高中数学解三角形最值

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试析解三角形中最值与范围问题

试析解三角形中最值与范围问题三角形是一种最基本的几何形状，它的最值与范围问题也是数学中的一个重要研究课题。

本文将从三个方面来试析三角形中最值与范围问题，分别是三角形的边长最值、角度最值和面积最值。

首先，讨论三角形的边长最值。

根据三角形的定义，三角形的边长最小值为0，最大值为无穷大。

这是因为三角形的边长可以是任意长度，只要满足三角形的定义即可。

其次，讨论三角形的角度最值。

根据三角形的定义，三角形的角度最小值为0度，最大值为180度。

这是因为三角形的角度必须小于180度，否则就不是三角形了。

最后，讨论三角形的面积最值。

根据三角形的定义，三角形的面积最小值为0，最大值为无穷大。

这是因为三角形的面积可以是任意大小，只要满足三角形的定义即可。

综上所述，三角形的边长最小值为0，最大值为无穷大；三角形的角度最小值为0度，最大值为180度；三角形的面积最小值为0，最大值为无穷大。

从这些最值和范围可以看出，三角形是一种非常灵活的几何形状，它的最值与范围问题也是数学中的一个重要研究课题。

三角形的最值与范围问题不仅仅是数学中的一个重要研究课题，它在实际应用中也有着重要的意义。

例如，在建筑设计中，三角形的最值与范围问题可以帮助建筑师更好地设计建筑物，以满足建筑物的结构要求。

此外，三角形的最值与范围问题也可以帮助工程师更好地设计机械设备，以满足机械设备的结构要求。

因此，三角形的最值与范围问题不仅仅是数学中的一个重要研究课题，它在实际应用中也有着重要的意义。

三角形的最值与范围问题的研究可以帮助我们更好地理解三角形，并且可以帮助我们更好地应用三角形，从而更好地解决实际问题。

高中数学复习提升专题03 解三角形中的最值、范围问题(解析版)

专题03 解三角形中的最值、范围问题高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，选择题、填空题的形式往往独立考查正弦定理或余弦定理，解答题往往综合考查定理在确定三角形边角中的应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换、不等式、导数等结合考查，试题难度控制在中等以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等．本专题围绕解三角形中的最值、范围问题精选例题，并给出针对性练习，以期求得热点难点的突破.【热点难点突破】例1.【2018年江苏卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．【答案】9【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.例2.【2018年文北京卷】若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=_________；的取值范围是_________.【答案】【解析】分析：根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得，可求得；再利用，将问题转化为求函数的取值范围问题.详解：，，即，，则，为钝角，，，故.例3.锐角的内角，，的对边分别为，，，已知的外接圆半径为，且满足.（1）求角的大小；（2）若，求周长的最大值.【答案】（1）；（2）当为正三角形时，周长的最大值为6.【解析】（1）由正弦定理，得，再结合，得，解得，由为锐角三角形，得.（2）由、及余弦定理，得，即，结合，得，解得（当且仅当时取等号），所以（当且仅当时取等号），故当为正三角形时，周长的最大值为6.例4. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2a =，242cos sin 25B C A ++=. （1）若满足条件的ABC ∆有且只有一个，求b 的取值范围；（2）当ABC ∆的周长取最大值时，求b 的值. 【答案】（1）10(0,2]{}3；（210【解析】（1）2442cossin 1cos()sin 255B C A B C A ++=⇒+++=，即1sin cos 5A A -=-，又∵0A π<<，且22sin cos 1A A +=，有3sin 54cos 5A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，若满足条件的ABC ∆有且只有一个，则有sin a b A =或a b ≥，则b 的取值范围为10(0,2]{}3；（2）设ABC ∆的周长为l ，由正弦定理得 10(sin sin )2[sin sin()]sin 3a l abc a B C B A B A =++=++=+++102(sin sin cos cos sin )22(3sin cos )2210)3B A B A B B B B θ=+++=++=++，其中θ为锐角，且10sin 10310cos θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，max 2210l =+10cos B =，310sin B = 此时sin 10sin ab B A==例5. 【2016年北京卷】在∆ABC 中，2222+=a c b ac . （1）求B ∠ 的大小；（22cos cos A C + 的最大值. 【答案】（1）4π；（2）1. 【解析】（1）由余弦定理及题设得22222cos 222a cb ac B ac ac +-===，又∵0B π<∠<，∴4B π∠=；（2）由（1）知34A C π∠+∠=， 32cos 2cos()4A C A A π+=+-22222A A A =-+ 22cos()4A A A π==-，因为304A π<∠<，所以当4A π∠=2cos A C +取得最大值1.例6. 如图，有一码头P 和三个岛屿,,A B C ， 303,90mi ,30PC mile PB n le AB n mile ===，0120PCB ∠=， 090ABC ∠=.（1）求,B C 两个岛屿间的距离；（2）某游船拟载游客从码头P 前往这三个岛屿游玩，然后返回码头P .问该游船应按何路线航行，才能使得总航程最短？求出最短航程.【答案】（1）3mile （2）(30603307n mile +【解析】（1）在PBC ∆中， 090,3,120PB PC PCB ==∠=，由正弦定理得，sin sin PB PCPCB PBC=∠∠，即0903sin120sin PBC =∠，解得1sin 2PBC ∠=，又因为在PBC ∆中， 00060PBC <∠<，所以030PBC ∠=，所以030BPC ∠=，从而303BC PC == 即,B C 两个岛屿间的距离为3mile ；（2）因为090,30ABC PBC ∠=∠=，所以000903060PBA ABC PBC ∠=∠-∠=-=，在PAB ∆中， 90,30PB AB ==，由余弦定理得，2202212?cos609030290303072PA PB AB PB AB =+-=+-⨯⨯⨯= 根据“两点之间线段最短”可知，最短航线是“P A B C P →→→→”或“P C B A P →→→→”，其航程为3073030330330603307S PA AB BC CP =+++=+=+所以应按航线“P A B C P →→→→”或“P C B A P →→→→”航行，其航程为(30603307n mile +. 【方法总结】1.已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．2.已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．3.已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式a ＜b sin Aa ＝b sin Ab sin A ＜a ＜ba ≥ba ＞ba ≤b解的个数无解一解两解一解一解无解4．在△ABC 中有如下结论sin A ＞sin B ⇔a ＞b .5.已知三边(a b c 如、、），由余弦定理求A B 、，再由180A B C ++=求角C ，在有解时只有一解. 已知两边和夹角(a b C 如、、），余弦定理求出对对边.5．当b 2＋c 2－a 2＞0时，角A 为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，角A 为直角，三角形为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2＜0时，角A 为钝角，三角形为钝角三角形．【精选精练】1. ABC ∆各角的对应边分别为c b a ,,，满足1≥+++ba cc a b ，则角A 的范围是（） A ．(0,]3πB ．(0,]6πC ．[,)3ππD ．[,)6ππ 【答案】A 【解析】由1≥+++ba cc a b ，得()()()()b a c a c a c b a b ++≥+++，整理得bc a c b ≥-+222，由余弦定理得2122cos 222≥≥-+=bc bc bc a c b A ，⎥⎦⎤⎝⎛∈∴3,0πA . 2.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求60ACB ∠=︒， BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC 越短越好，则AC 最短为（）A. 312⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭米 B. 2米 C. (13米 D. (23+米【答案】D【解析】由题意设(1)BC x x =>米， (0)AC t t =>米，依题设0.50.5AB AC t =-=-米，在ABC 中，由余弦定理得： 22202cos60AB AC BC ACBC =+-，即()2220.5t t x tx -=+-，化简并整理得：20.25(1)1x t x x -=>-，即0.75121t x x =-++-，因1x >，故0.7512231t x x =-++≥+-312x =+时取等号），此时t 取最小值23，应选答案D 3.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 满足222b c a bc +-=，0AB BC >，3a = 则b+c 的取值范围是（） A. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.3322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C.13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D.13,22⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】B【解析】由222b c a bc +-=得：2221cos 22b c a A bc +-==，则A=3π，由0AB BC >可知：B 为钝角， 21sin aR A==，则sin ,sin b B c C ==，sin sin sin b c B C B +=+=+2sin(3π)B -33=sin cos 3sin()226B B B π+=+，由于223B ππ<<，25366B πππ<+<，所以13sin()23B π<+<332b c <+<，选B 4.在ABC ∆中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且222a b c bc =++，3a S 为ABC ∆的面积，则3cos S B C 的最大值为（）（A ）1 （B 31+ （C 3 （D ）3 【答案】C【解析】∵222a b c bc =++，∴2221cos 22b c a A bc +-==-，∴23A π=，设ABC ∆外接圆的半径为R ，则3222sin sin 3a R A π===，∴1R =， ∴133cos sin 3cos 3cos 2S B C bc A B C B C ==+ 3sin 3cos 3)B C B C B C =+=-，故3cos S B C 3C ．5.已知,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，其面积满足214ABC S a ∆=，则cb的最大值为（） A.21 B. 2 C. 21 D. 22+【答案】C【解析】根据题意，有211sin 42ABC S a bc A ∆==，应用余弦定理，可得222cos 2sin b c bc A bc A +-=，于是212cos 2sin t t A t A +-=，其中c t b =．于是22sin 2cos 1t A t A t +=+，所以122sin 4A t t π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，从而122t t+≤，解得t 21．选C.6.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2c B a b =+，若ABC ∆的面积为32S =，则ab 的最小值为__________．【答案】12【解析】由正弦定理可得()2sin cos 2sin sin 2sin sin C B A B B C B =+=++，即2sin cos 2sin cos 2sin cos sin C B B C C B B =++，∴2sin cos sin 0B C B +=，∴1cos 2C =-， 23C π=，由133sin 2S ab C =⋅==，∴12c ab =，再由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-⋅，整理可得2222134a b a b ab ab =++≥，当且仅当a b =时，取等号，∴12ab ≥故答案为12. 7.在平面四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C =75°，BC =2，则AB 的取值范围是 . 【答案】626+2）【解析】如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B =∠C =75°，∠E =30°，BC =2，由正弦定理可得sin sin BC BE E C =∠∠，即o o2sin 30sin 75BE=，解得BE =6+2，平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B =∠BFC =75°，∠FCB =30°，由正弦定理知，sin sin BF BC FCB BFC =∠∠，即o o2sin 30sin 75BF =，解得BF =62-，所以AB 的取值范围为（62-，6+2）.8. 在中，内角的对边分别为，且满足，为锐角，则的取值范围为__________．【答案】【解析】分由结合正弦定理可得：，且，为锐角，则：，即，据此有：，，，，即，，据此可得：，则的取值范围为.9.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量()B A m cos ,cos =，()b c a n -=2,，且n m //．（1）求角A 的大小；（2）若4=a ，求ABC ∆面积的最大值．【答案】（1）3π；（2）34．【解析】 n m //，所以()0cos 2cos =--A b c B a ，由正弦定理得-B A cos sin ()0cos sin sin 2=-A B C ，A C AB B A cos sin 2cos sin cos sin =+∴()A C B A cos sin 2sin =+∴，由π=++C B A ，A C C cos sin 2sin =∴由于π<<C 0，因此0sin >C ，所以21cos =A ，由于π<<A 0，3π=∴A （2）由余弦定理得A bc c b a cos 2222-+=bc bc bc bc c b =-≥-+=∴21622，因此16≤bc ，当且仅当4==c b 时，等号成立；因此ABC ∆面积34sin 21≤=A bc S ，因此ABC ∆面积的最大值34． 10. 已知3x π=是函数()sin2cos2f x m x x =-的图象的一条对称轴.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）设ABC ∆中角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()2f B =，且3b =2ca -的取值范围. 【答案】（1）(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）33⎛ ⎝ 【解析】试题分析：（1）3x π=是函数()f x 的一条对称轴213f m π⎛⎫⇒=+⎪⎝⎭21m -+3m ⇒=()2sin 26f x x π⎛⎫⇒=- ⎪⎝⎭，根据三角函数的性质，即可求出单调性；（2）()2f B = 可得3B π=，又3b =由正弦定理得： 2sin sin(+=3sin 236c a A A A ππ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，由230,3sin 3362A A ππ⎛⎛⎫⎛⎫∈⇒-∈- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，即可求出结果. 试题解析：（1）3x π=是函数()sin2cos2f x m x x =-的一条对称轴213f m π⎛⎫⇒=+ ⎪⎝⎭21m -+3m ⇒=()2sin 26f x x π⎛⎫⇒=- ⎪⎝⎭⇒增区间： (),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）()2f B = sin 2163B B ππ⎛⎫⇒-=⇒= ⎪⎝⎭ 又3b =2sin ,2sin 2sin 3a A c C A π⎛⎫===+ ⎪⎝⎭2sin sin(+=3sin 236c a A A A ππ⎛⎫⇒-=-- ⎪⎝⎭ 210,,sin ,1366262A A A πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈⇒-∈-⇒-∈- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭33sin 36A π⎛⎛⎫⇒-∈ ⎪ ⎝⎭⎝，即332c a ⎛⇒-∈ ⎝ 11. 在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，满足cos2cos22cos cos 066A B B B ππ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求角A 的值；（2）若3b =b a ≤，求a 的取值范围.【答案】(1) 3A π=；(2) )3,3a ∈.【解析】试题分析：（1）根据余弦的二倍角公式以及两角和与差的余弦公式化简cos2cos22cos cos 066A B B B ππ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得sin A 的值，从而求得A 的值；（2）3b a =≤，∴c a ≥，∴32C ππ≤<，63B ππ<≤，再由正弦定理可得结果.试题解析：（1）由已知cos2cos22cos cos 066A B B B ππ⎛⎫⎛⎫-+-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得2222312sin 2sin 2cos sin 044B A B B ⎛⎫-+-=⎪⎝⎭化简得3sin 2A =，又三角形ABC 为锐角三角形，故原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 3A π=. （2）∵3b a =≤，∴c a ≥，∴32C ππ≤<， 63B ππ<≤由正弦定理得： sin sin a b A B =即： 3sin 32a B =，即32sin a B =由13sin ,22B ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦知)3,3a ⎡∈⎣. 12. 如图，是两个小区所在地，到一条公路的垂直距离分别为，两端之间的距离为.（1）某移动公司将在之间找一点，在处建造一个信号塔，使得对的张角与对的张角相等，试确定点的位置；（2）环保部门将在之间找一点，在处建造一个垃圾处理厂，使得对所张角最大，试确定点的位置.【答案】（1）4；（2）. 【解析】试题分析：(1)利用张角相等的相似性即可确定点P 的位置；(2)由题意得到三角函数，换元之后结合对勾函数的性质可得当时满足题意. 试题解析：（1）张角相等，∴，∴ (2)设，∴， ∴，，，设，，，， ∴，，当且仅当时，等号成立，此时，即。

高中数学解三角形最值与范围问题探讨

高中数学解三角形最值与范围问题探讨摘要：解三角形是高考中的重点题型，对正弦定理和余弦定理的考查比较灵活，且题型多变，多与三角形周长，面积有关，而三角形中的最值与范围问题又是一个重点。

本文主要探究解三角形中求取最值和范围问题的解法，本文给出三种解法，并对比几种方法优劣。

关键词：高考数学；解三角形；正弦定理；余弦定理；解三角形是高考中的重点题型，也是高考数学的高频考点。

解三角形对正弦定理和余弦定理的考查比较灵活，题型多变，多与三角形周长，面积有关；有时也会与平面向量，三角恒等变换，不等式等结合考查。

而三角形中的最值与范围问题又是一个重点。

处理这个最值问题解决方法主要有三种：(1)利用正弦定理和三角函数有界性：已知一边及其对角，可利用正弦定理求出2R（R为外接圆半径），再通过边角互化和代入消元的方式，将多变量的表达式转化为关于角B或角C的函数，再利用降幂公式，辅助角公式等进行化简，建立目标函数后，问题将转化为三角函数求值域（最值）问题。

(2)利用基本不等式和余弦定理：根据余弦定理并配合基本不等式可求解的最值问题。

(3)利用数形结合和极限思想：已知三角形一边及其对角可知三角形外接圆半径，在该圆上固定三角形一边，根据同弧所对的圆周角相等可知该边所对应顶点在圆上运动，根据圆的对称性和极限思想可得取值范围或最值。

下面给出例题，探讨几种方法的优劣：题型一：已知三角形一边及其对角例1：在 ABC中，有，若，求 ABC周长的取值范围。

解：推出A=法一：（利用三角函数有界性和正弦定理）周长 +2R（sinB+sinC）(B+C= )= +2（sinB+sin( )）==由于，则，则周长L=的范围 .法二：（利用基本不等式和余弦定理）解：由题意可得：L= +a+b由余弦定理 ,因为，所以则 ,而三角形中两边之和大于第三边则 ,则周长L= +a+b取值范围 .法三：（数形结合与极限思想）已知一边及其对角可得三角形外接圆半径为1，画出外接圆并在圆上固定A 角所对边BC，根据同弧所对的圆周角相等可得三角形一顶点A在圆上运动，根据圆的对称性可得，当A点运动到优弧的中点A’处时，此时三角形ABC周长最大，此时三角形ABC为等腰三角形。

三角函数ω的取值范围及解三角形中的范围与最值问题(解析版)-高中数学

三角函数ω的取值范围及解三角形中的范围与最值问题命题预测三角函数与解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择题、填空题的压轴小题位置，综合考查以解答题为主，中等难度．高频考法(1)ω取值与范围问题(2)面积与周长的最值与范围问题(3)长度的范围与最值问题01ω取值与范围问题1、f (x )=A sin (ωx +φ)在f (x )=A sin (ωx +φ)区间(a ，b )内没有零点⇒b -a ≤T2k π≤aω+ϕ<π+k πk π<bω+ϕ≤π+k π⇒b -a ≤T2a ≥k π-ϕωb ≤π+k π-ϕω同理，f (x )=A sin (ωx +φ)在区间[a ，b ]内没有零点⇒b -a ≤T2k π<aω+ϕ<π+k πk π<bω+ϕ<π+k π ⇒b -a <T2a >k π-ϕωb <π+k π-ϕω2、f (x )=A sin (ωx +φ)在区间(a ，b )内有3个零点⇒T <b -a ≤2T k π≤aω+ϕ<π+k π3π+k π<bω+ϕ≤4π+k π⇒T <b -a ≤2T k π-φω≤a <(k +1)π-φω(k +3)π-φω<b ≤(k +4)π-φω同理f (x )=A sin (ωx +φ)在区间[a ，b ]内有2个零点⇒T2≤b -a <3T2k π<aω+ϕ≤π+k π2π+k π≤bω+ϕ<3π+k π ⇒T 2≤b -a <3T2k π-φω<a ≤k π+π-φω(k +2)π-φω≤b <(k +3)π-φω 3、f (x )=A sin (ωx +φ)在区间(a ，b )内有n 个零点⇒(n-1)T2≤b-a<(n+1)T2kπ-φω≤a<kπ+π-φω(k+n)π-φω<b≤(k+n+1)π-φω同理f(x)=A sin(ωx+φ)在区间[a，b]内有n个零点⇒(n-1)T2≤b-a<(n+1)T2kπ-φω<a≤kπ+π-φω(k+n)π-φω≤b<(k+n+1)π-φω4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为2n+14T，则2n+14T=(2n+1)π2ω=b-a ．5、已知单调区间(a,b)，则a-b≤T 2.1(2024·江苏南通·二模)已知函数y=3sinωx+cosωx(ω>0)在区间-π4,2π3上单调递增，则ω的最大值为()A.14B.12C.1211D.83【答案】B【解析】因为y=3sinωx+cosωx=2sinωx+π6，又ω>0，由-π2+2kπ≤ωx+π6≤π2+2kπ,k∈Z，得到-2π3+2kπω≤x≤π3+2kπω,k∈Z，所以函数y=3sinωx+cosωx的单调增区间为-2π3+2kπω,π3+2kπω(k∈Z)，依题有-π4,2π3⊆-2π3+2kπω,π3+2kπω(k∈Z)，则2π3≤π3ω-2π3ω≤-π4，得到0<ω≤12，故选：B.2(2024·四川泸州·三模)已知函数f x =sinωx-2π3(ω>0)在0,π 有且仅有三个零点，则ω的取值范围是()A.83,11 3B.83,113C.53,83D.53,83【答案】B【解析】因为0≤x≤π，所以-2π3≤ωx-2π3≤ωπ-2π3，因为函数f x =sinωx-2π3(ω>0)在0,π 有且仅有三个零点，结合正弦函数的图象可知2π≤ωπ-2π3<3π，解得83≤ω<113，故选：B.3(2024·四川德阳·二模)已知函数f x =sinωx+φ(ω>0,φ∈R)在区间7π12,5π6上单调，且满足f7π12=-f3π4 ．给出下列结论，其中正确结论的个数是()①f2π3=0；②若f5π6-x=f x ，则函数f x 的最小正周期为π；③关于x的方程f x =1在区间0,2π上最多有3个不相等的实数解；④若函数f x 在区间2π3,13π6上恰有5个零点，则ω的取值范围为83,103．A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】①因为f7π12=-f3π4 且7π12+3π42=2π3，所以f2π3=0.①正确.②因为f5π6-x=f(x)所以f(x)的对称轴为x=5π62=5π12,2π3-5π12=π4=T4⇒T=π.②正确.③在一个周期内f x =1只有一个实数解，函数f x 在区间7π12,5π6上单调且f2π3 =0，T≥45π6-2π3=2π3.当T=2π3时，f x =sin3x，f x =1在区间0,2π上实数解最多为π6,5π6,3π2共3个.③正确.④函数f x 在区间2π3,13π6上恰有5个零点，2T<13π6-2π3≤5T2⇒2⋅2πω<13π6-2π3≤52⋅2πω，解得83<ω≤103；又因为函数f x 在区间7π12,5π6上单调且f2π3 =0，T≥45π6-2π3=2π3，即2πω≥2π3⇒ω≤3，所以ω∈83,3.④错误故选：C4(2024·江苏泰州·模拟预测)设函数f x =2sinωx-π6-1ω>0在π,2π上至少有两个不同零点，则实数ω的取值范围是()A.32,+∞ B.32,73 ∪52,+∞ C.136,3 ∪196,+∞ D.12,+∞ 【答案】A【解析】令2sin ωx -π6 -1=0得sin ωx -π6 =12，因为ω>0，所以ωx -π6>-π6，令sin z =12，解得z =π6+2k π,k ∈Z 或z =5π6+2k 1π,k 1∈Z ，从小到大将sin z =12的正根写出如下：π6，5π6，13π6，17π6，25π6，29π6⋯⋯，因为x ∈π,2π ，所以ωx -π6∈ωπ-π6,2ωπ-π6，当ωπ-π6∈0,π6 ，即ω∈16,13 时，2ωπ-π6≥5π6，解得ω≥12，此时无解，当ωπ-π6∈π6,5π6 ，即ω∈13,1 时，2ωπ-π6≥13π6，解得ω≥76，此时无解，当ωπ-π6∈5π6,13π6 ，即ω∈1,73 时，2ωπ-π6≥17π6，解得ω≥32，故ω∈32,73，当ωπ-π6∈13π6,17π6 ，即ω∈73,3 时，2ωπ-π6≥25π6，解得ω≥136，故ω∈73,3，当ω≥3时，2ωπ-π6-ωπ-π6=ωπ≥3π，此时f x 在π,2π 上至少有两个不同零点，综上，ω的取值范围是32,+∞ .故选：A02面积与周长的最值与范围问题正弦定理和余弦定理是求解三角形周长或面积最值问题的杀手锏，要牢牢掌握并灵活运用．利用三角公式化简三角恒等式，并结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等求其最值．1(2024·青海·模拟预测)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a cos 2B +2b cos A cos B =c ．(1)求B ；(2)若b =4，△ABC 的面积为S ．周长为L ，求SL的最大值．【解析】(1)由正弦定理可得，2sin A cos 2B +2sin B cos A cos B =sin C ，所以2sin A cos 2B +2sin B cos A cos B =sin A cos B +cos A sin B ,所以sin A cos B (2cos B -1)+cos A sin B (2cos B -1)=0，即(2cos B -1)sin (A +B )=0，由0<A +B <π，可知sin (A +B )≠0，所以2cos B -1=0，即cos B =12，由0<B <π，知B =π3.(2)由余弦定理，得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，即16=a 2+c 2-ac ，所以16=a +c 2-3ac ，即ac =13a +c 2-16 ，因为S =12ac sin B =34ac ，L =a +b +c ，所以S L =3ac 4a +c +4=3a +c 2-1612a +c +4，所以S L=312a +c -4 ，又ac ≤a +c 24(当且仅当a =c 时取等号)，所以16=a +c 2-3ac ≥a +c24(当且仅当a =c =4时取等号)，所以a +c ≤8(当且仅当a =c =4时取等号)，所以S L=312a +c -4 ≤312×8-4 =33(当且仅当a =c =4时取等号)，即S L的最大值为33.2(2024·陕西汉中·二模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，请从下列条件中选择一个条件作答：(注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．)①记△ABC 的面积为S ，且3AB ⋅AC =2S ；②已知a sin B =b cos A -π6 ．(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，且a =6，求△ABC 周长的取值范围．【解析】(1)选条件①，由3AB ⋅AC =2S ，得3bc cos A =2×12bc sin A ，整理得tan A =3，而0<A <π，所以A =π3.选条件②，由a sin B =b cos A -π6 及正弦定理，得sin A sin B =sin B cos A -π6，而sin B >0，则sin A =cos A -π6 =32cos A +12sin A ，整理得tan A =3，而0<A <π，所以A =π3.(2)由(1)知A =π3，由正弦定理得b sin B =c sin C =a sin A =6sin π3=22，因此b +c =22sin B +22sin C =22sin B +sin π3+B =2232sin B +32cos B=26sin B +π6由△ABC 为锐角三角形，得0<B <π20<2π3-B <π2 ，解得π6<B <π2，因此π3<B +π6<2π3，则32<sin B +π6≤1，于是32<b +c ≤26，32+6<a +b +c ≤36，所以△ABC 周长的取值范围是(32+6,36].3(2024·宁夏银川·二模)已知平面四边形ABCD 中，∠A +∠C =180°,BC =3.(1)若AB =6,AD =3,CD =4，求BD ；(2)若∠ABC =120°,△ABC 的面积为932，求四边形ABCD 周长的取值范围.【解析】(1)在△ABD 中，由余弦定理得cos ∠A =32+62-BD 22×3×6，在△BCD 中，由余弦定理得cos ∠C =32+42-BD 22×3×4，因为∠A +∠C =180°，所以cos ∠A +cos ∠C =0，即32+62-BD 22×3×6+32+42-BD 22×3×4=0，解得BD =33.(2)由已知S △ABC =12×3×AB ×32=932，得AB =6，在△ABC 中，∠ABC =120°，由余弦定理得AC 2=32+62-2×3×6×cos120°=63，则AC =37，设AD=x,CD=y,(x,>0,y>0)，在△ACD中，由余弦定理得372=x2+y2-2xy⋅cos60°=x+y2-3xy，则x+y2=63+3xy≤63+3×x+y22，得x+y24≤63，所以x+y≤67，当且仅当x=y=37时取等号，又x+y>AC=37，所以四边形ABCD周长的取值范围为37+9,67+9.4(2024·四川德阳·二模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sin B=23cos2A+C 2.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.【解析】(1)因为△ABC中，sin B=23cos2A+C2，即2sinB2cos B2=23cos2π-B2=23sin2B2，而0<B<π,∴sin B2>0，故cos B2=3sin B2，故tan B2=33，又0<B<π,∴0<B2<π2，则B2=π6,∴B=π3；(2)由(1)以及题设可得S△ABC=12ac sin B=34a；由正弦定理得a=c sin Asin C=c sin2π3-Csin C=c sin2π3cos C-cos2π3sin Csin C=32cos C+12sin Csin C=32tan C+12，因为△ABC为锐角三角形，0<A<π2，0<C<π2，则0<2π3-C<π2,∴π6<C<π2，则tan C>33,∴0<1tan C<3，则12<32tan C+12<2，即12<a<2，则38<S△ABC<32，即△ABC面积的取值范围为38,32 .03长度的范围与最值问题对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围．1(2024·贵州遵义·一模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3b-a sin C= 3a cos C．(1)求A；(2)若△ABC为锐角三角形，c=2，求b的取值范围．【解析】(1)在△ABC中，由3b-a sin C=3a cos C及正弦定理，得3sin B-sin A sin C=3sin A cos C，则3sin A cos C+sin A sin C=3sin(A+C)=3sin A cos C+3cos A sin C，即sin A sin C=3cos A sin C，而sin C>0，于是tan A=3，又0<A<π，所以A=π3.(2)由(1)知，A=π3，由正弦定理得b=c sin Bsin C=2sin2π3-Csin C=3cos C+sin Csin C=3tan C+1，由△ABC为锐角三角形，得0<C<π20<2π3-C<π2，解得π6<C<π2，则tan C>13，∴1tan C<3,则1<b<4，所以b的取值范围是1<b<4.2(2024·宁夏固原·一模)在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，且2sin B sin C+cos2C= 1+cos2A-cos2B．(1)求证：B+C=2A；(2)求c-ba的取值范围．【解析】(1)因为2sin B sin C+cos2C=1+cos2A-cos2B，所以2sin B sin C+1-2sin2C=1+1-2sin2A-1+2sin2B，则sin B sin C-sin2C=-sin2A+sin2B，由正弦定理可得bc-c2=-a2+b2，即bc=b2+c2-a2，所以cos A=b2+c2-a22bc=bc2bc=12，又A∈0,π2，故A=π3，由A+B+C=π，故B+C=π-A=2π3=2A；(2)由(1)得sin A=32,cos A=12，因为sin B=sin A+C=sin A cos C+cos A sin C=32cos C+12sin C，所以由正弦定理得c-ba=sin C-sin Bsin A=23sin C-32cos C-12sin C=2312sin C-32cos C=23sin C-π3，又锐角△ABC中，有0<C<π20<π-π3-B<π2，解得π6<C<π2，所以-π6<C-π3<π6，则-12<sin C-π3<12，所以-33<23sin C-π3<33，即-33<23sin C-π3<33，故c-ba的取值范围为-33,33.3(2024·河北衡水·一模)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，三角形面积为S，若D为AC边上一点，满足AB⊥BD,BD=2，且a2=-233S+ab cos C.(1)求角B；(2)求2AD +1CD的取值范围.【解析】(1)∵a2=-233S+ab cos C，∴a2=-33ab sin C+ab cos C，即a=-33b sin C+b cos C，由正弦定理得，sin A=-33sin B sin C+sin B cos C，∴sin B+C=-33sin B sin C+sin B cos C，∴cos B sin C=-33sin B sin C，∵sin C≠0，∴tan B=-3，由0<B<π，得B=2π3.(2)由(1)知，B=2π3，因为AB⊥BD，所以∠ABD=π2，∠DBC=π6，在△BCD中，由正弦定理得DCsin∠DBC=BDsin C，即DC=2sinπ6sin C=1sin C，在Rt△ABD中，AD=BDsin A=2sin A，∴2 AD +1CD=22sin A+11sin C=sin A+sin C，∵∠ABC=2π3，∴A+C=π3,∴2 AD +1CD=sin A+sin C=sinπ3-C+sin C=sinπ3cos C-cosπ3sin C+sin C=sin C+π3，∵0<C<π3，∴C+π3∈π3,2π3，∴sin C+π3∈32,1，所以2AD+1CD的取值范围为32,1.4(2024·陕西安康·模拟预测)已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a=8，ac=1+sin2A-sin2Csin2B，且a≠c．(1)求证：B=2C；(2)已知点M在线段AC上，且∠ABM=∠CBM，求BM的取值范围．【解析】(1)因为ac=1+sin2A-sin2Csin2B，即a-cc=sin2A-sin2Csin2B，由正弦定理可得a-cc=a2-c2b2=a+ca-cb2，又a≠c，即a-c≠0，所以1c=a+cb2，整理得b2=c2+ac，由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B，整理得c=a-2c cos B，由正弦定理得sin C=sin A-2sin C cos B，故sin C=sin B+C-2sin C cos B，即sin C=sin B cos C+sin C cos B-2sin C cos B，整理得sin C=sin B-C，又因为△ABC为锐角三角形，则C∈0,π2,B∈0,π2，可得B-C∈-π2,π2，所以C=B-C，即B=2C.(2)因为点M在线段AC上，且∠ABM=∠CBM，即BM平分∠ABC，又B=2C，所以∠C=∠CBM，则∠BMC=π-C-∠CBM=π-2C，在△MCB中，由正弦定理得BCsin∠BMC=BMsin C，所以BM=BC sin Csin∠BMC=8sin Csin2C=8sin C2sin C cos C=4cos C，因为△ABC为锐角三角形，且B=2C，所以0<C<π20<2C<π20<π-3C<π2，解得π6<C<π4.故22<cos C<32，所以833<BM<42.因此线段BM 长度的取值范围833,42.1在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =3，A =60°，则b 的取值范围是()A.0,6B.0,23C.3,23D.3,6【答案】C【解析】由正弦定理得a sin A =b sin B ，即b =a sin B sin A =3sin B sin60°=23sin B ，又△ABC 为锐角三角形，C =180°-A -B =120°-B ，又0°<B ,C <90°，则0°<120°-B <90°，解得30°<B <90°，而当30°<x <90°时，y =sin x 单调递增，故sin B ∈12,1，所以b =23sin B ∈3,23 .故选：C2已知函数f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0)，现有如下说法：①若φ=π3，函数f (x )在π6,π3 上有最小值，无最大值，且f π6 =f π3，则ω=5；②若直线x =π4为函数f (x )图象的一条对称轴，5π3,0 为函数f (x )图象的一个对称中心，且f (x )在π4,5π6 上单调递减，则ω的最大值为1817；③若f (x )=12在x ∈π4,3π4 上至少有2个解，至多有3个解，则ω∈4,163；则正确的个数为()A.0 B.1C.2D.3【答案】C【解析】对于①，因为x =π6+π32=π4时，f x 有最小值，所以sin ωπ4+π3=-1，所以ωπ4+π3=2kπ+3π2k∈Z，得到ω=8k+143k∈Z，因为f x 在区间π6,π3上有最小值，无最大值，所以π3-π4≤πω，即ω≤12，令k=0，得ω=143，故①错误；对于②，根据题意，有ωπ4+φ=2k1π+π2k1∈Z5ωπ3+φ=k2πk2∈ZT2=πω≥5π6-π4=7π12，得出ω=-12(2k1-k2)+617,k1,k2∈Z0<ω≤127，即ω=-12k+617,k∈Z0<ω≤127，得到ω=617或1817，故②正确；对于③，令ωx+φ=2kπ+π6k∈Z或ωx+φ=2kπ+5π6k∈Z，则x=-φ+2kπω+π6ωk∈Z或x=-φ+2kπω+5π6ωk∈Z，故需要上述相邻三个根的距离不超过π2，相邻四个根(距离较小的四个)的距离超过π2，即2πω≤π2,8π3ω>π2,，解得ω∈4,16 3，故③正确，故选：C．3设函数f x =sin2ωx-cos2ωx+23sinωx cosωxω>0，当x∈0,π2时，方程f x =2有且只有两个不相等的实数解，则ω的取值范围是()A.73,13 3B.73,133C.83,143D.83,143【答案】C【解析】由已知易知f x =3sin2ωx-cos2ωx=2sin2ωx-π6，当x∈0,π2时2ωx-π6∈-π6,πω-π6，所以要满足题意有5π2≤πω-π6<9π2⇒ω∈83,143.故选：C4将函数f x =sinωx-cosωx(ω>0)的图象向左平移π4个单位长度后，再把横坐标缩短为原来的一半，得到函数g x 的图象．若点π2,0是g x 图象的一个对称中心，则ω的最小值是()A.45B.12C.15D.56【答案】C【解析】由题意可得f x =222sinωx-22cosωx=2sinωx-π4，所以将f x 的图象向左平移π4个单位长度后，得到函数h x =2sin ωx +π4 -π4=2sin ωx +ωπ4-π4的图象，再把所得图象上点的横坐标缩短为原来的一半，得到函数g x =2sin 2ωx +ωπ4-π4的图象，因为点π2,0 是g x 图象的一个对称中心，所以πω+ωπ4-π4=k π,k ∈Z ，解得ω=45k +15,k ∈Z ，又ω>0，所以ω的最小值为15．故选：C5已知函数f (x )=sin ωx +π6 (ω>0)，若将f (x )的图象向左平移π3个单位后所得的函数图象与曲线y =f (x )关于x =π3对称，则ω的最小值为()A.23B.13C.1D.12【答案】A【解析】函数f (x )=sin ωx +π6 ，f (x )的图象向左平移π3个单位后所得函数g (x )=sin ωx +π3 +π6=sin ωx +πω3+π6，函数y =g (x )的图象与y =f (x )的图象关于直线x =π3对称，则f (x )=g 2π3-x ，于是sin ωx +π6=sin ω2π3-x +πω3+π6 对任意实数x 恒成立，即sin ωx +π6 =sin -ωx +πω+π6 =sin π-ωx -πω+5π6 =sin ωx -πω+5π6对任意实数x 恒成立，因此-πω+5π6=π6+2k π,k ∈Z ，解得ω=-2k +23,k ∈Z ，而ω>0，则k ∈Z ,k ≤0，所以当k =0时，ω取得最小值23.故选：A6(多选题)△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为△ABC 的面积，且a =2，AB ⋅AC=23S ，下列选项正确的是()A.A =π6B.若b =2，则△ABC 只有一解C.若△ABC 为锐角三角形，则b 取值范围是23,4D.若D 为BC 边上的中点，则AD 的最大值为2+3【答案】ABD【解析】对于A ，因为AB ⋅AC =23S ，所以bc cos A =23×12bc sin A ，则tan A =33，因为A ∈0,π ，所以A =π6，故A 正确；对于B ，因为b =2=a ，则B =A =π6，C =2π3，故△ABC 只有一解，故B 正确；对于C ，若△ABC 为锐角三角形，则B ∈0,π2 ，C ∈0,π2，则0<B <π20<π-π6-B <π2，则π3<B <π2，即sin B ∈32,1，由正弦定理可知：b =a sin Bsin A=4sin B ∈23,4 ，故C 错误；对于D ，若D 为BC 边上的中点，则AD =12AB +AC，所以AD 2=14AB 2+2AB ⋅AC +AC 2=14b 2+c 2+3bc由余弦定理知a 2=b 2+c 2-2bc cos A =b 2+c 2-3bc =4，得b 2+c 2=3bc +4，又b 2+c 2=3bc +4≥2bc ，所以bc ≤42-3=43+8，当且仅当b =c =2+6时取得等号，所以AD 2=14b 2+c 2+3bc =144+23bc ≤144+23×43+8 =7+43，即AD ≤7+43=2+3，故D 正确.故选：ABD .7已知函数f x =12+3sin ωx cos ωx -cos 2ωx ω>0 ，若f x 的图象在0,π 上有且仅有两条对称轴，则ω的取值范围是．【答案】56,43【解析】因为f x =12+3sin ωx cos ωx -cos 2ωx =32sin2ωx -12cos2ωx =sin 2ωx -π6，因为f x 的图象在0,π 上有且仅有两条对称轴，所以3π2≤2ωπ-π6<5π2，解得56≤ω<43，所以ω的取值范围是56,43 ．故答案为：56,43.8已知函数f x =sin ωx ω>0 ，若∃x 1,x 2∈π3,π，f x 1 =-1，f x 2 =1，则实数ω的取值范围是.【答案】ω=32或ω≥52【解析】设θ=ωx，x∈π3,π，则θ∈π3ω,πω，所以问题转化为y=sinθ在θ∈π3ω,πω上存在最大值和最小值，由正弦函数图象可得，π3ω≤kπ+π2kπ+π2+π≤πω，解得k+32≤ω≤3k+32，所以k≥0,k∈Z，当k=0时，32≤ω≤32，∴ω=32；当k=1时，52≤k≤92，当k=2时，72≤ω≤152，当k=3时，92≤ω≤212，当k=n，n∈N*时，n+32≤ω≤3n+32，当k=n+1时，n+52≤ω≤3n+92，而n+52-3n+32=-2n+1<0，即n+52<3n+32，所以k∈N*时，所有情况的ω范围的并集为ω≥52；综上，实数ω的取值范围是ω=32或ω≥52.故答案为：ω=32或ω≥52.9已知函数f x =sinωx+φω>0满足f x ≥fπ12，且f x 在区间-π3,π3上恰有两个最值，则实数ω的取值范围为．【答案】125,4【解析】因为f x ≥fπ12，所以fπ12 =sinπ12ω+φ=-1，所以π12ω+φ=2kπ+3π2，k∈Z，即φ=2kπ-π12ω+3π2，k∈Z，所以f x =sinωx+2kπ-π12ω+3π2 =-cosωx-π12．当-π3≤x≤π3时，-5πω12≤ωx-π12≤πω4ω>0．因为f x 在区间-π3,π3上恰有两个最值，且-5πω12>πω4 ，所以ω>0-2π<-5πω12≤-π0<πω4<π，解得125≤ω<4．故答案为：125,4．10已知函数f (x )=-sin ωx -π4 (ω>0)在区间π3,π 上单调递减，则ω的取值范围是.【答案】0,34【解析】当x ∈π3,π时， ωπ3-π4<ωx -π4<ωπ-π4，又y =-sin x 的单调递减区间为2k π-π2,2k π+π2(k ∈Z )，所以ωπ3-π4≥2k π-π2ωπ-π4≤2k π+π2(k ∈Z )，解得6k -34≤ω≤2k +34(k ∈Z )，且2k +34≥6k -34(k ∈Z )，解得k ≤38，又ω>0，所以k =0，所以ω的取值范围为0,34.故答案为：0,3411若函数f x =cos ωx -π6ω>0 在区间π3,2π3内单调递减，则ω的最大值为．【答案】74【解析】由题得：12T ≥2π3-π3⇒0<ω≤3，令t =ωx -π6⇒t ∈πω3-π6,2πω3-π6，则y =cos t 在t ∈πω3-π6,2πω3-π6单调递减，故πω3-π6≥2k π2πω3-π6≤2k π+π⇒6k +12≤ω≤3k +74，由0<ω≤3，故ω∈12,74，所以ω的最大值为74，故答案为：74.12已知函数f (x )=4sin ωx ,g (x )=4cos ωx -π3+b (ω>0)，且∀x 1,x 2∈R ,|f (x 1)-g (x 2)|≤8，将f (x )=4sin ωx 的图象向右平移π3ω个单位长度后，与函数g (x )的图象相邻的三个交点依次为A ，B ，C ，且BA ⋅BC<0，则ω的取值范围是．【答案】0,2π8【解析】依题意，函数f (x )的值域为[-4,4]，g (x )的值域为[b -4,b +4]，由∀x 1,x 2∈R ,f (x 1)-g (x 2) ≤8，得|(b -4)-4|≤8，且|(b +4)-(-4)|≤8，解得b =0，g (x )=4cos ωx -π3 =4sin ωx +π6 ，将f (x )=4sin ωx 的图象向右平移π3ω个单位长度后，得h (x )=4sin ωx -π3ω =4sin ωx -π3，在同一坐标系内作出函数y =g (x ),y =h (x )的图象，观察图象知，|AC |=2πω，取AC 中点D ，连接BD ，由对称性知|AB |=|BC |，BD ⊥AC ，由BA ⋅BC <0，得∠ABC >π2，即∠ABD >π4，|AD |>|BD |，由h (x )=g (x )，得sin ωx -π3 =sin ωx +π6 ，则ωx -π3+ωx+π6=π+2k π,k ∈Z ，解得ωx =712π+k π,k ∈Z ，于是y =4sin 712π+k π-π3=±22，则|BD |=42，因此πω>42，解得0<ω<2π8，所以ω的取值范围是0,2π8.故答案为：0,2π813在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∠ABC =2π3，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD =2，则a +4c 的最小值为．【答案】18【解析】如图所示，则△ABC 的面积为12ac sin 2π3=12a ⋅2sin π3+12c ⋅2sin π3，则ac =2a +2c ，所以1a +1c =12，显然a ,c >0，故a +4c =(a +4c )1a +1c ×2=2×5+4c a +a c ≥25+24c a ⋅a c=18，当且仅当4ca =a c 1a +1c =12，即a =6c =3时取等号.所以a +4c 的最小值为18.故答案为：18.14在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且2b sin A -3a =0.(1)求角B；(2)求sin A+sin C的取值范围.【解析】(1)∵2b sin A-3a=0，∴2sin A sin B-3sin A=0，又∵A∈0,π2,∴sin A≠0，∴sin B=32,B∈0,π2，∴B=π3.(2)由(1)可知，B=π3，且△ABC为锐角三角形，所以0<A<π20<C=2π3-A<π2，∴A∈π6,π2，则sin A+sin C=sin A+sin2π3-A=32sin A+32cos A=3sin A+π6，因为π3<A+π6<2π3，∴sin A+sin C∈32,3.15在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2b sin A-3a=0．(1)求角B的大小；(2)求cos A+cos C的取值范围．【解析】(1)因为2b sin A-3a=0，由正弦定理边化角得：2sin B sin A-3sin A=0，所以2sin B-3sin A=0，由于在△ABC中，sin A≠0，所以2sin B-3=0，即sin B=32，又0<B<π2，所以B=π3.(2)由(1)可知B=π3，所以A+C=2π3，所以cos A+cos C=cos A+cos2π3-A=cos A+cos2π3cos A+sin2π3sin A=cos A-12cos A+32sin A=12cos A+32sin A=sin A+π6由于在锐角△ABC中，0<2π3-A<π2 0<A<π2，所以π6<A<π2，所以π3<A+π6<2π3，所以sinπ3<sin A+π6≤sinπ2，所以32<sin A+π6≤1，所以cos A+cos C的取值范围为32,1.16已知锐角△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b2+c2-(b⋅cos C+c⋅cos B)2=bc，(1)求角A的大小；(2)如果该三角形外接圆的半径为3，求bc的取值范围．【解析】(1)∵b2+c2-b cos C+c cos B2=bc，由余弦定理可得b2+c2-b⋅a2+b2-c22ab+c⋅a2+c2-b22ac2=bc，化简整理得b2+c2-a2=bc，又b2+c2-a2=2bc cos A，∴cos A=12，又0<A<π2，所以A=π3.(2)因为三角形外接圆半径为R=3，所以b=23sin B，c=23sin C，∴bc=12sin B sin C，由(1)得B+C=2π3，所以bc=12sin B sin C=12sin B sin2π3-B=12sin B32cos B+12sin B=63sin B cos B+6sin2B=33sin2B+31-cos2B=632sin2B-12cos2B+3 =6sin2B-π6+3，因为△ABC是锐角三角形，且B+C=2π3，所以π6<B<π2，∴π6<2B-π6<5π6，∴12<sin2B-π6≤1，∴6<6sin2B-π6+3≤9，即6<bc≤9.所以bc的取值范围为6,9.17在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，cos2B-sin2B=-1 2．(1)求角B，并计算sin B+π6的值；(2)若b=3，且△ABC是锐角三角形，求a+2c的最大值．【解析】(1)由cos2B+sin2B=1cos2B-sin2B=-12，得cos2B=14，则cos B=±12，又0<B<π，所以B=π3或2π3.当B=π3时，sin B+π6=sinπ2=1；当B=2π3时，sin B+π6=sin5π6=12.(2)若△ABC为锐角三角形，则B=π3，有0<C<π20<A=2π3-C<π2，解得π6<C<π2.由正弦定理，得asin A=csin C=bsin B=332=2，则a=2sin A,c=2sin C，所以a+2c=2sin A+4sin C=2sin2π3-C+4sin C=232cos C+12sin C+4sin C=5sin C+3cos C=27sin(C+φ)，其中tanφ=35，又tanφ=35<33=tanπ6，所以0<φ<π6，则π3<C+φ<2π3，故当C+φ=π2时，sin(C+φ)取到最大值1，所以a+2c的最大值为27.18在△ABC中，D为BC边上一点，DC=CA=1，且△ACD面积是△ABD面积的2倍．(1)若AB=2AD，求AB的长；(2)求sin∠ADBsin B的取值范围．【解析】(1)设BC边上的高为AE，垂足为E，因为△ACD面积是△ABD面积的2倍，所以有S△ACDS△ABD=12CD⋅AE12BD⋅AE=2⇒BD=12⇒BC=32，设AB=2AD=x⇒AD=22x，由余弦定理可知：cos C=AC2+BC2-AB22AC⋅BC =AC2+DC2-AD22AC⋅DC⇒1+94-x22×1×32=1+1-12x22×1×1，解得x=1或x=-1舍去，即AB=1；(2)由(1)可知BD=12,BC=32，设∠ADC=θ，由DC=CA⇒∠DAC=∠ADC=θ⇒C=π-2θ且θ∈0,π2，由余弦定理可得：AD=12+12-2×1×1⋅cosπ-2θ=2+2cos2θ=2+22cos2θ-1=2cosθ，AB=12+32 2-2×1×32⋅cosπ-2θ=134+3cos2θ=134+32cos2θ-1=6cos2θ+1 4，在△ABD中，因为θ∈0,π2，所以由正弦定理可知：ABsin∠ADB =ADsin B⇒sin∠ADBsin B=ABAD=6cos2θ+142cosθ=14×24cos2θ+1cos2θ=14×24+1cos2θ，因为θ∈0,π2，所以cos θ∈0,1 ⇒cos 2θ∈0,1 ⇒1cos 2θ>1⇒24+1cos 2θ>25⇒24+1cos 2θ>5，于是有sin ∠ADB sin B >54，因此sin ∠ADB sin B 的取值范围为54,+∞ ..19记锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin B sin C +cos2C =1+cos2A -cos2B .(1)证明：B +C =2A ；(2)求c b的取值范围.【解析】(1)证明：由2sin B sin C +cos2C =1+cos2A -cos2B ，得2sin B sin C +1-2sin 2C =1+1-2sin 2A -1+2sin 2B ，即sin B sin C -sin 2C =-sin 2A +sin 2B ，由正弦定理可得bc -c 2=-a 2+b 2，即a 2=b 2+c 2-bc ，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，故cos A =12，又A ∈0,π2 ，故A =π3，由A +B +C =π，故B +C =π-A =2π3=2A ；(2)由正弦定理可得：c b=sin C sin B =sin π-A -B sin B =sin π3+B sin B =12sin B +32cos B sin B =12+32tan B ，又锐角△ABC 中，有0<B <π2，0<π-π3-B <π2，解得π6<B <π2，即tan B ∈33,+∞，即1tan B ∈0,3 ，故c b=12+32tan B ∈12,2 .20记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，若a +b +c a +b -c =3，且△ABC 的面积为334.(1)求角C ；(2)若AD =2DB ，求CD 的最小值.【解析】(1)∵a +b +c a +b -c =3，∴3=(a +b )2-c 2=a 2+b 2-c 2+2ab 结合余弦定理得3=2ab cos C +2ab =2ab 1+cos C ，∴ab =321+cos C ，∵S △ABC =12ab sin C =334，∴sin C 1+cos C =3，即2sin C 2cos C 2cos 2C 2=tan C 2=3，又∵C 2∈0,π2 ，∴C 2=π3，故C =2π3；(2)由(1)知：C =2π3,ab =321+cos C=3，∵AD =2DB ，∴CD =13CA +23CB ，∴CD 2=13CA +23CB 2=19b 2+49a 2+49ab cos C =19b 2+49a 2-23，又19b 2+49a 2-23≥219b 2⋅49a 2-23=2×23-23=23，当且仅当b =2a =6时，CD 长取最小值，此时CD =23=63，∴CD 长的最小值为63.21已知函数f x =12-sin 2ωx +32sin2ωx ω>0 的最小正周期为4π.(1)求f x 在0,π 上的单调递增区间；(2)在锐角三角形ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且2a -c cos B =b ⋅cos C ,求f A 的取值范围.【解析】(1)f x =12-sin 2ωx +32sin2ωx =12-1-cos2ωx 2+32sin2ωx =32sin2ωx +12cos2ωx =sin 2ωx +π6.因为T =2π2ω=4π,所以ω=14,故f x =sin 12x +π6.由-π2+2k π≤12x +π6≤π2+2k π,k ∈Z ,解得4k π-4π3≤x ≤4k π+2π3,k ∈Z ,当k =0时,-4π3≤x ≤2π3,又x ∈0,π ,所以f x 在0,π 上的单调递增区间为0,2π3.(2)由2a -c cos B =b ⋅cos C ,得(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C ,所以2sin A cos B =sin B cos C +cos B sin C =sin B +C =sin A .因为sin A ≠0,所以cos B =12,又B ∈0,π ,所以B =π3,又三角形为锐角三角形，则0<A <π20<2π3-A <π2，则π6<A <π2，所以π4<A 2+π6<5π12，又f A =sin A 2+π6，sin 5π12=sin π4+π6 =sin π4cos π6+cos π4sin π6=2+64，则22<sin A 2+π6 <2+64，所以f A 的取值范围为22,2+64.22已知在△ABC 中，1-cos A 2-sin A =0，(1)求A ；(2)若点D 是边BC 上一点，BD =2DC ，△ABC 的面积为3，求AD 的最小值.【解析】(1)因为1-cos A 2-sin A =0，所以sin 2A 2=sin A ，因为0<A 2<π2，sin A 2>0，则sin A 2=2sin A 2cos A 2，故cos A 2=12，所以A 2=π3，A =2π3，(2)因为BD =2DC ，则BD =2DC ，所以AD -AB =2AC -AD ，故AD =13AB +23AC ，因为△ABC 的面积为3，所以12bc sin A =3，所以bc =4|AD |2=13AB +23AC 2=19c 2+49b 2+49AB ⋅AC =19c 2+49b 2-29bc ≥49bc -29bc =89上式当且仅当c =2b ，即c =22，b =2时取得“=”号，所以AD 的最小值是223.23在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且满足2sin A +C cos A -sin C cos A =sin A cos C ．(1)求角A ；(2)若点D 在线段BC 上，且满足BD =3DC ,AD =3，求△ABC 面积的最大值．【解析】(1)由题意得2sin B cos A -sin C cos A =sin A cos C ，即2sin B cos A =sin A cos C +sin C cos A =sin B ，∵sin B ≠0，∴2cos A =1，∴cos A =12，又0<A <π,∴A =π3；(2)解法一：令DC =t ，则BD =3t ，∵cos ∠ADC =-cos ∠ADB ，∴AD 2+DC 2-AC 22AD ⋅DC =-AD 2+BD 2-AB 22AD ⋅BD ，即9+t 2-b 26t =-9+9t 2-c 218t ，∴12t 2=-36+3b 2+c 2①，又∵cos ∠BAC =12=b 2+c 2-16t 22bc ，∴16t 2=b 2+c 2-bc ②，∵联立①②，得144-3bc =9b 2+c 2≥6bc (当且仅当c =3b 时取等号)，即bc ≤16，∴S △ABC =12bc sin ∠BAC =34bc ≤43，∴△ABC 面积的最大值为43.解法二：依题意AD =14AB+34AC，∴AD 2=14AB+34AC 2=116AB 2+9AC 2+6AB ⋅AC，即9=116AB 2+9AC 2+6AB AC cos π3=116AB 2+9AC 2+3AB AC，∵AB 2+9AC 2≥6AB AC (当且仅当AB =3AC 时取等号)，∴AB AC ≤16，∴S △ABC =12AB ACsin ∠BAC ≤34×16=43，∴△ABC 面积的最大值为43．24已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，向量m =a +b ,c ,n =sin A -sin C ,sin A -sin B ，且m ⎳n ．(1)求B ；(2)求b 2a 2+c 2的最小值．【解析】(1)因为m ⎳n ，所以a +b sin A -sin B =c sin A -sin C ，由正弦定理可得a +b a -b =c a -c 即a 2-b 2=ac -c 2，故a 2+c 2-b 2=ac ，所以cos B =a 2+c 2-b 22ac =12，而B 为三角形内角，故B =π3.(2)结合(1)可得：b2a2+c2=a2+c2-aca2+c2=1-aca2+c2,1-aca2+c2≥1-ac2ac=1-12=12，当且仅当a=c时等号成立，故b2a2+c2的最小值为12.25已知△ABC为钝角三角形，它的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sin2C=sin2B+sinπ3+Bcosπ6+B，a<c，b<c．(1)求tan(A+B)的值；(2)若△ABC的面积为123，求c的最小值．【解析】(1)因为sin2C=sin2B+sinπ3+Bcosπ6+B=sin2B+12sinπ2+2B+sinπ6=sin2B+12cos2B+12=sin2B+121-2sin2B+14=34，因为sin C>0，所以sin C=3 2，由△ABC为钝角三角形且a<c，b<c知，C为钝角，所以cos C=-12，即tan C=-3，所以tan(A+B)=tanπ-C=-tan C=3.(2)因为S△ABC=12ab sin C=34ab=123，所以ab=48，由余弦定理，c2=a2+b2-2ab cos C=a2+b2+ab≥3ab=144，当且仅当a=b=43时，等号成立，此时c2的最小值为144，所以c的最小值为12.。

解三角形中的最值、范围问题--高考数学【解析版】

专题25 解三角形中的最值、范围问题近几年高考对解三角形问题考查，大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.与平面几何相结合的问题，要注重几何图形的特点的利用.由于新教材将正弦定理、余弦定理列入平面向量的应用，与平面向量相结合的命题将会出现.另外，“结构不良问题”作为实验，给予考生充分的选择空间，充分考查学生对数学本质的理解，引导中学数学在数学概念与数学方法的教学中，重视培养数学核心素养，克服“机械刷题”现象．同时，也增大了解题的难度.【重点知识回眸】（一）余弦定理变形应用：变式()()2221cos a b c bc A =+-+在已知,a A 的情况下，配合均值不等式可得到b c +和bc 的最值（二）三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：sin sin cos cos a b A B A B A B >⇔>⇔>⇒<其中由cos cos A B A B >⇔<利用的是余弦函数单调性，而sin sin A B A B >⇔>仅在一个三角形内有效.（三）解三角形中处理不等关系的几种方法 1．三角形中的最值、范围问题的解题策略和步骤（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值）（2）利用均值不等式求得最值（3）①定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围．②构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示．③求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值． 2．求解三角形中的最值、范围问题的注意点(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．(2)注意题目中的隐含条件，如A ＋B ＋C ＝π，0＜A ＜π，b －c ＜a ＜b ＋c ，三角形中大边对大角等．【典型考题解析】热点一三角形角(函数值)相关的最值(范围)问题【典例1】（2021·山西·祁县中学高三阶段练习（理））在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若sin a c B =，则tan A 的最大值为（） A ．1 B ．32C ．43D ．54【答案】C【分析】先由正弦定理化简得111tan tan C B+=，结合基本不等式求得tan tan 4B C ≥，再由正切和角公式求解即可.【详解】在ABC 中，sin a c B =，所以sin sin sin A C B =，又()sin sin A B C =+，整理得：sin cos cos sin sin sin B C B C B C +=，又sin sin 0B C ≠，得到111tan tan C B+=，因为角A 、B 、C 为锐角，故tan A 、tan B 、tan C 均为正数，故112tan tan B C≥整理得tan tan 4B C ≥，当且仅当tan tan 2B C ==时等号成立，此时tan tan tan tan 1tan tan()11tan tan 1tan tan 1tan tan B C B CA B C B C B C B C+⋅=-+=-=-=---⋅，当tan tan B C 取最小值时，1tan tan B C 取最大值，11tan tan B C-取最小值，故111tan tan B C-⋅的最大值为43，即当tan tan 2B C ==时，tan A 的最大值为43．故选：C ．【典例2】（2021·河南·高三开学考试（文））ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin tan sin sin A A B C =，则cos A 的最小值为________. 【答案】23【分析】先根据题目条件和正弦定理得到2cos a A bc=，结合cos A 的余弦定理表达式，得到,,a b c 的关系，利用此关系求cos A 的最小值.【详解】由条件可知，2sin cos sin sin A A B C=，由正弦定理得2cos a A bc =，由余弦定理得，2222cos 2b c a a A bc bc +-==，化简可得2223a b c =+.所以222222223cos 2333b c b c b c bc A bc bc bc ++-+==≥=，当且仅当b c =时取得等号，cos A 取得最小值23. 故答案为：23【典例3】（2020·浙江·高考真题）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 30b A a =．（I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．【答案】（I ）3B π=；（II ）3132⎤+⎥⎝⎦ 【解析】【分析】（I ）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B 的大小；（II ）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A 的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A 的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cos cos cos A B C ++的取值范围. 【详解】（I ）[方法一]：余弦定理由2sin 3b A a =，得222233sin 4a a A b ==⎝⎭，即22231cos 4a A b -=．结合余弦定222cos 2b c a A bc +-=，∴2222223124b c a a bc b ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，即224442222222242223b c b c a b c b a c a a c ----++=, 即444222222220a b c a c a b b c +++--=, 即44422222222222a b c a c a b b c a c +++--=,即()()22222a c b ac +-=,∵ABC 为锐角三角形，∴2220a c b +->， ∴222a c b ac +-=，所以2221cos 22a c b B ac +-==，又B 为ABC 的一个内角，故3B π=．[方法二]【最优解】：正弦定理边化角由2sin 3b A a =，结合正弦定理可得：32sin sin 3,sin B A A B =∴=ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ）[方法一]：余弦定理基本不等式因为3B π=，并利用余弦定理整理得222b a c ac =+-，即223()ac a c b =+-．结合22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，得2a c b +≤．由临界状态（不妨取2A π=）可知3a cb+= 而ABC 为锐角三角形，所以3a cb+> 由余弦定理得2222221cos cos cos 222b c a a b c A B C bc ab+-+-++=++， 222b a c ac =+-，代入化简得1cos cos cos 12a c A B C b +⎛⎫++=+⎪⎝⎭ 故cos cos cos A B C ++的取值范围是3132⎤+⎥⎝⎦．[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质结合(1)的结论有： 12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭131cos cos 22A A A =-+311cos 22A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则3sin 6A π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，1313sin 622A π⎤+⎛⎫++∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦. 即cos cos cos A B C ++的取值范围是3132⎤+⎥⎝⎦.【整体点评】（I ）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得222a c b ac +-=，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II ）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解. 【总结提升】求角(函数值)的最值(范围)问题一般先将边转化为角表示，再根据三角恒等变换及三角形内角和定理转化为一个角的一个三角函数表示，然后求解．热点二三角形边(周长)相关的最值(范围)【典例4】（2018·北京·高考真题（文））若ABC 2223)a c b +-,且∠C 为钝角，则∠B =_________；ca的取值范围是_________. 【答案】 60 (2,)+∞ 【解析】【分析】根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得tan 3B =3B π∠=；再利用()sin sin C A B =+，将问题转化为求函数()f A 的取值范围问题. 【详解】)22231sin 2ABC S a c b ac B ∆=+-=， 22223a c b ac +-∴=cos 3B =sin 3,cos 3B B B π∴∠=，则231sin cos sin sin 311322sin sin sin tan 2A A Ac C a A A A A π⎛⎫⎛⎫---⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====+， C ∴∠为钝角，,036B A ππ∠=∴<∠<，)31tan ,3,tan A A ⎛∴∈∈+∞ ⎝⎭，故()2,ca∈+∞.故答案为3π，()2,+∞. 【典例5】（2022·全国·高考真题（理））已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当ACAB取得最小值时，BD =________． 31##3-【解析】【分析】设220CD BD m ==>，利用余弦定理表示出22AC AB 后，结合基本不等式即可得解.【详解】设220CD BD m ==>，则在ABD △中，22222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+-⋅∠=++，在ACD △中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+-⋅∠=+-，所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m mm m ++-++-===-+++++++ ()44233211m m ≥=-+⋅+，当且仅当311m m +=+即31m =时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，31m =. 31.【典例6】（2018·江苏·高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________．【答案】9 【解析】【详解】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c =++=，因此11444(4)()5529,c a c a a c a c a c a c a c+=++=++≥+⋅当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.【典例7】（2020·全国·高考真题（理））ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值. 【答案】（1）23π；（2）33+ 【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；（2）方法一：利用余弦定理可得到()29AC AB AC AB +-⋅=，利用基本不等式可求得AC AB +的最大值，进而得到结果. 【详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈，23A π∴=. （2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式由余弦定理得：2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅229AC AB AC AB =++⋅=，即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号）， ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：3AC AB +≤AC AB =时取等号），ABC ∴周长323L AC AB BC =++≤+ABC ∴周长的最大值为33+[方法二]：正弦化角（通性通法）设,66ππαα=+=-B C ，则66ππα-<<，根据正弦定理可知23sin sin sin a b cA B C===23(sin sin )b c B C +=+23sin sin 66ππαα⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦233α=≤当且仅当0α=，即6B C π==时，等号成立．此时ABC 周长的最大值为33+ [方法三]：余弦与三角换元结合在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．由余弦定理得229b c bc =++，即2213924⎛⎫++= ⎪⎝⎭b c c ．令13sin ,20,223b c c θπθθ⎧+=⎪⎛⎫∈⎨ ⎪⎝⎭⎪=⎩，得3sin 3b c θθ+==23236πθ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭6C π=时，max ()23b c +=所以ABC 周长的最大值为323+ 【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值. 方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.【典例8】（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c+的最小值．【答案】(1)π6；(2)425．【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cos sin 21sin 1cos2A BA B=++化成()cos sin A B B +=，再结合π02B <<，即可求出；（2）由（1）知，π2C B =+，π22A B =-，再利用正弦定理以及二倍角公式将222a b c +化成2224cos 5cos B B +-，然后利用基本不等式即可解出． (1) 因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B B A B B B ===++，即()1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A BC =-=+=-=，而π02B <<，所以π6B =；(2)由（1）知，sin cos 0B C =->，所以πππ,022C B <<<<，而πsin cos sin 2B C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以π2C B =+，即有π22A B =-．所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B Bc C B+++-==()2222222cos11cos 24cos 5285425cos cos B BB BB-+-==+-≥=．当且仅当22cos B =222a b c +的最小值为425．【规律方法】求边(周长)的最值(范围)问题一般通过三角中的正、余弦定理将边转化为角的三角函数值，再结合角的范围求解，有时也可将角转化为边，利用均值不等式或函数最值求解．热点三求三角形面积的最值(范围)【典例9】（2023·山西大同·高三阶段练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2b A a c =+，且2b =，则ABC 面积的最大值为___________. 3133【分析】利用余弦定理进行角化边后，结合基本不等式，三角形面积公式求解.【详解】由余弦定理，2cos 2b A a c =+可化为222222b c a b a c bc +-⋅=+，整理可得2224c a ac b ++==，由余弦定理2221cos 22a cb B ac +-==-，又(0,)B π∈，故23B π=，根据基本不等式22423a c ac ac ac ac =++≥+=，23a c ==取得等号，故133sin 243ABC S ac B ac ==≤，即ABC 面积的最大值为33. 故答案为：33. 【典例10】（2022·全国·高三专题练习）已知A ，B ，C 分别是椭圆22143x y +=上的三个动点，则ABC 面积最大值为_____________. 【答案】92##4.5【分析】作变换'2'3x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩之后椭圆变为圆，方程为224x y '+'=，A B C '''是圆的内接三角形，圆的内接三角形面积最大时为等边三角形，则ABC A B C S bS a'''=，求出A B C S '''，代入即可得出答案. 【详解】作变换'2''3x x y y y =⎧⎪⎨==⎪⎩之后椭圆变为圆，方程为224x y '+'=， A B C '''是圆的内接三角形，设A B C '''的半径为R ，设,,A B C '''所对应边长为,,a b c '''，所以 211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22A B C Sa b C R A R B C R A B C ''''''''''==⋅⋅⋅=⋅⋅'' 32sin sin sin 23A B C R ++⎛⎫≤ ⎝''⎪⎭'，当且仅当3A B C π===时取等，因为sin y x =在()0,π上为凸函数，则sin sin sin sin 33A B C A B C ''''+'+≤'++，3332222sin sin sin 3322sin 2sin 3334A B C A B C A B C SR R R R π'''++++⎛⎫'⎛⎫⎛⎫=≤==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭'''''，当且仅当3A B C π===时取等，所以圆的内接三角形面积最大时为等边三角形，因此2333343344A B C S R '''==⨯=，又因为ABC A B C S b S a '''=， ∴393322ABC A B C b SS a'''==⨯=. 故答案为：92.【典例11】（2019·全国·高考真题（理））ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．【答案】(1) 3B π=;(2)33(). 【解析】【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B 的三角方程，最后根据A,B,C 均为三角形内角解得3B π=.(2)根据三角形面积公式1sin 2ABCSac B =⋅，又根据正弦定理和1c =得到ABCS 关于C 的函数，由于ABC 是锐角三角形，所以利用三个内角都小于2π来计算C 的定义域，最后求解()ABCS C 的值域.【详解】 (1)根据题意sin sin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sinsin 2A CB +=． 0<B π<，02AC π+<<因为故2A C B +=或者2A C B π++=，而根据题意A B C π++=，故2A CB π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B π=，所以3B π=.(2)因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=，故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =，由三角形面积公式有：222sin()111sin 33sin sin sin 222sin sin ABCC a A Sac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅22sincos cos sin 3321231333(sin cos )sin 3tan 38tan C CC C C ππππ--= 又因3,tan 62C C ππ<<>331338tan C << 33ABCS <<. 故ABCS的取值范围是33(【典例12】（2021·河北省曲阳县第一高级中学高三阶段练习）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，)sin 3cos b C a b C =-.(1)求角B 的大小；(2)若点D 满足=a AD cDC ，且||23BD =ABC 面积的最小值. 【答案】(1)π3B = (2)43【分析】（1）由正弦定理把边化为角，再结合三角恒等变换即可求解；（2）由题意得||||=a DC c AD ，进而利用三角面积可转化1sin ||21||sin 2⋅⋅⋅∠===⋅⋅⋅∠△△BCD ABD BC BD DBC DC S BC S AB AD AB BD ABD ，从而有sin sin ∠=∠DBC ABD ，再由面积公式与基本不等式求解即可（1）因为()sin 3cos b C a b C =-，所以()sin sin 3sin sin cos B C A B C =-. 因为sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，所以sin sin 3(sin cos cos sin sin cos )3cos sin =+-=B C B C B C B C B C . 因为sin 0C ≠，所以tan 3B =. 又因为0πB <<，所以π3B =.（2）因为=a AD cDC ，所以点D 在线段AC 上，且||||=a DC c AD . 因为1sin ||21||sin 2⋅⋅⋅∠===⋅⋅⋅∠△△BCDABDBC BD DBC DC S BC S AB AD AB BD ABD ，所以sin sin ∠=∠DBC ABD ，即BD 为ABC ∠的角平分线. 由（1）得π3B =，所以π6ABD CBD ∠=∠=. 由ABC ABD BCD S S S =+△△△，得1π1π1πsin sin sin 232626ac a BD c BD =⋅+⋅，即2()4=+≥ac a c ac ，得16≥ac ，当且仅当a c =时，等号成立，11sin 16sin 432323=≥⨯=△ABC S ac ππ.故ABC 面积的最小值为43. 【规律方法】求三角形面积的最值(范围)的两种思路(1)将三角形面积表示为边或角的函数，再根据条件求范围．(2)若已知三角形的一个内角(不妨设为A)，及其对边，则可根据余弦定理，利用基本不等式求bc 的最值从而求出三角形面积的最值．【精选精练】一、单选题1．（2022·上海市松江一中高三阶段练习）在ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，B 是A 、C 的等差中项，则a c +与2b 的大小关系是（）A ．2a c b +>B ．2a c b +<C ．2a c b +≥D ．2a c b +≤【答案】D【分析】根据等差中项的性质及内角和的性质求出B ，再由余弦定理及基本不等式计算可得.【详解】解：依题意，在ABC 中B 是A 、C 的等差中项，所以2A+C =B ，又A C B π++=，所以3B π=，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-()22222233a c ac a c ac ac a c ac =+-=++-=+-，又22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a c =时取等号，所以2332a c ac +⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭，所以()()()222213324a c a c ac a c a c +⎛⎫+-≥+-=+ ⎪⎝⎭，即()2214b ac ≥+，即()224b a c ≥+，所以2a c b +≤；故选：D2．（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知ABC 的内角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，内角A 的角平分线交边BC 于D 点，且 4=AD ．若(2)cos cos 0b c A a C ++=，则ABC 面积的最小值是（） A ．16 B ．3C ．64 D ．643【答案】B【分析】利用正弦定理及诱导公式可得23A π=，然后利用三角形面积公式及基本不等式即得. 【详解】∵(2)cos cos 0b c A a C ++=， ∴2sin cos sin cos sin cos 0B A C A A C ++=，即()2sin cos sin 2sin cos sin 0B A C A B A B ++=+=，又()0,B π∈，sin 0B >，∴2cos 10A +=，即1cos 2A =-，又()0,A π∈，∴23A π=，由题可知ABCABDACDS SS=+，4=AD ，所以1211sin4sin 4sin 232323bc c b πππ=⨯+⨯，即()4bc b c =+，又()48bc b c bc =+≥，即64bc ≥，当且仅当b c =取等号，所以1213sin 641632322ABCSbc π=≥⨯⨯=. 故选：B.3．（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（理））在等腰ABC 中，AB ＝AC ，若AC 边上的中线BD 的长为3，则ABC 的面积的最大值是（） A ．6 B ．12C ．18D ．24【答案】A【分析】利用余弦定理得到边长的关系式，然后结合勾股定理和基本不等式即可求得ABC 面积的最大值．【详解】设2AB AC m ==，2BC n =，由于ADB CDB π∠=-∠，在ABD △和BCD △中应用余弦定理可得：2222949466m m m n m m+-+-=-，整理可得：2292m n =-，结合勾股定理可得ABC 的面积：22222111()2434222S BC AC BC n m n n n =⨯-=⨯⨯-=- 222243(43)62n n n n +-=-≤⨯=，当且仅当22n =时等号成立．则ABC 面积的最大值为6．故选：A.4．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒ ，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a c + 的最小值为（） A ．8 B ．9 C ．10 D ．7【答案】B【分析】根据三角形面积可得到111a c +=，将4a c +变为11(4)()a c a c++，展开后利用基本不等式，即可求得答案.【详解】由题意得111sin120sin 60sin60222ac a c =+ ，即ac a c =+ ，得111a c+=，得 114(4)()a c a c a c +=++45c a a c =++≥425459c aa c⋅+=+=，当且仅当4c aa c=，即23c a ==时，取等号，故选：B ．二、多选题5．（2020·全国·高三专题练习）如图，ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为),,3cos cos 2sin a b c a C c A b B +=，且3CAB π∠=.若D 是ABC 外一点，1,3DC AD ==，则下列说法中正确的是（）A ．ABC 的内角3B π= B ．ABC 的内角3C π=C ．四边形ABCD 533 D ．四边形ABCD 面积无最大值【答案】AB【分析】根据正弦定理进行边化角求角B ，从而判断选项A ，B 正确；把四边形ABCD 的面积表示成ADC ∠的三角函数，从而根据三角函数求最值【详解】因为()3cos cos 2sin a C c A b B +=，所以由正弦定理，得()23sin cos sin cos 2sin A C C A B +=，所以()23sin 2sin A C B +=，又因为A B C π++=，所以()sin sin A C B +=，所以23sin 2sin B B = 因为sin 0,B ≠所以3sin 2B =，又因为3CAB π∠=，所以20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3B π=，所以3C A B ππ=--=，因此A ，B 正确；四边形ABCD 面积等于231sin 42ABC ACDS SAC AD DC ADC +=+⋅⋅∠()22312cos sin 42AD DC AD DC ADC AD DC ADC =⨯+-⋅⋅∠+⋅⋅∠ ()31916cos 3sin 42ADC ADC =⨯+-⋅∠+⨯∠ 533sin 23ADC π⎛⎫=+∠- ⎪⎝⎭，所以当32ADC ππ∠-=即sin 13ADC π⎛⎫∠-= ⎪⎝⎭时，ABCACDSS+取最大值5332+，所以四边形ABCD 面积的最大值为5332+，因此C ，D 错误故选：AB6．（2022·云南·高三阶段练习）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，13AA =，点M 满足12A M MA =，点P 在底面ABCD 的边界及其内部运动，且满足4AMP π∠≤，则下列结论正确的是（）A ．点P 所在区域面积为4πB ．线段1PC 17C ．有且仅有一个点P 使得1MP PC ⊥D ．四面体11P A CD -的体积取值范围为[6,8]【答案】AD【分析】A 选项，由1MA AP ==时，MP 与底面ABCD 的所成角4πθ=求解判断； B 选项，若PC 取最小值时，则线段1PC 长度最小，由A ，P ，C 三点共线求解判断； C 选项，由点P 与点F 重合，由点P 与点E 重合，利用余弦定理求解判断；，D 选项，由点P 位于AE 上时，此时点P 到平面11A CD 的距离最大，当P与点F 重合时，此时点P 到平面11A CD 的距离最小求解判断. 【详解】如图所示：A 选项，当1MA AP ==时，MP 与底面ABCD 的所成角4πθ=，故点P 所在区域为以A 为圆心，1为半径的圆在正方形ABCD 内部部分（包含边界弧长），即圆的14，面积为211144π⨯=π，A 正确；B 选项，当PC 取最小值时，线段1PC 长度最小，由三角形两边之和大于第三边可知：当A ，P ，C 三点共线时，PC 取得最小值，即min ||421PC =-，则221min (421)34282PC =-+=-，B 错误； C 选项，不妨点P 与点F 重合，此时2221134PC FB BC C C =++=，由余弦定理得：1cos MFC ∠=22211123436022234MF C F C M MF C F +-+-==⋅⨯⨯，则12MFC π∠=，同理可得：12MEC π∠=，故多于一个点P 使得1MP PC ⊥，C 错误；D 选项，当点P 位于AE 上时，此时点P 到平面11A CD 的距离最大，最大距离341255AH ⨯==，此时四面体11P A CD -的体积为11111124583325A CD S AH ⋅=⨯⨯⨯⨯=△，当P 与点F 重合时，此时点P 到平面11A CD 的距离最小，最小距离为FK ，因为BFK BAH ∽△△，所以34FK AH =，所以最小体积为3864⨯=，故四面体11P A CD -的体积取值范围为[]6,8 ，D 正确，故选：AD ．三、填空题7．（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin sin 2B Cb a B +=，2a =△ABC 周长的最大值为________．【答案】32【分析】根据正弦定理，结合三角恒等变换可得3A π=，再根据余弦定理与基本不等式求解周长最大值即可.【详解】由正弦定理，sin sin 2B C b a B +=即sin sin sin sin 22A B A B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又sin 0B ≠，故sin sin 22A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即cossin 2AA =. 由二倍角公式有cos2sin cos 222A A A =，因为0,22A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故cos 02A ≠，所以1sin 22A =，所以26A π=，即3A π=.由余弦定理22222cos 3b c bc π=+-，结合基本不等式有()()2222332b c b c bc b c +⎛⎫=+-≥+-⨯ ⎪⎝⎭，即()2124b c +≤，()28b c +≤，故22b c +≤，当且仅当2b c ==时取等号. 故△ABC 周长的最大值为a b c ++的最大值为22232+=. 故答案为：328．（2021·江西南昌·高三阶段练习）已知ABC 的内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且满足2224,4c c a b ==+，则ABC 的面积取得最大值时，cos C =______．【答案】33434-【分析】根据余弦定理结合同角三角函数的关系可得sin C ，进而表达出ABCS ，结合基本不等式求解ABCS的最值，进而求得cos C 即可.【详解】由余弦定理，()222222243cos 222a b a b a b c b C ab ab a+-++-===-，又()0,C π∈，故2222349sin 1cos 122b a b C C a a -⎛⎫=-=--=⎪⎝⎭，故 2222114949sin 2224ABCa b b a b Sab C ab a --===. 又222416a b c +==，故()2222416496425564254420ABCb b b b b b b S----===222564258405b b +-≤=，当且仅当22256425b b =-，即425b =时取等号. 此时2322721642525a =-⨯=，即4175a =. 故ABC 的面积取得最大值时，42333345cos 23441725b C a ⨯=-=-=-⨯. 故答案为：33434-【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方9．（2021·河南·高三开学考试（理））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin tan sin sin A A B C =，则sin A 的最大值为________，此时cos B =________．【答案】5366【分析】由已知条件结合正余弦定理可得2223b c a +=，再利用余弦定理结合基本不等式可求出cos A 的最小值，从而可求出sin A 的最大值，则可求出cos2B ，再利用二倍角公式可求出cos B . 【详解】由条件可知，2sin cos sin sin AA B C=，由正弦定理得2cos a A bc =，由余弦定理得，2222cos 2b c a a A bc bc+-==，则2223a b c =+．所以222222223cos 2333b c b c b c bc A bc bc bc ++-+==≥=，当且仅当b c =时取得等号，cos A 取得最小值23．因为()0,A π∈，所以25sin 1cos 3A A =-≤，当且仅当b c =时取得等号，故sin A 的最大值为53．此时B C =，所以2cos2cos()cos 3B A A π=-=-=-，所以222cos 13B -=-，因为角B 为锐角，所以6cos 6B =．故答案为：53，66 10．（2022·全国·高三专题练习）ABC 的外接圆半径为1，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若cos cos 3a B b A +=0CA CB ⋅<，则C ∠=________；32a b +的最大值为_________【答案】23π27 【分析】由余弦定理求得c ，由向量数量积可得C 为锐角，再由正弦定理结合外接圆半径可求得C ，用正弦定理把32a b +表示为A 的三角函数，利用两角和与差的正弦公式变形化函数为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数性质得最大值．【详解】222222cos cos 322a c b c b a a B b A a b c ac cb+-+-+=⋅+⋅==,又22sin c R C ==，所以3sin 2C =， 0CA CB ⋅<，所以C 是钝角，所以23C π=，由2sin sin a bA B==得2sin a A =，2sin b B =， 326sin 4sin 6sin 4sin()3a b A B A A π+=+=+-316sin 4(cos sin )4sin 23cos 22A A A A A =+-=+2327(sin cos )77A A =+，设2cos 7ϕ=，3sin 7ϕ=（ϕ为锐角），则3227sin()a b A ϕ+=+，由23C π=得03A π<<，31sin 27ϕ=>，ϕ为锐角，则62ππϕ<<，所以2A πϕ=-时，32a b +取得最大值27．故答案为：23π；27．四、解答题11．（2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习）在ABC 中，4tan ,3CAB D ∠=为BC 上一点，32=AD(1)若D 为BC 的中点，32BC =ABC 的面积；(2)若45DAB ∠=︒，求ABC 的面积的最小值. 【答案】(1)9 (2)92【分析】（1）根据中线向量公式可得,b c 关系，结合余弦定理可求452bc =，从而可求面积. （2）根据不同三角形的面积关系可得34355b c bc +=，利用基本不等式可求bc 的最小值，从而可求面积的最小值. （1）因为D 为BC 的中点，所以()12AD AB AC =+， ()222124AD AB AC AB AC ∴=++⋅. 记角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，因为4tan 3A =，故A 为锐角，所以43sin ,cos 55CAB CAB ∠∠==，则221318245c b bc ⎛⎫=++⋅ ⎪⎝⎭. 又由余弦定理得：2231825c b bc =+-⋅两式联立解得：452bc =，所以11454sin 92225ABCS bc CAB ∠==⨯⨯=. （2）445,tan 3DAB A ∠==，()41113tan tan ,sin 475213CAD CAB DAB CAD ∠∠∠∠-∴=-===+， 1132sin 32sin 22ABCCAD BADSSSb CADc DAB ∠∠=+=⋅+⋅ 1sin 2bc CAB ∠=，即34355b c bc +=，即34345323,5554b c bc b c bc +=≥⋅≥（当且仅当153,22b c ==时取得最小值）所以114549sin 22452ABCSbc CAB ∠=≥⨯⨯=.12．（2022·广东广州·高三开学考试）在ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()2a b b c +=.(1)求证：2C B =； (2)求4cos a bb B+的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)43【分析】（1）由已知及余弦定理可推出2cos b a b C =-,利用正弦定理边化角结合两角和差的正弦公式化简可得()sin sin B C B =-，即可证明结论；（2）利用（1）的结论将4cos a b b B +边化角，结合三角恒等变换可得43=4cos cos cos a b B b B B++，由基本不等式可求得答案. （1）证明：在ABC 中，由已知及余弦定理，得()2222cos a b b c a b ab C +==+-，即2cos b a b C =-,由正弦定理，得sin sin 2sin cos B A B C =-，又()πA B C =-+，故()sin sin 2sin cos sin cos cos sin 2sin cos B B C B C B C B C B C =+-=+-cos sin sin cos B C B C =-()sin C B =-.∵()0sin sin B C B <=-，∴0πC B C <-<<, ∵()πB C B C +-=<，∴B C B =-，故2C B =. （2）由（1）2C B =得()30,πB C B +=∈，∴π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1cos ,12B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（1）()12cos a b C =+，2C B =得()2522cos 1452cos 52cos 2cos cos cos cos B a b C B b B B B B+-+++===334cos 24cos 43cos cos B B B B =+≥⋅=，当且仅当ππ0,63B ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时等号成立，所以当π6B =时，4cos a bb B+的最小值为43.13．（2022·广东·高三开学考试）已知锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对边为a 、b 、c ，tan tan 33B C ++=(1)求角A ；(2)若4a =，求b c +的取值范围．【答案】(1)π3A = (2)(43,8⎤⎦【分析】（1）利用两角和的正切公式及诱导公式计算可得；（2）利用正弦定理将边化角，再转化为关于B 的三角函数，根据B 的取值范围及正弦函数的性质计算可得. （1）解：因为tan tan 33tan tan B C B C++=，所以tan tan 33tan tan B C B C ++=，所以tan tan 3(tan tan 1)B C B C +=-，从而tan tan 31tan tan B CB C +=--，即tan()3B C +=-，所以tan 3A =，因为(0,π)A ∈，所以π3A =．（2）解：因为4a =，π3A =，由正弦定理，有83sin sin sin 3b c a B C A ===所以83sin 3b B =，83832π833143sin sin cos sin 4cos sin 3333223c C B B B B B ⎛⎫⎛⎫==-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π43sin 4cos 8sin 6b c B B B ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，又因为ABC 为锐角三角形，所以π022ππ032B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，即ππ62B <<，所以ππ2π363B <+<，所以3πsin 126B ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，从而b c +的取值范围为(43,8⎤⎦． 14．（2022·河南·高三开学考试（文））已知,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 所对的边，且()()sin sin sin sin a c b A C B c B +--+=(1)求角A 的大小；(2)若23a =ABC 面积的最大值.【答案】(1)3π； (2)33.【分析】（1）由正弦定理化角为边，再利用余弦定理及特殊角的三角函数即得；（2）由余弦定理表示出,a b 关系，再由基本不等式得出ab 的最大值，从而可得面积最大值；或利用正弦定理边角互化，然后利用三角恒等变换及三角函数的性质即得．（1）在ABC 中，由题意及正弦定理得()()a c b a c b bc +--+=，整理得222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，因为0A π<<，所以3A π=；（2）方法一：由（1）知，3A π=，又23a =，所以22122b c bc bc bc bc =+--=，所以12bc ，当且仅当23b c ==时，等号成立，所以()max 113sin 1233222ABC Sbc A ==⨯⨯=；方法二：由（1）知，3A π=，又23a =，所以由正弦定理，知234sin sin sin sin3a b c A B C π====，所以4sin ,4sin b B c C ==，所以13sin 8sin sin 43sin sin 22ABCSbc A B C B C ==⨯=，又因为23B C π+=，所以23143sin sin 43sin sin 43sin cos sin 322B C B B B B B π⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31cos223sin222B B ⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭23sin 236B π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，因为23B C π+=，所以270,23666B B ππππ<<-<-<，所以当262B ππ-=，即3B π=时，ABC 的面积取得最大值，最大值为33.15．（2022·上海·模拟预测）在如图所示的五边形中，620AD BC AB ===，，O 为AB 中点，曲线CMD 上任一点到O 距离相等，角120DAB ABC ∠=∠=︒，P ，Q 关于OM 对称；(1)若点P 与点C 重合，求POB ∠的大小； (2)求五边形MQABP 面积S 的最大值，【答案】(1)33arcsin 14(2)2874【分析】（1）利用余弦定理求出OC ，再利用正弦定理即可得出答案；（2）根据题意可得,QOMPOMAOQBOPS SSS==，则()2AOQQOMMQABP S SS=+五边形，设QOM POM α∠=∠=，则2AOQ BOP πα∠=∠=-，根据三角形的面积公式结合三角函数的性质即可得出答案.(1)解：若点P 与点C 重合，连接OC ，10,6,120OB BC BP ABC ===∠=︒，在OBP 中，2222cos 1003660196OC OB BP OB BP OBP =+-⋅∠=++=，所以14OC =，因为sin sin BC OCPOB OBP=∠∠，所以36sin 332sin 1414BC OBPPOB OC ⨯⋅∠∠===，所以33arcsin14POB ∠=；(2)解：连接,,,QA PB OQ OP ，因为曲线CMD 上任一点到O 距离相等，所以14OP OQ OM OC ====，因为P ，Q 关于OM 对称，所以,QOMPOMAOQBOPSSSS==，设QOM POM α∠=∠=，则2AOQ BOP πα∠=∠=-，则()2AOQQOMMQABP S SS=+五边形112sin sin 222OQ OA OQ OM παα⎡⎤⎛⎫=⋅⋅-+⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦196sin 140cos αα=+()2874sin αϕ=+，其中5tan 7ϕ=，当()sin 1αϕ+=时，MQABP S 五边形取得最大值2874，所以五边形MQABP 面积S 的最大值为2874.16．（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）在平面四边形ABCD 中，30CBD ∠=，4BC =，23BD = (1)若ABD △为等边三角形，求ACD △的面积． (2)若60BAD ∠=，求AC 的最大值．【答案】(1)3 (2)232+【分析】（1）利用余弦定理求出CD 的长，结合勾股定理可知90BDC ∠=，进而可求得ADC ∠的大小，利用三角形的面积公式可求得ACD △的面积；（2）设()0120ADB αα∠=<<，利用正弦定理可得出AD ，利用余弦定理可得出2AC 关于α的表达式，利用三角恒等变换结合正弦型函数的基本性质可求得AC 的最大值. （1）解：在BCD △中，由余弦定理，得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅⋅∠．即231612242342CD =+-⨯⨯⨯=，所以2CD =，所以222BD CD BC +=，因此90BDC ∠=，因为ABD △为等边三角形，所以60ADB ∠=，23AD BD ==，所以150ADC ∠=．所以111sin 2323222ACD S AD CD ADC =⋅⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△.（2）解：设()0120ADB αα∠=<<，则120ABD α∠=-，在ABD △中，由正弦定理得sin sin AD BDABD BAD=∠∠，即()23sin60sin 120AD α=-，所以()4sin 120AD α=-．在ACD △中，由余弦定理，得2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅∠， ()()()224sin 120424sin 1202cos 90AC ααα⎡⎤=-+-⨯-⨯⨯+⎣⎦ 231314cos sin 16cos sin sin 483sin2162222αααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 0120α<<，则02240α<<，故当290α=时，即当45α=时，2AC 取到最大值8316+，即AC 的最大值为232+.17．（2023·河北·高三阶段练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4b =，在 ①()(sin sin )(sin sin )b c B C A C a +-=-，②cos2()3cos 1A C B ++= 两个条件中任选一个完成以下问题： (1)求B ；(2)若D 在AC 上，且BD AC ⊥，求BD 的最大值．【答案】(1)π3B = (2)23【分析】（1）选①，利用正弦定理得到222a c b ac +-=，再利用余弦定理求出π3B =；选②：利用诱导公式和二倍角公式得到1cos 2B =，从而求出π3B =；（2）法一：利用余弦定理得到2216a c ac =+-，利用基本不等式求出16ac ≤，求出面积的最大值，从而求出BD 的最大值；法二：利用正弦定理ABC 外接圆的直径，进而利用正弦定理表示面积，利用三角函数的有界性求出面积最大值，进而求出BD 的最大值. (1)若选①，由正弦定理得，()()()b c b c a c a +-=- 即222b c a ac -=-，即222a c b ac +-= ∴2221cos 222a cb ac B ac ac +-===， ∵(0,π)B ∈，∴π3B =，若选②,∵cos 2()3cos cos 2(π)3cos cos 23cos 1A C B B B B B ++=-+=+=， ∴22cos 13cos 1B B -+=，即22cos 3cos 20B B +-=，即cos 2B =-（舍）或1cos 2B =， ∵(0,π)B ∈，∴π3B =， (2)∵BD AC ⊥，BD 为AC 边上的高，当面积最大时，高取得最大值法一：由余弦定理得，22222162cos b a c ac B a c ac ==+-=+-，由重要不等式得162ac ac ac ≥-=，当且仅当a c =时取等，所以1sin 432ABC S ac B =≤△ 所以AC 边上的高的最大值为432312b = 法二：由正弦定理得ABC 外接圆的直径为832sin 3b R B ==，利用正弦定理表示面积得：118383sin sin sin sin 2233ABC S ac B A C B ==⋅△ 1838332π1632πsin sin sin sin 2332333A A A A ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

解三角形中的最值与范围问题4大题型

解三角形中的最值与范围问题4大题型解三角形中的最值与范围问题是近几年高考数学的热点，这类试题主要考查学生数形结合、等价转化、数学运算和逻辑推理的能力。

一般为中等难度，但题目相对综合，涉及知识较多，可通过三角恒等变换、构造函数或构造基本不等式等方法加以解决。

一、三角形中的最值范围问题处理方法1、利用基本不等式求最值-化角为边余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。

2、转为三角函数求最值-化边为角如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。

要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。

二、边化角与角化边的变换原则在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.【题型1与角或三角值有关的问题】【例1】（2023春·江西赣州·高三统考阶段练习）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知1a =，且cos cos 1b A B -=22sin B A +的取值范围是（）A．()1+B ．()1C ．(]1,3D ．(]2,3【变式1-1】（2023·四川泸州·统考二模）在ABC 中，2,2BC AB AC ==，D 为BC 的中点，则tan ADC ∠的最大值为______．【变式1-2】（2023·福建福州·统考二模）记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2222b a c -=．（1）求tan tan BA的值：（2）求C 的最大值．【变式1-3】（2023春·辽宁本溪·高三校考阶段练习）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，B 为钝角．若ABC 的面积为S ，且()2224bS a b c a =+-．（1）证明：2B A π=+；（2）求sin sin A C +的最大值．【变式1-4】（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考阶段练习）在锐角ABC中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，满足()2c b b a =+.（1）求证：2C B =；（2）求113sin tan tan C B C-+的取值范围.【题型2求周长的最值与范围问题】【例2】（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）在ABC 中，sin cos c B C =.（1）求C ∠；（2）若6a b +=，求ABC 周长的最小值.【变式2-1】（2023·云南昆明·已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且)222sin 2a c b A bc+-=.（1）求B 的大小；（2）若△ABC 为钝角三角形，且b =，求△ABC 的周长的取值范围.【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数21()cos ())cos()2f x x x x ωωω=-，其中0ω>，且函数()f x 的两个相邻零点间的距离为π2，（1）求ω的值及函数()f x 的对称轴方程；（2）在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若()1,f A a =-=求ABC周长的取值范围．【变式2-3】（2023·湖南·模拟预测）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC 的面积为S ，且22sin sin 2sin sin C ASa b sinA B C+=+（）（）．（1）求C 的值；（2）若a ABC 周长的取值范围．【变式2-4】（2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）在四边形ABCD 中，,,,A B C D 四点共圆，5AB =，3BC =，3cos 5ABC ∠=-．（1）若sin 5ACD ∠=，求AD 的长；（2）求四边形ABCD 周长的最大值．【题型3求面积的最值与范围问题】【例3】（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数()()()2πcos 2cos f x x x x x =-⋅-∈R ．（1）求函数()f x 的值域；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()2f A =-，a =求△ABC 的面积S 的最大值．【变式3-1】（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin 2tan 11cos 2tan 1B C B C +=+-.（1）求角A 的大小；（2）设AD 是BC 边上的高，且2AD =，求ABC 面积的最小值.【变式3-2】（2023·山东临沂·统考一模）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos cos 2cos a B b A c C +=．（1）求C ；（2）若1c =，求ABC 面积的取值范围．【变式3-3】（2023·全国·模拟预测）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ()sin sin 4sin C B a C =-.（1）求A ；（2）若O 是ABC 的内心，2a =，且224b c +>，求OBC △面积的最大值.【变式3-4】（2023·江苏南通·校联考模拟预测）如图，在平面四边形ABCD 中，1AB =，AD =，2CD =，BC =（1）若BC CD ⊥，求sin ADC ∠；（2）记ABD △与BCD △的面积分别记为1S 和2S ，求2212S S +的最大值．【题型4与边有关的最值与范围问题】【例4】（2023·江西南昌·统考一模）在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若1,60a B == ，则b 的取值范围为______．【变式4-1】（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，()()cos sin cos a B C B a A -=-.（1）求角A ；（2）若ABC22b a b+的取值范围.【变式4-2】（2023·广东江门·统考一模）在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且1tan B ，1sin A ，1tan C依次组成等差数列.（1）求2a bc的值；（2）若b c >，求222b c a+的取值范围.【变式4-3】（2023·江苏南通·统考模拟预测）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b =4，且1cos 2b Cc a +=.（1）求B ；（2）若D 在AC 上，且BD ⊥AC ，求BD 的最大值.【变式4-4】（2023·新疆·统考一模）在ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，22sin c ab C =.（1）若sin cos sin sin 2C B B A +=，求tan C 的值；（2）求ab的最大值.（建议用时：60分钟）1．（2023·甘肃武威·统考一模）在ABC 中，32，，AB AC BC ==>cos A 的范围是（）A ．51,6⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．111,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．5,16⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,112⎛⎫ ⎪⎝⎭2．（2023秋·浙江宁波·高三期末）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，已知sin()sin2A Cb B C a ++=，且ABC 的面积为，则ABC 周长的最小值为（）A ．B ．C ．D ．6+3．（2023·江西赣州·统考一模）已知锐角ABC 的内角A B C ､､的对应边依次记为a b c､､，且满足2cos c b b A -=，则()()2sin 2cos C B A B ++-的取值范围为__________.4．（2023·陕西西安·统考一模）已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，满足2cos 2b A a c +=，且b =，则ABC 周长的取值范围为______________．5．（2023·全国·校联考一模）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22c ac b +=.（1）证明：2B C =；（2）求a b c+的取值范围.6．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin sin tan cos C B A B -=．（1）求A ；（2）若2a =，求2c b -的取值范围．7．（2023·河南·校联考模拟预测）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 是2a 与πsin6C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的等比中项．（1）求A ﹔（2）若ABC 是锐角三角形，且2c =，求sin a B 的取值范围．8．（2023·全国·高三专题练习）在①)cos sin a b C c B -=，②22cos a c b C -=，③()()()a b a b a c c -+=-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在ABC 中，内角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，且满足_______，b =（1）若4a c +=，求ABC 的面积;（2）求ABC 周长l 的取值范围．9．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）求△ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3A π=，且△ABC 的周长为6．（1）证明：()124bc b c +=+；（2）求△ABC 面积的最大值．10．（2023·四川凉山·统考一模）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,,sin cos a b c b c A a C -=．（1）求A ；（2）若2b =，求ABC 面积的取值范围．参考答案【题型1与角或三角值有关的问题】【例1】（2023春·江西赣州·高三统考阶段练习）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知1a =，且cos cos 1b A B -=22sin B A +的取值范围是（）A．()1+B．()1C ．(]1,3D ．(]2,3【答案】B【解析】∵cos cos 1b A B -=，即：cos cos 1b A B =+，1a =，∴cos (cos 1)b A B a =+，∴由正弦定理得：sin cos (cos 1)sin B A B A =+，即：sin cos sin cos sin B A A B A =+，∴sin()sin B A A -=，∴B A A -=或πB A A -+=，解得：2B A =或B π=（舍），又∵△ABC 为锐角三角形，则ππ3C A B A =--=-，∴ππ0022ππ00222ππ00π322A A B A C ⎧⎧<<<<⎪⎪⎪⎪⎪⎪<<⇒<<⎨⎨⎪⎪⎪⎪<<<-<⎪⎪⎩⎩，解得：ππ64A <<，2π2sin 21cos 22sin(2)16B A A A A +=+-=-+，又∵ππ64A <<，∴πππ2663A <-<，∴1πsin(2262A <-<，∴π22sin(2)116A <-+<，22sin B A +的取值范围1).故选：B.【变式1-1】（2023·四川泸州·统考二模）在ABC 中，2,2BC AB AC ==，D 为BC 的中点，则tan ADC ∠的最大值为______．【答案】43【解析】设AC x =，则2AB x =，因为D 为BC 的中点，2BC =，所以1BD DC ==，由三角形三边关系，可知22x x +>且22x x -<，解得223x <<，在ABD △中，由余弦定理，得()2212cos 2AD x ADB AD +-∠=，在ACD 中，由余弦定理，得221cos 2AD x ADC AD+-∠=，因为πADB ADC ∠+∠=，所以()cos cos πcos ADB ADC ADC ∠=-∠=-∠,所以()222212122AD x AD x AD AD+-+-=-，解得22512AD x =-，则2242251132cos 54512122x x x ADC x x -+-∠=⨯-⨯-223x <<，令2512x t -=，则1,99t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()2215x t =+，()4242125x t t =++，则232131313cos 2221010105t t ADC t t t t t ++∠==⨯++≥⨯⋅+=，当且仅当1t t =，即1t =时，等号成立，此时25112x -=，解得25x =因为3cos 05ADC ∠≥>，所以π0,2ADC ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭．因为cos y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，tan y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，所以当cos ADC ∠取得最小值时，tan ADC ∠取得最大值，此时24sin 1cos 5ADC ADC ∠-∠=，则4tan 3ADC ∠=，所以tan ADC ∠的最大值为43.【变式1-2】（2023·福建福州·统考二模）记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2222b a c -=．（1）求tan tan BA的值：（2）求C 的最大值．【答案】（1）tan 3tan B A=-；（2）π6【解析】（1）由余弦定理可得2222cos b c a ac B =+-，代入2222b a c -=，得到()22222cos 2c a ac B a c +--=，化简得22cos 0c ac B +=，即2cos 0c a B +=.由正弦定理可得sin 2sin cos 0C A B +=，即()sin 2sin cos 0A B A B ++=，展开得sin cos cos sin 2sin cos 0A B A B A B ++=，即3sin cos cos sin A B A B =-，所以tan 3tan BA=-．（2）由2222b a c -=得2222b ac -=，故222cos 2a b c C ab +-=222222b a a b ab-+-=2233444a b a b ab b a +==+≥=当且仅当223b a =，即b =时等号成立．因为()0,πC ∈，所以π6C ≤，所以C 的最大值为π6.【变式1-3】（2023春·辽宁本溪·高三校考阶段练习）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，B 为钝角．若ABC 的面积为S ，且()2224bS a b c a =+-．（1）证明：2B A π=+；（2）求sin sin A C +的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）98【解析】（1）由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=得2222cos bc A b c a =+-，4412cos sin 2bS b bc A ac B a a ∴==⨯，cos sin A B ∴=，cos cos 2πA B ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，B 为钝角，则,2πA B -均为锐角，2B A π∴-=，即2B A π=+；（2）2ππsin sin sin sin cos cos 22cos cos 122A C B B B B B B B ⎛⎫⎛⎫+=-++-=--=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令cos B t =，B 为钝角，则()1,0t ∈-，2219sin sin 21248A C t t t ⎛⎫∴+=--+=-++ ⎪⎝⎭，当14t =-，即1cos 4B =-时，sin sin A C +取最大值，且为98.【变式1-4】（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考阶段练习）在锐角ABC中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，满足()2c b b a =+.（1）求证：2C B =；（2）求113sin tan tan C B C-+的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）,46⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】（1）由22c b ab =+及余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得()2cos 1a b C =+，由正弦定理得：()sin sin 2cos 1A B C =+，又πA B C ++=，()sin sin sin cos cos sin 2sin cos sin A B C B C B C B C B ∴=+=+⋅=+，cos sin sin cos sin B C B C B ∴-=，()sin sin C B B ∴-=，,,A B C 都是锐角，C B B ∴-=，即2C B =.（2）令113sin tan tan y C B C =-+cos cos 3sin sin sin B C C B C =-+sin cos cos sin 3sin sin sin C B C BC B C -⋅=+⋅()sin 3sin sin sin C B C B C-=+⋅，由（1）2C B =得13sin sin y C C=+，在锐角三角形ABC 中，π02π02π02A B C ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，即()π02π022π02B C C B C π⎧<-+<⎪⎪⎪<=<⎨⎪⎪<<⎪⎩，解得ππ32<<C，sin C ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭，令sin ,12t C ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，()13,2y f t t t t ⎛⎫∴==+∈ ⎪ ⎪⎝⎭，又函数()13y f t t t ==+在2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，()4y f t ⎫∴=∈⎪⎪⎝⎭，故113sin tan tan C B C -+的取值范围是46⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.【题型2求周长的最值与范围问题】【例2】（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）在ABC 中，sin cos c B C =.（1）求C ∠；（2）若6a b +=，求ABC 周长的最小值.【答案】（1）π3C =；（2）9【解析】（1）因为sin cos c B C =，所以由正弦定理得sin sin cos C B B C =，又因为()0,πB ∈，sin 0B ≠，所以sin C C =，即有tan C =又因为()0,πC ∈，所以π3C =.（2）因为π3C =，6a b +=，所以由余弦定理可得222222cos ()236336392a b c a b ab C a b ab ab ab +⎛⎫=+-=+--=-≥-⨯= ⎪⎝⎭，当3a b ==时，等号成立，所以3c ≥，故ABC 周长的最小值9.【变式2-1】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且)222sin 2a c b A bc+-=.（1）求B 的大小；（2）若△ABC 为钝角三角形，且b =，求△ABC 的周长的取值范围.【答案】（1）π3；（2）(+【解析】（1）根据余弦定理可知，222cos 2a c b B ac+-=，所以2cos sin 2ac B A bc =，即cos sin cos sin sin sin B A BA A b B=⇔，则tan B =()0,πB ∈，所以π3B =；（2）设π2π,23A ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，根据正弦定理可知2πsin sin sin sin 3a cb A C B ====，所以2sin a A =,2π2sin 2sin 3c C A ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以周长2π2sin 2sin 3a b c A A ⎛⎫++=+-+ ⎪⎝⎭12sin 2sin 2A A A ⎫=++⎪⎪⎝⎭3sin A A =++π6A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,因为π2π,23A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,,πππ25636A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以1sin 622πA ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π36A ⎛⎫<+++ ⎪⎝⎭，所以ABC的周长为(+.【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数21()cos ())cos()2f x x x ωωω=，其中0ω>，且函数()f x 的两个相邻零点间的距离为π2，（1）求ω的值及函数()f x 的对称轴方程；（2）在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若()1,f A a =-=求ABC 周长的取值范围．【答案】（1）1ω=，对称轴方程为：()ππ26k x k =+∈Z ；；（2）2.【解析】（1）211cos(2))1()cos ())cos()2222x x f x x x x ωωωωω+=-=+-，()πsin 26f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的两个相邻零点间的距离为π2，所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2⨯=，因为0ω>，所以2ππ12ωω=⇒=，即()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()()ππππ2πZ Z 6226k x k k x k +=+∈⇒=+∈，所以对称轴为()ππ26k x k =+∈Z ；（2）由πsin 6(12)1A f A ⎛⎫+=- ⇒⎪⎝⎭=-，因为(0,π)A ∈，所以ππ13ππ3π2π2(,)2666623A A A +∈⇒+=⇒=，因为a22sin ,2sin sin sin sin a b c b B c CA B C ===⇒==，π2sin 2sin 2sin 2sin 3B C B B ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，1π2sin sin 2sin 223B B B B B B ⎛⎫⎛⎫+-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为π(0,)3B ∈，所以ππ2π(,)333B +∈，因此ππsin ,1]2sin (2323B B ⎛⎫⎛⎫+∈⇒+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ABC周长的取值范围为2.【变式2-3】（2023·湖南·模拟预测）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC 的面积为S ，且22sin sin 2sin sin C ASa b sinA B C+=+（）（）．（1）求C 的值；（2）若a ABC 周长的取值范围．【答案】（1）3π；（2）()∞+.【解析】（1）在ABC 中，由三角形面积公式得:1sin 2S bc A =，由正弦定理得：()2212sin sin 2cabc A a b A b c⎛⎫⨯+=+ ⎪⎝⎭，整理得：222a b c ab +-=，由余弦定理得：2221cos 22a b c C ab +-==，又0C π<<，故3C π=．（2）因为a 3C π=，由正弦定理得32sin c A=，23cos 3sin 2sin A A b A A π⎛⎫- ⎪⎝⎭===即ABC的周长()31cos 33cos 2sin 2sin 2sin A A l a b c A A A +=++=+=26cos 32224sincos 2tan222AA AA =++，因为203A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则023Aπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故0tan 2A<所以322tan2A +>ABC的周长的取值范围是∞）.【变式2-4】（2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）在四边形ABCD 中，,,,A B C D 四点共圆，5AB =，3BC =，3cos 5ABC ∠=-．（1）若sin 5ACD ∠=，求AD 的长；（2）求四边形ABCD 周长的最大值．【答案】（1（2）8+【解析】（1）因为,,,A B C D 四点共圆，所以πABC ADC ∠+∠=，因为3cos 5ABC ∠=-，所以3cos cos 5ADC ABC ∠=-∠=，因为()0,πADC ∠∈，故sin 54ADC ∠==，在ABC 中，由余弦定理得：22232cos 25930525AC AB BC AB BC ABC ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯-= ⎪⎝⎭，故AC =在ADC △中，由正弦定理得：sin sin AD ACACD ADC=∠∠，5=，解得：AD（2）由（1）知：AC=3cos5ADC∠=，在ADC△中，由余弦定理得：22222523cos225AD CD AC AD CDADCAD CD AD CD+-+-∠===⋅⋅，整理得：226525AD CD AD CD+=⋅+，故()216525AD CD AD CD+-=⋅，其中22AD CDAD CD+⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭，故()()221645255AD CD AD CD AD CD+-=⋅≤+，解得：AD CD+≤AD CD=故四边形ABCD周长的最大值为8AB BC AD CD+++≤+【题型3求面积的最值与范围问题】【例3】（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数()()()2πcos2cosf x x x x x=-⋅-∈R．（1）求函数()f x的值域；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若()2f A=-，a=求△ABC的面积S的最大值．【答案】（1）[]3,1-；（2【解析】（1）()1cos2πcos2sin2cos212sin2126xf x x x x x x+⎛⎫=⋅-⋅--=--⎪⎝⎭，∴()f x的值域为[]3,1-．（2）()π2sin2126f A A⎛⎫=--=-⎝⎭，即π1sin262A⎛⎫-=-⎪⎝⎭，由()0,πA∈,得ππ11π2<666A-<-∴π7π2=66A-，即2π3A=，又222222π32cos33a b c bc b c bc bc==+-=++≥，即1bc≤，∴11sin 12224ABC S bc A =≤⨯ ，∴()max 4ABC S =，当且仅当1b c ==时取得．【变式3-1】（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin 2tan 11cos 2tan 1B C B C +=+-.（1）求角A 的大小；（2）设AD 是BC 边上的高，且2AD =，求ABC 面积的最小值.【答案】（1）π4；（2）4【解析】（1）法一：左边2sin 22sin cos sin 1cos 22cos cos B B B BB B B===+，右边sin 1tan 1sin cos cos sin tan 1sin cos 1cos CC C CC C C C CC+++===---，由题意得sin sin cos sin sin sin cos cos sin cos cos cos sin cos B C CB C B C B C B C B C C+=⇒-=+-()()()sin cos 0tan 1B C B C B C ⇒+++=⇒+=-，即tan 1A =，又因为0πA <<，所以π4A =.法二：左边2sin 22sin cos tan 1cos 22cos B B BB B B===+，右边πtan tantan 1ππ4tan tan πtan 1441tan tan4C C C C C C ++⎛⎫⎛⎫==--+=-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-，由题意得ππππ44B C k B C k =--+⇒+=-+，又因为0πB C <+<，所以3ππ44B C A +=⇒=.（2）由11π2sin 2244ABC S a bc a bc =⨯=⇒=△，由余弦定理得222222π2cos 4a b c bc a b c =+-⇒=+，2222222211288b c b c b c b c bc ⇒=+⇒+=+≥，(82bc ⇒≥，当且仅当b c =时取“等号”，而1πsin24ABC S bc ==△，故()(min 824ABC S =-=△【变式3-2】（2023·山东临沂·统考一模）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos cos 2cos a B b A c C +=．（1）求C ；（2）若1c =，求ABC 面积的取值范围．【答案】（1）π3C =；（2）.【解析】（1）在ABC 中，由已知及正弦定理得：sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，即有()sin 2sin cos A B C C +=，即sin 2sin cos C C C =，而0πC <<，sin 0C >，则1cos 2C =，所以π3C =．（2）在ABC 中，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得：221a b ab =+-，因此12ab ab ≥-，即01ab <≤，当且仅当a b =时取等号，又11sin (0,22ABC S ab C ===∈△，所以ABC 面积的取值范围是4．【变式3-3】（2023·全国·模拟预测）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ()sin sin 4sin C B a C =-.（1）求A ；（2）若O 是ABC 的内心，2a =，且224b c +>，求OBC △面积的最大值.【答案】（1）π3或2π3；（2【解析】（1）()sin sin 4sin C B a C =-，4sin s sin sin in C B a B C =，)sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，sin 2sin sin sin B C A B C =，因为sin sin 0B C ≠，所以sin2A =，因为()0,πA ∈，所以π3A =或2π3A =（2）因为2a =，且224b c +>，所以由余弦定理得222224cos 022b c a b c A bc bc+-+-==>，所以A 为锐角，由（1）知π3A =.因为O 是ABC 的内心，所以()()112ππππ223BOC ABC ACB A ∠=-∠+∠=--=，在OBC △中，由余弦定理得2222cos BC OB OC OB OC BOC =+-⋅∠，所以2222242cos3OB OC OB OC OB OC OB OC π=+-⋅=++⋅23OB OC OB OC OB OC ≥⋅+⋅=⋅，当且仅当33OB OC ==时等号成立，所以43OB OC ⋅≤，所以1142π3sin sin 2233OBC S OB OC BOC =⋅∠≤⨯=△所以OBC △33【变式3-4】（2023·江苏南通·校联考模拟预测）如图，在平面四边形ABCD 中，1AB =，3AD =，2CD =，2BC =（1）若BC CD ⊥，求sin ADC ∠；（2）记ABD △与BCD △的面积分别记为1S 和2S ，求2212S S +的最大值．【答案】（163；（2）218【解析】（1）∵BC CD ⊥，∴426BD =+=22cos 326362ADB ∠=⋅⋅，1in 3s ADB ∠=，3sin 3BDC ∠=，6cos 36BDC ∠==∴sin sin()sin cos cos sin ADC BDC ADB BDC ADB BDC ADB∠∠∠=+=∠∠+∠∠13===；（2）设BAD ∠=α，BCD β∠=，∴23142BD αβ=+-=+-，∴2βα-=，∴1βα=，①22222212131sin 1sin sin 2sin 24S S αβαβ⎫⎛⎫+=⨯+⋅⨯=+⎪ ⎪⎭⎝⎭()222233sin 21cos sin 2144αβα⎡⎤⎢⎥=+-=+-⎢⎥⎣⎦2223535321cos cos cos 222228ααααα⎛⎫⎛=--+=-++=-++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，当且仅当cos 6α=-，cos 8β=时取最大值218；综上，sin 3ADC ∠=，2212S S +的最大值是218.【题型4与边有关的最值与范围问题】【例4】（2023·江西南昌·统考一模）在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若1,60a B == ，则b 的取值范围为______．【答案】2⎛ ⎝【解析】在ABC 中，由正弦定理得sin sin sin a b cA B C ==，所以1sin sin 60b A = ，即2sin b A=，因为锐角ABC ，所以090,090A C <<<< ，即090,012090A A <<<-<，解得3090A <<，所以1sin 12A <<，所以112sin A<<，<2b ⎛∈ ⎝.【变式4-1】（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，()()cos sin cos a B C B a A -=-.（1）求角A ；（2）若ABC22b a b+的取值范围.【答案】（1）3π；（2）⎡⎣【解析】（1）因为()()cos sin cos a B C B a A -=-，可得()cos cos sin cos a B C a A B A -+=，则()()cos cos sin cos a B C a B C B A --+=，所以()cos cos sin sin cos cos sin sin 2cos a B C a B C a B C B C B A +--=，即sin sin sin cos a B C B A =，由正弦定理得sin sin sin sin sin cos A B C C B A =，显然sin 0C >，sin 0B >，所以sin A A ，所以tan A =()0,πA ∈，所以π3A =.（2）因为sin sin a b A B==πsin sin 3a bB ==所以3a =，b B =，所以2223sin 2sin 4sin b a a b B B b b B B +⎫=+=++⎭，因为ABC 为锐角三角形且2π3B C +=，所以π022ππ032B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，所以ππ62B <<，即1sin ,12B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令()34f x x x =+，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由对勾函数性质知函数()34f x x x =+在122⎛ ⎝⎭上单调递减，在,12⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增，且122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，f =⎝⎭()714f =，所以())2f x ∈，即)3sin 24sin B B +∈，所以3sin 6,4sin B B ⎫⎡+∈⎪⎣⎭，即22b a b+的取值范围为⎡⎣.【变式4-2】（2023·广东江门·统考一模）在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且1tan B ，1sin A ，1tan C依次组成等差数列.（1）求2a bc的值；（2）若b c >，求222b c a+的取值范围.【答案】（1）2；（2）(【解析】（1）由条件得：211sin tan tan A B C =+cos cos sin sin B C B C =+sin cos cos sin sin sin C B C B B C +=()sin sin sin C B B C+=sin sin sin A B C =，所以2sin 2sin sin A B C =，由正弦定理得：22a bc =，所以22a bc=.（2）b c >及22a bc =，则B C >，角C 一定为锐角，又ABC 为锐角三角形，所以cos 0cos 0A B >⎧⎨>⎩由余弦定理得：2222222222222220020222020022b c a b c bcb c bc bc bc bc c b a c b bc c b ac ac ⎧⎧+-+->>⎪⎪⎧+->⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨+->+-+-⎩⎪⎪>>⎪⎪⎩⎩，所以2220bc c b +->，即212b b c c ⎛⎫⎛⎫<+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得：11b c <<又1bc >，所以(1,1b c∈+.又22222122b c b c b c a bc c b ++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，令(1,1b x c =∈+，则()222112b c f x x a x +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，()()()2211111022x x f x xx +-⎛⎫'=-=> ⎪⎝⎭，所以()f x在(1,1上递增，又()11f =，(1f =所以222b c a+的取值范围是(.【变式4-3】（2023·江苏南通·统考模拟预测）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b =4，且1cos 2b Cc a +=.（1）求B ；（2）若D 在AC 上，且BD ⊥AC ，求BD 的最大值.【答案】（1）π3；（2）【解析】（1）方法一：()11cos ,sin cos sin sin sin 22b Cc a B C C A B C +=∴+==+ ，所以1sin cos sin sin cos cos sin 2B C C B C B C +=+，所以()11sin sin cos ,0,π,sin 0,cos ,22C C B C C B =∈∴>∴= ()π0,π,3B B ∈∴=.方法二：在ABC 中，由正弦定理得：()1sin cos sin sin 2B C C A B C +==+，所以1sin cos sin sin cos cos sin 2B C C B C B C +=+，所以1sin cos sin 2C B C =.因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，所以1cos 2B =，因为()π0,π,3B B ∈=.（2）方法一:222222cos 2b a c ac B a c ac ac ac ac =+-=+-≥-=，16ac ∴≤当且仅当4a c ==时取“”=，1sin 112sin ,22228ac Bac B BD b BD ac =⋅=≤max BD ∴=方法二:在ABC 中，由余弦定理得：222222cos 162(b a c ac B a c ac ac ac =+-⇒=+-≥-当且仅当a c =取“=”）所以16ac ≤,所以ABC 的面积1sin24ABC S ac B ac ==≤ 122ABC S b BD BD BD =⨯=≤⇒≤ 【变式4-4】（2023·新疆·统考一模）在ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，22sin c ab C =.（1）若sin cos sin sin 2C B B A +=，求tan C 的值；（2）求ab的最大值.【答案】（1）1；（21【解析】（1）由sin cos sin2C B B A +=cos sin C B A B =-,cos )sin C B B C B =+-，)cos sin cos cos sin sin C B B C B C B =+-cos sin B C B =,因为sin 0B ≠,1C =,即cos2C =,由()0,πC ∈得π4C =，故tan 1C =.（2）由22sin ab C c =结合余弦定理得2222cos 2sin a ab C ab b C c =+-=,则()22π2sin cos sin 4a b ab C C C ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭,于是221sin 4a a a C b b b π⎛⎫+=⨯+≤ ⎪⎝⎭,即2210a ab b -+≤.11ab≤≤,故当π4C =时，ab1.（建议用时：60分钟）1．（2023·甘肃武威·统考一模）在ABC 中，32，，AB AC BC ==>，则cos A 的范围是（）A ．51,6⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．111,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．5,16⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,112⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】222213cos212AB AC BC BC A AB AC +--==⋅，因为BC >11cos 12A <.又()0,πA ∈，所以cos A 的范围是111,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：B 2．（2023秋·浙江宁波·高三期末）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，已知sin()sin2A Cb B C a ++=，且ABC 的面积为，则ABC 周长的最小值为（）A ．B ．C ．D ．6+【答案】C【解析】因为πsin sin2Bb A a -=，根据正弦定理及诱导公式得sin sin sin cos2B B A A ⋅=⋅，()0,πA ∈ ，sin 0A ∴≠，sin cos2B B ∴=，即2sin cos cos 222BB B=，()0,πB ∈ ，则π0,22B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 02B ≠解得1sin22B =,所以ππ263B B =⇒=，所以1sin 24S ac B ===，所以8,ac a c =+≥，当且仅当a c ==时等号成立，根据余弦定理得b =，即b =，设ABC 的周长为C ，所以()ABC C a c a c =++=+ ，设,a c t t +=≥，则()f t t =根据复合函数单调性及增函数加增函数为增函数的结论得：()f t 在)⎡+∞⎣上为单调增函数，故()(minf t f ==，故()min ABC C = ，当且仅当a b c ===时取等.故选：C.3．（2023·江西赣州·统考一模）已知锐角ABC 的内角A B C ､､的对应边依次记为a b c､､，且满足2cos c b b A -=，则()()2sin 2cos C B A B ++-的取值范围为__________.【答案】32,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】因为2cos c b b A -=，所以sin sin 2sin cos C B B A -=，即()sin sin 2sin cos A B B B A +-=，展开整理得()sin sin A B B -=，因为锐角ABC 中，ππππ,0,,,,2222A B A B A B ⎛⎫⎛⎫∈+>-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A B B -=，即2A B =，由π02π022π0π32B A B C B ⎧<<⎪⎪⎪<=<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩，得π6π4B <<，()()22πsin cos sin 2cos sin2cos21214C B A B A B B B B ⎛⎫++-=+=++=++ ⎪⎝⎭，因为π6π4B <<，所以7ππ3π21244B <+<，π<sin 224B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()()2sin 2cos C B A B ++-的范围为32⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.4．（2023·陕西西安·统考一模）已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，满足2cos 2b A a c +=，且b =，则ABC 周长的取值范围为______________．【答案】【解析】在ABC 中，由2cos 2b A a c +=及正弦定理得：2sin cos sin 2sin B A A C +=，而π()C A B =-+，于是2sin cos sin 2sin()2sin cos 2cos sin B A A A B A B A B +=+=+，有sin 2sin cos A A B =，而0πA <<，sin 0A >，因此1cos 2B =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即有222222112()3()3()()24a c a c ac a c ac a c a c +=+-=+-≥+-=+，当且仅当a c =时取等号，从而a c +≤，而a c b +>=，则a b c <++≤所以ABC周长的取值范围为.5．（2023·全国·校联考一模）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22c ac b +=.（1）证明：2B C =；（2）求a bc+的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）(1,5).【解析】（1）∵22c ac b +=，∴22c b ac -=-，∴由余弦定理得：2222cos 222a c b a ac a cB ac ac c+---===，即：2cos c B a c ⋅=-，由正弦定理得：2sin cos sin sin C B A C ⋅=-，∴2sin cos sin()sin sin cos sin cos sin C B B C C B C C B C ⋅=+-=+-，整理得：sin cos sin cos sin 0B C C B C --=，即：sin()sin B C C -=，又∵(0,π)B C ∈、，∴B C C -=，即：2B C =.（2）∵2B C =，∴π3A C =-，又∵sin22sin cos C C C =⋅，2sin 3sin(2)sin cos 2cos sin 2sin cos 22sin cos C C C C C C C C C C C=+=⋅+⋅=⋅+⋅，sin 0C ≠，∴由正弦定理得：sin sin sin(π3)sin2sin3sin2sin sin sin a b A B C C C Cc C C C++-++===22sin cos22sin cos 2sin cos cos22cos 2cos sin C C C C C CC C CC⋅+⋅+⋅==++2222cos 12cos 2cos 4cos 2cos 1C C C C C =-++=+-，又∵0π0π3ππ0π02π 030π0π A C B C C C C <<<-<⎧⎧⎪⎪<<⇒<<⇒<<⎨⎨⎪⎪<<<<⎩⎩，∴1cos 12C <<，令cos t C =，则2421a bt t c+=+-，112t <<，∵2421y t t =+-对称轴为14t =-，∴2421y t t =+-在1(,1)2上单调递增，当12t =时，11421142y =⨯+⨯-=；当1t =时，4215y =+-=，∴15a bc+<<，即：a b c +的范围为(1,5).6．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin sin tan cos C B A B -=．（1）求A ；（2）若2a =，求2c b -的取值范围．【答案】（1）π3A =；（2）()2,4-【解析】（1）由题意知，sin 2sin sin cos cos AC B B A-=⨯，所以2cos sin cos sin sin cos A C A B A B -=，则()2cos sin sin cos cos sin sin sin A C A B A B A B C =+=+=，又()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，所以1cos 2A =，又()0,πA ∈，所以π3A =．（2）由（1）得sin 2sin sin cos cos AC B B A-=⨯，由正弦定理得cos 2cos a B c b A -=，又2a =，π3A =，所以24cos c b B -=．因为2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1cos ,12B ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以()4cos 2,4B ∈-，故()22,4c b -∈-，即2c b -的取值范围为()2,4-．7．（2023·河南·校联考模拟预测）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 是2a 与πsin6C ⎛⎫+⎪⎝⎭的等比中项．（1）求A ﹔（2）若ABC 是锐角三角形，且2c =，求sin a B 的取值范围．【答案】（1）π3；（2）⎝【解析】（1是2a 与πsin 6C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的等比中项，所以2π2sin 6a C b c ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭，由正弦定理及两角和的正弦公式，得12sin cos sin sin 2A C C B C ⎫⋅+=+⎪⎪⎝⎭．因为πA B C ++=，所以()sin sin cos sin sin sin cos cos sin sin A C A C A C C A C A C C +=++=++，()sin cos 1sin A C A C =+．因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，cos 1A A -=，即π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．又()0,πA ∈，所以ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以ππ66A -=，即π3A =．（2）由正弦定理，得2πsin sin sin 3ab B C ==，所以2π3sin sin C a B b C⎛⎫- ⎪⎝⎭==132tan C⎛=+ ⎝．因为ABC 是锐角三角形，所以2ππ0,32π0,2C C ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩所以ππ62C <<，所以tan 3C >，所以sin a B的取值范围是⎝．8．（2023·全国·高三专题练习）在①)cos sin a b C c B -=，②22cos a c b C -=，③()()()a b a b a c c -+=-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在ABC 中，内角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，且满足_______，b =（1）若4a c +=，求ABC 的面积;（2）求ABC 周长l 的取值范围．【答案】（1（2）(【解析】（1）若选条件①)cos sin a b C c B -=及正弦定理，)sin sin cos sin sin A B C C B-=()sin sin cos sin sin B C B C C B +-=⎤⎦，化简得sin sin sin B C C B =，因为0πC <<，所以sin 0C ≠，所以tan B =，因为0πB <<，所以π3B =．若选条件②，由22cos a c b C -=及正弦定理，得2sin sin 2sin cos A C B C -=，即()2sin sin 2sin cos B C C B C +-=，化简得2cos sin sin B C C =,因为0πC <<，所以sin 0C ≠，所以1cos 2B =，因为0πB <<，所以π3B =．若选条件③，由)()()a b a b a c c +-=-化简得，222a c b ac +-=，由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=，即1cos 2B =，因为0πB <<，所以π3B =，所以三个条件，都能得到π3B =.由余弦定理得()22222cos 22cos b a c ac B a c ac ac B =+-=+--，即21124222ac ac =--⨯，解得43ac =，所以ABC的面积114πsin sin 22333S ac B ==⨯⨯=.（2）因为π3b B ==，由正弦定理得4sin sin sin a c b A C B ===，因为2ππ3A C B +=-=，所以()2π1π4sin sin 4sin sin cos 3226a c A C A A A A A ⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+=+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎭，因为2π03A <<，所以ππ5ππ1sin 166662A A ⎛⎫⎛⎤<+<+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，，，所以(a c +∈，即(a b c ++∈，所以ABC 周长l 的取值范围为(.9．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）求△ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3A π=，且△ABC 的周长为6．（1）证明：()124bc b c +=+；（2）求△ABC 面积的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）在△ABC 中，由余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+-，即2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，又因为6a b c ++=，所以22[6()]()3b c b c bc -+=+-，整理可得：124()b c bc -+=-，所以()124bc b c +=+得证.（2）由（1）可知：()124bc b c +=+，所以124bc +≥⨯，当且仅当b c =时取等号，6≥2≤，因为6b c +<2≤，则4bc ≤，所以1sin 424ABC S bc A =≤= ，故△ABC.10．（2023·四川凉山·统考一模）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,,sin cos a b c b c A a C -=．（1）求A ；（2）若2b =，求ABC 面积的取值范围．【答案】（1）π4A =；（2）()1,2【解析】（1）因为sin cos b c A a C -=，由正弦定理得sin sin sin sin cos B C A A C -=，。

高考数学一轮复习三角函数与解三角形中的最值(范围)问题

，∵函数f（x）＝cos（2x＋φ）（0＜φ＜π）在区间
π π
− ,
6 6
上单调递
π
− ≥ 0,
π
π
π
2π
减，∴ − + , + ⊆[0，π]，即ቐ 3π
解得 ≤φ≤ .令f（x）＝cos
3
3
3
3
+ ≤ π,
3
π
π π
（2x＋φ）＝0，则2x＋φ＝＋kπ（k∈Z），即x＝－＋（k∈Z），又函数f
4
解：（2）f（x）＝－
1 2 5
sin−
＋＋a.
2
4
17
, 5
4 ⇒൝4
()max ≤
由题意得ቐ
()min ≥ 1
17
,
4 ⇒2≤a≤3，
+ ≤
−1 ≥ 1
即实数a的取值范围是[2，3].
三角形中的最值（范围）问题
考向1 利用三角函数的性质求最值（范围）
【例4】 △ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C.
重难专攻（四）
三角函数与解
三角形中的最值（范围）问题
三角函数与解三角形中的最值（范围）问题是高考的热点，主要涉及：
（1）三角函数式的最值（范围）问题；（2）利用三角函数性质求某些量的最
值（范围）；（3）三角形中的最值（范围）（周长、面积等），其求解方法多
样，一般常用方法有：（1）利用三角函数的单调性（正、余弦函数的有界性）
3
3
答案
3
3
－
3
3
2
1+ 2
，
｜解题技法｜
sin+

高中数学同步教学课件习题课解三角形中的最值(范围)问题

因为A＋B＋C＝π，C＝2B，
所以 A＝π－3B>0，所以 0<B<π3，
所以12<cos B<1,1<2cos B<2.
又bc＝ssiinn
CB＝ssiinn2BB＝2cos
B，故
c 1<b<2.
1234
4.在△ABC 中，B＝60°，AC＝ 3，则 AB＋2BC 的最大值为__2__7___.
∵0<A<π3， ∴π3<A＋π3<23π， ∴ 23<sinA＋π3≤1， ∴2 3<2sinA＋π3＋ 3≤2＋ 3， ∴△ABC 周长的取值范围是(2 3，2＋ 3].
与三角形的面积相关
四
的范围或最值问题
A＋C 例4 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 asin 2 ＝bsin A.
由正弦定理得sina A＝sinb B＝sinc C＝2， ∴a＝2sin A，b＝2sin B，
则△ABC 的周长为 L＝a＋b＋c＝2(sin A＋sin B)＋ 3
＝2sin
A＋sinπ3－A＋
3
＝2sin
A＋
23cos
A－12sin
A＋
3
＝212sin
A＋
3 2 cos
A＋
3
＝2sinA＋π3＋ 3.
由正弦定理可知 sin C＝2cR＝4c，所以 S＝12absin C＝12ab×4c＝ 2，即 abc＝8 2. 故 ab＋ 2c≥2 ab× 2c＝2 16＝8，
当且仅当 ab＝ 2c＝4 时，等号成立，所以 ab＋ 2c 的最小值为 8.
与三角形的角或角的三角函

(完整版)高中数学解三角形最值

三角形中的最值（或范围）问题解三角形问题，可以较好地考察三角函数的诱导公式，恒等变换,边角转化，正弦余弦定理等知识点,是三角，函数，解析几何和不等式的知识的交汇点，在高考中容易出综合题,其中，三角形中的最值问题又是一个重点.其实，这一部分的最值问题解决的方法一般有两种：一是建立目标函数后,利用三角函数的有界性来解决，二是也可以利用重要不等式来解决.类型一：建立目标函数后,利用三角函数有界性来解决例1．在△ABC 中， ,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，且2asinA =（2b+c ）sinB+（2c+b)sinC 。

（1) 求角A 的大小；（2）求sin sin B C +的最大值.变式1:已知向量(,)m a c b =+,(,)n a c b a =--,且0m n ⋅=，其中,,A B C 是△ABC 的内角,,,a b c 分别是角,,A B C 的对边。

(1) 求角C 的大小；（2）求sin sin A B +的最大值。

解：由m n ⋅=()a c +()()0a c b b a -+-=，得a 2+b 2—c 2=ab=2abcosC所以cosC=21,从而C=60故sin sin sin sin(120)O A B A A +=+-=3sin(60 +A) 所以当A=30 时,sin sin A B +的最大值是3变式2．已知半径为R 的圆O 的内接⊿ABC 中，若有2R （sin 2A —sin 2C ）=（2a —b ）sinB 成立，试求⊿ABC 的面积S 的最大值。

解：根据题意得：2R(224R a —224R c ）=（2a —b)*R b2化简可得 c 2=a 2+b 2—2ab ，由余弦定理可得： C=45 , A+B=135 S=21absinC=212RsinA ＊2RsinB*sinC =2sinAsin(135 —A) =22R (2sin （2A+45 )+1 ∵0<A<135 ∴45 <2A+45 <315∴ 当2A+45 ＝90 即A=15 时，S 取得最大值2212R ＋。

高考数学《与解三角形有关的最值问题》

高考数学与解三角形有关的最值问题
例 2 在△ABC 中，已知角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，tanC＝csoinsAA＋＋scionsBB. (1) 求角 C 的大小； (2) 若△ABC 的外接圆直径为 1，求 a2＋b2＋c2 的取值范围．解析：(1) 因为 tanC＝csoinsAA＋＋scionsBB，即csoinsCC＝csoinsAA＋＋csionsBB，所以 sinCcosA＋sinCcosB＝cosCsinA＋cosCsinB，即 sinCcosA－cosCsinA＝cosCsinB－sinCcosB，所以 sin(C－A)＝sin(B－C)．所以 C－A＝B－C 或 C－A＝π－(B－C)(不成立)，即 2C＝A＋B，所以 C＝π3.
tanAtanBtanC 将问题作进一步处理．
因为 2sin2A＋sin2B＝2sin2C，所以由正弦定理可得 2a2＋b2＝2c2.
由余弦定理及正弦定理可得 cosC＝a2＋2ba2b－c2＝4ba2b＝4ba＝4ssiinnBA.
高考数学与解三角形有关的最值问题
又因为 sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，所以 cosC＝sinAcosC4s＋incAosAsinC＝co4sC＋4stiannCA，可得 tanC＝3tanA，代入 tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC 得 tanB＝3ta4nta2AnA－1，所以ta1nA＋ta1nB＋ta1nC＝ta1nA＋3ta4nta2AnA－1＋3ta1nA＝3ta4nA＋121ta3nA.
高考数学与解三角形有关的最值问题
(2) 解法一：由 C＝π3可得 c＝2RsinC＝1× 23＝ 23，且 a＝2RsinA＝sinA，b＝2RsinB＝sinB. 设 A＝π3＋α，B＝π3－α，0<A<23π，0<B<23π，知－π3<α<3π. 所以 a2＋b2＋c2＝34＋sin2A＋sin2B＝34＋1－c2os2A＋1－c2os2B ＝74－12cos23π＋2α＋cos23π－2α＝74＋12cos2α. 由－π3<α<π3知－23π<2α<23π，－12<cos2α≤1，故32<a2＋b2＋c2≤94.

课件解三角形中的最值及取值范围

边的取值范围
总结词
边的取值范围受到角度的取值范围以及三角形的性质影响。
详细描述
在任何三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。因此，边的取值范围受到角度的取值范围以及三角形的形状的影响。对于直角三角形，斜边是最长边，其长度大于其他两边之和。对于钝角三角形，最长边大于其他两边之和，但不能超过其他两边之和的两倍。
引入其他数学工具
为了更深入地研究三角形最值及取值范围问题，可以考虑引入其他数学工具，如微积分、线性代数等，以期取得更多突破性成果。
拓展应用领域
除航海、航空、地理测量等领域外，三角形最值及取值范围还可以应用于其他领域，如建筑设计、机械制造等。未来可以加强与其他学科的合作，拓展其应用领域。
THANKS
03
三角形中的取值范围问题
角度的取值范围
总结词
角度的取值范围是三角形中一个重要的问题，它受到三角形内角和为180度以及三角形的形状限制。
详细描述
在任何三角形中，三个内角的和总是等于180度。因此，每个角的取值范围是0度到180度。对于直角三角形，一个角是90度，其他两个角的角度和为90度，所以每个角的角度范围是0度到90度。对于钝角三角形，最大的角度大于90度，但不能超过180度。
高的取值范围
总结词
高的取值范围受到角度的取值范围以及三角形的形状影响。
VS
详细描述
在任何三角形中，高是从顶点垂直到对边的线段。因此，高的取值范围受到角度的取值范围以及三角形的形状的影响。对于锐角三角形，所有的高都大于零。对于直角三角形，斜边上的高等于另一条直角边。对于钝角三角形，有两条高在三角形内部，另一条高在三角形外部。
感谢观看
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解三角形的最值和范围问题 (学生版)-高中数学

解三角形的最值和范围问题【新高考专用】【题型1三角形、四边形面积的最值或范围问题】【题型2三角形边长的最值或范围问题】【题型3三角形周长的最值或范围问题】【题型4三角形的角(角的三角函数值)的最值或范围问题】【题型5利用基本不等式求最值(范围)】【题型6转化为三角函数求最值(范围)】【题型7转化为其他函数求最值(范围)】【题型8“坐标法”求最值(范围)】【题型9与平面向量有关的最值(范围)问题】1、解三角形的最值和范围问题解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合考查，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系.【知识点1三角形中的最值和范围问题】1．三角形中的最值(范围)问题的常见解题方法：(1)利用正、余弦定理结合三角形中的不等关系求最值(范围)；(2)利用基本不等式求最值(范围)；(3)转化为三角函数求最值(范围)；(4)转化为其他函数求最值(范围)；(5)坐标法求最值(范围).2．三角形中的最值(范围)问题的解题策略：(1)正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值(范围)问题的核心，要牢牢掌握并灵活运用．解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究其最值(范围)．(2)转化为三角函数求最值(范围)问题的解题策略三角形中最值(范围)问题，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围.(3)坐标法求最值(范围)求最值(范围)问题的解题策略“坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结合三角函数、基本不等式等知识求其最值．【题型1三角形、四边形面积的最值或范围问题】1.(2024·河北石家庄·三模)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,c=4,ab=9．(1)若sin C=23，求sin A⋅sin B的值；(2)求△ABC面积的最大值．2.(2024·全国·模拟预测)记锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b cos A=3-a cos B，2a sin C=3.(1)求A.(2)求△ABC面积的取值范围.3.(2024·辽宁·模拟预测)如图，在平面内，四边形ABCD满足B，D点在AC的两侧，AB=1，BC=2，△ACD为正三角形，设∠ABC=α.(1)当α=π3时，求AC；(2)当α变化时，求四边形ABCD面积的最大值.4.(2024·上海·三模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3a=2c sin A．(1)求sin C的值；(2)若c=3，求△ABC面积S的最大值．【题型2三角形边长的最值或范围问题】1.(2024·四川·三模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2c sin B cos A=b sin A cos B+cos A sin B.(1)求A；(2)若△ABC的面积为163，D为AC的中点，求BD的最小值.2.(2024·江西·模拟预测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别记为a，b，c，且tan A=cos B-sin Ccos C+sin B．(1)若B=π6，求C的大小．(2)若a=2，求b+c的取值范围．3.(2024·广东广州·三模)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=b sin A2+a cos B．(1)求A；(2)若D是边BC上一点(不包括端点)，且∠ABD=∠BAD，求CDBD的取值范围．4.(2024·江西鹰潭·二模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a，b，c，满足1-sin Acos A =sin B cos B.(1)求证：A+2B=π2；(2)求a2+b2c2的最小值.【题型3三角形周长的最值或范围问题】1.(2024·安徽淮北·二模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知c-b=2c sin2A2(1)试判断△ABC的形状；(2)若c=1，求△ABC周长的最大值.2.(2024·四川绵阳·模拟预测)已知在△ABC中，D为BC边的中点，且AD=5．(1)若△ABC的面积为2，cos∠ADC=55，求B；(2)若AB2+AC2=18，求△ABC的周长的最大值．3.(2024·云南曲靖·二模)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a cos C+3c sin A=b+c.(1)求角B的取值范围；(2)已知△ABC内切圆的半径等于32，求△ABC周长的取值范围.=2b.4.(2024·湖南常德·一模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c，且acos C(1)判断△ABC的形状；(2)若△ABC的外接圆半径为2，求△ABC周长的最大值.【题型4三角形的角(角的三角函数值)的最值或范围问题】1.(2024·内蒙古呼和浩特·一模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c．若a=3,b=2，则B+C的取值范围是()A.2π3,5π6B.2π3,πC.5π6,πD.π2,5π62.(2024·内蒙古呼和浩特·二模)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若1b2+54a2=c2a2b2，则tan A-1tan C的最小值为()A.13B.23C.29D.193.(2024·陕西宝鸡·二模)△ABC中，D为BC边的中点，AD=1.(1)若△ABC的面积为23，且∠ADC=2π3，求sin C的值；(2)若BC=4，求cos∠BAC的取值范围．4.(2024·北京石景山·一模)在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2b sin A-3a=0．(1)求角B的大小；(2)求cos A+cos C的取值范围．【题型5利用基本不等式求最值(范围)】1.(2024·山西太原·三模)已知△ABC中，A=120°，D是BC的中点，且AD=1，则△ABC面积的最大值()A.3B.23C.1D.22.(2024·黑龙江哈尔滨·三模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a=3,BC边上中线AD长为1，则bc最大值为()A.74B.72C.3D.233.(2024·安徽合肥·二模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知c=2,1tan A +1tan B+1tan A tan B=1．则△ABC面积的最大值为()A.1+2B.1+3C.22D.234.(2024·浙江台州·二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a cos C=2c cos A，则bca2的最大值为()A.3B.32C.32D.3【题型6转化为三角函数求最值(范围)】1.(2024·辽宁沈阳·模拟预测)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2C-sin C sin Bcos2B-cos2A=1.(1)求角A的大小；(2)若△ABC为锐角三角形，点F为△ABC的垂心，AF=6，求CF+BF的取值范围.2.(2024·辽宁·模拟预测)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c-3bsin C= a-bsin A+sin B．(1)求A；(2)若△ABC为锐角三角形，且b=6，求△ABC的周长l的取值范围．3.(2024·河北衡水·一模)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，三角形面积为S，若D为AC边上一点，满足AB⊥BD,BD=2，且a2=-233S+ab cos C.(1)求角B；(2)求2AD +1CD的取值范围.4.(2024·福建漳州·模拟预测)如图，在四边形ABCD中，∠DAB=π2，B=π6，且△ABC的外接圆半径为4.(1)若BC=42，AD=22，求△ACD的面积；(2)若D=2π3，求BC-AD的最大值.【题型7转化为其他函数求最值(范围)】1.(2024·四川成都·模拟预测)设锐角△ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且c =2,B =2C ，则a +b 的取值范围为()A.2,10B.2+22,10C.2+22,4+23D.4+23,102.(2024·全国·模拟预测)已知△ABC 是锐角三角形，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ．若a 2-b 2=bc ，则b a +c的取值范围是()A.33,22B.2-3,1C.2-3,2-1D.2+1,3+23.(2023·全国·模拟预测)已知△ABC 为锐角三角形，其内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos B =cos2A .(1)求ba的取值范围；(2)若a =1，求△ABC 周长的取值范围.4.(2024·全国·模拟预测)已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S △ABC =b 2-c 2+164⋅tan C .(1)求a 的值；(2)若D 为线段BC 上一点且满足BD =1,DA 平分∠BAC ，求△ABC 的面积的取值范围.【题型8“坐标法”求最值(范围)】1.(23-24高一下·四川宜宾·期末)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，∠BCD =60°，∠ADC =150°，BE =3EC ，CD =233，BE =3，若点F 为边AD 上的动点，则EF ⋅BF 的最小值为()A.1B.1516C.3132D.22.(2023·安徽马鞍山·模拟预测)已知平行四边形ABCD 中，∠ADC =60°，E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，若DE ⋅DF=13，则四边形ABCD 面积的最大值为()A.2B.23C.4D.433.(2023·全国·模拟预测)在等腰△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边为a ，b ，c ，B =C =π6，a =23，P 是△ABC 外接圆上一点，则P A ⋅PB +PB ⋅PC +PC ⋅P A的取值范围是()A.-3,23B.-1,33C.-2,30D.-4,204.(2024·江西南昌·三模)如图，在扇形OAB 中，半径OA =4，∠AOB =90°，C 在半径OB 上，D 在半径OA 上，E 是扇形弧上的动点(不包含端点)，则平行四边形BCDE 的周长的取值范围是()A.8,12B.82,12C.8,82D.4,82【题型9与平面向量有关的最值(范围)问题】1.(2023·河南开封·三模)已知e 1 、e 2 为单位向量，e 1 -e 2 =3，非零向量a 满足a-2e 2 =1，则e 1 -a 的最小值为()A.7B.7-1C.3D.3-12.(23-24高三上·北京通州·期末)在菱形ABCD 中，AB =2,∠BAD =60°,E 是BC 的中点，F 是CD 上一点(不与C ，D 重合)，DE 与AF 交于G ，则AG ⋅DG的取值范围是()A.0,23B.0,43C.0,2D.0,33.(2024·福建泉州·模拟预测)已知平行四边形ABCD 中，AB =2，BC =4，B =2π3，若以C 为圆心的圆与对角线BD 相切，P 是圆C 上的一点，则BD ⋅CP -CB的最小值是()A.8-23B.4+23C.12-43D.6+234.(2023·福建厦门·二模)在△AOB 中，已知OB =2，AB=1，∠AOB =45°，若OP =λOA +μOB，且λ+2μ=2，μ∈0,1 ，则OA 在OP 上的投影向量为me (e为与OP 同向的单位向量)，则m 的取值范围是()A.-22,1B.22,1C.-22,1D.22,1一、单选题1.(2024·江苏连云港·模拟预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =1，b cos A =1+cos B ，则边b 的取值范围为()A.0,1B.1,2C.0,2D.2,32.(2024·安徽合肥·模拟预测)已知△ABC 角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 满足2b a -c =sin A +sin Csin B ，则角B 的最大值为()A.π6B.π4C.π3D.2π33.(2024·广东东莞·模拟预测)已知在同一平面内的三个点A ，B ，C 满足AB =2，CA CA -CBCB≥1，则AC +BC的取值范围是()A.0,1 B.0,2 C.0,3 D.0,234.(2024·河南·三模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a cos A+b cos B =3ccos C ，则tan A +tan C 的最小值是()A.43B.83C.23D.45.(2024·河南·模拟预测)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足b 3+c 3b +c=a 2．若a =23，则b 2+c 2的取值范围为()A.12,24B.20,24C.12,24D.20,246.(2024·江西·二模)在△ABC 中，若sin A =2cos B cos C ，则cos 2B +cos 2C 的取值范围为()A.1,65B.1,2+12C.65,2D.2+12,2 7.(2024·全国·二模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a cos A =b cos C +c cos B ，且a =4sin A ，则△ABC 周长的最大值为()A.42B.62C.43D.638.(2024·陕西咸阳·三模)为了进一步提升城市形象，满足群众就近健身和休闲的需求，2023年某市政府在市区多地规划建设了“口袋公园”.如图，在扇形“口袋公园”OPQ 中，准备修一条三角形健身步道OAB ，已知扇形的半径OP =3，圆心角∠POQ =π3，A 是扇形弧上的动点，B 是半径OQ 上的动点，AB ⎳OP ，则△OAB 面积的最大值为()A.334B.34C.335D.35二、多选题9.(2024·江苏南京·二模)已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，O 为△ABC 的重心，cos A =15，AO =2，则()A.AO =13AB +13ACB.AB ⋅AC ≤3C.△ABC 的面积的最大值为36D.a 的最小值为2510.(2024·湖南·二模)在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且c =b 2cos A +1 ，则下列结论正确的有()A.A =2BB.若a =3b ，则△ABC 为直角三角形C.若△ABC 为锐角三角形，1tan B -1tan A 的最小值为1D.若△ABC 为锐角三角形，则c a 的取值范围为22,23311.(2024·河北邯郸·三模)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，面积为34a 2+c 2-b 2，则下列说法正确的是()A.cos A cos C 的取值范围是-12,14B.若D 为边AC 的中点，且BD =1，则△ABC 的面积的最大值为33C.若△ABC 是锐角三角形，则a c 的取值范围是12,2 D.若角B 的平分线BE 与边AC 相交于点E ，且BE =3，则a +4c 的最小值为10三、填空题12.(2024·北京·三模)在△ABC 中，a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边，且a +c =2b ，则角B 的取值范围为0,π3 ．13.(2024·陕西安康·模拟预测)在△ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，若b =2，2a cos C=2cos B +c cos C ，则2a +c 的最大值为4213.14.(2024·江苏盐城·一模)在△ABC 中，已知AB =2，BC =3，点P 在△ABC 内，且满足CP =2，∠APC +∠ABC =π，则四边形ABCP 面积的最大值为.四、解答题15.(2024·山东菏泽·模拟预测)在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知AB ⋅AC -BA ⋅BC =λAB 2(1)若λ=1，判断△ABC 的形状；(2)若λ=12，求tan B -A 的最大值.16.(2024·江苏盐城·模拟预测)在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin 2B 2+b sin 2A 2=3ab2a +b +c．(1)求角C 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，求a +bc的取值范围．17.(2024·重庆渝中·模拟预测)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且满足3ca-sin B =tan A ⋅cos B .(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形且a =26，求△ABC 面积的取值范围.18.(2024·四川南充·模拟预测)在△ABC中，sin Csin A+sin B =sin A-sin B sin B+sin C.(1)求A；(2)若BC=3，求△ABC周长的最大值.19.(2024·陕西商洛·模拟预测)在锐角△ABC中.内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a-2c cos B=c.(1)求证：B=2C；(2)求sin B+23cos2C的取值范围.。

高中数学专题：解三角形中的最值问题

解三角形中的最值问题解三角形中的最值问题有两种解题思路：1. 转化为三角函数求最值问题，有两个转化方法：（1）利用正弦定理将边转化为角的正弦值，A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=.（2）利用三角形内角和和诱导公式进行角的转化，C B A sin )sin(=+，C B A cos )cos(-=+，C B A tan )tan(-=+. 最终转化为一个角的三角函数形式，求其最值.2. 转化为利用均值不等式（ab b a 222≥+）求最值问题，主要与余弦定理或其推论相结合，求三角形面积的最大值，或某一个内角余弦值的最小值.一．转化为三角函数求最值问题.例1.（2016年北京卷理科15题）在ABC ∆中，ac b c a 2222+=+.（1）求B 的大小；（2）求C A cos cos 2+的最大值.解：（1）ac b c a 2222=-+，则由余弦定理得：22222cos 222==-+=ac ac ac b c a B ，4π=B ，（2）)4cos(cos 2)cos(cos 2cos cos 2π+-=+-=+A A B A A C AA A A A A sin 22cos 22sin 22cos 22cos 2+=+-= 1)4sin(≤+=πA 当24ππ=+A 时，C A cos cos 2+取最大值，为1.例2.（2011年全国卷理科16题）在ABC ∆中， 60=B ，3=AC ，则BC AB 2+的最大值为 . 解：设3==AC b ，AB c =，BC a =，由正弦定理得：2233sin sin sin ====C c B b A a ，则A a sin 2=，C c sin 2=，所以A B A A C a c BC AB sin 4)sin(2sin 4sin 222++=+=+=+AA A A A A A cos 3sin 5sin 4cos 3sin sin 4)60sin(2+=++=++= 72)sin(72≤+=ϕA ；（其中53tan =ϕ），当1)sin(=+ϕA 时，BC AB 2+取最大值，为72.例3.（2018年北京卷文科14题）若ABC ∆的面积为)(43222b c a -+，且C 为钝角，则=B ；ac 的取值范围是 .解：由余弦定理得B ac b c a cos 2222=-+，所以B ac B ac S cos 243sin 21⨯==，则3tan =B ，所以3π=B ，由正弦定理得：AA A A A C A A C a c tan 12321sin cos 23sin 21sin )sin(sin sin +=+=+==，由于C 为钝角，3π=B ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛∈6,0πA ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈33,0tan A ， ()+∞∈,3tan 1A ，所以()+∞∈,2a c . 二．转化为利用均值不等式求最值问题.例4.（2013年全国二卷理科17题）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B c C b a sin cos +=.（1）求B ；（2）若2=b ，求ABC ∆面积的最大值.解：（1）由C B A c b a sin :sin :sin ::=得B C C B A sin sin cos sin sin +=，则B C C B C B C B C B sin sin cos sin sin cos cos sin )sin(+=+=+，所以B C C B sin sin sin cos =，因为0sin ≠C ，所以B B sin cos =， 1tan =B ，所以4π=B ，（2）由余弦定理得：B ac c a b cos 2222-+=，即ac ac c a )22(2422-≥-+=，所以224224+=-≤ac ，当且仅当c a =时，等号成立，故1242sin 21+≤==ac B ac S ，所以ABC ∆面积的最大值为12+.例5.（2016年山东理科16题）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知AB B A B A cos tan cos tan )tan (tan 2+=+. （1）证明：c b a 2=+；（2）求C cos 的最小值.（1）证明：BA B A B B A A cos cos sin sin )cos sin cos sin (2+=+， B A B A B A C B A B A B A B A B A cos cos sin sin cos cos sin 2cos cos )sin(2cos cos sin cos cos sin 2+==+=+所以B A C sin sin sin 2+=，则b a c +=2.（2）由余弦定理得：abb a b a abc b a C 222cos 222222⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+= 21221243221)(4322=-⨯≥-+=ab ab ab ab ab b a ，当且仅当b a =时，等号成立，所以C cos 的最小值为21. 小结：解三角形中的最值问题或者转化为三角函数求最值，或者利用不等式求最值.。

解三角形中的最值与范围问题-高考数学复习

∴f(x)＝x＋122－54∈(1,5)， ∴bc22＋bc－1∈(1,5)， ∴a＋b c的取值范围是(1,5).
课时精练
一、单项选择题 1.已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 B＝π3，a＝4，且
三角形有两解，则 b 的取值范围是
A.(2 3，＋∞)
√B.(2 3，4)
(2)求a＋b c的取值范围.
由(1)知，c2＝b2＋ab， ∴a＝c2－b b2，c>b，由三角形三边关系可得ab＋＋bc>>ac，，
代入化简可得b<c<2b，
∴a＋b c＝c2－bb22＋bc＝bc22＋bc－1，令 x＝bc，则 x∈(1,2)，f(x)＝x2＋x－1,1<x<2，
以a12＋b12的最大值为2156.
解决此类题目，一是利用正余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解；二是利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解.
跟踪训练 3 (2023·浙江联考)已知△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别
所以1b＝sin A＝sin 2C，
所以a12＋b12＝sin2C＋sin22C＝1－c2os 2C＋(1－cos22C)＝－cos22C－
1 2cos
2C＋32，
因为△ABC为锐角三角形，且B＝C，
则有π4<C<π2，得π2<2C<π，所以－1<cos 2C<0，由二次函数的性质可得，当 cos 2C＝－14时，a12＋b12取得最大值1265，所
解三角形中的最值与范围问题
重点解读
解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系.

解三角形边长最值问题

解三角形边长最值问题
三角形边长最值问题是一类在数学中经常遇到的问题。

在这类问题中，我们需要确定一个三角形的边长，使得满足一些特定的条件。

我们需要明确的是三角形具有一些基本的性质。

根据三角形的定义，任意两边之和大于第三边。

这意味着在求解三角形边长最值问题时，我们需要考虑这个条件。

最常见的三角形边长最值问题包括求解最大边长和最小边长。

对于求解最大边长的问题，我们可以利用三角形两边之和大于第三边的性质来求解。

假设我们已知的两条边是a和b，那么最大边长c可以通过如下公式计算：c = a + b - 1。

这里的-1是为了确保两边之和大于第三边。

对于求解最小边长的问题，我们可以利用三角形两边之差小于第三边的性质来求解。

假设我们已知的两条边是a和b，那么最小边长c可以通过如下公式计算：c = |a - b| + 1。

这里的|a - b|表示两边之差的绝对值，再加上1是为了确保两边之差小于第三边。

需要注意的是，以上公式只适用于已知两边的情况。

如果我们需要求解三角形的边长，但是没有其他已知条件，那么无法通过简单的公式来确定最值。

解三角形边长最值问题需要根据已知条件灵活运用三角形的基本性质。

通过合理的推理和计算，我们可以求解出三角形边长的最大值和最小值。

高考数学热点必会题型第12讲-解三角形中的最值问题(原卷及答案)

高考数学热点必会题型第12讲解三角形中的最值问题——每天30分钟7天掌握一、重点题型目录【题型】一、求三角形中的边长有关的最值【题型】二、求三角形中的周长有关的最值【题型】三、求三角形中的面积有关的最值【题型】四、正余弦定理与三角函数性质结合最值【题型】五、化角为边判断三角形的形状【题型】六、化边为角判断三角形的形状【题型】七、利用不等式求范围问题【题型】八、利用三角函数值域求范围问题二、题型讲解总结第一天学习及训练【题型】一、求三角形中的边长有关的最值A B C所对的三边分别为例1．（2022·山东·日照一中高三阶段练习）ABC中，角,,，若ABC的面积为1，则BC的最小值是（）,,,2a b c c bDA．2 B．3 C例2．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，60BAC ∠=，3BC =，且有2CD DB =，则线段AD 长的最大值为（）A B ．2 C 1 D ．例3．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，若3B π=，AC =2AB BC +的最大值为（）A ．7B ．C ．D ．5【题型】二、求三角形中的周长有关的最值例4．（2022·全国·高三专题练习）在锐角三角形ABC cos 2B B +=，且满足关系式cos cos sin sin 3sin B C A Bb c C⋅+=，则ABC 的周长最大值为（）AB ．C ．D ．例5．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，23ABC π∠=，4BD =，则ABC 周长的最小值为（）A ．8+B ．8+C ．16+D ．16+例6．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，已知60C =︒，4AB =，则ABC 周长的最大值为（） A ．8B ．10C ．12D ．14第二天学习及训练【题型】三、求三角形中的面积有关的最值例7．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2a =，2cos 2cos 24sin C A B =+，则ABC 面积的最大值是（） A ．23B ．1C ．43D ．2例8．（2023·全国·高三专题练习）ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知()sin sin sin ,cos cos 2b c B c C a A b C c B -+=+=，则ABC 的面积的最大值（）A ．1BC ．2D ．例9．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且sin()2sin cos 0B C A B ++=.若2b =，则ABC 面积的最大值为（）A B C D ．例10．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，BAC ∠的平分线交BC 于点,2,6D BD DC BC ==，则ABC ∆的面积的最大值为（）A ．6B ．C ．12D ．例11．（2022·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD 中，AB =1，AD =4，BC =CD =2，则四边形ABCD 面积的最大值为（）A B C ．D ．例12．（2022·全国·高三专题练习）已知边长为2的等边三角形ABC ，D 是平面ABC 内一点，且满足:2:1DB DC =，则三角形ABD 面积的最大值是（）A 43B C 43D 例13．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2a C b c =+，若6a =，则ABC ∆的面积的最大值为（） A ．6 B ．3C ．D ．【题型】四、正余弦定理与三角函数性质结合最值例14．（2022·福建·三明一中高三阶段练习）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若sin c A =，λ=b a ，则实数λ的最大值是（）A B ．32C ．D ．2+例15．（2020·全国·高三专题练习（文））已知平面四边形ABCD 由ACD 与等边ABC 拼接而成，其中22AD CD ==，则平面四边形ABCD 面积的最大值为______.例16．（2020·全国·高三阶段练习（理））在边长为ABC 中，G 是中心，直线l 经过点G 且与AB ，AC 两边分别交于P ，Q 两点，则11GP GQ+的最大值为__________. 第三天学习及训练【题型】五、化角为边判断三角形的形状例17．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()2cos cos a b c A B +=+，则角C 的大小为（）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6例18．（2023·全国·高三专题练习）设△ABC 的三边长为BC a =，=CA b ，AB c =，若tan2A a b c =+，tan 2B ba c=+，则△ABC 是（）． A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形例19．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos c B a =，则这个三角形的形状为（） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．等腰或直角三角形例20．（2022·江苏·高邮市第一中学高三阶段练习）在ABC ，下列说法正确的是（） A ．若cos cos a A b B =，则ABC 为等腰三角形 B ．若40,20,25a b B ===︒，则ABC 必有两解 C ．若ABC 是锐角三角形，则sin cos A B >D ．若cos2cos2cos21A B C +-<，则ABC 为锐角三角形例21．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列命题正确的是（） A ．若a b >，则cos2cos2A B <B ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 一定为直角三角形C ．若4a =，5b =，6c =，则ABCD ．若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则ABC 一定是等边三角形【题型】六、化边为角判断三角形的形状例22．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，2cos 22A b cc+=，则ABC 的形状一定是（） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形例23．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足cos cos a A b B =，则ABC 的形状为（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形例24．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos sin cos b A c B a B =-，则ABC 是（） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形例25．（2022·江苏·海安市立发中学高三阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列的结论中正确的是（） A ．若cos cos A B >，则sin sin A B <B ．若sin cos sin cos A A B B =,则ABC 一定是等腰三角形C ．若ABC 是锐角三角形，则sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++D ．已知ABC 不是直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++第四天学习及训练【题型】七、利用不等式求范围问题例26．（2023·江苏·苏州中学高三阶段练习）已知△ABC 中，sin A =3sin C cos B ，且AB =2，则△ABC 的面积的最大值为（）A ．3B ．C ．9D ．例27．（2023·全国·高三专题练习）在等腰ABC 中，AB ＝AC ，若AC 边上的中线BD 的长为3，则ABC 的面积的最大值是（） A ．6B ．12C ．18D ．24例28．（2023·全国·高三专题练习）设()2πsin cos cos 4f x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若02A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1a =，则ABC 面积的最大值为（）A BC D 例29．（2023·全国·高三专题练习）如图，镇江金山的江天禅寺是历史悠久的佛教圣地，其周围的金山湖公园也成为市民休闲旅游的最佳选择.为了扩大对家乡旅游的宣传，现对江天禅寺进行无人机拍照.已知慈寿塔DE 的右侧是金山湖，我们选择了三个点，分别是宝塔左侧一点A 与湖对岸B ，F 点，设宝塔底部E 点和这三个点在同一直线上，无人机从A 点沿AD 直线飞行200米到达宝塔顶部D 点后，然后再飞到F 点的正上方，对山脚的江天禅寺EB 区域进行拍照.现测得从A 处看宝塔顶部D 的仰角为60°，sin ABD ∠=100BF =米.若无人机在C 点处获得最佳拍照角度时（即BCE ∠最大），该无人机离地面的高度为（）A ．B ．C ．D ．200米例30．（2023·全国·高三专题练习）ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知222,cos cos 2b c a bc b C c B +-=+=，则ABC 的面积的最大值（）A ．1B C ．2D ．例31．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC 中，cos B =2AC =，AB k =，则（）A ．△ABC 外接圆面积为定值，且定值为9πB ．△ABC 的面积有最大值，最大值为3+C ．若k =60C =︒D ．当且仅当02k <≤或6k =时，△ABC 有一解例32．（2023·全国·高三专题练习）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是（）A ．若A ＝30°，3a =，4b =，则△ABC 有两解B ．若()3AB AC CB -⊥，则角A 最大值为30° C ．若222a b c +>，则△ABC 为锐角三角形D ．若AB AC AP AB AC λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭，则直线AP 必过△ABC 内心【题型】八、利用三角函数值域求范围问题例33．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，若222a b c kab +-=，则实数k 的取值范围是（） A ．()2,2-B ．()1,1-C ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．0,1例34．（2022·全国·高三专题练习）在锐角ABC 中，cos cos ()sin sin A CA B C a c+=，cos 2C C +=，则a b +的取值范围是（）A ．(4⎤⎦B ．(2,C ．(]0,4D ．(]2,4例35．（2022·全国·高三专题练习）已知在锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且60B ︒=，ABC b 的取值范围为（）A ．⎡⎣B ．C ．)D ．[)2,6例36．（2022·全国·高三专题练习）已知正三棱柱111ABC A B C 的外接球的表面积为36π，球心为O ，则（） A ．1OA BC ⊥B ．该三棱柱所有棱长之和的最大值为36C ．该三棱柱侧面积的最大值为12D ．三棱锥O ABC -的体积是该三棱柱的体积的16答案第一天学习及训练【题型】一、求三角形中的边长有关的最值例1．（2022·山东·日照一中高三阶段练习）ABC 中，角,,A B C 所对的三边分别为,,,2a b c c b =，若ABC 的面积为1，则BC 的最小值是（） A ．2 B ．3 CD【答案】C【分析】由三角形面积公式得到21sin b A=，利用角A 的三角函数表达出254cos sin A BC A -=，利用数形结合及sin sin 055cos cos 44AA A A -=--的几何意义求出最值.【详解】因为△ABC 的面积为1，所211sin 2sin sin 122bc A b b A b A =⨯==，可得21sin b A=，由BC AC AB =-，可得222222||||||22cos BC AC AB AC AB b c bc A b =+-⋅=+-=+()22254cos 54cos 222cos 54cos sin sin sin A Ab b b A b b A A A A--⨯=-=-=，设sin 1sin 54cos 54cos 4A A m A A ⎡⎤⎢⎥==-⨯⎢⎥-+⎢⎥-⎣⎦，其中(0,π)A ∈，因为sin sin 055cos cos 44AA A A -=--表示点5,04P ⎛⎫⎪⎝⎭与点（cos A ，sin A ）连线的斜率，如图所示，当过点P 的直线与半圆相切时，此时斜率最小，在直角△OAP 中，51,4OA OP ==，可得34PA =，所以斜率的最小值为4tan 3PA k APO ∠=-=-，所以m 的最大值为141433⎛⎫-⨯-= ⎪⎝⎭，所以2||3BC ，所以||3BC ，即BC故选：C ．【点睛】思路点睛：解三角形中最值问题，要结合基本不等式，导函数或者数形结合，利用代数式本身的几何意义求解.例2．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，60BAC ∠=，3BC =，且有2CD DB =，则线段AD 长的最大值为（）A B ．2 C 1 D ．【答案】C【分析】在ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，利用正弦定理得出b B =，c C =，利用平面向量数量积的运算性质得出222924AD b bc c =++，利用三角恒等变换思想化简得出2224AD B =+，利用正弦型函数的有界性可得出线段AD 长的最大值.【详解】在ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，由正弦定理可得3sin sin sin 3b c B C π===b B =，c C =， ()()1112333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，即32AD AB AC =+，所以，()()22222229324444cos3AD ADAB ACAC AB AB AC b c cb π==+=++⋅=++22224212sin 48sin 24sin sin b c bc B C B C =++=++1cos 21cos 2124824sin sin 22B CB C --=⋅+⋅+ 224sin sin 6cos 224cos 23033BB B B ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+---+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1124sin sin 6cos 224cos 223022B B BB B B ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 212cos 6cos 212cos 22302BB B B B B -=⋅+-+++ 236B =+，所以，2224AD B =+，203B π<<，则4023B π<<，当22B π=时，即当4B π=时，AD 取最大值，即max 1AD =. 故选：C.【点睛】思路点睛：求三角形有关代数式最值是一种常见的类型，主要方法有两类：（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 例3．（2022·全国·高三专题练习）在ABC中，若3B π=，AC =2AB BC +的最大值为（） A ．7B ．C ．D ．5【答案】B【分析】设A θ=，结合正弦定理得22sin ,3AB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πθ2sin BC θ=，然后结合化简整理得到关于θ的函数，进而结合函数的图象与性质即可求出结果.【详解】设A θ=，由正弦定理知22sin sin 3AB BC ===⎛⎫- ⎪⎝⎭θπθ，因此22sin ,3AB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πθ 2sin BC θ=，故222sin 4sin 3AB BC ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭πθθ222sin cos cos sin 4sin 33⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭πθπθθsin 4sin =++θθθ5sin =+θθ()=+θϕ，其中tan ϕ 所以当()sin 1θϕ+=时，，取得最大值，且最大值为故选：B.【题型】二、求三角形中的周长有关的最值例4．（2022·全国·高三专题练习）在锐角三角形ABCcos 2B B +=，且满足关系式cos cos sin sin 3sin B C A Bb c C⋅+=，则ABC 的周长最大值为（） AB．C．D．【答案】D【分析】cos 2B B +=，推导出3B π=，由cos cos sin sin 3sin B C A Bb c C+=，推导出b =再由正弦定理可得4sin a A =，24sin 4sin()3c C A π==-，由此能求出周长的取值范围.【详解】cos 2B B +=，∴112cos B B +=，sin()16B π∴+=，262B k πππ∴+=+，2B π<，3B π∴=，cos cos sin sin 3sin B C A B b c C +=，∴2222222223a c b a b c abc abc c+-+-+=，∴a bc，b ∴=4sin sin sin a c bA CB ===， 4sin a A ∴=，24sin 4sin()3c C A π==-，214sin 4sin()3(cos ))326a c A A A A A ππ∴+=+-==+，三角形ABC 为锐角三角形，∴62A ππ<<，∴2363A πππ<+<，∴sin 16A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭66A π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭6a c <+≤b =∴a b c ++≤ABC的周长最大值为故选：D例5．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，23ABC π∠=，4BD =，则ABC 周长的最小值为（）A．8+B．8+C．16+D．16+【答案】C【分析】根据等面积法得4aca c +=，进而结合基本不等式得16a c +≥，64ac ≥，当且仅当8a c ==时等号成立，再结合余弦定理得b ≥≥当且仅当8a c ==时等号成立，进而得周长最小值. 【详解】根据题意，设,,AB c BC a AC b ===，因为ABCABDCBDSSS=+，243ABC BD π∠==，，ABD CBD ∠=∠，所以111sin sin sin 222AB BC ABC AB BD ABD CB BD CBD ⋅⋅∠=⋅⋅∠+⋅⋅∠，=，所以4ac a c +=，因为根据基本不等式有22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，a c +≥所以16a c +≥，64ac ≥，当且仅当8a c ==时等号成立，由余弦定理得b ==当且仅当8ac ==时等号成立，所以16a b c ++≥+，当且仅当8a c ==时等号成立.所以ABC 周长的最小值为16+故选：C例6．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，已知60C =︒，4AB =，则ABC 周长的最大值为（） A ．8 B ．10C ．12D ．14【答案】C【分析】根据余弦定理算出2()163a b ab +=+，再利用基本不等式即可得8a b +，从而可得到ABC 周长的最大值．【详解】解：在ABC 中，60C =︒，4AB c ==， ∴由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，即2222162cos 60a b ab a b ab =+-︒=+-2()3a b ab =+-，由基本不等式有22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以222216()3()(3144)()a b ab a b a b a b -==+-≥+++，∴8a b +（当且仅当4a b ==时等号成立），ABC ∴周长8412a b c +++=（当且仅当4a b ==时等号成立），即当且仅当4a b ==时，ABC 周长的最大值为12，故选：C ．【点睛】关键点点睛：先用余弦定理得216()3a b ab =+-，再结合基本不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即可求a b +的最大值，从而得ABC 周长的最大值.第二天学习及训练【题型】三、求三角形中的面积有关的最值例7．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2a =，2cos 2cos 24sin C A B =+，则ABC 面积的最大值是（） A ．23B ．1C ．43D ．2【答案】A【分析】利用二倍角公式和正弦定理化简已知等式可得22224a c b =+=；利用余弦定理可构造等量关系求得cos A ，进而得到sin A ；利用三角形面积公式，将ABCS表示为以2b 为自变量的二次函数的形式，利用二次函数最值的求法可求得所求最大值. 【详解】由2cos 2cos 24sin C A B =+得：22212sin 12sin 4sin C A B -=-+，即222sin sin 2sin A C B =+，由正弦定理得：22224a c b =+=；由余弦定理得：2222cos 4a b c bc A =+-=，222222cos c b b c bc A ∴+=+-，即cos 2bA c=，()0,A π∈，sin A ∴1sin 2ABCSbc A ∴=== 2224c b +=，2242c b ∴=-，ABCS∴=则当289b =时，42max 996481644448199b b ⎛⎫-+=-⨯+⨯= ⎪⎝⎭，()max 142233ABC S∴=⨯=. 故选：A.例8．（2023·全国·高三专题练习）ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知()sin sin sin ,cos cos 2b c B c C a A b C c B -+=+=，则ABC 的面积的最大值（）A ．1 BC ．2D ．【答案】B【分析】根据()sin sin sin b c B c C a A -+=，利用正弦定理化角为边，结合余弦定理求得角A ，再根据cos cos 2b C c B +=，利用余弦定理化角为边求得边a ，再利用余弦定理结合基本不等式求得bc 的最大值，再根据三角形的面积公式即可得出答案. 【详解】解：因为()sin sin sin b c B c C a A -+=，所以222b bc c a -+=，所以1cos 2A =，又()0,A π∈，所以3A π=，因为cos cos 2b C c B +=，所以222222222a b c a c b bc ab ac+-+-+=，所以2a =，由2222cos a b c bc A =+-，得224b c bc bc =+-≥，所以4bc ≤，当且仅当2b c ==时，取等号，则1sin 2ABC S bc A ==≤△，所以ABC故选：B.例9．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且sin()2sin cos 0B C A B ++=.若2b =，则ABC 面积的最大值为（）ABCD．【答案】A【分析】由已知条件，结合三角形内角性质得12cos 0B +=，进而可得角B ，应用正弦定理有033c A A ππ⎛⎫⎛⎫=-<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，根据三角形面积公式、三角恒等变换得26ABCSA π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ABC 面积的最大值. 【详解】由sin()2sin cos 0B C A B ++=，得sin 2sin cos 0A A B +=， ∴sin (12cos )0A B ⋅+=，又sin 0A ≠， ∴12cos 0B +=，即1cos 2B =-，又(0,)B π∈，∴2,33B C A B A πππ==--=-，又sin sin c bC B=，∴2sin sin 302sin 33sin3A b C c A A B ππππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭===-<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 211sin sin sin sin 2sin cos sin 2232ABCSbc A A A A A A A A A A π⎫⎛⎫==-=-==⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭sin 2226A A A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 由03A π<<，有52666A πππ<+<，则sin 2sin 162A ππ⎛⎫+≤= ⎪⎝⎭，26A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ABC故选：A.【点睛】关键点点睛：由已知等量关系求角，利用三角形内角性质、正弦定理及三角形面积公式得到ABC 面积关于内角A 的函数式，根据内角的范围求最值.例10．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，BAC ∠的平分线交BC 于点,2,6D BD DC BC ==，则ABC ∆的面积的最大值为（）A ．6B ．C ．12D ．【答案】C【分析】设AC x =，BAC θ∠=，则2AB x =，结合正弦定理表示得1sin 2ABCSAB AC BAC =⋅⋅∠，由余弦定理可得x 与θ的关系式，联立前式由同角三角函数和二次函数性质化简即可求解【详解】如图，设设AC x =，BAC θ∠=，则由正弦定理可得sin sin BD ABBAD ADB=∠∠①，sin sin CD ACCAD ADC=∠∠②，又ADB ADC π∠+∠=，所以sin sin ADB ADC ∠=∠，①②式联立可得21AB AC =，则2AB x =，则211sin 2sin sin 22ABC S AB AC BAC x x x θθ=⋅⋅∠=⋅⋅=⋅△，对ABC ，由余弦定理可得22222536cos 24AB AC BC x BAC AB AC x +--∠==⋅，则()22422242424425362536036sin 1cos 1416x x x S x x x x x θθ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪=⋅=⋅-=⋅-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2422422199********+14420256161616x x x x x ⎡⎤=--+=--=---⎢⎥⎣⎦，当220x =时，2S 有最大值，()2max 925614416S =⨯=，所以max 12S =，故选：C【点睛】本题考查由三角形的边角关系求解面积最值，正弦定理、余弦定理解三角形，属于难题，本题中的角平分线性质可当结论进行识记：AD 为ABC 的角平分线，则AB BDAC CD= 例11．（2022·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD 中，AB =1，AD =4，BC =CD =2，则四边形ABCD 面积的最大值为（）A B C ．D ．【答案】A【分析】通过余弦定理分别表示BD ，从而找到角A ，C 的关系，将四边形的面积用角A ，C 表示，从而求得面积的最大值. 【详解】由余弦定理知：在ABD △中，有2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅2214214cos 178cos A A =+-⨯⨯⋅=-，在BCD △中，有2222cos BD CB CD CB CD C =+-⋅2222222cos 88cos C C =+-⨯⨯⋅=-，则9178cos 88cos cos cos 8A C A C -=-⇒-=，由四边形ABCD 的面积=三角形ABD 的面积+三角形BCD 的面积，故1111sin sin 14sin 22sin 2222S AB AD A CB CD C A C =⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯ 2(sin sin )A C =+，在三角形中，易知,(0,)A C π∈，sin ,sin 0A C >，()22sin sin (cos cos )A C A C ++-2222sin sin 2sin sin cos cos 2cos cos A C A C A C A C =++++-22cos()4A C =-+≤，当且仅当A C π+=时等号成立，此时229(sin sin )4sin sin 8A C A C ⎛⎫++≤⇒+≤ ⎪⎝⎭，故2(sin sin )2S A C =+≤=故选：A.【点睛】方法点睛：四边形对角线是公共边，以之为连接点找到角与角的关系，把面积也化成角来表示，从而借助三角函数的最值来求得面积的最值.例12．（2022·全国·高三专题练习）已知边长为2的等边三角形ABC ，D 是平面ABC 内一点，且满足:2:1DB DC =，则三角形ABD 面积的最大值是（） A43BC43D【答案】C【分析】建立直角坐标系，设(,)D x y ，写出,,A B C 的坐标，利用:2:1DB DC =列式得关于,x y的等式，可得点D 的轨迹为以5(,0)3为圆心，以43为半径的圆，写出直线AB 的方程，计算AB和点D 距离直线AB 的最大距离d r +，代入三角形面积公式计算.【详解】以BC 的中点O为原点，建立如图所示的直角坐标系，则(1,0),(1,0)A B C -，设(,)D x y ，因为:2:1DB DC =，所以()()22221414++=-+x y x y ，得2251639x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以点D 的轨迹为以5(,0)3为圆心，以43为半径的圆，当点D 距离直线AB 距离最大时，ABD △面积最大，已知直线AB0y -=，2AB =，点D 距离直线AB 的最大距离为：4433+=d r ，所以ABD △面积的最大值为1442233⎫=⨯⨯=⎪⎪⎝⎭ABD S △. 故选：C【点睛】解答本题的关键在于建立直角坐标系，设点(,)D x y ，通过:2:1DB DC =得关于,x y 的等式，从而判断出点D 的轨迹，数形结合分析得当点D 距离直线AB 距离最大时，ABD △面积最大.例13．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2a C b c =+，若6a =，则ABC ∆的面积的最大值为（） A ．6 B ．3C ．D ．【答案】D【解析】利用余弦定理求得角A 的值，结合基本不等式可求得bc 的最大值，进而可求得ABC ∆的面积的最大值.【详解】由余弦定理得222222a b c a b c ab+-⋅=+，所以22222a b c b bc +-=+，所以222b c a bc +-=-.由余弦定理的推论得2221cos 222b c a bc A bc bc +-==-=-，又()0,A π∈，所以23A π=.若6a =，由余弦定理的得222222cos 23a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=++≥+=，当且仅当b c =时取等号，所以336bc ≤，解得12bc ≤.故1sin 2ABC S bc A ∆=≤.因此，ABC ∆面积的最大值为故选：D.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积最值的计算，涉及基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.【题型】四、正余弦定理与三角函数性质结合最值例14．（2022·福建·三明一中高三阶段练习）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sinc A=，λ=b a，则实数λ的最大值是（）AB．32C．D．2+【答案】D【分析】根据余弦定理和sinc A=得222212sin2sin cosa b A b b A A=+-⋅，进而得22723aAbπ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，再根据三角函数的性质求解即可得答案.【详解】解：由余弦定理，得2222cosa cb b A=+-，结合sinc A=，得222212sin2sin cosa b A b b A A=+-⋅，解得22212sin12aA Ab=+-，即22723aAbπ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，则当12Aπ=时，222max(2ba⎛⎫=⎪⎝⎭．max max()2baλ==故选：D．【点睛】本题考查余弦定理与三角函数的性质求最值，考查运算能力，是中档题.例15．（2020·全国·高三专题练习（文））已知平面四边形ABCD由ACD与等边ABC拼接而成，其中22AD CD==，则平面四边形ABCD面积的最大值为______.【答案】2【解析】设D θ∠=，利用余弦定理求出AC ，利用面积公式将ACD 与等边ABC 的面积用θ表示，利用三角函数的性质即可求解.【详解】设D θ∠=，在ACD 中，由余弦定理可得：2222cos 54cos AC AD CD AD CD θθ=+-⨯=- ，所以)21sin 54cos 23ABCSAC πθ=⨯=-，因为1sin sin 2ACDSAD CD θθ=⨯⨯=，所以)sin 54cos ABC ACDS SSθθ=+=+-sin 2sin 3πθθθ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，因为()0,θπ∈，所以2,333πππθ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以max 2S =，故答案为：2【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用，求面积的最值，考查余弦定理、辅助角公式，属于中档题.例16．（2020·全国·高三阶段练习（理））在边长为ABC 中，G 是中心，直线l 经过点G 且与AB ，AC 两边分别交于P ，Q 两点，则11GP GQ+的最大值为__________.【分析】设AGP θ∠=，在,APG AQG 中由正弦定理，用θ表示出,PG GQ ，再利用正余弦的和角公式，将11GP GQ+表示为 θ的函数，求该函数的最值即可. 【详解】设BC 中点为D ，AGP θ∠=，2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，如下图所示：因为G是重心，所以22233AG AD AC =⋅=⨯=. 在AGP 中，由正弦定理得，sin sin GP AGPAG APG=∠∠，所以sin165sin sin 66AG GP πππθθ⋅==⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理在AGQ △中，由正弦定理得1sin 6GQ πθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以11sin sin 2sin cos 666GP GQ πππθθθθ⎛⎫⎛⎫+=++-=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当2πθ=时，max112GP GQ π⎛⎫+== ⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用正余弦定理求解三角形中的最值问题，涉及三角函数最值的求解，第三天学习及训练【题型】五、化角为边判断三角形的形状例17．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()2cos cos a b c A B +=+，则角C 的大小为（）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】B【分析】利用余弦定理进行边化角222222222b c a a c b a b c bc ac ⎛⎫+-+-+=+ ⎪⎝⎭，整理可得()()2220a b c a b ab +--+=即2220c a b ab --+=，再用余弦定理可得1cos 2C =．【详解】因为()2cos cos a b c A B +=+，则222222222b c a a c b a b c bc ac ⎛⎫+-+-+=+ ⎪⎝⎭，整理得()()2220a b c a b ab +--+=，所以2220c a b ab --+=即222a b c ab +-=，则2221cos 222a b c ab C ab ab +-===， ∵()0,πC ∈，所以π3C =. 故选：B.例18．（2023·全国·高三专题练习）设△ABC 的三边长为BC a =，=CA b ，AB c =，若tan2A a b c =+，tan 2B ba c=+，则△ABC 是（）． A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】B【分析】若三角形各边长为a 、b 、c 且内切圆半径为r ，法一：由内切圆的性质有tan2A a b c =+、tan 2B ba c=+，根据边角关系可得a b =或222+=a b c ，注意讨论所得关系验证所得关系的内在联系；法二：由半角正切公式、正弦定理可得A B =或π2A B +=，结合三角形内角的性质讨论所得关系判断三角形的形状. 【详解】设()12P a b c =++，△ABC 的内切圆半径为r ，如图所示，法一： ∴tan2A r a p a b c ==-+①；tan 2B r b p b a c==-+②. ①÷②，得：p b a a cp a b c b -+=⋅-+，即()()()()22p b a a c p a b b c -+=-+．于是()()()()b b c c a b a a c b c a ++-=++-，232232ab b bc a b a ac -+=-+，()()2220a b a b c -+-=，从而得a b =或222+=a b c ，∴A B ∠=∠或90C ∠=︒．故△ABC 为等腰三角形或直角三角形，（1）当a b =时，内心I 在等腰三角形CAB 的底边上的高CD 上，12ABCS AB CD c =⋅△，从而得2S r a b c ==++又()1122p a b c a c -=+-=，代入①式，()22a abc a ca c c==+++⋅，a a c =+，上式两边同时平方，得：()2222a c a a c a c -=++，化简2220c a -=，即c =．即△ABC 直角三角形，∴△ABC 为等腰直角三角形．（2）当222+=a b c 时，易得()12r a b c =+-．代入②式，得()()1212a b c b a c a c b +-=++-，此式恒成立，综上，△ABC 为直角三角形．法二：利用sin tan21cos A A A =+，sin tan 21cos B B B =+及正弦定理和题设条件，得sin sin 1cos sin sin A A A B C=++①，sin sin 1cos sin sin B B B A C=++②.∴1cos sin sin A B C +=+③；1cos sin sin B A C +=+④.由③和④得：1cos sin 1cos sin A B B A +-=+-，即sin cos sin cos A A B B +=+，ππsin sin 44A B ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为,A B 为三角形内角， ∴ππ44A B +=+或πππ44A B +=--，即A B =或π2A B +=．（1）若A B =，代入③得：1cos sin sin A B C +=+⑤又ππ2C A B A =--=-，将其代入⑤，得：1cos sin sin 2A A A +=+．变形得()()2sin cos sin cos 0A A A A ---=，即()()sin cos sin cos 10A A A A ---=⑥，由A B =知A 为锐角，从而知sin cos 10A A --≠． ∴由⑥，得：sin cos 0A A -=，即π4A =，从而π4B =，π2C =．因此，△ABC 为等腰直角三角形．（2）若π2A B +=，即π2C =，此时③④恒成立，综上，△ABC 为直角三角形．故选：B例19．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos c B a =，则这个三角形的形状为（） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰或直角三角形【答案】A【解析】由条件和余弦定理可得2222a c b a acc +-=⋅，然后化简可得答案. 【详解】因为cos c B a =，所以由余弦定理可得2222a c b a acc +-=⋅，即22222a c b a +-= 所以222+c a b ，所以三角形的形状为直角三角形故选：A例20．（2022·江苏·高邮市第一中学高三阶段练习）在ABC ，下列说法正确的是（） A ．若cos cos a A b B =，则ABC 为等腰三角形 B ．若40,20,25a b B ===︒，则ABC 必有两解 C ．若ABC 是锐角三角形，则sin cos A B >D ．若cos2cos2cos21A B C +-<，则ABC 为锐角三角形【答案】BC【分析】利用正弦定理结合正弦函数的性质可判断A ；根据边角关系判断三角形解的个数可判断B ；由已知得022A B ππ>>->，结合正弦函数性质可判断C ；利用二倍角的余弦公结合余弦定理可判断D.【详解】对于A ，由正弦定理可得sin cos sin cos A A B B =，sin 2sin 2A B ∴=，A B ∴=或22180A B +=即90A B +=，ABC ∴为等腰或直角三角形，故A 错误；对于B ，1sin 40sin 2540sin3040202a B =<=⨯=，即sin a Bb a <<，ABC ∴必有两解，故B 正确；对于C ，ABC 是锐角三角形，2A B π∴+>，即022A B ππ>>->，由正弦函数性质结合诱导公式得sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，利用二倍角的余弦公式知22212sin 12sin 12sin 1A B C -+--+<，即222sin sin sin 0A B C +->，即2220a b c +->，cos 0C ∴>，即C 为锐角，不能说明ABC 为锐角三角形，故D 错误. 故选：BC【点睛】方法点睛：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：（1）若式子含有sin x 的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；（2）若式子含有,,a b c 的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；（3）若式子含有cos x 的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；例21．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列命题正确的是（） A ．若a b >，则cos2cos2A B <B ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 一定为直角三角形C ．若4a =，5b =，6c =，则ABCD ．若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则ABC 一定是等边三角形【答案】ABD【分析】对于A ，利用正弦定理和三角函数恒等变换公式化简判断，对于B ，利用余弦定理统一成边化简进行判断，对于C ，先利用余弦定理求出cos A ，从而可求出sin A ，再利用正弦定理可求出ABC 外接圆半径，对于D ，利用三角函数的性质结合三角形内角进行判断【详解】解：对于A ，因为a b >，所以由正弦定理得sin sin 0A B >>，所以22sin sin A B >，所以1cos 21cos 222A B-->，所以cos2cos2A B <，所以A 正确，对于B ，因为cos cos a B b A c -=，所以22222222a c b b c a a b c ac bc+-+-⋅-⋅=，即22222222a c b b c a c +---+=，所以222a b c =+，所以ABC 一定为直角三角形，所以B 正确，对于C ，由余弦定理得2222536163cos 22564+-+-===⨯⨯b c a A bc ，因为(0,)A π∈，所以sin A ==2sin a R A ===ABCC 错误，对于D ，因为在ABC 中，()()()cos ,cos ,cos (1,1]A B B C C A ---∈-，()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，所以()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，所以0A B B C C A -=-=-=，所以A B C ==，所以ABC 一定是等边三角形，所以D 正确，故选：ABD【题型】六、化边为角判断三角形的形状例22．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，2cos 22A b cc+=，则ABC 的形状一定是（） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形【答案】B【分析】根据降幂公式，先得到1cos 22A c bc+=+，化简整理，再由正弦定理，得到sin cos 0A C =，推出cos 0C =，进而可得出结果. 【详解】因为2cos22A b c c +=，所以1cos sin sin sin 122sin 2sin 2A B C B C C ++==+，所以sin cos sin B A C= 即()cos sin sin sin sin cos cos sin A C B A C A C A C ==+=+，所以sin cos 0A C =，因为sin 0A ≠，所以cos 0C =，因为()0,C π∈，所以2C π=，即ABC 是直角三角形.故选：B例23．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足cos cos a A b B =，则ABC 的形状为（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形【答案】D【分析】利用正弦定理得到A B =或2A B π+=，即可判断.【详解】在ABC 中，对于 cos cos a A b B =，由正弦定理得：sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22A B π+= 即A B =或2A B π+=.所以ABC 为等腰三角形或直角三角形. 故选：D例24．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos sin cos b A c B a B =-，则ABC 是（） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形【答案】C【分析】利用正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式、结合诱导公式求出sin B 的值，结合角B 的范求得角B ，即可求解.【详解】因为cos sin cos b A c B a B =-由正弦定理化边为角可得：sin cos sin sin sin cos B A C B A B =-，所以()()sin sin sin cos sin cos sin sin πsin C B A B B A A B C C =+=+=-=，因为sin 0C ≠，所以sin 1B =，因为0πB <<，所以π2B =，所以ABC 是直角三角形，故选：C.例25．（2022·江苏·海安市立发中学高三阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列的结论中正确的是（） A ．若cos cos A B >，则sin sin A B <B ．若sin cos sin cos A A B B =,则ABC 一定是等腰三角形C ．若ABC 是锐角三角形，则sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++D ．已知ABC 不是直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++ 【答案】ACD【分析】结合正弦定理以及三角函数与三角形的性质、三角恒等变换以及两角和与差的三角函数公式逐项判断即可．【详解】解：因为A ，0πB ∈（，），且cos y x =在0π（，）上单调递减，故由cos cos A B >，得A B <，故a b <，结合正弦定理得sin sin A B <,故A 正确；sin cos sin cos A A B B =⇒ sin 2sin 2A B =,故22A B =，或22πA B +=，即=A B ，或π2A B +=，故三角形ABC 是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；若三角形ABC 为锐角三角形，则π2A B +>π02A B ⇒>->，故πsin sin()cos 2A B B >-=，同理可得sin cos B C >,sin cos C A >，三式相加得sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++，故C 正确；ABC 不是直角三角形，即A ，B ，C 都不是直角，因为tan tan[π()]tan()C B C B C =-+=-+=tan tan tan tan 1A BA B +⋅-,整理得tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++，故D 正确．故选：ACD ．第四天学习及训练【题型】七、利用不等式求范围问题例26．（2023·江苏·苏州中学高三阶段练习）已知△ABC 中，sin A =3sin C cos B ，且AB =2，则△ABC 的面积的最大值为（）A ．3B ．C ．9D ．【答案】A【分析】法一：根据正弦定理，将角化边，从而利用三角形面积公式，半角公式及三角函数有界性求出面积的最大值；法二：根据正弦定理，将边化角，得到tan =2tan B C ，画出图形，作出辅助线，设,AD h BD x ==，得到22+=4x h ，利用基本不等式求出三角形面积的最大值. 【详解】法一：由正弦定理得：=3cos =6cos a c B B ， ()11=sin =6cos 2sin =3sin2322ABCSac B B B B ⋅⋅≤ 法二：由正弦定理得：sin cos +cos sin =3sin cos B C B C C B ，所以sin cos =2cos sin B C B C故tan =2tan B C ，如图所示：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，设,AD h BD x ==，则2CD x =，由勾股定理得：22+=4x h ，所以()2213313=3=+=4=322224ABCSx h xh x h ⋅⋅⋅≤⨯当且仅当=x h 故选：A.例27．（2023·全国·高三专题练习）在等腰ABC 中，AB ＝AC ，若AC 边上的中线BD 的长为3，则ABC 的面积的最大值是（） A ．6 B ．12 C ．18 D ．24【答案】A【分析】利用余弦定理得到边长的关系式，然后结合勾股定理和基本不等式即可求得ABC 面积的最大值．【详解】设2AB AC m ==，2BC n =，由于ADB CDB π∠=-∠，在ABD △和BCD △中应用余弦定理可得：2222949466m m m n m m+-+-=-，整理可得：2292m n =-，结合勾股定理可得ABC 的面积：112322S BC n =⨯224362n n +-=⨯=，。

高中数学《解三角形复习(最值问题)》PPT教学课件

例1 (1)锐角ABC中，b 1, c 2,
则边a的取值范围是__3_，__5_ .
(2)若2a 1, a,2a 1为钝角三角形的三边长，
则实数a的取值范围是_(_2_,8_)__ .
(3)锐角ABC中，若C＝2B,
则
c
2, 3
的取值范围是____
.
b
(4ห้องสมุดไป่ตู้在ABC中，若 b c 1,
解三角形复习
（最值问题）
你对三角形知多少？
A
1、内角和定理: A B C
c
b
B
sin( A B) sinC,cos(A B) cos C
aC
sin A B cos C ,cos A B sin C
2
2
2
2
2、大边对大角: a b A B sin A sin B
(1)求 cos C的值； (2)求ABC的面积的最大值.
巩固作业的参考答案

2 3
1.(1)A 6
(2)Smax
16

2.(1)A (2) 2 2,2 2 4
3.(1)A (2)b c 3,2 3 3
3
32
4.(1)cosC 5
(2)Smax 25
(1)求角A的大小； (2)求ABC的面积的最大值.
巩固作业：
2.在锐角ABC 中，内角A，B，C所对的边分别
为a, b, c，且 b2
a2
c2

cos(A C ) ,
ac
sin Acos A
(1)求角A;
(2)若a 2,求bc的取值范围.

解三角形最值问题方法总结

解三角形最值问题方法总结
解三角形最值问题是高中数学中的一个重要部分，对于学生来说也是比较难掌握的一种题型。

在解题过程中，我们可以采用以下几种方法来帮助我们更好地解决这类问题。

第一种方法是利用勾股定理来解题。

当我们在解题过程中遇到一组已知的直角三角形时，可以利用勾股定理来求出未知边的长度。

在此基础上，我们可以进一步求出三角形的周长、面积等相关值。

第二种方法是应用正弦、余弦、正切等三角函数来解题。

当我们在解题过程中遇到一组已知三角形的一个角和一个边长时，可以利用三角函数的定义式求出其他未知量的值。

第三种方法是利用面积公式来解题。

当我们在解题过程中遇到一组已知三角形的底边和高时，可以利用面积公式求出三角形的面积。

在此基础上，我们可以进一步求出周长、角度等相关值。

以上就是解三角形最值问题的三种常用方法。

在实际解题过程中，我们可以结合具体题目的特点灵活运用这些方法，以便更好地解决问题。

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【高中数学】解三角形范围与最值问题

8.15作业解三角形范围与最值问题1. 在△ABC中，∠A、∠B、C∠的对边分别为a、b、c，其中边c最长，并且sin2A+sin2B=1．（1）求证：△ABC是直角三角形；（2）当c=1时，求△ABC面积的最大值．2. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c−a=2b cos A，b=3.（1）求B的大小；（2）若a=√3，求△ABC的面积；（3）求aca c+的最大值.3. 某市计划新修一座城市运动公园，设计平面如图所示：其为五边形ABCDE其中三角形ABE区域为球类活动场所；四边形BCDE为文艺活动场所．其中AB，BC，CD，DE，EA为运动小道（不考虑宽度），∠BCD=∠CDE=120°，∠BAE=60°，DE=2BC=2CD=6千米．（1）求小道BE的长度；（2）设∠ABE=x，试用x表示△ABE的面积，并求x为何值时，球类活动场所△ABE的面积最大值，并求出最大值．4. 在锐角△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为a,b,c ，且满足：2a sin A =(2b −c )sin B +(2c −b )sin C . （1）求角A 的大小；（2）若a =3，求△ABC 的周长l 的最大值5. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2b cos A =2c +a ．（1）求角B 的大小；（2）若b =a +c 的范围．6. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别a ，b ，c ，且22cos cos 22C A a c ⎫⎛+ ⎪⎝⎭(a +c −b)=32ac . （1）求角B 的大小；（2）若b =c =x(x >0)，当△ABC 仅有一解时，写出x 的范围，并求a −c 的取值范围.7. 在ΔABC 中，a,b,c 分别是角,,A B C 的对边(a +b +c)(a +b −c)=3ab .（1）求角C 的值；（2）若c =2，且ΔABC 为锐角三角形，求2a −b 的范围.8. 铰链又称合页，是用来连接两个固体并允许两者之间做相对转动的机械装置.铰链可由可移动的组件构成，或者由可折叠的材料构成.合页主要安装于门窗上，而铰链更多安装于橱柜上.如图所示OA ，OC 就是一个合页的抽象图，∠AOC 可以在[0,π]变化，其中28cm OC OA ==，正常把合页安装在家具上时，∠AOC 的变化范围是[π2,π].根据合页的安装和使用经验可知，要使得安装的家具门开关并不受影响，在以AC 为边长的正三角形ABC 区域内不能有障碍物.（1）若π2AOC ∠=时，求OB 的长；（2）当∠AOC 是多大时，求△OBC 面积的最大值.。

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高中数学解三角形最值 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2三角形中的最值（或范围）问题解三角形问题，可以较好地考察三角函数的诱导公式，恒等变换，边角转化，正弦余弦定理等知识点，是三角，函数，解析几何和不等式的知识的交汇点，在高考中容易出综合题，其中，三角形中的最值问题又是一个重点。

其实，这一部分的最值问题解决的方法一般有两种：一是建立目标函数后，利用三角函数的有界性来解决，二是也可以利用重要不等式来解决。

类型一：建立目标函数后，利用三角函数有界性来解决例1．在△ABC 中， ,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，且2asinA =（2b+c ）sinB+（2c+b ）sinC.(1) 求角A 的大小；（2）求sin sin B C +的最大值.变式1：已知向量(,)m a c b =+，(,)n a c b a =--，且0m n ⋅=，其中,,A B C 是△ABC 的内角，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边.(1) 求角C 的大小；（2）求sin sin A B +的最大值.解：由m n ⋅=()a c +()()0a c b b a -+-=，得a 2+b 2—c 2=ab=2abcosC所以cosC=21，从而C=60故sin sin sin sin(120)O A B A A +=+-=3sin(60 +A) 所以当A=30 时，sin sin A B +的最大值是3变式2．已知半径为R 的圆O 的内接⊿ABC 中，若有2R （sin 2A —sin 2C ）=（2a —b ）sinB 成立，试求⊿ABC 的面积S 的最大值。

解：根据题意得：32R(224R a —224R c )=(2a —b)*Rb 2化简可得 c 2=a 2+b 2—2ab, 由余弦定理可得：C=45 , A+B=135 S=21absinC=212RsinA*2RsinB*sinC =2sinAsin(135 —A) =22R (2sin(2A+45 )+1 ∵0<A<135 ∴45 <2A+45 <315 ∴ 当2A+45 ＝90 即A=15 时，S 取得最大值2212R ＋。

类型二：利用重要不等式来解决例2（13年重庆中学）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为c b a ,,且4,41cos ==a A .（1）若6=+c b ，且b <c ，求c b ,的值．（2）求ABC ∆的面积的最大值。

解（1）由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，∴bc bc c b 212)(162--+=∴8=bc ，又∵,6=+c b b <c ，解方程组⎩⎨⎧==+86bc c b得4,2==c b 或2,4==c b (舍)． ∴4,2==c b（2）由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，∴bc c b 211622-+=∵bc c b 222≥+∴332≤bc ，又415sin =A∴3154sin 33221sin 21=⨯⨯≤=∆A A bc S ABC即c b =时三角形最大面积为31544变式3．在⊿ABC 中，角A,B,C 的对边是a,b,c, ⊿ABC 的外接圆半径R=3,且B C cos cos ＝BCA sin sin sin 2— （1）求B 和b 的值；（2）求⊿ABC 面积的最大值解：由已知B C cos cos ＝BCA sin sin sin 2—，整理可得：sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB即sin(B+C)= 2sinAcosB∵A+B+C=π ∴sinA =2sinAcosB∵sinA ≠0 ∴cosB=21∴B=60 。

∵R=3, ∴b=2RsinB=23sin60 =3, 故角B=60 ,边b=3由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2accosB 即9＝a 2+c 2-2accos 60∴9＋ac= a 2+c 2≥2ac(当且仅当a=b 时取等号) 即ac=9(当且仅当a=b=3时取等号)∴三角形得面积s=21acsin B ≤21*9*sin60 =349∴三角形得面积的最大值是349变式4：⊿ABC 中，若AB=1,BC=2,则角C 的取值范围是答案：解法1.由a=2,c=1, ∴a=2c∴2sinA=4sinC ∴sinC = 21sinA ≤21∵0<C<A ∴0<C ≤30解法2.cosC=ab c b a 2222－＋=b b 4142－＋=41(b+b 3)≥23,故0<C ≤30练习：1、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π3＜C ＜π2且b a －b ＝sin2Csin A －sin2C。

（1）判断△ABC 的性状； (2)若|BA ＋BC |＝2，求BA ·BC 的取值范围．解：(1)由b a －b ＝sin2Csin A －sin2C及正弦定理得sin B ＝sin2C ，∴B ＝2C ，且B ＋2C ＝π，5若B ＝2C ，π3＜C ＜π2，∴23π＜B ＜π，B ＋C ＞π(舍)；∴B ＋2C ＝π，则A ＝C ，∴△ABC 为等腰三角形．(2)∵|BA ＋BC |＝2，∴a 2＋c 2＋2ac ·cos B ＝4，∴cos B ＝2－a 2a 2(∵a ＝c )，而cos B ＝－cos2C ，π3＜C ＜π2，∴12＜cos B ＜1，∴1＜a 2＜43，又BA ·BC ＝ac cos B ＝2－a 2，∴BA ·BC ∈(23，1)．2、在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c ，(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为（）A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形解析：∵cos 2B 2＝a ＋c 2c ，∴cos B ＋12＝a ＋c 2c ，∴cos B ＝ac，∴a 2＋c 2－b 22ac ＝ac ， ∴a 2＋c 2－b 2＝2a 2，即a 2＋b 2＝c 2， ∴△ABC 为直角三角形．答案：B3、在∆ABC 中，sin(C-A)=1, sinB=13。

（I ）求sinA 的值； (II)设6，求∆ABC 的面积。

解：（I ）由sin()1,,C A C A ππ-=-<-<知2C A π=+。

又,A B C π++=所以2,2A B π+=即2,0.24A B A ππ=-<<故213cos 2sin ,12sin ,sin 3A B A A =-==(II)由（I ）得：6cos A = 又由正弦定理，得：sin ,32,sin sin sin BC AC ABC AC A B B==⋅=所以11sin cos 3 2.22ABC S AC BC C AC BC A ∆=⋅⋅=⋅⋅= 4. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且274sin cos222A B C +-=．6（Ⅰ）求角C（Ⅱ）求sin sin A B +5. 在ABC ∆中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++ （Ⅰ）求A.（Ⅱ）若sin sin 1B C +=，试判断ABC ∆的形状. 等腰三角形6．（2012陕西）在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ C ）A.2B.2C.12D.12-7.(2014新标1) 已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 .【解析】由2a =且 (2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，即()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，由及正弦定理得：()()()a b a b c b c +-=-∴222b c a bc +-=，故2221cos 22b c a A bc +-==，∴060A ∠=，∴224b c bc +-= 224b c bc bc =+-≥，∴1sin 2ABC S bc A ∆=≤8.（2012安徽文）设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ，且有2sin cos sin cos cos sin B A A C A C =+（Ⅰ）求角A 的大小；（II ）若2b =，1c =，D 为BC 的中点，求AD 的长。

7【答案】（Ⅰ）3π；（II9.(2014新标2文) 四边形ABCD 的内角A 与C 互补，2,3,1====DA CD BC AB . （1）求C 和BD ；（2）求四边形ABCD 的面积. 【答案】（I ）060C =，BD =（Ⅱ）10.（2013湖北）在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c . 已知cos23cos()1A B C -+=.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S =5b =，求sin sin B C 的值.【简解】（Ⅰ）由cos23cos()1A B C -+=，得22cos 3cos 20A A +-=，解得1cos 2A = 或cos 2A =-（舍去）.因为0πA <<，所以π3A =. （Ⅱ）由11sin 22S bc A bc ===得20bc =. 又5b =，知4c =. 由余弦定理得2222cos 25162021,a b c bc A =+-=+-=故a =. 又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A aaa =⋅==⨯=. 11．(2013江西) 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0. (1)求角B 的大小； (2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．【简解】(1)由已知sin A sin B －3sin A cos B ＝0，sin B －3cos B ＝0，tan B ＝3， B ＝π3.(2) b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－3ac ≥(a ＋c )2－3⎝⎛⎭⎫a ＋c 22＝14(a ＋c )2＝14，等号可以成立∴b ≥12. 又a ＋c >b ，∴b <1，∴12≤b <1.12.（2013四川）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A －B2cos B －sin(A－B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35. (1)求cos A 的值； (2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上8的投影．【简解】(1)由2cos 2A －B 2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35，得[cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝－35，即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35.则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35.(2)由cos A ＝－35，0<A <π，得sin A ＝45，由正弦定理，有a sin A ＝b sin B ，所以，sin B ＝b sin Aa ＝22. 由题知a >b ，则A >B ，故B ＝π4，根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝⎛⎭⎫－35，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝2213.(2013新标2) △ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B . (1)求B ； (2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．【简解】(1) sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ．sin B ＝cos B .又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac .由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cos π4.又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立．因此△ABC 面积的最大值为2＋1.14、（2015年新课标2文）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC . （I ）求sin sin BC∠∠ ；（II ）若60BAC ∠=,求B ∠.91、已知ABC ∆中,三个内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若ABC ∆的面积为S,且()222,tan S a b c C =+-则等于（） A ．34B ．43 C ．43-D ．34-【答案】C 由()222Sa b c =+-得22222S a b ab c =++-,即22212sin 22ab C a b ab c ⨯=++-,所以222sin 2ab C ab a b c -=+-,又222sin 2sin cos 1222a b c ab C ab C C ab ab +--===-,所以sin cos 12CC +=,即22cos sin cos 222C C C =,所以tan 22C =,即222tan2242tan 1231tan2C C C ⨯===---,选C ． 2、若三角形ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+，则C cos 的最小值是．10【解析】422214322221432)22(2cos 2222222222-+=-+=+-+=-+=ab b a ab ab b a ab b a b a abcb a C 4264222143222-=-≥ab ba3、在△ABC 中，D 为BC 边上一点，βα=∠=∠CAD BAD ,，10103cos ,552cos ==βα．（1）求BAC ∠的大小；（2）当中点为BC D 时，求ADAC的值．解：（1）由已知，55cos 1sin 2=-=αα， 1010cos 1sin 2=-=ββ βαβαβαsin sin cos cos )cos(cos -=+=∠BAC 2210105510103552=⋅-⋅=∵),0(π∈∠BAC ∴4π=∠BAC 。