氢原子波函数氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值档
《量子力学》习题答案
第一章 绪论1.1 由黑体辐射公式导出维思位移定律，能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T成反比，即b T m =λ （常数），并近似计算b 的数值，准确到二位有效值。
[解]：由黑体辐射公式，频率在ν与ννd +之间的辐射能量密度为 ννπνρννd ec hd kTh 11833-=由此可以求出波长在λ与λλd +之间的能量密度λλρd )(由于 λν/c =, λλνd cd 2+=因而有：λλπλλρλd ehcd kT hc 118)(5-=令λkT hc x =所以有：11)(5-=xe Ax λρ （44558c h T k A π=常数）由 0)(=λλρd d 有0)1(115)(254=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=λλλρd dxe e x e x A d d x x x于是，得： 1)51(=-x e x该方程的根为 965.4=x因此，可以给出，k hcxk hc T m 2014.0==λ即b T m =λ （常数）其中k hcb 2014.0=2383410380546.110997925.21062559.62014.0--⨯⨯⨯⨯⨯=km⋅⨯=-310898.2[注]根据11833-=kThechνννπρ可求能量密度最大值的频率：令kThxν=113-=xeAxνρ（23338hcTkAπ=）]11[3=-=ννρνddxeAxdxdddx因而可得131=⎪⎭⎫⎝⎛-x ex此方程的解821.2=xhkThkTx821.2max==νbTTb'=⇒'=-1max maxνν其中34231062559.610380546.1821.2821.2--⨯⨯=='hkb1910878.5-⋅︒⨯=sk这里求得m axν与前面求得的m axλ换算成的mν的表示不一致。
1.2 在0k附近，钠的价电子能量约为3电子伏，求其德布罗意波长。
[解]德布罗意公式为ph =λ因为价电子能量很小，故可用非相对论公式μ22p E=代入德布罗意公式得λ==这里利用了电子能量E eV=。
量子力学4氢原子与类氢原子的波函数与能级
Rn2,l (r)r 2dr
0
2 0
Yl*,m
(
,
)Yl
,m
(
,
)
s
in
dd
1
注意到球谐函数是已经归一化的，所以有：
0
2 0
Yl*,m
(
,
)Yl
,m
(
,
)
s
in
dd
1
故径向波函数的归一化的表达式应写为：
r 0
Rn2,l
z y
x z
y x
5.与角动量算符有关的对易关系:
1) LˆyLˆz LˆzLˆy iLˆx [Lˆy,Lˆz]iLˆx
LˆxLˆy LˆyLˆx iLˆz [Lˆx,Lˆy]iLˆz
LˆzLˆx LˆxLˆz iLˆy [Lˆz,Lˆx]iLˆy
m1 m2 m1r
m1 m2
U(r )
2M 2
z m1 r1 R
r m2 c
r2
o
y
定义：总 质量 M 与折 合质量 μ ：
M m1 m2 m1m2
m1 m2
定态薛定格方程为：
pM2
22 R
p2 22r
2
2M
2 R
这里n l m 为决定 nlm(r, , ) 的三个量子数. 由于能量本
征值只与主量子数 n 有关,所以En 是简并的.简并度为:
n1(2l 1)n2
l 0
可见一组确定的 n l m 就可以决定库仑场中电子的波函数 也就可完全决定库仑场中电子的一个状态.
通常还使用符号s , p , d , f , g , h .... 等依次表示 l = 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 .... 等具体数值。
氢原子与类氢原子的波函数与能级
1
故径向本征波函数的归一化的表达式应写为：
r 0
Rn2,l
(r)r 2dr
1
E＜0时库仑场中电子状态的定态波函数为:
n,l,m(r, ,) Rn,l (r)Yl,m( ,)
n 1,2,3
n --- 称为主量子数。
l 0,1,2,3(n 1) l ---- 称为角量子数。
m 0,1,2,3 l m ---- 称为磁量子数。
1﹑定态薛定格方程:
[ 2 2 U (r )] E
U(r) Ze2
4 0r
2m
( U( r )为中心力场 )
该方程的极坐标形式为：
2 2mr 2
r
r 2
r
1
s in
s in
1
sin2
2
2
Ze2 E
4 0r
2﹑分离变量:
设： (r,,) R(r)Y (,)
1 r2
r
(r 2
dR(r dr
4 0r
r2
R(r)
0
①
和
1
s in
s in
Y
( ,
)
1
sin 2
2Y ( ,) 2
Y ( ,)
②
二﹑方程的解:
1﹑方程②就是角动量平方算符的本征值方程。
Lˆ2
2
s in
s in
s
in
2 2
2
2
Lˆ2Yl,m(,) l(l 1)2Yl,m(,)
(sin
)
s
1 in2
2 2
22 ,
二.角动量平方算符的本征值与本征函数:
1.角动量平方算符的本征值方程:
量子力学课后习题答案
量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
量子力学习题问题详解
量子力学习题问题详解量子力学习题答案1.2 在0k 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解：由德布罗意波粒二象性的关系知：E h =ν；p h /=λ由于所考虑的电子是非相对论的电子（26k e E (3eV)c (0.5110)-μ?），故：2e E P /(2)=μ69h /p h /hc /1.2410/0.7110m 0.71nm--λ====?=?= 1.3氦原子的动能是E=1.5kT ，求T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。
解：对于氦原子而言，当K 1=T 时，其能量为J 102.07K 1K J 10381.1232323123---?===kT E 于是有一维谐振子处于22/2()xx Ae αψ-=状态中，其中α为实常数，求：1.归一化系数；2.动能平均值。
（22x e dx /∞-α-∞=α?）解：1.由归一化条件可知：22*2x(x)(x)dx A e dx1A/1∞∞-α-∞-∞ψψ===α=取相因子为零，则归一化系数1/21/4 A/=απ2.2222222222222222222*2x/2x/2222x/2x/222x/22x/22222242x2T(x)T(x)dx A e(P/2)e dx dA e()e dx2dxdA e(xe)dx2dxA{xe(xe)dx}2A x e dx A22∞∞-α-α-∞-∞∞-α-α-∞∞-α-α-∞∞∞-α-α-∞-∞∞-α-∞=-μ=--αμ=--α--αμ=α=μμ＝（）＝＝2222224x2224x x2222222421()xd(e)21A(){xe e dx}221AA()242∞-α-∞∞∞-α-α-∞-∞α-α=α---μαππααα--μμα若α，则该态为谐振子的基态，T4ω=解法二：对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题，用F-H定理是非常方便的。
一维谐振子的哈密顿量为：2222d 1H x2dx2=-+μωμ它的基态能量1E2=ω选择为参量，则:0dE 1d 2=ω；222dH d 2d 2()T d dx 2dx=-=-=μμ dH 20T d= 由F-H 定理知：0dE dH 2100T d d 2===ω 可得：1T 4=ω2.2 由下列定态波函数计算几率流密度： ikr ikr e re r -==1)2( 1)1(21ψψ 从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向(即向原点) 传播的球面波。
《量子力学教程》周世勋课后答案
量子力学课后习题详解第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
周世勋量子力学习题及解答
量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+--⋅=-kThc kThc e kT hc ehcλλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λhP =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph =λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
量子力学自学辅导与参考答案
题库(含答案)2011级 尹如冰(一) 单项选择题1.能量为100ev 的自由电子的De Broglie 波长是A A. 1.2A 0. B. 1.5A 0. C.2.1A 0. D. 2.5A 0.2. 能量为0.1ev 的自由中子的De Broglie 波长是B A 0 B. 0.9A 0. C. 0.5A 0. D. 1.8A 0.3. 能量为0.1ev ，质量为1g 的质点的De Broglie 波长是C⨯1012-A 0 D. 2.0A 0.4.温度T=1k 时，具有动能E k T B =32(k B 为Boltzeman 常数)的氦原子的De Broglie 波长是DA.8A 0. B. 5.6A 0. C. 10A 0. D. 12.6A 0.5.用Bohr-Sommerfeld 的量子化条件得到的一维谐振子的能量为（ ,2,1,0=n ）AA.E n n = ω.B.E n n =+()12ω.C.E n n =+()1 ω.D.E n n =2 ω.6.在0k 附近，钠的价电子的能量为3ev ，其De Broglie 波长是B A 0B. 7.1A 0. C. 8.4A 0. D. 9.4A 0.7.钾的脱出功是2ev ，当波长为3500A 0的紫外线照射到钾金属表面时，光电子的最大能量为AA. 0.25⨯1018-J.B. 1.25⨯1018-J.C. 0.25⨯1016-J.D. 1.25⨯1016-J.8.当氢原子放出一个具有频率ω的光子，反冲时由于它把能量传递给原子而产生的频率改变为BA. 2μc .B.22μc. C. 222μc . D. 22μc . pton 效应证实了CA.电子具有波动性.B. 光具有波动性.C.光具有粒子性.D. 电子具有粒子性. 10.Davisson 和Germer 的实验证实了A A. 电子具有波动性. B. 光具有波动性. C. 光具有粒子性. D. 电子具有粒子性.11.粒子在一维无限深势阱U x x ax x a (),,,=<<∞≤≥⎧⎨⎩000 中运动，设粒子的状态由ψπ()sinx C xa= 描写，其归一化常数C 为B A.1a . B.2a . C.12a . D.4a.12. 设ψδ()()x x =，在dx x x +-范围内找到粒子的几率为DA.δ()x .B.δ()x dx .C.δ2()x .D.δ2()x dx .13. 设粒子的波函数为 ψ(,,)x y z ，在dx x x +-范围内找到粒子的几率为C A.ψ(,,)x y z dxdydz 2. B.ψ(,,)x y z dx 2. C.dx dydz z y x )),,((2⎰⎰ψ. D.dx dy dz x yz ψ(,)⎰⎰⎰2.14.设ψ1()x 和ψ2()x 分别表示粒子的两个可能运动状态，则它们线性迭加的态c x c x 1122ψψ()()+的几率分布为D A.c c 112222ψψ+.B. c c 112222ψψ++2*121ψψc c . C. c c 112222ψψ++2*1212ψψc c .D. c c 112222ψψ++c c c c 12121212****ψψψψ+. 15.波函数应满足的标准条件是DA.单值、正交、连续.B.归一、正交、完全性.C.连续、有限、完全性.D.单值、连续、有限. 16.有关微观实物粒子的波粒二象性的正确表述是CA.波动性是由于大量的微粒分布于空间而形成的疏密波.B.微粒被看成在三维空间连续分布的某种波包.C.单个微观粒子具有波动性和粒子性.D. A, B, C.17.已知波函数Cψ1=-+u x i Et u x iEt ()exp()()exp() ,ψ21122=-+u x i E t u x iE t ()exp()()exp() ,ψ312=-+-u x i Et u x iEt ()exp()()exp() ,ψ41122=-+-u x i E t u x iE t ()exp()()exp().其中定态波函数是A.ψ2.B.ψ1和ψ2.C.ψ3.D.ψ3和ψ4. 18.若波函数ψ(,)x t 归一化，则A.ψ(,)exp()x t i θ和ψ(,)exp()x t i -δ都是归一化的波函数.B.ψ(,)exp()x t i θ是归一化的波函数，而ψ(,)exp()x t i -δ不是归一化的波函数.C.ψ(,)exp()x t i θ不是归一化的波函数，而ψ(,)exp()x t i -δ是归一化的波函数.D.ψ(,)exp()x t i θ和ψ(,)exp()x t i -δ都不是归一化的波函数.(其中θδ,为任意实数)19.波函数ψ1、ψψ21=c (c 为任意常数)，A.ψ1与ψψ21=c 描写粒子的状态不同.B.ψ1与ψψ21=c 所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是1: c .C.ψ1与ψψ21=c 所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是2:1c .D.ψ1与ψψ21=c 描写粒子的状态相同.20.波函数ψ(,)(,)exp()x t c p t ipx dp =⎰12π的傅里叶变换式是 A. c p t x t ipx dx (,)(,)exp()=⎰12π ψ. B. c p t x t i px dx (,)(,)exp()*=⎰12π ψ. C. c p t x t ipx dx (,)(,)exp()=-⎰12π ψ. D. c p t x t i px dx (,)(,)exp()*=-⎰12πψ. 21.量子力学运动方程的建立,需满足一定的条件:(1)方程中仅含有波函数关于时间的一阶导数. (2)方程中仅含有波函数关于时间的二阶以下的导数.(3)方程中关于波函数对空间坐标的导数应为线性的. (4) 方程中关于波函数对时间坐标的导数应为线性的.(5) 方程中不能含有决定体系状态的具体参量. (6) 方程中可以含有决定体系状态的能量. 则方程应满足的条件是 A. (1)、(3)和(6). B. (2)、(3)、(4)和(5). C. (1)、(3)、(4)和(5). D.(2)、(3)、(4)、(5)和(6). 22.两个粒子的薛定谔方程是A.∑=ψ∇=ψ21212221),,(2),,(i i t r r t r r t iμ∂∂ B.∑=ψ∇=ψ21212221),,(2),,(i i t r r t r r tμ∂∂ C. ∑=ψ∇=ψ21212221),,(2),,(i i it r r t r r t μ∂∂D.∑=ψ∇=ψ21212221),,(2),,(i i it r r t r r t i μ∂∂23.几率流密度矢量的表达式为A.J =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ. B.J i =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ. C.J i =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ. D.J =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ. 24.质量流密度矢量的表达式为A.J=∇ψ-2()**ψψ∇ψ.B.Ji=∇ψ-2()**ψψ∇ψ.C.Ji=-∇ψ2()**ψ∇ψψ.D.J=-∇ψ2()**ψ∇ψψ.25. 电流密度矢量的表达式为A.Jq=∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ.B.Jiq=∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ.C.Jiq=-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ.D.Jq=-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ.26.下列哪种论述不是定态的特点A.几率密度和几率流密度矢量都不随时间变化.B.几率流密度矢量不随时间变化.C.任何力学量的平均值都不随时间变化.D.定态波函数描述的体系一定具有确定的能量.27.在一维无限深势阱U x x a x a(),,=<∞≥⎧⎨⎩022中运动的质量为μ的粒子的能级为A.πμ22224na,B.πμ22228na,C.πμ222216na, D.πμ222232na.28. 在一维无限深势阱U x x a x a(),,=<∞≥⎧⎨⎩中运动的质量为μ的粒子的能级为A.πμ22222na, B.πμ22224na, C.πμ22228na, D.πμ222216na.29. 在一维无限深势阱U x x b x b(),/,/=<∞≥⎧⎨⎩022中运动的质量为μ的粒子的能级为A.πμ22222nb,B.πμ2222nb, C.πμ22224nb, D.πμ22228nb.30. 在一维无限深势阱U x x a x a(),,=<∞≥⎧⎨⎩中运动的质量为μ的粒子处于基态，其位置几率分布最大处是A.x=0,B.x a=, C.x a=-, D.x a=2.31. 在一维无限深势阱U x x a x a(),,=<∞≥⎧⎨⎩中运动的质量为μ的粒子处于第一激发态，其位置几率分布最大处是A.x a =±/2,B.x a =±,C.x =0,D.4/a x ±=. 32.在一维无限深势阱中运动的粒子，其体系的 A.能量是量子化的，而动量是连续变化的. B.能量和动量都是量子化的. C.能量和动量都是连续变化的.D.能量连续变化而动量是量子化的. 33.线性谐振子的能级为 A.(/),(,,,...)n n +=12123 ω. B.(),(,,,....)n n +=1012 ω. C.(/),(,,,...)n n +=12012 ω. D.(),(,,,...)n n +=1123 ω.34.线性谐振子的第一激发态的波函数为ψαα()exp()x N x x =-122122,其位置几率分布最大处为A.x =0.B.x =±μω. C.x =μω . D.x =± μω.35.线性谐振子的A.能量是量子化的,而动量是连续变化的.B.能量和动量都是量子化的.C.能量和动量都是连续变化的.D.能量连续变化而动量是量子化的. 36.线性谐振子的能量本征方程是A.[]-+= 222222212μμωψψd dx x E . B.[]--= 22222212μμωψψd dx x E . C.[] 22222212μμωψψd dx x E -=-. D.[] 222222212μμωψψd dx x E +=-. 37.氢原子的能级为A.- 2222e n s μ.B.-μ22222e n s .C.242ne sμ -. D. -μe n s 4222 . 38.在极坐标系下,氢原子体系在不同球壳内找到电子的几率为A.r r R nl )(2. B.22)(r r R nl .C.rdr r R nl )(2.D.dr r r R nl 22)(.39. 在极坐标系下,氢原子体系在不同方向上找到电子的几率为 A.),(ϕθlm Y . B. 2),(ϕθlm Y . C. Ωd Y lm ),(ϕθ. D. Ωd Y lm 2),(ϕθ.40.波函数ψ和φ是平方可积函数,则力学量算符 F为厄密算符的定义是 A.ψφτφψτ*** Fd F d =⎰⎰.B.ψφτφψτ** ( )F d F d =⎰⎰.C.( ) **F d F d ψφτψφτ=⎰⎰.D. ***F d F d ψφτψφτ=⎰⎰. 41. F和 G 是厄密算符,则 A. FG必为厄密算符. B. FG GF -必为厄密算符. C.i FGGF ( )+必为厄密算符. D. i FGGF ( )-必为厄密算符. 42.已知算符 x x =和 pi xx =- ∂∂,则 A. x 和 p x 都是厄密算符. B. xp x 必是厄密算符. C. xp p x x x +必是厄密算符. D. xp p x x x -必是厄密算符.43.自由粒子的运动用平面波描写,则其能量的简并度为 A.1. B. 2. C. 3. D. 4.44.二维自由粒子波函数的归一化常数为(归到δ函数)A.1212/()/π .B.12/()π .C.1232/()/π .D.122/()π45.角动量Z 分量的归一化本征函数为A.12πϕ exp()im . B. )ex p(21r k i ⋅π. C.12πϕexp()im . D. )ex p(21r k i⋅π. 46.波函数)ex p()(cos )1(),(ϕθϕθim P N Y m l lm m lm -=A. 是 L2的本征函数,不是 L z的本征函数. B. 不是 L 2的本征函数,是 L z的本征函数. C. 是 L2、 L z的共同本征函数. D. 即不是 L 2的本征函数,也不是 L z的本征函数. 47.若不考虑电子的自旋,氢原子能级n=3的简并度为 A. 3. B. 6. C. 9. D. 12. 48.氢原子能级的特点是A.相邻两能级间距随量子数的增大而增大.B.能级的绝对值随量子数的增大而增大.C.能级随量子数的增大而减小.D.相邻两能级间距随量子数的增大而减小.49一粒子在中心力场中运动,其能级的简并度为n 2,这种性质是 A. 库仑场特有的. B.中心力场特有的. C.奏力场特有的. D.普遍具有的.50.对于氢原子体系,其径向几率分布函数为W r dr R r dr 323222()=,则其几率分布最大处对应于Bohr 原子模型中的圆轨道半径是 A.a 0. B. 40a . C. 90a . D. 160a .51.设体系处于ψ=--123231102111R Y R Y 状态,则该体系的能量取值及取值几率分别为A.E E 321434,;,. B.E E 321232,;,-.C.E E 321232,;,.D.E E 323414,;,.52.接51题,该体系的角动量的取值及相应几率分别为 A.21 , . B. ,1. C.212 ,. D.212 ,.53. 接51题,该体系的角动量Z 分量的取值及相应几率分别为A.01434,;,- .B. 01434,;, .C.01232,;, -.D. 01232,;,-- .54. 接51题,该体系的角动量Z 分量的平均值为A.14 .B. -14 .C. 34 .D. -34 .55. 接51题,该体系的能量的平均值为A.-μe s 4218 .B.-3128842μe s .C.-2925642μe s .D.-177242μe s. 56.体系处于ψ=C kx cos 状态,则体系的动量取值为A. k k ,-.B. k .C. - k .D. 12k .57.接上题,体系的动量取值几率分别为A. 1,0.B. 1/2,1/2.C. 1/4,3/4/ .D. 1/3,2/3. 58.接56题, 体系的动量平均值为A.0.B. k .C. - k .D. 12k .59.一振子处于ψψψ=+c c 1133态中,则该振子能量取值分别为A.3252 ωω,.B. 1252 ωω,.C. 3272 ωω,.D. 1252ωω,.60.接上题,该振子的能量取值E E 13,的几率分别为A.2321,c c . B. 232121c c c +,232123c c c +.C.23211c c c +,23213c c c +. D. 31,c c .61.接59题,该振子的能量平均值为A.ω 232123215321c c c c ++. B. 5 ω.C.92ω. D.ω 232123217321c c c c ++.62.对易关系[ ,()]pf x x 等于(f x ()为x 的任意函数) A.i f x '().B.i f x ().C.-i f x '(). D.-i f x ().63. 对易关系[ ,exp()]piy y 等于 A.)exp(iy . B. i iy exp().C.- exp()iy .D.-i iy exp().64.对易关系[, ]x px 等于 A.i . B. -i . C. . D. - .65. 对易关系[, ]L yx 等于 A.i z. B. z . C.-i z . D.- z . 66. 对易关系[, ]L zy 等于 A.-i x. B. i x . C. x . D.- x . 67. 对易关系[, ]L zz 等于 A.i x. B. i y . C. i . D. 0. 68. 对易关系[, ]x py 等于 A. . B. 0. C. i . D. - . 69. 对易关系[ , ]pp y z 等于 A.0. B. i x . C. i p x . D. p x . 70. 对易关系[ , ]LL xz等于 A.i L y . B. -i L y . C. L y . D. - L y . 71. 对易关系[ , ]LL zy等于 A.i L x . B. -i L x . C. L x . D. - L x . 72. 对易关系[ , ]LL x2等于 A. L x . B. i L x . C. i L L z y ( )+. D. 0. 73. 对易关系[ , ]LL z2等于 A. L z . B. i L z . C. i L L x y( )+. D. 0. 74. 对易关系[, ]L px y 等于 A.i L z . B. -i L z. C. i p z . D. -i p z . 75. 对易关系[ , ]p L z x等于 A.-i py. B. i p y . C.-i L y . D. i L y. 76. 对易关系[ , ]L p zy 等于 A.-i p x . B. i p x . C. -i Lx . D. i L x . 77.对易式[ , ]Lx y 等于 A.0. B. -i z . C. i z . D. 1. 78. 对易式[ , ]FF m n 等于(m,n 为任意正整数) A. Fm n +. B. F m n -. C. 0. D. F . 79.对易式[ , ]FG 等于A. FG. B. GF . C. FG GF -. D. FG GF +. 80. .对易式[ ,]Fc 等于(c 为任意常数) A.cF. B. 0. C. c . D. F ˆ. 81.算符 F和 G 的对易关系为[ , ] F G ik =,则 F 、 G 的测不准关系是 A.( )( )∆∆F G k 2224≥. B. ( )( )∆∆F G k 2224≥.C. ( )( )∆∆FG k 2224≥. D. ( )( )∆∆F G k 2224≥. 82.已知[ , ]xp i x = ,则 x 和 p x 的测不准关系是 A.( )( )∆∆x p x 222≥ . B. ( )( )∆∆x p 2224≥ .C. ( )( )∆∆x p x 222≥ . D. ( )( )∆∆x p x 2224≥ .83. 算符 L x 和 L y 的对易关系为[ , ] L L i L x y z = ,则 L x 、 L y的测不准关系是 A.( )( ) ∆∆L L L x y z 22224≥ .B.( )( ) ∆∆L L L x y22224≥ . C.( )( ) ∆∆FG L z 22224≥ . D.( )( ) ∆∆FG L 22224≥ . 84.电子在库仑场中运动的能量本征方程是A.[]-∇+= 2222μψψze rE s.B. []-∇+= 22222μψψze r E s.C.[]-∇-= 2222μψψze rE s.D.[]-∇-= 22222μψψze rE s.85.类氢原子体系的能量是量子化的,其能量表达式为A.-μz e n s 22222. B. -μ224222z e n s . C.-μze n s 2222 . D. -μz e ns 24222 .86. 在一维无限深势阱U x x ax x a (),,,=<<∞≤≥⎧⎨⎩000中运动的质量μ为的粒子,其状态为ψππ=42aa x a x sin cos ,则在此态中体系能量的可测值为 A.22222229,2aa μπμπ , B. πμπμ2222222 a a , , C.323222222πμπμ a a ,, D.524222222πμπμ a a, . 87.接上题,能量可测值E 1、E 3出现的几率分别为 A.1/4,3/4. B. 3/4,1/4. C.1/2, 1/2. D. 0,1. 88.接86题,能量的平均值为A.52222πμ a ,B.2222πμ a ,C.72222πμ a ,D.5222πμ a .89.若一算符 F的逆算符存在,则[ , ]F F -1等于 A. 1. B. 0. C. -1. D. 2.90.如果力学量算符 F和 G 满足对易关系[ , ]F G =0, 则 A. F和 G 一定存在共同本征函数,且在任何态中它们所代表的力学量可同时具有确定值. B. F和 G 一定存在共同本征函数,且在它们的本征态中它们所代表的力学量可同时具有确定值.C. F和 G 不一定存在共同本征函数,且在任何态中它们所代表的力学量不可能同时具有确定值.D. F和 G 不一定存在共同本征函数,但总有那样态存在使得它们所代表的力学量可同时具有确定值.91.一维自由粒子的能量本征值 A. 可取一切实数值. B.只能取不为负的一切实数. C.可取一切实数,但不能等于零. D.只能取不为正的实数.92.对易关系式[ , ()]pp f x x x 2等于 A.-i pf x x '()2. B. i p f x x '()2 . C.-i pf x x ()2. D. i p f x x ()2. 93.定义算符yxL i L L ˆˆˆ±=±, 则[ , ]L L +-等于 A.z L ˆ . B.2 L z . C.-2 L z. D.z L ˆ -. 94.接上题, 则[ , ]LL z+等于 A. L +. B. L z . C. -+ L . D. - L z . 95. 接93题, 则[ , ]LL z-等于 A. L -. B. L z . C. -- L . D. - L z . 96.氢原子的能量本征函数ψθϕθϕnlm nl lm r R r Y (,,)()(,)=A.只是体系能量算符、角动量平方算符的本征函数,不是角动量Z 分量算符的本征函数.B.只是体系能量算符、角动量Z 分量算符的本征函数,不是角动量平方算符的本征函数.C.只是体系能量算符的本征函数,不是角动量平方算符、角动量Z 分量算符的本征函数.D.是体系能量算符、角动量平方算符、角动量Z 分量算符的共同本征函数. 97.体系处于ψ=+c Y c Y 111210态中,则ψA.是体系角动量平方算符、角动量Z 分量算符的共同本征函数.B.是体系角动量平方算符的本征函数,不是角动量Z 分量算符的本征函数.C.不是体系角动量平方算符的本征函数,是角动量Z 分量算符的本征函数.D.即不是体系角动量平方算符的本征函数,也不是角动量Z 分量算符的本征函数.98.对易关系式[ , ]FGH 等于 A.[ , ] [ , ]FH G F G H +. B. [ , ] F H G C. [ , ]FG H . D. [ , ] [ , ]F H G F G H -. 99.动量为p '的自由粒子的波函数在坐标表象中的表示是)'e x p (21)('x p ix Pπψ=,它在动量表象中的表示是A.δ(')p p -.B.δ(')p p +.C.δ()p .D.δ(')p .100.力学量算符 x对应于本征值为x '的本征函数在坐标表象中的表示是 A.δ(')x x -. B.δ(')x x +. C.δ()x . D.δ(')x . 101.一粒子在一维无限深势阱中运动的状态为)(22)(22)(21x x x ψψψ-=,其中ψ1()x 、ψ2()x 是其能量本征函数,则ψ()x 在能量表象中的表示是A.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 02/22/2.B.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- 02/22/2.C.222200//⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪.D.222200//-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪. 102.线性谐振子的能量本征函数ψ1()x 在能量表象中的表示是A.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 001.B. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 010. C. 1000⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. D. 0100⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 103. 线性谐振子的能量本征函数)()(10x b x a ψψψ+=在能量表象中的表示是A.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++ 0//2222b a b b a a . B. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++0//02222b a b b a a .C. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 0b a . D.00a b ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 104.在( , L L z 2)的共同表象中,波函数φ=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪22101,在该态中 L z 的平均值为 A. . B. - . C. 2 . D. 0.105.算符 Q 只有分立的本征值{}Q n ,对应的本征函数是{()}u x n,则算符 (,)F x i x∂∂在 Q表象中的矩阵元的表示是 A.F u x F x i x u x dx mn n m =⎰*()(,)() ∂∂.B.F u x F x i x u x dx mn m n =⎰*()(,)() ∂∂.C.F u x F x i x u x dx mn n m =⎰()(,)()*∂∂.D.F u x F x i xu x dx mn m n =⎰()(,)()*∂∂.106.力学量算符在自身表象中的矩阵表示是 A. 以本征值为对角元素的对角方阵. B. 一个上三角方阵. C.一个下三角方阵. D.一个主对角线上的元素等于零的方阵.107.力学量算符xˆ在动量表象中的微分形式是 A.-i p x ∂∂. B.i p x∂∂. C.-i p x 2∂∂. D.i p x 2∂∂.108.线性谐振子的哈密顿算符在动量表象中的微分形式是A.p p 22222212μμω∂∂+ .B.p p 2222212μμω∂∂-. C.22222212pp ∂∂μωμ -. D.--p p 2222212μμω∂∂. 109.在 Q 表象中F =⎛⎝ ⎫⎭⎪0110,其本征值是A. ±1.B. 0.C. ±i .D. 1±i . 110.接上题, F 的归一化本征态分别为A.22112211⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,. B. 1111⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,.C.12111211⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,. D.22102201⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪,.111.幺正矩阵的定义式为A.S S +-=.B.S S +=*.C.S S =-.D.S S *=-.112.幺正变换A.不改变算符的本征值,但可改变其本征矢.B.不改变算符的本征值,也不改变其本征矢.C.改变算符的本征值,但不改变其本征矢.D.即改变算符的本征值,也改变其本征矢.113.算符 ()( )/ax ip =+μωμω212 ,则对易关系式[ , ]a a +等于 A. [ , ]a a +=0. B. [ , ]a a +=1. C. [ , ]aa +=-1. D. [ , ]a a i +=. 114.非简并定态微扰理论中第n 个能级的表达式是(考虑二级近似) A.E H H E E n nn mn nm m()()()''0200++-∑. B. E H H E E n nn mnnmm()()()'''0200++-∑.C.E H H E E n nn mn m nm()()()'''0200++-∑. D.E H H E E n nn mnmnm()()()''0200++-∑.115. 非简并定态微扰理论中第n 个能级的一级修正项为 A.H mn '. B.H nn '. C.-H nn '. D.H nm '.116. 非简并定态微扰理论中第n 个能级的二级修正项为 A.H E E mn nm m'()()200-∑. B.''()()H EE mnnmm200-∑.C.''()()H EE mnm n m 200-∑. D. H E E mnm nm '()()200-∑. 117. 非简并定态微扰理论中第n 个波函数一级修正项为A.H E E mn n mm m '()()()000-∑ψ. B. ''()()()H E E mn nm m m 000-∑ψ.C. ''()()()H E E mn mn m m 000-∑ψ.D. H E E mn mn m m '()()()000-∑ψ.118.沿x 方向加一均匀外电场ε,带电为q 且质量为μ的线性谐振子的哈密顿为 A. H d dx x q x =-++ 22222212μμωε. B. H d dx x q x =-++ 2222212μμωε.C. H d dx x q x =-+- 2222212μμωε.D. H d dx x q x =-+- 22222212μμωε. 119.非简并定态微扰理论的适用条件是A.H E E mk km'()()001-<<. B.H E E mk km'()()001+<<.C. H mk '<<1.D. E E k m ()()001-<<.120.转动惯量为I ，电偶极矩为 D 的空间转子处于均匀电场ε中,则该体系的哈密顿为A.ε ⋅+=D I L H2ˆˆ2. B. ε ⋅+-=D IL H 2ˆˆ2. C. ε ⋅-=D I L H 2ˆˆ2. D. ε ⋅--=D IL H 2ˆˆ2. 121.非简并定态微扰理论中,波函数的一级近似公式为A.ψψψn n nm n m mm H E E =+-∑()()()()''0000.B.ψψψn n mn n m mm H E E =+-∑()()()()''0000.C.ψψψn n mn m n mm H E E =+-∑()()()()''0000.D.ψψψn n nm m n m m H E E =+-∑()()()()''0000. 122.氢原子的一级斯塔克效应中,对于n =2的能级由原来的一个能级分裂为A. 五个子能级.B. 四个子能级.C. 三个子能级.D. 两个子能级.123.一体系在微扰作用下,由初态Φk 跃迁到终态Φm 的几率为 A.22' )'ex p('1⎰tmk mkdt t i H ω .B.20 ' )'ex p('⎰t mk mkdt t i H ω.C.22')' ex p(1⎰t mk mkdt t i Hω.D.2' )'ex p(⎰tmk mkdt t i Hω.124.用变分法求量子体系的基态能量的关键是 A. 写出体系的哈密顿. B. 选取合理的尝试波函数.C. 计算体系的哈密顿的平均值.D. 体系哈密顿的平均值对变分参数求变分. 125.Stern-Gerlach 实验证实了A. 电子具有波动性.B.光具有波动性.C. 原子的能级是分立的.D. 电子具有自旋.126. S 为自旋角动量算符,则[ , ]SS yx等于 A.2i . B. i . C. 0 .D. -i S z . 127. σ为Pauli 算符,则[ , ]σσxz等于 A.-i y σ. B. i y σ. C.2i y σ. D.-2i y σ. 128.单电子的自旋角动量平方算符 S2的本征值为 A.142 . B.342 . C.322 . D.122 .129.单电子的Pauli 算符平方的本征值为 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 130.Pauli 算符的三个分量之积等于 A. 0. B. 1. C. i . D. 2i .131.电子自旋角动量的x 分量算符在 S z表象中矩阵表示为 A. S x =⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001. B. S i i x =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 200. C. S x =⎛⎝ ⎫⎭⎪ 20110. D. S x =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001. 132. 电子自旋角动量的y 分量算符在 Sz表象中矩阵表示为 A. S y =⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001. B. S i y=-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 20110. C. S i i i y =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 200. D. S i i y =⎛⎝ ⎫⎭⎪ 200. 133. 电子自旋角动量的z 分量算符在 Sz表象中矩阵表示为 A. S z =⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001. B. S z =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 20110.C. S z =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001.D. S i z =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001. 134. , J J 12是角动量算符, J J J =+12,则[ ,] J J 212等于A. J 1.B. -J 1. C. 1 . D. 0 .135.接上题, [ ,] J J z 12等于A. i J J x y( )11+. B.i J z 1. C. J z 1. D. 0. 136.接134题, ]ˆ,ˆ[12z J J 等于A. i JJ xy( )11+. B.i J z1. C. J z1. D. 0. 137.一电子处于自旋态χχχ=+-a s b s z z 1212//()()中,则s z 的可测值分别为A.0, .B. 0,- .C.22,. D. 22,-. 138.接上题,测得s z 为22,-的几率分别是A.a b ,.B. a b 22,.C.a b 2222/,/.D. a a b b a b 222222/(),/()++. 139.接137题, s z 的平均值为A. 0.B. )(222b a - .C. )22/()(2222b a b a +- . D. .140.在s z 表象中,χ=⎛⎝ ⎫⎭⎪3212//,则在该态中s z 的可测值分别为A. ,-.B. /,2.C. /,/22-.D. ,/-2. 141.接上题,测量s z 的值为 /,/22-的几率分别为A.3212/,/.B.1/2,1/2.C.3/4,1/4.D.1/4, 3/4. 142.接140题,s z 的平均值为A. /2.B. /4.C.- /4.D.- /2. 143.下列有关全同粒子体系论述正确的是A.氢原子中的电子与金属中的电子组成的体系是全同粒子体系.B.氢原子中的电子、质子、中子组成的体系是全同粒子体系.C.光子和电子组成的体系是全同粒子体系.D.α粒子和电子组成的体系是全同粒子体系.144.全同粒子体系中,其哈密顿具有交换对称性,其体系的波函数 A.是对称的. B.是反对称的. C.具有确定的对称性. D.不具有对称性.145.分别处于p 态和d 态的两个电子,它们的总角动量的量子数的取值是A. 0,1,2,3,4.B.1,2,3,4.C. 0,1,2,3.D.1,2,3.(二) 填空题pton 效应证实了 。
[新版]量子力学周世勋习题解答第三章
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第三章习题解答3.1 一维谐振子处在基态t ix e x ωαπαψ2222)(--=，求：(1)势能的平均值2221x U μω=；(2)动能的平均值μ22p T =；(3)动量的几率分布函数。
解：(1) ⎰∞∞--==dxe x x U x 2222222121απαμωμωμωμωππαμω ⋅==⋅=2222221111221ω 41= (2) ⎰∞∞-==dx x p x p T )(ˆ)(2122*2ψψμμ⎰∞∞----=dx e dx d e x x 22222122221)(21ααμπα ⎰∞∞---=dx e x x 22)1(22222αααμπα][222222222⎰⎰∞∞--∞∞---=dx e x dx e x xααααμπα]2[23222απααπαμπα⋅-=μωμαμαπαμπα⋅===442222222 ω 41=或 ωωω 414121=-=-=U E T(3) ⎰=dx x x p c p )()()(*ψψ 212221⎰∞∞---=dx ee Px i xαπαπ⎰∞∞---=dx eePx i x222121απαπ⎰∞∞--+-=dx ep ip x 2222222)(21 21αααπαπ ⎰∞∞-+--=dx ee ip x p 222222)(212 21αααπαπ παπαπα2212222p e -=22221απαp e-=动量几率分布函数为2221)()(2απαωp ep c p -==#3.2.氢原子处在基态0/31),,(a r e ar -=πϕθψ，求：(1)r 的平均值；(2)势能re 2-的平均值；(3)最可几半径； (4)动能的平均值；(5)动量的几率分布函数。
解：(1)ϕθθπτϕθψππd rd d r re a d r r r a r sin 1),,(0220/23020⎰⎰⎰⎰∞-==⎰∞-=0/233004dr a r a a r04030232!34a a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2203020/232020/232202/2322214 4 sin sin 1)()2(000a e a a e drr e a e d drd r e a e d drd r e ra e r e U a r a r a r -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞-ππππϕθθπϕθθπ(3)电子出现在r+dr 球壳内出现的几率为⎰⎰=ππϕθθϕθψω02022 sin )],,([)(d drd r r dr r dr r e a a r 2/23004-=2/23004)(r e a r a r -=ω 0/2030)22(4)(a r re r a a dr r d --=ω令 0321 , ,0 0)(a r r r drr d =∞==⇒=，ω 当0)( ,0 21=∞==r r r ω时，为几率最小位置/22203022)482(4)(a r e r a r a a dr r d -+-=ω08)(230220<-=-=e a dr r d a r ω ∴ 0a r =是最可几半径。
量子力学第二次参考答案
题目3.2 氢原子处在基态0/301),,(a r e a r -=πϕθψ，求：(1)r 的平均值；(2)势能re 2-的平均值；(3)最可几半径； (4)动能的平均值；(5)动量的几率分布函数。
3.5 一刚性转子转动惯量为I ，它的能量的经典表示式是IL H 22=，L 为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数： (1) 转子绕一固定轴转动： (2) 转子绕一固定点转动：3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a ，如果粒子的状态由波函数 )()(x a Ax x -=ψ描写，A 为归一化常数，求粒子的能量几率分布和能量的平均值。
3.9.设氢原子处于状态 ),()(23),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=Y r R Y r R r 求氢原子能量、角动量平方及角动量Z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。
参考答案3.2.氢原子处在基态0/301),,(a r e a r -=πϕθψ，求：(1)r 的平均值；(2)势能re 2-的平均值；(3)最可几半径； (4)动能的平均值；(5)动量的几率分布函数。
解：(1)ϕθθπτϕθψππd rd d r re a d r r r a r sin 1),,(0220/23020⎰⎰⎰⎰∞-==⎰∞-=/233004dr a r a a r04030232!34a a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2203020/23220/232202/2322214 4 s i n s i n 1)()2(000a e a a e drr e a e d drd r e a e d drd r e ra e r e U a r a r a r -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞-ππππϕθθπϕθθπ(3)电子出现在r+dr 球壳内出现的几率为 ⎰⎰=ππϕθθϕθψω02022 s i n )],,([)(d drd r r dr r dr r e a a r 2/23004-=2/23004)(r e a r a r -=ω 0/2030)22(4)(a r re r a a dr r d --=ω 令0321 , ,0 0)(a r r r drr d =∞==⇒=，ω 当0)( ,0 21=∞==r r r ω时，为几率最小位置/222003022)482(4)(a r e r a r a a dr r d -+-=ω08)(230220<-=-=e a dr r d a r ω ∴ 0a r =是最可几半径。
量子力学总结习题考卷及答案
量⼦⼒学总结习题考卷及答案第⼀章⒈玻尔的量⼦化条件，索末菲的量⼦化条件。
⒉⿊体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对⿊体，简称⿊体。
⒎普朗克量⼦假说：表述1：对于⼀定频率ν的辐射，物体只能以hν为能量单位吸收或发射电磁辐射。
表述2：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量⼦的⽅式进⾏，每个量⼦的能量为：ε=h ν。
表述3：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能量ε的整数倍来实现，即ε，2ε，3ε，…。
⒏光电效应：光照射到⾦属上，有电⼦从⾦属上逸出的现象。
这种电⼦称之为光电⼦。
⒐光电效应有两个突出的特点：①存在临界频率ν0：只有当光的频率⼤于⼀定值v0 时，才有光电⼦发射出来。
若光频率⼩于该值时，则不论光强度多⼤，照射时间多长，都没有光电⼦产⽣。
②光电⼦的能量只与光的频率有关，与光的强度⽆关。
光的强度只决定光电⼦数⽬的多少。
⒑爱因斯坦光量⼦假说：光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= hν的微粒形式出现，⽽且以这种形式在空间以光速C 传播，这种粒⼦叫做光量⼦，或光⼦。
爱因斯坦⽅程⒒光电效应机理：当光射到⾦属表⾯上时，能量为E= hν的光⼦⽴刻被电⼦所吸收，电⼦把这能量的⼀部分⽤来克服⾦属表⾯对它的吸引，另⼀部分就是电⼦离开⾦属表⾯后的动能。
⒓解释光电效应的两个典型特点：①存在临界频率v0：由上式明显看出，当hν- W0≤0时，即ν≤ν0 = W0 / h时，电⼦不能脱出⾦属表⾯，从⽽没有光电⼦产⽣。
②光电⼦动能只决定于光⼦的频率：上式表明光电⼦的能量只与光的频率ν有关，⽽与光的强度⽆关。
⒔康普顿效应：⾼频率的X射线被轻元素如⽩蜡、⽯墨中的电⼦散射后出现的效应。
⒕康普顿效应的实验规律：①散射光中，除了原来X光的波长λ外，增加了⼀个新的波长为λ'的X光，且λ' >λ；②波长增量Δλ=λ-λ随散射⾓增⼤⽽增⼤。
⒖量⼦现象凡是普朗克常数h在其中起重要作⽤的现象⒗光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为光的波粒⼆象性⒘与运动粒⼦相联系的波称为德布罗意波或物质波。
量子力学习题选讲精选全文
可编辑修改精选全文完整版一、在以下两种情况下计算粒子在一维阶跃势()⎩⎨⎧><=0000x V x x v （00>V ）上的反射率R 与折射率T ：00)2,)1V E V E <>解：（1）ψψμE H U H=+∇-=ˆ,2ˆ22 0V E >：令()022V E Ek -==μαμ， 定态方程为 ()()00222<=+x x k dxx d ，ψψ ()()00222>=+x x dxx d ，ψαψ 其解为 ()0,1<+=-x Be e x ikx ikx ψ()0,2>=x Ae x x i αψ 由边界条件 ()()0021ψψ=，()()00'21ψψ=‘可得 ααα+-=+=k k B k k A ,2 反射率()()222αα+-==k k B R透射率()241αα+=-=k k R T（2）0V E <，()E V -=02μβ 定态方程为 ()()00222<=+x x k dxx d ，ψψ()()00222>=-x x dxx d ，ψβψ 其解为 ()0,1<+=-x Be e x ikx ikx ψ ()0,2>=-x Ae x x βψ由边界条件 ()()0021ψψ=，()()00'21ψψ=‘可得()()()k i k i B k i A βββ+-=+=1112，反射率12==B R ，透射率01=-=R T二、质量为μ的粒子被约束在半径为r 的圆周上运动。
（1）设立路障 ，进一步限制粒子在00ϕϕ<<的一段圆弧上运动πϕϕϕϕϕ2,0,0{)(00<≤∞<≤=V求解粒子能量本征值和本征函数；（2）设粒子处于情况（1）的基态，求突然撤去路障后，粒子仍然处于最低能量态的几率。
解 1、在路障内，定态Schroedinger 方程为)()(2222ϕψϕϕψE d d I =- （1） 其中2r I μ=，方程（1）的解为00)(ϕϕϕψϕϕ<<+=-ik ik Be Ae （2）其中22IEk =，由,0)0(=ψ得A B -=，代入（2）得 00sin )()(ϕϕϕϕψϕϕ<<=-=-k c e e A ik ik由,0)(0=ϕψ得0ϕπn k =， .,2,1,20222 ==n I n E ϕπ由归一化条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤==⇒=⎰πϕϕϕϕϕπϕϕϕψϕϕϕψϕ200sin 2)(21)(00002n c d2、设t =0时撤去路障，撤去路障后的定态波函数与定态能量为.,2,1,0,2,21)(22 ±±===m Im E e m im m ϕπϕψ 任意时刻的波函数为ϕπϕψim t E imm e eC t n 21),(-∑=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤==∑πϕϕϕϕϕπϕϕπϕψϕ200sin 22)0,(0000mim m e C其中系数⎰⎰===-0000002sin1sin 1ϕϕϕπϕπϕϕϕπϕπϕϕϕπϕπϕd C d e C im m粒子仍处于基态的几率为324πϕ=C 。
量子力学氢原子与类氢原子的波函数与能级
a 402 ----称为玻尔半径
ne2 n称为主量子数.且有 l (n-1).
Nnl(n2)a32(nn[n(ll1))!! ]3 ----归一化系数
L 2 n l 1 1 (2 rn ) a n l 0 1( 1 ) 1 (n l [1 n (l) )!! ( ]2 2 ( l2 r 1 n ) )!a!
通常还使用符号s , p , d , f , g , h .... 等依次表示 l = 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 .... 等具体数值。
§14 量子力学中的氢原子解法简介
一﹑二体问题的简化:
氢原子的 能量
E2pm 1212pm 2 22U(r1r2)
z m1 r1 R
r m2 c
1.角动量平方算符的本征值方程:
L ˆ 2 Y l( m ,) L 2 Y l( m ,) 2 2 ,Y l( m ,)
利用分离变量法可以求解该微分方程,在保证函数 Y( , ) 为有
限的条件下可求得:
L ˆ 2 Y l,m (,) l ( l 1 ) 2 Y l,m (,)
----缔合拉盖尔多项式
形R式n可,l(写r)为的:归一化的 Rn2l(r)r2dr1
r0
3. 氢原子中电子状态的波函数:
( r ,,) R n ( r ) lY l( m ,)
这里n l m 为决定 征值只与主量子数 n
有n 关l,(所m r,以,En)是的简三并个的量.子简数并.度由为于:能量本
0
2 0 Y l* ,m (,)Y l,m (,)sid n d 1
故径向波函数的归一化的表达式应写为：
r 0Rn2,l(r)r2dr1
E＜0时库仑场中电子状态的定态波函数为:
量子力学习题
量子力学习题量子力学习题：1一.微观粒子的波粒二象性 1、在温度下T=0k附近，钠的价电子能量约为3电子伏特，求其德布罗意波长。
2、求与下列各粒子相关的德布罗意波长。
（1）能量为100电子伏特的自由电子；（2）能量为0.1电子伏特的自由中子；（3）能量为0.1电子伏特，质量为1克的自由粒子；（4）温度T=1k时，具有动能的氦原子，其中k为玻尔兹曼常数。
3、若电子和中子的德布罗意波长等于，试求它们的速度、动量和动能。
4、两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两电子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 5、设一电子为电势差U所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000（可见光）（x射线），（射线）时，加速电子所需的电势差各是多少？量子力学习题：2二.波函数与薛定谔方程 1、设粒子的归一化波函数为，求（1）在范围内找到粒子的几率；（2）在范围内找到粒子的几率；（3）在及范围内找到粒子的几率。
2、设粒子的归一化波函数为，求：（1）在球壳内找到粒子的几率；（2）在方向的立体角内找到粒子的几率； 3、下列波函数所描述的状态是否为定态？为什么？（1）（2）（3）4、对于一维粒子，设，求。
5、证明在定态中，几率密度和几率流密度均与时间无关。
6、由下列两个定态波函数计算几率流密度。
（1）（2）从所得结果证明：表示沿轴正方向传播的平面波。
表示沿轴反向传播的平面波。
7、由下列两个定态波函数计算几率流密度（1）；（2）从所得结果证明表示向外传播的球面波，表示向内传播的球面波（即向原点） 8、求波函数的归一化常数A。
9、一粒子在一维势场中运动，求束缚态的能级所满足的方程。
10、若在一维无限深势阱中运动的粒子的量子数为，求：（1）距势阱内左壁宽度内发现粒子的几率；（2）取向值时，在此区域内找到粒子的几率最大？（3）当时，这个几率的极限是多少？这个结果与经典情况比较，说明了什么问题？ 11、一粒子在一维势场中运动，势能对原点对称，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。
量子力学习题集
量⼦⼒学习题集量⼦⼒学习题第⼀章绪论1.1 由⿊体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极⼤值所对应的波长λm 与温度T 成反⽐，即λm T=b (常量）；并近似计算b 的数值，准确到⼆位有效数字。
1.2 在0K 附近，钠的价电⼦能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
1.3 氦原⼦的动能是E=3kT/2（k 为玻⽿兹曼常数），求T=1K 时，氦原⼦的德布罗意波长。
1.4 利⽤玻尔－索末菲的量⼦化条件，求：（1）⼀维谐振⼦的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电⼦轨道的可能半径。
已知外磁场H =10特斯拉，玻尔磁⼦M B =9×10-24焦⽿/特斯拉，试计算动能的量⼦化间隔?E ，并与T =4K 及T =100K 的热运动能量相⽐较。
1.5 两个光⼦在⼀定条件下可以转化为正负电⼦对。
如果两光⼦的能量相等，问要实现这种转化，光⼦的波长最⼤是多少？第⼆章波函数和薛定谔⽅程2.1 由下列两定态波函数计算⼏率流密度： (1) ψ1=e ikr /r , (2) ψ2=e -ikr /r .从所得结果说明ψ1表⽰向外传播的球⾯波，ψ2表⽰向内（即向原点）传播的球⾯波。
2.2 ⼀粒⼦在⼀维势场ax a x x x U >≤≤∞∞=00,,0,)(中运动，求粒⼦的能级和对应的波函数。
2.3 求⼀维谐振⼦处在第⼀激发态时⼏率最⼤的位置。
2.4 ⼀粒⼦在⼀维势阱ax a x U x U ≤>??>=,0,0)(0中运动，求束缚态(02.5 对于⼀维⽆限深势阱(0x 和?x ，并与经典⼒学结果⽐较。
2.6 粒⼦在势场xa a x x V x V ≤<<≤??-∞=00,0,,)(0中运动，求存在束缚态(E <0)的条件( ，m ，a ，V 0关系)以及能级⽅程。
2.7 求⼆维各向同性谐振⼦[V =21k (x 2+y 2)]的能级，并讨论各能级的简并度。
2.8粒⼦束以动能E =mk222从左⽅⼊射，遇势垒00,,0)(0≥=x x V x V求反射系数、透射系数。
量子力学典型例题分析解答
量子力学例题之迟辟智美创作第二章一．求解一位定态薛定谔方程1．试求在分歧毛病称势井中的粒子能级和波函数[解] 薛定谔方程:当, 故有利用波函数在处的连续条件由处连续条件:由处连续条件:给定一个n 值,可解一个, 为分离能级.2．粒子在一维势井中的运动求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数[解]体系的定态薛定谔方程为那时对束缚态解为在处连续性要求将代入得又相应归一化波函数为:归一化波函数为:3 分子间的范得瓦耳斯力所发生的势能可近似地暗示为求束缚态的能级所满足的方程[解]束缚态下粒子能量的取值范围为当时当时薛定谔方程为令解为当时令解为当时薛定谔方程为令薛定谔方程为解为由波函数满足的连续性要求,有要使有非零解不能同时为零则其系数组成的行列式必需为零计算行列式,得方程例题主要类型: 1.算符运算; 2.力学量的平均值; 3.力学量几率分布.一. 有关算符的运算1.证明如下对易关系(1)(2)(3)(4)(5)[证](1)(2)(3)一般地,若算符是任一标量算符,有(4)一般地,若算符是任一矢量算符,可证明有(5)=0同理：.2.证明哈密顿算符为厄密算符[解]考虑一维情况为厄密算符, 为厄密算符,为实数为厄密算符为厄密算符3已知轨道角动量的两个算符和共同的正交归一化本征函数完备集为,取: 试证明: 也是和共同本征函数, 对应本征值分别为: .[证].是的对应本征值为的本征函数是的对应本征值为的本征函数又:可求出:二.有关力学量平均值与几率分布方面1. (1)证明是的一个本征函数并求出相应的本征值；(2)求x在态中的平均值[解]即是的本征函数.本征值2.设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，如粒子的状态由波函数描写.求粒子能量的可能值相应的概率及平均值【解】宽度为a的一维无限深势井的能量本征函数注意:是否归一化波函数能量本征值呈现的几率 , 呈现的几率能量平均值另一做法3 .一维谐振子在时的归一化波函数为所描写的态中式中，式中是谐振子的能量本征函数，求（1）的数值；2）在态中能量的可能值，相应的概率及平均值；（3）时系统的波函数；（4）时能量的可能值相应的概率及平均值[解](1) , 归一化，，，（2），，；，；，；（3）时，所以：时，能量的可能值、相应的概率、平均值同（2）. 4．设氢原子处于状态求氢原子的能量,角动量平方以及角动量z分量的可能值,这些可能值呈现的几率和这些力学量的平均值.[解] 能量本征值能量本征态当n=2 时本征值为的，呈现的几率为100％可能值为呈现的几率分别为：.5 .在轨道角动量和共同的本征态下,试求下列期望值(1).; (2).[解]：三测禁绝关系1.粒子处于状态式中为常数,求粒子的动量的平均值,并计算测禁绝关系[解]先归一化(1) 动量平均值(2)(3)附:经常使用积分式：（1）（2）（3）第四章例题1．力学量的矩阵暗示由坐标算符的归一化本征矢及动量算符构造成算符和试分别：1）. 求和在态下的期望值；2）. 给出和的物理意义【解】（1）. 设态矢已归一化（粒子位置几率密度）（2）（利用化到坐标表象）又：,上式2.试证明：由任意一对以归一化的共轭右矢和左矢构成的投影算符（1）. 是厄密算符，（2）. 有，（3）.的本征值为0和1【证】（1）. 厄密算符的界说为厄密算符(2) 已归一化（3）. 由的本征值方程,又：即：（本题主要考查厄密算符概念，本征值方程，狄拉克符号的应用）3.分别在坐标表象，动量表象，能量表象中写出一维无限深势井中（宽度）基态粒子的波函数.（本题主要考查波函数在具体表象中的暗示）【解】所描述的状态，基态波函数（1）. 在x表象：（2）. 动量表象：（3）. 能量表象同样一个态在分歧表象中的暗示是分歧的，分歧的表象是从分歧正面来进行描述的.4.取和的共同表象，在角动量空间中写出,,的矩阵（本题主要考查算符矩阵的求法）【解】,的共同本征函数为在空间（1）. ,同样（2）利用:利用正交归一条件:同样（3）利用:矩阵:矩阵:5.已知体系的哈密顿量 , 试求出（1）. 体系能量本征值及相应的在所在的表象的正交归一化的本征矢组.（2）.将对角化，并给出对角化的么正变换矩阵【解】（1）. 久期方程解之,设正交归一的本征矢对应于本征矢归一化对应归一本征矢同样::即为的本征函数集（2）. 对角化后，对角元素即为能量本转换矩阵为6．证明：将算符矩阵对角化的转换矩阵的每一列对应于算符的一个本征函数矢量.【证】算符的本征矢：则 F算符在自身表象中为一对角矩阵：对另一表象力学量的本征矢的本征矢7.为厄密算符.①求算符的本征值，②在A 表象下求算符的矩阵暗示.[解]：①设的本征值为,本征函数为,则又同理算符的本征值也为.②在A表象，算符的矩阵为一对角矩阵,对角元素为本征值，即设利用B为厄密算符即又取：第五章例题重点：微扰论1．一根长为，无质量的绳子一段固定于支点，另一端系质量为的质点，在重力作用下，质点在竖直平面内摆动.i) 在小角近似下，求系统能级；ii) 求由于小角近似的误差发生的基态能量的一级修正.解：i ) 势能：系统的哈密顿量在小角近似下:ii )若不考虑小角近似又利用公式,同样2.一维谐振子的哈密顿量为，假设它处于基态，若在加上一个弹力作用，使用微扰论计算对能量的一级修正，并与严格解比力.解：i ),又ii) 严格解发生了变动3．已知体系的能量算符为, 其中,为轨道的角动量算符.（1）求体系能级的精确值.（2）视项为微扰项，求能级至二级近似值.[解]：i) 精确解令，并在平面上取方向：与z轴的夹角为，则与相互对易，它们的本征值分别为体系能级为ii)微扰法的精确解为本征函数本征能量按微扰论利用了公式能量二级修正为在二级近似下4．三维谐振子，能量算符为，试写出能级和能量本征函数.如这振子又受到微扰，的作用，求最低的两个能级的微扰修正.并和精确值比力.[解]：（1设的能量本征函数为代入方程(2).基态的微绕修正对基态波函数基态能级的零级, 无简并能量的二级修正:唯一不即是零的矩阵元为(3).第一激发态三度简并计算不为零的矩阵元为久期方程可求出能量的一级修正(4).精确解令基态第一激发态5．设粒子的势能函数是坐标的n次齐次函数，即试用变分法证明，在束缚态下，动能T及势能V的平均值满足下列关系（维里定理）[证]设粒子所用的态用归一化波函数描写则取试态波函数为由归一化条件那时，试态波函数即是粒子所处的束缚态波函数.应在时，取极值6. 氢原子处于基态，加上交变电场, 电离能,用微扰论一级近似计算氢原子每秒离几率.[解]：解这一类问题要搞清楚三个要素，初态末态是什么？微扰矩阵元?初态：氢原子基态末态: 自由状态为能量为, 在单元立体角的末态密度.微扰7．转动惯量为 I, 电偶极矩为 D的平面转子，置于均匀场强E（沿x方向）中，总能量算符成为,为旋转角(从x轴算起）如果电场很强，很小，求基态能量近似值.[解]：方法一与一位谐振子的能量本征方程比力有方法二用变分法，取归一化的试探波函数所得结果与方法二一致.8．设在表象中，的矩阵暗示为其中, 试用微扰论求能级二级修正[解]：在表象中，第六章例题1.有关泡利矩阵的一些关系的证明（注意应用一些已知结论）1).; (2).;(3).;(4).设则，.【证】（1）.(2).(3).(4).2．证明：并利用此结论求本征值【证】设的本征函数为则又, ,3．设为常数，证明【证】将展开成的幂级数，有，为偶数；为奇数上式4．求自旋角动量在任意方向（方位角为）的投影的本征值及本征矢（在表象），【解】在表象中，，在表象中的矩阵暗示为设的本征值为，相应本征矢为，本征方程为＝解久期方程，将代入本征方程由归一化条件对应的本征矢为同样：对应的本征矢为通过本题讨论我们发现，的本征值为，自旋算符在任意方向上的分量的本征值也是.也进一步推广，对任一种角动量算符，如有的本征值为，的本征值为则在任意方向上的分量的本征值的可能值也为.5．有一个定域电子（不考虑轨道运动）受均匀磁场作用，磁场指向正方向，磁作用势为，设时电子的自旋向上，即求时的平均值.[解]设自旋函数在表象中体系的哈密顿算符可暗示为则自旋态所满足的薛定谔方程为同理又，自旋再由即6．在自旋态中，求【解】同理7．已知电子的态函数为其中已归一化，求（1）.同时丈量为，为的几率.（2）.电子自旋向上的几率.（3）.和平均值.[解]首先验证态函数是否归一化[erfwfff1]①同时丈量为, 为的几率②电子自旋向上的几率：③8．考虑由两个相同粒子组成得体系.设可能的单粒子态为，试求体系的可能态数目.分三种情况讨论（1）.粒子为玻色子;（2）粒子为费米子;（3）粒子为经典粒子.[解]①玻色子构成的系统，系统态函数必需是对称的a. 如两个粒子处于同一单粒子态: 共三种对称的波函数为共三种,因而，对玻色子可能态数为六种，①费米子构成的系统，系统态函数必需是反对称的全同费米子不能处于同一态上（泡利原理）.反对称波函数的形式只能是共三种.②对经典粒子，全同粒子是可区分的，粒子体系波函数没有对称性要求，波函数形式只要求都可以）的有三种，的有六种的共九种.9．试写出自旋的两个自由电子所构成的全同体系的状态波函数.[解]自旋的两电子构成的是费米子体系，体系状态的波函数是反对称的每个电子处于自由状态，单电子的状态波函数为平面波它们所构成的对称波函数形式为它们所构成的反对称波函数形式为二电子体系的自旋部份的对称或反对称波函数为：总的波函数：10．证明：组成正交归一系.[证]①②③11．两个自旋为的粒子有磁相互作用，设它们的质量很年夜，动能可以忽略，求此系统的所有能量本征值和本征函数.[解]对两个自旋为的系统，总自旋量子数对的本征函数为本征值为能量本征值对的本征函数。
《量子力学》题库
《量子力学》题库一、简答题1 试写了德布罗意公式或德布罗意关系式，简述其物理意义 答：微观粒子的能量和动量分别表示为： ων ==h Ek nhp ==ˆλ其物理意义是把微观粒子的波动性和粒子性联系起来。
等式左边的能量和动量是描述粒子性的；而等式右边的频率和波长则是描述波的特性的量。
2 简述玻恩关于波函数的统计解释，按这种解释，描写粒子的波是什么波？答：波函数的统计解释是：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。
按这种解释，描写粒子的波是几率波。
3 根据量子力学中波函数的几率解释，说明量子力学中的波函数与描述声波、光波等其它波动过程的波函数的区别。
答：根据量子力学中波函数的几率解释，因为粒子必定要在空间某一点出现，所以粒子在空间各点出现的几率总和为1，因而粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度而不决定于强度的绝对大小；因而将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，这是其他波动过程所没有的。
4 设描写粒子状态的函数ψ可以写成2211ϕϕψc c +=，其中1c 和2c 为复数，1ϕ和2ϕ为粒子的分别属于能量1E 和2E 的构成完备系的能量本征态。
试说明式子2211ϕϕψc c +=的含义，并指出在状态ψ中测量体系的能量的可能值及其几率。
答：2211ϕϕψc c +=的含义是：当粒子处于1ϕ和2ϕ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于1ϕ态，又处于2ϕ态。
或者说，当1ϕ和2ϕ是体系可能的状态时，它们的线性叠加态ψ也是体系一个可能的状态；或者说，当体系处在态ψ时，体系部分地处于态1ϕ、2ϕ中。
在状态ψ中测量体系的能量的可能值为1E 和2E ，各自出现的几率为21c 和22c 。
5 什么是定态？定态有什么性质？答：定态是指体系的能量有确定值的态。
在定态中，所有不显含时间的力学量的几率密度及向率流密度都不随时间变化。
6 什么是全同性原理和泡利不相容原理？两者的关系是什么？ 答：全同性原理是指由全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。
第一章一、选择题
第一章一、选择题1.使用频率为v的光照射某一金属表面时，产生的光电子最大动能是0.9hv。
如下说法正确的是（）A．如果采用频率为2v的光，则产生的光电子最大动能为1.8hv。
B．采用频率为v/2的光，也会产生光电子。
C．如果将光的强度增大，则产生的光电子最大动能会增大。
D．此金属的功函（work function）是0.9hv。
2.下面哪种判断是错误的？（）A.只有当照射光的频率超过某个最小频率时，金属才能发射光电子B.随着照射在金属上的光强的增加，发射电子数增加，但不影响光电子的动能C.随着照射在金属上的光强的增加，发射电子数增加，光电子的动能随之增加D.增加光的频率，光电子的动能也随之增加实物微粒具有波粒二象性，一个质量为m速度3.为v粒子的德布罗意波长（）A．h/(mv)B．mv/h C．E/h D．c/h4.电子的德布罗意波长为（）A．λ=E/h B．λ=c/νC．λ=h/p D．λ=c/E5.根据de Broglie关系式及波粒二象性，下面哪种描述是正确的？（）A.光的波动性和粒子性的关系式也适用于实物微粒B.实物粒子没有波动性C.电磁波没有粒子性D.波粒二象性是不能统一于一个宏观物体中的6.微观粒子的不确定关系，如下哪种表述正确？（）A.坐标和能量无确定值B.坐标和能量不可能同时有确定值C.若坐标准确量很小，则动量有确定值D.动量值越不准确，坐标值也越不准确7.粒子处于定态意味着（）A.粒子处于概率最大的状态B.粒子处于势能为0的状态C.粒子的力学量平均值及概率密度分布都与时间无关的状态D.粒子处于静止状态8.以下关于一维势箱中的粒子，说法正确的是（）A ．能级之间的距离与体系所处的状态(也就是主量子数n)有关。
B ．当粒子的质量增加一倍时，相应能级之间的距离将增大一倍。
C ．当势箱的长度增加一倍时，相应能级之间的距离将增大一倍。
D ．能级之间的距离与势箱的质量与长度无关。
9.由一维势箱的薛定谔方程求解结果所得量子数n ，下面论述正确的是()A.可取任一整数B.与势箱宽度一起决定节点数C.能量与n 2成正比D.对应于可能的简并态10.已知一维谐振子的势能表达式为2/2kx V =，则该体系的定态薛定谔方程应当为（）。
结构化学第二章习题
结构化学第二章习题第二章一选择题1、电子自旋是电子(c)A、具有一种类似地球自转的运动B、具有一种非轨道的运动C、具有一种空间轨道外的顺逆时针的自转D、具有一种空间轨道中的顺逆时针的自转2、下列分子中哪些不存在大键(a)A.CH2=CH-CH2-CH=CH2B.CH2=C=OC.CO(NH2)2D.C6H5CH=CHC6H53、某原子的电子组态为12222p6314d1，其基谱项为(a)A3DB1DC3SD1S4、已知类氢波函数ψ2p某的各种图形，推测ψ3p某图形，下列结论不正确的是（b）：A、角度部分图形相同B、电子云相同C、径向分布不同D、界面图不同5、单个电子的自旋角动量在z轴方向上的分量是：（d）A:12h/2B:6h/2C:6h/4D:h/46、具有的键类型为：（a）101011A、9B、8C、99D、97、下列光谱项不属于p1d1组态的是（c）。
A.1PB.1DC.1SD.3F8、对氢原子和类氢离子的量子数l，下列叙述不正确的是（b）。
Al的取值规定m的取值范围B它的取值与体系能量大小有关C它的最大可能取值由解方程决定D它的取值决定了|M|=l(l1)9、通过变分法计算得到的微观体系的能量总是（c）。
A等于真实体系基态能量B大于真实体系基态能量C不小于真实体系基态能量D小于真实体系基态能量10、已知类氢波函数Ψ2p某的各种图形，推测Ψ3p某图形，下列说法错误的是（b）A角度部分的图形相同B电子云图相同C径向分布函数图不同D界面图不同11、对氢原子Φ方程求解,下列叙述有错的是(c).A.可得复函数解m()Aeim.B.由Φ方程复函数解进行线性组合,可得到实函数解.C.根据Φm(Φ)函数的单值性,可确定|m|=0，1，2，l根据归一化条件m()2d1求得A021212、He的一个电子处于总节面数为3的d态，问电子的能量应为R 的(c).A.1B.1/9C.1/4D.1/1613、电子在核附近有非零几率密度的原子轨道是(d).A.Ψ3PB.Ψ3dC.Ψ2PD.Ψ2S14、5f的径向分布函数图的极大值与节面数为(a)A.2,1B.2,3C.4,2D.1,315、线性变分法处理H+2过程中,认为Hab=Hba,依据的性质是(d)A.电子的不可分辨性B.二核等同性的厄米性C．Ψa.Ψb的归一性D.H+16.、Fe的电子组态为[Ar]3d642,其能量最低的光谱支项为(a)5351A.D4B.P2C.D0D.S017、对于极性双原子分子AB，如果分子轨道中的一个电子有90%的时间在A的轨道中，10%的时间在B的轨道上，描述该分子轨道归一化形式为（c）A.C.0.9a0.1bB.0.1a0.9b0.949a0.316bD.0.994a0.11b18、氢原子的轨道角度分布函数Y10的图形是（c）（A）两个相切的圆（B）“8”字形（C）两个相切的球（D）两个相切的实习球19、B原子基态能量最低的光谱支项是（a）（A）2P1/2（B）2P3/2（C）3P0（D）1S020、下列波函数中量子数n、l、m具有确定值的是（d）（A）(3d某z)（B）(3dyz)（C）(3d某y)（D）(3dz)221、如果E0是一维势箱中电子最低能态的能量，则电子在E3能级的能量是（c）（A）2E0（B）4E0（C）9E0（D）18E022、氢原子3P径向函数对r做图的节点数为（b）（A）0（B）1（C）2（D）323.Y(θ,φ)图（B）A．即电子云角度分布图，反映电子云的角度部分随空间方位θ,φ的变化B.即波函数角度分布图，反映原子轨道的角度部分随空间方位θ,φ的变化C.即原子轨道的界面图，代表原子轨道的形状和位相24.为了写出原子光谱项，必须首先区分电子组态是由等价电子还是非等价电子形成的。