大一高数课件第六章 6-5-1

例1
把一个带
q
电量的点电荷放在 r 轴上坐标原点处，
它产生一个电场．这个电场对周围的电荷有作用力．由物理 学知道，如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为 的地方，那么电场对它的作用力的大小为 F k
r
q （ k 是常 2 r 数） ，当这个单位正电荷在电场中从 r a 处沿 r 轴移动到
一、800 ln 2 (焦耳). 2 7 25 3 3 二、 kc a (其中 k 为 比例常数) . 7 三、14373(千牛) .
2km sin ,方向 为 M 指 向圆弧 六、引力的大小为 R 2 的中心 .
4 4 四、 r g . 3
1 2 五、 a b . 6
k 4 七、 a . 2
x
三、引力
由物理学知道，质量分别为 m1 , m 2 相距为 r 的两个质点间 m1m2 的引力的大小为 F k 2 ，其中 k 为引力系数，引力的方 r 向沿着两质点的连线方向．
如果要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于 细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的 引力方向也是变化的，就不能用此公式计算．
二、一物体按规律 x c t 3 作直线运动，媒质的阻力与 速度的平方成正比，计算物体由 x 0 移至 x a 时，克服媒质阻力所作的功 . 三、有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长 10 米和 6 米，高为 20 米，较长的底边与水面相齐.计算闸门 的一侧所受的水压力 .
四、半径为 r 的球沉 入水中，球的上部与水面相切， 球的比重与水相同，现将球从水中取出，需要作 多少功？ 五、一块高为 a ，底为 b 的等腰三角形薄板，垂直地 沉没在水中，顶在下，底与水面相齐，试计算薄 板每面所受的压力 . 六、设有一半径为 R ，中心角为 的圆弧形细棒，其 线密度为常数 ，在圆心处有一质量为 m 的 质点 M ，试求这细棒对质点 M 的引力 .
一、变力沿直线所作的功
由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中有一 个不变的力 F 作用在这物体上，且这力的方向与物体的运动 方向一致，那么，在物体移动了距离 s 时，力 F 对物体所作 的功为W F s .
如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，就 不能直接使用此公式，而采用“微元法”思想.
将直角边各为 a 及 2a 的直角三角形薄板垂直地浸人水
中，斜边朝下，直角边的边长与水面平行，且该边到水面的距 离恰等于该边的边长，求薄板所受的侧压力．
解
建立坐标系如图 面积微元 2(a x )dx,
2a
o
a
2a
dP ( x 2a ) 2(a x ) 1 dx 7 3 a P 0 2( x 2a )( a x )dx a . 3
2
5
x
例3. 在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气体,由于 气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从点 a 处移动 到点 b 处 (如图), 求移动过程中气体压力所 作的功 . 解: 建立坐标系如图. 由波义耳—马略特定律知压强
p 与体积 V 成反比 , 即
S
o a xx d x
r b 处时，计算电场力 F 对它所作的功．
解 取 r 为积分变量，
a r r dr b kq 取任一小区间[r , r dr ], 功元素 dw 2 dr , r b b kq 1 kq 1 1 . 所求功为 w a 2 dr kq r a b r a
3 2 2

2km l a(4a 2 l )
1 2 2
,
由对称性知，引力在铅直方向分力为 Fy 0.
四、小结
利用“微元法”思想求变力作功、水压力
和引力等物理问题． （注意熟悉相关的物理知识）
练习题
一、 直径为 20 厘米，高为 80 厘米的圆柱体内充满压强 为10牛 3 的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽 厘米 体积缩小一半，问需要作多少功？
f ( x ) kx,
1
k 第一次锤击时所作的功为 w1 0 f ( x )dx , 2 设 次击入的总深度为 厘米
n
h
n次锤击所作的总功为 wh 0 f ( x )dx .
h
kh2 wh 0 kxdx , 2 依题意知，每次锤击所作的功相等． kh2 k w h nw1 n , 2 2 n 次击入的总深度为 h n ,
七、油类通过直油管时，中间流速大，越靠近管壁流 速越小，实验测定，某处的流速 v 与 流处到管子 中心的距离 r 之间 有关系式v k ( a 2 r 2 ) ,其中 k 为比例 常数， a 为油管 半径.求通过油管的流 量 （注： 当流速为常量时， 流量 = 流速 截面积） .
练习题答案
o
x
x dx
x
小矩形片的压力元素为
端面上所受的压力
dP 2 x R2 x 2 dx
R
P 0 2 x R x dx 0
R 2 2
R2 x 2 d ( R2 x 2 )
2 3

R x
2
2

3
2 3 3 R . 0
R
例6
例7
有一长度为 l 、线密度为 的均匀细棒，在其中垂线上距棒
l y 2 y dy
a 单位处有一质量为 m 的质点 M ，计算该棒对质点 M 的引力．
解
l l y , , 取 y 为积分变量 2 2 取任一小区间[ y, y dy]
小段的质量为 dy,
建立坐标系如图
例 5 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设桶的底半 径为 R ，水的比重为 ，计算桶的一端面上所受的压力．
解 在端面建立坐标系如图
取 x 为积分变量， [0, R] x
取任一小区间[ x, x dx]
小矩形片上各处的压强近似相等 p x, 小矩形片的面积为 2 R 2 x 2 dx .
取 x 为积分变量，x [0,5]
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o
x
取任一小区间[ x, x dx],
5
x dx
x
这一薄层水的重力为 9.8 32 dx 功元素为 dw 88.2 x dx,
o
x
x dx
5
w 0 88.2 x dx
5
x 88.2 3462 (千焦)． 2 0
r [a, b],
o
q
1
r
如果要考虑将单位电荷移到无穷远处 kq kq 1 w a 2 dr kq . a r r a
例 2 一圆柱形蓄水池高 为 5 米，底半径为 3 米， 池内盛满了水.问要把池 内的水全部吸出，需作多 少功？
解 建立坐标系如图
y
o

a M
l 2
r
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将典型小段近似看成质点
小段与质点的距离为 r a 2 y 2 , m dy , 引力 F k 2 2 a y a m dy , 水平方向的分力元素 dFx k 3 (a 2 y 2 ) 2
Fx k
l 2 l 2
am dy (a 2 y )
b x
故作用在活塞上的力为
S
o a xx d x
功元素为 所求功为
b x
机动
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结束
例4
用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉
进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1
厘米，若每次锤击所作的功相等，问第 n 次锤击时又将铁 钉击入多少？
n
解 设木板对铁钉的阻力为
h
第 n 次击入的深度为
n n 1.
二、水压力
由物理学知道，在水深为 h 处的压强为 p h，这里 是 水的比重．如果有一面积为 A 的平板水平地放置在水深为 h 处，那么，平板一侧所受的水压力为 P p A．
如果平板垂直放置在水中，由于水深不同的点处压强
p
不相等，平板一侧所受的水压力就不能直接使用此公式，而 采用“微元法”思想．