴
上上 上
xi
axx2x1
的 投
的 投
的 投
ayy2y1 azz2z1 影 影 影
M 1 M 2 ( x 2 x 1 ) i ( y 2 y 1 ) j ( z 2 z 1 ) k
.
6
M 1 P x 2 x 1 , PN y2y1, N2M z2z1,
zR
M 1•
P
o x
dM 1P 2P2 N N2M 2
•M 2
Q Ny
M 1 M 2 x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2 .
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为 M (x,y,z),O(0,0,0)
当 ax2ay2az20时，
cos
ax
,
ax2ay2az2
cos
ay
,
ax2ay2az2
cos
az
.
ax2ay2az2
.
19
方向余弦的特征
c2 o s c2 o s c2 o 1 s
特殊地：单位向量的方向余弦为
a0
Байду номын сангаас
|
a a
|
{c,c oo ,s cso }.s
.
20
例 1 求平行于向量 a (1,2,2)的单位向量.